Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  10  (1972)

KON CEN TRACJA  N APRĘ Ż EŃ   W  TARCZY  N IEOG RAN ICZON EJ  Z  OTWOREM   KOŁOWYM
P R Z Y  OBCIĄ Ż EN IU   WEWN Ę TRZN YM

K AZ I M I E R Z  R Y K A L U K  (WR OC Ł AW)

1. Wstę p

R ozpatrzm y  sprę ż ystą   izotropową   tarczę  nieograniczoną   z otworem  koł owym  o promie-
niu  i?  obcią ż oną   podł uż ną   parą   sił ,  symetryczną   wzglę dem  ś rodka  otworu  (rys.  1).

Wewną trz  obszaru  tarczy  wokół  brzegu  otworu  wystą pi  koncentracja naprę ż eń  (por.  [2]).
Z adan iem  naszym  jest  okreś lenie  wielkoś ci  tej  koncentracji,  scharakteryzowanej  przez
tzw.  współ czynniki  kon cen tracji  naprę ż eń.  Przez  współ czynnik  koncentracji  naprę ż eń

Rys.  1

rozumiemy  iloraz  którejkolwiek  skł adowej  ten sora  naprę ż enia  w  dowolnym  punkcie
strefy  koncentracji  przez  tę   samą   skł adową   w  tym  samym  punkcie  tarczy  bez  otworu,
obcią ż onej  tak  sam o ja k  tarcza  z  otworem  (por.  [2]).

D o  wyznaczenia  stan ów  n aprę ż eń  w  tarczy  bez  otworu  i  z  otworem  posł uż ymy  się
funkcją   zmiennej  zespolonej,  wykorzystują c  m etodę   M U SCH ELISZWILIEG O  (por.  [1])

Przy  zn an ych  dwóch  funkcjach  holomorficznych  cpi{z) i  fi{z),  zwanych  funkcjami
G oursata, skł adowe ten sora n aprę ż en ia a

r
,a

ip
,  r

rę
  oraz wektora  przemieszczenia  u

r
,  u

v
  obli-

czymy  ze  wzorów  Koł osowa- M uscheł iszwiliego

l o vff+ 2 / T , . „   =   2[z
(
p'

1
'(z)+y>'

1
(z)]cxp(2i

(
p),

(1.2)  2G(u
r
+iu

(p
)  =   [ ^ 1 ( z ) - z9 p i ( z ) -

gdzie  G  oznacza  m oduł   sprę ż ystoś ci  poprzecznej,  % =  (3—v)/ (l+v)  w  pł askim  stanie
n aprę ż en ia, lub  x  =   3—4v  w  pł askim  stanie  odkształ cenia,  v —  współ czynnik  P oissona.



108  K.  RYKALUK

2.  Tarcza  bez  otworu

Przy  obranym  ukł adzie  współ rzę dnych,  jak  n a  rys.  2,  funkcje  G oursata  bę dą  miał y

nastę pują ce  postacie  (por.  [1]):

(2.1)  9 , l ( 2 ) j
z —x

0

(2.2)
  n

( )  ( | | +

g d 2 i e  A  =   2S(
Jeż eli  zał oż ymy, że naprę ż enia w nieskoń czonoś ci  są  równ e  zeru, wówczas

(2.3)  cpliz) =   y?( »)  =   0.

