Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,10  (1972) TEORIA  N IELIN IOWEJ  LEP KOS P RĘ Ż YS TOŚ CI  I  JEJ  ZAS TOS OWANIA Z BI G N I E W  B Y C H A W S K I  ( K R AK Ó W) N ieliniowa  m ech an ika  ciał a  stał ego,  a  w jej  ram ach  również  teoria  nieliniowej  lepko- sprę ż ystoś ci,  rozwinę ły  się   wszechstron n ie  w  ostatn ich  latach  i  posunę ły n aprzód  w  opisie mechanicznych  i  in n ych  wł asnoś ci  ciał   rzeczywistych.  W  szczególnoś ci  ugruntowane  zo- stał y  podstawy  teoretyczne tych  n au k  w  oparciu  o  osią gnię cia  współ czesnej  matematyki i  fizyki,  co  wią że  się   z  wprowadzen iem  nowego  formalizmu  do  mechaniki.  Jest  to  nie- wą tpliwą   zasł ugą   TR U E SD E LLA  i in n ych reprezen tan tów wytyczonego  przez  niego  kierunku w  badan iach teoretycznych. Jedn akże  przyczynam i  t ak  szybkiego  rozwoju  mechaniki  nieliniowej  był y  nie  tylko potrzeby  i  moż liwoś ci  teoretycznych  uogóln ień ,  ale  również  —  i  to  przede  wszystkim  — obiektywne  warun ki  jakie  stworzył a  współ czesna  techn ika  i  zapotrzebowanie  rozwijają - cego  się   szybko  przem ysł u. Jest  to  zwią zane  z  koniecznoś cią   lepszej  znajomoś ci  i  bardziej ś cisł ego  opisu  wł asnoś ci  nowych,  a  także  tradycyjnych  m ateriał ów  konstrukcyjnych.  Te ostatn ie  poddan e  został y  bowiem  zaostrzon ym  warun kom  eksploatacyjnym  lub  też  nie stosowanym  dotychczas dział an iom . Jest  rzeczą   oczywistą ,  że  rozwój  nieliniowej  teorii  m ateriał ów  znacznie  wyprzedził eksperym ent  i  moż liwoś ci  zastosowań  praktyczn ych .  N iemniej jedn ak  teoria,  nie  ograni- czają c  się   jedynie  do  podsum owan ia  dotychczasowych  osią gnięć  mechaniki  ciał   stał ych, zawarł a  w  sobie  poten cjaln e  ź ródło  moż liwoś ci  n a  przyszł oś ć.  C hodzi tu  nie tylko  o ulep- szanie  wł asnoś ci m ateriał ów zn an ych, ale  również  o  kom pon owan ie materiał ów o poż ą da- nych  wł asnoś ciach. N ieliniowe  wł asnoś ci lepkosprę ż yste,  a  ogólniej  sprę ż ysto- lepkoplastyczne,  był y przed- m iotem  zain teresowan ia  teoretyków  i  eksperym en tatorów  od  dziesię cioleci.  W  pierwszym okresie  próby  ich  opisan ia  sprowadzał y  się   gł ównie  do  okreś lania  praw  empirycznych opartych  n a  dan ych  doś wiadczaln ych  dla  specyficznych  m ateriał ów.  Takie  podejś cie, zresztą   stosowane z koniecznoś ci d o dziś, m a gł ównie znaczenie praktyczne i może speł nić  — chociaż  w  ogran iczon ym  zakresie  —•  poż yteczną   rolę .  I n n e  podejś cie,  szeroko  stosowane w  pewnym  okresie  rozwoju  reologii,  opiera  się   n a  analogiach  i  modelach mechanicznych lub  n awet  m odelach  in n ego  typu,  których  elementy  skł adowe  o  charakterystykach  nie- liniowych  mają   poglą dowo  uzm ysł awiać  zł oż one  reakcje  modelowanego  m ateriał u  n a odpowiedn ie  dział an ia. Zwykle  w  takich  przypadkach  równ an ia  konstytutywne  formuł o- wan e  z  wykorzystaniem  ogólnych  zasad  m echan iki przyjmują   postać nieliniowych  równ ań róż niczkowych,  niekiedy  bardzo  skom plikowan ych. 230  Z b .  BYCHAWSKt N ajbardziej  ogólne  podejś cie  teoretyczne w nieliniowej  teorii  lepkosprę ż ystoś ci  oparte jest  n a  koncepcji  wyraż ania  równ ań  konstytutywnych  w postaci  funkcjonalnej.  Kierun ek ten  jest  reprezentowany  w  podstawowych  pracach  z  zakresu  nieliniowej  m echan iki  ciał odkształ calnych  TRU ESD ELLA  [1],  G REEN A  i  R I VLI N A  [2],  [3],  [4],  N O LLA  [5],  COLEMAN A i  N OLLA  [6] oraz innych autorów. Rozważ ymy  niektóre  aspekty  tego  kierun ku  mają ce  szczególne  znaczenie  w nielinio- wej  lepkosprę ż ystoś ci.  I tak  n a  przykł ad  G REEN  i  R I VLI N   stosują   do opisu  wł asnoś ci  ciał lepkosprę ż ystych  rozwinię cie  Volterry  dla  nieliniowych  funkcjonał ów,  które —  mają c postać  analogiczną   do  szeregu  potę gowego  — pozwala  n a  uwzglę dnienie  wpł ywu  nieli- niowoś ci  z ż ą daną   dokł adnoś cią.  