Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  10  (1972)

AN ALIZ A  R U C H U   P E WN E G O  U KŁAD U   WI BR O- U D E R Z E N I OWE GO
O  D WÓ C H   ST O P N I AC H   SWOBOD Y

Z B I G N I E W  W I Ś N I E W S KI  ( G D A Ń S K)

Oznaczenia

Xi  bezwymiarowe  przemieszczenie  masy  1
x

2
  bezwymiarowe  przemieszczenie  masy  2

Xi  bezwymiarowa  prę dkość  masy  1
X2  bezwymiarowa  prę dkość  masy  2,
Xi  bezwymiarowe  przyspieszenie  masy  1,
x

2
  bezwymiarowe  przyspieszenie  masy  2,

t[s]  czas,
T  czas  bezwymiarowy,
n  stosun ek  okresu  ruchu  do  okresu  sił y  wymuszają cej,

cuts"1]  czę stość  zmian  sił y  wymuszają cej,
(p[rd]  ką t  przesunię cia  fazowego  pomię dzy sił ą  wymuszają cą   a przemieszczeniem  masy 1,

R  współ czynnik  restytucji,
v  bezwymiarowa  prę dkość  uderzenia,
i5  bezwymiarowe  przemieszczenie ś rodka  masy  ukł adu w cią gu jednego  cyklu  ruchu,

sztywność  sprę ż ystego  zawieszenia  masy  2,

hi  bezwymiarowy  współ czynnik  oporu  tł umienia  w  pneumatycznym  elemencie
sprę ż ystym,

h
2
  bezwymiarowy  współ czynnik  oporu  tł umienia  drgań  masy 2,

Qi[N ]  cię ż ar  masy  1,
Q

2
  [N ]  cię ż ar  masy  2,

P[N / m
2
]  ciś nienie  w  pneumatycznym  elemencie  sprę ż ystym,

S[m
2
]  pole  powierzchni  dn a  tł oka  elementu  sprę ż ystego,

F
0
[N ]  am plituda  sił y  wymuszają cej.

1.  Wprowadzenie

D oś wiadczalne  i  teoretyczn e  badan ia  ukł adu  wibro- uderzeniowego  z  elementem  sprę -

ż ystym,  umoż liwiają cym  cią głą   regulację   czę stoś ci  uderzeń  wykazał y  [4], że  ukł ad  ten  po-

siada  szereg  cech,  odróż niają cych  go  od  innych  ukł adów  wibro- uderzeniowych.



54 Z.  WIŚ N IEWSKI

Korzyś ci,  jakie  mogł oby  przynieść  zastosowanie  takiego  ukł adu  n p.  w  wibro- uderze-
niowych  urzą dzeniach  do pogrą ż ania  pali,  był y  przyczyną   podję cia  przez  autora  dalszych
badań  teoretycznych  [5],  dla gł ę bszego  poznania  zjawisk  towarzyszą cych  pracy  ukł adu.

W  pracy  [5] badany był  model  dynamiczny  ukł adu o dwóch  stopniach swobody,  w któ-
rym  ogranicznik  posiadał   skoń czoną   masę   i  liniową   sprę ż ystoś ć,  przy  czym  przyję to,  że
ś rodek  masy  ukł adu porusza  się   ruchem jednostajnym.

Rys.  1.  Schemat  ukł adu  badanego  w  pracy  [5]

Zał oż ono  tam  również,  że sił a  oporu  towarzyszą ca  ruchowi  obu mas  drgają cych  jest
proporcjonalna  do prę dkoś ci  ruchu.

M odel  dynamiczny  tego  ukł adu przedstawiono  schematycznie n a rys.  1. Ruch ukł adu
opisany  był   równaniami  róż niczkowymi

(1.1)  x
1
+h

i
(x

1
- x

2
)+q=- cos

(1.2) x2-   - ±-  ( Xl- x2)+ 2h2x2+ s
2x2  =  —,

przy  czym  warunki  graniczne1)  miał y  postać

Xj(0)  =  x2(0)  =  x0,  xx(2nń )  = x2(2mi)  =  xo— 5,  Xi(0)—x2(Q)==Rv,

Równania  (1.1.) i  (1.2)  wyraż ono  we  współ rzę dnych bezwymiarowych,  przy  pomocy pod-
stawień :

(1.4) x  =   cot;

1J
2
  = ln

2
,

g  g
Równania  (1.1) i  (1.2)  stanowią   ogólny  opis  ruchu  badanego  ukł adu. Z uwagi  jedn ak na
zł oż oną   formę   rozwią zań,  wystę pują   trudnoś ci  n atury  matematycznej  w  przedstawieniu

x)  Termin  «warunki  graniczne» stosuje  się  w teorii  ukł adów  wibro- uderzeniowych  dla  odróż nienia od
typowej postaci warunków brzegowych, niezależ nych od parametrów  ukł adu.



AN ALIZA  RU CH U   PEWNEGO  UKŁADU   WIBRO- UDERZENIOWEGO 55

wyników  analizy  w  postaci  dogodn ej  dla  zastosowań  praktycznych.  D latego  też  celowe
jest  wprowadzenie  pewnych  zał oż eń  upraszczają cych.

