Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  4,  11 (1973)  MACIERZ  SZTYWNOŚ CI  E L E M E N T U  ZGINANEJ  PŁYTY  TRÓJWARSTWOWEJ  HENRYK  M I K O Ł A J C Z A K ,  BOGDAN  W  o  S I E W I С Z  (POZNAŃ)  1.  Uwagi  wstę pne  Płyty  trójwarstwowe ,  z  uwagi  na  swoje  zalety,  znajdują  coraz  szersze  zastosowanie  także  w  konstrukcjach  inż ynierskich.  Obliczenia  statyczne  tych  płyt,  pomimo  róż nych  założ eń  upraszczają cych,  wymagają  duż ego  n a k ł a d u  pracy  rachunkowej.  Stosunkowo  prosty  model  oparty  na  założ eniach  HOFFA  [1] prowadzi  do  u k ł a d u  trzech  r ó w n a ń  róż nicz­ kowych  czą stkowych  (2.1)  lub  r ó w n o w a ż n e go  im jednego  r ó w n a n i a  rzę du  ó s m e g o .  Prak­ tyczne  w y n i k i ,  poza  nielicznymi  wyją tkami,  uzyskać  m o ż na  tylko  na  drodze  obliczeń   numerycznych.  Uniwersalną  metodą ,  doskonale  przystosowaną  do  elektronicznej  techniki  obliczenio­ wej,  jest  metoda  elementów  s k o ń c z o n y ch  szczegółowo  opracowana  w  literaturze  [2],  [3],  [4],  [5],  [6].  Jej  kluczowym  problemem  jest  z n a j o m o ś ć  macierzy  sztywnoś ci  pozwalają ca  na  ułoż enie  ogólnego  programu  obliczeń  na  drodze  standardowego  p o s t ę p o w a n i a.  W  pracy  poniż szej  przedstawiono  ogólną  p o s t a ć  macierzy  sztywnoś ci  dla  r o z w a ż a n e go  zagadnienia,  uzyskując  ją  na  dwóch  róż nych  drogach:  albo  korzystając  z metody  ortogona­ lizacyjnej  zastosowanej  uprzednio  do  zagadnienia  płaskiego  [7],  albo  z  warunku  na  minimum  energii  potencjalnej  odkształcenia  sprę ż ystego.  N a  z a k o ń c z e n ie  przedstawiono  pewne  wyniki  liczbowe,  przyjmując  p o d z i a ł  płyty  na  elementy  p r o s t o k ą t ne  o  pię ciu  stopniach  swobody  w  k a ż d ym  wę ź le.  2.  Podstawowe  założ enia  i  zależ noś ci  R o z w a ż a n i a mi  obję to  płytę  trójwarstwową  symetryczną  wzglę dem  płaszczyzny  ś r o d­ kowej  (rys.  1),  o  warstwach  zewnę trznych  spełniają cych  założ enia  teorii  płyt  cienkich  i  teorii  tarcz  i  o  warstwie  ś rodkowej  stałej  gruboś ci,  nieodkształcalnej  w  kierunku  piono­ w y m  (założ enia  HOFFA)  [1].  Zagadnienie  m o ż na  opisać  przez  trzy  funkcje  przemieszczeń:  u(x,y)—przemieszczenie  w  płaszczyź nie  ś r o d k o w ej  warstwy  dolnej  w  kierunku  osi  .v.  v(x,y)—przemieszczenie  w  płaszczyź nie  ś r o d k o w ej  warstwy  dolnej  w  kierunku  osi  y,  w(x,y)  — ugię cie  pionowe  płyty  jednakowe  dla  wszystkich  warstw.  