Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1, 10  (1972)

DYN AMIKA  SZ TYWN E J  PŁYTY  SP OCZ YWAJĄ CEJ  N A  SPRĘ Ż YSTO- PLĄ STYCZN YM
P O D Ł O Ż U   Z E  ZM IEN N Ą   G RAN ICĄ   P LASTYCZ N OŚ CI

C Z Ę ŚĆ  I I .  SP R Ę Ż YSTE  OD C IĄ Ż EN IE

.  JERZY  B A U E R  (WROCLAW),  EDWARD   W Ł O D A R C Z Y K  (WARSZAWA)

1.  Wstę p

W niniejszej  drugiej  czę ś ci pracy rozwią ż emy  badan y w  [1] problem dla oś rodka (gruntu)
ze  sprę ż ystym  odcią ż eniem  (przyjmujemy  m odel  P ran dtla —  rys.  1).  M atematyczny  opis

Rys.  1

problem u  przedstawiają   równ an ia  (2.1)- (2.7)  z  Cz.  I  [1],  z  tym,  że  zwią zek  fizyczny

w  strefie  odcią ż enia  (2.4)  w  [1]  przyjmuje  obecnie  postać

(1.1) or(s,  x)

gdzie  a
o
(x)  oznacza  n aprę ż en ie  n a  froncie  fali  odcią ż enia,  n atom iast  E

2
  jest  moduł em

odcią ż enia.  P ozostał e ozn aczen ia, ja k  w  [1].

Otrzym ane  w  niniejszej  pracy  wyniki  p o  porówn an iu ich z  rezultatam i czę ś ci  I  pozwolą
ustalić wniosek,  przy jakich  wartoś ciach  m oduł u  odcią ż enia E

2
  m oż na stosować  w  praktyce

inż ynierskiej  bardziej  efektywny  w  obliczeniach  model  grun tu  ze  sztywnym  odcią ż eniem.
Obecnie  przejdziemy  do  kon strukcji  rozwią zania  problem u.



94 J.  BAU ER,  E.  WŁOD ARCZYK

2.  Konstrukcja  rozwią zania  problemu

D la  sformuł owanego  w  [1]  problem u,  uzupeł nionego  sprę ż ystym  odcią ż eniem  (1,1)
falowy  obraz  rozwią zania  przyjmuje  postać  pokazan ą   n a  rys.  2.  Analityczne  rozwią zanie
problem u  kształ tuje  się   nastę pują co:

Strefa  obcią ż enia. Strefa  obcią ż enia  obejmuje  obszary  1,2  i  3.  Rozwią zanie  problem u
w"tych  obszarach  skon struowan o  w  [1].  D latego  ograniczymy  się   tutaj  do  przytoczenia

m
Rys.  2

gotowych  wzorów  n a  naprę ż enie i  prę dkość  w  obszarze  3  oraz  równ an ia  okreś lają ce  front
plastycznej  fali  obcią ż enia,  z których  bę dziemy  w  dalszym  cią gu  korzystać  przy  konstrukcji
rozwią zania  w  strefie  odcią ż enia.  Z godnie  z  [1] mamy

(2.1)

gdzie

Xi  =

oraz

< T 3 ( * , 0  =

,  t) =   - ^

,  x
z
  =  k\ t

(2.2)  -   (r?+   ^ -

r— J^j  _
dl - / '(O,



D YN AM I K A  SZ T YWN E J  P Ł YTY  SP OC Z YWAJĄ C EJ  N A  SP RĘ Ż YSTO- P LASTYCZ N YM   P O D Ł O Ż U   95

gdzie  obecnie

Strefa  sprę ż ystego  odcią ż enia.  R uchem  oś rodka  zgodnie  z  (2.1) i  (2.2) z  [1] oraz (1.1)
rzą dzi  tutaj  nastę pują ce  równ an ie:

(2.3)  "„- ^̂ /̂ 'wH
\ Ł

0
  h

l
  I Q

0

o  ogólnym  rozwią zaniu

gdzie

<*m  "=  °o ( 0 ) ,  «2 =

0  i  W —dowolne,  róż n iczkowalne  funkcje.

