Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  10  (1972) PEWNE  NIEWISKOZYMETRYCZNE  PRZEPŁYWY CIECZY LEPKOSPRĘ Ż YSTYCH STEF AN   Z A H O R S K I  (WARSZ AWA) 1. Wstę p D o  niedawna  badan ie  wł asnoś ci  Teologicznych  cieczy  lepkospreż ystych,  takich  jak roztwory  i  stopion e  polim ery,  n iektóre  oleje  m in eraln e  i  zawiesiny,  ciecze  przerabiane w  przemyś le  spoż ywczym  itp., prowadzon o  z  reguł y dla  tzw.  przepł ywów  wiskozymetrycz- n ych  bę dą cych  róż n ymi  m odyfikacjam i  przepł ywów  ś cinają cych,  charakteryzują cych  się poprzecznym  gradien tem prę dkoś ci.  Przepł ywy  wiskozymetryczne  wystę pują   czę sto w tech- nologii  i  urzą dzeniach  przetwórczych  (przepł ywy  przez  przewody  rurowe,  kanał y,  szczeli- ny  itp.)  oraz prawie  we  wszystkich  wiskozym etrach,  tj.  przyrzą dach  sł uż ą cych  do pom iaru lepkoś ci  i  innych  wł asnoś ci  cieczy.  Od  przyrzą dów  tych  pochodzi  zresztą   nazwa  klasy przepł ywów  wiskozymetrycznych. P aram etram i  charakteryzują cymi  wł asnoś ci  cieczy  w  ustalonych  lub  nieustalonych, okresowo  zmiennych  przepł ywach  wiskozymetrycznych  są   trzy  niezależ ne  funkcje  wisko- zym etryczn e:  funkcja  lepkoś ci  (lepkość  pozorn a)  i  funkcje  naprę ż eń  norm alnych  lub  od- powiednio  dla  m ał ych  oscylacji:  funkcja  lepkoś ci  dynamicznej,  moduł u  dynamicznego i  ką ta  stratn oś ci  m echan iczn ej. Teorii  przepł ywów  wiskozymetrycznych  oraz  wynikom  badań  doś wiadczalnych  poś- wię cone  są   liczne  prace  i  m on ografie  (por.  [1,  2, 3, 4, 5, 6]). P rosty,  lecz jednocześ nie no- woczesny  wykł ad  tych  zagadn ień  uję ty  w  ich  historycznym  rozwoju  zawiera  ksią ż ka  COLE- MAN A,  M AR KOVI TZ A  i  N O L L A  [7];  również  poprzedn ia  praca  przeglą dowa  autora  [8] ujmował a  zasadnicze  wł asnoś ci  przepł ywów  wiskozymetrycznych. Wzrastają ce  ostatn io  zain teresowan ie  róż n ymi  niewiskozymetrycznymi  przepł ywami cieczy  lepkospreż ystych  m a  swoje  ź ródło  nie  tylko  w  rozwoju  reologii  teoretycznej  i  ko- niecznoś ci  realizowania  bardziej  zł oż onych  przepł ywów  w  przetwórstwie  polimerów,  ale również  wynika  z  potrzeby  kon struowan ia  oraz  stosowania  reometrów  pozwalają cych  n a peł niejsze  i  sprawniejsze  wyznaczanie  charakterystyk  Teologicznych  cieczy.  Znamienną rolę   odgrywa  tutaj  ustalon y  przepł yw  rozcią gają cy,  posiadają cy  duże praktyczne znaczenie dla  procesów  przę dzen ia,  wycią gania  itp.,  którego  charakterystyki  reologiczne  są   cał ko- wicie  odmienne i  nie  zwią zane  bezpoś redn io  z  funkcjami  wiskozymetrycznymi  (por.  [9]). Wś ród  róż nych  niewiskozymetrycznych  przepł ywów  cieczy  lepkospreż ystych  szczegól- ną   pozycję   zajmują   przepł ywy  zaliczają ce  się   do  «ruchów  ze  stał ą   historią   deformacji)) (oznaczanych  w  dalszym  cią gu  skró t em :  R SH D ) ,  których  teorię   dla  cieczy  prostych  sfor- 30  S.  ZAH ORSKI mulowali  COLEMAN   [10]  oraz  N O L L  [11], a  nastę pnie  rozwinę li  inni  badacze  (por.  [12,  13, 14,  15,  16]).  Szczególna  pozycja  przepł ywów  ze  stał ą   historią   deformacji  wynika  z  faktu, że  dla  takich  przepł ywów,  podobnie  zresztą   jak  i  dla  przepł ywów  wiskozyrnetrycznych, pamię ć lepkosprę ż ystej  cieczy  prostej  ujawnia  się   w  sposób  istotnie  ograniczony  lub,  uż y- wają c  sł ów  COLEMANA  [10], pamię ci  cieczy  prostej  w  R SH D   «...pozostaje  bardzo  niewiele do  zapamię tania».  N ie  bez  znaczenia  był   również  fakt  skonstruowania  reometrów  reali- zują cych  R SH D   (por.  p . 4)  zanim jeszcze  zorientowano  się ,  że  przepł ywy  w  nich  wystę - pują ce  należą   do  tej  szczególnej  klasy  przepł ywów  niewiskozymetrycznych. W  niniejszym  przeglą dzie  zajmiemy  się   przede  wszystkim  teorią   przepł ywów  niewisko- zymetrycznych  należ ą cych  do  klasy  R SH D ,  zwracają c  szczególną   uwagę   n a  ich  realizację w  przyrzą dach  i  moż liwość  wyznaczania  odpowiednich  charakterystyk.  Warto  nadmienić już  n a wstę pie,  że interesują ca  nas  klasa  przepł ywów  obejmuje  nie tylko  wszystkie  ustalone przepł ywy  wiskozymetryczne,  ale  również  liczne  inne,  jak  ustalone  proste  rozcią ganie i  ustalone  czyste  ś cinanie  (por.  p .  4.1),  przepł yw  w  ortogonalnym  reometrze  M axwella (por. p . 4.2),  reometrze balansowym  Kepesa  (por. 4.3), itp. 2.  Teoria  przepł ywów  w  Stał ą   historią   deformacji 2.1.  Zależ noś ci  podstawowe.  Podstawą   rozważ ań  kinematycznych  w  mechanice  oś rodka cią gł ego  są   odpowiednie  równania  ruchu  pun ktu  materialnego  (por.  [3,  7]). Oznaczają c  przez x poł oż enie w przestrzeni  euklidesowej  pun ktu materialnego X  w aktu- alnym  czasie t, zaś przez % poł oż enie  tego  samego  pun ktu  materialnego w dowolnej  chwili  T (T  <  t),  równania  ruchu przyjmą   postać (2.1.1)  S =   Xr(x,  *) ,  - o o < T < r, gdzie  Xt oznacza funkcję   wzglę dnej  deformacji1). G radient  wzglę dnej  deformacji (2.1.2)  F , ( T )  -   V*xt(x.  *),  F »(0  -   1 opisuje  zmianę  lokalnej  konfiguracji  czą stki  I w  czasie  mię dzy  % i  t.  Czę sto  funkcję   tenso- rową (2.1.3)  F 0 )  =   Ąt(t­s)  dla  oo  >  s >  0 nazywa  się   historią   wzglę dnego  gradientu  deformacji.  Jeś li  dan e jest  pole  prę dkoś ci  v(x,  t) w  chwili  aktualnej  t,  to  funkcję   wzglę dnej  deformacji  okreś lamy  rozwią zując  nastę pują ce równ an ia: (2.1.4)  4 ( T)- T( 5 ( T), T),  C ( 0 - x, gdzie  kropka  oznacza  róż niczkowanie  po  czasie. Pamię tają c, że nieś ciś liwe  ciecze proste to klasa  oś rodków,  dla których tensor naprę ż enia jest  okreś lony,  z  dokł adnoś cią   do  ciś nienia  hydrostatycznego,  przez  historię   wzglę dnego gradientu  deformacji  (por.  [3, 7]), równania  konstytutywne  zapisujemy  w  postaci (2.1.5)  T E ( 0  =   T(O+ / >1 =   *(B t (f- a)),  det F t (t- s)  -   1, 0 ' )  N ależy  podkreś lić,  że  taka  wł aś nie  postać  równ ań  ruch u  jest  najdogodniejsza,  gdyż  dla  cieczy  n ie stnieje  ż adna  inna wyróż niona  konfiguracja  odniesienia  poza  konfiguracją   zajmowaną   w chwili  aktualnej  t. P E WN E  N I E WI SK OZ YM E TR YC Z N E  P R Z E P Ł YWY  C IEC Z Y  LEP KOSP RĘ Ż YSTYCH   3.1 co gdzie  p  jest  ciś nieniem  hydrostatycznym,  zaś 3/ iC  ( )  oznacza  funkcjonał   konstytutywny s=0 odwzorowują cy  wzglę dny  gradient  deformacji  z  przestrzeni  historii  deformacji  na syme- tryczny  tensor  ekstra- naprę ż enia  T E (t)-   Ponieważ  p  nie  jest  okreś lone  przez  równanie (2.1.5),  niejednoznaczność  funkcjonał u  konstytutywnego  usuwamy  przez  zał oż enie (2.1.6)  trTB ( 0 =  tr£(Ft(t- s))  =  0,  p =  -   i t i T , przy  czym  tr oznacza  ś lad  odpowiedniego  tensora. D la klasy  R SH D ,  zwanych  także  ruchami stagnacyjnymi  (por.  [10]), historia  gradientu deformacji  danej czą stki jest, z dokł adnoś cią do sztywnego  obrotu, taka sama dla  wszystkich chwil  czasu.  Z godnie  z definicją  N OLLA  (por.  [11])  wyraż oną  w ję zyku  matematycznym r nich  nazywa  się  RSHD  wtedy  i  tylko  wtedy, jeś li  gradient deformacji w dowolnej chwili  r, okreś lony wzglę dem ustalonej konfiguracji odniesienia  w  chwili 0, jest  dany przez (2.1.7)  F 0 ( T )  =   Q ( T ) exp( rM ) ,  Q(0) =  1, przy  czym  Q ( T ) jest  tensorem ortogonalnym opisują cym  obrót czą stki  od chwili 0 do chwili  x,. zaś  M  —  stał ym tensorem. Czę sto przyjmuje  się, że M =  xN 0 ,  gdzie  |N 0 | =   1, zaś x oznacza stał y  param etr  charakteryzują cy  wielkość  deformacji  (ś cinania,  rozcią gania  itp.). Ponieważ dla cieczy  konfiguracja  odniesienia w chwili  0 nie posiada  istotnego znaczenia,, wykorzystujemy  zwią zek (2.1.8)  F f ( r ) =  F o ( r ) F o - 1 ( 0 ,  F 0 ( T )  =   F , ( T ) | , _ „ , prowadzą cy  do  nastę pują cych  zależ noś ci  równoważ nych  definicji  (2.1.7): (2.1.9)  '  F l (t- s)  =  Q(t- s)exp(- (2.1.10)  C t (t- s)  =  Fj(t~s)F t (t~s) = gdzie  wskaź nik  T  u  góry  symbolu  oznacza  operację  transponowania,  zaś  C,(t—s) oznacza historię  prawego  wzglę dnego  ten sora  odkształ cenia  Cauchy'ego- G reena  (por.  [3]). Wprowadzając  poję cie  obróconego  tensora  parametrycznego  (por.  [13,  14])  bę dą cego gradientem prę dkoś ci  w chwili  t wzglę dem  obracają cego  się ukł adu  odniesienia,  mianowicie (2.1.11)  L( 0  =  Q(t)MQT(t)  =  Q(t)xN 0 Q T (t)  =   xN , mamy  również (2.1.12)  C t (t—s)  =  e xp ( - i LT ) e xp ( - i L ),  0 < s < oo. Warto  nadmienić, że zwią zek  tensora  L(?)  z  przestrzennym  gradientem  prę dkoś ci  L x( 0' jest  nastę pują cy: (2.1.13)  L t 0 )  =  Vxv(x,  0 -   F o ^ F o ^ O  =  Q ( 0 Q r ( 0 + L ( 0 , gdzie  Q(t),  jak poprzedn io,  oznacza  zależ ny  od czasu  tensor  obrotu  od  konfiguracji w  chwili  0  do  konfiguracji  w chwili  t, a  antysymetria  tensora  Q Q 1  jest  oczywista. W  obracają cym  się ukł adzie  odniesienia,  którego  ruch  charakteryzuje  się tensorem Q ( / ) ,  macierz  obróconego  gradientu  prę dkoś ci jest  stał a.  M oż na zatem podać  równoważ ną definicję  R SH D ,  dla których historia wzglę dnego  tensora  odkształ cenia  Cauchy'ego- Greena C t (t—s)  ma postać  (2.1.12)  ze  stał ym,  niezależ nym  od czasu tensorem L  (por.  [12, 13]). 32  S.  Z AH O R SK I N a  nietrywialne  pytanie: czy  ruch okreś lony  stał ym tensorem przestrzennego  gradientu prę dkoś ci  Lj jest  R SH D ? — otrzymujemy  odpowiedź  twierdzą cą.  Wynika  to z faktu, że nastę pują ce  równanie  róż niczkowe  z odpowiednim  warunkiem  począ tkowym  (por.  [15]): (2.1.14)  F O W - L J F O C T ),  Li =  con st,  F o(0) =   1, ma jednoznaczne  rozwią zanie  w postaci (2.1.15)  F 0 ( T )  =  exp( rL x) . Ruch  powyż szy  jest  R SH D   [por.  (2.1.7)], jeś li  tylko  Q ( r)  a  1. Zależ ność  (2.1.15)  ilustruje również .w  sposób przejrzysty  dlaczego  ustalone, jedn orodn e pola prę dkoś ci zawsze  generują ruchy  należ ą ce  do klasy  R SH D . 2.2. Klasyfikacja  przepływów.  Zgodnie z propozycją   N OLLA  [11], wszystkie przepł ywy  typu RSH D ,  zachodzą ce w trójwymiarowej  przestrzeni  euklidesowej,  moż na  podzielić  na trzy nastę pują ce  klasy: (I)  M 2 - -=  0; (2.2.1)  (II) M 2 /   0, lecz  M 3 -   0; (III)  M"  Ą=  0 dla wszystkich  n =  1,2, 3 .­.,. Z  uwagi  na  (2.1.11)  identyczne  warunki  moż na  również  zapisać  dla  tensorów  L lub  N . Klasa  (I) obejmuje  wszystkie ustalone przepł ywy  wiskozymetryczne  obszernie  omówione w literaturze zagadnienia  (por.  [3, 4, 7]). Warto  dodać, że w myśl  definicji  (2.1.9)  mamy dla ustalonych  przepł ywów  wiskozymetrycznych (2.2.2)  Ąt{t­s)  =  Q(t­s)[l­sM]Q T(f), Zależ ność  powyż sza- pozostaje  w mocy  dla dowolnych  przepł ywów  wiskozymetrycznych (niekoniecznie ustalonych), jeś li  tensor  M  jest  zmienny, tj. zależ ny  od czasu  t i  poł oż enia x  zajmowanego  przez  czą stkę   materialną  w chwili  t  (por.  [7]). D la  klasy  (II)  mamy (2.2.3)  V t (t- s)  =  Q(t- s)  1 - J M +   J• siM2  Q T ( 0- Mieś ci  się  w  niej  podklasa  tzw. podwójnie  nał oż onych  przepł ywów  wiskozymetrycznych (por. p. 3.1),  które  powstają   przez  bezpoś rednie  zł oż enie (dodanie  pól prę dkoś ci)  dwóch przepł ywów  wiskozymetrycznych.  Jej przedstawicielami  są   w  szczególnoś ci  przepł ywy Poiseuille'a  ze skrę caniem  i przepł ywy  helikoidalne  ze skrę caniem  (por.  p.  5). D o  klasy  (III),  dla której (2.2.4)  T ,(t- s) należy  cał a podklasa  tzw. potrójnie nał oż onych przepł ywów wiskozymetrycznych  (por. p . 3.2), ustalone  czyste  ś cinanie  i  ustalone  proste  rozcią ganie  oraz  liczne  inne  przepł ywy  w  re- ometrach  obrotowych z mimoś rodami  (por. p .  4). P E WN E  N I E WI SKOZ YM E TR YC Z N E  P R Z E P Ł YWY  C I EC Z Y  LEP KOSP RĘ Ż YSTYCH   33 Wszystkie  przepł ywy  typu  R SH D   m oż na  również  dzielić  n a  obrotowe  (rotacyjne) i  bezobrotowe  (nierotacyjne).  Zwł aszcza te  ostatnie zasł ugują,  ze wzglę du  na ich  specyfikę, n a  parę  sł ów  uwagi.  W   mechanice  oś rodków  cią gł ych  uważ a  się  za  ruchy  bezobrotowe takie,  dla  których  przestrzenny  gradient  prę dkoś ci  L t  jest  symetryczny  (z  wył ą czeniem trywialnego  przypadku  L 1  =   0).  Wszystkie  R SH D   opisywane  stał ym,  symetrycznym tensorem  L t  przyję to  nazywać  przepł ywami  rozcią gają cymi,  lub  proś ciej  rozcią ganiami (por.  [16, 3]). P onieważ symetryczny  ten sor L,  m oż na zawsze  diagonalizować  nastę pują co: (2. 2. 5) fl,  0  0  | 0  0  a 3 0 przy  czym  Q  zależy  od  skł adowych  macierzy  Ł 1 ,  zaś  wartoś ci  wł asne tensora Lj  są  takie same,  jak  wartoś ci  wł asne  obrócon ego  ten sora- param etryczn ego  L  [por.  (2.1.13)], ł atwo stwierdzić,  że  wszystkie  bezobrotowe  RSHD  są  równoważ ne  przepł ywom  rozcią gają cym i  należ ą  do  klasy  (III). 2.3.  Reprezentacje równań konstytutywnych  i  funkcje  materiał owe.  R ównania  konstytutywne nieś ciś liwej  cieczy  prostej  (2.1.5),  p o  uwzglę dnieniu  zasady  materialnej  obiektywnoś ci  — wyraż ają cej  niezależ ność  funkcjonał u  konstytutywnego  od  ruchu  «obserwatora»  w  prze- strzeni  odniesienia,  dają  się  zapisać  w  postaci  (por.  [3]) (2.3.1)  T E ( 0  =   T ( f) + p l  =   f  [C,(t- s)], co przy  czym definicję  ten sora C t (t—s)  podan o w  (2.1.10).  F unkcjonał   konstytutywny  J5"  (  ) jest  funkcjonał em  izotropowym ,  tzn .  że  (por.  [3]) (2.3.2)  Q £   ( C , ( / - . v) ) Qr =   J F   (QC,(t- s)QT), dla  wszystkich  stał ych ten sorów  ortogon aln ych  Q  i  dla  każ dej  historii  C,(t—s). P rzy  rozważ aniach  ogólnych  dotyczą cych  przepł ywów  typu  R SH D   nie  są  potrzebne ż adne  dodatkowe  ogran iczen ia  an i  n a  funkcjonał   konstytutywny,  an i  też  n a  historię  od- kształ cenia.  W  przypadkach  szczególnych  czę sto  bazuje  się  n a  róż nych  aproksymacjach funkcjonał u  kon stytutywn ego  w  oparciu  o  zasadę  zanikają cej  pamię ci  (por.  [17,  3,  8]). W  pun kcie  4,  omawiając  wł asnoś ci  dynam iczne  cieczy,  wykorzystamy  cał kową  reprezen- tację funkcjonał u  kon stytutywn ego  zapropon owan ą przez  G REEN A i  R I VLI N A  [18] w postaci (por.  także  [3, 17]) (2.3.3)  T E  =  T+ pl =   J  mi(t- r)G(r)dx+ — 00 t  t +  f  f  {m 2 (t- r lt   t- T 2 )G(r 1 )G(r 2 )+m 3 (t- T 1 ,t~r 2 )[ttG(t 1 )]G(T 2 )}xdt l dr 2 +..., — 00 —0 0 gdzie  nii  O  są  odpowiedn im i  funkcjami  materiał owymi, zaś (2.3.4)  G ( T )  -   C , ( T ) - 1. 3  M ech an ika  teoretyczn a 34  S.  Z AH O R SK I Pominię cie  wszystkich  cał ek  wielokrotnych  z  wyją tkiem  pierwszej  z  prawej  stron y  (2.3.3) jest równoznaczne z zał oż eniem, że wyrazy  te dą żą  do  zera  szybciej  niż odpowiedn ia n orm a w wektorowej  przestrzeni  historii  odkształ cen ia; jest  to  przypadek  tzw.  skoń czonej  liniowej lepkosprę ż ystoś ci  (por.  [19]). D la  dowolnego  R SH D ,  podstawiając  (2.1.12)  do  (2.3.1),  otrzym am y  równ an ia  kon- stytutywne  w  postaci  nastę pują cej: (2.3.5)  T £  =   f(«,  N ) =   f(«,  L/ K )  =   g( L) , gdzie  f i  g  są  izotropowymi  funkcjami  argum entów  tensorowych. W  cytowanej  już  pracy  [12],  WAN G   dowiódł , że  historia  prawego,  wzglę dnego  ten sora odkształ cenia  C auchy'ego- G reena  C t (t—s),dla  wszystkich  R S H D ,  okreś lona  jest  jedn o- znacznie przez  pierwsze  trzy  kinematyczne  tensory  R I VL I N A- E R I C K SE NA  [20]  zdefiniowane n astę pują co: ~ " w  dr"  t v (2.3.6)  ^ A,,+ i(/ ) =   - - j- An + An Lj+ LiA,,  =   A„ L + L T A„ . WAN G   wyróż nił  po n adt o trzy  nastę pują ce  przypadki  R S H D : (1) gdy  Ax  m a trzy  róż ne wartoś ci  wł asne, A}  i A2  okreś lają  L  i  C,(t—s) jedn ozn aczn ie; (2)  gdy  At  m a  dwie  wartoś ci  wł asne równe, lecz  róż ne  od  trzeciej;  a)  At  i  A2  okreś lają C t (t—s)  jednoznacznie, jeś li A2  m a w tej  samej bazie co At  postać diagonalną  ze skł adowymi równymi  odpowiednio  kwadratom  wartoś ci  wł asnych  At ;  b)  w  przypadku  przeciwnym Ai,  A2  i  A3  okreś lają  L  i  C,(t—s)  jedn ozn aczn ie; (3)  gdy  wszystkie  wartoś ci  wł asne  A t   są  równe,  A;  okreś la  L  i  C,(t—s) jedn ozn aczn ie. Ostatni  przypadek  staje  się  trywialny  dla  cieczy  nieś ciś liwych,  dfa  których  t r  Ai  =   0; wówczas  przy jednakowych  wartoś ciach  wł asnych  m am y  A t   — 0. Reasumując  m oż na  stwierdzić,  że  dla  wię kszoś ci  R S H D   [z  wyją tkiem  przypadku wymienionego w  (2)]  prawdziwe jest nastę pują ce  równ an ie kon stytutywn e  (por. [20]): (2.3.7)  T E  -   h ( A, , A2)  =   « 1 A 1 + a 2 AM - a3 A 2 + a 4 A|- f + a5(A1A2+ A2A1)+ a(i(A?A2+ A2A?)+ + a7(A1Ai+ A|A1)+ «8(A?Ai+ A|A!) ! gdzie  «j  (i =   1, ..., 8) są funkcjami  dziewię ciu niezmienników: t r Ai, t r A?, t r A2 , t r A|, t r A|, \ i), tr(AfA2), tr(A?A!). Jest  rzeczą  oczywistą,  że  funkcje  #,• (;  =   1,  . . . ,  8)  nie  są  cał kowicie  niezależ ne;  wynika to  z  faktu,  że  tensor  ekstra- naprę ż enia  T E  posiada  co  najwyż ej  sześć  skł adowych,  zwią za- nych  przy  tym  warunkiem  typu  (2.1.6).  Wystarczy  zatem  zdefiniować  odpowiedn io  pięć ogólnych  funkcji  materiał owych  opisują cych  cał kowicie wł asnoś ci  cieczy  ł epkosprę ż ystych w dowolnym przepł ywie typu  R SH D . M oż na postę pować  n p.  w  sposób podan y w pracy [14]. D la  ustalonego  i jedn orodn ego  pola  prę dkoś ci,  dla  którego (2.3.9)  [Lj]  =   d  a 2   c  ,  a t +a 2 +a 3   =  0d e a a 2 f b c a 3 PEWN E  NIEWISKOZYMETRYCZNE  PRZEPŁ YWY  CIECZY  LEPKOSPRĘ Ż YSTYCH   35 jest  stał ym  ten sorem 2) ,  definiujemy  nastę pują ce  funkcje: rp  <11>  rn <33>  j- i <22>  '- r  <33> (2- 3.10)  / _ - / < »»  c E - ' r < "2 >   f E _ r < 2 3 > ' ^ 1  —  J  JJ  J  ' ' 2  —  • *  E  j  ' ł 3  —  •»  £'  j których  argum en tam i  są  wszystkie  dziewięć  skł adowych  macierzy  (2.3.9),  zaś T E   ozna- czają  fizyczne  skł adowe  ten sora T E .  M am y  również (2.3.11)  I 1 / 1 1 * -   j  ( 2 w1 - «2 ) ,  2Y 22> =   I  (2n 2 - n t ),  T E < 33 > =  ~  I  ( «i + n 2 ) . F unkcje  m ateriał owe  «*  i  .?;  opisują  zarówn o  ustalone  przepł ywy  wiskozymetryczne, ustalon e przepł ywy  rozcią gają ce,  ja k i inne przepł ywy  typu  R SH D   omówione  szczegół owiej w  pu n kt ach 3, 4 i  5. I ch postać  podlega  ograniczeniom  wynikają cym  z wł asnoś ci  izotropii funkcji  kon stytutywn ych  (2.3.5).  M am y n p . (2.3.12)  n i {a 1 ,a 2 ,a^ ,a,b,  c,d,e,f)  =  wt(%,a2, aa,  —a, —b,c,  —d,  —e,f)  = =   n i (a l ,a 1 ,a 2 ,a,  —b, —c,d,  —e, - - /) =   n i (a 1 ,a 2 ,a 3 ,  ~a,b,  — c,  —d, e, —/ ) ; (2.3.13)  si(a 3 ,a 2 ,  a { ,/ ,  e, d, c, b, a) = s } (fl u   a 2 ,a 3 ,  a, b, c, d,  ej) dla  i =   1, j  =   3  lub  i =   2, j  =   2  lub  i =   3,  7" =  1. Wart o  n adm ien ić, że dla wszystkich  bezobrotowych  R SH D ,  symetria  ten sora L x pro- wadzi  do zależ n oś ci:  A ±   — 2L 1 , A 2   =  4Ł f, A3  =   8L?,  a  równ an ia  konstytutywne  przyj- mują  postać (2.3.14)  1^ =   t(Aj) =   p 1AiH - p2A1, gdzie  funkcje  m ateriał owe /?( (/  =   1, 2) zależą  tylko  od dwóch  nastę pują cych  niezmienni- kó w:  t r A 2 , t r A i .  Z  równ an ia  (2.3.14)  wynika,  że  w  przepł ywach  typu  bezobrotowych RSHD,  wł asnoś ci  każ dej  dowolnej  nieś ciś liwej  cieczy  prostej  są  takie  same jak  wł asnoś ci cieczy  Reinera- RbHna  (por.  [3]) opisywanej  również  zależ noś cią  (2.3.14). Wreszcie  postę pując  w  sposób  podobn y  do  zastosowanego  przez  COLEMAN A  [16], m oż na  równ an ie  kon stytutywn e  (2.3.14)  przedstawić  w  innej  postaci  jako  jedną  funkcję od  trzech  wartoś ci  wł asnych  ten sora  A t . 3.  Przepł ywy  zł oż one  z przepł ywów  wiskozymetrycznych 3.1.  Podwójnie  nał oż one  przepł ywy  wiskozymetryczne.  N ieban aln e  zagadnienie  okreś lenia  teo- retycznych  warun ków,  przy  których  nał oż enie prostych  wiskozymetrycznych  przepł ywów prowadzi  do bardziej  zł oż onych  R S H D ,  wią że  się zarówn o  z  analizą  przepł ywów  wystę- pują cych  w  praktyce,  ja k  i  z  potrzebą  kon struowan ia  nowych  reometrów  (por.  p . 4). P ewne przykł ady R S H D   powstał ych z n ał oż en ia przepł ywów  wiskozymetrycznych  omówio- n o  w pracach  N O L L A  [11],  O LD R O YD A  [21] i  P I P K I N A  [22]; bardziej  systematyczną  analizą 2 )  Postać  (2.3.9) jest  również najogólniejsza  dla obróconego  tensora  parametrycznego L  (por.  p .  2.1). Jeś li  L jest stał ym tensorem, to skł adowe Li nie  muszą  być  stale. 3* 36  S.  Z AM ORSKI tych zagadnień zajmował   się  H U I LG OL  [13, 14]. P okazał  on m. in., że oprócz dobrze znanego wiskozymetrycznego  przepł ywu  helikoidalnego  [2], powstał ego z nał oż enia  wiskozymetrycz- nych  przepł ywów  C ouette'a i Poiseuille'a  (por.  [3, 7]), istnieją  inne przepł ywy  typu  R SH D otrzymywane  z  prostszych  przepł ywów  wiskozymetrycznych,  a  w  szczególnoś ci  tzw. podwójnie  nał oż one  przepł ywy  wiskozymetryczne  [13]. Zgodnie  z  definicją,  podwójnie,  nał oż ony  przepł yw  wiskozymetryczny  jest  przepł ywem typu RSHD  klasy  (II)  (por. p. 2.2),  dla którego obrócony tensor parametryczny  L jest  taki, ż e  1? #  0  lecz L 3 =  0  oraz  L =   L ' + L ",  gdzie  L'  i  L "  są  tensorami  definiują cymi dwa przepł ywy  wiskozymetryczne. Z  twierdzeń  wyprowadzonych  w  [13]  wynika,  że nastę pują ce  pole  prę dkoś ci  w  orto- gonalnym  ukł adzie  współ rzę dnych  krzywoliniowych: (3.1.1)  v1 =  0,  v2 = v(xl)- cx2+ex3,  v3 =   w(x1)+fx2+cx3, gdzie  c, e, / są stał ymi takimi, że c2- \ - ef=  0, zaś v(xl)  i w(x*) dowolnymi  gł adkimi  funkcja- mi  x',  daje  podwójnie  nał oż ony  przepł yw  wiskozymetryczny,  jeś li  odpowiednie  skł adowe tensora  metrycznego  nie zmieniają  się  wzdł uż  toru  każ dej  czą stki,  a  funkcja  v(x1)  nie jest  stał ą  lub  zerem. Także  pole  prę dkoś ci (3.1.2)  v1=ax2+bx3,  v2  =   - cx2+ex3,  v3=f gdzie  a, . . . , / są  stał ymi takimi, że c 2 + < ? / =  0, prowadzi  do podwójnie  nał oż onego prze- pł ywu  wiskozymetrycznego. W  walcowym  ukł adzie współ rzę dnych r, 0, z przykł adem  (3.1.1) jest  pole (3.1.3)  vr  = 0,  v° =  co(r)+cz,  vz  = u(r), opisują ce  przepł yw  helikoidalny  ze skrę caniem  (por.  p. 5.2),  którego  z  kolei  szczególnym przypadkiem  jest  przepł yw  Poiseuille'a  ze  skrę caniem  (por. 5.1)  dyskutowany  przez OLD