~*   - XQ "  0 }   x0  " 7
i

i

Rys.  2

Po  wykonaniu  potrzebnych  we  wzorach  (1.1)  operacji  n a  funkcjach  (2.1)  i  (2.2),
z  uzglę dnieniem  (2.3),  otrzym am y:

(2.4)  ffj;)(  -   2Ax0^   r 4 + x j ^ p * _ _  ±

/• 6- |- 4xg/'4

xF ^ xl T ^ c o s 2y7)r  "  I '

3.  Tarcza  z  otworem

Zał óż my  nastę pują ce  postacie  funkcji  G o u rsat a:

(3.1)  c>2(z) =   ^ l n  £ Z ± o + p o ( ł )  =   ? ? 1 ( z ) + c , g( z )

z  x0

(3.2)  y>
2
(z)  =   ^  ( - « l ^  +

gdzie funkcje  co"(z) i y^(z) są  holomorficzne  w  obszarze  \ z\   >  R.  Wyznaczymy  je  z  pierwsze-
go  warunku  brzegowego

(3.3)  P 2 ( 0 + t y i ( 0 + V2 ( 0  =   0,

przy  czym  t  oznacza  pun kt  bież ą cy  n a  okrę gu.



K O N C E N T R AC JA  N AP R Ę Ż EŃ   W  T AR C Z Y  N I EOG R AN I C Z ON EJ 109

Odwzorujmy  obszar  tarczy  n a  zewnę trze  koł a  jednostkowego  |£ | >  1,  leż ą cego  na

pł aszczyź nie  zmiennej  zespolonej  C ==  £ + fy  za  pomocą  funkcji

(3.4)  z =   G J(O  =   RC.

Okrąg jednostkowy  oznaczmy przez  y,  a  punkt  tego  okrę gu  odpowiadają cy  punktowi
t  — przez Q.

N a  pł aszczyź nie £  bę dziemy  operowali  funkcjami

(3.5)

U wzglę dniając  (3.4) i  (3.5) we wzorach  (3.1) i  (3.2), otrzymamy

(3.6)  ip(O  =   A  In  - r—z+ <p
0
  (0,

(3.7)  HQ  ~A\
  c

_c  +   ^  +   c + f f l

gdzie

(3.8)

przy  czym  c;0(C) i  Vo(0
  s ^  funkcjami  holomorficznymi  w  obszarze  |f  |  >  1.

Warunek  brzegowy  (3.3) przyjmie  postać

(3.9)
co  (to)

z  którego, na podstawie  (3.4), (3.6) i  (3.7), otrzymujemy

(3.10)

gdzie

(3.11) M Q) =

p
o
(e)+e<pó(e)+fo(e)  = .

i

In

Ze  wzglę du na brak  obcią ż enia zewnę trznego n a krawę dzi  otworu, funkcje  <po(£) i Vo(O
wyznaczamy  ze wzorów  (por. [1]):

(3.12)

(3.13)

gdzie

(3.14) - £o(?

e  e -



110  K.  RYKALU K

D la  wieloznacznych  funkcji  I n ——~  i  I n - ~ ———wybier a my  takie  gał ę zie, aby na

okrę gu  y  był y  wielkoś ciami  sprzę ż onymi.  D la pierwszej  wybieramy  gał ąź  holomorficzną
w  obszarze  |£ | <  1 i  równą  ni  w  punkcie  £  =   0, zaś dla  drugiej  — gał ąź  holomorficzną
w  obszarze  |£ | >  1 i  równą  ni  w pun kcie £  =  co.

Z atem ,  w myśl  twierdzenia  C auchy'ego  (por.  [3]), m am y

(3.15)  ^- rfln
2ni J  Q+i  Q£y

(3.16)
2ni

y

4- fc

Wyraż enia  jp - f  . °  i g - f  °  są wartoś ciami  brzegowymi  funkcji  f - r - ^  i f f—^2_
1 +  c g  1  ? 6  i +  f  1  ? C

holomorficznych  w obszarze  |f|  >  1  z  wyją tkiem  pun ktu  f  =   co,  w  którym  posiadają

guny rzę du pierwszego  z czę ś ciami gł ównymi od

Z atem, w myśl  twierdzenia  C auchy'ego, mamy

bieguny rzę du pierwszego  z czę ś ciami gł ównymi odpowiednio | —̂— —|— 1 — T ^  I i 1 1 — ;  r^  .
\  so f o/  \  f o Co/

