Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1, 10 (1972) AN ALOG IA  M EC H AN IC Z N O- STEREOM EC H AN IC Z NA  W  KLASIE WIELOWSKAŻ N IKOWYCH   RÓWN AŃ   LAG RAN G E'A  D RU G IEG O  R OD Z AJU ROBERT  K R  Ż Y W I EC  (WARSZAWA) 1.  Wstę p R ówn an ia  Lagran ge' a  drugiego  rodzaju  są   dziś  powszechnie  wykorzystywane  do  za- gadnień dynam iki nie tylko przez m echan ików. Stosują   je również z powodzeniem  elektrycy, a  przede  wszystkim  autom atycy,  chociaż  n a  ogół   ich  ukł ady  dynamiczne  nie  posiadają interpretacji  geometrycznej. Stosowalność  tych równ ań jest dotychczas ograniczona najwyż ej  do cią gu  jednowskaź ni- kowego  (czasem  wektora)  zm iennych  lub  współ rzę dnych  uogólnionych.  Istnieje  w  lite- raturze  także  postać  krakowian owa  tych  równ ań  [1]. W  rozwijają cej  się   teorii  szeroko  pojm owanych  systemów  wielkich  [2]  zawierają cych również  i  ukł ady  m echan iczn e,  korzystn e  jest  wprowadzenie  zmiennych  uogólnionych wię cej  niż  jedn owskaź n ikowych.  P rzydatn a  do  tego  jest  algebra  i  analiza  cią gów  wielo- wskaź nikowych  [3,  4],  których  przypadkam i  szczególnymi  mogą   być  wektory,  macierze, krakowian y  i  nawet  ten sory.  D ogodn e jest  również  formuł owanie  zagadnień  przy  uż yciu równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych  wielocią gowych  [5]  w  przypadku  systemów  wielkich 0  strukturze  dyskretn ej. D uże znaczenie m a także  uzasadn ian ie licznych  analogii  mię dzy  rozmaitymi  zjawiskami (na  przykł ad  m echanicznym i,  stereom echanicznym i,  elektrycznymi  oraz  innymi), jak  też 1 m odelowanie  odm ien n ych zjawisk  za  pom ocą   analogii  w  klasach  pewnych przekształ ceń wielocią gowych. D otychczas nie uzasadn ion o analogii  rnechaniczno- stereomechanicznej  w  klasie  równań Lagran ge'a  drugiego  rodzaju.  Autor  uczynił   to  w  pracy  [6]  rozważ ając  najpierw  cią g jednowskaź nikowy  równ ań ,  którego  przypadkiem  szczególnym  jest  jedn o  równanie. W  pracy  [7] uogóln ion o je  n a  przypadek  równ ań  dwuwskaź nikowych. Obecnie  pokaż em y,  że  dzię ki  algebrze  i  analizie  w- cią gów  (gdzie  w jest  dowolną   liczbą n aturaln ą ),  czyli  cią gów  wielowskaź nikowych  m oż n a, otrzymać  wielo wskaź nikowe  równa- n ia  Lagran ge'a  drugiego  rodzaju  w  stereomechanice, podobn ie jak  to  uczyniono  w  pracy [8]  dla  m echaniki. U zasadnienie  analogii  mechaniczno- stereomechanicznej  (M- SM)  polega  n a  podan iu pewnej  równoważ noś ci 70  R.  KRZYWIEC wynikają cej  z  równoważ noś ci cią gów  rozważ ań  logicznych  obu  n auk. Przez  cią g  rozważ ań  logicznych  rozumiemy  tu  uporzą dkowane  przedstawienie  pewnej liczby  poję ć  pierwotnych,  definicji,  aksjomatów  i  twierdzeń  (zasad)  w  ję zykach  obu  roz- waż anych n auk. Istnieje  cią g  rozważ ań  logicznych  w  mechanice,  za  pomocą   którego  moż emy  otrzym ać wielowskaź nikowe  równania  Lagrange'a  drugiego  rodzaju  [8]  bez  stosowania  rach un ku wariacyjnego. Wyprowadzimy  je  obecnie  w  terminologii  stereomechanicznej  z  uż yciem  cią gów w- wskaź nikowych  i  tym  samym  uzasadnimy  analogię   mechaniczno — stereomechaniczną w klasie  tych równań wielowskaź nikowych.  