Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,10  (1972) TEORIA  OŚ ROD KÓW  WIELOF AZOWYCH C Z E S Ł AW  E  I  M  E R  ( WAR S Z AWA) 1, Definicja  oś rodka  wielofazowego.  Zał oż enia  podstawowe P rzez  oś rodki  wielofazowe  rozum iem y  oś rodki  niejednorodne  o  budowie  ziarnistej, takie ja k  m etale, m ateriał y ceram iczne, beton , skał y, polim ery zbrojone  itp. Skł ad chemiczny, krystalograficzny  itd.  są   z p u n kt u  widzenia  teorii  oboję tn e,  dopóki  speł nione są   podstawo- we  zał oż en ia  teorii,  o  których  zaraz  bę dzie  m owa. Sł owo «faza»  m a w  m echan ice i fizyce wiele znaczeń i wystę puje  w róż nych kontekstach, ja k  n p . «przestrzeń  fazowa»  w  m echan ice statystycznej,  «faza»  ukł adu drgają cego  w  dyna- mice,  «ukł ad  wielofazowy»  w  term odyn am ice  i  in .  W  teorii  oś rodków  wielofazowych okreś lenie  «faza»  uż ywane  jest  w  specjalnym  znaczeniu  i,  aby  unikną ć  nieporozumień, m ówim y  również,  zam iast  o  oś rodkach  wielofazowych,  o  oś rodkach  zł oż onych.  N ie  należy zwł aszcza  utoż sam iać  naszej  «fazy»  ze  zbliż onym  poję ciem  w  term odynam ice, gdzie  przez «fazę   jedn olitą »  rozum ie  się   czę ść  ukł adu  o  tych  samych  wartoś ciach  param etrów  inten- sywnych. U kł ad  definicji  teorii  oś rodków  wielofazowych  jest  nastę pują cy.  Rozważ amy  oś rodek cią gły  niejednorodny  specjalnego  typu,  m ianowicie  o  wł asnoś ciach  obszarami  stał ych. U waż am y,  że  oś rodek  skł ada  się   z  ziaren  i  powierzchn i  ograniczają cych  ziarn a —  granic ziaren. P rzez ziarno rozum iem y  obszar  (w zagadnieniu  przestrzennym  —  obszar  przestrzeni trójwymiarowej)  wypeł niony  oś rodkiem  cią gł ym jedn orodn ym ,  tj.  o  stał ych wł asnoś ciach, wł ą cznie z orientacją   przestrzen n ą .  N ieco ś ciś lej —  obszar  otwarty,  w  którym  pole tensoro- we  opisują ce  rozważ aną   wł asn ość  kierun kową   (n p.  pole  ten sora  sprę ż ystoś ci)  jest  stał e. D o  opisu  zjawisk  w  ziarn ie  stosuje  się   wię c  teoria  oś rodka  cią gł ego;  aby .odpowiadał o to fizycznej  rzeczywistoś ci,  m usim y  zał oż yć, że rozm iary  ziaren  są   duże w stosunku  do odległ o- ś ci mię dzyczą steczkowych.  P rzez fazę   rozum iem y zbiór ziaren tego samego  typu, róż nią cych się   wył ą cznie  orientacją ,  ś ciś lej —  obszar  o  stał ym  odnoś nym  polu  tensorowym  z  dokł ad- noś cią   do  peł nej  grupy  transform acji  ortogon aln ych  (tj.  wł ą czając  odbicie  zwierciadlane). Z akł adam y,  że  liczba  faz  w  oś rodku  jest  skoń czon a,  zaś  zbiór  ziaren  —  przeliczalny. P o dan e  okreś lenia  umoż liwiają   definiowanie  róż nych  wielkoś ci  fazowych,  n p.  ś rednich w  danej  fazie. Z godn ie  z  wyż ej  powiedzian ym ,  najprostszym  oś rodkiem  zł oż onym jest oś rodek jedno- fazowy  (ziarna  róż n ią   się   tylko  orien tacją ),  w  szczególnoś ci  polikryształ .  Teoria  polikrysz- tał u  stan owi  przejś cie  d o  teorii  oś rodków  wielofazowych.  Z  drugiej  strony,  przejś cie  takie 5* 244  C z.  E I M E R stanowi  teoria  oś rodka  o fazach  izotropowych, w  których poję cia  ziarn a i fazy  utoż samiają się . D otychczas  nic  nie  mówiliś my  o  geometrii  wewnę trznej  oś rodka,  okreś lają cej  form ę i  rozmieszczenie ziaren i faz.  M oże ona mieć ch arakter deterministyczny  (przykł adem mogą być  konstrukcje  z  beton u  zbrojonego)  lub  stochastyczny  (losowy).  Ten  ostatn i  przypadek jest charakterystyczny  dla m ateriał ów (nie kon strukcji!)  i do niego  w zasadzie  ogranicza  się teoria  oś rodków  wielofazowych,  którą   należ ał oby ś ciś lej  okreś lić  m ianem teorii  oś rodków stochastycznych  wielofazowych. Podstawowym  zał oż eniem  teorii  n a  jej  obecnym  etapie  rozwoju  jest  niezmiennoś ć geometrii  wewnę trznej w  toku  rozważ anego  procesu  fizycznego  (myś limy  o  niezmiennoś ci wzajemnego  poł oż enia czą stek,  z dokł adnoś cią  do ruchu sztywnego).  Tym  samym wył ą czo- ne  są   z  rozważ ań  zagadnienia  m echaniki  oś rodków  (do  których  się   ogran iczym y),  gdzie decydują ce  znaczenie  m a  ruch  i  energia  kinetyczna,  jak  n p .  teoria  turbulencji  lub  teoria zawiesin.  Opis ruchu jest  opisem Lagran ge'a  i ogranicza się   do rozważ an ia pól odkształ ceń, o  których  zakł adamy,  że  są   m ał e.  Są   to  zał oż enia  charakterystyczne  dla  ciał a  stał ego, aczkolwiek  nie  wyklucza  się ,  że  pewne  ziarn o  m oże  stan owić  ciecz,  w  sensie  inkluzji materiał u nie stawiają cego  oporu odkształ ceniom postaciowym .  Z godn ie z tym, n a obecnym etapie  teoria  oś rodków  wielofazowych  jest teorią   liniową   geometrycznie.  W  konsekwencji, poza  zakresem  rozważ ań  pozostaje  problem atyka  zwią zana  z  topologią   oś rodka,  n p. nie- istotn a jest  kwestia,  czy  ziarn a lub  fazy  stanowią   obszary  jedn ospójn e,  czy  też n ie. Z  pew- nych  przyczyn,  które  staną   się   jasn e  w  dalszym  cią gu,  dogodn ie  jest  jedn ak  wydzielić klasę   oś rodków,  w  których  ziarn a  o  p o st aci' obszarów  jedn ospójn ych  są   «zan urzon e» w  oś rodku  macierzystym.  M ówimy  wówczas  o  zawiesinie,  przy  czym jeś li  inkluzje  są   do- statecznie  od  siebie  odległ e,  by  ich  wzajemne  oddział ywanie  był o  pomijalne,  mówimy 0  zawiesinie  rzadkiej. 2.  Zakres poszukiwań N a  ogół  za pun kt startowy  poszukiwań  w dziedzinie oś rodków  wielofazowych  uważa  się pracę   EIN STEIN A Z r.  1906  [26], w  której  okreś lił   on  lepkość  zawiesiny  rzadkiej  sztywnych kulek. W  ogólnoś ci  klasyczny  problem  teorii  oś rodków  wielofazowych  stanowi  okreś lenie makroskopowych  wł asnoś ci  materiał ów  («stał ych  materiał owych))) n a  podstawie  zn an ych wł asnoś ci faz  i probabilistycznego  opisu  geometrii wewnę trznej.  