Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1, 10 (1972) WPŁYW  JE D N OC Z E SN E G O N IEJED N OROD N EG O  TARCIA  WEWN Ę TRZN EGO I  ZEWN Ę TRZN EGO  N A STATECZN OŚĆ  UKŁADÓW  NIEKONSERWATYWNYCH ANTONI  G A J E W S K I ,  MICHAŁ  Ź Y C Z K O W S KI  (KRAKÓW) 1.  Wstę p W  ostatn ich  latach  wiele  uwagi  poś wię cono  paradoksaln em u  zjawisku  destabilizacji tzn .  znacznemu  obniż eniu  sił y  krytycznej,  powodują cej  utratę  statecznoś ci  ruchu ukł adów niekonserwatywnych,  w których  uwzglę dniono  tarcie wewnę trzne  materiał u i  zastosowana kinetyczne  kryterium  stateczn oś ci;  destabilizacja  wystę puje  nawet  w  przypadku,  gdy  pa- ram etr  charakteryzują cy  t o tarcie  zmierza  do zera.  P o raz pierwszy  zwrócił   uwagę   n a  to zjawisko  Z IEG LER  [14], a w  dalszym  cią gu  Z O R I J  i  LEON ÓW  [15]  zbadali  szczegół owo tzw. m odel  Zieglera  (ukł ad  dwóch  sztywnych  prę tów  poł ą czonych  przegubowo),  obcią ż ony niekonserwatywną   sił ą   ś ciskają cą,  dla dowolnych  wartoś ci  współ czynnika  ś ledzenia. Za- ł oż yli  oni, że w przegubach  wystę pują   momenty tł umią ce ruch proporcjonalne do  wzglę dnej prę dkoś ci  ką towej  prę tów  m odelu.  Identyczne  zagadnienie  rozwią zano  w  pracach  H E R R - MAN N A  i  JON G A  [4, 5].  Efekt  destabilizacji  zbadan o  również  w  pracy  N EM AT- N ASSERA, PRASAD A  i  H ERRM AN N A  [10] n a  przykł adzie  wspornikowej,  cią gł ej  rurki  przewodzą cej pł yn  ze  stał ą   prę dkoś cią.  Wykazan o,  że  dowolnie  mał e  sił y  zależ ne  od prę dkoś ci,  takie jak  zewnę trzne  tł umienie i  sił y C oriolisa  mają   wpł yw  destabilizują cy,  natomiast zewnę trzne tł umienie  wiskotyczne  nie  m a takiego  wpł ywu.  P on adt o  N EM AT- N ASSER  i  H ERRM AN N  [11] udowodnili, że  obcią ż enia  krytyczne,  powodują ce  utratę   statecznoś ci  ukł adu  dyskretnego o  N   stopn iach  swobody  bez  tł um ien ia,  jest  kresem  górnym  dla  obcią ż enia  krytycznego tego  samego  ukł adu  poddan ego  dodatkowo  dział aniu  pewnych  dowolnie  mał ych sił ,  bę - dą cych  liniowymi  funkcjami  uogóln ion ych  prę dkoś ci.  Ostatnio  w  pracy  SH IELD A  [12} zastosowano  uogóln ion ą   m etodę   wariacyjną   do  problemów  niekonserwatywnych  oraz rozwią zano  problem statecznoś ci prę ta wspornikowego  ś ciskanego  sił ą   ś ledzą cą, z uwzglę d- nieniem  tł umienia wewnę trznego  (m ateriał  prę ta  opisany  jest  modelem  Voigta- Kelvina). P orówn an o  wyniki  uzyskan e  za pom ocą   m etody  G alerkin a z wynikami  ś cisł ymi. We  wszystkich  wymienionych  pracach  uwzglę dniano  niezależ nie  od  siebie tł umienie wewnę trzne  lub tł um ienie zewnę trzne  (opór  wiskotyczny).  