W  niniejszej  pracy  zajmiemy  się   badan iem  ukł adu wibro- uderzeniowego  o dwóch  stop-
n iach  swobody,  zawierają cego  elem ent  sprę ż ysty  o  charakterystyce  niezależ nej  od  poł o-
ż enia  m asy  drgają cej  [4],  w  przypadku  gdy  m oż na  pom iną ć  tł umienie w  elemencie  sprę -
ż ystym, ja ko  zn ikom e w  porówn an iu  z  sił ą   oporu  ruchu masy  2  (rys. 2).

Z godn ie  z  przyję tymi  wyż ej  oznaczeniami  mamy  wię c  li
1
  g  0.  D la  takiego  przypadku

okreś limy  okresowe  rozwią zan ia  równ ań  ru ch u ;  warun ki  istnienia  rozwią zań  okresowych,
wynikają ce  z  m atem atyczn ych  i  fizycznych  ograniczeń  wartoś ci  param etrów  ukł adu, jak
również  kryteria  stabilnoś ci  strukturaln ej.

Oddzielnie  rozpatrzon y  zostanie  przypadek  ruchu,  gdy  n a  masę   2  dział a  sił a  oporu
o  stał ej  wartoś ci  przył oż ona  skokowo  w  dowolnej  chwili,  w  przedziale  czasu  pomię dzy
uderzeniam i.

2.  Sformułowanie problemu

R ozważa  się   ukł ad wibro- uderzeniowy  z pneum atycznym elementem sprę ż ystym,  w któ-
rym  wpł yw  zmiany poł oż en ia t ł o ka wzglę dem  cylin dra2)  n a ciś nienie w przestrzeni sprę ż ania
jest  znikomy.  Ogran iczn ik  ruch u  masy  1  (rys.  2)  stanowi  masę   skupioną   2,  zawieszoną

F
o
-  cos  cot

Rys.  2.  Model  dynamiczny  ukł adu  wibro- uderzeniowego  z  pneumatycznym  elementem  sprę ż ystym, bez
oporów  ruchu  w  elemencie  sprę ż ystym

n a  sprę ż ynie  o  liniowej  charakterystyce.  R uchowi  ogranicznika  towarzyszy  sił a  oporu
proporcjon aln a  do  prę dkoś ci.

D o  analizy  przyjmiemy  nastę pują ce  zał oż enia.

1.  M oż liwy  jest  ruch  okresowy  masy  1,  przy  czym  okres  ruchu  równy  jest  okresowi
sił y  wymuszają cej  lu b  jego  cał kowitej  krotn oś ci;

2.  sił a  wymuszają ca  zm ien ia  się   harm on iczn ie i  dział a w  kierunku  zgodnym  z  kierun-
kiem  osi  symetrii  cylin dra  w  elemencie  sprę ż ystym,  zaś  czę stość  zmian  sił y  wymuszają cej
jest  stał a w  cią gu  cyklu  ruch u u kł a d u ;

3.  nie wystę puje  sprzę ż enie  zwrotn e  pomię dzy  ukł adem a  ź ródł em energii;

2 )  Budowę  pneumatycznego  elementu sprę ż ystego  opisano szczegół owo w pracy [4].



56  Z .  WIŚ N IEWSKI

4.  czas  trwania  zderzeń pomię dzy  masą  1 i  ogranicznikiem  2 jest  krótki  w  porówn an iu
z  okresem  ruchu  ukł adu  (odstę pem  czasu  pomię dzy  dwom a  kolejnymi  zderzen iam i);

5.  przekazywanie  energii  kinetycznej  przy  zderzeniu  okreś la  współ czynnik  restytucji
R,  przybierają cy  wartoś ci  z przedział u  [0;  1] oraz speł niają cy  zał oż enia podan e w pracy  [4];

6. 'opory  ruchu  tł oka  wzglę dem  cylindra  w  elemencie  sprę ż ystym  są  nieznaczne  w  po-
równaniu  z  oporam i  ruchu  masy  2;

7.  ruch ogranicznika  2 traktujemy  jako  drgan ia  masy  skupionej  zawieszonej  n a  liniowej
sprę ż ynie;

8.  ś rodek  masy  cał ego ukł adu przesuwa  się ruchem jedn ostajn ym ,  w  kierun ku  ujemnego
zwrotu  osi  x;

9.  poł oż enie ś rodka  masy  1 nie  zależy  od  chwilowego  poł oż en ia m as  niewyważ onych
wibratora  bezwł adnoś ciowego,  stanowią cego  ź ródło sił y wymuszają cej  drgan ia;

10.  wszystkie  param etry  ukł adu  są  zdeterm in owan e.

U wzglę dniając  powyż sze  zał oż enia,  ruch  ukł adu  opisać  m oż na  dwom a  równ an iam i

róż niczkowymi:

(2.1)  Jći+ ? =  cos(

(2.2)  x
2
+2h

2
x

2
+s

2
x

2
  =   1

z  warunkam i  okresowoś ci  ruchu  ,(1.3).

