Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1, 10  (1972)

O  MOŻ LIWOŚ CI OPISU   PEŁNEGO  PROCESU  PEŁZANIA METALI*

M AR C I N   C H R Z A N O W S K I  (K R AK Ó W)

1.  Wstę p

P roblemy  peł zania  metali  od kilkudziesię ciu  lat przycią gają   uwagę   badaczy  nie  tylko
w  zwią zku  z kon kretn ym i  zadan iam i  stawianymi  przez  dynamicznie  rozwijają cy  się   prze-
mysł ,  lecz  także  ja ko  uogólnienie  procesu  odkształ cania  ciał   stał ych.  W istocie  peł zanie,
ja ko  jeden  z  dział ów  reotogii,  przedstawia  sobą   wielowymiarowy  proces  opisany  równa-
niem

(1.1)  0 ( e , ff, t,  T ) =  0,

gdzie  e oznacza  odkształ cenie, a —n a p r ę ż en ie,  t — czas,  T —temperaturę .  M im o  nagro-
madzenia  znacznej  iloś ci  wyników  badań  doś wiadczalnych,  prowadzonych  gł ównie w kra-
jach  o  wysokim  stopniu  uprzemysł owienia  (U SA,  Z SR R ,  Angia,  Szwecja,  Japon ia),
a  także  licznych  prac  teoretycznych,  brak jest w chwili  obecnej  teorii, pozwalają cej  na  opis
peł nego  procesu  n arastan ia  odkształ ceń peł zania od  przył oż enia  obcią ż enia  aż  do  zniszcze-
n ia  m ateriał u w wyniku  zachodzą cych  procesów  fizycznych,  zwią zanych  z budową   mate-
riał u.

Przyjmowane  uproszczenia  w  opisie  peł zania  metali  polegają   przede  wszystkim na
rozdzieleniu  zmiennych  w  (1.1)

(1.2)  k
c
- =g{e

t
aJ)h{T ),

gdzie  ec  oznacza  odkształ cenie  peł zania, a  kropką   oznaczono  róż niczkowanie  po czasie.
D otychczasowe  teorie nawet  dla  funkcji  g nie podają   postaci, umoż liwiają cej  opis  przebiegu
cał ego procesu.  Wyją tek  stanowi  tu  teoria  starzenia,  sł ormuł owana przez  SODERBERG A  [18],
dla  której

(1.3)  F,
C
 =   <p(o,  t).

Posł ugują c  się  krzywymi  izochronicznym i, m oż na na jej  podstawie  wyznaczyć  odkształ cenia
dla  kolejnych,  ustalon ych  wartoś ci  czasu.  Z n an e  n iedostatki  tej teorii  (nieinwariantność
w  stosunku  do  zmiany  począ tku  osi czasu,  przydatn ość  tylko  dla  sł abo  zmieniają cych  się
obcią ż eń )  powodują ,  że  m im o  swej  prostoty  jest  on a stosowana  tylko  w  szczególnych
przypadkach  i równ an iu  (1.3)  nie  m oż na  przypisać  uniwersalnego  znaczenia.

*)  I I I  nagroda  na Ogólnopolskim  konkursie  na prace teoretyczne z mechaniki, zorganizowanym  przez
Oddział   Warszawski  P TM TS w  1970 r.



144 M.  CHRZANOWSKI

Powszechnie  przyję tym  sposobem  prowadzenia  obliczeń  n a  peł zanie  jest  umowne
rozbicie  typowej  (zawierają cej  wszystkie  trzy  okresy)  krzywej  peł zan ia  n a  trzy  odcinki
(rys.  1)  i  wykorzystywanie  dla  opisu  każ dego  z  nich  niezależ nych  równ ań .  Zwykle  drugi
okres  peł zania stanowi  znaczną  czę ść  ż ycia  konstrukcji  i stą d,  a  także  dzię ki  swej  prostocie,

Rys.  1

szerokie  zastosowanie  znalazł a  teoria  peł zania  ustalonego,  dla  której  zwią zek  fizyczny
ma  postać

(1.4)  h.~M'
D la  pierwszego  okresu  peł zania  zmianę  odkształ ceń  w  czasie  dobrze  opisuje  teoria

umocnienia,  sformuł owana  przez  LU D VIKA  [6],  a  n astę pn ie  rozwinię ta  przez  N AD AI A  [7]
i  D AVEN PORTA  [3]. Wedł ug  tej  teorii,  prę dkość  odkształ ceń  peł zania jest  okreś lona  przez
wartość  dział ają cego  naprę ż enia  i  aktualną  wartość  odkształ cenia peł zania

(1.5) =   g(cr, e c ) .

Przy wykorzystaniu  podobień stwa  krzywych  peł zania, które  dla  pierwszego  okresu  peł zania
jest dobrze potwierdzone doś wiadczalnie  [16], równ an ie stanu  (1.5) m oż na zapisać  w  postaci

(1.6)  h
c
8*

B
  ~f(p),

gdzie  dla  fun kcji/ przyjm uje  się  róż ne  postaci,  n p :

f(a)  =   Aa",

f(cf)  =   xexp- £- ,(1,7)

zaś  a, x, fj, n, n
0
,  A,  C, D  oznaczają  stał e  m ateriał owe. Z akres  stosowan ia  teorii  umocnie-

nia  jest jedn ak  ograniczony  tylko  do  pierwszego  okresu  peł zan ia.