Zajmiemy  się   obecnie  konstrukcją   rozwią zania  w  obszarze  4.  Wykorzystują c  (2.4),
pole  n aprę ż eń  i prę dkoś ci  zapiszemy  nastę pują cymi  wzoram i:

(2 . 5 )

Z  warun ków  cią gł oś ci  n aprę ż eń  i  prę dkoś ci  na  froncie  fali  odcią ż enia  .r =   ^(?)  otrzy-
mujemy

(2.6)

gdzie



96 J.  BAU ER,  E.  WŁODARCZYK

Zał óż my  chwilowo,  że funkcje  s(t)  i  k(t)  są   zn an e. Wówczas  naprę ż enie  a
A
(x,  t)  i  prę d-

kość  v
4
(x,  t)  m oż na  przedstawić  w  nastę pują cej  postaci:

(2. 7)

gdzie

a
2
  a

2

(2.8)  x1E  =   k[t~ -̂ + ~-

x
2A

  =  ,
X  X2A

a
2

a. a2  ax  / '

, I,
/

a
2

Interpretacja  geometryczna  tych  wielkoś ci  po dan a  jest  n a  rys.  3.  Argum en ty  w  na-
wiasach  wyraż eń  (2.8)  m oż na  uważ ać  jako  współ rzę dne  n a  osi  t,  kolejno  pun któw  A,  B,

t

ts

Xl

%

x

^ ^

 ̂ i\

/ /

2 -______-—

\
I

OK

D

— •

i—

m

Rys.  3 Rys.  4

C, D , E,  F.  Przyspieszenie  n a  brzegu  © 4(0, t)  otrzymujemy  róż niczkując  wyraż enie  (2.7)2
po  podstawieniu  i  =   0 we  wzorach  ( 2 . 8 ) l i 2 .



D YN AM I K A  SZ TYWN E J  P Ł YTY  SP OCZ YWAJĄ CEJ  N A  SP RĘ Ż YSTO- P LASTYC Z N YM  P O D Ł O ŻU   97

U wzglę dnienie  tak  otrzym an ego  przyspieszenia  i  naprę ż enia  w  warun ku  brzegowym

(2.6) w  [1] prowadzi  do  równ an ia  n a  front  fali  sprę ż ystego  odcią ż enia

(2.9)  _ < + ± L ( £

gdzie  obecnie

(2.9a)  x$
B
 =  * U + ~  ]•   *L =  *

Wielkoś ci  x
1E

,  x
1F

,  X
2
D  i  *ic  obliczamy  wedł ug  (2.8)  uwzglę dniając  (2.9a).  P ozostał e

wielkoś ci  dan e  są  wzoram i:

(2.10)

Wprowadzając  poch odn e  w  poszczególnych  pu n kt ach  frontu  odcią ż enia  (A,B)  i  obcią-

ż enia  (C,  D,  E,F)  m am y

a
2
s'

B
'  V "  a

2
+s'

A

(2.11)  *«- ;rZFn

Wyraż enia  (2.9) —  (2.11)  ł ą cznie  stanowią  równ an ie  okreś lają ce  front  fali  sprę ż ystego
odcią ż enia  z  warun kiem  począ tkowym  x  =   s(t,„)  =   0.