D opiero  D Ż YG AD ŁO  i  SOLARZ badają c  wymuszone,  param etryczn o- sam owzbudne i  wymuszone  parametrycznie pobudza- n e  drgan ia  prę ta  ś ciskanego  okresowo  zmienną   lub  stał ą   sił ę   ś ledzą cą   wyznaczyli  sił ę krytyczną   w  zależ noś ci  od  param etrów  charakteryzują cych  tł umienie  wewnę trzne (m o- del  Voigta- Kelvin a)  i  zewnę trzne  (opór  wiskotyczny). 128 A.  G AJEWSKI,  M .  Ż YCZKOWSKI Celem  niniejszej  pracy  również  jest  uwzglę dnienie  wpł ywu  obu  tych  oporów  równo- cześ nie  n a  sił ę   krytyczną ,  a  pon adto  zbadanie  wpł ywu  niejednorodnoś ci  tarcia  wewnę trz- nego  i zewnę trznego.  W  czę ś ci  drugiej  przeanalizujemy  stateczność  modelu  ZIEG LERA  [14], (podwójne  wahadł o),  w  którym  przyjmiemy  dodatkowo  istnienie  tarcia  wiskotycznego w  przegubach  oraz  dział anie, n a  sztywne  prę ty  m odelu,  skupionych  sił   oporu,  proporcjo- nalnych  do  liniowych  prę dkoś ci  w  pun ktach  zaczepienia  tych  sił .  W  czę ś ci  trzeciej  zba- dam y  stateczność  rzeczywistego  prę ta  wspornikowego  ś ciskanego  sił ą   niekonserwatywną o  zmieniają cym  się   kierun ku  (w  peł nym  zakresie  współ czynnika  ś ledzenia),  zakł adają c, że  m ateriał   prę ta  może  być  opisany  m odelem  Voigta- Kelvina  (tł umienie  wiskotyczne) oraz  że  prę t  porusza  się   w  oś rodku  lepkim  o  tarciu  wiskotycznym  (tł umienie zewnę trzne). Wyniki  uzyskane  w  czę ś ci  drugiej  bę dą   ś cisł ymi  dla  m odelu,  n atom iast  w  czę ś ci  trzeciej zastosujemy  przybliż oną   metodę   energetyczną ,  równoważ ną   metodzie  R itza. 2.  D estabilizacja  modelu  Zieglera 2.1.  Podwójne  wahadł o przedstawione  n a  rys.  1 poddan e jest  dział aniu ś ciskają cej  sił y niekonserwatywnej.  Kierunek  dział ania  sił y  po  wyboczeniu  m odelu  okreś lony  jest  przez współ czynnik  ś ledzenia  r],  zdefiniowany  jako  stosunek  ką ta  zawartego  mię dzy  kierunkiem Rys.  1 sił y  (po  wyboczeniu)  a  nieodkształ coną   osią   modelu  do  ką ta  n achylen ia  stycznej  n a  swo- bodn ym  koń cu.  Zał oż ymy, że  przeguby  scharakteryzowane  są   przez  stał e  sprę ż ystoś ci  c t i  c 2   oraz  przez  współ czynniki  b 1 ib 2 ,  okreś lają ce  tł umienie  (m om enty  tł umią ce  są   odpo- wiednio  równ e: b 1 ip i   i  b 2 ( 1 )  ~df\ Wi)~ Wt+   Wi+   Wt  = Q h  i= 1'2- W  równ an iach  tych, przy  zał oż en iu, że  ką ty 

2 + \ - b 2 +  — yr 2 )  q> 2 + \ - ~Pty- c 2   U 2  =   0, (2.3) b 2 + T yr 2   )q> 1 - c 2 cp 1 +m 2   y 2 l 2 $ 2 + Przyjmują c  rozwią zanie  w  postaci (2.4)  .  która,  oczywiś cie,  n a ogół  n ie jest  speł niona. Wobec  tego,  kryterium  (2.11)  pozwala  obli- czyć  sił ę   krytyczną   przy  tł um ien iu  zmierzają cym  d o zera  z  reguł y  róż ną   od  obliczonej w  oparciu  o  kryterium  (2.12). T ak  wię c w przypadku  braku  tł um ienia  z równ an ia  (2.12)  otrzymujemy U wzglę dniając  tł um ienie  korzystam y  z  kryterium  (2.11),  które  prowadzi  do  równania kwadratowego  n a sił ę   krytyczną (2.15) A.  