474  H .  MIKOŁAJCZAK,  В. WOSIEWICZ  R ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  zagadnienia  mają  p o s t a ć  [8],  [9]:  (2­1)  h b ­ +  l­v  d2  (l­v2)Gw  I  d 2v  dx2  2  dy2  Edh  u+  2  dx dy  (2.2)  (2.3)  1+y  d2u  2  dx dy  e2  1 ­ y  d2  dy^  +  ~2  dx2'  (1­ Edh  l(l­v2)Gw(2h  + d)  dw  2Edh  bx  S N ­ (\­v2)Gw(2h  + 6)  dw  2Edh  dy  =  o,  =  0,  (1­1' 2 )С 7и ,(2Л  +  <5)  du  (\­v 2)Gw(2h  + d)  dv  2Eóh  ex  +  '  r.  I""'  °­2E5  2Edh  I  V 2 V 2 ­ ­ - + 2  '  2V2  ( l ­ v 2 ) C 7 w ( 2 A + ó ) 2  i  AEbh  w =  ? ( i ­ * 2 )  2Eb  '  ф .у )  Rys.  1  Oznaczenia:  E  — m o d u ł  Y o u n g a ,  v — liczba  Poissona,  Gw  — m o d u ł  ś c i n a n ia  dla warstwy  ś r o d k o w e j,  6  — g r u b o ś ć  płytek  zewnę trznych,  2h — g r u b o ś ć  warstwy  ś r o d k o w e j,  q—  obcią ż enie  p r o s t o p a d ł e  do powierzchni  płyty,  D  — sztywność  gię tna  p ł y t e k  z e w n ę t r z n y c h.  R ó w n a n i a  (2.1) i  naturalne  warunki  brzegowe  m o ż na  o t r z y m a ć  z  funkcjonału  energii  potencjalnej  o d k s z t a ł c e n i a  sprę ż ystego,  k t ó r y  ma p o s t a ć  [10]  /  с и  V  du  dv  „   I  +2r  ,  Ą  ,  i  ,  , ,  ,  ,  dy  dx  M  *.4//M(­£)V  ­V2  \\dxj  d2w  d2w  Ix^lfy2  •  +  u  rv 1 + dx  dy  \—v I du V  .  du  dv  1 ­ v  /  ć lz; \ 2 1  \  u2  „ w  2h + d  dw  (2h +ó)2  I dw \ 2  Ч Г ~Щ \  }}dxdy­f  jqwdxdy. +  l F + 2 h  v  2h + ó  dw  (2h + d)2  2h  dy'  +  file:////dxj MACIERZ  SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY  475  Wielkoś ci  statyczne  dla  tego  typu  płyt  t r ó j w a r s t w o w y c h  dane  są przez  p o n i ż s ze  wyra­ ż enia  r ó ż n i c z k o w e.  Wypadkowe  siły  tarczowe  w  p ł y t k a c h  z e w n ę t r z n y c h:  dv  ~8j Ed  I  dv  (2.5)  (2.6)  E6  l  du  \­v2  \  dx  + V '  1  Y У 1  1  1 — VI  {2.1)  д у   Ed  I  du  N x y  ~~W +v)~\~dJ  du\  +»­=­ . д х  I  +   dv  д х   (2.8)  N a p r ę ż e n ia  styczne  w  warstwie  ś r o d k o w ej  ( T £ Z ,  r^z) i wypadkowe siły  tną ce (Nxz, Nyz):  2h+6  dw  Nxz  =  (2Л +  S) xxz  =  Gw(2h+d)[­r­  +  '  u  2h+5  dw\  jT  +  ~~2h  д х )'  (2.9)  Nyz  =  {2h  +  S) r»  =  Gw{2h +  ó)  ^  niy, mxy i si  z  teorią  płyt  cienkich  izotropowych  + 2h  д х   2h+d  dw  2h  д у   Wielkoś ci  p ł y t o w e  (momenty  mx, my, mxy i  siły  poprzeczne qx,  qy) o k r e ś l o ne  zgodnie  (2.10)  ( 2 . U )  (2.12)  (2.13)  (2.14)  mx  =  m„  =  —  ld2w  d2w\  \  д у2  d2w  d2w  +v  mxy  =  ­ ( 1  ­v)D  dx2 '  d2w  dxdy  ­ D ^ w ) ,  Ь = -D­i­{V 2w).  