R ówn an ie  to jest  waż ne  w  przedziale  t„,  <  t  <  t
K
  - .  P o rozwią zaniu  równ ań  okre-

a
2

ś lają cych  front  plastycznej  fali  obcią ż enia  i front  fali  sprę ż ystego  odcią ż enia  moż emy  przy-
stą pić  do  kon struowan ia  pól  n aprę ż eń  i  prę dkoś ci  w  pozostał ych  obszarach  pł aszczyzny
fazowej  (rys.  2).  Wykorzystan ie  jedn orodn ych  warun ków  począ tkowych  w  obszarach
7,  10,  . . . , 3 «+ l ,  oraz warun ków  cią gł oś ci  n a granicach poszczególnych  obszarów  (n >  2),
pozwala  n apisać  rozwią zanie  ogóln e  w  po st aci:

obszary  7,10,  ...,  3 n + 1

7  M ech an ika  teoretyczn a



98  J.  BAU E R ,  E.  WŁ O D AR C Z YK

obszar  5

v
5
  =   S + i ;

obszary  S,  7 7 , . . . ,  3 «— 1

(2.13)
  O u m l

  =  -   %- *'»- !  +  Ajp r j

a 2  a 2

«3 B- i  -   ł P J n - i+ yic ii- i};

obszary  6,  9,  ...,  3 n

1?  2

- o  Ei

N ieznane  funkcje  wyznaczymy  kolejno;  ^ >'
3
„^

1
  z  warun ku  brzegowego,  a  W

3
„ i  < ? 3 n + 1

z warunków  cią gł oś ci  naprę ż eń i prę dkoś ci  n a linii x  — x
K
.  D la wyznaczenia  funkcji <&'

3ll+1
,

z  warunku  brzegowego  otrzymujemy  równanie  róż niczkowe  pierwszego  rzę du.  Warunek
począ tkowy  dla  tego  równania  dostajemy  z  zał oż enia  cią gł oś ci  prę dkoś ci  pod  obiektem,
co  pocią ga  za  sobą   i  cią gł ość  naprę ż enia  (fale  sł abej  niecią gł oś ci).

Rozwią zanie  w  obszarach  «  >  5  m oż na  również  otrzym ać  wykorzystują c  zwią zki  na
charakterystykach  (metoda  charakterystyk).

Przykł adowo podajemy  wyznaczenie  pola naprę ż enia i prę dkoś ci  w obszarze  5.  U wzglę d-
nienie  (2.12)2  i  (2.6)2  w  warunku  brzegowym  pozwala,  po  speł nieniu  warun ku  cią gł oś ci

prę dkoś ci  w  punkcie  0, t
K
  —I ,  wyznaczyć  nieznaną   funkcję   &

s
\ t  ,  Tak  wię c  pola

\
  c

hl  \   0- 21
naprę ż eń  i  prę dkoś ci  mają   postać

a  a  \  a
2
  /   a

2
  \   a

2

(2.15)

v
s
(x,  t)  ==   -

gdzie

> ~tk +  f± - ± )  ?

" 2



D YN AM I K A  SZ TYWN E J  P Ł YTY  SP OC Z YWAJĄ C EJ  N A  SP RĘ Z YSTO- P LASTYC Z N YM   P O D Ł O ŻU   99

( 2- 1 6)  ,  / „   \   via  \

—+ i  tec),
Vfl2  /

P ozostał e  wielkoś ci  obliczamy  wedł ug  wzorów

x
1F
  i  x

2C
  otrzymujemy  z  powyż szych  wzorów  wstawiając

fit  X K

3.  Analiza  osobliwoś ci  równania  frontu  fali  sprę ż ystego  odcią ż enia

Zajmiemy  się  zbadaniem  charakteru  krzywej  x  =   s(t)  w  otoczeniu  pun ktu  0, t
m
  (po-

czą tek  fali  odcią ż enia).  Informacje  te  są  konieczne  przy  ustawianiu  algorytmu  numerycz-
nych  obliczeń  w  strefie  odcią ż enia.