ROYD A  [21]. Ponieważ  dla wię kszoś ci  przepł ywów  omawianego  typu  macierz  tensora  A,  (por. 2.3) ma po st ać 3) : / m 1 0 n m n 0 (3.1.4)  [Ai] z twierdzeń  o reprezentacji  równań  konstytutywnych  w punkcie  2.3  wynika,  że Aj  ma  trzy róż ne  wartoś ci  wł asne  [przypadek  (1)], jeś li  nie zachodzi  zależ ność (3.1.5)  P   =   m 2 =   „ 2 = I , speł niona  n p. dla  przepł ywu  (3.1.3)  tylko  wtedy,  gdy  r2  (dwjdr)2  — (dujdr)2  =  czr2. Jeś li  speł niona  jest  zależ ność  (3.1.5),  moż na  pokazać  (por. [14]),  że A2  =£  A 2  i  mamy do  czynienia  z przypadkiem  (2b). a )  Ai  ma  postać  (3.1.4)  również  dla  niektórych potrójnie  nał oż onych  przepł ywów  wiskozymetrycz- nych  (por.  3.2)  oraz  innych  RSH D   klasy  (III) (por. p.4). P E WN E  N I E WI SKOZ YM E TR YC Z N E P R Z E P Ł YWY  C IEC Z Y  LEP KOSP RĘ Ż YSTYCH 37 H U I L G O L  [14]  dowiódł   m . in.,  że  dla  trzech  róż nych  wartoś ci  wł asnych  tensora  A l 5 równ an ie  kon stytutywn e  (2.3.7) redukuje  się  do postaci (3.1.6)  T £  -   h ( A1 ;  A2 )  =   piAl+p2Aj+p3A1+p4A 2 2   + + / J s(A1Aa+ A2AI )+ 06(AfAS+ Aś Af), gdzie  fi;(i  =   1,  . . . ,  6)  są  funkcjami  niezmienników  wymienionych  w  (2.3.8).  Jeś li  warunek (3.1.5) jest  speł niony, m am y  wówczas (3.1.7)  T E  =   f( A 1 , A 2 , A 3 )  =   y 1 A 1 + y 2 A f + y 3 A 2 + y 4 A i + y 5 A 3 + y 6 A L gdzie  yi(i  =   1,  . . . ,  6)  są  funkcjami  niezmienników  (2.3.8). D la  takich  podwójn ie  n ał oż on ych  przepł ywów  wiskozymetrycznych,  dla  których w  orton orm aln ej  bazie  [por.  (3.1.4)] (3.1.8) [L]  = 0 / m 0 0 n 0 0 0 [L2]  = 0 0 In 0 0 0 0 0 0 zam iast ogólnych funkcji  (2.3.10), wygodnie jest  wprowadzić  nastę pują ce  funkcje  materiał o- we: (3.1.9) T - I< 2 3 > zależ ne  tylko  od  argum en tów  k,  1, m,  n.  M oż liwość  ich  doś wiadczalnego  okreś lenia  bę dzie om ówion a  w  pun kcie  5. N a  zakoń czenie tego p u n kt u warto podkreś lić, że nie zawsze zł oż enie dwóch  przepł ywów wiskozymetrycznych  prowadzi  do  przepł ywu  wiskozymetrycznego  lub  podwójnie  nał oż o- nego  przepł ywu wiskozym etrycznego,  tj.  typu  R SH D   klasy  (II).  D obrą ilustracją  tego  faktu jest,  powstał y  z  n ał oż en ia dwóch  prostych  przepł ywów  ś cinają cych,  przypadek  ustalonego czystego  ś cinania  należ ą cy  d o  klasy  (I I I ) (por.  [23,  14]). 3.2.  Potrójnie  nał oż one  przepł ywy  wiskozymetryczne.  U ogólnieniem  podwójnie  nał oż onych przepł ywów  wiskozymetrycznych  są  tzw.  potrójn ie  n ał oż one  przepł ywy  wiskozymetryczne, tj.  zł oż one  z  trzech  przepł ywów  wiskozymetrycznych.  Ich  definicja  jest  podobn a  do  de- finicji  podan ej  w  pun kcie  poprzedn im ,  przy  czym  L  musi  być  takie,  że  L"  #   0  dla  n — =   1 , 2 , 3 , 4 , . . . . N a  podstawie  twierdzenia  podan ego  przez  H U I LG OLA  [13]  wynika,  że  nastę pują ce ustalon e  pole  prę dkoś ci  w  ortogon aln ym  krzywoliniowym  ukł adzie  współ rzę dnych  xk: 2  = v 3  =(3.2.1)  v 1   =ax 2 +bx 3 , gdzie  a,...,f  są  stał ym i,  jest  potrójn ie  n ał oż on ym  przepł ywem  wiskozymetrycznym należ ą cym  do  klasy  (I I I )  R SH D ,  dla  którego  L"  ^  0  dla  n  =   1, 2,  3,  . . . J e ś li  odpowiednie skł adowe  ten sora  m etrycznego  n ie  zmieniają  się  wzdł uż  toru  każ dej  czą stki.  G dy  tensor A L   posiada  trzy  róż ne  wartoś ci  wł asne,  reprezentacja  równ an ia  konstytutywnego  zapisuje się  również  w  postaci  (3.1.6), przy  czym  funkcje  m ateriał owe &  (i =   1,  . . . , 6)  przybierają wartoś ci  z  reguł y in n e niż w  przypadku  podwójnie  nał oż onego przepł ywu  wiskozymetrycz- n ego. 3S S.  Z AH O R SK I Przepł yw  (3.2.1)  obejmuje  jako  przypadki  szczególne  przepł ywy  w  reom etrze  M axwella i  innych przyrzą dach  (por. p.  4) oraz  ustalon e  czyste  ś cinanie  (przepł yw  bezobrotowy  przy a  =   d,b  =   e,  c  = / ) ,  dla  którego  równ an ia  konstytutywne  przyjmują   postać  (2.3.14). 4.  Szczególne  przypadki  przepł ywów  klasy  ( I I I ) .  R eom ct ry 4.1.  Ustalone czyste  ś cinanie  i  proste  rozcią ganie.  Typowymi  przedstawicielami  bezobroto- wych  R SH D   klasy  (III) są :  ustalone  czyste  ś cinanie,  dla  którego  w  kartezjań skim  ukł adzie współ rzę dnych  (por.  [21]) (4.1.1)  w1  =   ky,  v2  =   kx,  v3  =  0 oraz  ustalone  proste  rozcią ganie,  dla  którego  w  ukł adzie  współ rzę dnych  walcowych (por.  [9]) 1 (4.1.2) v°  — 0,  v z  =   qz. Zwł aszcza  ostatni  przepł yw  posiada  duże  praktyczn e  znaczenie  ze  wzglę du  n a  przyrzą dy sł uż ą ce  do  pom iaru  tzw.  lepkoś ci  podł uż nej  oraz  przybliż oną   realizację   w  procesach przę dzenia,  wycią gania,  itp.  wł ókien  sztucznych  (por.  [4, 23]). Tensory  charakteryzują ce  przepł yw  (4.1.1)  mogą   być  sprowadzon e  do  postaci  diago- nalnej  za  poś rednictwem  przekształ cenia (4.1.3)  T I  =   Q T *Q T ,  A?  - w którym  Q  oznacza  ortogonalny  tensor  obrotu  o  ką t  równy  n/ 4. N a  podstawie  równ an ia  konstytutywnego  (2.3.14)  otrzym am y "1  0  0" (4.1.4)  [TE] =   / 91(8fc 2,0)2fc  0 - 1 0  - (- ^(Sfc2, 0) 4fc5 "1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0_ 1 0  • 0 0 1 2 0 0 0 1 ~~2 1 0 0 0 1 T 0 0 i 4 dla  czystego  ś cinania  i (4.1.5) dla  prostego  rozcią gania.  F orm aln e  podobień stwa  mię dzy  (4.1.4),  (4.1.5)  oraz  prostym rozcią ganiem  posł uż yły  autorowi  [23]  do  zapropon owan ia  przybliż onych  wyraż eń  n a  lep- kość  podł uż ną. 4.2.  Ortogonalny  reometr  Maxwella.  W  roku  1965.M AXWE LL  i  C H AR TOF F   [24]  zapropon o- wali  uż ycie  reom etru,  skł adają cego  się   z  dwóch  pł askich  krą ż ków  odległ ych  od  siebie  o  b i  obracają cych  się   ze stał ą  jednakową   prę dkoś cią   ką tową   wokół  wł asnych  osi  przesunię tych na  odległ ość  a,  do  badan ia  wł asnoś ci  Teologicznych  cieczy  lepkosprę ż ystych  (rys.  1). P o- mijają c  techniczny  opis  urzą dzenia  róż nią cego  się   nieistotnie  w  poszczególnych  wersjach P E WN E  N I E WI SKOZ YM E TR YC Z N E  P R Z E P Ł YWY  C I EC Z Y  LEP KOSP RĘ Ż YSTYCH 39 należy  zaznaczyć,  że  um oż liwia  o n o  dość  dokł adn y pom iar  sił  dział ają cych  w  trzech  wza- jemnie  prostopadł ych  kierun kach  (n p. n a  górny  krą ż ek). W  ostatnich  latach  poś wię cono  liczne  prace  teoretycznej  analizie  przepł ywu  i  bada- n iom  doś wiadczalnym  wł asnoś ci  róż nych  roztworów  i  stopionych  polimerów  (por.  [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31]) .  Jest  niewą tpliwą   zasł ugą   H U ILG OLA.  [13, 14, 27]  stwierdzenie,  że Rys.  1.  Schemat  ortogonalnego  reometru  Maxwella przepł yw  w  reom etrze  M axwella  należy  do  przepł ywów  typu  R SH D   klasy  (III) oraz  wy- prowadzen ie  odpowiedn ich  reprezentacji  dla  równ ań  konstytutywnych  w  przypadku nieś ciś liwej  cieczy  prostej. R ówn an ia  ruch u  (2.1.1)  cieczy  w  ortogon aln ym  reom etrze  M axwella  wynikają   z  roz- waż enia  wzglę dnego  ruch u  czą stki  w  ukł adzie  współ rzę dnych  obracają cych  się   razem z  odpowiednim  krą ż kiem.  N p . czą stka  cieczy  znajdują ca  się   bezpoś rednio  nad  począ tkiem kartezjań skiego  u kł ad u współ rzę dnych  x, y,  z  (por.  rys.  1), zatoczy  okrą g  koł a  o promieniu az/ b  w  pł aszczyź nie  równoległ ej  d o  powierzchni  krą ż ków.  