P róbą  opisu  pierwszego  i  drugiego  okresu  peł zania  jest  koncepcja  OD QVI STA  [11],
polegają ca  na  przedł uż eniu  prostej  odpowiadają cej  odcinkowi  peł zania  ustalon ego  do
przecię cia  z  osią  odkształ ceń  (rys.  1).  D ł ugość  odcin ka  odcię tego  w  ten  sposób  n a  osi
odkształ ceń  jest  funkcją  naprę ż enia  i  obejmuje  odkształ cenie  sprę ż yste,  natychm iastowe
odkształ cenie  plastyczne  oraz  czę ś ciowo  odkształ cenie  peł zania  n ieustalon ego.



O  MOŻ LIWOŚ CI  OPISU   PEŁNEGO  PROCESU   PEŁZANIA  METALI  145

Analiza  odkształ ceń peł zania w trzecim okresie peł zania stał a się  moż liwa  (w okreś lonym

przedziale  naprę ż eń  i  tem peratur) dzię ki  opracowaniu  i  rozwinię ciu  teorii  kruchego  znisz-

czenia w wyniku  peł zania. Podstawowymi  był y tu prace  KACZAN OWA  [5] i RABOTN OWA  [14].

Proces  narastania  uszkodzeń  dla jednoosiowego  stanu  naprę ż enia  opisuje  równanie  (por.

[14])

gdzie  co —  param etr  charakteryzują cy  stopień  uszkodzenia  materiał u,  k  i  B —  stał e

materiał owe  zależ ne  od  tem peratury,  /? —  stał a  zależ na  od  hipotetycznego  kształ tu  roz-

wijają cych  się   szczelin.  Warunek  począ tkowy  dla  równania  (1.8)  ma  postać

(1.9)  co(/  =   0)  =   0,

a  warunek  zniszczenia

( l. io )  m(t  =   g  =   i.

N ależy  tu  podkreś lić,  że  warunki  te —  przyjmowane  zresztą   w  dalszym  cią gu  pracy  —
stanowią   jedynie  idealizację   rzeczywistego  procesu;  warunek  (1.9)  oznacza, że przył oż enie
w chwili  /  =   0 obcią ż enia nie wywoł a  natychmiastowego uszkodzenia, zaś warunek  (1.10)  —
pominię cie  faktu,  że  w  chwili  osią gnię cia  pewnej  wartoś ci  co.,.  <  1 zajdzie  natychmiastowe
zniszczenie  na  skutek  przekroczenia  wytrzymał oś ci  doraź nej.

Wykorzystują c  równania  (1.8)  (przy  / } =   0)  i  (1.4), RABOTN OW  [15] zaproponował  opis
peł zania  krótkoczasowego  o  postaci

(1.11)  e c = / ( t f, c o ) ,  m =  (p(a,co).

O  nieprzydatnoś ci  tego  opisu  dla  drugiego  i trzeciego  odcinka typowych  krzywych  peł zania
decyduje  fakt,  że stał e materiał owe wystę pują ce  w pierwszym  z równań  (1.11), a wyznaczane
n a  podstawie  odcinków  krzywych  peł zania  odpowiadają cych  peł zaniu  ustalonemu,  są
skaż one  n a  skutek  uszkodzeń  materiał u,  wystę pują cych  już  w  tym  okresie  peł zania  [5].
N iedostatkiem tym jest również  obarczona propozycja  SODERQUISTA  [19] sprzę ż enia równań
teorii  Odqvista  z  równaniem  (1.8)  przez  wprowadzenie  funkcji  OJ do  zwią zku  e—a.

W  prezentowanej  pracy  podan o  opis  procesu  peł zania  w  oparciu  o  równania  teorii
umocnienia  i  kruchego  zniszczenia." Opis  taki  nie  moż e jedn ak  stanowić  celu  samego  dla
siebie;  skonstruowana  teoria  musi  speł niać  dwa  podstawowe  warunki:  z  jednej  strony
musi  ona  lepiej  niż  dotychczasowe  teorie  opisywać  i  wyjaś niać  znane fakty  doś wiadczalne,
z  drugiej  —> lepiej  przewidywać  zachowanie  się   materiał u  pod  obcią ż eniem.  W  dalszym
cią gu  skupiono  uwagę   gł ównie  n a  pierwszym  z  wymienionych  warunków,  który  jest
warunkiem  koniecznym  akceptacji  każ dej  teorii.

2.  P odstawowe  równ an ia  dla  jednoosiowego  Stanu  n aprę ż en ia

Podstawą   propon owan ego  opisu  jest  doś wiadczalnie  obserwowany  fakt  zachodzenia
w  czasie  peł zania  metali  i  ich  stopów  dwu  zjawisk:  umocnienia  i  narastania  uszkodzeń
(mikrospę kań ). Zał oż ymy, że  oba  te procesy  rozpoczynają   się  w  chwili  przył oż enia obcią ż e-
nia  i  rozwijają   się   równolegle  aż  do  m om en tu  zniszczenia,  przy  czym  proces umocnienia

10  M ech an ika  teoretyczna



146  M.  CH RZAN OWSKI

przebiega  z  maleją cą   prę dkoś cią,  zaś  proces  n arastan ia  uszkodzeń  —  ze  wzrastają cą.
Wystę powanie  um ocnienia  w  pierwszym  okresie  peł zan ia jest  widoczne  z  przebiegu  krzy-
wych  peł zania.  P odobn ie,  kształ t  krzywej  peł zania  w  trzecim  okresie  m o ż na  wyjaś nić
uszkodzeniami,  intensywnie  narastają cymi  w  tym  okresie  i  powodują cymi  osł abienie
materiał u  ( se  >  0).  Rozwój  uszkodzeń  był   jedn ak  także  stwierdzany  ju ż  we  wczesnych
stadiach  peł zania  [17].  T ak  wię c,  spoś ród  przyję tych  zał oż eń, jedyn ie  zał oż enie  o  trwaniu
procesu  um ocnienia  n a  dalszych  etapach  peł zania  m a  ch arakter  czysto  hipotetyczny.

