Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,10  (1972) O  ZŁOŻ ONYCH   MODELACH   WZMOCNIENIA PLASTYCZNEGO Z E N O N   M R Ó Z ,  CZ ESŁAW  G   O S S  (WARSZ AWA) 1. Wstę p W  niniejszej  pracy  rozpatrzym y  moż liwoś ci  opisu  wzmocnienia  plastycznego  metali przy  uwzglę dnieniu  efektów  an izotropii. N asze  rozważ an ia  dotyczyć  bę dą   mał ego zakresu odkształ ceń  (rzę du kilku  pro cen t ) , przy  którym  efekty  zm iany  struktury  wskutek  obrotów ziaren  i  tworzenia  się   m ikropę kn ięć  mogą   być  pom in ię te.  An izotropia  wzmocnienia  jest zatem  wynikiem  n aprę ż eń  resztkowych,  powstał ych  w  wyniku  niejednorodnoś ci  od- kształ ceń  plastycznych,  kon cen trują cych  się   gł ównie  wzdł uż  okreś lonych  pł aszczyzn poś lizgu.  W  jedn oosiowym  stan ie  n aprę ż en ia  uwidacznia  się   on a  jako  tzw.  efekt  Bau- schin gera;  w  zł oż on ym  stan ie  n aprę ż en ia  (dla teorii  opartej  n a  istnieniu  powierzchni  pla- stycznoś ci)  an izotropia  prowadzi  do  zm ian y  począ tkowej  powierzchni  pł ynię cia.  U wi- dacznia  się   to  kierun kową   zm ian ą   sztywnoś ci  elementu  p o  wstę pnym  odkształ ceniu pla- stycznym.  Z atem  gdy  chcemy  opisać  proces  deformacji  plastycznej  dla  zł oż onych  dróg obcią ż enia,  a  w  szczególnoś ci  dla  obcią ż eń  cyklicznych,  musimy  uwzglę dnić  efekty  anizo- tropii  wzmocnienia. P onieważ naszym  celem jest przedstawien ie i omówienie dostatecznie prostych zwią zków fizycznych,  tak  aby  m o ż na  był o  efektywnie  okreś lać  stany  naprę ż enia  lub  odkształ cenia dla  zł oż onych  procesów  deformacji,  n ie  bę dziemy  rozpatrywali  mechanizmów  dysloka- cyjnych  an i  procesów  zachodzą cych  w  pojedynczych  kryształ ach.  Rozpatrywany  m akro- element  ciał a  potraktujem y  ja ko  zbiór  podelem en tów  o  jedn orodn ych  lecz  róż nych  sta- n ach  n aprę ż en ia  lub  odkształ cen ia  i  róż n ych  wł asnoś ciach  plastycznych.  D o  podobn ego opisu wzmocnienia dojdziemy  również przyjmują c  pewne hipotezy o zmianie pola moduł ów wzmocnienia  lub  o  zł oż on ym ch arakterze  zm iany  m ikron aprę ż eń  resztkowych.  Przedsta- wimy  opis  poszczególnych  m odeli  oraz  sposoby  cał kowan ia  róż niczkowych  równ ań pł y- nię cia wzdł uż zadan ych trajektorii  n aprę ż en ia czy  odkształ cenia. Ograniczymy  się   do szcze- gół owego  rozpatrzen ia pł askiego  stan u n aprę ż en ia, gdyż wię kszość badań  doś wiadczalnych przeprowadza  się   w  tym  stan ie  n a  próbkach  pł askich  lub  rurkowych;  dlatego  też  przed- stawiona  an aliza  m oże  być  przydatn a  przy  opracowywaniu  program ów  bad ań  doś wiad- czalnych  oraz  przy  in terpretacji  ich  wyników.  W  rozdziale  4  przedstawimy  wyniki  obli- czeń  porównawczych  dla  kilku  m odeli  wzm ocnienia  i  dla  trzech  zł oż onych  program ów obcią ż enia. 260 Z .  M R Ó Z ,  C Z .  G O S S 2.  P rost e  m odele  wzmocnienia Ciał o  idealnie  plastyczne  okreś lone  jest  warunkiem  plastycznoś ci  zależ nym  tylko  od stanu  n aprę ż en ia,/  = / (ffy)  =  0.  W  czasie  deformacji  warunek  ten  nie  ulega  zm ian ie; geometrycznie  oznacza  to, że  w  przestrzeni  naprę ż eń  powierzchnia  oddzielają ca  stany sprę ż yste  od  plastycznych  jest  ustalona.  W  przypadku  jednoosiowego  stanu  naprę ż enia otrzymamy  krzywą   odkształ cenia przedstawioną   na rys. la. Rys.  la Rys.  lb Bardziej  realistyczny  opis  otrzymamy,  zakł adają c, że (2.1)  /   =  / ( (r  =   1, 2,  ... ,iV) i  ten soram i  drugiego r zę d ua $ ( s  =  1, 2, . . . , M ) . N iech warun ek  plastycznoś ci  bę dzie  funkcją   stan u  n aprę ż en ia, pewnej  liczby  param etrów wewnę trznych,  oraz tem peratury 9, t o  znaczy (3- 1)  / ( 0 ) f e  «( s),  y( r \   6) =  0. P rzy  odkształ caniu  m ateriał u w  zakresie  sprę ż ystym  param etry  wewnę trznie  n ie  ulegają zmianie, t o  znaczy (3.2)  de* =  0,  rfa< J>  =   0,  dy^   =   0,  gdy  f°  <  0. O  ZŁOŻ ON YCH   MODELACH   WZMOCN IEN IA  PLASTYCZNEGO  265 Zakł adamy,  że  oprócz  zwią zku  skalarnego  (3.1), parametry  wewnę trzne  speł niają   K+L dodatkowych  zwią zków  skalarnych,  okreś lają cych  obszary wewnę trznej  nieodwracalnoś ci / i«5fe«W, yW»0)  =  (),  q =  l,2,...,K, ( 3 3 )   f}"K$,* w ,V ir \ 6)  = 0,  »- 1, 2, ..., !» przy czym pierwsza grupa równoś ci  skalarnych  (3.3)  odnosi  się   do  parametrów  a( s),  zaś druga  do parametrów y( r ) .  