U zyskane w  taki sposób  równ an ia  zastosujemy nastę pnie  do  otrzymania  równań  wielowskaź nikowych  tak  zwanego  oscylatora  stereo- mechanicznego  jako  funkcji  stanu  sprę ż ystego  wyboczenia  systemu  wielkiego  prę tów. Taki  ukł ad wielokrotny  prę tów rozważ aliś my  w pracy  [9]. P okazan o tam , że jego równ an ia róż niczkowe wielocią gowe  ruchu (przez analogię ) są   n aturaln ym uogólnieniem  klasycznego zagadnienia jednego prę ta sprę ż ystego  poddan ego wyboczeniu  [10]. U ogólnienie to  wynika z  algebry  i  analizy  cią gów  wielowskaź nikowych. D zię ki  uż yciu  w- cią gów  m oż na  rozważ ać  wyboczenie  sprę ż yste  systemu  wielkiego prę tów1)  prawie  tak  samo, jak  w  przypadku  wyboczenia  jedn ego  prę ta. T o  sam o  dotyczy wyprowadzenia  wielowskaź nikowych  równań  Lagran ge'a  i  uzasadn ien ia  analogii  mecha- niczno- stereomechanicznej. Jest to konsekwencją   zdefiniowania  pewnych dział ań n a cią gach wielowskaź nikowych.  W  efekcie  mamy  swoistą   niezmienniczość  tak  cią gów  rozważ ań logicznych,  jak  i  wzorów  dla  każ dego  q  =  0,  1,  ...,  w,  gdzie  q  jest  liczbą   wskaź ników rozważ anych  uogólnionych  współ rzę dnych  wielowskaź nikowych. D odam y  przy  tym,  że  wielowskaź nikowe  prawo  H o o ke'a  sform uł owano  w  pracach [11,  12]. Korzystają c  z tego  prawa  moż emy także  otrzymać równ an ie wielocią gowe  oscyla- tora  stereomechanicznego,  w  którym  wielkoś cią   poszukiwaną   jest  cią g  wielowskaź nikowy ugię ć  systemu  wielkiego  prę tów  sprę ż ystych  poddan ych  wyboczeniu. N admieniamy,  że  zastosowana  algebra  i  analiza  cią gów  wielowskaź nikowych  nie wymaga  znajomoś ci  rachun ku  tensorowego. Przypomnimy  jeszcze  dwa  niezbę dne poję cia  dotyczą ce  istoty  form uł owanego  obecnie uogólnienia  wzglę dem  prac  [6,  7]. 1.1.  Cią gi  wielowskaź nikowe  (w- cią gi).  N iech  przy  danej  liczbie  n aturaln ej  w  i  dan ym  cią gu liczb  naturalnych n v   q  =  1, . . , ,  w,  symbol  Z  oznacza dowolny  zbiór, n atom iast  WKprzed- stawia  zbiór  elementów  wk,  które  są   iloczynami  kartezjań skimi II 0 = 1 ')  System  prę tów jest  wielki,  jeś li  opisuje  go  cią g  jednowskaź nikowy  o  duż ej  liczbie  elementów lub cią g  wielowskaź nikowy  wielkoś ci. AN ALOG IA  MECHANICZNO- STEREOMECHANICZNA  W  KLASIE  WIELOWSKAŹ NIKOWYCH   RÓWNAŃ   71 zbiorów {T 1 1 }  =  {1,  . . . , «t }, {n w }  =   {1 ,  ...,n w } zwanych  odcin kam i n aturaln ym i  o  dł ugoś ciach  {n q }. D e f i n i c j a  1.  w- cią giem  nazywamy  każ dą   funkcję   (odwzorowanie)  r  typu r  : w T ce w K^ >  Z i  zapisujemy  w  postaci j—[jl- - jw],  jq=  1, ..., ««;  5 = 1 , . . . ,  W . W  pracy  [6]  rozważ ono  jedn ocią gi r  =  [rjj,  h  =   1, • • • ,«! zmiennych  uogóln ion ych,  czyli  przypadek  w  =   1.  W  pracy  [7]  uwzglę dniono  dwucią gi 2 r  =   K J J '  A  ==  1.  • ~,n 1 - )   j 2   =   1,  . , . , H j zmiennych  uogóln ion ych,  czyli  przypadek  w  =   2. Obecnie  zał oż ymy,  że  w  m oże  być  dowolną   liczbą   n aturaln ą . Algebrę   i  elementy  analizy  wielocią gów  podan o  w  pracach  [3, 4]. 1.2.  Równanie  róż niczkowe  zwyczajne  wielocią gowe  rzę du  n. D e f i n i c j a  2.  R ówn an ie  róż niczkowe  zwyczajne  wielocią gowe  rzę du  n  m a  postać "F[x,   k y(x),   k y'(x),  ..., fW (x)]  =  *Ó, gdzie  cią g  A:- wskaź nikowy  funkcji  kF  jest  cią gł y2)  wzglę dem  swoich  argumentów,  przy czym  stron a lewa  zależy  od / c- cią gu  najwyż szych  poch odn ych ^ '^ (x)  funkcji  wielocią gowej k y(x)  argum en tu  zerocią gowego  x. P rostym  przykł adem  takiego  równ an ia  w- cią gowego  jest  wielowskaź nikowe  równanie oscylatora  h arm on iczn ego, którego  przypadek  szczególny  stanowi  równanie 1 ay"- \ - 2 ay  — 0,  gdzie   t a,   2 a  —  stał e, opisują ce  wyboczenie  sprę ż yste  jedn ego  prę ta  [10]. An alogia  m echan iczn o- stereom echan iczna  w  klasie  wielowskaź nikowych  równań Lagran ge'a  drugiego  rodzaju  sł uży  d o : 1°  otrzym an ia równ ań wyboczenia  sprę ż ystego  ukł adu wielokrotnego  prę tów  opisanego cią giem  wielowskaź nikowym  ugię ć  za  pom ocą   wyprowadzonych  równań  Lagran ge'a opisują cych  zjawisko  stereom echan iczn e  wyboczenia  systemu  wielkiego  prę tów  sprę ż y- stych ; 2°  wykazania,  że  dan e  zagadn ien ie  wyboczenia  systemu  wielkiego  prę tów jest ruchem. 