Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1, 10  (1972)

PŁYTA  O  Z M I EN N YM   M OD U LE  OD KSZTAŁCEN IA  POSTACIOWEG O
SKRĘ CANA  STEM P LEM   KOŁOWYM

WlACZESŁAW  R  U  D  N  I C K I J  (LWÓW),  JAROSŁAW  K  I Z Y M  A  (TARNOPOL)

1.  Wstę p

Z agadnienie  skrę can ia  pł yty  koł owej  jedn orodn ej  został o  rozpatrzone  w  pracy  [3].
P rzedm iotem  niniejszej  publikacji  jest  zagadnienie  skrę cania  koł owej  pł yty  izotropowej
koł owym  stemplem.  Z ał oż ymy  zm ienność  m oduł u  odkształ cenia  postaciowego  od  współ -
rzę dnej  z  oraz,  że  pł yta jest  utwierdzon a  n a  powierzchni  bocznej  lub  podstawie.

W  celu  rozwią zania  zagadn ien ia  zastosujemy  m etodę   F ouriera.  D la  wielkoś ci  charak-
teryzują cych  stan  n aprę ż en ia  i  odkształ cenia  otrzymaliś my  rozwią zania  w  postaci  jawnej.
Wyniki  obliczeń  został y  przedstawion e  n a  wykresach.

2.  Wzory  podstawowe

R ozpatrzm y  stan  n aprę ż en ia  i  odkształ cenia  pł yty  koł owej  o  promieniu  R  i  gruboś ci
h  (rys.  1, 2),  zam ocowanej  n a  powierzchni  bocznej  lub  czoł owej  i  znajdują cej  się   pod

•   M

z

'

a

R

Rys.  1 Rys.  2

dział aniem  sztywnego  koł owego  stem pla  spojonego  z  pł ytą .  Bę dziemy  zakł adać, że  stempel
doznaje  obrotu o ką t  s  pod  wpł ywem  m om en tu M.  P owierzchnia .pł yty na zewną trz  stempla
i  obszaru  utwierdzenia  jest  swobodn a.

P rzy  tak  postawion ym  zagadn ien iu  pł yta  bę dzie  znajdował a  się   w  stanie  czystego
skrę cania,  a  zagadnienie  sprowadzi  się   d o  wyznaczenia  róż nych  od zera  skł adowych  stanu
n aprę ż en ia  r

lz
,  r

9r
  speł niają cych  równ an ia

2r
er(2- 1)

dr
=   0



86  W.  R U D N I C K XJ,  J.  K I Z YM A

i  skł adowej  przemieszczenia  u
0
 zwią zanej  z r

ex
  i r

Br
  zależ noś ciami

8z  \   8r  r

Tutaj  G —  m oduł   odkształ cenia  postaciowego,  r,0,z  —  współ rzę dne  walcowe;  oś z po-
krywa  się  z osią   symetrii  pł yty. Z akł adam y, że  m oduł   G(z)  zależy  od  współ rzę dnej z.

Podstawiają c  wielkoś ci  (2.2)  do  (2.1)  otrzymamy  nastę pują ce  równ an ie  wzglę dem

8
2
u

0
  G'(z)8u

0
  8

2
U

0
  1  8u

0
  u

a

Rozwią zanie  równ an ia  (2.3)  znajdziemy  m etodą   F ouriera

(2.4)  «8 =   i?( z)Z( z).

Wstawiają c  (2.4)  do  (2.3)  otrzymamy  równ an ia:

( 2 - 5)  •    ̂ +   Lf
dz

2
  r dr

(2.6)  f̂ +  ̂ f  +  ̂   = »
rfz2  G (z)  J z

gdzie  X jest param etrem .
Równanie  (2.5)  nie  zależy  od  zmiennego  m oduł u  G{z).  Rozwią zaniami  szczególnymi

(2.5) są  zmodyfikowane  funkcje  Bessela  oraz  funkcje  M cD on alda / j(Ar)  i Ki{fa').  Rozwią -
zanie  ogólne m a  postać

(2.7)  R =  AI
t
  (Xr)+BK

t
  (Xr).