G AJEWSKI,  M.  Ż YCZKOWSKI A  =   b2- bce+64(l- r])c2, B = 2ab- ~bcd- ace+3&4(l- i])c 2 , C =  a 2 - acd+256c 2 , a =   2 5 6 + 2 5 6 £ + 1 6 *; + 1 6 0 £ K , b =   ( l- 5j) ( 128+ 256?+ 8») - 8( 2t ; - 5) |«, c  === 132 gdzie (2.16) e- 24(2- ??). Wprowadzono  tu nastę pują ce  param etry: B 2 jJBi  =  C — charakteryzuje  niejednorodność  tł umienia  wewnę trznego; T^/ Ti  =  1 — charakteryzuje  niejednorodność  tł umienia  zewn ę trzn ego; TJ/ JBI  =  « — charakteryzuje  stosunek  wielkoś ci  tł umienia  zewnę trznego  do  wewnę trznego. Przedstawimy  teraz  kilka  szczególnych  przypadków  rozwią zania  równ an ia  (2.15). 2.2.  Brak  tł umienia  zewnę trznego:  T t  =  T 2  =  0.  N a rys. 2  przedstawion o  zależ ność  sił y krytycznej  /?  od współ czynnika ś ledzenia r\  w przypadku, gdy tł umienie  wewnę trzne  zmierza Rys. 2 do zera, a stosunek tł umień w przegubach jest stał y  I £ =  0,  K = 0, B x   - *•   0, B 2   -> 0, - -̂   = =   u . Stopień  destabilizacji  zależy  tu  w istotn y  sposób  od param etru  £ ; dla £  - +  oo  des- tabilizacja  jest  najwię ksza.  G dy. r\   — 1,  sił a  krytyczna  jest  dziesię ciokrotnie  mniejsza od sił y krytycznej  obliczonej  bez  uwzglę dnienia  tł umień. WP Ł YW  TARC IA  N A  STATEC Z N OŚĆ 133 2.3.  Brak  tł umienia  wewnę trznego:  B 1   =  B 2   — 0,  T 1   - *  0,  T 2   - > 0.  Zależ nie  od  param etru i  otrzymujemy  krzywe  /?(»/)  niewiele  odbiegają ce  od  przypadku,  gdy  nie  m a  tł umienia. N a  przykł ad  dla  f  =   0  i  f  =   co  otrzymujemy  krzywą  £  =   0  z  rys.  2,  dla  f  =   1  wykres JS(J?)  pokrywa  się  z  wykresem  otrzym anym  w  przypadku  gdy  nie  m a  tł umienia.  Wyniki obliczeń  ś wiadczą  o tym , iż  n iejedn orodn e tł umienie zewnę trzne może również  powodować destabilizację  ukł adu,  chociaż w  naszym  przypadku  jest  on a bardzo  mał a.  Przy  sile ś ledzą- cej  (i] =   1)  destabilizacja  nie  wystę puje  w  ogóle. 2.4.  Jednorodne równoczesne  tł umienie wewnę trzne  i  zewnę trzne.  G dy  tł umienia  są  jedn orodn e (f  =   1, |  =   1) i  zmierzają  do  zera, jedn ak  w  ten  sposób,  aby  ich  stosunek  był  stał y, otrzy- mujemy  krzywe  przedstawion e  n a  rys.  3.  Jak  widać  stopień  destabilizacji  zależy  od  sto- Ł - 1.  i- ' 0 £1,2 Ofl 0,6 H8 1,0 1,2 1,4 1,6 I) Rys.  4 sun ku  tł umienia  zewnę trznego  do  wewnę trznego  i  nie jest  tak  duży  jak  w  przypadku  2.2. W  przypadku  jedn orodn ych  tł um ień  (£  =   1,  £  =   1)  i  x  =   1  nie  zmierzają cych  do  zera, otrzymujemy  wykresy  przedstawion e  n a  rys.  4.  