dy  D o  dalszych  r o z w a ż ań  obszar  A płyty  trójwarstwowej  podzielono na podobszary  Ak  (k =  1 , 2 ,  . . . , r ) .  Podobszary  te  nazywa  się  elementami  s k o ń c z o n y m i.  Przemieszczenia  w  A:­tym  elemencie  г /, vk,  w*  a p r o k s y m o w a ć  bę dziemy  p o n i ż s z y mi  w y r a ż e n i a mi  macie­ rzowymi  ul (2.15)  (2.16)  M* =  [Фк]{ик}  =  [Ф \Ф \...  Фк]  ui  476  H .  MIKOŁAJCZAK,  В. Wosmwicz  (2.17)  w" =  [Qk]{Wk]  =  [SĄ SĄ  ...  Qkm]  W  w y r a ż e n i a ch  (2.15)­f­(2.17)  Uk, V\,  W) (/' =  1, 2 , ...,n;j  =  1, 2 ,  m) oznaczają  odpo­ wiednio n p a r a m e t r ó w  zwią zanych  z przemieszczeniem w kierunku  osi x w k­tym  elemencie,  n  p a r a m e t r ó w  zwią zanych  z  przemieszczeniem  w  kierunku  osi y,  oraz  m  p a r a m e t r ó w  zwią zanych  z ugię ciem  płyty.  W y r a ż e n ia  te mogą  o z n a c z a ć  np. w a r t o ś ć  funkcji  przemieszczeń  w  w y r ó ż n i o n y ch  punk­ tach elementu  (w  wę złach),  w a r t o ś ć  pochodnych  funkcji  przemieszczeń  w tych punktach  itp.  Funkcje  Ф \ = Ф \(х , у ),  Wk = Wk{x,y),  Q) = Q)(x,y)  okreś lają  w j a k i  s p o s ó b  prze­ mieszczenia  w  A>tym  elemencie  zaletą ,  od w s p ó ł r z ę d n y ch  x,y  i  p a r a m e t r ó w  wę złowych  Uk,  Vk,  W). Funkcje te nazywane są funkcjami  kształtu.  Sposoby tworzenia  funkcji  kształt u  oraz  warunki  j a k i m  muszą  o d p o w i a d a ć  znaleźć  m o ż na  np. w pracach  ZIENKIEWICZA [4],  KOLARA  i  innych [6].  3.  Metoda  ortogonalizacyjna  R o z w a ż my  k­ty element  w y o d r ę b n i o ny  ze zginanej  płyty  trój warstwowej.  N a podstawie  (2.15) 4­(2.17)  i  ( 2 . 1 ) ( 2 . 3 )  po pewnych  przekształceniach  otrzymamy  r ó w n a n i a  r ó w n o ­ wagi  w postaci  (3.2)  д2Ф *  1~Ъ  2   ,{*/*}+  + = fi(x,y,  Ul  Uk, V\,  Vk,  W\,  Wk),  E8  l­v2  д у 2  2(1 +  = М х ,у ,  и к , v i ,  v i V k ,  W\,  Wkm)  d*Qk  8Wk cv  +  ­ 2 ^ [ ^ ­ ] { w k } ) ~ q  =МХ>У >  W,  v i v i ,  w l w k m ) .  