Warto  zauważ yć,  że pierwsze  dwa  wyrazy  tego  szeregu funkcjonalnego  bę dą cego  uogólnieniem  regularnego  funkcjonał u  dowolnego  stopn ia odpo- wiadają   prawu  liniowej  lepkosprę ż ystoś ci.  W zwią zku  z tym  należy  podkreś lić, że  przybliż e- nie  opisu  wł asnoś ci  nieliniowych  materiał ów  lepkosprę ż ystych  szeregiem  funkcjonalnym opiera  się   n a  odchyleniu  od liniowoś ci.  W ogólnym  jedn ak  przypadku  takie  podejś cie  m a charakter  ograniczony, ponieważ  istnieją   materiał y, których  nieliniowe  zachowan ie  się   nie wykazuje  w pewnych zakresach  liniowego  poziom u odniesienia. Jako przykł ad m oż na  tutaj podać  ciał o peł zają ce  typu  Odqvista.  P róby  zastosowania  linearyzacji  jego  równ an ia  kon- stytutywnego  w  skoń czonym  przedziale  czasowym  muszą   prowadzić  do  bł ę dnych rezulta- tów. Linearyzycja  w tym przypadku  może mieć jedyn ie znaczenie lokaln e zewzglę du n a czas i nie usuwa  nieliniowoś ci  równań problem ów  brzegowych  przy  wykorzystaniu  tego  prawa. Ostatnie  zagadnienie  wią że  się  bezpoś rednio  z  zakresem  sł abej  nieliniowoś ci  m ateria- ł ów  lepkosprę ż ystych.  Wiadom o  z bad ań  doś wiadczalnych  n a  m ateriał ach niem etalowych oraz  na niektórych  m etalach lekkich,  że wykazują   one liniowość  tylko  do  pewnej  krytycz- nej  wielkoś ci  naprę ż enia.  D la n aprę ż eń  wię kszych  odchylenie  od  liniowoś ci  wzrasta, a  w efekcie  proces  ten  prowadzi  do stan u  zniszczenia  m ateriał u.  Jeż eli  n atom iast, chodzi 0  deformację   czysto  sprę ż ystą, to liniowość jest  zachowan a  prawie  aż do  stan u  zniszczenia. M oż na  zatem uważ ać,  że  dla  stanu  n aprę ż en ia, który  róż ni  się   dostatecznie m ał o  od  stan u krytycznego1),  dewiacja  od liniowoś ci  bę dzie  m ał a,  a  zatem  nieliniowość  sł aba.  M o ż na wię c przyją ć  z kolei  istnienie  param etru fizycznego,  zależ nego  od  rodzaju  m ateriał u i  od- powiedzialnego  za  wielkość  dewiacji,  przez  który  wyraża  się   zm ianę   stan u  n aprę ż en ia pon ad  stan  krytyczny.  Koncepcja  sł abej  nieliniowoś ci  rozwinię ta  w pracy  BYCH AWSKIEG O 1  F OXA  [7] ma jedn ak  inny  aspekt,  aniż eli  podobn e podejś cie  perturbacyjne  do  nieliniowej lepkosprę ż ystoś ci  ARU TIU N IAN A  [8],  który  uogólnienie  swojej  nieliniowej  teorii  peł zan ia betonu  oparł   na równ an iach  teorii  mał ych deformacji  sprę ż ysto- plastycznych.  Z astrzeż e- nie  budzi  tutaj  fakt  przyję cia  relacji  wią ż ą cej  intensywnoś ci  odkształ cenia  i  n aprę ż en ia w  postaci  analogicznej  do  równ an ia  konstytutywnego  dla  przypadku  jedn owym iarowego. P ostać  ta,  jak  moż na ł atwo wykazać, jest bardziej  zł oż on a. Jest  to oczywiś cie tylko  postulat teorii,  który  nie  ma  jedn ak  uzasadnienia  fizycznego. Alternatywne  podejś cie  do uję cia  nieliniowoś ci  zapropon ował   LEAD ERMAN   [9],  [10], który  wprost  uogólnił   zasadę   Boltzm an n a  nadają c  jej  formę   nieliniowego  równ an ia cał - kowego.  U zasadnienie  takiego  uję cia  wynika  z  doś wiadczeń,  które  wskazują ,  że krzywe odkształ ceń  zależ nych  od czasu  uzyskane  przy  róż nych  stał ych  n aprę ż en iach  mogą  być a )  Przez  stan krytyczny  bę dziemy  rozumieli  taki  stan  materiał u,  który  prowadzi w okreś lonej  chwili do  istotnych zmian jakoś ciowych  w jego zachowaniu się . T E O R I A  N I E LI N I O WE J  LEP KOSP RĘ Ż YSTOŚ CI  231 sprowadzon e  do  siebie  za  pom ocą   czynnika  niezależ nego  od  czasu,  a  bę dą cego  jedynie funkcją   n aprę ż en ia. U ogóln ien ie  tych  faktów  n a  przypadek  n aprę ż eń zmiennych w  czasie prowadzi  bezpoś redn io  do  równ an ia  propon owan ego  przez  Leaderm an a.  R ównanie  to jest szczególnym  przypadkiem  teorii, którą  zajmiemy  się  w  dalszym cią gu  w niniejszej  pracy. Z e  wzglę du  n a  swoją   stosun kową   prostotę   nadaje  się   ono  niewą tpliwie  do  zastosowań praktyczn ych.  Odn osi  się   t o  szczególnie  do  zakresu  sł abej  nieliniowoś ci. P odobn a  idea  rozwin ię ta  został a w  pracy  RABOTN OWA  [11], który  podał   teorię   peł zania metali  w  postaci  nieliniowego  równ an ia  cał kowego.  