Wzrost  tł umienia  powoduje  wzrost  sił y krytycznej,  jedn ak  tylko  do  pewnej  granicy. Ogólnie,  gdy  B 1   - »•  co  otrzym ujem y: (2.17) «) —8( 277—5) ^ 2.5.  Niejednorodne równoczesne  tł umienie wewnę trzne  i  zewnę trzne.  N a  rys.  5  i 6  przedstawiono rodziny  krzywych  w  przypadkach  silnych  niejednorodnoś ci  tł umień,  wybierając  nastę pu- ją ce  param etry:  £  =   1,  f  =   5,  x  =  1/5  n a  rys.  5 i  £  =   5,  f  =   1/5,  K =   1, n a  rys.  6. Z  przedstawionych  rys.  2, 3, 4,  5  i  6  wynika,  iż  sił a  krytyczna  bardzo  silnie  zależy  od niejednorodnoś ci  tł um ień  oraz  ich  stosun ku.  D la  ustalonych  param etrów  £,  f  i  H roś nie 134 A.  G AJEWSKI,  M.  Ż YCZKOWSKI i- 5,  d- 0,20,  "- 1 0,5 • 1.5  7 Rys.  5 Rys.  6 on a  ze  wzrostem  tł umienia  do  pewnej  wartoś ci  granicznej.  P rzy  tł um ieniach  zmierzają - cych  do  zera  stopień  destabilizacji  jest  znacznie  mniejszy,  gdy  uwzglę dniamy  tł umienie zewnę trzne. 3.  Destabilizacja  prę ta  wspornikowego  (metoda  energetyczna) Przejdziemy  obecnie  do  zbadan ia  wpł ywu  tł umienia  zewnę trznego  i  wewnę trznego  na sił ę   krytyczną   powodują cą   utratę   statecznoś ci  prę ta  jedn ostron n ie  utwierdzon ego.  Z ał o- ż ymy  ogólnie,  że  niepryzmatyczny  prę t  (rys.  7)  znajduje  się   w  strum ieniu  pł yn u,  porusza- ją cym  się   z  prę dkoś cią   U  w  kierun ku  równoległ ym  do  jego  nieodkształ conej  osi.  Przyj- miemy,  że  niepryzmatyczność  prę ta  opisan a  jest  funkcją   okreś lają cą   zm ian ę   m om en tu bezwł adnoś ci  przekroju  poprzecznego (3.1) Zastosujemy  proste, tzw.  «tł okowe»  prawo  oplywu  prę ta  (podobn ie jak  w pracy  KOR D AS [8]), zgodnie z którym  obcią ż enie  boczne wywierane  n a jedn ostkę   dł ugoś ci prę ta jest  równe (3. 2) \ U%~~^P' W P Ł YW  TAR C I A  N A  STATE C Z N OŚĆ 135 gdzie  B  — (p 0 yo)/ c o  J e s t  stał ą  charakteryzują cą  wł asnoś ci  pł yn u.  D la  gazu  c 0   oznacza prę dkość  dź wię ku,  y 0   —  wykł adn ik  politropy,  U —  prę dkość  strumienia,  Z>(f)— zmienną szerokość  pł ytki,  w —  ugię cie  prę ta  w  pun kcie  f.  Jak  ł atwo  m oż na  wykazać  [8],  czł on 2Bb(C) 8w/ 8t  we  wzorze  (3.2)  stanowi  ciś nienie  wywierane  przez  pł yn  na  prę t,  wynikają ce z  dodatkowego  ruch u  drgają cego  prę ta  w  poruszają cym  się  strumieniu. T ak  wię c,  w  przy- padku  pł ynu spoczywają cego  ((7 =   0)  funkcja  2BbQ)  charakteryzuje  tł umienie  zewnę trzne (wiskotyczne)  ruch u  prę ta  w  pł ynie i  może  być,  niezależ nie  od  zmiennej  szerokoś ci  prę ta, przyję ta  dowolnie  ja ko  funkcja  okreś lają ca  niejednorodność  tł umienia  zewnę trznego. Skł adową  pionową  ciś nienia  wystę pują cą  przy  opł ywie prę ta niepryzmatycznego  pomijamy i  n  i Rys.  7 ja ko  mał ą  drugiego  rzę du.  