N a przykł ad, gdy  zachodzi równość / j 9 ' =  0, to parametr  ą (4) ulega  zmianie  w  czasie  procesu  wedł ug  okreś lonego  prawa;  natomiast,  gdy/ a ( 9)  <  0, to Ja(«> =   0,  podczas  gdy  pozostał e parametry  mogą   się   zmieniać. Zał oż ymy nastę pnie, że przyrost parametrów wewnę trznych jest liniowo zależ ny od przyrostu  odkształ ceń plastycz- nych, to znaczy d*\ f =  A\ HMi  =  bftdk  gdy  /J5> =  0, ( 1 4 )   da\ f  =  0,  gdy  / ^ < 0 oraz Jy<0 =   Clpdefj =  d^ dX,  gdy  /„<'>  =   0, ( 3 - 5)   dy^   =  Q,  gdy  / / r > < 0 , gdzie A\ jli, b\ f,  C\ ?, d^   są  funkcjami  naprę ż enia oraz  parametrów  stanu.  Wykorzystują c prawo  pł ynię cia  (2.6)  moż emy  napisać (3.5a)  A\ %niP = bft,  0pn[P  =  d". N a  ogół   ilość  zwią zków  skalarnych  / a ( s )  =   0  i / y ( v ) =   0  może  być mniejsza  aniż eli  ilość parametrów wewnę trznych. Zał óż my, że speł niony jest warunek plastycznoś ci  (3.1) oraz niektóre z warunków  (3.3); odpowiadają ce  tym  warunkom  parametry  wewnę trzne  ulegają   zatem  zmianie  w  czasie procesu  odkształ cenia. Róż niczkując  równania  (3.1) i  (3.3)  i  rozpatrują c  jedynie proces izotermiczny,  otrzymujemy (3.6a) M  N J = 1  ~  r- i  r Wykorzystują c  prawo  pł ynię cia (2.6) i zwią zki  (3.4), (3.5) moż emy równoś ci (3.6a) przed- stawić w postaci M  N 5 ̂Z < r> '8v j= l  "  r =  l  ' (3- 6b) M  N . A i przy czym sumowanie dotyczy tych s i r, dla których speł nione są  równoś ci (3.3). 266  Z.  M R Ó Z ,  C Z .  G OSS Zwią zki  (3.6)  bę dziemy  nazywali  równaniami  zgodnoś ci.  N akł adają   one  ograniczenia na  współ czynniki  K, b{s),  dw,  wystę pują ce  we  wzorach  (2.6),  (3.4) i  (3.5). M oż emy  również  alternatywnie  zał oż yć, że  równoś ci  skalarne  (3.3)  okreś lają   obszary, w których  obowią zują   róż ne prawa  zmiennoś ci parametrów wewnę trznych.  Wtedy  zamiast (3.4)  moż emy  napisać d«W =lĄ pdX,  gdy  / i s )  =   0, ( 1 7 )   duff =  ftp < 0 i  podobne zależ noś ci  w  miejsce  zwią zków  (3.5). Ogólna  postać warunków  zgodnoś ci  (3.6) nie ulega  zmianie. U kł ad  równań  (2.6),  (3.1),  (3.3- 3.5),  (3.6)  przedstawia  matematyczną   strukturę   teorii plastycznoś ci przy  istnieniu  wię kszej  iloś ci  parametrów  stanu.  Wychodzą c  z  tych  równań, moż emy  prześ ledzić  dowolny  proces  odkształ ceń  plastycznych,  gdyż  mają c  zadany  pro- gram  obcią ż enia  moż emy,  cał kują c  równania  przyrostowe,  okreś lić  zmiany  wielkoś ci makroskopowych  oraz parametrów wewnę trznych,  a tym samym  stan materiał u.  Otwartym problemem  pozostaje  okreś lenie  funkcji  materiał owych w  (2.6),  (3.4)  i  (3.5)  oraz  samych parametrów stanu. Poniż ej rozpatrzymy  kilka modeli wzmocnienia, dla  których param etry wewnę trzne  mają   prostą   interpretację   mechaniczną ,  zaś  stan  materiał u  opisany  jest  po- daniem  gę stoś ci  rozkł adu wielkoś ci  tensorowych  lub  skalarnych.  W  ogólnym  przypadku wybór  parametrów  wewnę trznych  powinien  opierać  się   o  statystyczny  opis  rozkł adu dyslokacji  i mikronaprę ż eń w  elemencie  makroskopowym. M o d e l  .1,  N iech parametram i stanu bę dzie n+l  wielkoś ci tensorowych  a\ j\   ..., oĉ P oraz n + 1 wielkoś ci  skalarnych  y( 0 ) ,  y ( 1 ) ,  ... y( n ) .  Warunek  plastycznoś ci  m a  postać (3.8)  '  ;  / ( 0 ) ( ? - a( 0 ) ) - / 0 )  =   0, zaś  równania  skalarne  okreś lają ce  obszary  nieodwracalnych  zmian param etrów  wewnę trz- nych wyrazimy  nastę pują co: przy  czym  dla  prostoty  zał oż ymy,  że  param etry  y( r )  są   stał e,  zaś  w  czasie  procesu  ulega zmianie jedynie  k+l  kolejnych  parametrów  =  0, o  ile  speł nione  są   równoś ci  (3.9).  Róż niczkując  zwią zki  skalarne  (3.8),  (3.9)  i  stosują c prawo  pł ynię cia  (2.5), otrzymamy  warunki  zgodnoś ci  w  postaci (3.11)  Zo =   §(0)- 7/ °>,  5 ( 1 ) - 6<0 )  =   g( 1 ) - 6( 1 ) ,  ...,»<*> .Ą t*-"  =  /»(*>.§<*>, gdzie  «/   =   «( 0 ) ,  «( 1 ) ,  . . . , n w  są   jednostkowymi  wektorami  normalnymi odpowiednio  do powierzchni  pł ynię cia  (3.8)  oraz  do  powierzchni  (3.9),  w  pun ktach  okreś lonych  stanem naprę ż enia  =   ...  a ( n )  =   0.  G dy '  O  ZŁ OŻ ON YCH   MODELACH   WZMOCN IEN IA  PLASTYCZNEGO  2 6 7 speł niony  jest  warun ek  plastycznoś ci  (3.8),  zmieniać  się  zaczyna  param etr  a ( 0 )  i m oduł styczny  krzywej  um ocn ien ia  okreś lony  jest  pierwszą  zależ noś cią  (3.11).  G dy z  kolei  speł - n ion y zostan ie pierwszy  warun ek  (3.9), zmieniać się  zacznie param etr a ( 1 ) i speł nione bę dą dwie  równoś ci  (3.11).  Przyjmują c,  że  param etr  6 ( 1 ) je st  zadany,  wartość  Z> (0)musi  ulec zm ianie,  aby speł niony  był   drugi  zwią zek  (3.11).  