N ajbardziej  podstawowym elementem  opisu  oś rodka jest podan ie koncentracji  faz  (stosun ku  obję toś ci  fazy  do  obję to- ś ci  oś rodka).  N iewą tpliwie  u  podstaw  rozważ ań  pierwszych  badaczy  tkwił o  prześ wiad- czenie, że znajomość  koncentracji jest wystarczają ca  dla  wyznaczenia  wł asnoś ci m akrosko- powych.  W  tym  krę gu  rozum owań  mieszczą   się   podstawowe  p rac e:  VOI G TA  Z r.  1910  [93] 1  REU SSA  Z r.  1929  [79], którzy  okreś lili  stał e  sprę ż ystoś ci  oś rodka  izotropowego  o  fazach izotropowych.  VOI G T  okreś lił  m akroskopowe  stał e  sprę ż ystoś ci  w  postaci  ś rednich arytme- tycznych  ze  stał ych fazowych,  co  odpowiada  zał oż eniu jedn orodn ego  (stał ego) pola  od- kształ ceń  w  oś rodku  wielofazowym T E O R I A  O Ś R O D K ÓW  WI E LOF AZ OWYC H   245 tutaj  ,«,  x  oznaczają   stał e  sprę ż ystoś ci  postaciowej  i  obję toś ciowej,  v t   koncentrację   fazy  /, wskaź nik  V  oznacza  stał ą   Voigta.  R euss  podał   wyraż enia  w  postaci  ś rednich harm onicz- nych, co jest równ ozn aczn e z przyję ciem  jedn orodn ego pola naprę ż eń, (R  oznacza  stał ą   R eussa).  D zisiaj  wiemy  (wykazał   to  ś ciś le  dopiero  H I L L ,  [43]),  że  stał e Voigta  i  Reussa  nie  są   co prawda  ogólnymi  rozwią zan iam i,  n atom iast stanowią   ogranicze- n ia  stał ych  m akroskopowych ,  m ian owicie i  w  tym  sensie grają   waż ną   rolę  w teorii  sprę ż ystoś ci  oś rodków  wielofazowych,  uwypukloną specjalnymi  ich  ozn aczen iam i  (podan ym i  wyż ej). Okres  mię dzywojenny  ch arakteryzował   się   podejś ciem  podobn ym ,  polegają cym  na bezpoś redn im uś redn ian iu  róż n ych  wielkoś ci,  przy  czym  problem  skupiał   zainteresowanie gł ównie  m etalografów  i  krystalografów.  Z n an e  są   z  tego  okresu  prace  BOASA,  SCH M ID A, BRU G G EM AN A,  H U BE R A,  R O H L A  i  in .  [7],  [8],  [12],  [42],  [82].  N aturaln ą   kontynuacją   tych badań  są   uję cia  wariacyjne  (por.  p .  3). P roblem  stał ych m ateriał owych formuł ujemy  dzisiaj  ogólniej  jako  okreś lenie równania konstytutywnego  oś rodka,  gdy  zn an e  są   takież  równ an ia  dla  poszczególnych  faz.  N iech n a  przykł ad  w  zagadn ien iu  reologicznym  dla  oś rodka  o  fazach  izotropowych  L   bę dzie operatorem  liniowym  okreś lają cym  h istorię   n aprę ż en ia  a{t),  gdy  zadan a  jest  historia odkształ cenia  e(t),  zn an ym  dla  każ dej  fazy  i A Z adan ie polega  n a znalezieniu  operatora m akroskopowego  L  wią ż ą cego  odnoś ne  «makro»- - historie A or  =   L c, gdzie  kreska  poziom a  n ad  symbolem  oznacza  wynik  operacji  uś redn ian ia  (do  kwestii,  co p o d  tą   operacją   rozum iem y,  powrócim y  poniż ej).  Lokaln ość  zwią zków  fenomenologicz- nych  zachowujemy  rozpatrują c  oś rodek  n ieogran iczon y  i  pola  statystycznie  jedn orodn e. W  literaturze  spotyka  się   t u  poję cia  (nieprecyzyjne)  obję toś ci  reprezentatywnej  (np. [39]), duż ej  w  stosun ku  do  rozm iarów  ziaren ,  mał ej  w  porówn an iu  ze  zm ianam i  m akroskopo- wymi  pola,  po  której  przeprowadzam y  uś redn ian ie. J ak widać, okreś lan ie wł asnoś ci m akroskopowych  oś rodka zwią zane jest z wyznaczaniem wartoś ci  oczekiwanych  (przecię tnych). P roblem em szerszym,  ogólniejszym  zadaniem teorii, jest  okreś lenie  wszelkich  ch arakterystyk  probabilistycznych  pól  losowych  (np. naprę ż enia i  odkształ cenia) w  postaci  n p .  funkcji  korelacyjnych  lub  (wielowymiarowych)  rozkł adów prawdopodobień stwa  dowoln ego  rzę du.  N a  takiej  podstawie  m oż na  rozpatrywać  szereg zagadn ień  specjalnych,  ja k  n p .  tzw.  problem  skali  (m.in.  zależ ność  fluktuacji  wielkoś ci uś redn ian ych  od  rozm iarów  obszaru  uś redn ian ia),  problem  wartoś ci  ekstremalnych  (np. rozkł ady  prawdopodobień stwa  pewnych  wielkoś ci  ekstremalnych  w  okreś lonej  obję toś ci), tworzenie nowych  stał ych m ateriał owych  (n p. zwią zanych  z  energią   odkształ cenia, z  funk- 246  C z.  E I M E R cjami  wytę ż enia  lub  opisują cych  fluktuację )  i  in.  P raktyczn e  znaczenie  naszkicowanej problem atyki jest  oczywiste. Oddzielny  kierunek  rozwoju  zwią zany  jest  z  zagadnieniem  brzegowym;  uzyskan o  t u nowe  wyniki  o  charakterze  poznawczym.  W  szczególnoś ci  okazuje  się ,  że  m akroskopowy tensor  sprę ż ystoś ci  zależ ny  jest  od  poł oż en ia,  m im o  że  geom etria  wewnę trzna  oś rodka opisuje  się   polem  stochastycznie  jedn orodn ym —  pojawia  się   zatem  efekt  brzegowy; w konsekwencji  ciał o jest  sprę ż yś cie  (m akroskopowo)  n iejedn orodn e.  W  ogólnoś ci  wystę - puje  również  zależ ność  od pola  obcią ż enia —  tensor  sprę ż ystoś ci  przekształ ca się   w  opera- tor  sprę ż ystoś ci  i  problem staje  się   n ielokaln y;  tym  samym  okreś lenie  «stał e m ateriał owe» może  być  tylko  luź no rozum ian e. Teoria  oś rodków  wielofazowych  obejmuje  róż ne  problem y  fizyczne,  w  zależ noś ci  od typu  równania  (operatora) i  rzę du  pola  ten sorowego;  dla  ilustracji  wym ienim y: —  w  zakresie  równ ań  eliptycznych:  problem  stał ej  dielektrycznej  i  przen ikaln oś ci magnetycznej; problem  tensora sprę ż ystoś ci;  zagadnienia ze ź ródł ami dystorsji,  n p . m akro- skopowy  współ czynnik  rozszerzalnoś ci  cieplnej; —  w  zakresie  równ ań parabolicznych:  wyznaczenie  stał ych  dyfuzji,  stał ych  przewod- nictwa  cieplnego,  opornoś ci  elektrycznej;  charakterystyki  róż n orodn ych  pól  przepł ywu; —  w  zakresie  równ ań  hiperbolicznych bogata  problem atyka  propagacji  fal  w  oś rodku wielofazowym:  okreś lenie  charakterystyk  dyspersji,  dyfrakcji,  tł um ien ia,  polaryzacji, rozkł adu  widmowego  fal;  problem atyka  fal  powierzchniowych. Ogólnie  m oż na powiedzieć,  że  w  zasadzie  każ de  zagadnienie  fizyki  oś rodków  cią gł ych ma swojego  reprezentanta w  zakresie  oś rodków  stochastycznych  wielofazowych. 