MACIERZ  SZTYWNOŚ CI  ELEMENTU PŁYTY  47  7  Wielkoś ci  statyczne w  A>tym  elemencie jako  funkcje  p a r a m e t r ó w  wę złowych  mają  p o s t a ć   Ed  l­v:  (3.4)  /V*  (3.5)  Ny  (3.6)  (3.7)  (3.8)  Nk  (3.9)  mx  (3.10)  Г П у   (3.11)  m\y  (3.12)  (3.13)  ]{̂ k})>  2(1+1»)  \L  dy  Jl  dx  Gj2/l  + *)[±­m{U k}  +  ^ ­ {W% =  — D  c2Qk  dx2  2 H f  П^~д х1Г\  +  [~д х д у2  »(  =  ­ ( 1  5л :2  {Wk},  d3Qk  Wk),  d3Qk  д х2д у   W y r a ż e n ia  (3.1)­r­(3.3) nie są t o ż s a m o ś c i o wo  r ó w n e  zeru,  gdyż  funkcje  przemieszczeń   z/,  vk,  w*,  są  funkcjami  p r z y b l i ż o n y m i.  D o k ł a d n o ś ć  tak  przyję tej  aproksymacji  r ó w n a ń   (2.1)­T­(2.3)  zależy  od  d o k ł a d n o ś ci  opisu  rzeczywistych  przemieszczeń  w  elemencie  przez  w y r a ż e n ia  (2.15) 4­ (2.17).  F u n k c j e / , , f2,  / 3  oznaczają  błąd  aproksymacji.  W naszym  przy­ padku  błąd  ten zminimalizujemy  przez  ortogonalizację  f u n k c j i Л , /2 , / з   z  u k ł a d e m  funkcji  Фк,  Wk,  Qk  (metoda  Galerkin a  [7]).  S p o s ó b  ten  prowadzi  tutaj  do  u k ł a d u  (2n +  m)  algebraicznych  r ó w n a ń  liniowych.  Macierz  w s p ó ł c z y n n i k ó w  przy  niewiadomych  jest  p o s z u k i w a n ą  macierzą  sztywnoś ci  elementu.  Zastosujmy  do  r ó w n a ń  (3.1)­т ­(3.3)  m e t o d ę  Galerkina  w  postaci  (3.14)  (3.15)  (3.16)  jf  tyfidxdy  = 0,  / = 1 , 2 , . . . ,  n,  //  Wfidxdy  =  0,  i =  1,2,  fJQkjf3dxdy  = 0,  у = 1 , 2  ж.  C a ł k o w a n i e  w  powyż szych  wzorach  rozcią ga  się na  obszar  elementu  Ak.  Funkcje Ф ?,  4Jk,  Qk  są  funkcjami  kształtu  z  zależ noś ci  (2.15) + (2.17).  478  H . MIKOŁAJCZAK,  В .  WOSIEWICZ  Wykonajmy  d z i a ł a n i a  opisane  zależ noś ciami  (3.14)­=­(3.16).  D l a  (3.14)  otrzymamy  (dla  i =  1 , 2 ,  . . . , « )  5л: 3.y  {К »}<**й Г у )) +  '  'J  *{Vk}dxdy\  А *  AK  Ч т Я ^{&')л *+^Я Ч ­^]{ и л , Н =°­ P o  zastosowaniu  do powyż szych  całek  przekształcenia  Greena  w e d ł u g  w z o r у w  Я Г  3 2 Ф *  Ф )  ­gjr  {U*}dxdy  = /<4 ]̂{Ј/'}с м"л­я  Э Ф*  "  З Ф* З л:  л к  г*  л*  (3.18)  (3.19)  я ч 3 2 Ф *  з >>2  ­/Ч ЈЬ *—Я ­Ј[ З Ф*  1Г   (gdzie  J *  oznacza  brzeg  elementu,  a jest  k ą t em  mię dzy  n o r m a l n ą  zewnę trzną  a  osią x)  otrzymamy  ostatecznie  pierwsze  n r у w n a ń  w postaci  (3.20)  2  Е д  Щ  д Фк   l—v2  д х   д х   +   Е д  Щ  Г  З Ф*  +:  2 ( 1 + » )  д у  I 3j>  Ј у  З Ф?  +  ^­Фк[Ф \\  Edv  д Ф \ dwk  1­v2  д х   +   \}{Uk}dxdy  +  + Gw   2 Н + д j J  {И "=}Л с л>  = 2  Г Ф *(Л Г *с о 8«+Л Г *,8т а )<й,  ­4* '  *  г* /1  г   i  =  1 , 2 ,  п .  