Jeż eli  w  obszarze  odcią ż enia,  dla  x  =   0,  z  czasem  t  bę dziemy  dą ż yć  do  / „,,  to  punkty
A,  B  pokryją  się  z  pun ktem  0,  pun kty  E, F  z  pun ktem  H,  a  punkty  C, D  z  punktem  G
(rys.  3). W  konsekwencji  przyję cia,  że  t  — t,„  z  (2.8)  otrzymamy

X*  =   X*  =  0 ,  Xl(t
m
)  =   X

lE
  =  X

1F
,  X

2
(t

m
)  —  %2D  —  %2C-

Wzory  (2.10)  dla  czasu  t  =   t
m
  dają  wyraż enia

v*  J'lfL   v*  -   Ó

(3- 1)

Czas  t„,  okreś lamy  z faktu,  że  naprę ż enie pod  pł ytą  osią ga  dla  t  =   t
m
  ekstremum, zatem

(3.2)  tf8|,  ( 0 , 0 * 0 .

Równość  ta  po  wykorzystaniu  (2.1)!  ma  postać

(3.3)  £ / '(*i)*i + iV/ 'fe)x2  =   0.

7 *



100  J.  BAUER,  E.  WLOD ARCZYK

P o  zróż niczkowaniu  po t  obu stron  równania  (2.2) i  podstawieniu  t =  t,„,  lewa  strona
równania,  a wię c  i prawa,  m a  wartość  zero jako  pochodn a naprę ż enia  w jego  ekstremum.
W  wyniku  tego  otrzymujemy

(3.4)  m[- L f"(x
1
Xx

i
y- L f'(x

1
)x

1
+N f"(x

2
)(x

2
)

2
+N f(x

2
)x

2
]- p'(t

m
)  =   0.

Poza  tym równanie  (2.2)  moż na zapisać w nastę pują cej  skróconej  form ie:

(3.5)  - a°+^ - L f(x
!
)+^

1
- N f(x

2
)- \ - mL f'(x

1
)x

1
- mN f'(x

2
)x

2
+p(t

m
)  =  0.

«i  "i

W  powyż szych  zapisach  przyję to:  x
t
(t^ )  =  x

it
  x

2
(t,„)  =   x

2
,

r  — k(f  4-
Xl
\   v  — kit  XAxl  —  K\   'mi  I >  X2  —  K\  tm  —-  I,

\    ̂ /   \   "  /

W  ten sposób  otrzymaliś my  trzy  toż samoś ci  (3.3)—(3.5),  które  wykorzystamy  przy
badaniu  frontu  fali  sprę ż ystego  odcią ż enia.

Równanie  frontu  sprę ż ystego  odcią ż enia  (2.9),  po  uwzglę dnieniu  (2.10),  m oż na wy-
razić  w sposób  nastę pują cy:

(3.6)  M
i
x

gdzie

2± - pL  [Lf'(xlF)x[ F+ Nf'(x2C)x2C],

D la  czasu  i =  t
m
  współ czynniki  równania  (3.6)  M l 5 M 2,  R są   równe  zeru  ze wzglę du na

(3.3)—(3.5). N ie moż na wię c  ze  wzoru  (3.6), po uwzglę dnieniu  w nim wyraż eń  n a x*
B
 i  x

2A

z  (3.1), obliczyć  począ tkowej  prę dkoś ci  frontu  fali  odcią ż enia s'
o
.  D owodzi  to, że równanie

(3.6)  posiada  pun kt  osobliwy.  W  celu  znalezienia  począ tkowej  prę dkoś ci  frontu  fali  od-
cią ż enia  przeprowadzimy  analizę   pun ktu  osobliwego,  uogólniają c  m etodę   FROMMERA  [3].



