Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  4,  11 (1973)  PRZYBLIŻ ONA  M E T O D A  ROZWIĄ ZYWANIA  PŁASKICH  N I E S A M O P O D O B N Y C H  F A L  UDERZENIOWYCH  W  DOSKONAŁYM  PRZEWODNIKU  W  P O L U  M A G N E T Y C Z N Y M  EDWARD  W Ł O D A R C Z Y K  (WARSZAWA)  1.  Wstęp  Zagadnienie  rozprzestrzeniania  się  fal  uderzeniowych  w  d o s k o n a ł y m  przewodniku  umieszczonym  w  p o l u  magnetycznym  było  badane  w  pracach  [1]  i  [2].  W  [1]  rozpatrzono  wypukło­wklę słą  i  wklę słą  c h a r a k t e r y s t y k ę  a—e.  Wyprowadzono  zwią zki  na  froncie  fali  uderzeniowej  i  przeprowadzono  j a k o ś c i o wą  analizę  strat  energii  przy  formowaniu  się   frontu  silnej  niecią głoś ci.  W  pracy  [2]  r o z w i ą z a no  explicite  problem  samopodobnej  (sta­ cjonarnej)  fali  uderzeniowej  dla  d o s k o n a ł e g o  przewodnika.  Celem  niniejszej  pracy jest  podanie  rozwią zania  problemu  propagacji  niesamopodobnej  fali  uderzeniowej  w  p ó ł p r z e s t r z e n i  wypełnionej  d o s k o n a ł y m  przewodnikiem  i  zanurzonej  w  polu  magnetycznym.  Fale  wzbudzone  są  ciś nieniem  mechanicznym  p r z y ł o ż o n ym  w  spo­ sób  nagły  do  powierzchni  p ó ł p r z e s t r z e n i .  Ciś nienie  to  do  chwili  t  =  r0  jest  stałe  w  czasie  i  n a s t ę p n ie  maleje  monotonicznie  do  zera.  N a d  półprzestrzenią  znajduje  się  p r ó ż n i a,  w  k t ó r ą  wypromieniowuje  fala  elektromagnetyczna.  Rozpatrzono  wklę słą  c h a r a k t e r y s t y k ę   p—  V  dla  o ś r o d ka  wypełniają cego  p ó ł p r z e s t r z e ń .  O  ile  autorowi  wiadomo,  problem  ten  nie  był  badany  w  literaturze.  W  punkcie  drugim  formułujemy  problem,  w  trzecim — dokonujemy  odcinkowej  linearyzacji  problemu,  natomiast  w  czwartym podajemy  analityczne  rozwią zanie  zagadnie­ nia.  2.  Sformułowanie  problemu  Rozpatrzmy  problem  przy  nastę pują cych  z a ł o ż e n i a c h:  1.  Stosujemy  w s p ó ł r z ę d ne  Lagrange'a  x,  y,  z,  t.  2.  Przyjmujemy  u k ł a d  osi w s p ó ł r z ę d n y ch  dla dolnej  i górnej  p ó ł p r z e s t r z e n i  j a k  na  r y s . l .  3.  Obcią ż enie  powierzchni  p ó ł p r z e s t r z e n i  zależy  tylko  od  czasu  t,  natomiast  nie  za­ leży  od  y,  z  (rys.  1).  P r z y ł o ż o ne  jest  w  s p o s ó b  n a g ł y ;  do  chwili  t  =  r0  jest  stałe  w  czasie  i  n a s t ę p n ie  monotonicznie  maleje  do  zera  (rys.  2).  4.  Przyjmujemy:  (2.1)  н х =Н ъ   =  0,  tf2  =  H.  5.  O ś r o d ek  wypełniają cy  d o l n ą  p ó ł p r z e s t r z e ń  jest  d o s k o n a ł y m  przewodnikiem, tj.  jego  p r z e w o d n o ś ć  a  ­*  oo  (w  przybliż eniu  z ł o t o ,  miedź ).  