MACIERZ  SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY  479  P o s t ę p u j ąc  analogicznie  otrzymamy  dla  (3.15) i (3.16)  p o z o s t a ł e  r ó w n a n i a  u k ł a d u ,  (3.21)  2  A  ]  Ed  dWk  '  dWk  Ed  1  dWf  1 ­v2  д у  l ь \  2 ( 1 + „ )  д х   + 2  ]){uk]  +   ES  dWk  '  д Фк'  2(1  +v)  д х   dxdy  +  cci  EУV  д 'Р Н д Ф ^Л   J J  \ 1 —v2  д у [ д х  J  JĴ ą ­̂ J{W*}^cd[y  = 2 J  4/k(Nksma+Nkycosoi)ds,  A*  2h + d  i  =  1,  2,  . . . , n;  AK  AK  „ ~  Г  Г f /  d2Q)  Г d2Qk  1  d2Qk,  \ d2Gk  1  d2Q)  Г d2Qk  1  5 2 i3^ Г d2Qk  1  + 2 i )  J J t b ^ b H + ­ d ? n ~ w ­ 1 + ' V ­ b H  + v ­ & ^ b H д у2  J  б >2  4 . 9 л  ­  ч a2flUa2fl4  G „ ( 2 / 1 +^) 2 / з  ̂ д &]  А  V ' & c d y  L ć > x c >J  Ј>  4//  \  д х [ д х \  + ^̂ Ĵ̂ {wk}dxdy  = ff  Q)qdxdy  + 2  [Q){qkxcos)  д х  д х  8h  J i  (3.29)  [ * " ] u  =  GY  [  1  — V 2  д у  д у   (3.30)  [ * » %  =  G w  ­ 2 Л +5  Г Г   ­ J J  ­ a r * * * * '  (3.31)  [ * « ] у  =  6\  2/; + <5  (3.32)  =  2 D J  J  л *  d2Q\  d2Q)  d2Q\  d2Q)  д х2  д х2  +  r  d2Q\  d2Q)  д у2  д у2  '  '  д у2  д х2  d2Qk  d2Q)  +  d2Qk  d2Q)  д х2  д х2  д х д у  д х д у   Gw  (2/j +  ó ) 2 j '  dQ\  dQ)  D  Ah  \  д х   д х   [p],  =  jjQUdxdy,  Ak  [bll  =  2  j  Ф ](Nkcos  a+Nkysin  a)ds,  [b2l  = 2  f  W(N*ama+N*,co»a)ds,  j  Qk(Nlz  cos a + i V } x  sin a)ds+2  j  flffaj  cos a+q)  sin a) ds  + 1 П  =  ­ ' J "  ­ (mj s i n a  — ni xy cos a) tfo. "T j c o s a—wi j, sin  0L)ds—2  I  P o n i e w a ż  funkcjonał  (2.4) jest  formą  k w a d r a t o w ą  przemieszczeń  i ich pochodnych, macierz  w s p ó ł c z y n n i k ó w  przy  niewiadomych Uf,  Vk,  W*jest  macierzą  symetryczną.  Macierz  (3.23)  jest  p o s z u k i w a n ą  macierzą  sztywnoś ci  elementu  k.  Macierz  sztywnoś ci  całej  płyty  (macierz  globalną)  uzyskuje  się  przez  sumowanie  po  wszystkich  elementach  (k  =  1,  2 ,  . . . , r)  wyraż eń  (3.23).  Przy  zapewnieniu  cią głoś ci  przemieszczeń  i  n a p r ę ż eń   mię dzy  elementami  całki  po  konturze  typu  (3.34)—(3.36)  są  r ó w n e  zeru  dla  b r z e g ó w  file:///dxdy MACIERZ  SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY  481  elementu  wewną trz  płyty.  D l a elementów  graniczą cych  z  konturem  z e w n ę t r z n ym  p ł y t y  m o ż na  je wyznaczyć  z w a r u n k ó w  brzegowych.  