3. Metody matematyczne P ostę py teorii oś rodków  wielofazowych  zależą   być  może w  wię kszym  stopn iu  od  rozwo- ju  metod matematycznych, aniż eli  od  typu  zagadn ien ia  fizycznego. W  obecnej  chwili  dominują   dwie  m etody,  wariacyjna  i  probabilistyczn a,  przy  czym wię kszość  prac korzysta  z uję cia  wariacyjnego i  ogranicza  się   do  rozwią zań  przybliż onych. Kierunek  ten  moż na  scharakteryzować  jako  poszukiwan e  odpowiedzi  n a  pyt an ie:  co m oż na  powiedzieć  o  wł asnoś ciach  m akroskopowych  oś rodka,  gdy  zn an a jest  tylko  kon- centracja  faz?  Odpowiedź  jest  taka,  że  poszukiwanie  wielkoś ci  m oż na  zam kn ą ć  w  odpo- wiednie  obustron n e nierównoś ci  i  postę p  polega  w  pierwszym  rzę dzie n a zacieś nianiu  tych ostatnich.  Pomijają c  odosobn ion e  przypadki,  gdy  tą   drogą   m oż na  dojść  do  rozwią zan ia ś cisł ego, istnieją   okreś lone  «granice»  owego  zacieś niania,  których  przekroczyć  nie  m oż na bez  dokł adniejszych  informacji  o geometrii  wewnę trznej.  W  szeregu  przypadków  udał o  się osią gnąć  te  «granice»,  tj.  wykazać,  że  przy  danej  wył ą cznie  koncentracji  faz  nie  istnieje przybliż enie  lepsze  od  uzyskanego.  Kierun ek  ten  m a  szczególne  znaczenie  praktyczn e, inż ynierskie,  gdyż  koncentracja  faz  jest  zwykle  wielkoś cią   znaną ,  a  koń cowe  formuł y sprowadzają   się   do  pewnych  wyraż eń  algebraicznych. Kierun ek  probabilistyczny  zakł ada  znajomość  geom etrii  wewnę trznej  z  dowolną   do- kł adnoś cią   w  sensie  opisu pola  losowego  m etodam i probabilistycznym i.  U zyskan ie  takiego opisu  drogą   eksperymentalną   jest  n a  ogół   dość  pracoch ł on n e  i  wymaga  uż ycia  korelato- rów  mechanicznych. Wyniki  (zwykle  w  postaci  pewnych  szeregów  cał kowych)  wymagają , przy  przejś ciu  do  obliczeń  numerycznych,  zastosowan ia  m aszyn  cyfrowych.  N at o m iast T E O R I A  O Ś R O D K ÓW  WI E LOF AZ OWYC H   247 tą   drogą   uzyskuje  się  rozwią zan ie  ś cisłe i m oż na zbudować  zamknię tą   teorię  zagadnienia. Stosown ie  do  sposobu  opisu  p o la  losowego  m oż na  wyróż nić  tu  trzy  gł ówne  m etody: m etodę  funkcji  korelacyjnych,  m etodę   analizy  harmonicznej,  oraz  zastosowanie  wielowy- m iarowych  rozkł adów  prawdopodobień stwa,  ogólniej,  funkcjonał ów  prawdopodobień stwa i  funkcjonał ów  charakterystyczn ych.  N iem al  cał a  uwaga,  ja k  dotą d,  koncentruje  się   na uję ciu  korelacyjnym,  najbardziej  bezpoś redn im. Z  uwagi  n a znaczenie obu uję ć  (wariacyjnego  i  korelacyjnego)  omówimy je dokł adniej w  oddzielnych pu n kt ach , obecn ie zaś wspom nim y jeszcze  o dwóch  metodach  specjalnych mają cych  zastosowan ie  do oś rodków  o uproszczonej  geometrii wewnę trznej. P ierwsza  z  n ich  obejmuje  teorię  zawiesin  rzadkich  (por.  definicję   w p . 1). Jeś li  znane jest  rozwią zanie  dla jedn ej  inkluzji  okreś lonej  formy  w  oś rodku  macierzystym  nieograni- czonym,  to rozwią zanie  dla  zawiesiny  otrzymujemy  przez  prostą   superpozycję   skutków. M a  ona  zwykle  postać  (na przykł adzie współ czynnika  sprę ż ystoś ci  obję toś ciowej) I gdzie  xM  oznacza  stał ą   o ś ro d ka  macierzystego,  aL pewną   stał ą   bezwymiarową   zależ ną od  wł asnoś ci  sprę ż ystych  oś rodka  macierzystego  i  inkluzji  oraz  od  kształ tu tej  ostatniej (pozostał e  ozn aczen ia,  ja k  w  poprzedn ich  wzorach).  D obre  przybliż enia  uzyskuje  się przy  kon cen tracjach  rzę du ^ v t   ^  2%,  przy  czym  rozwią zania  ograniczają   się  w  zasadzie d o  inkluzji  kulistych  i  elipsoidaln ych. P rost ot a  zał oż eń  geometrycznych  pozwolił a  rozszerzyć  krą g  zagadnień  fizycznych i  w  rzeczy  samej  wię kszość  rozwią zań  dotyczy  zawiesin  ciał a  stał ego w cieczy.  Przytoczy- liś my  już  rozwią zan ie  EI N STEI N A  [26] dla  ukł adu  ciecz  lepka- inkluzje  kuliste  sztywne. Tenże  przypadek  dla inkluzji  elipsoidalnych  an alizował   JEFFREY  [28]; dla inkluzji  lepkich sferycznych  z uwzglę dnieniem  n apię cia powierzchniowego  TAYLOR  [90], przy  dodatkowym uwzglę dnieniu  tarcia i poś lizgu  OLD R OYD   [75], dla inkluzji  sferycznych  sprę ż ystych  F R Ó H - LICH   i  SACK  [31].  D la  o ś ro d ka  macierzystego  sprę ż ystego  znane  są   wczesne  prace BRU G G EM AN A  [12] i  D E WE YA  [22]; dla  inkluzji  elipsoidalnych  podstawowe  rozwią zania po dał   ESH ELBY  [27]; rozwią zan ie  dla  pustek  sferycznych  przedstawił   M ACKEN Z IE [68], dla  inkluzji  sztywnych  sferycznych  H ASH I N   [32].  Wart o  zauważ yć,  że niektóre  rozwią za- n ia  wynikają   z in n ych, ja ko  ich szczególne  przypadki.  Rozwój  tej drogi  poszukiwań  pro- wadził   do  uwzglę dnienia  w  mniej  lub  bardziej  ś cisły  sposób  wzajemnego  oddział ywania inkluzji,  n iektóre  uję cia  mają   ch arakter  pół doś wiadczaln y. D rugie  stosowan e  czę sto  zał oż enie  upraszczają ce  polega  na  tym, że  co  prawda nie «ograniczamy»  w  niczym  konfiguracji  geometrycznej  oś rodka,  lecz  za  to  przyjmujemy, że  wł asnoś ci  (n p. sprę ż yste)  faz  róż nią   się   m ał o ,  tj.  róż nice  są   n a poziomie  fluktuacji. Tutaj  z  powodzen iem  znajdują   zastosowanie  m etody  perturbacyjne,  wykorzystywane ch ę tn ie  zwł aszcza  w  zagadn ien iu  falowym,  z  uwagi  n a  trudn oś ci  pojawiają ce  się   przy ś ciś lejszych  m etodach  (por.  M OLYN E U X  [71],  BERAN   [1],  SOBCZYK  [86]). 4.  U ję cie  wariacyjne U ję cie  wariacyjn e  (scharakteryzowan e  w  p .  3) w  zastosowan iu  do  problem u  sprę ż y- stoś ci, n a którym  zilustrujemy  koncepcję   rozwią zania,  polega  n a wykorzystaniu  twierdzeń 248  Ct.  