Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z1.pdf M E C H A N I K A TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 1,  10  (1972) ZASTOSOWAN IE  MASZYN   CYFROWYCH   D O ROZWIĄ ZYWAN IA  RU SZTÓW O REG ULARN EJ SZEŚ CIOKĄ TN EJ  SIATCE  PRĘ TÓW JAN   BOG D AN   O  B  R  Ę   B  S  K  I  (WARSZ AWA) 1.  Wstę p W  niniejszej  pracy  przedstawion o  m etodę   obliczeń  numerycznych  regularnego,  heksa- gonalnego  rusztu  pł askiego  skł adają cego  się   z  prostych,  sprę ż ystych  prę tów,  tworzą cych w  planie  siatkę   sześ cioką tów  foremnych.  Ruszt  ten jest  obcią ż ony  w  wę zł ach sił ami prosto- padł ym i  do  pł aszczyzny  kon strukcji  oraz  m om en tam i  o  wektorach  leż ą cych  w  tej  pł asz- czyź nie.  D o  tej  pory  zagadn ien iem  tego  typu  zajmowano  się   jedynie  w  pracach  [2],  [3], [6],  [9], P race  te  dotyczył y  rozwią zania  zagadnienia  w  sposób  analityczny  podają c  jedynie wyniki przybliż one  lub  omawiał y  pewne  przypadki  szczególne.  W  poniż szej  pracy  osią gnię- to  w  oparciu  o  równ an ia  równ owagi  wę zł a, wyprowadzone  w  pracy  [3], peł ne numeryczne rozwią zanie  postawionego  zagadn ien ia,  uwzglę dniają ce  moż liwość  obcią ż ania  konstrukcji w  wę zł ach  dowolnym  obcią ż eniem.  P on adt o  po  raz  pierwszy  wprowadzono  do  równań typu  macierzowego  operatory  przesunię cia  stosowane  w  rachun ku  róż nic  skoń czonych. Pozwolił o  to  zapisać  równ an ia  równowagi  wę zła  w  postaci  bardziej  przejrzystej  i  zwię zł ej, a  zarazem  wygodnej  w  obliczeniach  numerycznych.  Jednocześ nie  zastosowana  procedura «D E T  G AU SS  P ASM OWY»  daje  dogodny  aparat  matematyczny  d o  rozwią zywania  tego typu zagadnień. P rzykł adowe obliczenia  przeprowadzon o  n a maszynie  cyfrowej  OD R A  1204 dla  rusztu  ograniczonego  koł em  o  ś rednicy  okoł o  oś miu  dł ugoś ci  prę tów  siatki. 2.  Oznaczenia  i zał oż enia W  zadaniu  przyję to  kartezjań ski  prawoskrę tn y,  ukoś n oką tny  ukł ad  współ rzę dnych o  osiach  x1  i  x2  leż ą cych  w  pł aszczyź nie  rusztu  i  nachylonych  do  siebie  pod  ką tem  120° oraz  o  trzecim  kierun ku  n  skierowanym  prostopadle  do  dwóch  pozostał ych.  Wszystkie prę ty  rusztu  leżą   n a  trzech  rodzin ach  prostych  równoległ ych  oznaczonych  odpowiednio A  =   I, I I , I I I ,  są   równej  dł ugoś ci  i  zbiegają   się   w  wę zł ach  w  taki  sposób,  że  ich  osie  prze- cinają   się   w  jedn ym  pun kcie  tworzą c  sztywne  wę zł y.  Wykon an e  są   one  z  materiał u  sprę - ż ystego  i  mają   gł ówne  osie  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzecznego  odpowiednio  równo- legł e i prostopadł e do pł aszczyzny  rusztu.  W zwią zku  z tym postuluje  się , że sił y prostopadł e do  pł aszczyzny  rusztu  powodują   jedyn ie  pion owe  przemieszczenia  wę zł ów.  Z wroty  do- datn ie  sił  wewnę trznych  i  obcią ż eń  ilustruje  rys.  1. 