Z a z n a c z y ć  należ y,  że przy  prowadzeniu  obliczeń  według  tej  metody  konieczne  jest  przyję cie  zerowania  się  całek  (3.34)—(3.36)  wzdłuż  brzegów  wewnę trznych  [7],  nawet  w  wypadku,  gdy stosowane  funkcje  kształtu  nie zapewniają  cią głoś ci  przemieszczeń  i na­ prę ż eń.  J e d n a k ż e  po  wyznaczeniu  przemieszczeń  i  n a p r ę ż eń  m o ż na  obliczyć  w a r t o ś ci  całek  dla wszystkich  lub tylko  n i e k t ó r y c h  elementów.  Pozwala  to  na  oszacowanie  błę du  dyskretyzacji.  Rys. 2  Rozpatrzmy  dla p r z y k ł a d u  całkę  (3.34)  na  brzegu  p — ą  dla d w ó c h  graniczą cych  ze  sobą  e l e m e n t ó w  к i k +1  (rys. 2). D l a elementu  к  mamy  я   (Ы )к  =  lf  0k(Nkx +1  cos a + Nk+1  sin a) ds.  p  Podobnie  dla elementu  k+1  otrzymamy  p  =  2f0 k+i(Nxcosa+N k ysmoi)ds.  я   W  macierzy  globalnej  wystą pi  suma  powyż szych  całek  я   (3.37)  (bl)k + (b})k+1  =  2 / [ 0 ? ( 7 V " ^ 4 o s a + / V * ; ^ i n a ) ­ ^ + 4 A r * c o s a  +  / V * ) , s i n a ) ] * .  p  Wyraż enie  (3.37)  bę dzie  r ó w n e  zeru,  gdy Ф \ = Ф к +1,  TV* =  Nk+1,  Nxy  =  7v'*+ 1  w z d ł u ż   brzegu p­q, to znaczy,  gdy przemieszczenia i n a p r ę ż e n ia  bę dą  cią głe  na granicy  e l e m e n t ó w .  Obliczona  po wyznaczeniu przemieszczeń  w a r t o ś ć  całki  (3.37)  służ yć m o ż e j a k o  oszacowanie  błę du  dyskretyzacji.  Podobnie  uczynić  m o ż na  dla p o z o s t a ł y c h  całek  typu  (3.34)—(3.36).  4.  Metoda  energetyczna  Przez  podstawienie  zależ noś ci  (2.15)—(2.17)  do  (2.4) wyrazimy  funkcjonał  energii  sprę ż ystej  w  A>tym  elemencie  (IJk)  j a k o  funkcję  nieznanych  p a r a m e t r ó w  wę złowych.  Energię  potencjalną  całej  płyty  otrzymamy  przez  sumowanie  po  wszystkich  elementach  [2], [4],  r  (4.1)  П  = У^Пк   482  H . MIKOŁAJCZAK,  В .  WOSIEWICZ  Wykorzystując  warunki  na  m i n i m u m  funkcjonału  З Пк   (4.2)  (4.3)  (4.4)  д Пк   д Пк   dW)  =  0,  i  =  1 , 2 ,  . . . , и ,  =  0,  1 =  1 , 2 ,  . . . , « ,  =  o,  j  = 1 , 2 ,  . . . , m ,  otrzymamy  u k ł a d  (2n + m)  r у w n a ń  elgebraicznych dla fc­tego elementu.  Wykonajmy  dla  p r z y k ł a d u  działania  opisane  zależ noś cią  (4.2)  д Пк   ч  ~  2 J J (т ^2­ д ик   ~д х  8U,  д  I  д ик\  Jh^   BUk  \  д х  )  +  "  д у   dv"  1 с м*  д у   д U?  [  д х   + 2  1 —V  д ик   3  1 д и к   2  д у  д Щ  \ \  д у   dvk  +   + 2hG  w[  h­ д  1  2h + d  dw*  ­ r ( " * ) + 2 —  dUl  h  2h  д х   dxrfy  =  0 .  