EIMER o  energii  potencjalnej  i  energii  dodatkowej  (komplementarnej)  teorii  sprę ż ystoś ci.  Roz- waż my  dla  przykł adu  pierwsze  zagadnienie  brzegowe  i  ograniczmy  (peł ną)  energię  od- kształ cenia  E,  nastę pują cymi  nierównoś ciami Jo*(2e 0 So*)dV  <  2 £ < Je*Ce*dV. Prawa  strona  nierównoś ci  wynika  z  twierdzenia  o  energii  potencjalnej,  lewa —  z  twier- dzenia o energi  dodatkowej;  C i  S  oznaczają  kolejno  tensor  sprę ż ystoś ci  i  tensor odkształ - calnoś ci;  E* jest  polem  odkształ ceń wirtualnych  (odpowiednio  gł adkim) zgodnych  z prze- mieszczeniami  na  brzegu,  zaś  o*  dowolnym  zrównoważ onym  polem  naprę ż eń  i  £ 0  dowol- nym,  zgodnym z warunkami brzegowymi,  polem odkształ ceń (notacja jest absolutna i może być interpretowana w znany sposób  macierzowo- wektorowy).  Weź my  na przykł ad  oś rodek dwufazowy  o fazach  izotropowych  i jedn orodn e  pole  odkształ ceń  wirtualnych.  Ponieważ 2E  =   e C e , gdyż energia  odpowiada  okreś lonym  przemieszczeniom na brzegu,  otrzym am y na  podstawie  prawej  strony  nierównoś ci eC e  sC  v 1 eC 1 e- {- v 2 eC 1 e t a  stąd Oznacza to, że macierz w  nawiasach jest  dodatnio okreś lona  (ś ciś lej  pół okreś lona), a  stąd otrzymuje  się  szereg  nierównoś ci  obejmują cych  skł adowe  tensora  sprę ż ystoś ci  (korzysta- jąc  n p.  z twierdzenia  o dodatnioś ci minorów  gł ównych). W  taki  sposób  moż na  udowodnić (i  jednocześ nie  uogólnić)  nierównoś ci  Voigta  i  Reussa. Przybliż enie  to jest jeszcze zbyt grube. W celu zacieś nienia nierównoś ci  H ASH IN  i  SH TRIK- MAN   [38] oraz  H I L L  [45] podali  bardziej  rozwinię te  twierdzenia  wariacyjne,  w  których  po- awiają  się  poję cia  tensora  polaryzacji  naprę ż enia  T i  odkształ cenia yj  grają ce  waż ną  rolę w  cał ej  teorii  oś rodków  wielofazowych.  Są  one  zdefiniowane  nastę pują cymi  równoś ciami T  =   ( C - C „ ) e,  n  =   (S 0 - S)o, gdzie  C o , S o  oznaczają  tensory  sprę ż ystoś ci  i  odkształ calnoś ci  dla  oś rodka  odniesienia, za  który  moż na  przyjąć  dowolny  oś rodek  (np.  o  wł asnoś ciach  sprę ż ystych  jednej  z  faz izotropowych lub  o ś rednini tensorze sprę ż ystoś ci,  w  sensie ś redniej  arytmetycznej).  Wpro- wadzenie  tensorów  polaryzacji  prowadzi  do  zastą pienia  oś rodka  niejednorodnego  jedno- rodnym  (mianowicie  oś rodkiem  odniesienia)  obcią ż onym  polem  odnoś nego  tensora  pola- ryzacji. Przytoczmy  obecnie  dla  przykł adu  jedno  z  twierdzeń  H ashina- Shtrikmana- H illa  dla " pierwszego  zagadnienia  brzegowego: 2(E0- E) >   f gdzie  E o   jest  energią  oś rodka  odniesienia  dla  zadanych  warunków  brzegowych,  zaś  T * oznacza wirtualne  pole  tensora polaryzacji  naprę ż enia  (odpowiednio  gł adkie). D alszy  ciąg rozwią zania  polega  n a przyję ciu  tego  pola  w  postaci  pola  fazami  jednorodnego  (tj.  obsza- T E O R I A  O Ś R O D K ÓW  WI E LOF AZ OWYC H   249' ram i  stał ego,  lecz  w  ogólnoś ci  róż n ego  dla  kolejnych  faz  izotropowych),  a  n astę pn ie  n a doborze  (z  warun ku  ekstrem um )  optym alnego  ukł adu  wielkoś ci  xf  dla  poszczególnych faz.  D la  przykł adu podam y  rozwią zanie  dla  m oduł u  obję toś ciowego,  dla  oś rodka  dwufa- zowego 1 1 "»1 i 1  - "l 1 3»>i 3"2 Wyraż enia  tego  typu  wyznaczono  dla  wielu  kon kretn ych  przypadków  i  dla  róż nych  sta- ł ych  sprę ż ystoś ci  (a  także  in n ych  wł asnoś ci  fizycznych).  Wyniki  przedstawia  się   zwykle n a  wykresach  w  zależ noś ci  od  kon cen tracji  faz;  krzywe  typu  x^ \   «( 2 )  wydzielają   obszar, w  którym  musi  się   mieś cić  poszukiwan a  wielkość  m akroskopowa  (x). Aby  un aoczn ić  zakres  poszukiwań  podam y  n iektóre  wyniki.  P AU L  [76]'  wyznaczył ograniczenia  dla  m oduł u  Yo u n ga;  analizę   oś rodków  dwufazowych  przeprowadził   H I L L [44],  [48];  oś rodki  zbrojon e  wł ókn am i  (mają ce  duże  znaczenie  techniczne)  analizowali H ASH I N   [35],  H I L L  [46];  twierdzen ia  energetyczne  w  uję ciu  klasycznym  stosowali  BERAN i  M OLYN EU X  [4].  P ewną   m odyfikację   m etody  przedstawił   WALP OLE  [94];  rozszerzenie ba d a ń  n a  oś rodki  lepkosprę ż yste  przedstawili  ROSC OE  [80],  CH RISTEN SEN   [19];  wł asnoś ci zawiesin  z  zastosowan iem  m et od  harm on iczn ych  analizowali  RU BEN F ELD  i  KELLER  [83]; rozwią zania  dla  zagadn ien ia  rozszerzaln oś ci  cieplnej  podali  ROSEN   i  H ASH I N   [81]  oraz LE WI N   [60];  problem  lepkoś ci  cieczy  analizował   H ASH I N   [34];  zastosowanie  metody  dla polikryształ u  przedstawili  H ASH I N   i  SH TRIKM AN   [39].  N ie  podajemy  tu  dość  obszerniej literatury  w  zakresie  stał ej  dielektrycznej  i  ograniczam y  się   do  prac  BERAN A  [2] i  BROWN A [10]  z  uwagi  n a  wprowadzen ie  elementów  statystycznego  opisu  geometrii  wewnę trznej; wiele  rezultatów  zebrał   w  swej  ksią ż ce  BERAN   [1]. D alszy  rozwój  m etod  przybliż on ych  zwią zany  bę dzie  niewą tpliwie  z  rozszerzeniem zakresu  zał oż eń  o  oś rodku  poza  koncentrację   faz,  tj.  uwzglę dnieniem  dalszych  informacji o  geom etrii  wewnę trznej,  co  pozwoli  n a  dalsze  zacieś nienie  uzyskiwanych  nierównoś ci. G ł ówny  (aczkolwiek  nie jedyn y)  n u rt  poszukiwań  wią że  się   z  rozwojem  metod  probabili- stycznych. 5. Uję cie  korelacyjne Z  przyczyn  om awian ych  powyż ej  należy  przewidywać,  że  uję cie  statystyczne  bę dzie okreś lało  w  przyszł oś ci  gł ówny  kierun ek  poszukiwań ,  przy  czym  postę py  bę dą   zwią zane z  rozwojem  teorii  operatorów  i  ró wn ań  stochastycznych. D la  wprowadzen ia  w  t o  zagadn ien ie  przyjmijmy,  że  mamy  ogólnie  operator róż nicz- kowy  liniowy  rzę du  drugiego n  - •   V  d 2  .  V ,  S 250  C z.  