N ależy  wię c  on a  do  teorii  typu  dzie- dziczenia. N ie  ulega  wą tpliwoś ci,  że  w  chwili  obecnej  najbardziej  rozpowszechnioną   w  zastoso- waniach  teoretycznych  i  praktyczn ych  jest  teoria  peł zan ia  OD QVISTA  [12], która  powstał a jako  uogólnienie empirycznego prawa  N o r t o n a . Obejmuje  ona cał y zakres peł zania uwzglę d- niają c  równocześ nie  efekty  n atychm iastowe  w  postaci  nieodwracalnej.  Jej  zaletam i  są przede  wszystkim  stosun kowo  pro st a  postać  oraz  dobra  zgodność  z  doś wiadczeniem. Jedn ym  z  naszych  celów  był o  znalezienie  zwią zku  pomię dzy  teoriam i  dziedziczenia, które  zwykle  wią że  się   z  wł asn oś ciami  Teologicznymi  m ateriał ów  niemetalowych,  a  teo- riam i  peł zan ia m etali.  Z wią zek  t aki  został  wykazan y  w  pracy  BYCH AWSKIEG O  i  F OXA  [13], z  której  wynika,  że  teoria  Odqvista  jest  szczególnym  przypadkiem  podanej  tam  teorii dla  cał kowicie  nieliniowego  oś rodka  lepkosprę ż ystego. Celem  naszym  n ie jest  p o d an ie  peł nego przeglą du  prac  w  dziedzinie  nieliniowej  teorii lepkosprę ż ystoś ci,  a jedyn ie  naś wietlenie  niektórych  zagadnień, które wią żą   się   bezpoś red- n io  z  pewnymi  aspektam i  p rac  wł asnych.  D latego  też  we  wstę pie,  który  zupeł nie nie pre- tenduje  d o  rysu  historycznego  zagadn ien ia,  ograniczam y  się   do  cytowania  prac,  które wywarł y  bezpoś redni  wpł yw  n a  nasze  prace  oraz  do  sygnalizowania  zagadnień  jakie  za- mierzamy  poruszyć. Z an im  przejdziemy  do  wł aś ciwej  czę ś ci  pracy,  omówimy  pokrótce  wł asne  osią gnię cia w  zakresie  teorii  nieliniowej  lepkosprę ż ystoś ci  i  jej  zastosowań. D otychczasowe  n asze  prace  wią zały  się   w  począ tkowym  okresie  z  uję ciem  teoretycz- nym  wpł ywu  nieliniowoś ci  Teologicznej  na  stan  odkształ cenia  i  stan  naprę ż enia  w  zaga- dn ien iach  jedn owym iarowych  (BYCH AWSKI  [14],  [15],  [16],  [17]),  z  zastosowaniem  teorii nieliniowej  do  an alizy  Teologicznej  konstrukcji  sprę ż onych  (OLSZ AK,  KAU F M AN ,  EIM ER, BYCH AWSKI  [18])  oraz  koncepcjam i  o  charakterze  podstawowym  (BYCH AWSKI,  F OX  [19]), które  n astę pn ie  posł uż yły  do  postawien ia  ogólnej  teorii  (BYCH AWSKI,  F OX [20],  [21]), ja k  również  rozważ en ia jej  przypadków  szczególnych  (BOROWSKI,  BYCH AWSKI  [22]). D alsze uogólnienie  teorii  zn alazł o  swój  wyraz  w  analizie  zasad  formuł owania  równ an ia  konsty- tutywnego  nieliniowego  oś rodka  termo- lepkosprę ż ystego  w  oparciu  o podaną  w  pracy  [19] uogóln ion ą   zasadę   superpozycji  (BYC H AWSKI,  F O X  [23]).  Tutaj  poruszone  został o podsta- wowe,  naszym  zdan iem ,  zagadn ien ie  postulatów  kompleksowoś ci  i  zwartoś ci  czasowej równ an ia  kon stytutywn ego.  P o d an a  został a  również  m etoda  operatorowa  odwracania nieliniowego  prawa  lepkosprę ż ystoś ci  o part a  n a  bazie  funkcjonalnej  (BYCH AWSKI  [24]), kt ó ra  znajduje  szczególne  zastosowan ie  w  problem ach  sł abej  nieliniowoś ci. D alsze  uogóln ien ie  to  uję cie  dystrybucyjnych  aspektów  deformacji  plastycznej  oraz zastosowan ie  tej  teorii  do  analizy  zjawisk  niestabilnoś ci  oś rodków  Teologicznych  (BY- CH AWSKI  [25],  BOR OWSKI ,  BYCH AWSKI  [57]). 232  Z b .  BYC H AWSKI N iezależ nie  od  omówionego  powyż ej  kierun ku  naszych  prac,  prowadzon e  był y  bada- nia  n ad  energetycznymi  kryteriam i  dla  stanów  krytycznych  oś rodków  lepkosprę ż ystych, które  w  efekcie  prowadzą   do  nieliniowoś ci  (BYCH AWSKI,  OLSZ AK  [26], [27], [28]). W  szcze- gólnoś ci  kryteria  te  dotyczą   ciał ,  które  charakteryzują   się   prawie  wył ą cznie  dysypacją energii.  W  tym  przypadku  tę   ostatnią   przyjmuje  się   ja ko  m iarę   osią gnię cia  stan u  kryty- cznego.  