Biorąc  pod  u w a g ę ,  że  (por.  (2.15)—(2.17))  8  1 f a«* 1 = . ^ L 5  1 о н * 1  l  д Ф \  ot//11 1 5*  у   otrzymamy  ostatecznie  n  pierwszych  r у w n a ń  u k ł a d u  Е д  Ш   (4.5)  д Ф \  д Фк   д х   д х   +  2(1 +v)  д у   + +  2  + Е д  г З Ф!  2(1 +v)  д у   {Vk}dxdy  +  /  =  1 , 2 ,  и .  D l a  w a r u n k у w  (4.3)  i  (4.4)  otrzymamy  p o z o s t a ł e  r у w n a n i a  u k ł a d u .  M a c i e r z  w s p у ł c z y n n i k у w  jest  identyczna  z  macierzą  (3.23)  (macierz  sztywnoś ci).  Uzyskany  w  ten  s p o s у b  u k ł a d  r у w n a ń  nie zawiera całek  po  konturze  elementu.  Brak  całek  (3.34)—(3.36)  jest  konsekwencją  założ enia  p r a w d z i w o ś ci  zwią zku  (4.1)  i  ukrytego  z a ł o ­ ż enia,  że  zwią zki  (2.15)—(2.17)  spełniają  warunki  brzegowe  płyty.  W  praktycznych za­ stosowaniach  d o b у r  funkcji  kształt u  Ф *,  Wk,  Q)  spełniają cych  warunki  brzegowe  płyty  jest  bardzo  ucią ż liwy.  T r u d n o ś ć  tę  m o ż na  o m i n ą ć  przez  dodanie  do  funkcjonału  (2.4)  całek  krzywoliniowych  rozcią gnię tych  na  brzeg  płyty,  k t у r e  po  minimalizacji  p r o w a d z ą   automatycznie  do  całek  (3.34)—(3.36),  [7].  MACIERZ  SZTYWNOŚ CI  ELEMENTU  PŁYTY  483  W  analizowanym  przypadku  do funkcjonału  (2.4)  należy  d o d a ć  wyraż enie  1  (4.6)  ­ 2  / ( « „ » ­ dw  dw  mM+Y NnzW+N,  u„+N,u\  c/s.  W y r a ż e n ie  (4.6)  ma  p r o s t ą  interpretację  fizyczną,  stanowi  bowiem  p r a c ę  obcią ż eń  brzego­ wych  na o d p o w i a d a j ą c y ch  i m  przemieszczeniach.  5.  Uwagi  koń cowe  Otrzymana  macierz  sztywnoś ci  (3.23)  m o ż e  być  przedstawiona  w postaci  sumy  trzech  macierzy:  macierzy  sztywnoś ci  płytek  zewnę trznych  pracują cych  jako  tarcze  w  p ł a s k i m  stanie  n a p r ę ż e n ia  [/VJ,  macierzy  sztywnoś ci  płytek  z e w n ę t r z n y ch  pracują cych  j a k o  płyty  cienkie  [k2], macierzy  sztywnoś ci  wynikają cej  z  trójwarstwowej  struktury  płyty  [k3]  'k?  k[2  0  0  0  0  к ?  k\2  ki3  (5.1)  [*] =  2 [ * J + 2 № J  +  t f e J ­ 2  k\l  k\ 2  0  +  2  0  0  0  +  k\2  0  0  0  0  0  k\3  M1  H 2  k33 3  C z y n n i k  2 w zależ noś ci  (5.1)  wynika  z istnienia  d w ó c h  p ł y t e k  zewnę trznych.  D l a  p r z y k ł a d u  podajemy  n i e k t ó r e  wyrazy  tych  macierzy:  d0k 8Ф)' [k{%  E  д Ф ^_Щ  E  ­v2  dx  dx  2(1 +v)  dy  dy  \ dxdy,  [ki1]­, J  ­ [kl\  j'j&t