E I M E R i  że  równanie  rozważ anego  problem u  fizycznego  m a  postać D•  9£, jeś li  r(co)[x] jest  uogólnioną  zmienną  losową  z wartoś ciami  w  $E,  dla  każ dego  x  e  X.  Jeś li operator jest  liniowy  ograniczony  to  mówimy  o  endom orfizm ie  losowym. N ie  kontynuując  tych  abstrakcyjnych  rozważ ań  wyjaś nimy  t o k  rozwią zania  uż ywając «ję zyka  deterministycznego))  i  ograniczając  się  n a  razie  do  przypadku  (1).  U ś redn iając obustronnie  równanie  problem u  otrzymujemy  (uwzglę dniają c,  że  D jest  deterministyczny) Dq>  = / . Jest  to  równ an ie  (w  którym  wszystkie elementy  są  deterministyczne) na-  ś rednią  funkcję  y. Chcąc  wyznaczyć  funkcję  m om en tu  korelacyjnego  wypisujemy  równ an ie  dwa  razy  dla róż nych  argum entów  i  mnoż ymy  stron am i =f(x t )f(x 2 ), TEORI A  OŚ ROD KÓW  WIELOFAZOWYCH   251 po  czym  znowu  uś redn iamy =   , w  czym  nawiasy  <  >  oznaczają  operację  uś redn ian ia,  a ZX2) jest  skrótowym  zapisem  opera- ratora  I V  rzę du  dział ają cego  n a  funkcję  argum en tów  Oci.Xj);  otrzymaliś my  więc  rów- n an ie  I V  rzę du  n a  funkcję  korelacyjną  (niescentrowaną)  cpicp 2   =  -   P ostę powanie to  m oż na  kon tyn uować  w  sposób  oczywisty,  otrzymując  równ an ia  (deterministyczne) n a  funkcje  korelacyjne  dowoln ego  rzę du,  co  rozwią zuje  problem . Rozwią zanie  przedstawia  się jeszcze  proś ciej, jeś li podan ie funkcji  G reena dla problem u deterministycznego  n ie  n astrę cza  t ru dn oś ci;  wówczas cp  =  G*f, gdzie  G  jest  operatorem  cał kowym  z  funkcją  G reen a ja ko  ją drem.  U ś redniając  kolejno, w  sposób  identyczny  ja k  poprzedn io,  otrzymujemy  od  razu  w  postaci  jawnej  wyraż enia n a  poszukiwane  funkcje  korelacyjn e: itd. P rzechodząc do  operatorów  stochastycznych  [przypadek  (2)]  i  do  teorii  oś rodków  wie- lofazowych  n apotykam y  t ru d n o ść  wynikają cą  z  niem oż noś ci  bezpoś redniego  uś rednia- n ian ia  lewej  strony  równ an ia  (gdyż   ̂   Dq>).  Widać  stą d,  że  poż ą dane  był oby  spro- wadzenie zagadnienia  do obcią ż enia  oś rodka jednorodnego (któremu odpowiada  operator D deterministyczny)  jakim ś  polem  losowym.  Jest  t o , jak  widzieliś my  w  p.  4,  moż liwe,  przy czym  polem  tym jest  pole  ten sora  polaryzacji  T.  N p .  dla  zagadnienia  Lamego  otrzymuje się  równ an ie s  Z , o«+ divT  =   0, gdzie  L o   jest  operatorem  Lam ego  dla  oś rodka  odniesienia  (jednorodnego)  o  tensorze sprę ż ystoś ci  C o .  P rzech odząc  d o  przedstawienia  cał kowego  otrzymuje  się  nastę pują cy wynik  koń cowy,  rozpisan y  we  współ rzę dn ych  kartezjań skich r =   <^ ijki^ ki(x)+  J  A IJkl (x,  £)t kl {t;)dV, ami  =   —  ]xra.JG k(L ij)tiidS, Xi—i  i 1   r  ' który  zapisujemy  kró t ko  w  postaci  operatorowej e  =   AT , Tutaj  e jest  poszukiwan ym  polem  ten sora  odkształ cen ia,  G  tensorem  G reena  dla  zagad- n ien ia  Lamego,  /   wartoś cią  gł ówną  cał ki  (osobliwej),  § cał ką po  mał ej  sferze  o  prom ie- niu  r,  C  pun ktem  bież ą cym,  a,  ja k  widać,  pewn ym  stał ym  tensorem.  P onieważ  pole  x zależy  od  pola  c  otrzymujemy  równ an ie  cał kowe e  =   e o +AcE, 252  Cl.  E I M E R gdzie  e 0  jest  rozwią zaniem  dla  oś rodka  odniesienia  (jedn orodn ego)  oraz  c  =   C—Co. P odobn e  równanie  otrzymujemy  dla  pola  ten sora  polaryzacji.  Rozwijają c  te  równ an ia w  szeregi  typu  N eum an n a i  uś redniając  wyraz  po  wyrazie  otrzymujemy  nastę pują cy  wzór koń cowy  n a  m akroskopowy  tensor  sprę ż ystoś ci A  =   / + / I l 2 < c 2 > + / l 1 2 3 < c 2 c 3 > +   ... B  =  < c i > + A2 < c 1 c 2 > + / l 1 2 3 < c 1 C 2 C 3 > +  • •• gdzie  A 12 ,A 12   , ...  oznaczają   operatory  iterowane  p o  p u n kt ach  odpowiedn io  ^ I , A : 2 ; X I > * 2 J * 3  ;  itd. Jak  widać,  do  peł nego  rozwią zania  konieczna  jest  znajomość  funkcji  korelacyjnych dowolnego  rzę du,  ( O ,  < c :  c2> , . . . . Wyraż ają   się   on e dla  faz  izotropowych  n astę pują co: < c x c 2  ...  c „ >  =   ]>jPkx...k n(Xi,  • ••  x„)cklck2...  c k „ . Tutaj p ku „jt„ jest  prawdopodobień stwem  zdarzen ia  polegają cego  n a  tym ,  że  w  ustalon ym zbiorze  pun któw  x it   . . . , x n   pun kt  x x   jest  poł oż ony w  fazie  k lt   p u n kt  x 2   w  fazie  k 2   itd., zaś  c kn   =   C k "~  C Q .  Widać  stą d  wyraź nie,  że  funkcje  korelacyjne  zależą   od  geom etrii wewnę trznej  oś rodka. Przy  naszkicowanym  rozwią zaniu  wył ania  się   oczywiś cie  szereg  kwestii  m atem atycz- nych,  n p. gł adkoś ci  funkcji,  zbież noś ci  szeregów  itp.  R ozwią zanie  powyż szego  typu,  przy zastosowaniu  tensora  polaryzacji,  został o podan e  przez  EIM ERA  [23], [25]. Wydaje  się ,  że prowadzi  on o  najszybciej  do  celu,  aczkolwiek  nie jest  jedyn ym  moż liwym.  U ogóln ien ie zał oż eń  matematycznych podał   TRZĘ SOWSKI  [92].'Rozpatruje  on  zagadnienie  w  kon tekś cie przestrzeni  Sobolewa  funkcji  róż niczkowalnych  w  sposób  uogóln ion y  i  doch odzi  d o wniosku,  że  wyniki  uzyskane  przy  silniejszych  zał oż eniach obowią zują   również,  gdy  ma- teriał   nie  zachowuje  się   jak  oś rodek  cią gły  w  stanie  równ owagi. Kierun ek  rozwoju  polegają cy  n a  ś cisł ym  rozwią zaniu  probabilistyczn ym  został   zapo- czą tkowany  przez  LIF SZYCA  i  R OZ E N Z WE I G A  [62],  1946.  R ównież  pionierską   rolę   odegrał y prace  BR OWN A  [10]  (problem  dielektryczny)  i  PRAG ERA  [78]  (problem  dyfuzji).  W  kon- tekś cie  pola  elektrycznego,  z  opisem  do  dwupun ktowych  funkcji  korelacyjnych  wł ą cznie problem  został   opracowany  przez  BERAN A  i  MOLYN ETJX  [4].  T eoria  polikryształ u  został a rozwinię ta  przez  KRÓN ERA  [55], [57]; warto  tu też wymienić  prace  H ERSH EYA  i  D AH LG R E N A [41]  oraz  KN EERA  [53].  