118 J.  B.  OBRĘ BSKI Rys.  1 Oznaczenia E  moduł   Younga, Ei'I>(x l , x 2 )  =   Et{xl,x2) =  0(xi+/ iix2)  operator  przesunię cia  wzdł uż  A  — I, En&ix 1 ,  x 2 )  =   E2$(xl,x2)  =  cP(xl,x2+/ i)  operator przesunię cia  wzdł uż A  =  I I , Ein ( l>(x\ x 2 )~  E30(x l ,x 2 )  =  0(x 1 —fi,x 2 —/ i)  operator  przesunię cia  wzdł uż  A  =  111, J* EJ k l  =   it  =   =   const =   const «  =   =   const /  =   const M i  -   MA MA  =- -  M A P Q(A) moment  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzecznego  prę ta wzglę dem  osi  poziomej, geometryczna  sztywność  skrę cania, sztywność  prę tów  na  zginanie, sztywność  prę tów  na  skrę canie, stosunek sztywnoś ci prę ta na skrę canie  do jego sztywnoś ci na  zginanie, dł ugość  prę ta, skł adowe  momentu zewnę trznego  przył oż onego  w wę ź le, odpowiednio  równoległ e  do  osi  x%,  x2, moment  zginają cy  prę ta  A  w  przekroju  przy  wę ź le ( x\ a- 2) , moment  skrę cają cy  prę ta  A  w  przekroju  przy  wę ź le (*',  x% sił y  zewnę trzne  przył oż one  w  wę zł ach  i  prostopadł e  do pł aszczyzny  rusztu, sił a poprzeczna  prę ta  A, ZASTOSOWAN IE  MASZYN   CYF ROWYCH   D O  ROZWIĄ ZYWAN IA  RU SZTÓW  119 1  dla xl+x2  =   3 H + 1 0  dla  x'  +  x2  =   3 H + 0 ,  n  =   . . . ,  - 2,  - 1 , 0,  1,2  . . . , - 1  dla  x'+x2  -   3?«- l M,  przemieszczenie  wę zła  w  kierunku  prostopadł ym  do pł aszczyzny  rusztu, 0\ 0 2  skł adowe skalarn e  infinitezymalnego  ką ta obrotu wę zła & t odpowiednio  wzdł uż  osi ukł adu  współ rzę dnych  xl,  x2. 3.  Równania  równowagi  wę zła  oraz  zwią zki  mię dzy  Sił ami  a  przemieszczeniami  w poszczególnych  prę tach ukł adu Jak  ł atwo  zauważ yć,  w  cał ym s ruszcie  sześ cioką tnym  wystę pują   wł aś ciwie  dwa  rodzaje wę zł ów,  z  których  każ dy  m oż na  otrzym ać  przez  przesunię cie  i  obrót  drugiego  o  180°. W  zwią zku  z  tym  pun ktem  wyjś cia  przedstawionej  poniż ej  metody  był o zapisanie ukł adu równań  równowagi  typowego  wę zła  w  sposób  opisują cy  równocześ nie  stan  równowagi w  dowolnym  wę ź le kon strukcji.  Z godn ie z cytowaną   pracą   [3] ukł ad ten m a postać: (3.1)  A ^ W ^ m S A O i ^ / Jć(3]/ 3 (Et Zwią zki  mię dzy  sił ami  wewnę trznymi  a  przemieszczeniami  wyraż ają   się   wzoram i: (3.2)  Mn  =   [ ( ^ ) y ] (3 . 3 ) 120 J.  B.  OBRĘ BSKI M 1   =  E>tM l  = / u / c ( £ ' / - l) (3.4)  M u   =  E£ MZI  -   ftk(E$- 1) M III =  ̂ M m  =   / afe( -̂ l) 4.  Warunki  brzegowe  zadania  oraz  równania  równowagi  w  zapisie  macierzowym R ówn an ia  równowagi  wę zła  (3.1)  dotyczą ce  wę zła  typowego  w  przypadku  są siadowa- nia  wę zła  z  pun ktem  podporowym  degenerują  się  w  zależ noś ci  od  sposobu  podparcia rusztu.  Bę dziemy  rozpatrywać  t u  dwa  zasadnicze  sposoby  podparcia, ja ko  mogą ce  mieć zastosowanie  przy  realizacji  kon kretn ych  konstrukcji,  m ian owicie'  swobodne  podparcie oraz  utwierdzenie  n a  obwodzie.  