Równanie opisują c  eodkształ cenia peł zan ia—przy wykorzystaniu  powyż szych  zał o ż eń—
otrzymamy,  wprowadzają c  do  równ ań  teorii  um ocn ien ia  (1.6)  n aprę ż en ie  efektywne
(odniesione  do  nieuszkodzonej  powierzchni  przekroju  poprzeczn ego  próbki)

(2.1)  ^ -

gdzie  dla  funkcji  co  zachowuje  swą   waż ność  równ an ie  teorii  zniszczenia  kruchego

(2.2)  *- .- \ l- „

a  o, n, k, A,  B  są   stał ymi  materiał owymi.

W  dalszym  cią gu  przyję to,  że  peł ne  odkształ cenie  jest  sumą   odkształ cen ia  peł zania
i  odkształ cenia  sprę ż ystego

(2.3)  e =   ec- t- ee,

przy  czym  zakł ada  się ,  że  rozwijają ce  się   uszkodzenia  m ateriał u  nie  mają   wpł ywu  na
odkształ cenia  sprę ż yste

(z.4J  s
e
  — —  .

R ówn an ia  (2.1),  (2.2)  są   waż ne  tylko  dla  a  >  0.  D la  a  <  0  należy  poł oż yć  co =  0,
gdyż  teoria  zniszczenia  kruchego  zapropon owan a  w  pracach  [5,  14]  nie  obejmuje  przy-
padku  ś ciskania.  Warto  jedn ak  zauważ yć,  że  i  dla  a  <  0  bę dą   się   rozwijał y  uszkodzenia,
które  pon adto  bę dą   wpł ywał y  n a  odkształ cenia  peł zan ia  przy  rozcią ganiu  poprzedzonym
ś ciskaniem.  P ropon owan y  opis  nie  obejmuje  tych  zjawisk.

N a  zakoń czenie  tego  rozdział u  zaznaczmy,  że  ukł ad  równ ań  (2.1),  (2.2)  nie  opisuje
niesprę ż ystego  n awrotu  (odwrotnego peł zania) ani starzenia  metali czy ich stopów  w  wyniku
dł ugotrwał ego  dział ania podwyż szonej  tem peratury.  P ropon owan ą   koncepcję   m oż na  wię c
stosować  dla  metali  o  stabilnej  strukturze,  które  nie  wykazują   powyż szych  wł asnoś ci.

3.  Stał e materiałowe

W  równ an iach  (2.1)  i  (2.2)  figuruje  pię ć  stał ych  m ateriał owych :  a,n
t
k,A,B.  Stał e

a, »,  A  m oż na  wyznaczyć  jak  dla  zwykł ej  teorii  um ocn ien ia  (teorii  sformuł owanej  dla
naprę ż eń  nom inalnych,  tzn .  odniesionych  do  począ tkowej,  nieuszkodzonej  elementarnej
powierzchni),  wykorzystują c  jedn ak  tylko  począ tkowe  odcinki  krzywych  peł zania,  dla
których  stopień  uszkodzenia  m ateriał u jest  pomijalnie  m ał y.  Stał ą   <x  wyznacza  się   wprost



O  MOŻ LIWOŚ CI OPISU   PEŁNEGO  PROCESU   PEŁZANIA  METALI 147

z  krzywych  peł zania, przedstawion ych  w  ukł adzie  dwulogarytmicznym.  D la  wyznaczenia
stał ych  n  i  A  konieczne  jest  sporzą dzenie  wykresu  zależ noś ci  odkształ cenia  peł zania  od
naprę ż enia.  Jeś li  wykres  ten  sporzą dzić  dla  ustalonego  czasu  t  — const,  okazuje  się ,  że
stał e  n  i  A  zależ ą  od  n aprę ż en ia  (zob.  n p .  [9]) i  równ an ie  teorii  umocnienia nie  może  być
stosowane  dla  peł nego  zakresu  n aprę ż eń, jakie  może  przenosić  materiał .  Porównywanie
wartoś ci  odkształ ceń  peł zan ia, wywoł anych  róż nymi  naprę ż eniami,  dla  ustalonego  czasu
fizycznego  t  nie wydaje  się  jedn ak  sł uszne. P orównywalne  mogą   być jedynie  odkształ cenia
peł zania  dla  ustalon ego  czasu  wzglę dnego

(3.1) T =  —  =  const,

gdzie  t#  =   z* (o1) jest  czasem  zniszczenia  próbki  przy  danym ,  stał ym naprę ż eniu  c  (rys.  2).

T ak  wyznaczone  pu n kt y  krzywej,  obrazują cej  zależ ność  ec  od  a  bę dą   się   teraz  ukł adać

wokół  jednej  prostej,  a wię c n  i A  n ie bę dą   zależ ały od naprę ż enia.

fc

t=const./

x=constv/   .