D YN AM IKA  SZTYWN EJ  P ŁYTY  SPOCZYWAJĄ CEJ  N A  SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZN YM   POD ŁOŻU   101

W  bezpoś rednim  otoczeniu  pu n kt u  x  — 0,  t =  t,„, p o  przyję ciu  oznaczeń  x*  —  xf
B
,

x
*  _

  X
*

A  f
  wielkoś ciom  x*  i  x*  nadajemy  znaczenie  zmiennych  niezależ nych. Przy tym

zał oż eniu  współ czynniki  równ an ia  (3.6)  M
lt
  M

2
,  R  są   funkcjami  trzech  zmiennych  nie-

zależ nych  t, x*,  x*.  Obliczmy  róż niczki  zupeł ne współ czynników  równania  (3.6)  zacho-

wują c  postać  tej  równ oś ci

(3.7)  {M
ul
ch+M

i
^ d

=   R,, dt+R,
 x
*dxf+R,

Wystę pują ce  w tym  wyraż eniu  poch odn e czą stkowe,  po podstawieniu  w nich x'f  = x* =  0
i  /   =   t,„  oraz po uwzglę dnieniu  (3.3)- (3.5),  mają   wartoś ci

(3.8)  a2  a
x
  a

2
  a,

M
ut
  =  T

u
  M

2
,

t
=- T ,,

gdzie

T l
  =   mf

n
  f \   iL f"(x

1
)(x

i
y+L f'(x

1
)x

1
- - \ - N f"(x

2
Xx

2
r+N f'(x

2
)x

2
\ ,

zaaza
l
a

2

( 3 l 9 )
  f  ^   *

T
2
 -   W C g  / , 2°

lJ
  l- If'OcMx,)*- I/ XxJ

R ówn ość  (3.7) nie jest  prawdziwa  dla  dowolnych  przyrostów  dt, dx* i  dx*. M amy
prawo  ż ą dać  speł nienia tej równ oś ci  tylko  wtedy,  jeż eli  do pun ktu  0  bę dziemy  zdą ż ać po
krzywej  s(t), a to prowadzi  do zależ noś ci

m m  dx*  Y* -   a2S'°  dx* - *• *-
{iAtJ)

  ~dT -
Xx

~  1 ^ '  df  ~
X2

~
U wzglę dniając  (3.10)  w  (3.7) otrzym am y  równ an ie  algebraiczne  stopnia  czwartego  na
począ tkową   prę dkość  fron tu  fali  odcią ż enia só

+   2 —  Jo =  U.
a 2  a 2  r 2  fl2

R ówn an ie  to posiada  dwa rzeczywiste  pierwiastki.  Rozwią zanie  .?ó =  0  należy  odrzucić,
pon ieważ  jest  sprzeczne  z  waru n kam i  cią gł oś ci  w  otoczeniu  pu n kt u  0,  t

m
.

P rę dkość  począ tkową   okreś la  drugi  pierwiastek

J.  \   '  _  /   Ti

(3.12)  J o = a 2 - |/   __J_i-  +  |_ _ _ r + _ - )  _ f l 2 l / _ i _  ^ ^

N a  podstawie  (3.9) i  (3.3) m am y

(3.13)  n



102  J.  BAU ER,  E.  WŁOD ARCZYK

R ozpatrzm y  kilka  praktycznie  waż nych  przypadków  postaci  wzoru  (3.12)  w  zależ-
noś ci  od  stosunku  T

1
/ T

2
.

1.  Wzrost  granicy  plastycznoś ci  oś rodka  jest  liniową   funkcją   gł ę bokoś ci  f(x)  =  Ax.
Wówczas  mamy

(3- 14)  ^ .  =
T

2.  Oś rodek  jedn orodn y  f(x)  =   0.  W  tym  wypadku  front  fali  plastycznej  degeneruje
się   do  charakterystyki  plastycznej  x  =   cti(t—t

s
).