3.  Cał kowanie  równań  ruchu

Ponieważ  w  równaniu  (2.1)  nie  wystę pują  czł ony  zależ ne  od  x
2)
  zaś  równ an ie  (2.2)

nie  zawiera  czł onów  zależ nych  od  x,  więc  zwią zek  pom ię dzy  param etram i  ruch u  obu
mas  wynika  jedynie  z  warun ków  okresowoś ci  ruchu  (1.3) 3).

Cał ka  równania  (2.1)  ma  postać

(3.1)  x
t
  =   -   ^ r~  +  C

1

Korzystając  z  warunków  (1.3)  otrzymamy

(3.2)  Xy =  — —— +   [mig—  - - -
Z  \   Inn

(3.3)  x
l
  =  —qx+nnq—- -

Cał kując  równanie  (2.2), należy  rozważ yć  trzy  przypadki:
1)  h

2
  <  s,

2)  h
2
  =   s,

3)  h
2
  >  s.

D la  h
2
  <  s  otrzymamy

(3.4)  x
2
  =  fc - 'l 2 l ( c o sAT + £ 1 si n AT ) + - -T

3 )  Cechą  charakterystyczną  ukł adów  wibro- uderzeniowych  jest  zależ ność  warun ków okresowoś ci  od
param etrów  ukł adu  [1],



AN AL I Z A  R U C H U   P E WN E G O  U K Ł ADU   WI BR O- U D E R Z E N I OWE GO  57

oraz

(3.5)  x
2
 =

przy  czym  ozn aczon o

3 — t/ ^ —hi  •   £ — v  ?- -•

fS  _  e t - 2 l I "^ c

|  '  ś mlnnl

P odstawiając  warun ki  (1.3) do  (3.3) i (3.5), otrzym am y  p o wykonaniu  koniecznych prze-
kształ ceń  wyraż enia  okreś lają ce  prę dkość  uderzenia  oraz  kąt  przesunię cia  fazowego po-
mię dzy  sił ą  wymuszają cą  i  przem ieszczeniem :

( 3 . 7 )  v  =   ^ l  +   , £ =

(3.8)  sirup — Rv—nnq- \ -  -=

D la  h
2
 = s  otrzym am y  odpowiedn io

(3.9)  x
2
 =

2 m  '"  ' "J "  us2'
B(\ —e~

2nnh2
)—d

-  4-  — -   I

(3.12)  siny  -   J f e , _ ; W ? + ^ r - / J a £ +   ^ - ^ r —i e
2
™'*

i  wreszcie  dla  / ;2 > s:

(3.13)  x 2 = -   - - ^

gd zie

(3.15)

(3- 16)  f , -

IA1S



58 Z .  WIŚ N IEWSKI

(3.17)  s i n ,  =

Rozpatrzym y  z  kolei  przypadek,  gdy  opory  ruch u  ogran iczn ika  2  są   d o  pom inię cia
w  porówn an iu  z  wartoś cią   sił y  wymuszają cej.

M am y wię c h
x
  — h

2
  =   0. M odel dynamiczny takiego  ukł adu przedstawia schematycznie

rys.  3.  R ówn an ia  ruchu  przybiorą   postać

(3.18)  ,  x
x
+q  =  cos(T +q>),

(3.19)  x
2
+s

2
x

2
  =

F
o
cos  cot• i

x

•
1

J
P

2

Rys.  3.  Schemat  ukł adu  bez  tł umienia

Rozwią zaniem  tego  ukł adu  równ ań ,  przy  s  #   1  i  s ( fc =   1, 2, . . . , )  bę dą

zwią zki:

(3.20)

(3.21)

(3.22)

qt
2

— Znn
x+x

0
—cos<p—cos(t+<p),

x
2
  =

x 2  =   — i

itgnns  r ,  —  sinjr- i—=;sm27tns  I  fxs'

(3.23)

P rę dkość  uderzenia  okreś la  zwią zek

(3.24)

C O SJ T .

/

f5)



AN ALIZA  RUCHU   PEWNEG O  UKŁADU   WIBRO- UDERZENIOWEGO 59

zaś  ką t  przesunię cia  fazowego

(3.25) =  -   - j- p- ^-  Jinq+s  11 (1 -   y +   j

M oż liwość  istnienia  ruchów  okresowych  ograniczona jest  warunkiem  typu  matematycz-
nego,  tj.  aż eby  sin cp  osią gał   wartoś ci  rzeczywiste

(3.26)  .

oraz  warunkami  typu  fizycznego,  mianowicie:  aż eby  prę dkość  uderzenia  był a  dodatnia

(3.27)  v>0,

oraz aby  sił a wywoł ana  ciś nieniem powietrza  n a dno tł oka w elemencie sprę ż ystym  zrówno-
waż yła cię ż ar masy  uderzają cej,  czyli

(3.28)  q>0.