2 )  Oznacza  to,  że wszystkie  wyrazy  .Fj  &- cią gu  ''/ "są funkcjami  cią gł ymi. 72  R .  K R Z YWI E C 2.  R uch  dynamicznego  ukł adu  stereom echan iczn ego  wielokrotn ego.  Wię zy Bę dziemy  rozważ ali  przestrzeń  cią gów  H>- wskaź nikowych  [3, 4] (2.1)  wy  =  wy(x),  xe utworzoną   z  rozwią zań  równań  róż niczkowych  w- cią gowych  rzę du  n (2.2)  wy^   =   wf(x,   wy,   wy',  ...,  "j*"- 1 ) ) , których  prawe  strony  są   funkcjami  cią gł ymi  i  posiadają cymi  cią głe  pochodn e  czą stkowe wzglę dem  każ dej  zmiennej. D e f i n i c j a  1.  Ruchem  (jednoparametrowym)  ukł adu  stereomechanicznego  wielo- krotnego  wy  nazywamy  każ dą   funkcję   (2.1)  lub  w  postaci  uwikł anej (2.3)  •   wU(x, wy)  =  wQ, D e f i n i c j a  2.  Prę dkoś cią   wy{k\ x)  rzę du  k;  k  =  1,  ...,n,  ruchu  ukł adu  stereo- mechanicznego  wielokrotnego  (2.1)  nazywamy  /c- tą   pochodną   funkcji  (2.1),  czyli (2. 4) ^ D e f i n i c j a  3.  Równanie  (2.2)  lub  w  postaci  uwikł anej (2.5)  wG(x,   wy,   wy',  ...,  '- jC '-1),  wyW )  =   w0 nazywamy  równaniem  (stanu) ruchu  ukł adu  stereomechanicznego  wielokrotnego. D e f i n i c j a  4.  Wię zami  ruchu  ukł adu  stereomechanicznego  wielokrotnego  (2.1) nazywamy  niezależ ne  od  siebie  zwią zki posiadają ce  cią głe  pierwsze  pochodne  w  rozważ anym  otoczeniu  zmiennych  x, wy, Przyjmujemy,  że  badane  zjawisko  może  podlegać  pewnym  ograniczeniom. Postulat  1. Istnieje  absolutna  zmienna niezależ na  x. Postulat  2. Istnieje  inercjalny  ukł ad  odniesienia. Postulat  4.  Sł uszne są   prawa  N ewtona z tym, że  czas  absolutny  t jest  zastą piony  abso- lutną   zmienną   niezależ ną   x. U w a g a .  Jeś li  ograniczymy  się   do  przykł adu  wyboczenia  sprę ż ystego  prę ta  pryzma- tycznego  o dł ugoś ci skoń czonej, to y(x) jest jego ugię ciem  w przekroju  opisanym  odcię tą   x. W  przypadku  n =   2  otrzymujemy  z  (2.2) równania  ruchu ukł adu  stereomechanicznego (2.7)  wy"  =  wf(x, wy, wy') analogiczne  do  newtonowskich  równ ań  ruchu  [8] Wynika  t o  stą d,  że zamiast  proporcji - | L»7(0~w7(0 AN ALOG IA  MECHAN ICZN O- STEREOMECHAN ICZNA W  KLASIE  WIELOWSKAŹ N IKOWYCH   RÓWN AŃ   73 istotnej  w przypadku  oscylatora  mechanicznego wielowskaź nikowego  sł uszna jest  proporcja którą  otrzymujemy  z uwzglę dnienia  wielowskaź nikowej  linii  ugię cia. D e f i n i c j a  1.1.  R ównanie  (2.7)  nazywamy  równaniem  ruchu  ukł adu  stereomecha- nicznego  (2.1)  przez  analogię  do  newtonowskich  równań  ruchu. Wtedy  wię zy  stereomechaniczne  przez  analogię  do wię zów  mechanicznych  mogą przyjmować  postać (2.8)  "H(x,   w p , wy') =  "0 —  nieholonomiczne  (róż niczkowe  lub  kinematyczne), (2.9)  "H(x,  wy) =  "0 —  holonomiczne reonomiczne  (skoń czone  lub  geometryczne), (2.10)  vH(wy)=vQ —  holonomiczne skleronomiczne. D la  stereomechanicznych  równ ań  ruchu  formuł ujemy  zagadnienie  Cauchy'ego. D e f i n i c j a  5. Sił ą  stereomechaniczną  przez  analogię  do  sił y  newtonowskiej F  — ma,  m — masa,  a —  przyś pieszenie, nazywamy  funkcję  liniową (2.11)  WF =  "EJ/ / »y" -   [11- 1(£ / ), / / w- 1K', ....  ^ {EJ^ - jr- rfnl- J daną  za  pomocą  p- iloczynu3),  gdzie (2.12)  »F=wF(x ) w y, w y'), przy  czym i F=EJy"  =  faĄ yi',  ...,E n J„y' n ']. D e f i n i c j a  6. Zwią zki  (2.1),  (2.12)  nazywamy  równaniami  ruchu ukł adu  dynamicz- nego  stereomechanicznego  wielokrotnego. D e f i n i c j a  6.1. D ynamiczne  ukł ady  stereomechaniczne  speł niają ce  równania wię zów  nazywamy  ukł adami  nieswobodnymi. P rawa  ruchu  dynamicznych  ukł adów  stereomechanicznych  są  uogólnieniem  praw ruchu  ukł adu  dynamicznego  stereomechanicznego  zerowskaź nikowego4) EJy"=f{x,y,y'), gdzie  EJ jest  sztywnoś cią  prę ta  pryzmatycznego  o dł ugoś ci  skoń czonej.  Wymagają one kilku  dalszych  pewników  zgodnych  z  doś wiadczeniem. 3 )  Symbol  / /  oznacza  m noż enie  dwóch  cią gów  wielowskaź nikowych w sensie / ^- iloczynu  [3].  Przypa- dek  cią gów  dwuwskaź nikowych  ilustrują cy  te  poję cia  rozważ ono  w pracy  [7], 4 )  W równ an iach  wielocią gowych  kon kretn ych  EJ jest  n a ogół   cią giem  2w — wskaź nikowym  sztyw- noś ci  wzajemnych  ukł adu  stereomechanicznego  wielokrotnego  jako  systemu  wielkiego [9]. 74  R.  KRZYWIEC Postulat  IV.  Z  istnienia  wię zów  i  ruchu  ukł adu  dynamicznego  stereomechanicznego wielokrotnego  po  nich  (ruchu zgodnego  z  wię zami)  wynika  istnienie  sił  dział ania  (reakcji) wię zów  WR  n a ukł ad i odwrotnie. Postulat  V.  P od  wpł ywem  sił   WF  nieswobodny  dynamiczny  ukł ad  stereomechaniczny wielokrotny  wy porusza  się , jak  ukł ad dynamiczny  wielokrotny  swobodny  pod dział aniem sumy sił  danych i oddział ywań wię zów,  czyli w inercjonalnym ukł adzie odniesienia speł nione są   równania ruchu W EJ/ / W y"  -   W F+ W R, przy  czym  współ rzę dne yj  w- cią gu  wy speł niają   odpowiednie  równ an ia  wię zów. U w a g a .  Sił y, które  nie  są   spowodowane  dział aniem wię zów  nazywamy  sił ami czyn- nymi. Bę dziemy  rozważ ali  tylko  takie  wię zy  róż niczkowe,  które są  speł nione liniowo  przez prę dkość  (2.4)  dynamicznego  ukł adu  stereomechanicznego  wielokrotnego,  to  znaczy w- cią gi  równań (2.13)  «fx«3>'  = "• 0, wynikają ce  z ogólnej  definicji  wię zów (2.14) °H(x,  wy,  V )  =   O, przy  czym  "7 i "D  są   funkcjami  x,  wy i nie  wszystkie Ij są  równe zeru,  n atom iast  symbol X  oznacza mnoż enie dwóch  cią gów  wielowskaź nikowych  w  sensie  m- iloczynu,  ą Xp r ze d- stawia  cią g  sum  / w- iloczynu  [3]5). 3.  Przemieszczenia  moż liwe.  Przemieszczenia  przygotowane N iech  dany  dynamiczny  ukł ad stereomechaniczny  wielokrotny (3- 1)  wy - [y7] speł nia wię zy skoń czone (3.2)  HH(x,  "50 .  "'O, które  zastę pujemy  wynikają cymi  z nich  wię zami  róż niczkowymi (3- 3)  C^Z/ vvy+ Â ^o S  y  9x i  wię zy  róż niczkowe  o  których  zakł adamy, że  są   liniowe,  czyli (3.4)  "7 X y'=  VlD, gdzie  symbol  //  oznacza cią g  sum / ^- iloczynu tensorowego  róż niczkowego  rzę du  pierwszego funkcji  wielowskaznikowej  argumentu wielowskaź nikowego  [3]6) s )  Przypadek  cią gów  dwuwskaź nikowych  ilustrują cy  te poję cia  rozważ ono  w pracy  [7]. 6 )  Uwaga  identyczna, jak w notce  5 ) . AN ALOG IA  MECHANICZNO- STEREOMECHANICZNA  W  KLASIE  WIELOWSKAŹ NIKOWYCH   RÓWNAŃ   75 D e f i n i c j a  7.  P rę dkość  wy'  (x)  dynamicznego  ukł adu stereomechaniczziego  wielo- krotn ego  znajdują cego  się   w poł oż en iu w y  <=   W A nazywamy  prę dkoś cią   moż liwą  (zgodną   z  wię zami)  w  tym  poł oż eniu,  jeż eli  ukł ad może ją posiadać  w  miejscu  x,  co zachodzi  wtedy,  gdy  ta prę dkość  speł nia równania  liniowe  wię zów (3.3)  i  (3.4). D e f i n i c j a  8. P rzez an alogię  do dr  =   r'dt,  r—wektor  promień pun ktu materialnego, ukł ad  nieskoń czenie  m ał ych  przemieszczeń d w y  =   wy'dx, gdzie  w'y'(x)  jest  prę dkoś cią   moż liwą  dynamicznego  ukł adu  stereomechanicznego  wielo- krotn ego,  nazywamy  n ieskoń czen ie  mał ym  przemieszczeniem 7)  moż liwym  tego  ukł adu. P rzemieszczenia  moż liwe  speł niają   równ an ia (35) y oraz które  otrzymujemy  m n oż ąc  obustron n ie  równ an ie  (3.3)  i  (3.4)  przez  dx. N iech  bę dą   dan e  dwa  przemieszczenia  moż liwe (3.6)  dw'y  =   wy'dx i (3.7)  dw t y  =   \ y'dx odpowiadają ce  przekrojowi  x  oraz  tem u  samemu  poł oż en iu dynamicznego  ukł adu stereo- mechanicznego. Speł niają   one  równ an ia  (3.5),  n atom iast  ich  róż nica (3.8)  dwy  =  d\ y- dwy speł nia  zwią zki  jed n o ro d n e (3.9)  CŁ ^ y^ oto oraz (3.10)  w]DC8wy  =  ^ 0. D e f i n i c j a  9.  