G ó r n a  p ó ł p r z e s t r z e ń  jest  p r ó ż n i ą.  6.  Pomijamy  w  r ó w n a n i a c h  sprzę ż onych  p ó l  dla  a  ~* oo  p r ą dy  przesunię cia.  7.  N i e  u w z g l ę d n i a my  przewodnictwa  cieplnego  i  lepkoś ci  mechanicznej  o ś r o d k a.  8.  Bę dziemy  b a d a ć  fale  uderzeniowe  ś redniej  intensywnoś ci  (do  kilkuset  k i l o b a r ó w ) .  444  E .  WŁODARCZYK  Dlatego  r ó w n a n i e  stanu  dla  przewodnika  przyjmujemy  w  postaci  j e d n o c z ł o n o w e j  bez  w p ł y w u  temperatury  [3]  i  [4]  (2.2)  A,  n  są  stałymi  charakteryzują cymi  dany  przewodnik  ( m i e d ź :  A  =  296  kbar,  n  =  4 , 8 ;  z ł o t o  A  =  310  kbar,  n  =  5,7,  [4]).  Rys.  1.  Rys.  2.  Zgodnie  z  powyż szymi  z a ł o ż e n i a mi  r ó w n a n i a  ruchu  o ś r o d ka  przyjmują  nastę pują cą   p o s t a ć :  H0  jest  tu  pierwotnym  stałym  polem  magnetycznym.  Przy  wyprowadzaniu  r ó w n a ń  (2.3)  wykorzystano  fakt,  że  pole  magnetyczne  w  dosko­ n a ł y m  przewodniku jest  odwrotnie  proporcjonalne  do  obję toś ci  właś ciwej  [1, 2]  (2.5)  я = —  W  p r ó ż ni  pole  elektromagnetyczne  opisane  jest  r ó w n a n i a m i  (2­6) -p r­Hftt  =  H*XlXl,  —^E*,,  =  E*XlXl,  gdzie  (2.7)  H*  =  #„+#?,  E*  =  Ef.  Hf  i  Ef  — są  to  s k ł a d o w e  fali  elektromagnetycznej  wypromieniowanej  od  przewodnika  w  p r ó ż n i ę.  Mając  na  uwadze  fakt,  że  (2.8)  Hf  =  ­Ef,  METODA  ROZWIĄ ZYWANIA  PŁASKICH  FAL  UDERZENIOWYCH  44  5  z  (2.6)  otrzymujemy  (2.9)  tff  =  ­E*  =flt­^­\,  gdzie /  jest  na  razie  d o w o l n ą  funkcją.  W a r u n k i  na  brzegu  półprzestrzeń  i  wynikają  z  cią głoś ci  składowyc h  stycznych  p o l a  elektrycznego  w  u k ł a d z i e  zwią zanym  z  granicą   (2.10)  El  =  Et*  oraz  z  cią głoś ci  ciś nienia  na  granicy  o ś r o d ka  i  p r ó ż ni  (2­11)  P=P*+Po(0,  gdzie p*  jest  składową  n o r m a l n ą  tensora  napięć  M a x w e l l a  w  p r ó ż ni  (2.12)  p*  =  T*Xl  =  ­~H*\  Z  (2.10)  po  przejś ciu  na  u k ł a d  Lagrange'a  otrzymujemy  (2.13)  E+^^­H^  E* +  ^ ­ H * .  с  с   P o n i e w a ż  w  przewodniku  zachodzi  zależ ność   (2.14)  E = ­ ^ ­ H ,  с   przeto  (2.15)  E* + ^^­H*  =  0 .  с   W p r o w a d z a j ą c  (2.9)  do  (2.15)  otrzymamy  MO  (2.16)  flt­ ,IU)\  с  H°  H0v0(t)  с  I  {  Vp(t)  c­v0(t)'  с   natomiast  z  (2.7),  (2.9)  i  (2.16)  wynika,  że  (2.17)  Я *  =  П " i .  с   Ostatecznie  warunek  brzegowy  (2.11)  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  w  postaci  ( 2 . 1 8 )  (UJf­,+«/Ł\'_  r  '.,„+*><"  gdzie  (2.19)  a  =  t  Mt)  446  E .  