W  konsekwencji  x
2
  =  x\   =   0,  a  zatem

n  1  ^ l  — — 1
• L  2

3.  Sztywne  odcią ż enie.  D la  sztywnego  odcią ż enia  a
2
  - >  oo  i  p o  przejś ciu  granicznym

w  (3.12) —  mamy

... _  „-  n(3.16)
T

2

co  się   pokrywa  ze  wzorem  (4.15)  w  [1]  otrzym an ym  dla  sztywnego  odcią ż enia  w  czę ś ci  I.
Tym  samym  pokazaliś my,  że  istnieje  krzywa  cał kowa  równ an ia  (2.9)  przechodzą ca

przez  pun kt  x  — 0,  t  =   t
m
  i  znaleź liś my  styczną   (prę dkoś ć)  z jaką   startuje  z  pun ktu  osob-

liwego  front  fali  sprę ż ystego  odcią ż enia.  P ostać  frontu  fali  odcią ż enia  okreś limy  z  równa-
nia  (2.9),  rozwią zując  go  metodą   R un ge- K utta  [4].

4.  Przykł ad  liczbowy

W  niniejszym  punkcie,  w  oparciu  o  wyprowadzone  wyż ej  wzory,  zbadam y  iloś ciowy
wpł yw  param etrów  oś rodka  i  przył oż onego  obcią ż enia  n a  ruch  pł yty  i  reakcję   przekazy-
waną   przez  nią   n a  oś rodek.

Celem  przeprowadzonych  obliczeń  numerycznych  jest  okreś lenie  wartoś ci  współ czyn-
nika  odcią ż enia  fi

x
  =  a

2
\ a

t
,  dla  którego  m oż na  stosować  w  praktyce  inż ynierskiej  bar-

dziej  wygodny  i  efektywny  w  obliczeniach  model  podł oża ze  sztywnym  odcią ż eniem.
N ajwię kszy  wpł yw  sprę ż ystego  odcią ż enia  wystę puje  dla  E

2
  — E

o
  (patrz  rys.  1). Z  tego

powodu  w  obliczeniach  przyję to  a
2
  =  a

0
,  co  oznacza,  że  [JL

1
  — / j,  — a

Q
ja

i
.  P oza  tym  za-

ł oż ono

(4.1)  Ax)  =   Ax,

(4- 2)

Wielkoś ci  bezwymiarowe,  potrzebn e  do  przeprowadzen ia  obliczeń  numerycznych  przyj-
mujemy  takie  same,  jak  w  czę ś ci  I  [1].

Jak już  wspomniano  w poprzedn ich  pun ktach  front  plastycznej  fali  obcią ż enia  okreś-
lon o  za  pomocą   zmodyfikowanej  m etody  kroków,  n atom iast  do  rozwią zania  równ an ia
na  front  fali  sprę ż ystego  odcią ż enia  zastosowan o  m etodę   R u n ge- K u t t a.  Z najom ość  do-



u,v,
0,1W,-Q

U,V,
0,1W,-Q

0,4 ~

0,2

-0,2 -

k-W', y=3; Q°=0,25, n=3, k-,-0,5



-0,2

Rys.  7

1,2  1,4  T

- 0 , 2 -

Rys.  8

[104]



DYNAMIKA  SZTYWNEJ  PŁYTY  SPOCZYWAJĄ CEJ  NA  SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZNYM   PODŁOŻU   105

kł adnej  wartoś ci  począ tkowej  prę dkoś ci  frontu  fali  odcią ż enia  (patrz  wzór  (3.12)],  oraz
fakt,  że  osobliwość  równ an ia  (2.9)  w  punkcie  0,  t,„ jest  typu  siodł a, zwię kszyły  w  znacznym
stopniu  dokł adn ość  obliczeń  —  praktycznie  w  badanych  przedział ach  uzyskano  ś cisłe
wyniki  n a  param etry  ruchu  pł yty  i  reakcję   przekazywaną   przez  nią   n a podł oż e.

P rzykł adowe  wyniki  obliczeń  param etrów  ruchu  pł yty,  tj.  bezwymiarowe  współ czyn-
n iki:  przemieszczenia  U,  prę dkoś ci  V,  przyspieszenia  W   oraz  reakcji  pod  pł ytą   Q  poka-
zane  są   n a  rys.  5- 8.