R óż n icę   (3.8)  nazywamy  przemieszczeniem  przygotowanym  (wirtual- n ym )  dynamicznego  ukł adu  stereom echanicznego  wielokrotnego  (3.1)  w  przekroju  x  dla pewnego  poł oż enia  moż liwego. 7)  Mamy  tu na myś li  przemieszczenie  uogólnione  dwy  jako  iloczyn dx  oraz prę dkoś ci  wy',  charakte- ryzują cej  zjawisko stereomechaniczne w ukł adzie stereomechanicznym (systemie wielkim)  ł f- wskaź nikowym. 76  R .  K R Z VWI E C 4.  Podstawowe  zagadnienie  dynamiki  ukł adów  stereomechanicznych  wielokrotnych.  Wię zy  idealne Oznaczmy  wymiary  wewnę trzne  iv- cią gu,  ^- cią gu  i v 2 - dą gu  przez (4.1)  D im  wy  =  uw, (4.2)  Dim  "iff  =   u"1, (4.3)  ""bim   D*if =  «"*. Równania  (3.9) i  (3.10)  zawierają   nw  niewiadomych  współ rzę dnych  w- cią gu  lvj>. Jeś li  równania te są  niezależ ne, to wś ród  współ rzę dnych  <3 yj  istnieje n w  =   tF—uV—iA1 współ rzę dnych  niezależ nych. D e f i n i c j a  10.  Liczbę  nw  współ rzę dnych niezależ nych w- cią gu yj  nazywa  się  liczbą stopni  swobody  danego  dynamicznego  ukł adu  stereomechanicznego  wielokrotnego, ś ciś lej:«"'-   krotnego. Podstawowe  zagadnienie dynamiki  nieswobodnego  ukł adu  stereomechanicznego  wielo- krotnego  moż na  sformuł ować  nastę pują co. N ależy  okreś lić  ruch (4.5)  »y = ukł adu  wy  oraz  oddział ywania  wię zów (4.6)  "R =   wR(x,   wy,   wy') przy  danych  sił ach czynnych (4.7)  wF=wF(x, wy, wy') i  zgodnych  z wię zami  jego  poł oż eniach  począ tkowych (4- 8)  Zy «  S5»(x)U o oraz  prę dkoś ciach  począ tkowych (4.9)  T y' -   ly'(x)\ sm0 . Jeś li  nie jest znany charakter wię zów, to nie są  też wiadome  oddział ywania WR i zagadnienie jest  nieokreś lone,  ponieważ  liczba  uw  niewiadomych  yj,  Rj  jest  wię ksza  od liczby równań gdzie  n —  u. Podstawowe  zagadnienie  dynamiki  ukł adu  stereomechanicznego  staje  się   okreś lone, jeś li  mamy u w +u w ~(u w +u^ +u v 2 2 )  =   k w, k w  =   uw- uV- - uV: dodatkowych  niezależ nych  zwią zków  mię dzy  szukanymi  wielkoś ciami  dyj.  Zwią zki  te otrzymamy  postulują c  istnienie klasy  wię zów  idealnych. AN ALOG I A  MECH AN ICZN O- STEREOMECH AN ICZNA  W  KLASIE  WIELOWSKAŹ N IKOWYCH   RÓWN AŃ   77 Postulat  VI.  w- krotny  iloczyn 8)  wR/ / dwy,  jako  praca  sił   oddział ywania  wię zów  na dowolnych  (zgodnych  z  wię zami)  przemieszczeniach  przygotowanych  zeruje  się ,  gdy  nie wystę pują   sił y tarcia, albo  wł ą czamy je  do  sił  danych, to  znaczy (4.10)  wRl/ dwy  =  0. D e f i n i c j a  11.  Wię zy  stereomechaniczne  nazywamy  idealnymi, jeż eli  sił y  oddzia- ł ywania  WR  n a pun kty  dynamicznego  ukł adu stereomechanicznego speł niają   zwią zek  (4.10). 5.  Ogólne  równanie  dynamiki  ukł adu  stereomechanicznego Rozważ my  dynamiczny  stereomechaniczny wielokrotny  ukł ad nieswobodny.  Jego  rów- nanie  ruchu  ma  postać (5.1)  WEJ/ / Vy"  =   WF+WR. Jeś li  wię zy  są   idealne,  t o  w  każ dym  poł oż eniu ukł adu dowolne  przemieszczenia  przygoto- wane speł niają   równanie  (4.10) Z  ukł adu tych  dwóch  zwią zków  wynika  równość (5.2)  ( M T -   WEJ/ / Wy")  dwy  = które  nosi  nazwę   ogólnego  równ an ia  dynamiki  ukł adu stereomechanicznego. P odczas  ruchu  ukł adu  w  dowolnym  miejscu  x  (przekroju)  suma  prac  sił   czynnych i stereomechanicznych sił  bezwł adnoś ci9) na dowolnych przemieszczeniach  przygotowanych jest  równa  zeru. Twierdzenie.  