WŁODARCZYK  Z  warunku  cią głoś ci  masy  i  p ę du  na  froncie  fali  uderzeniowej  x  =  cp{t)  otrzymujemy  Ф ~У Х   =  vx_  Ф   ~  V0'  (2.20)  W a r u n k i  p o c z ą t k o we  są  nastę pują ce:  e ( x , 0 )  =  0 ,  K ( * , 0 )  =  K o ,  (2.21)  #*(*,  0)  =  H0,  H*(x,  0)  =  0,  Ł * ( * , 0 )  =  0,  E*(x,0)  =  0.  T y m  samym  problem  został  jednoznacznie  s f o r m u ł o w a n y .  3.  Aproksymacja zwią zku p  =  p (V) odcinkami prostymi  Rozwią zanie  quasi­liniowego  u k ł a d u  r ó w n a ń  w  warunkach  tworzenia  się  niestacjonar­ nego  frontu  fali  uderzeniowej  jest  skomplikowanym  problemem  r ó w n a ń  fizyki  matema­ tycznej.  D o  chwili  obecnej  w  literaturze  brak  jest  z a m k n i ę t e go  rozwią zania  tego  zagadnie­ nia.  Numeryczna  konstrukcja  rozwią zania  w  o g ó l n y m  uję ciu  jest  ż m u d na  i  p r a c o c h ł o n n a ,  mimo  zastosowania  elektronicznej  techniki  obliczeniowej.  Dlatego  w  niniejszej  pracy  pójdziem y  w  kierunku  pewnych  uproszczeń  natury  fizycznej,  aby  u z y s k a ć  z a m k n i ę tą   analityczną  f o r m ę  rozwią zania  tego  problemu.  Mianowicie,  z  prawa  zachowania  masy  wynika,  ż e:  (3.1)  ~  =  ­ e °  =  1 +u,x  =l+e,  e  =  u,x,  Vo  Q  gdzie  w jest  przemieszczeniem  o ś r o d k a.  W p r o w a d z a j ą c  (3.1)  do  (2.4)  otrzymamy  (3.2)  P  =  Ą ­  =  ( ­ i ­ I  ­  i -f -  у   A  \l+ej  \l+e  N a  rys.  3 w y k r e ś l o no  funkcję  P(s)  dla  miedzi  (linie  cią głe).  Podobne  przebiegi  uzyskuje  się  dla z ł o t a .  Jak  wynika  z zamieszczonych w y k r e s ó w  funkcję  P(e)  w zakresie  s t o s o w a l n o ś ci  r ó w n a n i a  stanu  (2.2)  (P  <  2,5)  z  wystarczają cą  dla  celów  praktyki  d o k ł a d n o ś c ią  m o ż na  a p r o k s y m o w a ć  w  strefie  obcią ż enia  linią  ł a m a n ą  złoż oną  z  d w ó c h  o d c i n k ó w  prostych  (linie  przerywane  na  rys.  3),  k t ó r y c h  nachylenie  i  d ł u g o ś ć  zależy  od  parametru  a  (począ t­ kowego  p o l a  magnetycznego  H0).  P o n i e w a ż  r ó w n a n i e  stanu  (2.2)  jest  również  pewnym  przybliż eniem  w y n i k ó w  eksperymentalnych,  przeto  proponowana  odcinkowa  aproksy­ macja  funkcji  P(e)  jest  tym  bardziej  uzasadniona.  W  strefie  odcią ż enia  przyjmiemy,  że  funkcja  P(e)  jest  liniowa  (rys.  4).  M a m y  w ó w c z a s :  p  =  Aa­E0e  =  4 a ­ Ł 0 | J i ­ ­ l j ,  j e ś li  Aa  <  p  <  p*(a),  METODA  ROZWIĄ ZYWANIA  PŁASKICH  FAL UDERZENIOWYCH  447  0  0.1  e*  02  Rys.  3  oraz  (3.3)  p  = y 5 * ( a ) ­ Ł , ( Ł ­ Ł * )  =  (E1­E0)e*+Aa­E1î ­­\  jeś li  p  ot p*(a);  natomiast  /  V  (3.4)  p  =  рч{х )  +  Е г е ^х )  ­  E2s  =  pv(x)  +  E2  е ^х )  ­  E21  —  ­  1  w  strefie  odcią ż enia.  