D odają c  ruch wzglę dny  do ruchu unoszenia,  otrzym am y i  =  xcos(x>(t— r)- \ - {y—ipz)sinu>(t~r), ( 4.2.1)  rj  =   —  x siń ca (t—r)- \ - (y—y>z)cosai(t—  T ) + I / > Z , C  =  z, gdzie  ip =  a/ b,  a  w  myśl  (2.1.1),  x,  y,  z  oznaczają   współ rzę dne  czą stki  w  chwili  aktualnej t,  zaś  | ,  »/,  f  —  współ rzę dne  w  czasie  T ( T  <  t). P ole  prę dkoś ci  dla  ruchu  okreś lonego  rów- n an iam i  (4.2.1)  jest  n astę pują ce: (4.2.2)  v1  =   —  o)y- \ -  (por.  [24, 31]),  m oż na  sko- rzystać  z  równań  konstytutywnych  (2.3.3)  ograniczają c  się   do  wyrazów  liniowych  wzglę - d em 4 1  y>. N a  podstawie  (2.3.4)  i  (4.2.1)  otrzym am y (4.2.3)  G 1 3  =   —ipsmco{t—r),  G2z  —  —y( l—c o sc o ( / —T ) ) , Wprowadzają c  poję cie  lepkoś ci  zespolonej  (por.  [5]) 00 G'  i  C (4.2.4)  «*  =   «'_/   = . - -   7 ? 7 1 ( o ' ) ( i  —e - U U C T ) < r / c r , U)  CO  .1 o gdzie  i}'  oznacza  lepkość  dynamiczną ,  zaś  G" —  m oduł   dynamiczny  (zachowawczy),  m o- ż emy  równanie  konstytutywne  n apisać  w  postaci  zespolonej (4.2.5)  T E   =   Re(?7*A?), przy  czym (4.2.6)  G f3  =   iy>(\   — e "' 0 *' - 0 ) ,  G f3  =   —  ^)(1—e- iu >( '- % ) ), A{\ ">*  =   W OJ,  AtfJ*  =  tfco. Jeś li  naprę ż enia  ś cinają ce  r < 1 3 >  i  T < 2 3 >  dział ają   n a  powierzchni  koł a  o  prom ien iu  R,  t o odpowiednie sił y w  kierunku  osi  x  i y  (por. rys.)  są   n astę pują ce: (4.2.7)  X  =   nR2rj'yxa,  Y  =   7iR2G'y>, a  po  uwzglę dnieniu  efektów  inercji  wedł ug  poprawek  ABBOTTA  i  WALTERSA  [30]: (4.2.8)  X * T =   nR v ipcoh+ gdzie  a2  —  —Icog/ r]*,  zaś  Q oznacza  gę stość  cieczy. Zależ noś ci  (4.2.7)  są   takie  same jak  w  innych  pracach  [26, 28, 31];  pozwalają   one, n a podstawie  pom iarów  doś wiadczalnych  X  =   X(w)  oraz  Y  =   Y(a>),  okreś lić  n'  =  rj'(c°) oraz  G'  =   G'((a). P orównanie  charakterystyk  r\   i  G'  uzyskanych  z  pom iarów  w  reom etrze M axwella  n a podstawie  wzorów  (4.2.7)  z  charakterystykam i  uzyskanymi  in n ym i  m etodam i (n p. z reo- goniometru  Weissenberga)  wykazał o  dobrą   zgodn ość  wyników  doś wiadczalnych  (por. [31]).  Chociaż  niektórzy  autorzy  (por.  [26, 31])  w  oparciu  o  empiryczny  m odel  cał kowy typu  skoń czonej  liniowej  lepkosprę ż ystoś ci  (por.  p . 2.3)  z  odpowiedn io  dobran ą   kom bi- 4 )  Jest  to przypadek  infinitezymainej  liniowej  lepkosprę ż ystoś ci  [19]. Ograniczenie  się   wył ą cznie do pierwszej  cał ki w (2.3.3) nie jest  zwią zane z mał oś cią   samej deformacji  lecz z wł asnoś cią   historii  odkształ - cenia  okreś loną   odpowiednią   normą   (por.  p.  2.3). P E WN E  N I E WI SKOZ YM E TR YC Z N E  P R Z E P Ł YWY  C I EC Z Y  LEP KOSP RĘ Ż YSTYCH   41 nacją  tensorów  historii  odkształ cen ia  C, i  C " 1 ,  usił ują  uzyskać  pewne  informacje  n a  tem at n aprę ż eń  n orm aln ych  (w  szczególnoś ci  o  stosunku  odpowiednich  róż nic  naprę ż eń normal- nych,  [31]),  w  niniejszym  przeglą dzie  przedstawimy  odmienny  sposób  podejś cia  bazują cy n a  m odelu nieś ciś liwej  cieczy  prostej  i teorii  R SH D   klasy  (I I I ). N a  podstawie  (4.2.2)  i  (2.3.6)  obliczamy  skł adowe  tensorów  kinematycznych  A2  i  A2 . P onieważ  tensor  A,  m a  trzy  róż ne  wartoś ci  wł asne,  moż emy  skorzystać  z  uproszczonej wersji  (3.1.6)  równ ań  kon stytutywn ych  (2.3.7).  P amię tają c,  że  t r T E  =   0,  dochodzimy  do zależ noś ci : -   j  / 93«V-  j/ 34  (2co V+ 4o V) ~ jfo  (2» V+ 8« V) , 5 2 3 + ? ( > 1 4 V )  fo  ( 2V+ 8> V) . (4.2.9) gdzie funkcje  /S( (z =   1,  . . . ,  6), zależ ne  od  niezmienników  (2.3.8), są  w  gruncie  rzeczy  ana- litycznymi  funkcjami  dwóch  argum en tów:  M 2I / J 2,  cu4f2. Analiza  zależ noś ci  (4.2.9),  ł ą cznie z  sił ami Z ,  Y,  Z  i  m om entem obrotowym  —  wyzna- czanymi  bezpoś redn io  z  przyrzą du,  wykazuje  niemoż liwość  okreś lenia  funkcji  $  charak- teryzują cych  wł asnoś ci  cieczy  w  przypadku  ogólnym.  P onieważ  pom iar  sił y  osiowej  Z, przy  jednoczesnym  zał oż en iu,  że  przy  niskich  prę dkoś ciach  obrotowych  i  mał ych sił ach inercji  ciś nienie/;  równ e jest  ciś nieniu  atmosferycznemu  (por.  [31]), pozwala  okreś lić  r < 3 3 ' oraz  T £ 3 3 > =   T <33>- \ - p,  n a  podstawie  (2.3.11)3  otrzymujemy  tylko  sumę  ni- \ - n2  odpo- wiednich  róż nic  n aprę ż eń  n orm aln ych  zdefiniowanych  wzorem  (2.3.10)5). Bardziej  efektywną  analizę  m oż na  przeprowadzić  dla  przypadku  mał ych  odkształ ceń charakteryzują cych  się  mał ym  param etrem  yi  i  um iarkowan ych  prę dkoś ci  obrotowych co. Pomijając  w  (4.2.9)  czł ony rzę du  O ( y4) ,  otrzym am y V, (4.2.10) przy  czym  /?f  są  funkcjami  a> 2y2  i  O J 4 ^ 2 ,  uwzglę dniają cymi  pominię cie  czł onów W tym  przypadku  dokł adny po m iar sił y X  (okreś lają cej  s 3 )  dla  róż nych wartoś ci  co  pozwala, przynajmniej  teoretycznie,  d o brać  odpowiednią  funkcję  / 33 i  stał ą  / 54 (!). Wielkoś ci  te  pod- s )  F akt  ten  nie  jest zaskakują cy, jeś li wziąć  pod  uwagę, że pomiary  sił y  normalnej  w wiskozymetrach typów  stóż ek- krą ż ek,  krą ż ek- krą ż ek  itp.,  pozwalają  również  wyznaczyć  tylko  pewne  kombinacje  funkcji naprę ż eń  normalnych  (por. [4,6,7]). 42 S.  ZAHORSKI stawione  do  (4.2.10),  okreś lają   przybliż ony  ch arakter  funkcji  n t)   a  sum a  n x - \ - n 2   wyzna- czona jest  jak  poprzedn io  przez  pom iar  sił y  osiowej  Z . D alszy  krok  naprzód  m oż na  uczynić  dla  odpowiedn io  mał ych prę dkoś ci  m,  pomijają c w  (4.2.10)  czł ony  rzę du  O (co4); jest  to  równ oważ n e,  w  pewnym  sensie,  m odelowi  cieczy stopnia  trzeciego  (por.  [3]),  dla  którego  wszystkie  /?,•  z  wyją tkiem  / ^  są   stał ymi  i  dają   się wyznaczyć  z  pom iarów  wiskozymetrycznych.  M am y  wówczas (4.2.11) n 2   =   - s 2 r(caip), gdzie  r  =   r < 1 3 > ,  ~T <22>,  - ~T <22>  są   dobrze  znanym i  funkcjami wiskozymetrycznymi  (por.  [1,  3, 7]). Jeś li  funkcje  %,  a^  i  a 2   są   zn an e dla  badan ej  cieczy  z in n ych pom iarów, to  h a  podstawie (4.2.10)  i  (4.2.11)  m oż na  skorzystać  z  zależ noś ci  przybliż onych 1 (4.2.12)  E  ~ S i  "  2  °2  C'1  P*™ V > przy  czym  / ?4  należy  wyznaczyć  z  pom iaru  sił y N a  zakoń czenie rozważ ań  n ad  przepł ywem  w  reom etrze  M axwella,  należy  wspom nieć o  przedstawionej  w  pracy  [14]  moż liwoś ci  badan ia  zwią zków  funkcji  n ;   i  $ t   z  funkcjami wiskozymetrycznymi,  traktują c  przepł yw  w  reom etrze  M axwella  jako  przepł yw  bliski  wis- kozymetrycznemu  w  sensie  definicji  P I P K I N A  [32]. Rys.  2.  Schemat reometru  balansowego  Kepesa 4.3.  Reometr balansowy  Kepesa.  W  roku  1968  KE P E S  [33]  zapropon ował   uż ycie  reom etru skł adają cego  się   z  kuli  (lub  pół kuli) i  czaszy  kulistej  o  prom ien iach równych  odpowiedn io r t   i  r 2 ,  obracają cych  się   ze  stał ą  jedn akową   prę dkoś cią   ką tową   oi  wokół   osi  nachylonych w  pł aszczyź nie  xz  o  mał y  ką t  e  (rys.  2).  Odpowiednie  urzą dzenie  balansowe  z  cię ż arkami P E WN E  N I E WI SKOZ YM E TR YC Z N E P R Z E P Ł YWY  C I E C Z Y  LEP KOSP RĘ Ż YSTYCH   43 umoż liwia  pom iar m om en t u obrotowego  n a  wewnę trznej  kuli,  a  w  szczególnoś ci  jego skł a- dowych  w  kierun ku  osi  x  i y.  R eom etr tego  typu  nazywa  się   reometrem balansowym,  jego produkcję   podję ła  firm a  C on traves  A.  G .  w  Szwajcarii.  j Ostatn io  ukazał o  się   kilka  p rac  poś wię conych  analizie  teoretycznej  reom etru  oraz  ba- dan iom  wł asnoś ci  roztworów  i  stopionych  polimerów  (por.  [28, 31, 34, 35]).  N ajbardziej wyczerpują cą   analizę   przepł ywu  w  reom etrze  balansowym ,  pod  ką tem  moż liwoś ci  wyzna- czenia  charakterystyk  dynam icznych  cieczy  i  wpł ywu  sił   inercji,  przeprowadził   WALTERS [35].  P rzytoczymy  obecnie  najważ niejsze  wyniki  tej  pracy  podkreś lają c,  że  przepł yw  w  re- om etrze  balansowym  należy  do  przepł ywów  typu  R SH D   klasy  (I I I ). R ówn an ia  ruch u  cieczy  (2.1.1)  przybierają   w  ukł adzie współ rzę dnych  kulistych  r, 6, 