W szczególnym  przypadku, gdy ił 0)  = =   7i( 1 )  ... »( / t )  m am y  ft(0)  =   b(- 1) = bw.  Z atem  speł nienie  kolejnego  warun ku  (3.9), n p , :  / W =   o, prowadzi  do zm ian y  param etrów  Z> (£)  dla i =  0, 1, 2, . . . ,  / —I . M oż emy param et ro m bw  n adawać pewną  interpretację mechaniczną, rozpatrując model przedstawion y  n a rys 2a. Om awian y  on już był   przez  IWLEWA  [21]  i  PRAG ERA [10]  i jest uogólnieniem m odelu wprowadzon ego  przez  KAD ASZ EWIC Z A i  N OWOŻ YŁ OWA  [12].  Rozważ- ^ 0 ) -   -   - ds(1'>),  da.™ =  G^ \ deW - ds^ ),  da^   =   G < 2W2> , gdzie  G ( 0 ) , G ( 1 ) , G ( 2 ) oznaczają  sztywnoś ci  elementów sprę ż ystych.  Wykorzystując  warunki zgodnoś ci  w postaci (3.14)  n r dą  = n r d^ °\   n^   .da.™  =  nw- da^ \  «(2)- < %(1) =  «( 2)- %( 2) o raz równ an ia  (2.5), (3.12)i  (3.13) m oż emy otrzym ać zależ noś ci pomię dzy współ czynnikami i  K(1\   m ian owicie: (3.15) 268 Z.  M R Ó Z ,  C Z .  G OSS zaś  rugują c  wielkoś ci  dę S^ ,  dem,  otrzymujemy  ostatecznie  zależ noś ci  an alogiczn e  d o zwią zków  (3.10), mianowicie (3.16) ~ Równanie  powyż sze  m oż na  uogólnić  n a  dowolnie  dużą   ilość  speł nionych równ oś ci  (3.9), odpowiadają cych  uplastycznieniu  w  poszczególnych  elem entach. Stosują c  m odel  przedsta- wiony  na rys.  2a, nie musimy już  okreś lać param etrów  Z>(i) w  zwią zkach  (3.10), lecz jedyn ie znać  rozkł ad  wielkoś ci  skalarnych  y( i )  i  G ( I ) . b a Rys.  2b Rys. 2c Rysunek 2b przedstawia  odpowiadają cą   temu modelowi krzywą   um ocn ien ia, zaś  rys.  2c pokazuje  dwuwymiarową   reprezentacje  n a  pł aszczyź nie  sił ,  którą   m oż emy  utoż sam iać z  pł aszczyzną   n aprę ż eń  m akroskopowych.  R uch  poszczególnych  bloków  uwarun kowan y jest  speł nieniem odpowiednich warun ków  plastycznoś ci,  które przyjmujemy  w  postaci (3.17) =   0 , / ( i)  „  ( a( O)_ Warun ki  te odpowiadają   okrę gom  n a pł aszczyź nie  (Sx,  Sy). Wektory  00 2 jG w ,  O OO 0 / G w  przedstawiają   wzglę dne  przemieszczenia  bloków;  zatem cał kowite przemieszcze- nie  bloku  O  odpowiadają ce  odkształ ceniu  plastycznem u  wyraża  się   sumą   OO 2 / G m + - ł - OOJGW +OOo/ GW .  Cał kowitą   sił ę  dział ają cą   n a  blok  O  przedstawia  wektor  OP,  zaś wektor  QP/ G  przedstawia  m akroskopowe  odkształ cenie  sprę ż yste.  Wykorzystują c-   repre- O  ZŁ OŻ ON YCH   MODELACH   WZMOCN IEN IA  PLASTYCZNEGO 269 zentację  n a pł aszczyź nie  sił  i cał kując w sposób  graficzny  równania przyrostowe,  moż emy okreś lić  odkształ cenia plastyczne  oraz stan naprę ż eń wewnę trznych  dla dowolnie zadanego program u  obcią ż enia. M o d e l  2.  Oznaczamy jak  poprzednio param etry wewnę trzne  przez  a ( 1 ) ,  ą ( 2  >,...,  a.(n) i  y( 1 ) ,  }'(2), • • • ,y(n).  Z ał óż my, że warunek  plastycznoś ci  ma  postać (3.18)  fm(g—£zm)- Ym  -   0, zaś  równania  skalarne,  które  powinny  speł niać param etry ą( ( )  w pewnym  zakresie  swej zmiennoś ci  mają  postać (3.19)  / ( i ) ( ą ( 0 - / °)  =  0  (i =  1, 2, . . . . 7i). Przyjmiemy,  że param etry y( s )  są stał e w  czasie procesu.  Róż niczkując  (3.19),  otrzymujemy II  ">fY\   w(')./ 7/ y(>)  ft \ p. Z. \ J)  It  2̂ r  —'  ' gdzie n ( ! )  oznaczają  wektory jednostkowe  do powierzchni / ( l ) =   0. Zał óż my, że speł nionych jest  /  pierwszych  równoś ci  (3.19).  Wtedy  równanie  przyrostowe  dla parametrów a ( i ) , speł niają ce  warunki  zgodnoś ci  (3.20), moż emy  zapisać w postaci: ftcc  • —  v j  L"  ycic  * Ti  jti  j j  j  ——  \ j j  z —  x j  A^  * * •  ?  ^ j Jn) =   / + !, . . . ,  u. a f —YMA  ! - AVWV—j- y/ z? <0) Rys.  3 M oduł   styczny  K krzywej  umocnienia otrzymamy  róż niczkując  (3.18)  oraz  wykorzystując (2.5) i  (3.21). W wyniku  otrzym am y: (3.22) \ tto>\ Widzimy,  że  w naszym  przypadku  równania  skalarne  (3.19)  mają  inny  sens,  aniż eli  dla modelu  poprzedniego.  Z m iana wszystkich  param etrów  a ( i )  zachodzi, jeś li  tylko speł niony jest  warunek  plastycznoś ci  (3.18),  zgodnie  z  drugim  równaniem  (3.21),  gdy f(i>  < 0 dla i  —  1, 2,  ..., «.  Speł nienie zwią zku  skalarnego  (3.19)  dla  dowolnego  param etru  implikuje zmianę jego  prawa  przyrostowego,  gdyż d l a / ( i )  ==   0 obowią zuje  pierwszy  zwią zek  (3.21). M amy zatem przypadek  opisany  ogólnie równaniem (3.7). Interpretację  mechaniczną  tego  modelu  przedstawia  rys.  3.  Sztywny  blok,  którego przemieszczenie odpowiada  odkształ ceniu plastycznemu  spoczywa  na pł aszczyź nie  o sile 270 Z .  