Kierun ek  probabilistyczny  był   szeroko  rozwijany  przez  autorów radzieckich. Wymienić  tu  m oż na  prace  D ARIN SKIEG O i  SZERM IERG OWA  [21],  F O K I N A  i  SZ E R - MIERG OWA  [ 29] ,  ŁOM AKIN A [ 66] , BOŁOTIN A i  M OSKALEN KI [ 9] ,  C H OROSZ U N A  [ 18 ] ,  WO Ł K O WA i  KLI N SKI C H A  [98];  ta  ostatn ia  zajmuje  się   zwł aszcza  analizą   pól  losowych.  R ozwin ię cia n a  zagadnienia  brzegowe  i  oś rodki  lepkosprę ż yste  po dał   au t o r  niniejszego  szkicu  [24], [25].  Obszerną   dyskusję   cał oś ci zagadnienia  m oż na znaleźć  w  ksią ż ce  BERAN A  [1]. Aczkolwiek  zasadnicza  droga  rozwią zania  zagadn ień  liniowych  metodą   funkcji  kore- lacyjnych  jest już  dziś  dostatecznie jasn a,  to jedn ak  stosun kowo  niewiele  zrobion o w  zakre- sie zastosowań  teorii do  cał ej  masy  kon kretn ych zagadn ień . Wydaje  się , że n a  przeszkodzie takiej  «rozbndowie  wszerz»  popartej  pom iaram i  doś wiadczalnym i,  stoi  brak  odpowied- T E O R I A  O Ś R O D K ÓW  WI E LOF AZ OWYC H   253 n ich  m etod  takich  pom iarów,  zwł aszcza  korelatorów  mechanicznych  i  należ ał oby  ż yczyć sobie  wzmoż enia  wysił ków  w  tym  kierun ku. 6.  R zu t  oka  w  przyszł ość Powyż szy  szkic jest  daleki  od  kom pletn oś ci, gdyż  staraliś my  się   skoncentrować  uwagę n a  kluczowych  kierun kach rozwoju.  P ominę liś my szereg  m etod o mniejszym  zasię gu  takich, ja k  n p .  m etody  «self consistent))  i  «smearing- out»  po r.  H I L L  [48],  BU D IAN SKY  [14],  KERN ER [52],  a  także  m etody  funkcjonalne,  typu  stosowanych  w  kwantowej  teorii  pola.  Również pom in ę liś my  obszerną   problem atykę   dynamiczną   i  falową ,  gdyż  rozwija  się   on a  gł ównie w  kontekś cie  dyn am iki  statystycznej,  stanowią cej  oddzielną   dyscyplinę .  To  samo  doty- czy  zagadn ień  elektrostatyki  i  elektrodyn am iki;  interesują   one  w  mniejszym  stopniu  me- ch an ików. Wydaje  się , że rozszerzenie poszukiwań  n a zagadnienie/ a/ owe, w tym problema- tykę   elektrodynamiki,  wyznacza  jeden  z  kierun ków  rozwoju  teorii. N at o m iast  chcielibyś my  jeszcze  powiedzieć  kilka  sł ów  o  zagadnieniach  nieliniowych w  kon tekś cie  zjawisk  plastyczn oś ci.  Celem  jest  t u  okreś lenie  zachowania  się   materiał u polikrystalicznego  i  wielofazowego  przy  znanym  zachowaniu  poszczególnych  krystali- tów.  Wskutek  plastyczn ego  pł ynię cia  sieci  krystaliczne  ulegają   obrotom ,  co  zwykle  się pom ija,  pomijają c  tym  samym  efekt  an izotropii  generowanej  tymi  zjawiskami.  P odsta- wowe  prace  zawdzię czamy  t u  TAYLOROWI  [88].  (dyskusja  ogranicza się  do  sieci  kubicznych cen trowan ych)  oraz  [89]'  (zwią zek  n aprę ż en ia  z  odkształ cenia przy  obcią ż eniu  jednoosio- wym ).  Kluczowym  zagadn ien iem  jest  tu  okreś lenie  aktywnego  systemu  poś lizgu,  n p. za  pom ocą   odpowiedn ich  zasad  minimalizują cych  oraz  ustalenie  miejsca  poś lizgu.  Prze- glą dy  wcześ niejszych  p rac  m o ż na  znaleź ć  u  BISH OP A  i  H I L L A  [6]  oraz  COTTRELLA  [20]. Rozszerzenie  m etod  Taylora,  m .in .  n a  krystality  sprę ż ysto- plastyczne  przeprowadził   L I N [63],  PAYN E  [77]  i  in .  Wart o  zauważ yć,  że  zał oż en ia, z  uwagi  n a  stopień  trudn oś ci,  są   tu znacznie  bardziej  ogran iczon e  n iż  w  teorii  liniowej,  n p .  przyjmuje  się   jedn orodn e  pole odkształ ceń  cał kowitych.  W  in n ym  uję ciu  rozważa  się   krystalit  jako  kulę   izotropową   za- n urzon ą   w  oś rodku  sprę ż ystym  (BU D IAN SKY,  H ASH I N ,  SAN D ERS  [15]), w  czym  m oż na  od- n aleźć  podobień stwo  do  teorii  zawiesin  rzadkich,  a  n awet  z  uwzglę dnieniem  w  pewien sposób  oddział ywań  wzajemnych  inkluzji  (K R O N E R  [56]).  Z powodu  tych  upraszczają cych zał oż eń  teoria  plastyczn oś ci  polikryształ u  stoi  «na  pograniczu))  teorii  oś rodków  wielofa- zowych,  lecz  nie m a  powodów,  by  w  przyszł oś ci  n ie  m iał a  nią   być  w  peł ni  obję ta. I stotn e  rozszerzenie  i  pogł ę bien ie  teorii  oś rodków  wielofazowych  zarysowuje  się w  kon tekś cie  przejś cia  do  m ech an iki  nieliniowej  (geometrycznie),  ską d  dopiero  z  wł aś ci- wego  pu n kt u  widzenia  m oż na  ocenić  przybliż enie  liniowe,  jak  również  naszkicowaną problem atykę   plastyczn oś ci.  Okreś li  to  niewą tpliwie  drugi  istotny  kierunek  rozwoju. Szkic  niniejszy  nie  obejmuje  problem atyki  bad ań  eksperymentalnych  oś rodków  wielo- fazowych.  Są   one  prowadzon e  w  licznych  przodują cych  oś rodkach  naukowych  i  to  n a dużą   skalę ,  z  uwagi  n a  znaczenie  techniczne róż n ego  typu  m ateriał ów  «wzmocnionych», lecz wydają   się  biec torem równoległ ym , niezależ nym od rozwoju  teorii. O jednej  z przyczyn (trudn oś ci  ustalen ia  geom etrii  oś rodka)  wspomnieliś my  już  wyż ej.  Warto  zwrócić  uwagę n a  dwie,  obiecują ce  m etody  eksperym en taln e  (w  sensie  moż liwego  powią zania  z  teorią ), m ianowicie  analizy  strukturaln ej  (m etoda proszkowa  D ebye'a —  Scherrera  w m on och ro- 254  C z.  EIM ER matycznej  wią zce  prom ien i R oen tgen a) oraz analizy  widmowej  dla  oś rodków,  gdzie  dyspo- nujemy  dł ugoś ciami  fal  zbliż onymi  do  rozm iarów  ziaren . P rzyszł ość  powin n a  przynieść  ustalenie  zwią zków  (zrazu  korelacyjnych,  w  dalszej przyszł oś ci  być  może  opartych  n a  rozwią zaniach  teoretycznych)  mię dzy  param et ram i okreś lają cymi  warun ki  wytwarzania  m ateriał ów a  strukturą   (geometrią )  oś rodka.  Jest  t o , być  moż e, najbardziej  perspektywiczny  kierunek rozwoju,  który  pozwoli  w peł n i  opan ować problem  projektowania  m ateriał ów  o  poż ą dan ych  wł asnoś ciach. Literatura cytowana w tekś cie 1.  M .  J.  BERAN ,  Statistical  continuum theories, Wiley,  1968. 2.  M . J.  