c<- ')), (4.3.1)  6'=9-   • ^ - K ( r , 0) e ' ' ( l- e -t o < t - t > ) , gdzie  prim am i  ozn aczon o  współ rzę dne w  chwili  T ( T  <  t),  zaś  funkcje  U, V,  W  zmiennych r, 0  wyznacza  się   m etodą   kolejnych  przybliż eń.  D la  przybliż enia  zerowego  rzę du,  tj.  dla oe  =   0,  gdzie  a 2  =   —icog/ rj*  charakteryzuje  sił y  inercji,  mamy (4.3.2)  J70  =   0,  V0  = Ograniczenie  się   do wyrazów  liniowych  wzglę dem  e w równ an iach konstytutywnych  (2.3.3) prowadzi  do  nastę pują cych  wyraż eń  n a  m om en ty: (4.3.3)  M x   =  %7tXr\ r]'ew,  M y   =- %nXr\ G'e,  M z   =   0, jeś li  odpowiednie n aprę ż en ia rozł oż one są   n a  cał ej  powierzchni  kuli wewnę trznej.  U wzglę d- nienie  sił   inercji  poprzez  przybliż enia  wyż szych  rzę dów  wzglę dem  a  (tj.  czł onów  rzę du O ( a 4) )  daje / (4.3.4)  M x -   iM y   =   %%Xr\  rfm  \ l  - przy  czym  d—r 2 —r l   przyję to  ja ko  wielkość  mał ą , prajctycznie  rzę du  0,1  cm. Zależ noś ci  (4.3.3)  pozwalają ,  n a  podstawie  pom iarów  doś wiadczalnych  M x {oi)  oraz M y (a)\   okreś lić  lepkość  dynamiczną   rj'(a)  oraz m oduł   dynamiczny  G'(co). P orówn an ie  ch arakterystyk  r\ '  i  G'  uzyskanych  w  reometrze  balansowym  z  charakte- rystykam i  uzyskanym i  n a  podstawie  innych  m etod  pom iarowych,  wykazał o  dość  dobrą zgodn ość wyników  doś wiadczaln ych  (por.  [31]). Z godn ość t a był a nieco gorsza  niż w  przy- p ad ku  reom etru  M axwella,  co  m ogł o  niewą tpliwie  wią zać  się   z  trudn oś ciami dokł adnego 44 S.  Z AH O R SK I ustawienia  przyrzą du  i  wł aś ciwego  «wyważ enia»  obcią ż eń.  N a  rys.  3  przedstawion o  dla porówn an ia  charakterystyki  r/ ' i  G'  dla  poli- dimetylsiloksanu  zestawione  przez  M AC OSKO [31] dla reom etru M axwella,  reogoniom etru Weissenberga  i  reom etru balansowego  Kepesa. C hociaż  istnieją ce  rozwią zania  konstrukcyjne  reom etrow  balansowych  n ie  przewidują metody  pom iaru  naprę ż eń  norm alnych  lub  jakiejkolwiek  ich  kombinacji,  teoretycznie istnieje  moż liwość  wyznaczenia  tych  naprę ż eń  poprzez  pom iar  odpowiednich  sił  w  kierun- 10° 10"  - / X i X \ \ o 0 rt 10' 10°  10 1 u)(rad/ sek) to' R ys.  3.  Lepkość  dyn am iczn a  i  m o d u ł   dyn am iczn y  w  funkcji  p rę d ko ś ci  ką towej  dla  trzech  t ypów  reo m et - r ó w:  —  reo m et r  M axwella,  o  rc o go n io m et r  Weissen berga,  •   r eo m et r  balan sowy  (wg  [31]) kach  x, y,  z.  Pomijają c  rozważ anie  tego  typu  (por. p . 4.1), ograniczymy  się   do  stwierdzenia, że pun ktem wyjś cia  są   nastę pują ce  fizyczne  skł adowe  pola  prę dkoś ci: (4.3.5)  v=0,  v=  Re[emV o (r,0)e i!t ],  v   =   corsin0+Re[ecaW o (.r,  0)e iip ], I nie  uwzglę dniają ce  efektów  inercyjnych. 4.4.  Reometr typu  mimoś rodowych  cylindrów.  W  roku  1970  ABBOTT  i  WALTERS  [36]  zapro- ponowali  wykorzystanie  do  badań  Teologicznych  reom etru,  skł adają cego  się   z  dwóch  cy- lindrów,  wewnę trznego  o  prom ien iu  r ±   i  zewnę trznego  o prom ien iu  r 2 ,  obracają cych  się ze  stał ą , jedn akową   prę dkoś cią   ką tową   w  wokół   wł asnych osi  przesunię tych o wielkość mi- m oś rodu  a  (rys.  4).  Odpowiednie  dodatkowe  urzą dzenie  powin n o  umoż liwiać  pom iar  sił w  dwóch  wzajemnie  prostopadł ych  kierun kach  x  i  y.  P rodukcja  tego  typu  reom etru jest przewidziana  przez firmę   Sangamo  C on trols Ltd. w  W.  Brytanii. P E WN E  N I E WI SKOZ YM E TR YC Z N E  P R Z E P Ł YWY  C I EC Z Y LEP KOSF RĘ Ż YSTYCH 45 R ówn an ia  ruchu  cieczy  (2.1.1)  przybierają   w  ukł adzie  współ rzę dnych  walcowych  r, 6, z  nastę pują cą   postać  zespolon ą : r' =  r+iaF(r)e i0 0—e- ito( - '- x) ), (4.4.1) 0' =  5- w(ł -T)- -   ~ ( r gdzie  prim am i  ozn aczon o  współ rzę dne  w  chwili  T ( T <  t),  zaś  funkcja  F(r) dla  a =  0, gdzie  a2  =   —koQJrff  charakteryzuje  sił y  inercji,  jest  nastę pują ca: (4 . 4 . 2 ) F(r)  =  Ar 2 +B\ nr- \—^ +D, przy  czym  A, B, C  i  D  — odpowiedn ie  stał e  cał kowan ia.  Ograniczenie  się   do  wyrazów liniowych  wzglę dem  a w  równ an iach  konstytutywnych  (2.3.3)  daje  sił y (4 . 4 . 3 ) .A  —  ".  7i  T AnL rj'coa AnL G'a Rys.  4. Schemat  reometru  z  mimoś rodowymi  cylindrami gdzie  fi  =   r 2 / i\ ,  zaś  L   oznacza  efektywną   dł ugość  cylindrów.  U wzglę dnienie  sił   inercji ( a  ź  0)  daje (4 . 4 . 4 ) 1Y- a d \ 1  _ - | 46  S.  ZAHORSKI gdzie  d  — r % —)\   przyję to  jako  wielkość  mał ą . Autorzy  pracy  [36]  przeprowadzili  p o n ad t o analizę   wpł ywu  efektów  nieliniowych  (zależ nych  dopiero  od czł onów rzę du  O ( a 3) ) , uzasad- niają cą   stosowanie  wzorów  (4.4.3) w zakresie  0  <  a  <   0,3Ć /. Zależ noś ci  (4.4.3)  pozwalają ,  n a  podstawie  pom iarów  doś wiadczalnych  X(ai)  oraz Y(a)), okreś lić  lepkość  dynamiczną   fj'(ca) oraz  m oduł   dynamiczny  G'(a). W  pracy  [36]  podan o  odpowiednie  zależ noś ci  n a  skł adowe  ten sora  n aprę ż en ia  dla róż nych  przybliż eń ,  nie  analizują c  moż liwoś ci  wyznaczenia  i  pom iaru  funkcji  n aprę ż eń normalnych.  Rozważ ania  podobn e jak  w  p . 4.2  m oż na  przeprowadzić  wychodzą c  z  pola fizycznych  skł adowych  prę dkoś ci  w  postaci  n astę pują cej: a < r > =   Re[aa>F(r)ei0], (4.4.5)  v<0>  =   wr+  R e  iacoĄ ~  (rF) ei0  , Ponieważ  przepł yw  w  reometrze  typu  m im oś rodowych  cylindrów  jest  R SH D   klasy  ( I I I ) , pom iar  odpowiedniej  róż nicy  nacisków  (naprę ż eń prom ien iowych)  n a  ś cian kach  cylindrów prowadzi  do  wyznaczenia  róż nicy  n 2 —«i  funkcji  n aprę ż eń  n orm aln ych  zdefiniowanych w  (2.3.10). N iewą tpliwą   zaletą   rozważ anego  reom etru,  w  porówn an iu  z  innym i  om ówionym i rodzajami  urzą dzeń, jest  moż liwość  wykorzystania  go  do  bezpoś redniej  kon troli  charak- terystyk  Teologicznych  cieczy  w  procesach  przemysł owych.  Aż eby  jedn ak  un ikn ą ć  zabu- rzeń  pom iarów  wywoł anych  ewentualnym  przepł ywem  wzdł uż  osi  cylindrów,  ABBOTT i  WALTERS  [36]  proponują   umieszczanie  reom etru  w  bocznym  odgał ę zieniu,  w  którym przepł yw  był by  zatrzymywany  n a  okres  czasu  potrzebn y  do  uzyskania  odpowiedn ich danycrf. N a  zakoń czenie  warto  podkreś lić,  że  dokon an y  przeglą d  najbardziej  zn an ych  reo- metrów  realizują cych  przepł ywy  typu  R SH D   klasy  (I I I ) nie  wyczerpuje  oczy wiś cie wszyst- kich moż liwoś ci.  M oż n a, n a przykł ad, analizować reom etry typu  krą ż ek- krą ż ek  lub  stoż ek- krą ż ek,  w  których  osie  obrotu  tworzą   okreś lony  m ał y  ką t.  Wychodzą c  n a  przeciw  ewen- tualnej  pomysł owoś ci  badaczy  i  rzeczywistym  potrzebom  reologii  należy  stwierdzić,  że nowe  konstrukcje  w  tej  dziedzinie  powinny  być poprzedzon e wnikliwą   analizą   teoretyczną . 