M R Ó Z ,  C Z .  G OSS tarcia  granicznego  y ( 0 ) .  Z blokiem  poł ą czone  są  równolegle  elementy  sprę ż yste  i  bloki o  granicznych wartoś ciach  sił y t a r c i a y( 1 ) ,  y( 2 ) ,  ..., y w .  P aram etry a(l> odpowiadają  sił om w  elementach  sprę ż ystych. M o d e l  3.  Z ał óż my,  że  param etram i  stanu  jest  « + l  wielkoś ci  ten sorowych  ą ( 0 ) , a ( 1 \   ..., «< n),  oraz  2 ( n + l )  wielkoś ci  skalarnych  / ° \   / *> , ...,y<") i  i^°> ,  jt fi) ,  ...,hn\ Warun ek  plastycznoś ci  m a postać (3.23)  / ( O ) ( ? _ 2 , ( o ) ) _ y ( O ) =   0  ( f  =   1 ;  2 ;  5  n ) } zaś  warun ki  skalarne  okreś lają ce  obszar  zmiennoś ci param etrów  mają  postać (3.24)  / < !) ( £ _ ««) ) _ / < ) =   o  (/  =   1,2,  . . . , «) . Jeś li  speł niony jest  warun ek  plastycznoś ci  oraz  /  pierwszych  zwią zków  (3.24), zakł adam y, że wszystkie powierzchnie  są  styczne  do  siebie  w  przestrzen i  n aprę ż eń w  pun kcie  okreś lo- nym  przez  stan  naprę ż enia  a.  Każ dej  z  powierzchni  (3.23)  i  (3.24)  odpowiada  okreś lony Rys.  4 m oduł  wzmocnienia K(i);  jeś li w dan ym pun kcie P(l\   I powierzchn i jest stycznych  do  siebie, to m oduł  wzmocnienia m a wartość K  — Km  i przyrost  odkształ ceń plastycznych  okreś lam y, zgodnie  z  równaniem  (2.5) przy  K  =   K^ .  W  ten  sposób  kon figuracja  powierzch n i  (3.23), (3.24) okreś la  w przestrzeni n aprę ż eń pole m oduł ów wzm ocn ien ia, którego  zm ian ę moż emy ś ledzić  cał kując  zwią zki  przyrostowe  wzdł uż  program u  obcią ż enia.  Tego  rodzaju  model był   rozpatrywany  przez  M R O Z A  W pracach  [16,  17]. Ruch  chwilowy  p o wi e r z c h n i / ( l )  zachodzi  w  kierun ku  wektora  • ff('+ 1)—o'(I ),  gdzie ff(I+ 1) jest p u n kt em n a p o wie r z c h n i/ ( !+ 1 ) o tej samej  n orm aln ej, co wp u n kcie  P ( l ) . Wszystkie O  ZŁOŻ ON YCH   MODELACH   WZMOCN IEN IA  PLASTYCZNEGO  27f powierzchnie / ( 0 ) , / ( 1 ) ,  . . . , / ( ! ~ 1 ) poruszają   się   wraz  z  p o wierzch n ią /( !) ,  zachowują c  z nią . styczność  (rys.  4).  M oż emy  te  zał oż en ia ują ć  m atem atycznie  piszą c: (3.25) t =   1 , 2 ,  . . . , « , przy czym przyjmujemy,  że wszystkie powierzchnie posiadają   ś rodek  symetrii, a wię c równa- n ia  (3.23) i (3.24) są  jed n o ro d n ym i funkcjami  argum en tów a—a(i).  Wykorzystują c  równania zgodnoś ci  w  po st aci: off  o a (3.26)  ̂ |  Ą ' c l )  =  0,  / - o, 1,..., (/-i), oraz  zwią zki  (3.25),  otrzymujemy  z  pierwszego  równ an ia  (3.26) (3.27)  Ą ł   = da zaś  pozostał e  równ an ia  (3.26)  są   speł nione  autom atycznie  przy  zał oż eniu jednorodnoś ci zwią zków  (3.23) i (3.24)2>. N iniejszy  m odel  jest  skon struowan y  bardziej  formalnie,  aniż eli  poprzednie  i  nie  m a bezpoś redniej  in terpretacji  m echanicznej.  Jest  on  n atom iast  wygodniejszy  do  badan ia wł asnoś ci m ateriał u, bowiem pole m oduł ów wzm ocnienia bezpoś rednio ilustruje  kierunkowy rozkł ad  sztywnoś ci  w  m ateriale  i jego  zmianę   p o d  wpł ywem  odkształ cenia  plastycznego. P odobn ą   koncepcję   przedstawian ia  wł asnoś ci  m ateriał u  odkształ conego  plastycznie omówił   również  H AYTH ORN WAITE  [22]. Jest  rzeczą   jasn ą ,  że  po d o bn ych  modeli  moż emy  kon struować  wię cej,  lecz  wszystkie one  dadzą   się   u m ieś cić 'w  jedn ym  schemacie  ogólnym  omówionym  n a  począ tku  tego rozdział u. I stotn ą  cechą   wszystkich  modeli jest  wprowadzenie  obok  warunku  plastycznoś ci odpowiedniej  iloś ci  zwią zków  skalarnych  okreś lają cych  obszary  zmiennoś ci  param etrów wewnę trznych  oraz  odpowiadają cych  im  przyrostowych  równ ań  zgodnoś ci. 3.2. Opis wzmocnienia przy  uwzglę dnieniu niejednorodnoś ci  struktury. Zał óż my, że element m akro- skopowy  jest ukł adem utworzon ym  z  podelem entów  o pewnych,  okreś lonych wł asnoś ciach sprę ż ystoplastycznych,  czy  lepkich.  Powstaje  problem , jak  okreś lić  wł asnoś ci  tego m akro- 2 )  Istotnie,  warunki  zgodnoś ci  (3.26)  dla  /  =   0, 1, . . . ,  / —I  prowadzą   do  równań i a ( 0 ) - y(0  =   0, które  sa  speł nione, jeś li/f  O  są   funkcjami  jednorodnymi rzę du  pierwszego. 272  Z.  M R ÓZ ,  C Z .  G OSS - elementu,  o  ile  znam y  konfigurację   geometryczną   podelem en tów  i  ich  wł asnoś ci. P róby m atem atyczne  rozwią zania  tego  zagadnienia  dotyczą   w  pierwszym  rzę dzie  ciał   polikrysta- licznych.  