/

— - —-

I s___--—
.  • — • —

/ J 3

/

—.   —— a- ,

fc-

Rys.  2

Stał e  k  i  B  m oż na  wyznaczać  tak,  ja k  zwykle  się   to  robi  —  z  krzywej  wytrzymał oś ci
czasowej  (tzn. zależ noś ci  t^ —a).  Jest  to jedn ak  kł opotliwe, gdyż wymaga przeprowadzania
dł ugotrwał ych  badań przy niezbyt  wysokim poziom ie naprę ż eń, tak dobranym , aby przeł om
w  chwili  zniszczenia  m iał  ch arakter kruchy. P ropon owan y opis pozwolić może na  ł atwiejsze
i  szybsze wyznaczenie  stał ych m ateriał owych k  i B.  Z nają c  stał e a, n, A  stał e k  i B  moż emy
wyznaczyć,  ż ą dając  speł nienia w  dowolnej  chwili  czasu  zgodnoś ci  wartoś ci  odkształ cenia
i  jego  prę dkoś ci,  wyliczonych  n a  podstawie  propon owan ego  opisu  z  odpowiednimi  war-
toś ciami  zmierzonymi  doś wiadczalnie.  Ten  sposób  postę powan ia  pozwoli  unikną ć dł u-
gotrwał ych  badań ,  doprowadzan ych  aż  do  chwili  zniszczenia  próbki  i  szacować  czas
zniszczenia  n a  podstawie  stosun kowo  krótkotrwał ych  badań .

4.  Peł zanie  przy  stał ym  naprę ż eniu  rozcią gają cym

D la  a  —  a
0
  =  con st  z  (2.2)  otrzymujemy

(4.1)

10*

=   i_a- TU + i.



148  M .  CH RZ AN OWSKI

gdzie  T =   tjtj.,  a  t
Ą
. =   [Bfk+fycfo]'1  jest  czasem  kruchego  zniszczenia.  P odstawiają c  (4.1)

do  (2.1)  otrzymamy  p o  rozdzieleniu  zmiennych

1  1

Scał kowanie  powyż szej  równoś ci  przy  zał oż eniu n  ^  /e- f-1  daje

«+ i  A

a  dla  n  —  k+1

(4.2.2)

Ze  zwią zków  tych  widać,  że podobień stwo  krzywych  peł zan ia  zachodzi  w  przybliż eniu
tylko  dla  mał ych wartoś ci  z,  tzn.  tylko  dla  począ tkowego  okresu  peł zania.  F akt  ten  był
obserwowany  doś wiadczalnie  [16].

W  chwili  zniszczenia jest  t  — t*  (czyli  T =   1), a  wartość  odkształ cenia peł zan ia wynosi

(4. 3)

co  dla
i

A

- n + fc +1
dla

Przypadek  n < / c + l  zachodzi  rzadko  (zob.  n p.  stał e  m ateriał owe  przytoczon e  w  [13])
i  propon owan y  opis  daje  n a  ogół   ec.|:  =   co.  Ten  n iedostatek  teorii  wynika  z  idealizacji
warunku  brzegowego  (1.10)  dla  ca  w  chwili  zniszczenia.

5.  Skokowa  zmiana  obcią ż enia

P orównanie  doś wiadczalnych  krzywych  peł zania  przy  skokowej  zm ianie  obcią ż enia
z  krzywymi  teoretycznymi  stanowi  przejrzystą   weryfikację   róż nych  teorii  peł zania. N aj-
lepszą   zgodność z doś wiadczeniami  daje  teoria um ocnienia, choć i dla niej  krzywe teoretycz-
ne  ukł adają   się   poniż ej  krzywych  doś wiadczalnych.  D la  poprawien ia  ich  przebiegu  pro-
pon owan o  ulepszenie  teorii  umocnienia  przez  wprowadzenie  ja ko  miary  um ocnienia  nie
wartoś ci  aktualnego  odkształ cenia e

c
,  lecz  param etrów:

q  = f  e
c
d<f,

jak  w  pracy  [10], lub

q  = J  ach
c

jak  w  [20].  Otrzymywano  w  ten  sposób  lepszą   zgodn ość  przy  skokowym  zwię kszaniu
naprę ż enia,  lecz  gorszą   —  w  stosunku  do  zwykł ej  teorii  um ocn ien ia —  przy  skokowym
zmniejszaniu  obcią ż enia.

Z godnie  z  propon owan ym  opisem,  prę dkość  odkształ cen ia  peł zania  przy  skokowej
zmianie  obcią ż enia  zależy  nie  tylko  od  aktualnej  wartoś ci  odkształ cenia,  lecz  także  od



O  MOŻ LIWOŚ CI  OPISU   PEŁNEGO  PROCESU   PEŁZANIA  METALI 149

wielkoś ci  n agrom adzon ego  uszkodzenia  w  momencie  zmiany  obcią ż enia.  P rę dkość  ta
bę dzie  —ja k  to  widać  z  wyjś ciowych  równań  (2.1),  (2.2)—•  wię ksza  niż to wynika ze
zwykł ej  teorii  um ocn ien ia.