Z  wykresów  zamieszczonych  n a  rys.  5  i  6  m oż na  zauważ yć,  że  zwię kszenie  gradientu
wzrostu  granicy  plastycznoś ci  oś rodka  (wzrost  k

x
)  powoduje  zmniejszenie  wpł ywu  sprę -

ż ystego  odcią ż enia  (linia  przerywana)  w  stosun ku  do  sztywnego  odcią ż enia  (linia  cią gł a).
Wynika  to  z  faktu  m alen ia  pę tli  strat  n a  odkształ cenia plastyczne  ze  wzrostem  k

x
.

N a  rys..6,  7  i  8  pokazujemy  zwię kszanie  się   wpł ywu  sprę ż ystego  odcią ż enia  na  para-
metry  ruchu  pł yty  w  m iarę   malenia  współ czynnika  ju

1
  =  JX.  N ajwię kszą   moż liwą   róż nicę

pomię dzy  sztywnym  a  sprę ż ystym  odcią ż eniem,  dla  ustalonych  pozostał ych  parametrów,
pokazują   wykresy  n a  rys.  8.  Linia  przerywana  reprezentuje  tutaj  stan  sprę ż ysty  oś rodka,
a  linia  cią gła  m odel  liniowy  ze  sztywnym  odcią ż eniem  po  przekroczeniu  granicy  plas-
tycznoś ci.

Reasumują c  m oż na  stwierdzić,  że  wpł yw  sprę ż ystego  odcią ż enia  n a  pole  naprę ż eń
generowane  w  podł oż u, n a  którym  spoczywa  pł yta, jest  minimalny.

Wię ksze  znaczenie  m a  sprę ż yste  odcią ż enie  przy  obliczaniu  parametrów  ruchu  pł yty
(przemieszczenia,  prę dkoś ci  i  przyspieszenia).

Otrzym ane  wyniki  pozwalają   wycią gnąć  wniosek,  że  dla  współ czynników  sprę ż ystego
odcią ż enia  / j.

t
 >  3  wpł yw  sprę ż ystego  odcią ż enia  jest  zaniedbywalny  i  w  praktycznych

obliczeniach  m oż na  stosować  bardziej  efektywny  model  gruntu  ze  sztywnym  odcią ż eniem.

Literatura  cytowana  w tekś cie

1.  J.  BAU ER,  E.  WŁOD ARCZYK,  Dynamika  sztywnej  pł yty  spoczywają cej  na sprę ż ysto- plastycznym  podł o-
ż u  ze  zmienną  granicą  plastycznoś ci. Czę ś ć / .  Sztywne  odcią ż enie.,  Mech.  Teor. i  Stos.,  1, 9  (1971).

2.  E.  WŁOD ARCZYK,  W pł yw liniowo- sprę ż ystego  odcią ż enia  i:a  parametry  ruchu  sztywnej pł yty spoczy-
wają cej na sprę ż ysto- plastycznym  gruncie, Biul.  WAT,  7  (203),  (1969).

3.  W.  W.  STIEPAN OW,  Równania róż niczkowe, P WN ,  Warszawa  1956.
4.  L.  COLLATZ,  Metody  numeryczne rozwią zywania  równań róż niczkowych, PWN ,  Warszawa  1960.

P  e 3  IO  M e

flH H AM H KA  > KECTK0H   I I JI H T BI ,  P AC I lO JI O K E H H O fł   H A  y n P y T
OC H OBAH H H   C  ITEPEM EH H BIM   nPEJJJEJIOM   T E K yq E C T H