Warunkiem  koniecznym  i  dostatecznym  na  to,  by  ruch  dynamicznego ukł adu  stereomechanicznego zgodny  z wię zami  odpowiadał  danemu ukł adowi sił  czynnych W F  jest  speł nienie ogólnego  równ an ia  dyn am iki10). 6.  Z asada  przemieszczeń  przygotowanych.  Z asada  D 'Alemberta D e f i n i c j a  12.  Poł oż eniem równowagi  o j  dynamicznego  ukł adu  stereomechanicz- nego  wielokrotnego  w j  nazywamy  takie jego poł oż enie, w  którym  ukł ad znajduje  się  w spo- sób  cią gł y, jeś li w  miejscu  począ tkowym  był  on w  tym poł oż eniu  i prę dkoś ci  wy'  wszystkich jego  punktów  był y równe  zeru. 8 )  Symbol  wL J  ozn acza  sum ę   w- krotną   j> iloczyn u  [3]. P rzypadek  cią gów  dwuwskaź nikowych  ilustru- ją cy  te  poję cia  rozważ ono  w  pracy  [7]. 9 )  Stereomecbanicznymi  sił ami  bezwł adnoś ci  WB  nazywamy  wyraż enie  WB  =  —™EJ/ fwy". 1 0 )  N ależy  pam ię tać,  że  ogóln e  równ an ie  dynam iki  (5.2)  jest  w  istocie  ukł adem  równ ań ,  bowiem  za- m iast  dwy  m oż na  w  dowoln ym  miejscu  x  (przekroju)  wstawić  dowolne  przemieszczenie  przygotowane. 78  R.  KRZYWIEC Poł oż enie  ukł adu  op  jest  wtedy  i  tylko  wtedy  poł oż eniem równowagi,  gdy  ruch (6.1)  wy(x)  m  w o y speł nia  ogólne  równanie  dynamiki,  to jest  jeż eli  w  tym  poł oż eniu (6.2) Równość  ta jest  treś cią   zasady  przemieszczeń  przygotowanych. Twierdzenie.  Warunkiem  koniecznym  i  dostatecznym  n a  t o ,  aby  pewne  (zgodnie  z  wię - zami) poł oż enie dynamicznego  ukł adu stereomechanicznego wielokrotnego  był o poł oż eniem równowagi,  jest  równa  zeru  w  tym  poł oż eniu  suma  prac  sił   czynnych  WF  n a  dowolnych przemieszczeniach  przygotowanych  d  wy. Równość  (6.2), wyznaczają ca  zasadę   przemieszczeń  przygotowanych  jest  przypadkiem szczególnym  ogólnego  równania  dynamiki  (5.2). P otraktujmy  równanie  dynamiki  jako  zasadę   przemieszczeń  moż liwych,  charaktery- zują cą   poł oż enie  równowagi  dynamicznego  ukł adu  stereomechanicznego  wielokrotnego, które  powstaje  z  dodan ia  sił  bezwł adnoś ci  do  sił  czynnych. Stą d  wynika  zasada  d'Alem berta:  P odczas  ruchu  dynamicznego  ukł adu  stereomecha- nicznego  wielokrotnego  m oż na  dowolne  jego  poł oż enia traktować  jako  poł oż en ia  równo- wagi  dodają c  sił y  bezwł adnoś ci  WB  do  sił   czynnych  WF  w  dan ym  poł oż eniu (6.3)  WF+WB  =   w 0 . D zię ki  tej  zasadzie  metody  statyki  przenoszą   się   n a  zagadnienia  dynam iki. 7. Współ rzę dne niezależ ne (uogólnione) ukł adów stereomechanicznych holonomicznych.  Sił y uogólnione N iech  bę dzie  dany  dynamiczny  ukł ad  stereomechaniczny  wielokrotny w y  -   [yjl holonomiczny, czyli  speł niają cy  wię zy (7.1)  °iH(x,   wy)  =   w 0 . Przyjmujemy,  że  funkcje  ViH  w  iloś ci  uy  są   niezależ ne,  przy  czym  x  jest  param etrem , n atom iast  zmiennych  yj  jest  nw.  Wobec  powyż szego  m oż na  z  równ ań  wię zów  wyrazić w"1  współ rzę dnych  (czyli  v x   —  cią g  współ rzę dnych)  przez  uw—1Ą 1  pozostał ych  współ - rzę dnych  oraz  zmiennej  x  i  rozpatrywać  te  współ rzę dne  w  liczbie (7.2)  k w  =   uw- u\ i  - : jako  wielkoś ci niezależ ne, okreś lają ce  poł oż enia dynamicznego  ukł adu stereomechanicznego holonomicznego w miejscu  x.  