Wykazano  tutaj  intuicyjnie  oczywisty  fakt,  że  energia  dysypowana  nie  posiada ekstremum  róż nego  od  trywialnego  n a  poziom ie zerowym  (m in im um ). Z astosowania  teorii  nieliniowej  lepkosprę ż ystoś ci  kon cen trował y  się   gł ównie  n a  za- gadnieniach  statecznoś ci reologicznej  (wyboczenia  przy  peł zaniu)  pł yt  i powł ok w  zakresie geometrycznie  nieliniowym  (BYCH AWSKI  [29],  [30],  [31],  BYCH AWSKI,  K OP E C K I  [32],  [33]). Ostatnio  rozpoczę te  został y  również  badan ia  modelowe  n ad  zagadnieniem  wyboczenia przy  peł zaniu dla  powł ok  kulistych  z  m ateriał ów  metalowych  i  niemetalowych.  Zjawisko był o  uję te  zarówno  lokalnie, jak  i  integralnie.  Pierwsze  wyniki  doś wiadczeń  wraz  z  in- terpretacją   teoretyczną   został y już  opublikowane  (BYCH AWSKI,  K OP E C K I [34]). D użą   uwagę   poś wię cono  geometrycznie  nieliniowym  m em bran om pł askim  (koł owym) i  powierzchniowym  (obrotowo- symetrycznym,  kulistym).  P o d an o  dla  nich  szereg  rozwią - zań  ś cisł ych  dla zł oż onych stanów  fizycznych  tych  konstrukcji  (BYCH AWSKI  [35],  [36],  BY- CH AWSKI,  KOP E C KI ,  [37], KOP ECKI [38]). W  szczególnoś ci  duże  znaczenie  m oż na  przypisać odkrytej  analogii  mię dzy  stanem  natychmiastowym  (sprę ż ystym)  a  peł zaniem  (nielinio- wym)  dla  problemów  geometrycznie  nieliniowych  m em bran  koł owych  (BYCH AWSKI  [39]) i  o  dowolnym  kon turze  (BYCH AWSKI  [40]).  Jest  rzeczą   charakterystyczną   i  wartą   podkre- ś lenia,  że  moż liwość  istnienia  takiej  analogii  negował   OD QVIST  [41],  b ę d ą c —jak  się   wy- d a je —  zasugerowany  analogią   H offa.  Ostatn io  fakt  istnienia  naszej  analogii  został   po- twierdzony  przez jego  szkoł ę   w  pracy  doktorskiej  STORAKERSA  [42]. U ogólnienia  dotyczą ce  zagadnień  geometrycznie  nieliniowych  powł ok  w  stan ie  mem- branowym  przy  zł oż onych  stanach  deformacji  sprę ż ysto- lepkoplastycznej  znalazł y  swój wyraz  w  rozwią zaniach  ś cisł ych  dla  powł ok  obrotowo- symetrycznych  (BYCH AWSKI  [43], BYCH AWSKI,  OLSZAK  [44])  i  szczegół owej  analizie  powł oki  kulistej  pod  ciś nieniem  wew- nę trznym  (BYCH AWSKI,  KOP EC KI [45]).  W  pracach  tych  uogóln ion a  został a  również  om ó- wiona  powyż ej  analogia,  która  w  ten  sposób  obję ła  szerszą   klasę   zagadnień  nie  tylko pł askich,  lecz  również  ustrojów  powierzchniowych. I n n e  praktycznie  waż ne  zagadnienie  peł zan ia powł oki  cylindrycznej  o  przekroju  koł o- wym  pod ciś nieniem wewnę trznym  postawione  został o odm iennie, aniż eli  to  m iał o  miejsce w  dotychczasowych  pracach.  R ówn an ie  problem u,  uwzglę dniają ce  współ dział anie  sił wewnę trznych,  rozwią zane  został o  w  sposób  ś cisły  (BYCH AWSKI  [46]).  P rzeprowadzon o również  krytyczną   konfrontację   teoretycznego  uję cia  problem u przez  innych  autorów. Termo- lepkosprę ż ysta  analiza  powł oki  walcowej  pod  ciś nieniem  wewnę trznym  po- zwolił a  na dyskusję   moż liwoś ci  podejś cia  do  rozwią zania  tego  trudn ego  problem u  i  przed- stawienie  rozwią zań  dla przypadków  szczególnych  (BYCH AWSKI [47]). Z  prac  o charakterze ogólnym  wymienić  należy  przeglą d  podstawowych  poję ć  i  zagad- nień  reologii  nieliniowej  oraz  teorii  nieliniowej  lepkosprę ż ystoś ci  (BYCH AWSKI,  OLSZ AK [48]), jak  również monograficzny  wykł ad podstaw  reologii  liniowej  i nieliniowej  w D uń skim U niwersytecie  Technicznym  w  Kopen h adze  (BYCH AWSKI  [49]),  oparty  w  duż ej  czę ś ci  n a oryginalnej  interpretacji  i  pracach  wł asnych. T E O R I A  N I E LI N I OWE J  LEP KOSP REŻ YSTOŚ CI  233 Z agadnienie  pł askich  stan ów  lepkosprę ż ystych  elementów  konstrukcyjnych  w  uję ciu nieliniowym  rozważ ane  był o  dla  tarczy  koł owej  poddan ej  zginaniu  (BYCH AWSKI,  SI EN - N ICKI  [50]) i dla  geometrycznie  nieliniowych  pł yt  prostoką tn ych  (BYCH AWSKI  [51]). W  tym ostatn im  przypadku  rozwią zan ia  ś cisłe  dotyczą   silnej  nieliniowoś ci  peł zania,  co  pozwala n a  przejś cie  graniczne  do  m em bran owego  stan u  plastycznego  n a  podstawie  uję cia  stanu natychm iastowego  (peł zanie  przejś ciowe).  