Z  (3.26)  otrzymamy  po  wykonaniu  koniecznych  przekształ ceń  nierówność

gdzie

(3.29)

r  SR  .  L 2 R
i  D

— l -

1,0

1,5 1,0  S

Rys.  4.  Zakresy  wartoś ci  parametrów  ukł adu,  odpowiadają cych  rozwią zaniom  okresowym,  przy  n  =   1;
Xo«-   - 1;  , u - l;  ^  ==   1;  dla  J?  =   0  i  ii  =   0,5



0,2

0  0,5  1,0  1,5  2,0  s

R y s .  5 .  O b s z a r y  i s t n i e n i a  r z e c z y w i s t y c h  w a r t o ś ci  s i n ? )  d l a  «  =   1 ; . v 0 =   — l ; / i =  1 0 ;  <5 =   0 , 0 1 ;  q  =   1

0,4

0,2

0  0,5   - 1,0   1,6   2,0   s

R ys.  6.  Obszary  istn ien ia rzeczywistych  wartoś ci  sinip  dla  n—  1;  x
0
  =   —  1;  /'•   =   1;  d  —  0, 01;  </   =   0,2

0  0,5   1,0   - f.5   2,0   S

R ys.  7.  Obszary  istn ien ia  rzeczywistych  wartoś ci  sin  <p d la  n  =  \ ;  x
0
  • - =  —  1;  fł   • •   1;  <5 =   0, 01;  <y  =   1

[601



AN AL I Z A  R U C H U   P E WN E G O  U K Ł AD U   WI BR O- U D E R Z E N I OWE GO 61

0,2

0  0,5  1,0  1,5  2,0  5

R ys.  8.  O bszary  ist n ien ia  rzeczywistych  wartoś ci  si n y  d la  n  —  1;  x
0
  —  — 1;  [t  =» 1;  <5  =   0 , 1 ;  g  =   1

2,0  5

R ys.  9.  O bszary  istn ien ia  rzeczywistych  wart o ś ci  sinip  dla  «  =   1;  x 0  =   — 1;  /« =   1;  <5  =   l j  q  =   1

Warun ek  (3.27)  prowadzi  do  nierównoś ci

(3.30)
/ j,s

2
(2x

0
 sin

2
mis—  d) tgnns

2(7in/ us+sin
2
nnstg7ins)

Zwią zki  (3.28),  (3.29)  (3.30)  okreś lają   obszary  wartoś ci  param etrów,  dla  których  ruch

opisany  równ an iam i  (3.18)  i  (3.19)  jest  okresowy.  N a  rys.  4- 9  przedstawiono  graficznie

obszary  istnienia  rozwią zań  okresowych  dla  wybranych  wartoś ci  param etrów  ukł adu.

Z wykresów widać, że przy  czę stoś ci  uderzeń równej  czę stoś ci  sił y wymuszają cej  (n =   1)

w  ż adnym  z  przypadków  nie  istnieje  moż liwość  ruchów  okresowych  dla  s  — 0,5.



62 Z .  WI Ś N I E WSKI

4.  R uch  ukł adu  w  przypadku  docią ż en ia  ogran iczn ika

Rozpatrzymy  przypadek  ruchu,  gdy  ogranicznik  docią ż ony  został   sił ą  F{x)  (rys.  10)
przył oż oną  w  dowolnej  chwili  —  w  przedziale  czasu  pom ię dzy  uderzen iam i.

Równanie  ruchu  masy  2  pod  dział aniem  sił y  F(r)  przyjmie  postać

(4.1) 'x2- \ - s
2
x

2
  =   — — 6a(r—  r

0
),

t
1

F(r)

F(X)=8- O(T- TB)

0  r
0
  x

Rys.  10.

Stosując  do  równ an ia  (4.1)  transformację  Laplace'a  i  wykonując  niezbę dne  przekształ -
cenia,  otrzymamy

(4.2)

1   fl  A  n
x

2
  =  icos(.n)+  — x

2
{Q)sln(sr)  r  (1  —T O ) + —ż - c o s [ j r ( T —TO ) ] + ——

S  S  S  llS

x
2
  ss o  .

s
T o ) ] ,

Izie

f l - T  1  1
(4.3)  X

2
(O)  =   s£tg(7ms)+0  ^  - cos^(2ra-  T0)  - ~  r  -   - .Y  s  \   sin(2jrn5)  si

P rę dkość  uderzenia  opisuje  zależ ność

_  1   I [ W + . ( J = Ł.
i+ i?  U   \   J

5s

, .  ..  2jr/ 7
(4.4)  c  =   ——•  q-   - —. tgnns-

ńń ns(2nn—  r
0
)  —  dsctgljtns} •

kąt  zaś  przesunię cia  fazowego

(4.5)
0  f 1 —T O  «  J  ,

Sin ®   =   —  C OSJ(27T«— T o )  C t gT t M —

2  L  s  '\

fl  .
- T O ) ~

—  ÓJCtg27T/ 7i'.

P orównując  odpowiednio  zwią zki  (3.22)'  (3.25)  i  (4.2)- (4.5),  m oż na  ocenić  wpł yw  docią-
ż enia  masy  2  sił ą  F(r).