Spoś ród  duż ej  iloś ci  prac wymienić  tu należy  w pierwszym  rzę dzie prace  TAYLORA [23],  BATD ORF A  i  BU D IAN SKY'EG O  [24],  H I LLA  [26]  oraz  LI N A  i  I T O  [25],  którzy  rozpatrywali problem  okreś lenia  zwią zków  fizycznych  i  warun ku  uplastycznienia  agregatu  polikrysta- licznego,  wychodzą c  z  wł asnoś ci  m onokryształ ów.  W  rzeczywistoś ci  nasza  informacja zarówno  o  wł asnoś ciach  fizycznych  m on okryształ ów, jak  i  ich  geom etrii  jest  ogran iczon a, gdyż  do  tej  pory  nie  dysponujemy  m etodam i  pom iaru  wł asnoś ci  poszczególnych  ziaren krystalicznych,  zaś  ich  geometrię   moż emy  opisać  jedynie  w  sposób  statystyczny. D latego  w  wielu  przypadkach  cenna  jest  moż liwość  podan ia  oszacowań  rzeczy- wistych  wł asnoś ci.  M oż emy  to  uczynić  przyjmują c  pewne  zał oż enia  o  rozkł adzie naprę ż eń lub  odkształ ceń  wewną trz  m akroelem entu.  N ajprostszym  zał oż eniem  bę dzie  przyję cie, że stan naprę ż eń jest jedn orodn y, n atom iast niejednorodność wystę pujejedynie  w rozkł adzie odkształ ceń;  otrzymamy  w  ten  sposób  krzywą   um ocn ien ia,  kt ó ra  bę dzie  dolną   oceną rzeczywistej  krzywej.  M oż emy  również  zał oż yć  odwrotn ie,  że  w  m akroelem encie  panuje jedn orodn y stan  odkształ cenia, a niejednorodność wystę pujejedynie  w rozkł adzie n aprę ż eń; odpowiadają ca  temu  zał oż eniu  krzywa  um ocnienia  bę dzie  górną   oceną   krzywej  rzeczy- wistej.  P odobn e podejś cie  stosowane  już  był o  od  dawn a  przy  szacowaniu  wł asnoś ci  sprę - ż ystych  polikryształ ów  (tzw.  oceny  Reussa  i  Voigta)  przy  okreś lan iu  m oduł u  Youn ga dla  polikryształ ów.  W  teorii  BATD ORF A  i  BU D IAN SKY'EG O  [24]  przyjmuje  się   również,  że w  każ dym  monokrysztale  panuje  ten  sam  stan  n aprę ż en ia  co  w  elemencie  m akroskopo- wym,  zatem ich teoria prowadzi  do  dolnej  oceny krzywej  um ocn ien ia. N a  odwrót  TAYLOR [23] oraz  L I N  i  I TO [25] wychodzą   z  zał oż enia  jedn orodn oś ci  stan u  odkształ cenia.  Teorie uwzglę dniają ce  niejednorodność n aprę ż eń i odkształ ceń w polikrysztale  [27,29] prowadzą   do bardzo zł oż onych zwią zków, które  mają   charakter  bardziej  poznawczy  aniż eli  praktyczny. Ponieważ  warunek  plastycznoś ci  m on okryształ u jest  powierzchnią   odcin kowo  regular- ną ,  z  wystę pują cymi  n a  niej  krawę dziam i,  an aliza  teoretyczn a  prowadzi  do  wniosku,  że n a  powierzchni  uplastycznienia  dla  m akroelem entu powstają   również  n aroż a.  Aby  uzyskać bardziej  proste  zwią zki,  które  m oż na  by  stosować  w  praktyczn ych  zagadn ien iach  przyj- mijmy,  że  makroelement  utworzon y  jest  z  podelem en tów  o  regularn ych  powierzchniach pł ynię cia.  Przyjmują c  hipotezę   o  jedn orodn ym  stanie  n aprę ż en ia,  moż emy  ją   zilustrować jako  model  w  szeregowym  uporzą dkowan iu  podelem en tów;  odwrotn ie,  zał oż enie  o  jed- n orodn ym  stanie  odkształ cenia  bę dziemy  m odelować  przyjmują c  równoległ e  uł oż enie podelementów.  W  ten  sposób  wyniki  uzyskane  z  tych  dwóch  zał oż eń  powin n y  dać  obu- stronne  oszacowanie  rzeczywistych  wł asnoś ci  sprę ż ysto- plastycznych,  które  wystą pią   przy dowolnej  konfiguracji  podelementów,  o  tych  samych  wł asnoś ciach. M o d e l  4.  Z ał óż my,  że  w  elemencie  m akroskopowym  pan uje  jedn orodn y  stan  na- prę ż en ia;  odpowiada  to  przyję ciu  szeregowego  poł ą czen ia  elementów  sprę ż ysto- plastycz- nych,  z  których  każ dy  charakteryzuje  się   powierzchnią   plastyczn oś ci (3.28)  % zakł adam y  przy  tym,  że  / ' >  są   stał e,  zaś (3.29)  daW   = O  ZŁ OŻ ON YCH   MODELACH   WZMOCN IEN IA  PLASTYCZNEG O  2 7 3 P rawo  pł ynię cia  dla  każ dego  elem entu  przyjmiemy  w  postaci (3.30)  .  ^ - ^ r sW*. gdzie K(i)  =   C ( i ) , zgodnie  z  równ an iem  (2.11).  M akroskopowy  stan  odkształ cenia  otrzy- mujemy  jako  ś rednią  wartość  odkształ ceń  plastycznych  poszczególnych  elementów,  to znaczy n  n (3.31)  df  = j  ^   <#'>',  df  =  -   y  df)L\ i= 0  n  i= 0 Powyż szy  m odel rozpatrywan y  był  w pracy  IWAN A  [14,  15]. M o d e l  5.  Z ał óż m y,  że  w  elemencie  m am y  jedn orodn y  stan  odkształ cenia  e =   | . Odpowiada  to równ oległ emu poł ą czen iu elementów  sprę ż ysto- pł astycznych. Odkształ cenie sprę ż yste  dowolnego  elem entu  wynosi  e^ p  =   e—e ( ' ) p ,  zaś  naprę ż enie  ą(i)  =   K(e—s(i)p) gdzie  K  oznacza  ten sor  m oduł ów  sprę ż ystoś ci.  