W  obydwu  przypadkach  otrzym am y  trzy  ukł ady  brzego- wych  równań  równowagi,  w  zależ noś ci  od  kierun ku  A.  prę ta,  za  poś redn ictwem  którego wę zeł   ł ą czy  się  z  pun ktem  podparcia. P ręt  A  nazywamy  swobodnie  podpartym  n a  brzegu,  jeż eli  na  podporze  są  speł nione warunki (4. 1 ) E A M  = w Wykorzystując  (4.1)  oraz  wzory  (3.3),  (3.4),  okreś limy  zwią zane  z  takim  rodzajem podparcia  przemieszczenia  wę zł ów  podporowych  dla  każ dego  z  trzech  kierun ków  A. Rugując  te  przemieszczenia  z  ukł adu  równ ań  (3.1)  otrzym am y  trzy  brzegowe  równ an ia równowagi  wę zła  o postaci: dla A  =   I :  W2 £ fx+ W3 £ S x+ W+ x  =   Q, dla  A  =   11:  W^ifx —W8 ^x + W8 x  — Q, fiia  A  = T T T .  W .  F ' , ' Y- 4 - W„ F Ł ' - K - I -W  v  ==   O Stosując  identyczną  formę  zapisu  do  ukł adu  (3.1)  dla  wę zła  typowego,  otrzym am y, gdzie W, ,  W 2 ,  W 3 ,  W 4 ,  W 5 ,  W 7 ,  W 8 ,  x,  Q  są  macierzami —Phi phi —fj,t 12 ws t6 h 0 h ts 0 tg ho 0 h tl - tli ts tl  - hi ho tg 0 0 —Phi - phz 0 - phi Ph 0 0 Pht > w2 = •   w s  = X  = h hi i i — i © i 02 W T h t6 0  - 1  l5 5  h 12  0 "f t 0 • pht Ph2 0 Phi w3 = w7 = h u - h h h hi Qi Q 3 U ti i  hi h ti - h Z ASTOSOWAN I E  M ASZ YN   C YF R OWYC H   D O  R O Z WI Ą Z YWAN IA  R U SZ T Ó W  121 oraz 1  9  _  n  =   ii 3 1  ,  . 3 1  3 5  ~~  4  '  1 0  4  1 5 N ależy  zaznaczyć,  że  w  dan ym  przypadku  traktujemy  dział anie  operacji  E A   n a  wektor x  podobn ie jak  dział an ie iloczynu  wielkoś ci  skalarnej  n a  macierz. W  przypadku  brzegu  utwierdzonego  zakł adam y,  że  E A x  =  0.  Stą d  bezpoś rednio z  równ an ia  (4.2)  otrzym am y  dla  każ dego  A  brzegowe,  macierzowe  równanie  równowagi wę zł a.  Wystarczy  p o  prostu  przyrówn ać  do  zera  odpowiedni  skł adnik  w  równoś ci  (4.2). Jednocześ nie w przypadku  brzegu  z wymuszonymi  przemieszczeniami  otrzymamy  równania brzegowe przenoszą c  n a prawą   stron ę   (4.2) czł ony dla  okreś lonego  A. 5.  P r zykł a d  rozwią zan ia  rusztu  o  ks/ tał cie  koł owym R ozpatrzm y  obecnie  ruszt  o  kształ cie  koł owym  (rys.  2),  obcią ż ony  w  każ dym  wę ź le sił ą   i  m om en tem  zgodnie  z  przyję tymi  zał oż eniami.  W  celu  znalezienia  rozwią zania  po- stawionego  zagadn ien ia  należy  zbudować  z  otrzymanych  poprzednio  równań  róż nico- 122 J.  B.  OBRĘ BSKI wych  opisują cych  równowagę  wę zł ów  ukł ad  równ ań  algebraicznych  liniowych,  w  którym niewiadomymi  są  przemieszczenia.  Po rozwią zaniu  tego  ukł adu  w  drugim  etapie  obliczamy wszystkie  interesują ce  nas  wartoś ci  sił   wewnę trznych.  