Oprócz  ciś nienia  bocznego  n a  swobodny  koniec  prę ta dział a niekonserwatywna  sił a ś ciskają ca,  której  kierunek  dział ania ulega  zmianom w czasie ruchu prę ta  i jest  okreś lony  przez  współ czynnik  ś ledzenia  rj  (rys.  7). Aby  uwzglę dnić  równ ież  tł umienie wewnę trzne  materiał u  prę ta  zał oż ymy, iż  może  on być  opisany  prostym  m odelem  Voigta- Kelvina (3.3) a  = gdzie  £ ( £ ) jest  to  zmieniają cy  się  wzdł uż dł ugoś ci prę ta  m oduł   Younga,  a  A(£) —  zmienia- ją cy  się  współ czynnik  lepkoś ci  charakteryzują cy  tł um ienie  wewnę trzne.  Zmienność  mo- duł u  Youn ga  i  współ czynnika  lepkoś ci  pozwala  n a  zbadan ie  wpł ywu  niejednorodnoś ci sprę ż ystej  i  lepkoś ciowej  n a  stateczność  prę ta. 136  A.  G AJEWSKI,  M .  Ż YC Z KOWSKI Aby  zbadać  stateczność  prę ta  obcią ż anego  w  opisany  powyż ej  sposób,  rozważ ymy ruch  ukł adu  (mał e  drgania)  stosując  przybliż oną  m etodę  energetyczną.  Analizę  dokł ad- noś ci  tej  metody  (ale bez  uwzglę dnienia  tł umienia)  przeprowadzono  w  pracy  KORD AS i  Ż YCZKOWSKIEGO  [9].  Wprowadzając  zmienne  bezwymiarowe X   =   |/ / ,  y  =   W / l, zapiszemy  linię  ugię cia  prę ta  w postaci  przybliż onej (3.4)  y(x,t) w  której  funkcje  yi{x) powinny  speł niać wymagane  warunki  brzegowe. D alszy  tok postę powania  polega  n a rozwią zaniu  ukł adu równ ań  róż niczkowych  zwy- czajnych  (wynikają cych  z  równań  Lagrange'a)  na  funkcje  q t (t),  okreś lają cych  w  sposób przybliż ony  ruch  ukł adu i jest  szczegół owo  przedstawiony  w  pracy  Kordas  [8] dla pryz- matycznego  prę ta  idealnie  sprę ż ystego.  Powtórzymy  tu  podstawowe  wzory n  n  I (3.5)  r  =  - jm/3 Jj?  y^ a^ qj,  a u  =  J i l  1  0i- l  ; =  1 T   oznacza  tu energię  kinetyczną  ukł adu, m — masę  jedn ostki  dł ugoś ci  prę ta.  Wykł adnik «x  w  najczę ś ciej  spotykanych  przypadkach  przyjmuje  wartoś ci:  x1  =   1 dla prę ta pł asko- zbież nego  o  stał ej  wysokoś ci  przekroju  poprzecznego,  % x  — \ \ 2  dla  prę ta  równomiernie wszechstronnie  zbież nego,  »j  =   1/3 dla  prę ta  pł asko- zbież ń ego  o  stał ej  szerokoś ci  prze- kroju. n  n  1 (3.6)  V =  ~Ź j- £ J£ btjqtqj,  bu =  f  fl{x) g(x)y'i l(x)y'j\ x)dx, (= i  j=\   b V jest tu potencjalną  energią  sprę ż ystą  przy  zginaniu; (3.7)  Al= "2plS / = 1  7 = 1 A t   jest  pracą  skł adowej  pionowej  sił y P  (stał ej dla mał ych ugięć prę ta). Poza  tym należy  jeszcze  obliczyć  uogólnione  sił y  niekonserwatywne,  pochodzą ce od skł adowej  poziomej  ciś nienia  pł ynu  (skł adowa  pion owa  jest  zaniedbywalnie  m ał a),  od skł adowej  poziomej  sił y. skupionej  P oraz  od czł onu  charakteryzują cego  lepkość materiał u w  równaniu  (3.2). Jak ł atwo moż na wykazać  obliczając  elementarną  pracę  wymienionych sił   na przemieszczeniach  wirtualnych  dq,, sił y  uogólnione  mają  postać (3.8)  C, =   - Plr, W P Ł YW  TAR C I A  N A  STATEC Z N OŚĆ  137 gdzie e ij=  )  fi(x)yi(x)y)(x)dx, b sij =   jfa(x)yt(.x)yj(x)dx t 66 i R ówn an ia  Lagran ge'a  drugiego  rodzaju d  I 8w\   dW ( 3- 10>  i w  których okreś lają  ruch  ukł adu  w sposób  przybliż ony.  