D la  opisu  peł zania  przy  zmiennych  naprę ż eniach  Odqvist  sformuł ował   komutatywne
prawo  peł zania  [12],  zgodnie  z  którym  odkształ cenie  peł zania w wyniku  dział ania  kilku
stał ych,  lecz  róż nych  n aprę ż eń  nie  zależy  od kolejnoś ci  ich  przył oż enia,  pod  warunkiem,
że  czas  ich  dział ania jest  taki  sam.  Z asada  komutatywnoś ci  nie jest  n a  ogół   potwierdzana
doś wiadczeniami,  na co zresztą   zwracał   uwagę   ju ż  jej  autor.  Poniż ej  pokaż emy,  że pro-
pon owan y  opis  również  nie  potwierdza  tej  zasady  a wię c  daje  wyniki  jakoś ciowo  zgodne

a/ a
B

m

At- , A1z

r  nprogram

At
z

•   I  program

R ys.  3

z  doś wiadczeniami.  W tym  celu  rozważ my  w oparciu o  propon owan ą   koncepcję ,  odkształ -
cenia  peł zania  dla obcią ż enia  zrealizowanego  wedł ug  dwóch  program ów  (rys.  3).  Wy-
korzystują c  rozwią zanie  podstawowego  ukł adu równ ań  (2.1),  (2.2) i przyjmują c  n  > fc+ 1,
otrzym am y  nastę pują ce  wartoś ci  odkształ ceń :

dla I program u  obcią ż enia

fc+ l- n

(5.1)

•

dla  I I program u  obcią ż enia

«+ 1
k+l- n
ft+ 1

[ At[
l -

=   maQ>  m < \ ,

k+l- n  1
4+ 1

- 1  .

>  «„„ - " I  ,
At

2 =   t2,  a= t fo,



150 M   CH RZAN OWSKI

[ A  a - L1
k+l- n

At,  I   k+1

1+1- Ł  1
K + 1

- l"

We  wzorach  tych  oznaczono

1

Stosunek  koń cowych  wartoś ci  odkształ ceń peł zania dla  obu program ów  (5.2),  (5.4)  wynosi

k+l- n  k+l- n
A  ~I fc +   1  f  A  A

l- ^h-mĄ  rm-
fc- 1]4- 11 - 4 -̂   - 4^- m*

(5.5)  s =
£ c l l 2  _  L  ^* 0  J

t+ l- ll

l_illi [1—w"-
' * o

t+ l- n
t+ 1

- 1

D la  zwykł ej  teorii  umocnienia  wartoś ci  odkształ ceń w chwili  t
2
  dla  obu  program ów

potwierdzają  zasadę  komutatywnoś ci i  wynoszą

i

(j.u)  6cj2
  =   £clI2  =

1,16

1.1Z

1,08

1,04

1,00

7
Z \

0,2 0,6 0,8
m

Rys. 4

D la  przypadku At
1
 = At

2
i  wybranych  wartoś ci  stał ych m ateriał owych  (n =  4, k =  2)

sporzą dzono wykres zależ noś ci stosun ku 51  od m (rys.  4), D o obliczeń przyję to  At
x
 = At

2
 =

=   0,2 / ^o  oraz  zl?! =  At
2
 =  0,4  ^ . 0 .  D la  wszystkich  0 < m <  1  odkształ cenie w chwili

*2 jest  wię ksze  przy  zwię kszaniu  obcią ż enia  (program  I I ) niż  przy jego  zmniejszaniu  (pro-



O  MOŻ LIWOŚ CI  OPISU   PEŁNEGO  PROCESU   PEŁZANIA  METALI 151

ec- 10'
Stop. alum.  B.16T
T=200°C

z = 0,75

2
y

I program

f

20
At

- \ llprogram

to

At-

|t0"

Z4  qodz.

M

UJ

i

U

t

i

t[godz.]

R ys.  5

gram  I ).  Zjawisko  to był o pokazan e  doś wiadczalnie;  n a rys.  5 przytoczono  wyniki  doś wiad-

czeń  z pracy  [9] oraz —  liniam i przerywanymi  —  krzywe teoretyczne  dla teorii umocnienia.

6.  R elaksacja  n aprę ż eń

D la  opisu  zjawiska  relaksacji  n aprę ż eń  konieczne jest  scał kowanie  równań  (2.1),  (2.2)

przy  zał oż eniu  s  —  e
Q
  =   const  z  warun kam i  począ tkowymi  cr(O) =   a

0
  i  co(0)  =   0,  oraz

uwzglę dnienie  odkształ ceń  sprę ż ystych.  D la poszukiwanych  funkcji  ff(t)  i co(t)  otrzymujemy

teraz  ukł ad

(6 . 1 ) du

gdzie  t
0
  = , c a + 1

Analityczne  rozwią zywanie  ukł adu  (6.1)  jest  dosyć  kł opotliwe,  podobn ie  jak  to  jest
dla  zwykł ej  teorii  um ocn ien ia,  gdzie  n a  ogół   stosuje  się   metody  numeryczne.  Wygodnym
wydaje  się   tu  cał kowan ie  ukł adu  (6.1)  krokam i  p o  naprę ż eniu.  Oznaczają c  przez  # ;  na-
prę ż enie  w  chwili  ti,  poł oż ym y:

(6.2) o1;  =   O Q ( 1—id) ,  i  —  1, 2,  • • - ,- y,

gdzie  0  <  8  <  1 jest  krokiem  p o  o1;  (n p.  d  — 0,  1).  Przyjmiemy,  że  naprę ż enie  a
t
  jest

stał e  w  przedziale  czasu  At
l
~  t

i+1
  — ti.  Teraz  ukł ad  (6.1)  m oż na  zapisać  w  postaci:

/   i
\ 1  1

j- /  J  J  J  1 * °



j 52  M. CH RZAN OWSKI

Z  równań  tych  moż na wyznaczać  At-
t
 i »j  dla  każ dego  kroku.  Ten  sposób  postę powania

wymaga  jedn ak  rozwią zywania  równań  algebraicznych  wysokiego  stopnia  ze  wzglę du
na  tai. Aby  tego  unikną ć, moż na —  szczególnie  przy  zastosowaniu  maszyn  cyfrowych  —
wyznaczyć At

t
 z równań zwykł ej  teorii  umocnienia, które  w  przyję tych  oznaczeniach  mają

postać:

(6.4)  £(l- jd)"Alj  = t
o
(idy

+1
,

J= I

a  nastę pnie z drugiego  z równań  (6.3) obliczać a>£. Podstawiając  co,  do pierwszego  z równań
(6.3)  wyznaczymy  poprawioną  wartość  At

t
,  na podstawie  której  z  drugiego  równania

wyznaczamy  kolejne  przybliż enie  dla  co,-.  Ten  proces  iteracyjny  należy  prowadzić  aż  do
uzyskania  ż ą danej  dokł adnoś ci  obliczeń.

Przebieg  krzywych  relaksacji,  wyznaczonych  na  podstawie  (6.1)  [bą dź  (6.3)] zależy  od
wartoś ci  stosunku  ?oA*o>  który  n p.  dla  stali  i  przy  naprę ż eniach  a0 <ae{oc  —  granica
sprę ż ystoś ci) jest  rzę du  10~6. Tym  niemniej krzywe  te ukł adają  się poniż ej  krzywych  otrzy-
manych  n a  podstawie  teorii  umocnienia, a  więc  tak, jak i  krzywe  doś wiadczalne  (zob.
n p.  [2]).  Róż nice  iloś ciowe  pomię dzy  obiema  teoriami  są  jedn ak  bardzo  mał e,  gdyż
wpł yw  szybko  maleją cych  naprę ż eń  n a  uszkodzenia,  a co za tym  idzie  n a  odkształ cenia,
jest mał y.

7.  Zniszczenie  mieszane

Równanie  (1.8)  opisuje  proces  narastania  uszkodzeń  materiał u, w  wyniku  którego
nastę puje  zniszczenie kruche. Realizuje  się  ono  dla  mał ych wartoś ci  naprę ż eń. D la duż ych
naprę ż eń  H O F F  [4] zaproponował  opis  zniszczenia  lepkiego,  uwzglę dniając  duże odkształ -
cenia  dla  peł zania ustalonego.  Propozycję  uwzglę dnienia  obu  rodzajów  zniszczenia  podał
KACZAN ÓW  [5], nie biorąc jednak pod uwagę wpł ywu  uszkodzeń n a odkształ cenia i  opierając
się na teorii peł zania ustalonego. D la peł zania nieustalonego koncepcje  H offa  i Kaczanowa
rozwinął   N AMIESTN IKÓW  [8]. Opis peł zania dla teorii peł zania ustalonego, przy  uwzglę dnie-
niu  duż ych  odkształ ceń i wpł ywu  na  nie  uszkodzeń,  zaproponował   RABOTN OW  [16].

Przyjmując  logarytmiczną  miarę  odkształ ceń i  wykorzystując  warunek  nieś ciś liwoś ci,

otrzymamy  z  (2.1) i (2.2) ukł ad równań

- j~\  exp(«ec),

(/ • i)

W  dalszym  cią gu  przyjmiemy  n > k- \ - \ .  D zieląc  równania  (7.1)  stronami  przez  siebie
i  obustronnie cał kują c, otrzymamy

£0  01

f  e*
c
exp[(k~ri)e

e
]de

c
  =  - ^ r " f  ( l - e



O  MOŻ LIWOŚ CI  OPISU   PEŁNEGO  PROCESU   PEŁZANIA  METALI 153

D la  cał kowitych  a  cał kę  po  lewej  stronie powyż szej  równoś ci  m oż na  obliczyć;  otrzymamy
stą d  zwią zek  pom ię dzy  e

c
  i co  w  postaci

cc

a!  e?- (

j
(7.2)  ec -   — j  In  >.'  ~^ ^ - r  ~- T T T  =

gdzie oznaczono

( 7 l 3 )  r  ~  5  n- (k+l)  "u  •

Z  warun ku  istnienia  prawej  strony  równoś ci  (7.2)  otrzymujemy

1

w- Ar

(7. 4) CO  ^ =   1 —

" r  v  (n~ky

gdzie co,„   oznacza stopień zniszczenia kruchego  w chwili, gdy  odkształ cenia peł zania narasta-
ją   nieograniczenie  (tzn. przekrój  poprzeczny  próbki  zmierza  do zera).

0,8

0 , 6

0 . 4

0,2

\

\
\

\

" " • —

— -

A  6

R ys.  6

10

o o

Czas  zniszczenia  mieszanego  m oż na teraz wyznaczyć  z  drugiego  z  równań  (7.1)

(7.5)  t
m
  =   ~

"'  Ba
Wart o zauważ yć, że w ustalonej  tem peraturze, wzrost przył oż onego naprę ż enia a

0
  powoduje

zmniejszanie  wartoś ci  OD.^  do  wartoś ci  granicznej  co.^ .  =  0,  co  odpowiada  przypadkowi
zniszczenia  idealnie  lepkiego.  D rugi  przypadek  graniczny  a

0
  - »  0  (tzn.  m^ ,  -> 1)  stanowi

przejś cie  do  zniszczenia  idealnie  kruchego.  Z ależ ność co „. od v  (a wię c i  od  <r0) dla  n  ~  4,
k  =   2,  a  =  1 pokazuje  rys.  6.