AN ALIZA  RU CH U   PEWNEG O  UKŁADU   WIBRO- UDERZENIOWEGO  63

Oznaczmy

Ax
2
  =   {X

2
)Q—X

2
,  AV =   v

g
—v,

Ax
2
  =   (x

2
)

e
—  x

2
,  zl(sincj)  =   (sinc> )0—sin 95,

(in deks  0  ozn acza  wielkość  liczon ą   z  uwzglę dn ien iem  docią ż en ia).
P o  wyko n an iu  ko n ieczn ych  d ział ań  o t rzym am y

(4.6)  / U 2  =   - 5-   { (1 —  T 0)  1  r- =   +   C O S [ $ ( T -   T 0)]sm2nns  I  sm2jins

(4.7)  z|5c2  =  0 j i _ l Ł  _  cos [ J ( 2H »-   TO)]}  J ° 2 ^ 7  ~ 7  sin |> ( T -   T 0)] ,

(4.8)  Zlw =   — ,  ,  _  s i n 2 7 i / w—j——{[ 1 —T 0 + J C O S J ( 2 T O T —  T 0 ) ] t gJ t M +
1+XV  1+ J v

2—  T O ) } +   -  -   •   (2tguins—ctg2nns),

l—R  \ f l  — T 0  , .  ,1
(4.9)  A(smw)  =  - x-   ctg7r«i'+  - ——  tgnns  coss(2nn— T 0 )  -

2  \   1+ jt  /  I  s
/  T tV%  T

1  ł   I  I  — I —  I T CT 'T f'nP  I 1  I  —i—  "i / r  1  f*'

^ ^ ^ u^ nn  T
0
)  lift  \

i

W  przypadku  szczególnym,  gdy  docią ż enie  pojawia  się   na  począ tku  cyklu  ruchu, czyli
T 0  ==  0,  zwią zki  (4.6)  —  (4.9)  przyjmą   postać

i.  ,/w  ,  0  [\   ,  sinóT  ,,
(4.10)  Ax

2
  =  —=-   1+ c o s^ T  .-—  (l+scos2nns)

(4.11)  Ax
2
  =   —  ( 1—J C O S 2 7 I / M ) - T - 4 , - --   -  —sin (^T)

(4.12)  Av  =   '
l+R  s(l+R)

(2tg7tns—i

(4.13)  / I (sin  93)  =  - -  I c t g JT/7J +   I  cos  2J7;«5 -

2sR  I  si:
k  1  '  1  1  D

l+R

5.  Stabilność strukturalna  układu

[(l+ 3i?)ctgra2i'+ i?tgjrw].

Z  punktu  widzenia  zastosowań  technicznych badanie  stabilnoś ci  strukturalnej  przy-
nosi  szczególne  korzyś ci,  gdyż  pozwala  okreś lić  wpływ  bł ę dów realizacji  ukł adu  na cha-
rakter  ruchu.



64  Z .  WIŚ N IEWSKI

D la  okreś lenia  warun ków  stabilnoś ci  strukturaln ej  posł uż ymy  się   m etodą   «dopaso-
wywania»  [1],  polegają cą   n a  n adan iu  stał ym  w  cał kach  ogólnych  równ ań  opisują cych
ruch  ukł adu, pewnych  mał ych  zaburzeń  (przyrostów),  a  n astę pn ie  n a  porówn an iu  ruchu
zaburzonego  i niezaburzonego, przy  liczbie  przedział ów  ruchu  dą ż ą cej  do  nieskoń czonoś ci.

N iech  cał ki  ogólne  równań  (3.18)  i  (3.19)  mają   postać

(5.1)  '  x,  = X J ( T ;  Q i  C
2
;cp),

(5.2)  x
2
  =  x

2
(r;C

3
;C

Ą
).

N adajmy  stał ym  C
t
;  C 2 ;  C 3 ;  C 4  oraz  ką towi  przesunię cia  fazowego  q>  —  mał e przyrosty  —

odpowiedn io:  a v;  ^ v ;  yv; ff„ ; J y .  R uch ukł adu zostanie  zaburzon y,  a cał ki  ogólne  dla  ruchu
zaburzonego  w  i'- tym  przedziale  przyjmą   post ać:

(5.3)  4 V )  =   4 V ) ( T ;  C , . + «, _ I  ; C a+ / 9, _ iJ 2roi+ <S,;  9>+4 Ą ­t).

(5.4)  4 V )  ­  *2V)(TS  C 3 + y , _ i ;  C++or,_i;  2 w i + i , ) .

Czas  trwania  v­go  cyklu  ruchu  wynosić  bę dzie  ( 2JC T J+ ŚV) zam iast 2n?i.
Okreś lmy  róż nicę  pomię dzy  ruchem  zaburzon ym  i  niezaburzonym  n a  koń cu  v- go  prze-

dział u  ruchu

(5.5)  Axty  =

(5.6)  Ax[l>  =

oraz  n a  począ tku  ( v+ l) - go  przedział u

(5.7)  M

(5.8)
  p

P odobnie  okreś limy  przyrosty  pochodn ych n a  koń cu  v- go  przedział u

(5.9)  t  V
(5.10)

oraz  na  począ tku  (j»+ l)- go  przedział u

(5.11)  4 i i f p + 1 ) -

(5.12)  Z l4 ; + 1 )  =   x( 2
v+ 1> (O)- .v2(O).