Waż n ym  wnioskiem  wynikają cym  z  tej  pracy jest  stwierdzenie,  ż e, p o d o bn ie ja k  to  m a  miejsce  dla  m em bran , również w  przypadku  pł yt peł zan ie jest  n ieustalon e. P roblem y  m atem atyczn e nieliniowej  teorii lepkosprę ż ystoś ci  rozważ ane  był y pod ką tem wprowadzen ia  uogóln ion ych  form  funkcji  peł zan ia  (BYCH AWSKI  [52]), metod  rozwią zania konstytutywnych  równ ań  cał kowych  nieliniowych  (BYCH AWSKI,  P ISZ CZ EK  [53])  oraz m etod  odwracan ia równ ań  kon stytutywn ych  (BYCH AWSKI  [54]). W  szczególnoś ci  wykazano moż liwoś ci  zastosowan ia  tych  m etod  d o  problem ów  geometrycznie  nieliniowych  powł ok obrotowo- symetrycznych  (BYC H AWSKI  [55]). P rzeprowadzon a tutaj  linearyzacja  fizycznego aspektu  zagadn ien ia  pozwala  n a  prostą   i  poglą dową   interpretację   wyników  w  zakresie sł abej  nieliniowoś ci. D alsze  aktualn ie  prowadzon e  prace  wią żą   się   z  zastosowaniam i  teorii  nieliniowej lepkosprę ż ystoś ci  do  m ateriał ów  i  konstrukcji  wykazują cych  w  procesie  odkształ cenia duże  deformacje.  P race  te  dotyczą   zarówn o  podstaw  teorii  duż ych  deformacji  lepko- sprę ż ystych,  jak  i  jej  zastosowań  do  konstrukcji  membranowych  (BYCH AWSKI  [56],  BY- C H AWSKI,  O LSZ AK  [58]).  Ideą   przewodnią ,  chociaż  trudn ą   do  zrealizowania,  jest  uzyska- nie  rozwią zań  analitycznych.  W  zwią zku  z problem em  duż ych  deformacji  poszukiwane  są również  uję cia  energetyczne  nieliniowej  lepkosprę ż ystoś ci  w  postaci  funkcjonalnej  (BY- CH AWSKI  [24]),  a  pierwsze  wyniki  prac  w  tym  kierun ku  wskazują   na  potrzebę   oparcia teorii  n a  bazie  term odyn am iki  procesów  nieodwracalnych. P roblem y jakim i  zam ierzam y  się   zają ć  w  dalszym  cią gu  niniejszej  pracy  mają   charakter podstawowy  i  stan owią   uogóln ien ie  p rac  omówionych  powyż ej.  Celem  naszym  jest  tutaj przedstawienie  n owych  koncepcji  i  nowego  uję cia  form alnego,  a  n a  tej  podstawie  bardziej ogólnej  interpretacji  i  bardziej  wnikliwej  dyskusji  zagadn ień  nieliniowej  lepkosprę ż ystoś ci. 1.  P o st a ć  równ an ia  kon stytutywn ego  nieliniowej  teorii  lepkosprę ż ystoś ci R ówn an ie  kon stytutywn e  m ateriał u  rzeczywistego,  a  w  istocie jego  wyidealizowanego m odelu  moż liwie  ś ciś le  opisują cego  obserwowalne  wł asnoś ci  tego  m ateriał u, powin n o  być przede  wszystkim  pozbawion e  wewnę trznych  sprzecznoś ci.  Jeś li  warunek  ten  jest  speł - niony,  to  od  równ an ia  kon stytutywn ego  należy  oczekiwać  moż liwoś ci  wycią gnię cia wniosków  co  do  zach owan ia  się   m ateriał u  w  odpowiednich  sytuacjach  dział ań  mecha- nicznych i in n ych.  Inaczej m ówią c,  równ an ie  to  dawać  powin n o  moż liwość  przewidywania skutków  przy  zadan ych  przyczyn ach  lub  okreś lenia  przyczyn  na  podstawie  obserwowa- nych  skutków. Jest  rzeczą   oczywistą ,  że  podstawą   dla  form uł owan ia  równ an ia  konstytutywnego  ciał a rzeczywistego  m usi  być  eksperym en t  przeprowadzon y  z  reguł y  w  prostszych  warun kach aniż eli  te, dla których  odpowiedź  m a dać to równ an ie. Jest  również  oczywiste,  że równanie konstytutywne  m oże być  także okreś lone n a drodze eksperymentu myś lowego  (dla materia- ł u  hipotetycznego), co  nie jest  wcale  pozbawion e  sensu  praktyczn ego. 234  Z b .  BYC H AWSK I Z godnie z ogólnymi  zał oż eniami fizyki,  równ an ie kon stytutywn e  powin n o odpowiadać trzem  podstawowym  zasadom :  przyczynowoś ci,  lokaln oś ci  dział an ia  i  obiektywnoś ci m aterialnej. O  ile znaczenie dwóch  ostatn ich zasad jest  równorzę dne dla wszystkich  typów  oś rod- ków,  to  zasadzie  pierwszej  należy  przypisać  szczególne  znaczenie  w  teorii  nieliniowej lepkosprę ż ystoś ci.  Wynika  to z roli  historii ruchu m ateriał u,  kt ó ra  okreś la jego  stan w da- nej  chwili  i  z  koniecznoś ci  pam ię tan ia  o  tej  zasadzie  każ dorazowo  przy  wykonywaniu operacji  funkcjonalnych  n a  zwią zkach  konstytutywnych.  