L
78

Wyraż enia -   - r —7~ i  -   - z—j— są wartoś ciami brzegowymi  funkcji  - ? ——r— i -  •  - r
Q  C+So  6  C—?o  C C + ś  C  C

lomorficznych  w  obszarze  |f |  <  1  z  wyją tkiem  pun ktu

bieguny  rzę du  pierwszego  z czę ś ciami  gł ównymi odpowiedn io

-   r 7 ~ i  -   z—j—  są wartoś ciami brzegowymi  funkcji  - ? — r  i  - r- r-
Q  C+So  6  C—?o  C C +  śo  C  C—so

h o lo m o r fic zn yc h  w  o bsza r ze  |f |  <  1  z  wyją t kiem  p u n k t u  £  =   0,  w  k t ó r ym  p o sia d a ją

So Q
Z a t e m ,  w  m yśl  t wie r d ze n ia  C a u c h y' e go ,  m a m y

i  r  i
2nij  Q

— f -   1~foe

Wykorzystując  cał ki  (3.15)- (3.20)  we  wzorach  (3.11)  i  (3.12)  oraz  (3.13)  i  (3.14),

otrzymamy

(3.21)



K O N C E N T R AC JA  N AP R Ę Ż EŃ   W  TAR C Z Y  N I EOG R AN I C Z ON EJ  111

(3.22)

przy  czym  pominię to tu wyrazy  stał e, które nie mają  wpł ywu  na  skł adowe  tensora naprę ż e-
nia.

Przetransformujmy  funkcje  (3.21) i  (3.22) na pł aszczyznę zmiennej z za pomocą  odwrot-
nej  funkcji  odwzorowują cej  £  =   orx  (z)  =   zjR:

(3.23)
  m

  =

( 3 . 2 4 )  rtW  .

U wzglę dniając  funkcje  (3.23)  i  (3.24)  we  wzorach  (3.1)  i  (3.2), otrzymamy  rozwią zanie
dla  tarczy  nieograniczonej  z  otworem  koł owym,  obcią ż oną  podł uż ną parą  sił   skupionych
zaczepionych  wewną trz  obszaru  tarczy.

Skł adowe  tensora  naprę ż enia  moż emy  zapisać  w  postaci

(3.25)  tfW  =   < ^ + ^ ,  <#> =   < > + £ # > ,  r ^  =   C + C

gdzie crj.1', a<^ ) i  T ' *'  są  okreś lone wzorami  (2.4) i  (2.5), natomiast  a[°\   a{°yi  T<°' wyliczymy
wedł ug  wzorów  (1.1)  na  podstawie  funkcji  (3.23)  i  (3.24):

- AA
J 1 |   (x
\ «o

-   2xg  r 2 i ? *c o s2 c ; ) 3  "  J '

+2R  (x
o
-

- 3xgr2.R 8) + 2i?1 2c o s2y]



112  K.  RYKALUK

4.  Współ czynniki  koncentracji  naprę ż eń

Z godnie z definicją   podan ą   w pun kcie  1, współ czynniki  koncentracji  n aprę ż eń są   równ e:

(4- 1)  k
r
  = %

IT
=l- \  '

(4.2)  fc,  =   i | _ - = l  +   ^ _

T ( 2 )  T ( 0 )
(4.3)  ^  =  - 717  =  i +  '- ff)-.

gdzie  skł adowe  tensorów  naprę ż eń  są   okreś lone  wzoram i  (2.4),  (2.5)  oraz  (3.26)  i  (3.27).
Ze  wzglę du  n a  wytę ż enie  m ateriał u  najbardziej  interesują cy  jest  współ czynnik  k

ę
  na

krawę dzi  otworu.  Wynosi  on

ff(0 )
(4- 4)  kę \ r=R  —  14" ~(T )

gdzie

r= R  =

r  R

jLr  2  ^  (- R4+x^x^2(3+cos4y)- (JR
8+64- R44- yg)cos2y\

+  (- X°  -1  "  ( i ? 4 + 4 2 ^" 2 " c o s 2 < ? )
3  ('