Aż eby  ruch  był   stabilny,  okreś lone  wyż ej  przyrosty  speł niać  muszą   nastę pują ce  warun ki:

P o  wykonaniu  koniecznych  przekształ ceń  warun ki  (5.13)  sprowadzą   się   do  ukł adu
równ ań  róż nicowych,  liniowych,  jedn orodn ych ,  wzglę dem  przyrostów  a v,  / ?„, yv,av,  ń v.
Rozwią zań  tego  ukł adu  poszukujemy  w  postaci

(5.14)  av  =  fc, e
v,  (j„  =   k

2
e

v
,  y

v
  =   k

3
e

v
,  a

v
  =  k

A
e

v
,  A

y
  =  k

s
s

v
,

gdzie k
x
,  ...,  k

5
  —  pewne  stał e.

Podstawiają c  (5.11)  do  ukł adu  równ ań ,  wyprowadzon ych  z  warun ków  (5.13),  otrzy-
mamy  ukł ad  równań  algebraicznych,  liniowych,  wzglę dem  stał ych  k,,...,k

s
.  Z  kolei



AN ALIZA  RU CH U   PEWNEG O  UKŁADU   WIBRO- UDERZENIOWEGO  65

tworzymy  wyznacznik  charakterystyczny  tego  ukł adu równań. Zerowanie się  tego wyznacz-
nika jest  warunkiem  koniecznym istnienia rozwią zań  niezerowych  ukł adu.

Rozwijają c  wyznacznik  charakterystyczny,  otrzymamy  równanie  algebraiczne  wzglę -
dem  s.

Aż eby  ukł ad  był  stabilny,  przyrosty  a V)  pv,  yv,  av,  Av  muszą   dą ż yć  do zera przy  liczbie
przedział ów  ruchu v  dą ż ą cej  do  nieskoń czonoś ci. Wynika  stą d  warunek

(5.15)  | s | < l ;

czyli  moduł y  pierwiastków  równania charakterystycznego  muszą   być mniejsze  od jednoś ci.
Warunek  konieczny  i  dostateczny  speł nienia zwią zku  (5.15)  wyznaczymy,  posł ugują c

się   twierdzeniem  Schura  [1]. Zgodnie  z tym twierdzeniem  moduł y  pierwiastków  równania
charakterystycznego  są   mniejsze  od jednoś ci,  gdy  zachodzi nierówność

(5.16)  \ W
t
\ <l,

gdzie  W  i oznacza wielomiany utworzone ze współ czynników równania charakterystycznego.
D la  rozpatrywanego  ukł adu wielomiany  W

t
  mają   postać:

(5.17)  W o  =  ^ '

(5.18)  W ^ ^ f

(

(5.19)  W
3
  =  (a

o
~a

4
)x

x r( flo- g4)[(go- g4)- (aoai- fl3a4)3- (a003- Q ig4.)[(goa3- flia4)- (gogi- a3a4)]  1

J
W  zwią zkach  (5.17)—(5.19) ozn aczon o:

(5.20)  a
0
  =  $[mtq- \ - Bin<p—s

(5.21)  a,  =   2s(mq+sm<p)(R—cos2  mis)  cos2nns—2.?2(2—R)t- sin27inssia.27ins+'

+  8s
2
(2~R)ctg27tns+l.

(5.22)  a
2
  =   s 2  ( ^ ^ \

„2

- ~~  (l- 2R)Csin4nns+2miĄ (l+R)cos<p- Rq]  +

+s(T cnq+simp)[(l~2R)cos
2
27ins—R(2—R)cos2ttns—Rssm

2
2nns.

(5.23)  a
3
  =  Rs\ (nnq+sin(p)[l+cos

2
2nns—R(cos2%ns+sm

2
2mts)]+

+27tn(l+R)(cos27cns+sin
2
2nns)cos(pĄ - (l—R)cos2nm+

+s[itgnns  ^   ) ( l~ 2i?+ c o s22O T 5) l.

[
5  1

nnq+8inm+sStgn.is  r- ~̂   )- 2OT?(cos2jT?w+ sm227r/ M)  .
sin2nns  J

5  M ech an ika  teoretyczna



66  Z .  WI Ś N I E WSKI

Zależ noś ci  (5.17)—(5.19)  okreś lają   warunki  stabilnoś ci  strukturaln ej  ukł adu  wibro-
uderzeniowego, opisanego równaniam i (3.18)  i  (3.19).  N a podstawie  tych  zwią zków  m oż na
okreś lić  obszary  wartoś ci  param etrów  ukł adu,  dla  których  ruch  pozostaje  okresowy  po
wprowadzeniu  mał ych  zaburzeń.