F orm aln ym  wyrazem  zasady przyczynowoś ci  jest  uogólniona  zasada  superpozycji  sform uł owana  i  rozwinię ta  w  pra- cach  [7], [19]. Tę   ostatnią   m oż na  napisać  dla  skł adowych  ten sora  stan u  odkształ cenia oś rodka  lepkosprę ż ystego  w nastę pują cej  postaci: +  00 (1- 1) gdzie  t 0   jest  chwilą   począ tkową,  6 zaś oznacza  dystrybucję   H eaviside'a  zdefiniowaną  jak nastę puje (1,  t>r,  . Przez  wprowadzenie  dystrybucji  0 okreś lamy  ś ciś le  przedział  czasowy  superpozycji  [t,  t 0 ] tak,  że  uwzglę dnia  on a ewentualne  efekty  począ tkowe  zwią zane  z  historią   do chwili  t 0 lub  zachodzą ce w  tejże  chwili  (efekty  natychm iastowe). Z asada superpozycji w postaci  (1.1) jest tylko przepisem form alnym  sposobu  okreś lan ia tensora  odkształ cenia w  chwili  / . D latego  też nie  bę dzie  m iał a  on a znaczenia  fizycznego dopóty, dopóki nie podam y zwią zku  pomię dzy  skutkam i, które  superponujemy w okreś lo- ny  sposób  a  przyczynymi,  które je  wywoł ują . Jak widać z postaci równ an ia (1.1) zwią zek  taki powin ien być zadan y w postaci róż nicz- kowej,  a ponieważ m a być speł niony  warunek  cał kowalnoś ci, t o  wyraż enie  pod zn akiem cał ki  musi  być róż niczką   zupeł ną . U wzglę dniając  warunek  począ tkowy  jako  niezerowy,  m oż emy  ( l . ł )  n apisać  altern a- tywnie +   00 (1.3) co  implikuje  formę   róż niczkową (1- 4)  a(t, T, t o )deij{x)  =  a(t, r,  t o )&ij(r)dr, ze wzglę du  n a cią gł ość param etru t.  Jest  on a  równ oważ na  formie  (1.1)  zgodnie z  przyję tą klasą   cał kowalnoś ci i wyborem  okreś lonej  m iary. Z ostatniej  formy  wynika,  że  róż niczko- wa  postać konstytutywna  wyraża  się  jedyną   «zwartą »  funkcją   tensorową   param etru czasu CPy,  która  może  reprezentować  nawet  bardzo  zł oż one zachowan ie  się   m ateriał u lepko- sprę ż ystego  w procesie  odkształ cenia. Tutaj  przez a  oznaczam y czynnik (1- 5)  ct(t,r,t o )  =  0{t- T )8(r- to)- T E O R I A  N I E LI N I O WE J  LEP KOSP RĘ Ż YSTOŚ CI  235 Łatwo  zauważ yć,  że przy  zał oż eniu róż niczkowalnoś ci  tensora  odkształ cenia otrzyma- my  z (1.4) wprost (1.6)  «• (t,  T, t 0 ) e u (r)  =   a (t,  r, t 0 ) co  nadaje  funkcji  @ u   bezpoś rednią   interpretację   fizyczną . Z  formą   (1.4) lub (1.1) wią żą   się  dwa,  naszym  zdaniem, podstawowe  postulaty,  które powinno  speł niać równ an ie  konstytutywne  uzyskane  w  oparciu o zasadę   uogólnionej su- perpozycji:  postulat  zwartoś ci  czasowej  i  postulat  kompleksowoś ci. Aby  wyjaś nić  znaczenie  wymienionych  postulatów  okreś limy  w jaki  sposób,  naszym zdaniem,  należy  rozumieć  zachowanie  się   oś rodka  lepkosprę ż ystego  w  zakresie  nielinio- wym.  Wszystkie  cechy  reakcji  m ateriał u  n a dział ania, które  istnieją   obiektywnie,  a które, zgodnie  z  obserwowalnymi  faktami,  moż emy  m u  przypisać  niezależ nie  od  skali  czasu obserwacji,  ujawniają   się   z  chwilą   wystą pienia  odpowiednich  przyczyn  w  postaci  (1.4). Wynika  stą d  współ zależ ność  rozm aitych  efektów  fizycznych  w  czasie,  na które  zwykle rozkł adam y  myś lowo  zachodzą cy  proces ze wzglę du  n a dogodność  rozważ ań. W  zwią zku z  powyż szym  należy  stwierdzić,  że postulat  zwartoś ci  czasowej  przeczy  w  ogólnoś ci mo- ż liwoś ci  addytywnej  reprezentacji  efektów  nieliniowych  w  czasie.  Efekty  te  są   bowiem «wymieszane»  w  czasie,  a  kompleksowa  reakcja  wyraża  się   równaniem  (1.4). Takie podejś cie  do uję cia  deformacji  odbiega  od znacznych zał oż eń  klasycznych,  które za  pun kt  wyjś cia  przyjmują   addytywność  formy  równania  konstytutywnego  dla zakresu nieliniowego bez uzasadnienia. M oż na wykazać, jak na przykł ad uczyniliś my  to dla oś rodka lepkosprę ż ystego  w pracy  [23], że jedynie jego liniowy  zakres  dopuszcza  addytywną   formę bez  dodatkowych  warun ków.  N ie należy  jedn ak  są dzić,  iż  ta  ostatnia  nie jest  w  ogóle dopuszczalna dla zakresu  nieliniowego.  Przeciwnie, taka  moż liwość  istnieje.  