Rozwią zania  równ an ia  (2.6)  bę dziemy  poszukiwać  dla  trzech  przypadków:

I I I  G (z) =  const.

Podstawiają c  wyraż enia  G(z)  do  równ an ia  (2.6)  otrzym am y  odpowiednio  rozwią zan ia:

(2.8)  Z(z) =  CJ
0
 [X ~

G
°̂ )  +DY

0

(2.9)  Z(z)=  e~^ \ csinll/ x2- ~ z)+Dcos il/ X2~ -̂ z\ \ ,

(2.10)  Z(z)  =

Rozwią zanie  ogólne  jest  sumą   (2,8)—(2.10)  i  cał ek  szczególnych,  które  mają   postać:

(2.11)  u°
0
 =  ^ 0 / - l n ( G0 +   G 1 z ) + j5 0 r )

(2.12)  u? =  A
o
re- "+B

o
r,

(2.13)



P Ł YTA  O  Z M I E N N YM   M OD U LE  OD KSZ TAŁ C E N IA  P OSTACIOWEG O  87

Wykorzystując  (2.2),  (2.4),  (2.7),  (2.8)- (2.13)  dla  naprę ż eń  r
Oz

,  r
Br
  i  przemieszczenie

u
e
  otrzym am y  nastę pują ce  wzory:
I — dla  G(z)  zmieniają cego  się  w  sposób  liniowy

u
o
(r, z)=A

o
r  I n ( G 0 + G i Z ) + B O  r+

T e 2 ( r , z)  =

(2.14)

I I —  dla  G(z)  zmniejszają cego  się  w_sposób  wykł adniczy:

ov  >   z)  —  A
a
re

X [cksin ( | / V  ^  z) +Ą C0B ( | / ^ -  £  z

T t e ( r , z) =   - ^o a G o e - "

I I I —d la  G(z) =  const:

u
B
 =   A

o
rz+B

o
r+

i

(2.16)  T
6l
(r,z)  =  G

0
;

•   4T Z



W.  RU D N ICKU ,  J.  KIZYM A

W  powyż szych  wzorach  A
o
,Bo,  A

k
,  C

k
,  B

k
,  D

k
  są   dowolnym i  stał ymi, Ą (x),  Y

x
{x),

Iiix),  K^ x)  są   funkcjami  Bessela  pierwszego  rzę du  odpowiednio  pierwszego  i  drugiego
rodzaju  zmiennej  rzeczywistej  i  urojonej.

Stał e  A
o
,  B

o
,  A

k
,  B

k
  i  wartoś ci  wł asne  wyznaczymy  odpowiedn io  z  warun ków  brze-

gowych:
a)  utwierdzenie  powierzchni  bocznej  (rys. 1)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)  przy  z =   R,  u
B
 =  0;

b)  utwierdzenie  podstawy  dolnej  (rys. 2)

(2.21)  przy  z  =   - A,  w0 =   0,

(2.22)  p r z y z  =   / j,  w0 =   er,

(2.23)  r t e  =   0,

(2.24)  przy  z =   R,  r
Bz

  =   0,

przy

przy

z  =   0,

z  =   h,

rOz

U0

rOz

=   0,

=   er,

=   0,

0

0

a

<

< r

r

ś kR,

0

0

0

0

r  <  R,

r  <  a,

z <  h,

z  < /2.

3.  Przykł ady  liczbowe

Rozpatrzmy  szczegół owo  przypadek,  kiedy  moduł   skrę cania  jest  wielkoś cią   stał ą .
W  celu  otrzymania rozwią zania  obszar  przekroju  osiowego  pł yty  (rys.  3a, b)  podzielmy
na  dwa  obszary:  0 < z < / z ,  0 < / ' < < z  (obszar  I)  i  0 <  z <  h,  a^ r  ś *R  (obszar  2).