Taka  m etoda  badania  stabilnoś ci  daje  istotn e  informacje  dla  praktyki  konstrukcyjnej,
ponieważ  pozwala  ocenić  wpł yw  bł ę dów  powstają cych  przy  technicznej  realizacji  urzą -
dzenia  na  charakter jego  pracy.

Warun ki  (5.17)—(5.19),  po  podstawieniu  do  nich  wartoś ci  współ czynników  «o- r- «4,
przybierają   zł oż oną  postać,  co  utrudn ia znacznie ich  praktyczn e  wykorzystanie.

N umeryczne  okreś lenie  dopuszczalnych  wartoś ci  poszczególnych  param etrów  wy-
magał oby  zaangaż owania  szczególnie  wydajnych  ś rodków  obliczeniowych  n a  dł ugi  okres
czasu.

Tak  wię c,  korzystanie  z powyż szych  warun ków  stabilnoś ci  sprowadza  się   do  moż liwoś ci
sprawdzenia  stabilnoś ci  strukturalnej  ukł adu o  przyję tych  uprzedn io param etrach .

6.  Uwagi koń cowe

W  przedstawionych  wyż ej  rozważ aniach  bad an o  m odel  dynamiczny  ukł adu  wibro-
uderzeniowego,  w  którym  ogranicznik  stanowił   masę   skupioną ,  zawieszoną   n a  elemencie
podatn ym ,  o liniowej  charakterystyce.  Opisany  m odel przedstawiać  może wibro- uderzenio-
we  urzą dzenie  do  pogrą ż ania  pali,  z  pneum atycznym  elementem  sprę ż ystym,  przy  czym
masa  2  odpowiada  w  ukł adzie  rzeczywistym  elementowi  pogrą ż an emu  i  drgają cej  wraz
z  nim  czę ś ci  otaczają cego  grun tu.

Jakkolwiek  taki  model  ruchu  elementu  pogrą ż anego  jest  znacznie  uproszczon y  w  sto-
sunku  do  warunków  rzeczywistych,  to jedn ak jego  an aliza  daje  szereg  informacji  istotnych
dla  oceny  wpł ywu  podatn oś ci  elementu  pogrą ż anego  n a  pracę   urzą dzenia  do  pogrą ż an ia.

Jak widać z rys. 4- 9, bardzo istotne znaczenie ma dobór czę stoś ci  wymuszają cej  drgania,
a  w  szczególnoś ci  «omijanie»  wartoś ci

2k+l
s  _ ,

gdyż dla  tych  wartoś ci  s  nie ma moż liwoś ci  realizacji  ruchu  ustalon ego.

Wartość  d okreś la  prę dkość pogrą ż an ia.  Jak  wynika  z  rys.  7- 9,  wię kszym  prę dkoś ciom
pogrą ż ania  odpowiadają   wię ksze  obszary  stabilnej  pracy.

Wyraż enie  da{r— r
0
)  —  po  prawej  stronie  równ an ia  (4.1)  in terpretować  m oż na  jako

docią ż enie  urzą dzenia  do  pogrą ż ania,  wywoł ane  wejś ciem  elem entu  pogrą ż an ego  w  nową
warstwę   podł oż a, o  wię kszym  oporze.

N a  podstawie  wyprowadzonych  zależ noś ci  m oż na  stwierdzić,  że  wpł yw  docią ż enia
wywoł anego  przejś ciem  przez granicę  dwóch róż nych warstw  grun tu —  zarówn o  iloś ciowy,
jak  i jakoś ciowy  —jest  istotn y i zależy  od stosun ku  czę stoś ci  wł asnej  elementu  pogrą ż an ego
do  czę stoś ci  wymuszają cej.

P orównują c  wyniki  analizy  rozpatrywanego  wyż ej  m odelu  z  odpowiedn im i  wynikami,
otrzymanymi  w  pracy  [4],  dla  ukł adu  ze  sztywnym  ogranicznikiem ,  m oż na  stwierdzić
wyraź ny  jakoś ciowy  i  iloś ciowy  wpł yw  podatn oś ci  elementu  pogrą ż an ego.



AN ALI Z A  RU CH U   PEWN EG O  U KŁAD U   WIBRO- U D ERZEN IOWEGO  67

Z ł oż ona  forma  rozwią zań  wskazuje  n a  celowość  zastosowania  w  badan iach  takich

ukł adów  techniki  m odelowan ia  analogowego.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  A.  E .  KOEPH H CKH U J  Mexanu3Mu  c  ynpyzuuu  cena/ tMU,  MocKBa  1964.

2.  X.  H .  P AC K H H ,  O  nepexodnux  peoKUMax npu  deuoic&iuu c  odnocmoponnuMU  ydapctMU,  C 6.  Bon pocw

flH H aiwH KH   H   n poquocTH j  N °  1 5 ,  P a r a  1967.

3 .  O . A.  C ABH H O B,  A.  SL .  JlycKH H ,  Bu6paifuoniibiu  Memod noipywceuun  ceaii u  ezo npuAtaieuue  e cmpou-

me/ ibcme,  JIeHHHrpafl  1960.