Takimi  współ rzę dnymi  niekoniecznie muszą   być  współ rzę dne kartezjań skie. Także  współ rzę dne  kartezjań skie  w- cią gu  wy  (w  iloś ci  uw)  m oż na  wyrazić ja ko  funkcje cią głe  i  róż niczkowalne  s- cią gu  param etrów  niezależ nych (7- 3)  ą   =   [q h ... js ] AN AL O G I A  M E C H AN I C Z N O- STE R E OM E C H AN I C Z NA  W  KLASIE  WI E LO WSK AŹ N I K O WYCH   R Ó WN AŃ   79 i  zmiennej  x,  mianowicie (7.4)  wy  =   wy{x,  °q), przy  czym (7.5)  D im  sq  =   k w. F unkcje  te  speł niają   toż samoś ciowo  równ an ia  wię zów  podan e  wyż ej. Z akł adam y  p o n ad t o , że  dowoln e  (zgodne  z  wię zami)  poł oż enia dynamicznego  ukł adu stereomechanicznego  wielokrotn ego  w  miejscu  x  m oż na  przy  pewnych  wartoś ciach  "q otrzym ać  z  równ ań  (7.4). D e f i n i c j a  13.  Wielkoś ci  *q  wystę pują ce  w  równoś ci  (7.4)  nazywamy  współ rzę d- nymi  uogóln ion ym i  niezależ nymi  dynamicznego  ukł adu  stereomechanicznego holonomicz- nego  wielokrotn ego. Każ demu  ^- cią gowi  współ rzę dnych  uogólnionych  "q  odpowiada  .y- ciąg  sił   uogólnio- nych  SQ.  Wprowadzam y  je  n astę pują co. N iech  bę dzie  dan a  praca  SjL  sił   czynnych  " T ja ko  w- krotny  iloczyn (7.6)  8L ^ Przemieszczenia  przygotowan e  są   róż n iczkami  przygotowanym i  funkcji  wy(x,   sq) (7- 7)  swy  =  ^ U * s y przy  ustalon ym  x. P odstawienie  zwią zku  (7.7)  do  (7.8)  prowadzi  do  wyraż enia  pracy  elementarnej  sił czynnych  WF  przez  dowoln e  przyrosty  d"q współ rzę dnych  uogólnionych  sq (7.8)  6L   =  WF D e f i n i c j a  14.  Współ czynniki  SQ  przy  <5  5 c  wyraż ają ce  się   wzorem (7.9)  ^ - „ (gdzie  T —symbol  cią gu  tran spon owan ego)  nazywamy  sił ami  uogólnionymi. 8.  WielowSkaź irikowe  równ an ia  L a gr a n ge ' a  drugiego  rodzaju  we  współ rzę dnych  niezależ nych dyn am iczn ego  ukł adu  stereom echan iczn ego  wielokrotn ego R ówn an ia  te  wyprowadzim y  z  równ an ia  ogólnego  dynam iki CF- w EJ/ / w y")l/ d w y  =  0. P raca  6L   sił  czynnych  WF  w  ukł adzie  kartezjań skim 80  R-   KRZYWIEC we  współ rzę dnych  niezależ nych  "'q  przyjmuje  postać dL gdzie  wedł ug  (7.9) Analogiczną   postać m a  praca  6L B   sił  bezwł adnoś ci (8.1)  SL B   =  - ' gdzie  we  współ rzę dnych niezależ nych P on adto  stwierdzamy,  że  prę dkość jest  funkcją   liniową   sq'.  Wobec  tego (8.4) D odatkowo  z  (8.3) mamy d w y'  d w y (8  5) ^ l ^ d 8J2 o  q  ax  o  q Wobec  powyż szego  po  uwzglę dnieniu  zwią zków  (8.4)  i  (8.5)  równość  (8.2)  przyjmie postać gdzie  T jest  energią   kinetyczną   przez  analogię   dynamicznego  ukł adu  stereomechanicznego wielokrotnego (8.7)  T  = j»pH"y2 <   = ±"T przy  czym   WT   jest  cią giem  w- wskaź nikowym  energii  ukł adu. Z  równania  ogólnego  dynam iki (8.8) lub  po  wykorzystaniu  wyraż eń  n a  prace m am y (8- 9)  ( AN AL O G I A  M E C H AN I C Z N O- STE R E OM E C H AN I C Z NA  W  KLASIE  WI E LOWSK AŹ N I K OWYCH  R Ó WN AŃ   81 R ówn ość t a może zachodzić wtedy  i tylko  wtedy,  gdy  współ czynniki przy  6sq  są  równe ze r u 1 1 ) .  Z atem zwią zek  (8.9) jest równ oważ ny  równoś ci która  zgodnie  z  (8.6)  m oże  być  zapisan a  w  postaci raw  ±J£- - v ( 8 - 1 0 )  dx  Ff  d°q-   Q- Ostatn ia  równ ość nosi n azwę  równ ań  Lagran ge'a  drugiego  rodzaju  lub  równań  Lagrange'a we współ rzę dnych niezależ nych  (uogólnionych) dynamicznego ukł adu stereomechanicznego wielokrotn ego.  Są  one sł uszne również —ja k  wiadom o —  w przypadku  dział ania n a ukł ad sił   posiadają cych  potencjał , czyli  przy  uwzglę dnieniu  energii  potencjalnej. 