*I AC TB  ii.  ynpyrAH   PA3rpy3KA

Bo  BTopoii  *iacTH   paSoTbi  H ccjiewBan o  BjiHHHHe yn pyroH   pa3rpy3i<n  n a  H ecTaunonapnoe  flBH >Kenne
>i<ecTKoii  n jM T ti,  pacnojicoKenH OH   Ha  ynpyro- nnacTH iecKOM   ocuoBaHHH  c nepeiaeHHbiM   (B03pacTaiomniw
Brjiyót  ocH OBamin)  npefleuoM   TeKynecTH.  <3>poHT  BOU H BI  pa3rpy3KH   on acaH   iiejiiiHeftHbiM  flH (J)4)epeH -
quanbH biM   ypaBHeHneiw  co  owemeHHbiM   apryiweHTOM,  KOTopoe  3aT6M   pem eiio  n p n  noM omu  MeTOfla  P yH re-
K y n a .  BbiBefleH a  3amKHyTaH   t^opM yna  ^ J I H   na^ajiLHOH   CKopocm  pacnpocTpaneiiH H   BOJiHbi
H3  KOTopoił   B  npeflejibH om  n epexofle  n o n y^aeT ca  CKopocTŁ  BOJIH Ł I  H JI H   HCBCTKOH   pa3rpy3KH ,
n aa  B  M.  I [1].



106  .  J.  BAU E R ,  E.  WŁ O D AR C Z YK

I la p a M e ip u flBH >i<eH H H  ruiHTbi  H   cpeAM ,  HaxoAHiueHCfi  no/ i;  IIJIH TOH J  onpeflenei- iLi  n p «  noMom.ii

4>poHTOB  BOJiii  roiacTiraecKOH   H arpy3KH  H   yn pyroft  pa3rpy3KH .  H a  ocH ose n ojiyn en H bix  (popiviyji  n p o n 3-

BefleH   flocTaio^ino  uinpoKiift  qHCJieifflbra  aH anH 3  3aflaqn.  B  pe3yJH>TaTe  3Toro  anajiiraa  j'CTaHOBjieHo,

m o  fljifi  BejiH^m- i  Koscbcbiun- ICHTOB yn p yr o n  pa3rpy3KH   //j  =   a^ lay  >  3  BJiHHHHeM   yn p yr o ił   pa3rpy3i< n

MOH<HO  n pen eSpeH b,  a  B  HH>KeHepnoH   npaKTHKe  MO>KHO  npiiMeHHTb  6o n ee  sA'tJ'eKTHBHyio  B  pacweTax

MOflenŁ  r p y m a  c  >i<ecTKOH   pa3rpy3Koft.

S u m m a r y

D YN AM ICS  OF   A  R I G I D   PLATE  RESTIN G   ON   ELASTIC- PLASTIC  F OU N D ATION  WITH
VARIABLE  PLASTICITY  LIM IT

PART  I I .  ELASTIC  U N LOAD I N G

I n  the second  part  of  the paper  the influence  of  elastic  unloading  on non- stationary  motion  of  a rigid
plate  resting  on elastic- plastic  foundation  with  variable  (increasing  with  the  depth) limit  of  plasticity  has
been  investigated.  The front  of  the unloading  wave is  presented  in  the form  of  a  non- linear equation  with
a  shifted  argument. The equation  is solved  by  the  Runge- Kutt  method. The initial  velocity  of  propagation
of  the  unloading  wave is  found  in a  closed  form.  F rom  this  formula  the  limiting  case  of  the iigid  unloa-
ding wave velocity  given in part I  can be  obtained.

The  parameters  of  motion  of  the plate  and  the medium  lying  under  the plate  are  evaluated  by  means
of  wave fronts  of  plastic  loading  and elastic  unloading.  On the basis  of  the formulae  obtained  the  detailed
numerical  analysis  of  the  problem  is  carried  out.

As  a result of  the  analysis  it has been found  that for  the coefficients  of elastic unloading n%  =   a2/ ai  >  3
the  influence  of  elastic  unloading  can be  neglected,  and  therefore  in  the case  of  practical  engineering  cal-
culations  a  more effective  model  of  soil  with  rigid  unloading  can be  applied.

"WOJSKOWA  AKAD EMIA  TE C H N I C Z N A

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  27  stycznia  1971  r.