154 M .  CH RZAN OWSKI

Posł ugiwanie  się   równaniam i  (7.1)  w  postaci  analitycznej  jest  niewygodne,  szczególnie
gdy  a jest  niecał kowite. P rostym  sposobem  bę dzie  cał kowanie  krokam i  p o  co  w  przedziale
0  <   co  <   co„..  Przyjmują c  przyrosty  Zko; — coj—co^j  n a  tyle  m ał e,  aby  m ał e  był y  odpowia-
dają ce  im  przyrosty  czasu  Att  i  zakł adają c,  że  e

cl
  jest  stał e  w  tych  przedział ach  czasu,

otrzym am y  równanie

A  1  1  ł
(7.6)  e«

ci
exp[(k- n)e

ci
]Ae

ci
  =   —

  a
%-

k
  —  - fur  ̂ jr_

M
  x»- (i

z  którego  moż emy wyznaczyć  e
ci
,  a nastę pnie z równ an ia

wyliczyć At
t
.  Krzywą   wytrzymał oś ci  czasowej,  zbudowan ą   w  oparciu  o  wzory  (7.6)  i  (7.7)

pokazan o  na  rys.  7.  Jak  widać  z  tego  rysunku,  propon owan y  opis  zniszczenia  mieszanego

log a
2,0

1,6  -

0,8

0.4

Zniszcz,  kruche

In,  lepkie  dla  pę ł z.  ustalonego

In.  lepkie  dla  p. nieust.

Zniszcz.mieszane

{w. lisi,  mi)

0,1

0,1

0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8

0,9

0,95

3

Rys.  7

log U

odpowiada  zastą pieniu  schematycznego  wykresu  lo g^ —lo gc r 0  w  postaci  dwu  prostych  —
jedną  krzywą . Asymptotyczne zbliż anie się  tej krzywej  do prostych wykresu  schematycznego
odpowiada  przejś ciu  do  zniszczenia  idealnie  lepkiego  (lewa  gał ą ź)  i  idealnie  kruchego
(prawa  gał ą ź  wykresu).

8.  U wagi  koń cowe

P rzedstawiona  propozycja  opisu  peł nego  procesu  peł zan ia  m etali  jest  uogólnieniem
hipotezy  RABOTN OWA  [15]  dzię ki  wprowadzeniu  d o  rozważ ań  zjawiska  um ocn ien ia.  Jak
pokazan o,  koncepcja  niniejsza  dobrze  odpowiada  stron ie  empirycznej  zjawiska  peł zania.
Pozwala  on a nie  tylko  wyjaś niać  fakty  obserwowane  doś wiadczalnie,  lecz  także  przewidy-
wać  zachowanie  się   konstrukcji,  pracują cych  w  podwyż szonych  tem peraturach .



O  MOŻ LIWOŚ CI  OPISU   PEŁNEGO  PROCESU   PEŁZAN IA  METALI  155

P ropon owan y  opis  daje  moż liwość  opisania  redystrybucji  naprę ż eń,  zachodzą cej

w  statycznie  niewyznaczalnych  konstrukcjach,  a w  konsekwencji  n a precyzyjniejsze  wyzna-

czenie  czasu  zniszczenia  tych  konstrukcji.  Przy  umownym  podziale  krzywej  peł zania na

trzy  odcinki,  redystrybucję   naprę ż eń  m oż na  opisać  tylko  dla  peł zania  nieustalonego.

P roblem  ten  był   n iedawn o  omawiany  w  pracy  CALLAD IN E [1].  Przedstawiona  propozycja

opisu  peł zania, dla  której  nie  wydziela  się   poszczególnych  okresów  peł zania, pozwoli  na

prześ ledzenie  zmiany  rozkł adu n aprę ż eń w  cią gu  cał ego  procesu.

P oprawn y  opis  peł zan ia przy  skokowej  zmianie  naprę ż eń  daje  także  moż liwość  opisu

ruch u  frontu  zniszczenia  dla  zł oż onych  konstrukcji.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  C . R.  CALLAD IN E,  T ime- scales for  redistribution of stress  in  creep of structures, P roc.  Roy.  S o c ,  1498.
A  309, (1969).

2 .  B. H . flAH H JioBCKAH , T . M .  H BAH O BA,  I O . H .  P AE O T I I O B,  noMyuecmb  u pe/ iaiccaiiun  xp0M0M0Jiu6de-
Hoeoti  ć mami,  H 3B.  AH  C C C P ,  O T H ,  5  ( 195S) .

3.  C.  C.  D AVEN P OR T,  Correlation of  creep and  relaxation properties  of  copper,  J. Appl.  M ech., A  56, 10
(1938).