Korzystając  ze  wzorów  (3.5)—(3.9) i  pod- stawiając  je do  równ ań  (3.10)  otrzymujemy J- l PI 2   .  . .  „2Bb^ =   0,  / =  1, . . . , «. EQJQ Z akł adając  w dalszym  cią gu,  że współ rzę dne uogólnione q t {t) są nastę pują cymi  funkcjami czasu: (3.12)  g i (t) = A i e   y ,  y % =  -   °- •  ,  [y] =   se k, gdzie:  co — bezwymiarowa  czę stoś ć, A t  — stał e  współ czynniki,  sprowadzamy  ukł ad rów- n ań  róż niczkowych  (3.11)  d o ukł adu  jedn orodn ych  równ ań  algebraicznych  ze wzglę du n a  stał e A { (3.13)  £  { a . j0J 2 + ( aSi . +   d z . J ) m+ [ b ..- p( c . j - v d i j)- U*e ij )}Aj  =  0,  i =  1, .., , «. W  równ an iach  (3.13)  wprowadzon o  nastę pują ce  param etry  bezwymiarowe: ORh  I4-   3  OTł h  P  Pl2 (3  14) yE 0 J 0   yE 0   E 0 J 0   E 0 J 0 charakteryzują ce  odpowiedn io  tł um ienie  zewnę trzne,  tł umienie  wewnę trzne,  prę dkość pł ynu  i  sił ę  ś ciskają cą. 138  A.  G AJE WSKI ,  M .  Ż YC Z KOWSKI Wyznacznik  gł ówny  ukł adu  równ ań  (3.13)  przyrówn an y  do  zera  okreś la  bezwymia- rową   czę stość  a>  w  zależ noś ci  od  sił y  ś ciskają cej  /?, param etrów  tł um ien ia  a  i  <3  oraz  po- został ych  param etrów.  W  przypadku  dwóch  stopn i  swobody  otrzymujemy  równanie czwartego  stopnia  ze wzglę du  na  czę stość at o  postaci  (2.10)  i  badan ie  statecznoś ci  ukł adu przebiega  tak  samo  jak  w  czę ś ci  drugiej  pracy. Ponieważ  chodzi  n am  tu  przede  wszystkim  o  zbadan ie  efektu  destabilizacji  z  uwzglę d- nieniem  tł umienia  zewnę trznego,  wię c  w  dalszym  cią gu  uczynimy  szereg  uproszczeń ;  za- ł oż ymy  mianowicie,  że  badany  prę t jest  jedn orodn y  (sprę ż yś cie  i  lepkoś ciowo),  pryzma- tyczny  oraz że porusza  się  w oś rodku  spoczywają cym,  tzn . przyjm iem y/ i  (x)  =   l, / 2 ( x)  =   1, f 3 (x)  •   1,  rfa)  H   1  oraz  U*  =   0. P rzechodzą c  do  szczegół owych  obliczeń  zał oż ymy  równ an ie  linii  ugię cia  w  postaci dwuparametrowej,  w  której  funkcje  y t (x)  i  y 2 (x)  są   równe  [8]: J i ( *)  =   *4~ yi(x)  =   - ; a  wię c  speł niają   nastę pują ce  warunki  brzegowe: (3.16)  7ł (0)  =   y'M  =   y\ 'i\ )  =   y\ "(\ )  =   0. Warunki  te  odpowiadają   obcią ż eniu  prę ta  sił ą   ś ledzą cą   {rj =   1)  i  funkcje  (3.15)  nie  speł - niają   warunku brzegowego  n a sił ę   poprzeczną   dla  dowolnych  wartoś ci  współ czynnika  ś le- dzenia  rj.  