Warun ek  plastycznoś ci  dla  dowolnego elementu  m a  zatem  po st ać (3.32)  / ( 0 [ £ ( e - £( i ) p ) - 2( i ) ] - y( i ) =   0, zaś  przyrost rfą(i) jest zwią zany  zależ noś cią  (3.29) z przyrostem  odkształ cenia plastycznego. R ówn an ie  (3.32)  przyjmuje  zatem  postać (3.33)  fM[Ks- (K- Ą - c)f)p]- yM  = 0. N aprę ż en ie  m akroskopowe  okreś limy  ze  wzoru n  n (3.34)  a = ~  VaW.jfc - JL  V£(0P. i= o  ; = o W  przypadku  warun ku  plastycznoś ci  H ubera- M isesa, jedynie  n aprę ż en ia dewiatorowe  S ( i ) . wchodzą  do tego warun ku,  otrzymujemy  zatem  j ( i )  =   2G(e—g(i)Jł ),  gdzie e  i  e ( i ) p  oznacza- ją  odkształ cenia dewiatorowe,  G—moduł   Kirchhoffa,  zaś  warunek plastycznoś ci  m a postać (3.35)  I  ( j( O _ a( ') ) .( j( i) _«(«>) _ y( «) 2  =  o . Wyraż ając  ten warun ek  przez  odkształ cen ia, m am y (3.36)  ( g^ f c g( i ) P ) . ( g_ i t e C ł ) P ) _ î  =   0 , c gdzie k  =   1 +  - —.  W  dan ym  przypadku  wygodniej jest zatem posł ugiwać  się  przestrzenią odkształ ceń. Tego  rodzaju  m odel był  "rozpatrywany  przez  BESSELIN G A  [18,19] oraz WE LLSA i  PASLAYA [20],  do opisu  an izotropii  wzm ocn ien ia  oraz w teorii peł zan ia. 7  Mechanika  Teoretyczna 274 Z .  M R Ó Z ,  C Z .  G O S S 4.  Obliczen ie porównawcze dla  czterech m odeli  wzmocnienia Aby  uzyskać  dane  porównawcze  o  wł asnoś ciach  poszczególnych  m odeli,  przeprowa- dzimy  obliczenia dla trzech róż nych program ów  obcią ż enia.  Ograniczymy  się   do  pł askiego stanu naprę ż enia, okreś lonego  ogólnie przez trzy skł adowe n aprę ż en ia cr x ,  a y ,  r xy ,  odniesione do  obranego  ukł adu  kartezjań skiego  (x,y).  R ozpatrzym y  szczególny  przypadek,  gdy m ateriał   poddan y jest jednoosiowem u  rozcią ganiu  naprę ż eniem  a x   i  ś cinaniu n aprę ż en iem Program  A Program B Rys.  5 Program  C Tjtr  Stan  taki  uzyskujemy  w  próbce  rurkowej  poddan ej  dział an iu sił y  rozcią gają cej  i m o- m entu  skrę cają cego.  Trajektorie  n aprę ż en ia  i  odkształ cen ia  m oż na  wtedy  rozpatrywać na  pł aszczyź nie  a x ,  t xv   i  s x ,  y xr Z ał óż my  trzy  nastę pują ce  program y  obcią ż enia  (rys.  5). P rogram  A:  p o  wstę pnym  obcią ż eniu  naprę ż eniem  r xy ,  m ateriał  poddajem y  rozcią ganiu przy  zachowaniu  stał ej  wartoś ci  - ^ ( r ys.  5a), P rogram  B:  p o  wstę pnym  odkształ ceniu ś cinają cym  do  wartoś ci  y%\ , m ateriał   poddajemy rozcią ganiu  przy  zachowaniu  stał ej wartoś ci  y^ y   (rys.  5b), P rogram  C :  po  wstę pnym  obcią ż eniu  naprę ż eniem  t xy   m ateriał   poddajem y  cyklicznemu ś ciskaniu  i rozcią ganiu  przy  zachowaniu  stał ej  wartoś ci  r xy i  c[kp/ mmzj A 3 —  r xy . 50 40 3 0 W 1 0 Rys.  6 Z ał óż my, że krzywa  wzmocnienia przy jedn oosiowym  rozcią ganiu  m a postać  przedsta- wioną  n a rys.  6 (jest to krzywa rozcią gania  stopu alum in ium ). Aproksym ujem y  ją   w zakresie plastycznym  trzem a  odcinkam i  prostym i  1—2,  2—3,  3—4.  W  stanie  zł oż on ym  tego  ro- O  ZŁOŻ ON YCH   MODELACH  WZMOCN IEN IA  PLASTYCZNEGO 275 dzaju  aproksym acja  odpowiadać  bę dzie  wprowadzeniu  trzech  param etrów  tensorowych CJ(°',  , y ( 1 ) , y ( 2 ) ,  G ( 0 ) , G ( 1 ) , G ( 2 ) dla modelu 1, lub K<- 0),  Kw,  Km  dla m odelu  3. Z ał oż ym y, że param etry skalarn e są  stał e w czasie procesu deformacji,  zaś  poszczególne  powierzchn ie  ulegają   jedynie  przemieszczeniu.  W  przypadku warun ku  H ubera- M isesa moż emy powierzchnie te przedstawić jako  okrę gi  n a pł aszczyź nie t xy   =  ]/ 3r xy ,t x   =  2  =   0  i  analogiczne równ an ia  dla  pozostał ych powierzchn i.  '  , Rysunek  7  przedstawia  przykł adowo  sposób  cał kowan ia  graficznego  przyrostowych równ ań  pł ynię cia dla pro gram u  A,  przy  zastosowaniu  szeregowego modelu 4.  D la wię kszej przejrzystoś ci  przedstawion o  jedyn ie  dwie  powierzchnie.  Odcinek  AB  dzielimy  n a  mał e Rys.  7 czę ś ci  odpowiadają ce  przyrostom  da x .  P owierzchnie / ( 0 ) , / ( 1 ) . . .  przemieszczają   się  wzdł uż zewnę trznych  n orm aln ych  w  pun kcie  odpowiadają cym  stanowi  naprę ż enia,  przy  czym muszą   jednocześ nie  przejść  przez  odpowiedn ie pu n kt y  podział u n a  odcinku AB.  Warun ek ten  okreś la  chwilowy  ruch  okrę gów,  zaś  poł oż enie ich  ś rodków  a[j\   a^1',  ...  pozwala  n a okreś lenie  odkształ ceń plastyczn ych W przypadku  zadan ego pro gram u w  odkształ ceniach (program B) cał kowania dokonujemy drogą   kolejnych  przybliż eń.  