N ależy jednak speł nić  dodatkowe warun ki  w taki  sposób,  aby forma  addytywną   przedstawiał a róż niczkę zupeł ną ,  to  znaczy  aby  tensor  odkształ cenia  mógł   być  przedstawiony  w  postaci  (1.1). Warun ki  dodatkowe,  o  których  mowa,  muszą   z  koniecznoś ci  wią zać  ze  sobą   funkcje fizyczne  charakteryzują ce  rozm aite  wł asnoś ci  m ateriał u.  Oznacza  t o,  że  n a  przykł ad tzw.  wł asnoś ci  natychmiastowe  muszą   się  wyraż ać  przez  wł asnoś ci  czasowe  i  na odwrót, co  z  klasycznego  pun ktu  widzenia  wydaje  się  w  pierwszej  chwili  niemoż liwe.  Tak jednak jest  w istocie, jeż eli  weź miemy  pod uwagę  fakt,  że funkcje  o których mowa, są  współ czyn- nikami  formy  róż niczkowej  przy  róż niczkach  wydzielonych  zmiennych  niezależ nych równania  konstytutywnego.  M uszą   one zatem, w  myśl  zasady  (1.1), speł niać  tzw. relacje krzyż owe. Zał óż my, że konstytutywna  forma  róż niczkowa  ma w przypadku  ogólnym  postać (1- 7)  de u   =  Ajjd gdzie (1.8)  Akij  =   Atj(Q   ± , Q 2 , ..., Q„, ers), a  Q k  są  niezależ nymi zmiennymi fizycznymi.  Wtedy,  o ile forma  ma przedstawiać róż niczkę zupeł ną ,  muszą   być  speł nione relacje (1.9)  d~A\ } ^ A\ r B er ^ m d pr 6 qs   -   dkAlj+Alj- d^ Ą cd ̂ (k, I =  1, 2, ..., ń ), 236  Z b .  BYC H AWSKI gdzie  symbole  róż niczkowania  mają  nastę pują ce  znaczenie a dij oznacza tensor jednostkowy. Jeż eli  jedną  ze  zmiennych  niezależ nych  jest  czas,  co  oczywiś cie  m a  miejsce  dla  ciał a lepkosprę ż ystego,  wówczas  zgodnie  z  zasadą  przyczynowoś ci  piszemy (1.11)  detj gdzie  a jest  czynnikiem  (1.5). W  szczególnym  przypadku  (1.8) może nie mieć charakteru równ an ia zupeł nego, a  wtedy relacje  (1.9)  redukują  się  do  postaci (1.12)  S,4  =   M«. Jak  wynika  z  naszych  rozważ ań,  postulat  kompleksowoś ci  równ an ia  konstytutyw- nego  lepkosprę ż ystoś ci  nieliniowej  bę dzie  speł niony  dla  addytywnej  formy  superpozycyj- nej  (1.7), jeż eli  speł nione bę dą  relacje  (1.9) lub  (1.12). Jak  wykazaliś my  w pracy  [23],  relacje te  są  speł nione dla  oś rodka  liniowego  toż sam oś ciowo.  W  dan ym  przypadku  n atom iast, dostarczają  one  dodatkowych  zwią zków  konstytutywnych  pom ię dzy  funkcjami  ch arakte- ryzują cymi  rozmaite  wł asnoś ci  fizyczne  m ateriał u,  które  zabezpieczają  kom pleksowość równania  konstytutywnego  w  przypadku  stosowan ia  uogóln ion ej  superpozycji. 2.  Funkcjonalna  interpretacja  równania konstytutywnego nieliniowej  lepkosprę ż ystoś ci R ównanie  (1.1)  wyraż ają ce  uogólnioną  zasadę  superpozycji  może  być  in terpretowan e fizykalnie  jako  funkcjonał ,  w  naszym  przypadku  oś rodka  nieś ciś liwego,  dewiatora  n a- prę ż enia  s t j.  M oż emy  zatem  napisać  formalnie (2.1)  e u (t)  =  L {s;.t) Sij , gdzie  L  jest  nieliniowym  operatorem funkcjonalnym  (cał kowym)  nał oż onym n a  dewiator naprę ż enia, zaś s  oznacza intensywność  n aprę ż en ia2). F orm ę  funkcjonał u  (2.1)  otrzymamy  rozważ ając  przestrzeń  funkcji  cią gł ych  (mierzal- nych  i  ograniczonych)  Jy(r),  w  której /+o (2.2)  eyOf) =   Km£s u (T *)/ l t K[t,  T*, S{X*)\   =   /   • %(*)«*>  T, s(r)], Kfl.  KoH rpecca, MocKBa 1969. 33.  Z . BYCHAWSKI,  H . KOPECKI,  W ybaczenie  przy  peł zaniu  geometrycznie nieliniowej  powł oki  kulistej, Rozpr.  Inż ., 3,  16 (1968), 34.  Z. BYCHAWSKI, H . KOPECKI, Experimental and theoretical analysis of creep buckling of nonlinear spherical shells,  Coll.  Int.  RILEM   Experimental  Analysis  of  Instability  Problems  on  Reduced  and  Full- Scale Models, Buenos  Aires  1971, 35.  Z. BYCHAWSKI,  Duż e ugię cia sprę ż yś cie nieliniowych  membran  koł owych, Rozpr.  Inż ., 1,14  (1966), 36.  Z.  BYCHAWSKI, L arge deflections of the elasto- creeping circular membrane, Arch. Mech. Stos., 3,17 (1965) 37.  Z .  BYCHAWSKI,  H . KOPECKI,  N ieliniowe  zagadnienia deformacji  sprę ż ysto- plastycznych i  peł zania membran  koł owych, Rozpr.  Inż ., 3, 15 (1967), 38.  H .  KOPECKI,  Reologiczne problemy nieliniowej deformacji powł ok obrotowych  w stanie  membranowym, Rozpr.  doktorska,  Kraków 1967, 39.  