Jedn ak, jak  wykazano  w  pracy  [8], •  uproszczenie  to  w  mał ym  stopniu  wpł ywa n a  dokł adność wyników,  przynajmniej  w  zakresie  sił y  podś ledzą cej  (• >]  <  1),  do  którego się   obecnie  ograniczymy. W  celu  uproszczenia  obliczeń  numerycznych,  począ tek  ukł adu  odniesienia  bę dziemy w  dalszym  cią gu  pracy, przyjmować  n a  swobodnym  koń cu  n ieodkształ con ego prę ta  (ukł ad stał y).  W  ukł adzie tym  funkcje  (3>15) mają   postać Współ czynniki    a n   -   ™,  a 12   -   a 2l   -   — ,  a 22   =  ~ T , ,  ,  144  400 "L I =  tyj,  on  =   - j- ,  o l2   =   b 21   o  40,  b 22   =   - y, (3.18) _  721  _  27  _  160 C l  1  n~i  Cl2  —  C 2 1  y~ j  C 2 2  —  "~ Q~ ' da  =   12,  rf,a  =   15,  da  =   16,  ^22  -   20, W P Ł YW  TAR C I A  N A  STATEC Z N OŚĆ  139 Równanie  okreś lają ce  czę stoś ci  (2.10) ma w naszym  przypadku  nastę pują ce  współ czynniki: L   =  a 11 a i% —a\ 2 , M  =   a(a ll s 22 +a Z2 s li - 2a i2 s i2 )+ó(a 11 b 22 +a 22 b ll - 2a 12 b 11 ), N - Bi—PBi+B,, Bi  —  a n b 22 +a 22 b 11 —2a, 2 b 12 , B 2   =   a 11 c 22 +a 22 c 11 —a 12 c 21   — a 21 c 12 ,  . B 3   =   a.2(s 11 s 22 - sj 2 )+aó(s 11 b Z2 +s 22 b u —2s 12 b 12 )+d 2 (b 11 b 22 - b 2 2 ); S  =  Ci  pC 2 , C 1   = a C 2   =   O. D x   =  b 11 b 22 —bl 2 , D 2   =  b 11 'c 2 2+b 22 ć il D   C 12 C 21> Wprowadzają c  pom ocn iczy  param et r  x  okreś lony  jako  stosunek  tł umienia  wewnę trznego do  zewnę trznego (3.20)  « =  d/ a otrzymujemy  przy  przyję tych  uproszczeniach i zał oż onych  funkcjach  (3.17) L   =   0,00716828, M  =   a(0,0143366+ 3,786435?<;), B t   =   3,786435, B 2   =  0, 241893- 0, 151227 ,̂ B 3   =   a2(0,00716828+ 3,786435*:+ 45,71428!x:2), ^ • 2 1 ^  d  =   a(3,786435+ 91,42856«), C 2  =   a[(0, 241893- 0, 151227*)+ (19> 75510- 21, 71428»?)4 D 1  =   45,71428, D 2  =   19,755K)- 21,71428?7, B 3   =   0,607143- 0,547619??. Statyczne  kryterium  statecznoś ci,  R =   0, prowadzi  do  rozwią zania (3.22) p , które  przedstawiono wykreś lnie  n a rys. 8. Kinetyczne  kryterium  statecznoś ci  (2.11)  przybiera  postać  równania  kwadratowego: (3.23)  (AC2 2 +M 2 D 3 - MB 2 C 2 )P 2   + (MB 1 C 2 +MC 1 3 2 ~- M 2 D 2 - 2AC 1 C 2   + +MC 2 B 3 )p+(ACl+M 2 D l - MB l C l - MC 1 B 3 )  =  0, z  którego  obliczamy  sił ę   krytyczną   w zależ noś ci od rj, a i 6. 140 A.  G AJEWSKI,  M.  Ż YCZKOWSKI Przedstawimy  tu  rozwią zania  szczególne  w  przypadku,  gdy  tł umienie  wewnę trzne i  zewnę trzne  zmierzają   do  zera,  jedn ak  w  ten  sposób  aby  stosun ek  «  =   d/ a  był   stał y. 1)  H =   0,  brak  tł umienia  wewnę trznego, (3.24) 633,831 2) K (3.25) 3)  x (3.26) =   0, =   0, 0  = 05, { 10, ™  - (30,7853—12,71432??)