Z akł adam y  najpierw  przyrost  n aprę ż en ia  i  okreś lamy  odpo- wiadają cy  m u przyrost  odkształ cen ia. Jeś li  nie pokrywa  się  z kierunkiem zadanej  trajektorii odkształ cenia, poszukujemy  rozwią zan ia  dla nowego  przyrostu  naprę ż enia aż do  uzyskania zgodnoś ci.  W  podobn y  sposób  przeprowadzim y  cał kowan ie  dla  pozostał ych m odeli.  D la 276 Z .  M R Ó Z ,  C Z .  G OSS m odelu  1 wykorzystujemy  reprezentację   n a pł aszczyź nie  n aprę ż eń przedstawion ą   n a  rys.  2 zaś  dla  modelu  5  posł ugujemy  się   pł aszczyzną   odkształ ceń.  v Rysunki  8a  i  8b  przedstawiają   przebieg  zm iany  n aprę ż eń  t xy   =   |/ 3r »y  i tx  =   ax  dla pro- gram u  B  obliczony  przy  uż yciu  szeregowego  m odelu  4 i  równoległ ego  m odelu  5.  Przebieg 10 so Rys.  8a 50  70 a x [kp/ mm] Rys.  8b zm ian  odkształ ceń plastycznyoh  sp xyi   =   y xy / \ j3,  sl  =   e x   dla  program u  A  przedstawia  rys.  9. Widoczne  są   znaczne  róż nicę   w  zachowaniu  poszczególnych  m odeli,  szczególnie  dla wię kszych  wartoś ci  naprę ż enia  ct x .  N ależy  przypom n ieć,  że  przy  prostym  rozcią gania 10 8 4  ,  Mnn - o«= el  A „/   3   i V  li 1 / ; : '/ ft C- —- / ; y 7 20 AO Rys.  9 6 0 wszystkie  modele  dają   tę   samą   krzywą   wzmocnienia.  R ysun ek  10  przedstawia  krzywe z  rys.  9 przeniesione  n a  pł aszczyznę  odkształ ceń. O  ZŁOŻ ON YCH   MODELACH   WZMOCN IEN IA  PLASTYCZNEGO 277 R ysunek  11  przedstawia  n arastan ie  odkształ ceń  ev xy ,  wywoł ane  cyklicznie  zmiennym naprę ż eniem rozcią gają cym  i ś ciskają cym,  n ał oż on ym n a stał e naprę ż enie t xy   (program C ). Widzimy, że odkształ cen ia ev xy , p o począ tkowym  szybkim  wzroś cie, dą żą   do pewnej  wartoś ci 20 16 1 2 8 A / Model  1 ^_ - Model 5 Model A Model3 12 1 6 2 0 [ ] Rys.  10 asymptotycznej.  Widoczn e  są   również  róż nice  w  zachowaniu  się  poszczególnych  m odeli: o ile m odele  1 i 5 przewidują   bardzo m ał y wzrost  odkształ ceń ev xy , dla modeli 2 i 4 wzrost ten jest kilkakrotn ie wię kszy.  Tego  typu  doś wiadaczenie  m ogł oby zatem  sł uż yć jako  doś wiad- czenie  krytyczne  przy  ocenie  przydatn oś ci  poszczególnych  modeli.  N ależy  zauważ yć, 6' A 2. Ij — .   '= = • = Model AModel 3 —  Models •  Modeli 1 0 -M   16 n(pół cykli) Rys. 11 że w rzeczywistoś ci  obserwuje  się  stał y  wzrost  odkształ ceń ev xy  wywoł any  cykliczną   zmianą t x ;  krzywa  zależ noś ci  ep xy   od  iloś ci  cyklów  przypom in a  klasyczną   krzywą   peł zania metali przy  podwyż szonych  tem peraturach , po r. n p .  [28]. 278  Z.  M R Ó Z ,  Ci.  G oss 5.  Wnioski koń cowe W  pierwszej  czę ś ci  pracy  przedstawiliś my  strukturę   m atem atyczn ą   teorii  plastycznoś ci przy  uż yciu wię kszej  iloś ci  param etrów m ateriał owych do  opisan ia wł asnoś ci plastycznych. Widzimy,  że istotnym  elementem jest  wprowadzenie  odpowiedniej  iloś ci  zwią zków  skalar- nych,  okreś lają cych  obszary  wewnę trznej  nieodwracalnoś ci.  Kom plikuje  t o  podstawowy ukł ad  równ ań  przyrostowych,  pozwala  jedn ak  n a  bardziej  realistyczny  opis  wł asnoś ci plastycznych  metali.  D la  uproszczenia  analizy  pom inę liś my  efekty  cieplne  oraz  zjawisko peł zania  towarzyszą ce  zazwyczaj  natychmiastowym  odkształ ceniom plastycznym . U zyskane  obliczeniowe  wyniki  porównawcze  wskazują ,  że  dla  pewnych  program ów obcią ż enia, n p. obcią ż enie cykliczne n ał oż one na stał e obcią ż anie, wystę pują   istotn e róż nice pomię dzy  wskazaniami  poszczególnych  modeli.  Tego  typu  program y  powin n y  być  zatem uż yte  w  badan iach  doś wiadczalnych. L it erat u ra  cytowana w tekś cie 1.  E .  M E L AN ,  Zur Piastizitiit  des raumlichen  Kontimiwns,  I n gen .  At ch .,  1938,  116—126. 2.  W.  P R AG E R , A  new method  of  analysing  stress  and strain  in work- hardening,  plastic  solids,  J, Ap p l.  M ech ., 23  (1956). 3 .  A. K ) .  H I I JJI H H C K H H , O6ufax  meopun  nnacmunuocmu- c  Aumiimui  ynponneHueM, Yap.  M aT . JKypnaji, 6,  T . 3 ( 1 9 5 4 ) . 4.  H .  Z I E G LE R , A  modification  of  Prager's  hardening  rule,  Q u a r t .  Ap p l.  M a t h . ,  17 (1959), 55—60. 5.  M .  E I SE N BE R G , A.  P H I L I P S,  On non- liner  kinematic  hardening,  Ac t a  M ec h an ic a,  6 (1968). 6. A. BAŁ T O W,  A. SAWC Z U K ,  A  rule of  anisotropie  hardening,  Act a  M ech an ica,  1/ 2 (1965), 81—92. 7.  G .  BAC K H AU S,  Zur Fliessgrenze  bei  allgenteiner  Verfestigung,  Z AM M ,  vo l. 48 (1968), 99—108. 8.  A .  A .  BAKyjiEH KO,  O  CBH3HX  Meoicdy  uanpHoiceuuHMu  u  dcfiopMaifu/ iMU  e  ueynpyiux  cpedax,  H C C J I . no  ynpyrocTH  H  nJiacTMHoeriij  H 3fl.  