D la  rusztu  swobodnie  podpartego na  obwodzie,  po  dokon an iu  przenum erowania jego  wę zł ów  zgodnie  z  rys.  2,  otrzymamy ukł ad  72  równań,  którego  współ czynniki  tworzą  quasi- macierz  o charakterze  pasmowym przedstawioną  w  tabl.  1. T a b l i c a  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1  2  3 W4 W2 W2 W7 w, w3  ws W! w2 4  5  6  7 w3 w, w,  w. w8 w8 w2 W2 W7 w5 Wi w3 W i . Wi 8 W, w8 9  10 w3 Wi w2 w2 ws w3 w£ W! w3 11 Wj We w. w, 12  13 w3 W, w2 W8 w8 w2 Wj wa 14  15 w3 Ws w2 w8 w. Wj Wi 16 Wi W8 w2 w3 17 w., Wa w8 w, 18  19  20  21 w,, w1 w3 Wj w5 W 7 W 2 w2 w8 ws w3  w2 w, w, 22  23  24 w3 Wi w2  w3 w4 W 7 W 2 W 2 W 4 25 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Hlp] +  1 - 1 + 1 —  1 +  1 _ 1 - l +  1 - 1 + 1 +  1 - 1 +1 - 1 2 + i - i + i + i - i + i —i + i - 1 W  przypadku  rusztu  tej  samej  wielkoś ci  i  kształ tu  lecz  utwierdzonego  n a  obwodzie otrzymamy  macierz  współ czynników  podobn ą  do  przedstawionej  w  tabl.  1.  Wówczas jedyną  róż nicą  bę dzie  fakt,  że  n a  gł ównej  przeką tnej  wystą pią  jedynie  podm acierze  W8. Wbrew  pozorom  macierze  te  nie  są  symetryczne  ze  wzglę du  n a  przypisanie  każ demu wę zł owi  okreś lonej  wartoś ci  funkcji  / j,.  W  przypadkach  takich,  ze  wzglę du  n a  ograniczone pojemnoś ci  pamię ci  maszyn  cyfrowych,  należy  dą ż yć  do  korzystan ia  z  m etod  rozwią zy- wania,  które  w  czasie  wykonywania  procedury  wykorzystują  jedyn ie  wyrazy  z  obszaru Z ASTOSOWAN I E  M ASZ YN   C YF R OWYC H   D O R OZ WI Ą Z YWAN IA  R U SZ T Ó W  123 obję tego  wyrazami  niezerowymi.  Z n an e  dotychczas  metody  rozwią zywania  ukł adów równ ań  z  macierzami  pasm owym i  wymagają   jedn ak  specyficznej  i  bardzo  regularnej budowy  macierzy  współ czynników.  M oż na  tu przytoczyć  m etodę   Choleskiego  [4], Cor- n ocka  [J]  oraz  m etodę   eliminacji  G aussa  dla  macierzy i quasi- macierzy  o charakterze  trój- diagonalnym  [4]. Wymagają   one albo  symetrycznoś ci  macierzy,  albo  okreś lonego podział u jej  n a  podm acierze  wystę pują ce  regularne  w  cał ym  obszarze  lub  nawet  wystę powania w  ram ach  takiego  podział u  macierzy  jedn ostkowych. Z e  wzglę du  n a bardzo  nieregularny  charakter  macierzy  współ czynników  wystę pują cej w  zadan iu  powstał a  konieczność  zastosowania  bardziej  ogólnej  procedury.  W  oparciu o prace  [7], [8], [10] opracowan o procedurę  «D E T G AU SS PASM OWY»  liczą cą   w oparciu o  m etodę   kolejnych  eliminacji  G aussa  i  wykorzystują cą   przy  eliminacji  wyrazy  leż ą ce n a  gł ównej  przeką tn ej.  Stą d  m etoda  t a  może  być stosowana  jedynie  w  przypadku, gdy wyrazy  te nie  są   równ e  zeru.  Warun ek  ten  nie  stanowi  jedn ak  ograniczenia  przy  rozwią - zywaniu  rozpatrywanych  zagadn ień .  