Z a  frontem  fali  uderzeniowej  postulujemy  proces  odcią ż enia.  W ó w c z a s  ruchem  o ś r o d ka  rzą dzą  r ó w n a n i a  448  E .  WŁODARCZYK  P  1  tga„­E0  11  tga1=E1  1 1 tgaz=E2  ы   У \а °  \ V  Rys. 4  (3.5)  l  .  l  .  V,x  =  ­  rr~P"',   V>t  =  P'  Ł2  Q0  Powyż szy  u k ł a d  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  m o ż na  zastą pić  r ó w n o w a ż n ym  u k ł a d e m  r ó w ­ n a ń  algebraicznych na charakterystykach  o  nastę pują cej  postaci  (3.6)  gdzie  v  =  =p—­­ ­ D + C * ,  jeś li  x =  ± p 0 o 2 r + c T ,  Г  Po  Warunek  brzegowy  (2.18)  po uwzglę dnieniu  (3.4) oraz  faktu, że  »o(0  (3.7)  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  w nastę pują cej  formie  pa(0)+E2ea(0)­E2 (3.8)  P o n i e w a ż   Px(°)  =  Pm,  Ł*(0) =  em  przeto  z  (3.8) mamy  <  1,  F ( 0 ' i ) _ i  v0  =  Aoc+p0(t).  Aa­p*  pm­p'*  E0  Ei  '  W a r u n k i  na froncie  fali  uderzeniowej  przyjmują  obecnie  p o s t a ć   (3.10)  +  я 2  8гт '  METODA  ROZWIĄ ZYWANIA PŁASKICH  FAL UDERZENIOWYCH  449  W a r u n k i  p o c z ą t k o we  nie  ulegają  zmianie.  Przejdziemy  obecnie  do  analitycznego  rozwią zania  uproszczonego  w  ten  s p o s ó b  pro­ blemu.  4.  Rozwią zanie  problemu  Falowy  obraz  rozwią zania  przedstawionego  wyż ej  problemu  przyjmuje  p o s t a ć  p o k a ­ zaną  na  rys.  5.  Płaszczyzna  x,  t  podzielona jest  na  dwa  obszary.  Obszar  I  zawiera  stacjo­ narny  odcinek  frontu  fali  uderzeniowej  w y w o ł a n y  stałym  obcią ż eniem  pm  działają cym  w  czasie  0  <  t  ^  т 0 .  W  obszarze  II  propaguje  się  niestacjonarny,  krzywoliniowy  odcinek  frontu  fali  uderzeniowej  generowanej  przez  maleją ce  w  czasie  ciś nienie  p0(t).  Analityczne  rozwią zanie  problemu  w  poszczególnych  obszarach  kształtuje  się  nastę pują co.  P  Pm  0  x  Rys.  5  Obszar  I.  W  obszarze  tym  zgodnie  z  r o z w i ą z a n i a mi  podanymi  w  [1]  i  [2]  propaguje  się  stacjonarny  (ze  stalą  p r ę d k o ś c i ą)  front  fali  uderzeniowej  x  =  i(ti)­x  t —  t,  =  t +  a2  ia 2H 1—b0. Qo  аг   D l a  jednoznacznego  rozwią zania  problemu  potrzebna  jest  jeszcze  z n a j o m o ś ć  p o ł o ż e n ia  frontu  fali  (p2{t*) na  płaszczyź nie  x, t.  Z  r ó w n a n i a  dodatniej  charakterystyki  wynika, że  (  }  dt*  +  a2  dt*"'  Poza  tym  mamy  ,4.16)  * , « » ­ # .  Z  (4.15)  i  (4.16)  otrzymujemy  dę2(t*)  а2ф2(Ф   ' 2  (4.17)  Л *  e 2 ­ 9 > 2 ( f * ) '  452  E.  WŁODARCZYK  a  po  s c a ł k o w a n i u  '*('!)  (4­18)    Л *,  J  a2­ę2(tf)  gdzie  (4.19)  / ,  =  o,  ­  D„  W  ten  s p o s у b  okreś liliś my  expHcite  n a s t ę p ny  odcinek  frontu  fali  uderzeniowej  KlK2  i  w a r t o ś ci  funkcji  v2(x,  ł)  i p2(x,  0  w  strefie  T Q T I ^ A ; ,  T 0  (rys.  5).  