± |/ —319,9269+ 989,2586?;  —543,6581?; 2 329,7198 (16,01457- 6,6140137/) ± y - 4 0 2 , 9 7 3 3+  1246, 0507^- 684, 7800^2 268,5542 (13, 04374-  5, 387061?;)± ]/ - 366, 9693 +  l 134,721  I J ^ - 6 2 3 , 5 9 7 4 ^2 4)  H —  oo,  brak  tł umienia  zewnę trznego, (3 27)  R =  —  m> ™ ( 8, 77559- 3, 624316)?) ± ]/ - 284, 3457+ 879, 24449?- 483, 1985^ 2 Zależ noś ci  (3.24)- (3.27)  przedstawiono  n a  rys.  8.  Potwierdzają   one  wnioski  wycią gnię te w  poprzedniej  czę ś ci  pracy.  Stopień  destabilizacji  zależy  w  istotn y  sposób  od  stosunku (1  0.2  0/ 1  0,fi  0,8  1,0  V  1/ Rys.  8 wielkoś ci  tł umienia  zewnę trznego  do  wewnę trznego.  Z  powodu  mał ej  dokł adn oś ci metody energetycznej,  przy  przyję tych  funkcjach  (3.15),  dalszych  obliczeń  nie  przeprowadzon o. WP Ł YW  TARCIA  N A  STATECZN OŚĆ  141 Bł ą d  obliczeń  się ga  10%  w zakresie  r\  <  1 (ś cisła wartość  sił y krytycznej  dla K —  oo  i rj = 1 jest  równ a  /? =   10,76, a  nie  /5 =   11,50), n atom iast jest  znacznie wię kszy dla r\  >  1. Być  moż e,  iż uzyskane  w  niniejszej  pracy  wyniki  tł umaczą   rozbież ność  mię dzy  danymi doś wiadczalnymi  [6, 13] i  wartoś cią   ś ledzą cej  sił y  krytycznej,  obliczoną   z uwzglę dnieniem tł umienia  wewnę trznego  maleją cego  do  zera.  D oś wiadczenia  wykazują   raczej  zgodność z  górną   wartoś cią   sił y  krytycznej  (/? x  20),  obliczoną   bez uwzglę dnienia  tł umień.  W prze- prowadzonych eksperym entach,  obok  znikomego tarcia wewnę trznego, wystę powało pewne znikome  tł umienie  zewnę trzne  i dopiero  ich stosunek  decyduje  o wielkoś ci  sił y  krytycznej. Literatura  cytowana w  tekś cie 1.  Z .  D Ż YG AD Ł O,  L.  SOLAR Z ,  On  nonautonomous vibrations  of  a  self- excited system  with  tangential force, P roc.  of  Vibration P roblem s,  2,  11  (1970), 157- 178. 2.  A.  G AJE WSKI ,  Pewne  problemy  optymalizacji  kształ tu  prę tów  przy  niekonserwatywnych  zagadnieniach statecznoś ci,  P race  Komisji  M ech.  Stos.  Oddz.  K raków, P AN , M echanika  N r.  4,  1970, 3- 27. 3.  A.  G AJEWSKI ,  Badanie postaci  drgań prę tów  ś ciskanych  obcią ż eniem niekonserwatywnym, Czas.  Techn. 10- M(141),  (1970),  1-8 4.  G .  H ER R M AN N ,  I . C.  J O N G ,  On  the  destabilizing  effect  of  damping  in  nonconservative elastic  systems, J.  of  Appl.  M ech.,  3,  32  (1965), 592- 597. 5.  G .  H ERRM AN N , I . C.  J O N G , On  nonconservative stability problems  of  elastic systems  with slight damping, J.  of  Appl.  M ech.,  1,  33  (1966), 125- 133. <5.  K ) . H .  .SrH j  J I . K,  I T AH U H H ,  9i  M e COBMECTHOE  BJIIMHHE  HEOJJHOPOflHOrO BHEIIIHErO  H  BHYTPEHHErO  TPEHI'M HA  yCTOfiraH BOCTB  HEKOHCEPBATHBHLIX  CHCTEM B  pa6oTe  nccjieflOBaH a  ycToił raBOCTŁ  MOfleJiH   IJ,H rjiepa  H  3aiii