P rocedura  ta  n apisan a  jest  w  ję zyku  Algol 1204. Rozwią zuje  ona n równ ań z n  niewiadomymi  (2m - l) diagonalnych, gdzie  m oznacza  liczbę diagonali  liczoną   poziom o  od  gł ównej  przeką tnej  do  brzegu  obszaru  niezerowego  (rys. 3a). D zię ki  odpowiedniem u  przen um erowan iu,  przy  wykonywaniu  obliczeń  pamię tana  jest jedynie  tablica  współ czynników  uwidoczniona  na rys. 3b. W  zadan iu  obliczenie i uł oż enie tej  tablicy  zlecono maszynie. Przy  ukł adaniu programu poczynion o  zał oż enia  pozwalają ce  n a  dowolne  kształ towanie  wymiarów  i  obcią ż enia rusztu  w  ram ach  przyję tych  zał oż eń w p. 1 i 2. Stą d  wartoś ciami  podawanymi  maszynie do  wczytania  są   kolejn o:  stosun ek  sztywnoś ci  prę ta  x, jego  sztywność  gię tna  k,  wektory skł adowych  obcią ż eń zewnę trznych  ? { ,  Mi,  P  oraz  dł ugość  prę tów  rusztu /. N astę pn ie  p o rozwią zaniu  ukł adu  równ ań  otrzymujemy  poszukiwane  wartoś ci  dwóch skł adowych  ką tów  obrotów  oraz  ilorazu  wartoś ci  ugię cia  wę zła przez  dł ugość prę ta w ko- lejnoś ci  zgodnej  z  wprowadzon ą   numeracją .  Wykorzystują c  teraz  zwią zki  (3.2),  (3.4), oraz  (3.5)  zbudowan y  został   program  obliczają cy  sił y  wewnę trzne  wystę pują ce  w ruszcie. D an ym i  podawan ym i  maszynie  do wczytania  są  w dan ym  przypadku: s  param et r  okreś lają cy  podparcie  ; dla s =  0 obliczane są  sił y  dla  rusztu swobodn ie  podpartego  n a  obwodzie,  dla s^   0 — dla  rusztu  utwier- dzon ego  n a  obwodzie, k l  =  k  sztywność  prę tów  n a zginanie, k n  =  k  sztywność  prę tów  n a  skrę canie, /   dł ugość  prę tów  rusztu, X  wektor  znanych  przemieszczeń  wę złów — dla  i  =  0 I =  X[l:72], dla s / 0 I  =  I [ l :  108], a,b,  c,b,f,g,h,j,  jednowymiarowe  macierze  okreś lają ce  geometrię   rusztu,  o współ czyn- nikach  odpowiadają cych  numerom koń ców prę tów, p,  wartoś ci  tej funkcji  dla  wę zł ów  zgodnie z przyję tą   numeracją . Przy  wykorzystaniu  przedstawionych  program ów  przeprowadzono  obliczenia  zarówno dla  rusztu  utwierdzonego, jak i  swobodnie  podpartego  n a  obwodzie  przy  róż nych wartoś- ciach  x. M ię dzy  innym i dla %  — 0 uzyskano  peł ną   zgodność z obliczeniami  analitycznymi wykonanym i  w  pracy [3]. n+1 m Rys.  3 cal  procedure  P E T  G AOSS  P ASM OWY  (n , m , b, x); comment  rozwią zuje  n  rownan  algebraicznych  liniowych  z  n  niewiadom ym i,  (2m—1)  diagonalnych,  sprowadzonych do  tablicy  b [ l: n ,  l:2 m ] ; value  Jii,n; integer  m, n ; array  b, x; begin integer  N , c, h , H , d, is  j , c l ; real  s, r,  t . k ,  I, p , ; N : = 2 *m ; c := n —m + 1; begin  comment obliczanie  nowych  współ czynników  b[i,j]  dla  obszaru  typowego; fb7  hT= T"itep  1 until  c jjo begin  d : = h + m - I;  s: =  b[h,m];  H:«= h +  1;  r:= b[h , N ]: =  b[h,N ]/ s; for  i : = h + I  step  1 until  d do begin b[i,N ]: =  b[i, N ]- b[i, m - i+ h ]*r end; fo£ j':= H   step  1 until  d do begin t:= b[h , m - h + j]:= b[h, m - h + j]/ s; for  i! =»H   step  1 until  d do "bfi, m- i+ jlT^btiTrn^- i+ ir- bti, m- i+ h]*t end  j end_h en d; begin  comment  obliczanie  nowych  współ czynników  b[i, j]  dla pozostał ej  macierzy  prostoką tn ej; for  h :~ n —m - ł -2  step  1  until  n do be~ę ln  k : = b [ h , m ] f H " : = h + l ;  r : ~ b for  i: —H   step  1  until  n do begin b[iTN ]: = b [ i, N ] - b [ i,  m -   i + h ] *r eiid_; foifjT= H   step  T until n do begin_l:= b[h, m - h + j] := b[ h, m - h for  i:= H  step  1 until  n do b[f, ra- i+ jIT- btl," m - i + jH b [ i, m—i+ h]*I end  j end  h end; begin  comment obliczanie niewiadomych  x[h] dla  obszaru  nietypowego; for  h.:= n  iitep  —1 until  c do begin  p := b[h , N ]; for_j:= h+ l  step_l  until n  do_ p := p - b[h , m - h + j]*x[j];  x[Ę fi-p end  h end; "begin  comment obliczanie  niewiadomych x[h] D la  ob ż aru  typowego; for  h:—n—m step  —1 until  I do begin  p:= b[h , N ]j  c l : = h + m - T; for  j:= h H - l  step  1 until cl  do p7^p- bth,rń ~ = h+ j]*x[j]; x[h]7= p end  h end end  procedure DET GAUSS PASMOWY; [124] O b j a ś n i e n ie  d o prę t 1 2 3 31 2 4 5 1 30 32 4 7 M pf 2,00 2,55 2,28 2,28 2,55 2,00 2,'00 2,28 2,55 r ys. 4: prę t 4 5 6 8 3 1 2 6 9 10 5 29 M ~Ąi 2,45 3,28 3,28 3,28 3,28 2,45 2,55 2,28 2,00 prę t 7 8 9 11 33 3 4 9 12 13 8 5 M Pl 2,28 2,00 2,55 3,45 3,45 3,45 3,45 3,45 3,45 prę t 10 11 12 6 28 14 7 12 15 16 11 8 M Pl 2,55 2,00 2,28 3,28 2,45 3,28 3,45 3,45 3,45 prę t 13 14 15 9 14 17 18 13 10 19 34 11 M Pl 3,45 3,45 3,45 3,28 2,45 3,28 2,55 2,00 2,28 prę t 16 17 18 12 17 20 21 16 13 14 27 22 M ~pi 3,45 3,45 3,45 3,45 3,45 3,45 2,28 2,00 2,55 prę t 19 20 21 15 20 35 23 16 16 17 22 24 M Pl 2,55 2,28 2,00 3,28 3,28 2,45 2,45 3,28 3,28 prę t 22 23 24 26 21 18 20 24 36 25 23 21 M Pl 2,00 2,28 2,55 2,28 2,55 2,00 2,00 2,55 2,28 O b j a ś n i e n ie  d o prę t 1 2 3 31 2 4 5 1 30 32 4 7 M Pl 0 0 - 0, 478 + 0,478 0 0 0 + 0,478 0 r y s .  5: prę t 4 5 6 8 3 1 2 6 9 10 5 29 M ~ĄT 0 +0,478 ­0,478 +0,478 ­0,478 0 0 ­0,478 0 prę t 7 8 9 11 33 3 4 9 12 13 8 5 M Pl - 0, 478 0 0 0 0 0 0 0 prę t 10 11 12 6 28 14 7 12 15 16 11 8 M 0 0 + 0,478 - 0, 478 0 + 0,478 0 0 0 prę t 13 14 15 9 14 17 18 13 10 19 34 11 M 'Pl 0 0 0 - 0, 478 0 +  0,478 0 0 + 0, 478 prę t 16 17 18 12 17 20 21 16 13 14 27 22 M Pl 0 0 0 0 0 0 - 0, 478 0 0 prę t 19 20 21 15 20 35 23 19 16 71 22 24 M Pl' 0 - 0, 478 0 + 0,478 - 0, 478 0 0 + 0,478 - 0, 478 prę t 22 23 24 26 21 18 20 24 36 25 23 21 M "PT 0 + 0,478 0 + 0,478 0 0 0 0 - 0,478 Z ASTOSOWAN I E  M ASZYN   C YF R OWYC H   D O  R OZ WI Ą Z YWAN IA  R U SZ TÓW 125 D la  przykł adu  n a  rys.  4  i  5  przedstawione  został y wyniki obliczeń dla rusztu  swobodnie podpartego  n a  obwodzie  i  obcią ż onego  w  wę zł ach jedynie  sił ami  P  =   const, przy  stosunku sztywnoś ci  x  =   0,774.  Odpowiada  to  dla  współ czynnika  Poissona  v  =   0,29  (dla  stali) przekrojowi  pierś cieniowemu  prę ta. Rys.  4 ^q; -  ̂ \   : T —  A  i.  -i  ̂ \   \ 35_  _  _ \ _  _\   \   V R ys.  5 6.  Wnioski P rzedstawiona  m etoda  rozwią zywania  prę towych  rusztów  heksagonalnych  daje  peł ne rozwią zanie  postawion ego  zagadn ien ia,  w  którym  uwzglę dnia  się   równocześ nie  skrę canie prę tów.  