D l a  rozwią zania  problemu  w  n a s t ę p n y ch  strefach  obszaru  II  stosujemy  wyprowadzone  wyż ej  zależ noś ci  w  s p o s у b  rekurencyjny.  Mając  o k r e ś l o ne  funkcje  v2(x,  t)  i  p2(x,  t)  ł a t w o  znajdujemy  p o z o s t a ł e  parametry  problemu.  I  tak,  z  (3.10) t  i  (4.7),  mamy  (4.20)  V92(t%)  =  V0  1­е *  ( a ) ( l  ­  Ы ­ j  Natomiast  z  (3.4)  otrzymujemy:  al  • mv  (4.21)  V0  ­ 1  ^2  S k ł a d o w e  pola  magnetycznego  i  elektrycznego  odpowiednio  w y n o s z ą :  я 2(х,о = я 0 ­ ­ Р   (4.22)  V 2 ( x ,  г) '  E2(x,t)=  ­^l±H2{x,t).  T y m  samym  uzyskaliś my  p e ł n e  z a m k n i ę te  rozwią zanie  d o ś ć  z ł o ż o n e go  problemu.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  S.  KALISKI,  Płaska  fala  uderzeniowa  w  ciałach  stałych  w  polu magnetycznym  przy doskonałym prze­ wodnictwie  elektrycznym,  Biul.  W A T ,  6 (95),  (1960).  —  The plane  elastic  shock  wave  in perfectly  con­ ducting solids  in a magnetic field,  Proc.  Vibr.  Probl.,  1, 2  (1961).  2.  J . MICHALEC, Samopodobna fala uderzeniowa  w stałym  oś rodku  doskonałe  przewodzą cym  w polu magnetycz­ nym,  Biul.  W A T ,  3  (175),  (1967).  3.  Я . Б . З Е Л Ь Д О В И Ч,  Ю . П . Р А Й З Е Р,  Ф и з и к а  у д а р н ы х  в о л н и в ы с о к о т е м п е р а т у р н ы х  г и д р о д и н а м и ч е с к и х   я в л е н и й ,  М о с к ва  1966.  4.  В . П .  Ч Е Л Ы Щ Е В,  Б . И .  Ш Е Х Т Е Р,  Л . А .  Ш У Ш К О,  О б  и з м е н е н и и  д а в л е н и я  н а  п о в е р х н о с т и  п р е г р а д ы   п р и  к о н т а к т н о м  в з р ы в е з а р я д а  В В ,  Ф и з и ка  в з р ы в а,  2,  6  (1970).  5.  Е.  WŁODARCZYK,  О pewnym  zamknię tym  rozwią zaniu  problemu propagacji  uderzeniowej fali  odcią ż enia  w biliniowym  oś rodku  sprę ż ystym,  Biul.  W A T ,  6  (238),  (1972).  —A  closed­form  solution  of  the pro­ pagation problem  of  an  unloading shock  wave  in a bilinear elastic body,  Proc.  Vibr.  Probl.,  3,  13  (1972).  METODA  ROZWIĄ ZYWANIA  PŁASKICH  FAL  UDERZENIOWYCH  453  6.  E . WŁODARCZYK,  Propagacja  płaskiej  uderzeniowej fali obcią ż enia  w biliniowym  prę cie  sprę ż ystym,  Biul.  W A T ,  8 (240), (1972). — Propagation  of a piane loading shock wave  in a bilinear bar, Proc.  Vibr.  Probl.,  4, 13 (1972).  7.  E . WŁODARCZYK,  Propagacja  płaskiej  fali uderzeniowej  w oś rodku  trójskładnikowym  ze  sprę ż ystym  od­ cią ż eniem,  Biul.  W A T ,  1 (245), (1973). — Propagation of a plane shock wave in a three­component medium  with elastic unloading,  Proc.  Vibr.  Probl.,  1, 13 (1973).  