5.  Szczególne  przypadki  przepł ywów  klasy  (II) 5.1.  Przepływ  Poiseuillc'a  ze  skrę caniem.  Istnieją   dwa  rodzaje  przepł ywów  typu  R SH D klasy  (II), które  mogą   być  zrealizowane  w  sposób  przybliż ony  w  odpowiednich  przyrzą - dach :  przepł yw  P oiseuille'a  ze  skrę caniem  i  jego  uogólnienie —  przepł yw  helikoidaln y ze  skrę caniem  (por.  [13, 14]). Realizacja  przepł ywu  P oiseuille'a  ze  skrę caniem —  zapropon owan a  przez  OLD R OYD A [21] —  polega  n a  przepł ywie  cieczy  pod  dział aniem podł uż n ego  gradien tu  ciś nienia  przez rurę   zamknię tą   n a  pewnym  odcin ku  tarczam i  porowatym i,  z  których  jed n a  obraca  się wzglę dem  drugiej  z niewielką   stał ą   prę dkoś cią   ką tową   (rys.  5). PEWN E  NIEWISKOZYMETRYCZNE  PRZEPŁ YWY  CIECZY  LEPKOSPRĘ Ż YSTYCH 47 Z  uwagi  n a  postać  ten sora  kinem atycznego  Ax  (trzy  róż ne  wartoś ci  wł asne)  obliczo- nego  dla fizycznych  skł adowych  prę dkoś ci  w  ukł adzie  współ rzę dnych  walcowych v <»> er  z.(5.1.1)  v<'>=< gdzie  c — const  (por. p .  3.1), moż emy  skorzystać  z  równ ań  konstytutywnych  (3.1.6) lub funkcji  materiał owych  zdefiniowanych  w  (3.1.9)  przy  zał oż eniu, ż e6) (5.1.2) Analiza  równ ań  równ owagi  z  pominię ciem  efektów  inercyjnych  (powolny  obrót) wy- kazuje,  że T oz>  =   x x   jest  zm odyfikowan ym  spadkiem  ciś nienia  n a jedn ostkę  dł ugoś ci, zaś r£ _  T s  o k r e ś lo ne  jest  m om en tem  potrzebn ym  do  obrotu  porowatych  tarcz.  N aprę- ż enia  n orm aln e  dział ają ce  n a jedn ą  z  tarcz  dają T E  *  T E rz> T <00>  T <0z> 1   E   x   E T = " T 'K  1 1 > 1 E 1 E  J- E T i< 33>  Tn< 23> -*  E  ^   E TE 22>_ (5.1.3) -   r< zz>( 0)  =  Ą +  \   l7Z2  dr. P rzedstawiony  schem at  doś wiadczen ia  pozwala  w  zasadzie  n a obliczenie  dwóch  funkcji n aprę ż eń  n orm aln ych x x   i  f3  oraz  kom binacji  funkcji  róż n ic naprę ż eń norm alnych (5.1.3). Rys.  5. Schemat  przepł ywu  Poiseuille'a  ze  skrę caniem N ależy  jednak  pam ię tać,  że  w  takim  schemacie  doś wiadczenia  warunki  brzegowe  nie są ś ciś le  speł nione. 5.2.  Przepł yw  helikoidalny ze skrę caniem.  U ogóln ien iem  przepł ywu  P oiseuille'a  ze  skrę ca- niem  jest  przepł yw  helikoidaln y  ze  skrę caniem,  którego  realizację  m oż na  przeprowadzić 6)  Taka  zamiana  wskaź ników  jest  wynikiem  okreś lonego  stał ego  obrotu  dokonanego  nad  tensorem ekstra- naprę ż enia  T E   oraz  tensorami  kinematycznymi  Ai i A2 . 48 S.  ZAHORSKI w  sposób  przybliż ony  (por.  [13]). Przepł yw  taki  pojawi  się   pod  wpł ywem  podł uż n ego  gra- dientu  ciś nienia  mię dzy  współ osiowymi  ruram i  obracają cymi  się   wzglę dem  siebie  ze  stał ą prę dkoś cią   ką tową   m, jeś li  rury  n a  pewnym  odcinku  zam kn ię te  są   tarczam i  porowatym i, z  których jedn a  obraca  się   wzglę dem  drugiej  również  ze  stał ą   niewielką   prę dkoś cią   ką tową a  =   cL , gdzie  L  jest  odległ oś cią   mię dzy  tarczam i  (rys.  6). Wychodzą c  z  pola  prę dkoś ci  w  postaci  (3.1.3)  stwierdzamy  jak  poprzedn io, że  T < r 2 >  = =   Xi wią że  się   ze spadkiem  ciś nienia n a jedn ostkę   dł ugoś ci, T   =   r 3   z  m om en tem obra- cają cym  wzglę dem  siebie  porowate  tarcze,  zaś  naprę ż enia  n orm aln e  dział ają ce  n a  jedną z  tarcz  dają   zależ ność  (5.1.3),  przy  czym  0  należy  zastą pić  prom ien iem  wewnę trznym  r t , Rys.  6.  Schemat  przepł ywu  helikoidalaego  ze  skrę caniem D alsza  analiza  równ ań równowagi  z pominię ciem efektów  inercyjnych  pokazuje,  że  T  = =   r 2  jest  proporcjonaln e  do jedn ostkowego  m om en tu obracają cego  wzglę dem  siebie  rury. N astę pn ie  róż nica  nacisków  na  ś ciankach  zewnę trznej  i  wewnę trznej  rury, przy zał oż eniu, że  sił a masowa  dział a tylko  wzdł uż osi  z,  daje  nastę pują ce  wyraż en ie: (5.2.1) rI) -   f — • J  f sł uż ą ce  za  podstawę   obliczenia  Ą . N ie  zapominają c  o  przybliż onym  speł nieniu  odpowiednich  warun ków  brzegowych warto  zauważ yć,  że  przepł yw  helikoidalny  ze  skrę caniem  pozwala  w  zasadzie  wyznaczyć wszystkie  pię ć  funkcji  materiał owych  (3.1.9)  charakteryzują cych  zachowanie  się   cieczy o  przepł ywach  typu  R SH D   klasy  (I I ). P E WN E  N IEWISKOZYMETRYCZN E  PRZEPŁYWY  CIECZY  LEPKOSPREŻ YSTYCH   49 6.  Uwagi  koń cowe P rzedstawion a  w  niniejszym  przeglą dzie  analiza  teoretyczna  przepł ywów  ze  stał ą   his- torią   deformacji  ( R SH D )  oraz  omówienie  istnieją cych  i  hipotetycznych  typów  reom etrów realizują cych  takie  przepł ywy,  pozwala  n a  sformuł owanie  kilku  nastę pują cych  uwag: (1)  Przepł ywy  ze  stał ą   historią   deformacji  uogólniają   dość  istotnie  klasę   ustalonych przepł ywów  wiskozymetrycznych. (2)  W  przepł ywach  ze  stał ą   historią   deformacji,  podobn ie jak  w  przepł ywach  wisko- zymetrycznych,  h istoria  deformacji  cieczy  lepkosprę ż ystej,  opisywanej  równaniami  kon- stytutywnymi  nieś ciś liwej  cieczy  prostej,  ujawnia  się   w  sposób  ograniczony  i  specyficzny. (3)  Wł asnoś ci  cieczy  w  niewiskozymetrycznych  przepł ywach  ze  stał ą   historią   defor- macji  opisane  są   pię cioma  funkcjami  m ateriał owym i  (2  funkcje  róż nic  naprę ż eń normal- nych,  3 funkcje  n aprę ż eń  ś cinają cych),  w  przeciwień stwie  do  przepł ywów  wiskozymetrycz- nych,  dla  których  wystarczą   tylko  trzy  funkcje. (4)  M oż liwość  skł adan ia  róż nych  przepł ywów  wiskozymetrycznych  pozwala  na  ana- lizowanie  i  «projektowanie»  bardziej  zł oż onych  przepł ywów  o  okreś lonych  charak- terystykach. (5)  N a  gruncie  teorii  przepł ywów  ze  stał ą   historią   deformacji  istnieje  moż liwość  usta- lania  ś cisł ych lub  przybliż on ych  zwią zków  mię dzy  ogólniejszymi  funkcjami  materiał owymi a  funkcjami  wiskozymetrycznymi. (6)  Takie  urzą dzen ia, ja k:  ortogon aln y  reom etr M axwella,  reometr balansowy  Kepesa i  reom etr  z  m im oś rodowymi  cylin dram i  Abbotta  i  Waltersa,  pozwalają   na  stosunkowo proste  wyznaczanie  dyn am iczn ych  charakterystyk  cieczy:  lepkoś ci  dynamicznej  ?/ '(w) i  m oduł u  dynam icznego  (zachowawczego)  G'{m). (7) N iektóre wym ienione  wyż ej  reometry dają   w  zasadzie  moż liwość  okreś lania, chociaż nie  w jedn akowym  stopn iu  i  z  róż n ym  przybliż eniem,  funkcji  materiał owych  (lub  ich kom- binacji)  charakteryzują cych  n aprę ż en ia n orm aln e. (8)  R eom etry  realizują ce  niewiskozymetryczne  przepł ywy  ze  stał ą   historią   deformacji, p o  likwidacji  odpowiedn ich  m im oś rodów  lub  ką tów  nachylenia  osi  obrotu,  mogą   być wykorzystane  ja ko  stan dardowe  wiskozymetry. Literatura  cytowana  W  tekś cie 1.  B,  D .  COLEM AN ,  W.  N O L L ,  On  certain  steady  flows  of  general fluids,  Arch.  R ational  M ech.  Anal. 3  (1959),  289. 2.  B.  D .  COLEM AN ,  W.  N O L L ,  Helical flow  of  general fluids,  J.  Appl.  P hys., 30  (1959),  1508. 3.  C .  TR U ESD ELL,  W.  N O L L ,  T he  N on- L inear  Field  T heories  of  Mechanics,  Handbuch der  Physik  pod  red. S.  F LU G G E,  vol.  I I I / 3,  Berlin- H eidelberg- N ew  York  1965. 4.  A.  S.  LOD G E, Elastic  L iquids,  London- N ew  York  1964. 5.  J. D .  F ERRY,  L epkosprę ż ystoii  polimerów, Warszawa  1966. 