{4- 6)  ^ i -   =  w + 4

5.  Przykł ad  liczbowy

Obliczyć  naprę ż enia  crj,0',  o1^1) i  a{
ę

2)  oraz  współ czynnik  ^  w  trzech  pun ktach  krawę dzi
err  rrr

otworu  o  promieniu  R:  ę   =   0 , - j  i  - -.  Przyją ć  x
0
  =   2R,  4i?,  8i?  i  16/ ?  oraz  x  =   2,  co

odpowiadam  =   0,333.
Obliczone  wartoś ci  <r<,0)  i  a^   wedł ug  wzorów  (4.5)  i  (4.6),  a(

v

2)
  =  Ą

Y)
+a

l

q
?

)
  oraz

k
ę
  wedł ug  wzoru  (4.4) zestawiono  w tablicy  1.

6.  Uwagi  koń cowe  i  wnioski

1. Przedstawiony  problem tarczy nieograniczonej  może stan owić  podstawę   do  wyznacza-
nia  rozkł adów  naprę ż eń  w  tarczach  dwuspójnych  obcią ż onych  wewną trz  ich  obszarów.

2.  Z  obcią ż eniami  wewnę trznymi  tarcz  spotykam y  się   przy  obliczaniu  poszycia  w  tzw.
pł ytach  zestawnych  (por.  [4, 5]).



KONCENTRACJA  NAPRĘ Ż EŃ   W  TARCZY  NIEOGRANICZONEJ

Tablica  1.  Wartoś ci  naprę ż eń a
ę
  oraz  współ czynnika k

lp
  na  krawę dzi  otworu

113

1R AR 16R

7*'-

- 10,666 667

17,629 620

6,962 954

0,394 958

ę  = 0

—3,866 667

3,350 281

- 0,516 385

- 0,154 132

- 1,793 650

1,343 655

- 0,449 995

- 0,334 903

- 0,880 392

0,636 344

- 0,244 048

- 0,383 516

I *

1
 ę

4,816 609

2,782 007

7,598 616

2,731 343

1,446 108

1,143 514

2,589 622

2,264 617

0,557 958

0,519 156

1,077 114

2,074 740

0,257 305

0,252 430

0,509 735

2,019 312

n

~2

]

- P P
rmnfrm

I

J
 ę

kę  =

7,471 104

0,902 400

8,373 504

9,279 148

4,880 165

- 0,111 780

4,768 385

- 42,658 659

2,663 615

- 0^194179

2,469 436

- 12,717 317

1,362 010

- 0,117 764

1,244 246

- 10,565 588

Rys.  3

3.  D o  obliczenia  wartoś ci  n aprę ż eń  obwodowych  na  krawę dzi  otworu  wystarczy  znać

tylko  funkcję   <p
2
(z),  gdyż

8  M ech an ika  teoretyczna



114  K.  RYKALUK

4.  Rozwią zanie  tarczy  dla  obcią ż enia  rozł oż onego  wzdł uż  linii  uzyskuje  się   drogą

cał kowania  (w  sensie  R iem anna)  wyraż eń  n a  n aprę ż en ia  lub  funkcji  G oursata.  I  tak  dla

obcią ż enia  o  stał ej  intensywnoś ci  p  na  odcinku  \ x
2
—x

x
\   (rys.  3)  funkcja  (p

2
(z)  wynosi

fc  rl n K

—Xx  la(R
i
~xU

2
)—2(x

2
- Xi)

Literatura  cytowana  v/  tekś cie

1.  H . H .  MycxEJiHUiBHJiHj  HeKomopbie ocnoeuwe sabanu  MameMamimecKou meopuu ynpyiocmu,  Moci<Ba

1966.