(

1

i  a

m

i

R

2

m

r

1  1

a
R  „

r

Rys.  3

Rozwią zania  dla  każ dego  z  znajdziemy  oddzielnie.  P rzez  w^ ,  T $),  T $,  U^ ,  r
e
i

}
,

T ^ '  oznaczymy  wielkoś ci  odnoszą ce się  odpowiednio  do obszaru  1 i obszaru  2. P rzy  takim
sposobie  postę powania  oprócz  warun ków  brzegowych  (2.17) —  (2.20),  (2.21)- —- (2.24)
winny  być  speł nione  warunki  zgodnoś ci

(3.1) M ( l )  _  „ ( 2 )  ( 1) _  ( 2)

przy  r = a.
Rozwią zania  w  obszarze  1  speł niają ce  warun ki  brzegowe  (2.17)- (2.20X  (2.21)- (2.24)

i  (dą ż ą ce  do zera)  ograniczone przy  r =  0 mają   p o st ać :



P Ł YT A  O  Z M I E N N YM   M OD U LE  OD KSZ TAŁ C EN I A  POSTACIOWEG O  89

Przypadek  a)

4
k- i

(3 . 2 )

Przypadek  b)

- r- rz+  2J
"  kml

(3 . 3 )

Kł adą c  J o  =   0  dla  obszaru  2  znajdujemy:
Przypadek  a)

(3.4)  t g) =   2(7   V

Przypadek  b)

= 2 G  y
00

_( 2 ) * } f~



90  W.  RU D N ICKIJ,  J.  KIZYMA

Tutaj

5  -   2 k ' 1  ^   •   „  - k  n  (h—  1 9  3 ^

N
k
,  M

k
,A

k
\   D

k
  są nowymi  stał ymi, które wyznaczymy  z warunków  zgodnoś ci  (3.2) uwzglę d-

niając  ortogonalność  funkcji  trygonometrycznych.  Ostatecznie  w  celu  wyznaczenia  sta-
ł ych  otrzymujemy  nieskoń czony  ukł ad  równań  algebraicznych:

dla  przypadku  a)

Y  ( 4 & l ) [ a f c ( 2 f c l ) + 2 f c f e i ] j  ( l ) l  .
( 3 - 6 )  2J  L k  (2k- iy- 4n*  =   n  2b"'

dla  przypadku  b)

OD

7)  J T
Izie

h(ha)  ~  h(2fi
k
a)

_  I
2
(2/ x.d)K

2
(2/ M„ R)- K2(2[ind)hCL pnR)

"  / ( 2

_ 2ea  >  *  Ą e a
Stał e  M

k
  i  D

k
  wyraż ają  się  przez  L

k
  i  B

k
  nastę pują cymi  zwią zkami:

£ {  ( 2/ c—I)2—

D
  1 t e % ( 2 l

k
R ) y  [1  y

n  I
2
{2ha)K

2
(2l

k
R)- K

2
(2ha)I

2
(2X

k
R)  ZJ  4fc 2- (2n - l)2  "

D la  wyznaczenia  zwią zku  mię dzy  ką tem  obrotu  podstawy  s  i  m om entem  M  przył o-
ż on ym  d o  koł owego  stempla  wykorzystamy  zwią zek

a

(3- 8)  M  =   2n  J  e24V(e)d
S
.

o
Podstawiając  x[lJ  do  równania  (3.8)  i  po  scał kowaniu  otrzym am y:

przypadek  a)



P Ł YT A  O  Z M I E N N YM   M OD U LE  OD KSZ TAŁ C EN I A POSTACIOWEG O 91

przypadek  b)

M

T Te Z
Z  powyż szych  rozważ ań  widzimy,  że  rozwią zanie  zagadnienia  sprowadza  się   do  wyzna-

czenia  stał ych  L
k
  i  B

k
  z  nieskoń czonego  ukł adu  równ ań  algebraicznych  (3.6),  (3.7).  Wy-

kon an o  obliczenia  n um eryczn e i  stwierdzono,  że  ukł ady  (3.6)  i  (3.7)  mają   macierze współ -
czynników  symetryczne  i współ czynniki  ich  nie mają   osobliwoś ci.