6.  H .  M .  E E J I K H H ,  T .  B .  BHHorpAflOB,  A.  H .  JI BO H O B,  Pomaauonubie  npuSopu.  H3MCpenue  e.n3Kocmu u  (/ }U3UK0- MexaHunecKUx  xapaumepucmuK  Mamepuajiae,  M ocKBa  1968. 4  M ech an ika  teoretyczna 50  S.  ZAHORSKI 7.  B. D .  COLEMAN,  H .  MARKOVITZ,  W.  N OLL,  Viscometric  Flows of  N on- N ewtonian  Fluids. T heory  and Experiment,  Berlin- H eidelberg- N ew  York  1966. 8.  S.  ZAHORSKI, Ciecze nienewtonowskie w ś wietle mechaniki kontinuum,  Mech. Teoret. Stos., 7 (1968), 385. 9.  B. D .  COLEMAN, W.  N OLL,  Steady  extension  of incompressible simple fluids, Phys.  F luids, 5 (1962), 840. 10.  B. D .  COLEMAN,  Kinematical concepts with applications  in  the  mechanics  and thermodynamics of  in- compressible  viscoelastic  liquids,  Arch.  Rational  Mech.  Anal.,  9  (1962), 273. 11.  W.  N OLL,  Motions with constant  stretch history,  Arch.  Rational  Mech,  Anal.,  11 (1962), 97. 12.  C.- C.  WAN G ,  A representation  theorem for  the constitutive  equation  of a simple material in motions  with constant  stretch history,  Arch.  Rational  Mech.  An al,  20  (1965), 329. 13.  R. R.  H U ILQOL, On the construction of motions with  constant stretch history.  1. Superposable  viscometric flows,  M R C Technical  Report  954, M adison, Wisconsin  1968. 14.  R. R.  H U ILG OL, On the construction  of  motions with constant  strecht history. II. Motions  superposable on  simple extension and various simplified constitutive equations  for  constant stretch  histories,  M R C 'Technical  Report  975, Madison,  Wisconsin  1969. 15.  R. R.  H U ILG OL, N on- viscometric  motions with constant stretch history, A. I, Ch. E.  Symp.  on  F unda- mental  Research  in Fluid  Mechanics,  Washington  D . C.  1969. 16.  B. D .  COLEMAN,  On the use of symmetry to simplify the constitutive  equations of  isotropic  material with memory, Proc.  Roy. So c , A306  (1968), 449. 17.  B. D.  COLEMAN,  W.  N OLL,  An  approximation  theorem for  functionals  with applications  in  continuum mechanics,  Arch.  Rational  Mech.  Anal.,  6  (1960),  355. 18.  A. E.  G REEN , R. S. RIVLIN ,  T he mechanics  of non- linear  materials  with memory,  Arch.  Rational  Mech. Anal.,  1  (1957),  1. 19.  B. D .  COLEMAN,  W.  N OLL,  Foundations  of  linear viscoelasticity,  Rev. M odern  Phys.,  33 (1961), 239. 20.  R. S.  RIVLIN ,  1  E.  ERICKSEN ,  Stress- deformation  relations for  isotropic  materials,  J.  Rational  Mech. Anal.,  4  (1955),  332. 21.  J. G .  OLD ROYD ,  Some steady flows  of  the general elastico- viscous  liquid,  P roc. Roy. So c , A283  (1965), 115. 22.  A. C.  P IP KIN , Controllable  viscometric flows,  Quart.  Appl.  M ath., 26 (1968), 87. 23.  S.  ZAHORSKI, Flows with constant stretch history and extensional viscosity,  Arch.  Mech. Stos., 23 (1971) (w  druku). 24.  B.  MAXWELL,  R. P.  CH ARTOFF,  Studies  of  a polymer  melt  in  an  orthogonal rheometer,  Trans,  Soc. Rheol.,  9:  1  (1965), 41. 25.  L. L.  BLYLER,  Jr., S. J.  K U R T Z , Analysis of  the  Maxwell  orthogonal  rheometer,  J. Appl.  Polymer Sci., 11  (1967),  127. 26.  R. B.  BI R D ,  E. K.  H ARRIS,  Jr., Analysis of  steady state shearing  and stress  relaxation in the Maxwell orthogonal  rheometer,  A. I . Ch. E. J.,  14  (1968),  758. 27.  R. R.  H U ILG OL, On the propretries of  the motion with constant stretch history occurring  in the Maxwell rheometer, Trans.  Soc. Rheol.  13: 4 (1969), 513. 28.  M.  VAMAMOTO,  T heoretical analysis of new rheometers,  Japan, J. Appl. Phys., 8 (1969), 1252. 29.  R. J. G ORD ON , W. R.  SCHOWALTER,  On the relation  between  complex viscosity and steady state shearing in the Maxwell orthogonal rheometer, A. I. Ch. E. J., 16 (1970), 318. 30.  T. N . G .  ABBOTT,  K. WALTERS,  Rlieometrical flow  systems. Part 2, T heory for  the orthogonal rheometer, including  an exact solution  of  the N avier- Stokes  equations,  J.  Fluid  Mechanics, 40, part  1 (1970), 205. 31.  C, W.  MACOSKO,  Flow of polymer melts between  eccentric  rotating disks,  Princeton  U niversity  Report, October  1970. 32.  A. C. P I P KI N , D . R. OWE N , N early viscometric flows,  Phys.  F luids, 10 (1967), 449. 33.  A.  KEPES, Proc. 5th I n t. Congress  Rheology,  vol. IV, Kyoto,  Japan 1970. 34.  D . H .  KAELBLE,  Rotating spherical  interlayer  (RSI)  measurement  of  the  dynamic mechanical  properties of  elastomers,  J.  Appl.  Polymer  Sci., 13  (1969),  2547. 35.  K.  WALTERS,  Rlieometrical flow  systems.  Part 1,  Flow between concentric spheres rotating about  different axes,  J.  Fluid  Mech.,  40, part  1  (1970),  257. 36.  T. N . G .  ABBOTT,  K.  WALTERS,  Rlieometrical flow  systems.  Part  3,  Flow  between eccentric  rotating cylinders,  J.  Fluid  Mech.,  43, part  2  (1970),  257. PEWN E  NTEWISKOZYMETRYCZNE  PRZEPŁYWY  CIECZY  LEPKOSPRĘ Ż YSTYCH   51 P  e 3  IO  M e H EKOTOP Ł I E  H E BH C K O 3H M E T P H H E C K H E  T E ^ E H H t f  B H 3 K 0 yn P Yr H X B03HHKIHHH   B  nOCJICflHee  BpeMH   HHTepCC K  HeBHCK03HMeTpH'iecKHM  TeKfl  H CCJiefloBaiinn  Sojice  CJIO>KH WX  Te^SH ldł  B  peoiweTpax  H O B H X  TH I TOB.  O c o 6o e MeCTO  CpeflH   BCeX  IieBHCK03HAieTpiWeCKHX  TCMeHHH  npOCTMX  >KIIfl,KOCTeił   SaHHMaiOT flBU H teH H JI C  IIOCTO- HHHoft  HCTOpiiei- i H e ^ o P M S ^ H   ( C M -   [ 3 , 1 1 ] ).  O H H   cym eciBeH H o  OTjnmaiOTcn  OT  xo p o m o  n3BecTH oro  KJiac- ca  C TaqH onapH bix  BH CKoaH MeTpii^ecKH X  Te^ieHHH,  I I OJI H OC TBI O  xapaKTepn 3yeM bix  ipemu  MaTepiiajitH biMH cJjyHKŁHMMH.  K  3THM  flBH >KeH H H M  M0>KH0  npH^IHCJIHTb H SIipH M ep  Te^eH H flj  OCymeCTBJIHeMbie  B  OpTO- roiiajibH OM   p e o M d p e  M aK C Beju ia,  6ajiaH cn piioM   peoiweTpe  K e n e c a  H   n p o ^ . B  n ep Bo ił   qacTH   flaH H oro  o 63o p a  H 3Jio«KHT  an ajiH 3  pa3Jiił qH bix  KJiaccoa  Te^ieiiH ii,  B  q a d - H OC TH   TeqeH H H , ocym ecTBn JieM bix  B  n p n G o p a x,  co3flaH H bix  B  n o c n eflu ee  Bpeiwn.  Bo n ee  n o flp o 6n o  o6cy>K- BO3Mo>KH0CTH   on peflejieH H H   ffsmaminecKnx  peoJiorH ^iecK n x  xapawTepHCTHK  H   Bnamum S u m m a r y CERTAIN   N ON - VISCOM ETRIC  FLOWS  OF   VISCOELASTIC  F LU ID S Recent interests in various non- viscometric flows  of viscoelastic fluids  such as polymer melts and solu- tions result from the progress made in the  field  of  theoretical rheology as well  as from the needs for  inves- tigation  of  more  complicated flows  in new rheometers.  Among all  non- viscometric flows  of  simple  fluids a  particular  position is filled  by  motions  with constant  stretch  h istory— (cf.  [3,11]). These motions  differ significantly  from the well known class of steady viscometric flows,  characterized entirely by three  material functions  and include, among others,  the types  of flows  realized in  the Maxwell  Orthogonal  Rheometer, the  Kepes  Balance  Rheometer  etc. I n  the  first  part  of our review  the general theory  of  non- viscometric flows  with constant stretch history s  outlined. The second part  deals with various classes  of flows,  especially those occurring  in the  recently constructed  rheometers.  The possibilities  of  determination  of  dynamic  Theological  characteristics  as  well as  normal  stress  effects  are  discussed  in  greater detail. IN STYTU T  POD STAWOWYCH   PROBLEM ÓW  TECH N IKI PAN Praca  został a zł oż ona w  Redakcji dnia 3  marca 1971  r.