BERAN ,  Use  of  the  variational approach to  determine bounds for  the  effective permittivity  in random media, II nuovo  cim ento,  38  (1965),  n o  2. 3.  M .  J.  BERAN ,  J.  J.  M C C O Y,  T he  use  of  strain gradients theory for  analysis  of  random media, I n t .  J.  Sol. Struct.,  6,  (1970),  n o  9. 4.  M . J.  BERAN ,  J.  M OLYN EU X,  Statistical  properties  of  the  electric field  in  a  medium  with  small  random variations in permittivity,  II nuovo  cim ento,  30  (1963),  n o  6. 5.  M .  BEN - AM OZ,  T he effective thermal properties  of  two- phase solids, I n t. J. E n g.  Sci.,  8  (1970),  n o  1, 6.  J. F . W.  BISH OP ,  R . H I L L ,  A  theory of  a plastic  distortion of  a polycrystalline  aggregate under combined stresses, P hil.  M ag.,  42  (1951),  414. 7.  W.  BOAS, Zur  Berechnung des  T orsionsmoduls quasiisotroper  Vielkristalle  aus  den  Einkristallkonstanten, H elv.  P hys.  Acta, 8 (1935),  674. 8.  W.  BOAS, E.  SCH M ID , Zur  Berechnungphysikalischer Konstanten quasiisotroper Vielkristalle,  H elv.  P h ys Acta,  7  (1934),  628. 9.  B.  B.  EOJIOTH II,  B.  H .  MOCKAJIEH KO,  MaKpocKonuuecKue  xapamnepucmuKU cu/ tbuo  womponHux cmoxacmunecKux  Mamepua/ ioe,  I I poSn .  Hafle>KH.  B  CipoH T.  M e x o  KOH < Ł .3  BIIJILH IOC  1 9 6 8 J  C.  9 3 . 10.  W.  F .  BR O WN ,  Jr,  Solid  mixture permittivities;  Journ ,  C hem .  P hys.,  23  (1955),  n o  8. 11.  W.  F .  BR OWN   Jr., Dielectric constants, permeabilities' and  conductivities of  random media,  Sym p.  P hys. M ech.  R an dom  M edia,  P a,  Oct.  1964. 12.  D . A.  BRU G G EM AN ,  Die  elastischen Konstanten  der  quasiisotropen Mischkorper  aus  isotropen  Substan- zen,  An n .  P hys.,  29,  (1937),  160. 13.  B.  BU D IAN SKY,  On  the  elastic moduli of  some heterogeneous materials, J.  M ech.  P hys.  Solids,  13  (1965), n o.  4. 14.  B.  BU D IAN SKY,  N . F .  D O W,  R.  W.  PETERS,  R .  P .  SH EP H ER D , Experimental  studies  of  polyaxial  stress- strain  laws of plasticity,  P roc.  1st  U .S. N a t .  C ongr.  Appl.  M ech.,  1951, p .  503. 15.  B.  BU D IAN SKY,  Z . H ASH I N ,  J. L.  SAN D ERS,  T he  stress field  of  a  slipped  crystal  and  the  early plastic  be- havior of  polycrystalline  materials, Plasticity,  P roc.  2nd  Symp.  N aval  Struct.  M ech.,  P ergam on  P ress, N .  York  1960,  s.  239. 16.  B.  BU D IAN SKY,  W U   T AI  T E ,  T heoretical prediction  of  plastic  strains  of  poly crystals,  P ro c.  4t h  U S  N a t . Cong.  Appl.  M ech.,  1962,  s.  1175. 17.  B.  BOR G EL,  A.  J.  P ERRY,  W.  R.  SCH N EID ER,  On  the  theory  of  fibre  strengthening, J.  M ech.  P h ys.  Sol., 18  (1970),  n o  2. 18.  J I . I I .  Xopoin yH ,  PeojioeuuecKue  ceoiicmea  meepdux  men  co  cnynauHO pacnoAooicenuuMU  neodnopod- HocmHMU,  C 6.  jjT en jio Bt ie  HanpflHj  1968 K sS. TEORIA  OŚ RODKÓW  WIELOFAZOWYCH   255 22. J. M. D EWEY,  T he elastic constants  of  materials  loaded with non- rigid fillers, J. Appl.  Phys.,  18  (1947), 578. 23.  Cz. EIMER, Stresses in multiphase media, Arch.  Mech. Stos., 19 (1967), no 4 24.  Cz. EIMER,  T he boundary  effect  in multiphase  media, Arch.  Mech.  Stos., 20 (1968), no  1. 25.  Cz.  EIMER,  77ie viscoelasticity of multiphase media, Arch.  Mech.  Stos., 23 (1971), no 1. 26. A. EIN STEIN , Eine neue Bes'timmung  der Molekiildimensionen,  Ann. Phys.,  19  (1906), 289. 27. J. D . ESHELBY,  T he determination  of  the elastic field  of  an ellipsoidal  inclusion  and related problems, Proc. Roy. Soc. London  (A),  241  (1957),  376. 28.  G . B.JEF F REY,  T he motion of  ellipsoidal particles immersed in a viscous fluid, Proc. Roy. Soc.,  London (A),  102 (1923), 161. 29.  A. F .  O O K H I I ,  T . JX.  IIlEPMEProP,  K  paciemy  ynpyeux  .uobyjieu HeodHopodmix Mamepua/ toe,  M e x. nojiH Mep.,  1968,  N° 4. 30.  A. T .  OKH H ,  T . J\ .  I H E P M E P I - OP,  Buuucjieuue  ynpyzux  Modyjieu  uoMnosuauonubix  Mamepua/ ioe c ytemoM  MuoiouacmuuHux  e3auModeucmauu, >Kypn.  ITpHKJi.  M e x. T e x.  O H S . , 1969, N s  1. 31.  H . F ROH LICH , R. SACK,  T heory of the rheological properties of dispersions, Proc. Roy.  Soc. London (A), 185,  1946, s.  415. 32. Z . H ASH IN ,  T he moduli of  an  elastic solid reinforced  by  rigid particles',  Bull.  Res. Counc.  Israel,  5C 1955, s.  46. 33.  Z .  H ASH IN ,  T he moduli of  an  elastic solid containing spherical particles of another elastic material,  N on- - H om.  in Elast.  and  Piast.,  Symp.  I U TAM , Warszawa 1958. 34.  Z . H ASH IN ,  Bounds for  viscosity coefficients of fluid  mixtures by  variational  methods, IU TAM   Symp. 1962,  H aifa,  Pergamon  Press,  1964, s. 434. 35. Z . H ASH IN ,  On elastic behaviour  of fibre  reinforced  materials of  arbitrary transverse phase  geometry, J.  Mech. Phys.  Solids,  13 (1955), n o  3. 36. Z .  H ASH IN ,  T he inelastic inclusion problem, Intern. Journ. Eng. Sci., 7 (1969), n o 1. 37. Z .  H ASH IN ,  Complex moduli of  viscoelastic  composites  I.  General  theory and application  to paniculate composites, I n t. J. Sol.  Struct.,  6, 1970, n o 5; I I . Fiber reinforced materials, id. 6,1970, no 6. 38. Z . H ASH IN , S. SH TRIKMAN ,  On some variational principles in anisotropic and nonhomogeneous elasticity, J.  Mech. Phys.  Solids,  10 (1962), 395. 39.  Z . H ASH IN ,  S. SH TRIKMAN ,  A  variational approach  to the theory  of  the  elastic behaviour of polycrystals, J.  Mech. Phys.  Solids,  10 (1962), 343. 40.  Z .  H ASH IN ,  S. SH TRIKMAN ,  A  variational  approach  to  the theory of  the  elastic behaviour  of multiphase materials, J. M ech. P hys.  Solid,  11 (1963), n o 2. 41.  A. V. HERSHEY,  D AH LG REN ,  T he elasticity of an isotropic aggregate of anisotropic cubic crystals, J. Appl. Mech., 1954, s. 236. 