R  R
Z  ukł adu  (3.7)  wyznaczono  18  stał ych dla  p a r a m e t r ó w—  =   2,  — =   20.

a  a
N a  podstawie  wzorów  (3.3)  i  (3.5)  obliczono  naprę ż enia  kontaktowe  pod  stemplem

i  przemieszczenia  n a zewn ą trz  stem pla.  Wyniki  obliczeń  pokazan o n a  wykresach.
ł m  ...  1N a  rys.  4  przedstawion o  wielkoś ci  cp^  = - r- 7=r u

(2)

eG  "  '
r'

2
1

2  -

Rys.  4

N ależy  zaznaczyć, że  szeregi  w  wyraż eniach  (3.2)- (3.5)  są   naprzemienne  przy  wszyst-
kich  r  i  ich  zbież ność jest  dobra.  Wyją tek  stanowi  szereg  w  wyraż eniu  na  r^   przy  ;•   =   a.
W  tych  pun ktach , ja k  n ależ ało  oczekiwać,  szereg  jest  rozbież ny,  a  naprę ż enia  wzrastają
nieograniczenie.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  H .  X .  ApynoH H H j  B.  J I .  ABP AAM H ,  Kpyueuue  ytipyiux  men,  c&H3MaTrH3j  M ocKBa  1969.

2 .  T .  H .  I I OJI C OKH H ,  ypaeneuuH  MameMamunecKou  $U3UKU,  Efefl.  BBI C U M H   uiKon a,  M ocKBa  1964.

3 .  SL .  M .  KH 3I > I M A,  Kpyneuue  Kpyejioii u3om.ponnoU  nnumu,  otceamo  aaiaeMAemtou no  6oKoeou  nosepxHocmu,

H M  T .  y „   Bbin.  10  (1969).



92  W.  RUDNICKIJ,  J.  KlZYMA

P  e 3 io  M e

KPYT0B0H   IIJIH TLI  C  nEPEMEHHBIM   MOflYJIEM

c  n o M o m t io  >KECTi<oro K pyroBoro  H I TAM I I A

PaccMaTpiiBaeTCH   ciweiiiaHHaH  safla^a  o  icpyqeHHH  Kpyrnoft  H 3OTP OH H OH   I U I H TLI  H<ecTKHM   urraMnoiw,

Korn a  MOflyjiB  cflBHra G  HBJMeTCH  BejiirauHOH  nepeMeH H oił j  3aBHCHineH  ox KoopflH H aTti z.  flnH   pemeHHH

3ap,aMR  npHMeHHeTCH  MeTOfl pa3«ejieH H H  nepeiwenH Lix  O y p t e .  I loJiyqeH bi  H BH tie (popiviyiu.1 flJiH   H an pn -

>KeHHii  H  CMetqeHHH.  ^H CJieH H hie p a c ^ e ibi  npeflcraBneH M   B  BHfle  rpacpiiKOB.

S u m m a r y

A  PLATE  WITH   VARIABLE  M OD U LU S  OF  SH EAR  TWISTED   BY  A  CIRCU LAR  STAMP

The mixed  problem of an isotropic  plate twisted  by a rigid circular  stamp is considered  in the case  when
the  variable shear  modulus  G depends on the z coordinate only. In order to obtain  the solution of the prob-
lem, the F ourier  method  of separated  variables  is  applied.  The explicit  expressions  for  stresses  and  dis-
placements  are obtained.  N umerical  results  are presented  in the form  of  graphs.

U N IWERSYTET  LWOWSKI ,  IN STYTU T  M E C H AN I KI  •
PAŃ STWOWY  IN STYTU T  E KON OM I KI  P R Z E M YSŁ U   W  T AR N O P O LU

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  3  grudnia  1970 r.