JleHHHrp.  Ynvm,  1 (1961). 9.  E.  KRON ER, A  new concept in the continuum theory  of plasticity, J. M ath,  and  Phys., vol.  42, N . 1,  (1963). 10. W. PRAG ER,  Composite ̂ stress- strain  reletians for  elastoplastic solids,  P roc.  IU TAM   Symp.  irreversible aspects  of  continuum  mechanics)).  Springer  Verl.,  Viena 1966. 11.  10 .  H .  KAflAmEBHqj  06o6ufeimaM  meopun  njiacmuuecKoio  meueHun,  C 6 .  «Hccjie,n;oBaHHH   n o yn p y- rocTH   H  njiacTnifflocTH »j  H 3fl.  J lem m r p a fl. YH U B . ,  6  ( 1967) . 12.  10 .  H .  KAflAiiiEBHti,  B. B.  H O BO H O M O BJ  OS yieme  MuicpoitanpnoiceHuu  a  meopuu  n/ iacmuuHocmu, M ex.  TBepfl.  Ten a,  3, (1968), 82—91. 13.  10 .  H .  KAflAiuEBmij  B. B. H OBO> KH JI OB,  T eopun  n.iacinuunocmu ynumuBaioufan  ocmamomtue  MUKpo- uanpHOiceiMB,  I l p i n a i .  M aT . M e x. , 22 ( 1968) . 14.  W. D .  I WAN ,  A  distributed  element, model  for  hysteresis  and its  steady- state  dynamic  response.  J o u r n . Appl.  M ech .,  33 (1966). 15.  W. D . I WAN ,  On a class  of models for  the yielding  behaviour  of continuous  and composite  systems,  J o u r n . Appl.  M ech .,  34 (1967). 16.  Z .  M R Ó Z ,  On the  description  of  anisotropie  workhardening,  S. M ech .  P h ys.  Solids, 15,  (1967) 163- 7- 175. 17.  Z .  M R Ó Z ,  An attempt  to describe  the behaviour  of  metals  under  cyclic  loads  using  a more  general  work- hardening  model,  Act a  M ech an ica,  7  (1967), 199—212. 18.  J. F .  BE SSE LI N G ,  A  theory  of  plastic  flow  for  anisotropie  hardening  in plastic  deformation  of  an  initially isotropic  material,  N a t . Aero .  R es.  I n st .,  Am st er d a m  R e p .  S—410,  1953. 19.  J. F .  BE SSE LI N G ,  T heory  of elastic, plastic  and  creep  deformation  of  an initially  isotropic  material  showing anisotropie  strain  hardening,  creep  recovery  and  secondary  creep,  J. Ap p l.  M ech .,  4, 25, (1958). 20.  C . H .  WE L L S ,  P . R .  P ASLAY,  A  small- strain  plasticity  theory  for  planar  slip  materials',  J o u r n .  Appl. M ech ., 26 (1969). O  ZŁOŻ ON YCH   MODELACH   WZMOCNIENIA  PLASTYCZNEGO  2 7 9 21.  B.  R.  H BJI E B,  O  meopuu  CMOOICHUX  cped, flonK. AK . Hayi< C C C P ,  8  (1963). 22. R.  M.  HAYTHORN THWAITE,  A  more  rational approach to  strain hardening  data,  «Engineering  Plasti- city^  Ed.  J.  H eyman,  F . A.  Leckie,  1968. 23.  G . I .  TAYLOR, Plastic strain in metals, Journ. I nst. of  Metals, 62  (1938). 24. S. B.  BATD ORF,  B.  BU D IAN SKY,  Polyaxialstress- strain relations of  strainhardening metal,  I. Appl.  Mech., 21  (1954),  323—326. 25.  T. H .  LiN,  M.  I TO,  T heoretical plastic  distortion of  a  polycrystalline aggregate  under  combined  and reversed stress, J.  Mech. Phys.  Solids,  13  (1965),  103—115. 26. R.  H I L L ,  T he  essential structure of  constitutive laws  for  metal  composites  and polycrystals,  J.  Mech. Phys.  Solids,  15,  1967. 27.  BUDIAN SKY,  T. T  W U ,  P roc.  4- th  U . S.  N atl.  Congr.  Appl.  Mech., ASME,  2  (1962). 28.  A.  M.  FREU D EN TH AL,  M.  RON AY,  Second order effects  in  dissipative  media,  Proc  Roy.  Soc,  ser.  A, 292  (1966),  14—50. 29. V.  KAF KA,  T he general theory of  isothermal  elas'tic- plastic  deformation  of polycrystals  based  on  analy- sis  of  the  microscopic  state  of  stress, ZAM M ,  48  (1968),  265—282. 30.  T eoria plastycznoś ci, praca  zbiorowa,  wyd.  PWN ,  1963. 31.  W.  SZCZEPIŃ SKI,  W stę p  do analizy procesów obróbki plastycznej,  PWN , Warszawa  1967. 32. Z .  M R Ó Z ,  On forms  of  constitutive  laws for  elastic- plastic solids,  Arch.  Mech. Stos., 18 (J966). 33.  J.  KRATOCHVIL,  O. W.  D I LLON ,  T hermodynamics  of  elasticplastic  materials,  as  a  theory with intern a state variable.1,  J. Appl.  Phys., vol.  40, N o 8 (1969),  3207—3218. F   e  3 io ii  c O COCTABHBIX MCtfJEJKK IIJIACTH ^ECKOrO  yiTPO*fflEHH# n p o c T t i e  Mofl&nH   H 3OTpommecKoro  H JI H   KHEteiviaTiMecKoro  ynpc- M enHH   coBMecrHO  c  3ai<0H0M o ro  Te^ienHJi  lie  MoryT  npaBHULHO  on ucaT t  cjioł Kiibie  H BJI C H H H ,  npoH cxoflmU H e  npH   njiacrei- fledpopM H poBaH H H   ju ra  H enponopijH OH anLH bix  nporpaiwM   narpyjKeH U H ,  B ̂ acTHOcTH   npn;  I;H ILH H - H arpy3i< ax3  R on ycK aiom ax  nocjieflOBaienBno  M epeflyiomnecH   n po qeccw  Harpy>KenHH   H   p a3- rpy3KH .  HeoSxoflHMO  nosTOMy  BBCCTH   cH deiviy  HononHHTenLHbix  n apaM eipoB. B  npeHJioHii