9. Przykł ad P rzedstawimy  przykł ad  równ ań  ruchu  ukł adu  dynamicznego  stereomechanicznego wielokrotnego  otrzym an ych  za  pom ocą  równ ań  Lagran ge'a  drugiego  rodzaju  wyprowa- dzon ych  w.tej  pracy. Weź my  jeden  pręt  sprę ż ysty  o  sztywnoś ci  EJ  =   a x   =  const  poddan y  wyboczeniu  sił ą P  — a 2   =  const. W  tym przypadku  zerowskaź nikowe  równanie ruchu m a postać Otrzymujemy  je  z  zerowskaź nikowego  równ an ia  Lagran ge'a d_  8T   8T   _ dx'dy'  8y  ~  ' gdzie  T  jest  energią  kinetyczną  prę t a. Weź my  nastę pnie  ciąg  n  prę tów  sprę ż ystych  usytuowanych  n a  jedn ym  odcinku  i  na przykł ad utwierdzonych sztywno jedn ym  koń cem. Swobodn e koń ce są  poł ą czone  sprę ż yś cie. Każ dy  pręt jest  obcią ż ony  jedn ą  sił ą. Jednowskaź nikowe  równ an ie  ruch u  m a  postać f« y"+lay  =  Ó, czyli ...  + 2 a„„y„  =   0. Otrzymujemy  je  z jedn owskaź n ikowego  równ an ia  Lagran ge'a d  8T   8T dx  d 1 ?  d l y które  wyprowadzon o  w  pracy  [6], lx )  Wynika  to stą d, że współ rzę dne niezależ ne s- cią gu  sg  mają  zupeł nie dowolne przyrosty  5sq. 6  M ech an ika  teoretyczn a 82  R.  KRZYWIEC W  przypadku  ogólnym  mamy n x ,  ...,n w   prę tów  sprę ż ystych  usytuowanych  n a przykł ad sztywno  jednym i  koń cami  w  pł aszczyź nie.  Koń ce  swobodne  są   poł ą czone  sprę ż yś cie. Każ dy  prę t jest  obcią ż ony jedną   sił ą . Wielowskaź nikowe  równanie  ruchu  m a  postać 2w l a w y"+ zw 2 a w y  =   w 0 , przy  czym  charakter  przyję tych  iloczynów  wyjaś niono  w  pracach  [3, 4].  R ówn an ia  te otrzymujemy  z wielowskaź nikowych  równań  Lagran ge'a  drugiego  rodzaju d__8T _  3T   _ , - dx  8 w y'  d w y wyprowadzonych  w  niniejszej  pracy. Rozważ ania  szczegół owe  dotyczą ce  wykorzystania  tych  równ ań  (z  podan iem  cią gu wielowskaź nikowego  energii)  do  otrzymania  przytoczonych  równ ań  ruchu  przez  analogię zawarte  są   w pracy  [13]. P rzypadek  cią gów  dwuwskaź nikowych  ugię ć ilustrują cy  rozważ ane w  tej  pracy  poję cia  rozpatrzon o w  pracy  [7], która  tym  samym jest  przykł adem do  powyż- szych  wywodów  wielowskaź nikowych. Literatura  cytowana  w tekś cie ' .  S. ZŁON KIEWICZ, A cracovien method for  solving equations ofmotion ofdynamics  systems, Rozpr. Inż ., 11  (1963). 2.  R.  KU LIKOWSKI,  Sterowanie  w wielkich  systemach,  WN T,  Warszawa 1970. 3.  R.  KRZYWIEC,  Cią gi wielowskaź nikowe,  Zagadn.  D rgań  N ieliniowych,  11, PWN , Warszawa  1970. 4.  R.  KRZYWIEC,  W ielocią gi  (praca  doktorska). 5.  R.  KRZYWIEC,  O stabilnoś ci rozwią zań  równań  róż niczkowych  zwyczajnych w- cią gowych  (w druku). 6.  R.  KRZYWIEC,  Analogia  mechaniczno- stereomechaniczna  w  klasie  jednowskaź nikowych równań L a- grange'a drugiego  rodzaju,  Zagadn. D rgań N ieliniowych (w druku). 7.  R,  KRZYWIEC, Analogia mechaniczno- stereomechaniczna  w  klasie dwuwskaź nikowych równań  L agrange'a drugiego  rodzaju,  Mech. Teoret. i Stos., 2, 8, (1970). 8.  R.  KRZYWIEC,  W ielowskaź nikowe  równania L agrange'a drugiego  rodzaju ukł adów mechanicznych wielokrotnych jako  systemów wielkich,  Zagadn.  D rgań  N ieliniowych,  11,  PWN ,  Warszawa 1970. 9.  R.  KRZYWIEC,  W yboczenie  sprę ż yste ukł adu  wielowskaź nikowego  prę tów  jako  ruch przez analogię , Archiwum  Budowy  Maszyn,  18(1971). 10.  M.  T.  H U BER,  Stereomechanika  T echniczna,  1951. 11.  R.  KRZYWIEC,  W ielowskaź nikowe prawo Hooke'a  wielkich  systemów stereomechanicznych,  Archiwum Budowy  Maszyn  (w  druku). 12.  R.  KRZYWIEC,  Uogólnione  prawo  Hooke'a  ukł adów stereomechanicznych  wielokrotnych,  Zagadnienia D rgań  N ieliniowych  (w  druku). P  e 3  IO  M  e M EXAH H KO- CTEPEOM EXAH H ^IECKA>I  AH AJ I O r iM   B  KJIACCE M H OrOH H flE KC H BI X  YP ABH EH H ft  JIATPAH>KA  BT O P O r O  POflA B  CTaTte  cd_)opMyjiHpoBaHa  H   o6ociiOBaH a  M exaH iiKO- CTepeoM exammecKaH   aH ajioriM   pjm  KJiacca ypaBH eH H H   JTarpaHH