42. A. H U BER,  E. SCHMTD,  Bestimmung der  elastischen Eigenschaften quasiisotroper Vielkristalle  durclt Mittelung, H elv.  Phys.  Acta,  7,1934, s. 620. 43.  R. H I LL, Report on theories of  the  elastic properties of composite media, British  I ron  and  Steel  Rese- arch  Association,  Rep.  P(19)62, 1962. 44.  R. H I LL,  Elastic properties  of  reinforced  solids;  some  theoretical  principles,  Journ.  Mech.  Phys. Solids,  11, 1963,  no 5. 45. R. H I LL,  N ew derivations  of  some elastic extremum principles,  Progress  in Applied  Mechanics,  the Prager  Anniv.  Vol., N . York- London  1963, s. 99. 46. R.  H I L L ,  T heory  of  mechanical properties  of  fibre  — strengthened  materials; I . Elastic  behaviour, Jour.  Mech.  Phys.  Solids,  12, 1964, n o 4.; U  Inelastic behaviour,  id., 12 1964, no 4; I I I Self— con- sistent model, id.  13, 1965,  no 4. 47. R.  H I LL,  Continuum micro- mechanics  of  elastoplastic polycrystals,  J. Mech.  Phys.  Solids,  13,  1965, n o  2. 48. R.  H I LL,  A  self- consistent  mechanics  of  composite  meterials, J. Mech.  Phys.  Solids,  13, 1965,  n o 4. 49. R. H I LL,  T he essential structure of  constitutive laws for  metal  composites and polycrystals,  J. Mech. Phys.  Sol., 15, 1967,  s. 79. 256  Ci.  EIMER i 50.  V.  KAFKA,  Der  Einfluss  der  mikroskapischen  Heterogenita't  auf  die elastisch-plastischen Verformungs- gesetze,  Z.A.M.M.,  46,  1966,  no.  8. 51.  H .  H.  KAUSCH­BLECKEN  VON  SCHMELING, Elastic properties of anisotropie heterogeneous materials, Journ.  Appl.  Physics,  38  (1967),  N o  11. 52.  E.  H .  KERNER, The elastic and thermoelastic properties of composite media,  Proc.  Phys.  Sol.  (B),  69 (1956),  808. 53.  G.  KNEER, Vber die Berechnung der Elastizitatsmoduln vielkristalliner Aggregate mit Textur,  Phys. Stat.  Sol.,  9  (1965),  825. 5 4 .  A .  I \  KOCTIOK, O cmamucmiiuecKou Modenu MUKpoiieodHopoduou cpedu,  Mexainma,  1965 ,  N°  1. 55.  E.  KRONER, Berechnung der elastischen Konstanten des Vielkristalls aus den Konstanten des Einkristalls, Zeitschr.  f.  Physik,'  151  (1958),  no  4. 56.  E.  KRONER, Zur plastischen Verformung des Vielkristalls, Asie.  Mctallurg.,  9  (1961),  155. 57.  E.  KRONER, Elastic moduli of perfectly disordered composite materials,  J.  Mech.  Phys.  Sol.,  15  (1967), 319. 58.  E.  KRONER,  B.  K.  DATTA,  D .  KESSEL, On the bounds of the shear modulus of macroscopically isotropic aggregates of cubic crystals,  J.  Mech.  Phys.  Solids,  14  (1966),  no  1. 59.  P.  V.  M e  LAUGHLIN  Jr,  S.  C.  BATTERMAN, Limit behavior of fibrous materials,  Int. J. Sol. S t r u c , 6  (1970), no  10. 60.  B .  M .  JIEBHHJ O Kos$$uijueHmax meMnepatnypHoio pautupeitujt,  M e x .  TBep.  T e n a ,  1967,  N°  1. 6 1 .  B. M .  JIEBHH, BapuauuoHuuu juemod e meopun snmoynpyzux KOMnosumubix me/t,  M e x .  T B e p .  T e n a , 1968,  Mi 2. 62.  H .  M .  Jliwiiibiq,  JI.  H .  Po3EHi^BEttr, K meopuu ynpyiux ceoucme no/iuKpucma/ijioe,  JKypn.  3 K C I I . T e o p .  O H 3 . ) 1 6 ( 1 9 4 6 ) 3  Na  1 1 . 63.  T.  H.  LiN, Analysis of elastic and plastic strains of a face-centred cubic crystal,  J.  Mech.  Phys.  Sol.,  5 (1954),  143. •64.  T.  H.  L I N , Slip and stress fields of a polycrystalline aggregate at different stages of loading,  J.  Mech. Phys.  S o l ,  12,  (1964), 391. 65.  T.  H.  L I N ,  M.  I T O , Theoretical plastic distortion of a polycrystalline aggregate under combined and reversed stresses,  J.  Mech.  Phys.  Solids,  13  (1965),  no  2. 6 6 .  B.  A.  JIOMAKHHJ  O de$opAiupoeaHuu MUKpoHeobnopobmix ynpyiux meji,  Ilpm­ui.  M e x . 3  29>  1965. 67;  B .  A.  JIOMAKHI­IJ CmamucmuuecKue 3adami Mexanwai meepdux deH3.  M e r .  u  M eiaiD i0Beflo 13  (1962), Hi 2. 98.  C . J\ .  BO J I K O B,  H . A.  K JI H H C K H X,  K  meopuu  ceoitcmsynpyiocmu  nojiuK- pucmaMoS}  <3>H3. M eT .  H   M e - TajuioBefl.,  10 (1965),  N»  1. 99.  T AI  T E  W U ,  T he effect  of  inclussion shape, on the elastic moduli of  a two- phase  material,  I n t .  J. Solids Struct.,  2  (1966),  n o  1. 100.  C. ZWEBEN , B. W. R OSE N , A statistical  theory of material strength with application to composite materials, J.  M ech.  P hys.  Sol., 18  (1970), n o 3. P  e 3  IO  M e TEOPHfl  M H OrO*A3H LI X  CPEJi; P aSoTa  HiweeT  O 63O P H Ł I H   xa p a r a e p .  H3JiOHmero 6  Mechanika  Teoretyczna 258  Cz.  EIMER Bon pocbi  H3Jio>KeHbi  B  npHJioiKeHHH   K  TeopHH   yn p yr o c r a  MH oroi|)a3H bix yiKHOCTH   H X  n pH JioKen irii.  OTMCTeHM   B03Mo>KHtie  HanpaBJieHHH pa3BHTHa  TeopH H , B *mcTH0CTH  B  oGnacTH  BOjraoBbix  3aflai3  TeopHH   njiacTH^HOcTH,  a  Taion e ee  CBH3H  c  (j)H3HK0- MexaHErqecKHM   npOH3Bo,n;cTBOM S u m m a r y TH EORY  OF   M U LTI- PH ASE M ED IA The  paper provides  a  survey  of  the present  state  and  basic  trends  of  the  theory.  F ollowing  topics  are dealt  with:  basic  definitions  (grain,  phase,  etc.), field  of  research  (in particular,  macroscopic  constitutive equations), fundamental  assumptions.  Apart  from  some  special  methods  (e.g.  dilute  suspensions,  fluctua- ting  inhomogeneities), main  attention is  focused  on  (1) variational  approach  (approximate  solutions,  clo- sing inequalities  for  effective  quantities),  (2) probabilistic  approach  (exact  solutions  in  the form  of  series according  to  correlation functions  of  increasing  order). Problems  are  mainly  tackled  in  the  context  of  the theory  of  elasticity,  other  fields  of  applications,  however,  being  also  pointed  out.  Some  possible  future trends  are  discussed,  especially  the wave problem,  theory  of  micro-  and  macro- plasticity,  relations  to  che- mical  physics  of  manufacturing  of  materials. INSTYTUT  PODSTAWOWYCH   PROBLEMÓW  TECHNIKI PAN Praca został a zł oż ona w Redakcji  dnia 31 paź dziernika  1971  r.