4.  N . J.  H O F F , T he necking  and rupture of  rods subjected to  constant tensile loads,  J. Appl.  M ech., 20  (1953).
5.  JI . M . KA^AH OB,  O  epeMeuu  pa3pyuteuuH e yc/ ioeunx noMyuecmu,  H 3B. AH  C C C P ,  O T H , 8  (1958).
6.  P .  LU D VI K ,  Elemente  der  technologischen  Mechanik,  Berlin  1908.
7.  A.  N AD AI ,  On the creep of  solids at elevated temperatures, J. Appl.  P hys.,  6, 8 (1937).
8.  B. C.  HAMECTHHKOB,  O  epCMeuu  do paspytuemin npu noMyuecmu,  nMT<E>,  1  (1961)
9.  B. C .  H AM EC TH H KOBJ  A. A.  XBO C T VH K O B, noA3ynecmb  dypanioMiuia  npu  nocmonnmix  u nepeMeunux

H(Kpy3Kax, I I M T 4 > ,  4  (1960).
10.  B. C. HAMECTHHKOB,  I O.  H . PABOTHOB, O zunomese ypaeneitun  cocmommn  npu  noAiyuecmu,  I1MT<E>,

3  (1961).
11.  P . K.  G .  OD QVIST,  Influence  of primary  creep on stresses  in  structural parts,  Tran s.  Roy.  I n st. Techn.,

66,  Stockholm 1953.
12.  F . K.  G .  OD QVIST,  Engineering theories of metallic creep, P roc.  Syrnp. su la plasticita  nella  scinza  delle

costruzioni,  Varen n a  1956.
13.  F . K.  G .  OD QVIST,  Mathematical  theory of  creep  and creep rupture,  Oxford  1967.
14.  I O . H .  P ABOTH OBJ  O  juexaiM3Me bjiumejibnozo  pcapyuiermn,  Bon pocbi  npo^mocTH   iviaT.  H   K O H C T P .,

MocKBa 1959.
15.  Yu. N . RABOTN OV,  On the equations  of  state  for  creep,  P rogress  in Appl.  M ech.,  N ew  York  1963.
16.  I O .  H .  PABOTH OB,  nonsyneanb  BAeuenmoe  KOHcmpyicifuu,  M o c io a 1966.
17.  B. M .  Po3EHEEPr.,  IJoMyuecb  Mema/ iaoe,  MocKBa 1967.
18.  R.  SOD ERBERG ,  T he  interpretation of  creep tests for  machine design, Tran s.  ASM E ,  8, 58 (1936).
19.  B.  SOD ERQU IST, Some  aspects of  creep and creep  rupture, Acta  P olyt.  Scand., Phys. N uci. Ser.,  58  (1968).
20.  H . C .  BHJIECOBAJ  B. C .  H AM ECTH H KOB,  05  OÓHOM  napauempe ynpo'iueuun,  I I M T ' J ' ,  3  (1964).

P  e 3 io  M  e

O  B O 3 M O 5 K H 0 C T H   O n H C AH H H   BC E TO  I I P O U E C C A  n O J I 3 y ^ E C T H   M E TAJI JI OB

IlpeflJio>KeHO  nojiH oe  oim caroie  Bcero  n poijecca  nojrayqecTH   iweTaimoBj  oxBaTLiBaiomee a c e  Tpii
ycnoBH Lix  yiacTKa KpHBoii  nojrayqecTH .  IIocTpoeH a  MaTeMaTireecKaH  MOflejit  B  BH H C  CHCTCMM HejniHefi-
H BI X  H iidp4P eP eH qH ajibH tix  ypaBHeHHfi  n e p so r o n opH pira,  ocHOBaHHan Ha npeflnojio>KeHHH  napajinejibH O-
CTH   n pon eccoB  ynpo^H eH H H   H  H apacTamiH   noBpe>KneiiH ii. I Tpn  noMomH   9Toft



156  M .  C H R Z AN O WSK I

ycn oBiin x  ofliioocn oro  pacTH>KCHHH  nofl fleftcTBueM   I O K  nocTOHi- uioff,  Tai< n Biie3an n o H3ivte-

narpy3KH ,  m o  flauo  BO3MOH<HOCTB  6on ee  H OJIH O  OS'BH CH H TL  neKOTopue  H BJieinin,  n aSjiio-

B  aKcnepH iueiiTax.  PacciwoTpei- ia  3aflaqa  06  on pe^ejien H H   maTepnaJiM ibix  KOH daiiT,  a  TatoKe

yi<a3aiiM   BO3MO>KIIOCTII  n porn o3n poBaH i«i BpeM emioii  n po Tm ocTH , ocuoBan iiLie n a npefljiaraeM ofi  Teopim .

PaccMOTpciibi  npoi^eccfci  pejiaiccaunii  HanpH>i<enHH   H  CM eiiiarmoro  Bn3KO- xpynnoro  pa3pym eiiH a  n pii

S u m m a r y

ON   A  POSSIBILITY  OF   D ESCRIPTION   O F  F U LL  CREEP  PROCESSES  F OR M ETALS

A  method of  description  of full  creep  processes  of metals  is proposed  in the  paper  for all three con-
ventional  parts  of  typical  creep  curves.  U nder  the assumption  of  parallel  course  for  hardening and
damage  increase  processes,  the mathematical  model  is  built  in the  form  of a set of non- linear  differential
equations of the first  order. U sing the above  model  the creep  under axial  extension is analyzed for the cases
of  constant  and jump  variable  loadings.  In this  way a richer  explanation  of experimentally  observed  facts
is  acquired.  The  problem  of material  constants  determination as well  as  the possibility  of  predicting the
time- dependent  straight  arc discussed.  The course of the stress  relaxation  process  and, taking  into account
large  deformations,  the case  of mixed  visco- brittle  fracture  are also  considered.

POLITECHNIKA  KRAKOWSKA

.  Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  22  marca  1971  r.