M oż liwość  rozwią zywania  rusztów  poddan ych  zł oż onym  obcią ż eniom  oraz  po- siadają cych  dowolne  kształ ty  wyraź nie  przemawia  za  rozwią zaniami  numerycznymi  jako znacznie  efektywniejszymi  niż  m etody  analityczne. 126  J. B.  OBREBSKI Wprowadzenie  operatorów  róż nicowych  do  równ ań  macierzowych  pozwolił o  zapisać w  sposób  bardzo  przejrzysty  i  zwię zły  stan  równowagi  wę zł ów.  P o n ad t o  wykorzystują c te  równania,  bez  dodatkowych  obliczeń,  otrzymujemy  gotowy  ogólny  ukł ad  równ ań  alge- braicznych  liniowych  z  niewiadomymi  przemieszczeniami.  Z astosowan ie  do  rozwią zywa- n ia  tego  ukł adu  procedury  «D E T  G AU SS P ASM OWY»  pozwala  n a  obliczanie  tego  typu konstrukcji  zawierają cych  dość  dużą   liczbę   wę zł ów,  ze  wzglę du  n a  wykorzystanie  pasmo- wego  charakteru  macierzy  współ czynników  ukł adu. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  F .  CORN OCK,  T he numerical solutions of Poisson's and the  bi- harmonic equations by matrices, Proceedings of  the  Cambridge Philosophical Society, 50 (1954). 2.  W.  G U TKOWSKI, C. P.  U G ARTE, A generalized micro- approach of two dimensional structures,  D epartment of  Civil Engiaeering,  U niversity  of D elaware,  9 (1967). 3.  W.  G U TKOWSKI, J. OBRĘ BSKI,  Ruszt o sześ cioką tnej siatce prę tów, Rozpr.  Inż yn.,  19, 3 (1971). 4.  W. M.  JEN KIN S, Matrix and digital computer methods in structural analysis, M cG raw- H ill, London  1969. 5.  C.  JORD AN ,  Calculus of finite differences,  Chelsea P ub. Com., N ew York 1950. 6.  P .  KLEMM,  C z. WOŹ N IAK,  Gę ste heksagonalne  siatki  sprę ż yste, M ech.  Teoret.  i  Stos., 3, 8 (1970). 7.  S.  PASZKOWSKI,  Ję zyk  AL GOL   60, PWN , Warszawa  1968. 8.  P. R.  PATHARE,  A'computational technique for  the. efficient handling  of  the  large matrices in the  analysis of large space structures,  «Space structures)), Blackwell Scientific  Publications, Oxford  and Edinburgh 1967. 9.  J. D .  REN TON , T he related behaviour of plane grids, space grids and plates, «Space structures)), Blackwell Scientific  Publications,  Oxford  and Edinburgh 1967. 10.  A. F .  SMIRN OW,  A. W.  ALEKSANDRÓW,  N . N .  SZAPOSZN IKOW,  B. J.  ŁASZCZEN IKOW,  Obliczanie  kon- strukcji za pomocą   maszyn cyfrowych,  ARKAD Y,  Warszawa 1970. P  e 3  IO  M  e I I P H M E H E H H E  BLF iH CJIH TEJIBH fclX  MAIHHI- I RJIK  P EI I I EH H fl  P OC TBEP KOB c  PEryjMPHOH  uiECTH yrojiŁi- ioń  CTEP > KH EBOK  C E T K O H Meiofl  TOCJiemioro  pein em M   p e r yjwp n o r o  reKcaroiiaJiM ioro  rm ocKoro  pocTBepKa CTOHmero  H3 npHMbix  yn p yr n x  ciep>KHeHj  o6pa3yiom H x  B  IIJIOCKOCTH   c e n t y  npaBHJi&Hbix H H K O B.  PocTBepK  iiarpy}KeH  B y3Jiax  CH JMMH J nepneH flH KyjrapiiMMH   K IM OCKOCTH   coopy^Kenira, v. TaMH,  BeKTopbi  KOTopbix  pacnono>KeH bi  B Toił   >i