Р е з ю ме   П Р И Б Л И Ж Е Н Н ЫЙ  М Е Т ОД  Р Е Ш Е Н ИЯ  П Л О С К ИХ  Н Е А В Т О М О Д Е Л Ь Н ЫХ  У Д А Р Н ЫХ   В О ЛН  В  И Д Е А Л Ь Н ОМ  П Р О В О Д Н И КЕ  В  М А Г Н И Т Н ОМ  П О ЛЕ   В  р а б о те  р е ш е на  з а д а ча  о  р а с п р о с т р а н е н ии  п л о с к ой  н е а в т о м о д е л ь н ой  у д а р н ой  в о л н ы,  р а с п р о­ с т р а н я ю щ е й ся в п о л у п р о с т р а н с т в е,  з а п о л н е н н ом  и д е а л ь но  п р о в о д я щ им  м а т е р и а л ом и н а х о д я щ и м ся   п од д е й с т в и ем  м а г н и т н о го  п о л я, н а п р а в л е н н о го  п а р а л л е л ь но  п о в е р х н о с ти  п о л у п р о с т р а н с т в а.  В о л ны   в о з б у ж д а ю т ся  м е х а н и ч е с к им  д а в л е н и е м,  п р и л о ж е н н ым  м г н о в е н но  к  п о в е р х н о с ти  п о л у п р о с т р а н­ с т в а,  и  о с т а ю щ и м ся  п о с т о я н н ым  до  н е к о т о р о го  м о м е н та  в р е м е ни  t =  т 0 , а з а т ем  м о н о т о н и ч е с ки   и с ч е з а ю щ е го  до н у л я.  Н ад п о л у п р о с т р а н с т в ом  н а х о д и т ся  п у с т о т а,  в к о т о р ую  и з л у ч а е т ся  э л е к т р о­ м а г н и т н ая  в о л н а.  П о л у ч е но  з а м к н у т ое  р е ш е н ие  д ля у п р о щ е н н ой  з а д а ч и.  У п р о щ е н ие  с о с т о ит в т о м,  ч то  у р а в н е н ие  с о с т о я н ия  а п р о к с и м м и р у е т ся  к у с о ч н о ­л и н е й н ой  з а в и с и м о с т ь ю,  д о п о л н е н н ой  ч л е­ н а м и,  с в я з а н н ы ми  с  м а г н и т н ым  п о л е м.  Н а с к о л ь ко  и з в е с т но  а в т о ру  с т а т ь и,  д а н н ая  з а д а ча  е ще  не   и з у ч а л а сь  в  л и т е р а т у р е.  S u m m a r y  A N  A P P R O X I M A T E  M E T H O D  OF SOLVING  P L A N E ,  NON­SELFSIMILAR  S H O C K  WAVES  IN  A  P E R F E C T  C O N D U C T O R  SUBJECT  T O  M A G N E T I C  F I E L D  The  paper presents a solution to the problem of propagation of a plane, non­selfexited  impact wave  moving in a perfectly conducting  halfspace  subject to a magnetic field directed parallel to its surface.  The  waves are excited by a mechanical pressure applied instantaneously to the surface of the halfspace; at the  instant  t  =  T 0 it  is  constant  in time  and then  monotonically decreases to  zero.  Electromagnetic waves  are radiated into the vacuum over the halfspace. A closed­form solution of the simplified problem is found.  The simplification consisted in a sectionally linear approximation of the constitutive equation supplemented  with magnetic field  terms. In author's opinion, the problem has not been considered in literature thus  far  WOJSKOWA  AKADEMIA  TECHNICZNA  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia 9 marca  1973 r.  8  Mechanika  Teoretyczna 4/73