4.  Z . WIŚ N IEWSKI, Badania ukł adu  wibro- uderzeniowego  z pneumatycznym  elementem sprę ż ystym, Archiwum

Budowy  M aszyn,  3  (1968).

5.  Z . WI Ś N I EWSKI,  Ukł ad wibro- uderzeniowy z pneumatycznym  elementem sprę ż ystym  i z podatnym ograniczni-

kiem,  Archiwum  Budowy  M aszyn  1(1972).

P  e 3 io  M  e

AH AJIH 3  HEKOTOPOH   BHEPOY^APHOH   CHCTEMBI

C  flBYM fl  CTEriEH flMK  CBOBOflŁI

B  cTaTte  onncaH Łi  H ccJieflOBanna  BuG poyflapnoH   CHCTembi  c  nueBMaTHqccKHM  ynpyrH M   aJieiweHTOM

H   c  noflBH>KHHm  orpaH H ^H TejieM .

3KcnepnMeH Ta.ni.H hie  HccjiefloBaHHH   Tai<oń  CHCieMM  c  HcecTKww  orpaH H ^H ieneM ,  npoBefleH bie  p an ee

aBTopoMj  noKa3aJiH   HTO cacieM a  o6jiaji;aeT  BO3MO>KHOCTLIO  H enpeptiBH oft  peryjiapoBKH   ^acioT h i  yaapoB

BO  BpeiYM   pa6oTbI  yCTpOHCTBa.

B  HacTOHmeJi  pa6oTe  pacciwoTpHBaeTCJi  MOflent.,  cocTOHmaa: H3 flByx  Macc5  oAHa  H3 KOTopwx  COOT-

Macce  norpe>i<aeM oro  ajieMeHTa  H  BH 6pyiomeft  BM ecie  c  HUM   TOOTH   rpyH Ta,  TaK Kai-c  H CCJIC-

cncTeMa  npeflCTaBJineT  flH iiaM H M ecKyio  MOfleirb  BH 6poy# apH oro  n o r p ywa io m er o  ycTpoHCTBa.

3Toft  CHCTeMbi peinaioTCH   nH(J)dpepeHqHaiibHBie  ypaBn eiran  flBH weioiH   n p n oTcyTCTBHH   pacceairaH

3H eprH H   B  mreBMaTiraecKOM   yn pyroM   sneMeH Te.  O co6o  paccM oipen  CJiy^ań flBH >i<eH H H  6es  3aiyxaH H a.

3Toro  cjiy^iaa  p e m e n w  ypaBH ennH   ABH >KCH H H ,  BtmH CJienbi  raaBH bie  napaM eTpw  CH CTCMŁI,  Bbffle-

ycnoBH H   CTpyKTypiioH   ycToft^HBOCTH.  PaccMOTpen  cny^iań  i- iecTaqHOHapHoro flBH >Kem«ij BH 3-

BaH H oro  BHe3anHWM   fleiicTBH eiw  IIOCTOH H H OH   BKemH eii  C H JI M .  H eK o ro p we  pesyjibTaTM   HccjieflOBaHHH

H3o6pa>KeHM   n a rp ad n iK ax.  BbiBefleHHBie  B  pa6oTe  4)opiwyjiw  MoryT  H aftra  npH MeneiiH e npH  npoeKTH-

BH 6poyflapH wx  norpyH <aTeneft.

S u m m a r y

ON   CERTAIN   VIBRATORY- IM PACT  SYSTEM   WITH   TWO  D EG REES O F  F REED OM

The  paper  deals  with  a  vibratory- impact  system  with  pneumatic  suspension  element  and  a  movable

stop.

The  experimental  investigation  of  the  model  of  a  similar  system  (with  a  rigid  stop)  which  had  been

carried  out  formerly  by  the  author, proved  an  important feature  of  the  system,  namely  the possibility  of

continuous control of  impact frequency  during  the work  of  the  system.

The  model considered in this paper consists  of two masses,  one of  which represents  the mass  of a  drived

pile  and  the  vibrating  part  of  surrounding  soil  (the  system  investigated  is  to  be  applied  to  pile  driving).

Equations of  motion are formulated  and  solved under the assumption  of  negligibility  of  energy  dissipation

in pneumatic suspension  element. The main parameters  of motion are calculated.



68  Z .  WIŚ N IEWSKI

The case of  system  with no energy  dissipation received  a special treatment. F or that case the main pa-
rameters of  motion were  calculated. The  structural  stability  conditions were  formulated.  The non- statio-
nary  motion caused  by  suddenly  applied  external  force  was  considered  as  an  analogy  of  the behaviour  of
a  real  system,  while the drived  pile passes  the contact surface  of  two  layers  of  soil.

Some results of the analysis  is presented by graphs. The formulae  derived in the paper might be applied
in  the  vibratory- impact  pile  drivers  design.

P OLI TE C H N I KA  G D AŃ SKA

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  22  wrześ nia  1970  r.;  po  raz  drugi  dnia  1  marca  1971  r.