2.  F . H .  CABH H ,  Koiaemnpaijun Hanpmtcemiu  OKOJIO  omeepemuu,  MocKBa- JIenHHrpafl 1951.

3.  W. I.  SMIRNOW,  Matematyka  wyż sza, t.  3, Warszawa 1967.

4.  J.  RU TECKI,  Cienkoś cienne  konstrukcje noś ne, Warszawa  1966.

5.  C. BRAN ICKI, K.  WYSIATYCKI, Zastosowanie metody elementów skoń czonych do analizy statycznej lekkich

jezdni mostowych,  XVI  Konferencja  N aukowa  KI PAN  i  K N  PZITB — Krynica  1970. Referaty  i ko-

munikaty,  t. I .

P  e 3 10  M  e

KOH I I E H TP AU H JI  H AITPJD KEH H ił  B  H E O r P AH E R E H H O ft  n J I H T E  .

C  KPyiM ILIM   OTBE P C TH E M   HAXOJLJUUHMCfl  VL OJX  JI E flC TBH E M

BH YTP E H H E H   H Ar P Y3K H

#

p a c ke r  K03<J)cpH x*H eH T0B  KOHiłeHTpai(HH  nanpnjKeH uft  ( n o on peflen en n io  T . H . OaBn n a)  B  n e -

r r a m e  c  Kpyrowia  oTBepcTHeM,  CH M M CTPIM H O  iiarpym eH H bw  npoflonbH oił   n ap o ii  C H JI.

Rna  pemeHHH  3ap,ina o roiH Te c OTBepcTHeiw  HcnojiŁ30BaHM   MCTOAW  cJiyiiKquii  KOMmieKciioro  n ep e-

Aieinioro,  B  ijacTHOcTH   iweiofl  H . H .  MycxeJiH uiBH JiH ,  ocH oaairabie  Ha H cnojib3oaaH H H   KondjiopMHbix

OTo6pa>i<eiiKH:  H  iiH TerpanoB  Tiina  Kon iH .

BbniH CJieiibi  oi<py>KHbie  H anpjD KeH M  H   KoadidjiHqHeHTLi  KOimeiiTpauH H   H anpnweH H H   B  i p e x

xapaKTepiibix  T O ^ I O X  i<pan  OTBepcTHH  n p n q e i t i p e x  pa3JiH qH bix  TO^icax  npi- uio>KeHiiH   ycim H ii  x
0
.

n o jiyliein io e  pem eirae  HBJiHeTca  H CXOAH H M flJiH  onpefleneH H H  nanpnH cenH ft  H  Koną enTpanHH  n a n p n -

>KeniiH   B 3a;ą aiie  o  fleitcTBH ii  BHyTpeHHeft  pacn peflen erm oH   irarpy3KH .

S u m m a r y

STRESS  CON CEN TRATION   U N D E R  I N TE R N AL  LOAD IN G   I N  AN

I N F I N I TE  D ISK  WITH   A  C IRC U LAR  H OLE

The paper  presents  a  method  of  calculation  of  stress  concentration coefficients  (according  to Savin's

definition)  for an infinite  disk with a circular  hole. The disk is loaded  by two longitudinal  forces  symmetric

with  respect  to the centre of the hole. The methods of complex  argument  functions  and, in particular, the



KON CEN TRACJA  NAPRĘ Ż EŃ   W  TARCZY  NIEOGRANICZONEJ  115

method  of  Muskhelishvili  based  on  conformal  mappings  and  Cauchy  type  integrals  is  applied  to  the
solution of  the problem.  The  circumferential  stresses  as  well  as  the  coefficient  of  stress  concentration are
calculated  in three characteristic  points  of  the hole edge, for  the case  of four  different  points of  application
x

Q
  of the forces.  The solution obtained gives a basis to determine the stresses and their concentrations under

distributed  internal  loads.

P OLI TE C H N I KA  WROCŁAWSKA

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  8  lutego  1971  r.