Z. BYCHAWSKI,  O stosowalnoś ci  analogii sprę ż ystej w zakresie nieliniowej geometrycznie  teorii peł zania membran  koł owych,  Rozpr.  Inż ., 3, 13 (1965), 40.  Z. BYCHAWSKI,  Elastic analogue  in the general case of  a geometrically  nonlinear  membrane  subjected to creep,  Arch.  Mech. Stos., 4, 17 (1965), 4 1 .  F . K .G .  OD QVIST, Odua HenuneUuan  3adaua  o coScmeembix  mauewuHX  e meopuu  no/ i3ynecmu,  H 3B. AH   C C C P ,  MocKBa  1961. 42.  B. STORAKEUS, Finite  creep of  a circular membrane  under  hydrostatic pressure,  Acta Polytechnica  Scan- dinavica,  Mech. Eng. Series,  N o. 44, (1969), 43.  Z . BYCHAWSKI,  Combined instantaneous  and creep  deformation  of  rotational shells in a nonlinear mem- brane state, Southeastern  Conf. on Theor. and Appl.  Mech., Auburn 1966, 44.  Z. BYCHAWSKI, W.  OLSZAK, Rheological states of geometrically nonlinear rotational membranes, I U TAM Symposium  Theory  of Thin  Shells  Copenhagen  1967,  Berlin- Heidelberg- N ew  York 1969, 45.  Z . BYCHAWSKI,  H . KOPECKI,  Elasto- plastic  and creep deformation of  geometrically nonlinear  shallow spherical shells in membrane state, Bull. Acad. Pol. Sci., 8,15  (1967), 45a.  Z. BYCHAWSKI,  H . KOPECKI,  Sprę ż ysto- plastyczna  deformacja  i peł zanie powł oki  kulistej, Rozpr. Inż ., 2, 15 (1967), 46.  Z. BYCHAWSKI,  Exact solution  of  creep  bending  of  a long circular  cylindrical shell under internal pres- sure,  10th Yugoslav Congress of Theor. and Appl.  Mech., Baś ko Polje 1970, 47.  Z. BYCHAWSKI,  T hermal and creep analysis of cylindrical shells under internal pressure, 1st I n t. Conf.  on Structural  Mech. in Reactor Technology,  Vol. 5, P art L, Berlin 1971, 48.  Z. BYCHAWSKI,  W.  OLSZAK,  O podstawowych poję ciach  reologii,  Zagadnienia  Maszyn  Przepł ywowych- Problems  of Fluid- Flow  Machines, Warszawa 1969, 49.  Z. BYCHAWSKI,  Introduction  into theoretical  ami  applied  rheology,  The Technical  U niversity  of D an- mark, D ept. of Appl. Mech., P art I,  I I ,  Copenhagen 1968, 50.  Z. BYCHAWSKI, H .  SIEN N ICKI, Zginanie tarczy koł owej w zakresie nieliniowej deformacji natychmiastowej i peł zania,  III Sympozjon  PTMTS poś wię cony  reologii,  Wrocł aw  1966, 51.  Z. BYCHAWSKI,  Exact  solutions  of  nonlinear  instantaneous  and creep bending  problems of plates with large deflections, 2nd IU TAM  Symposium  on Creep in Structures, G oeteborg  1970, 52.  Z . BYCHAWSKI,  Resolving kernel of  the  Volterra  equation  in the case of  the generalized creep function, Arch.  Mech.  Stos.,  2, 9 (1957), 52a.  Z. BYCHAWSKI,  On the application of creep function in generalised form, Bull. Acad. P ol. Sci., 2, 4  (1957), 53.  Z. BYCHAWSKI, K. PISZCZEK, On the operational perturbation method of solution of the Volterra nonlinear integral equations,  IBTP  Reports,  14, 1968, TEORIA  NIELINIOWEJ LEPKOSPRĘ Ż YSTOŚ CI  241 54.  Z . BYCHAWSKI,  Ueber eine Methode der  Umkehrung von der Materialgleichung fuer  nichtlineare viskoelas- tische  Stoffe,  VI.  I n t. Kongfess  ueber  Anwendungen  der  M athematik in den  Ingenieurwissenschaften, Weimar  1972, 55.  Z . BYCHAWSKI,  L arge  deflections  of  nonlinear  viscoelastic  rotational membranes,  Symposium  IASS Tension  Structures and  Space F rames, Tokyo- Kyoto  1971. 56.  Z . BYCHAWSKI,  Duż e  odkształ cenia  peł zają cych  powł ok  obrotowych, XVI  Konf.  N auk.  KI L  P AN i  K N P Z I T B,  Krynica  1970, 57.  A.  BOROWSKI,  Z . BYCHAWSKI,  W ł asnoś ci reologiczne  materiał ów  niestabilnych, 1971  (praca  przygoto- wana  do druku). 58.  Z . BYCH AWSKI,  W.  OLSZ AK,  Rheological theory  of  membranes  undergoring  large deformations, 9th Congress  AI P C , Amsterdam  1972. P  e  3  IO  M  e TE OP H fl  H E J I H H E H H O H   B *I 3 K O yn p yr O C T H   H   E E  nPH JIO5KEH H H B  pa6oTe  o6cy>KflaiOTCH   iieKoiopBie  nanpaBJieH H H   pa3BHTim  H emmefinoH   Teoproi  BjisKoynpyrocTH . H a  cpone  STH X  TeH flenqnB  n peflciaBjieiibi  pe3yjiM aTbi,  n o jiyqem ibie  aBTOpoM   TaK  B  o6nacTn  T eopera- MecKHX HccneflOBaHHit,  KaK  H  B n paKTim ecKn x  npHJio>KeHiinx  HTOH   T eo p n a. B  oSmeft  djiopiwe  H araaflH O  H3Jio>iii