Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,10  (1972) T E R M O D YN AM I C Z N A,  M F J N I T E Z YM AL N A  T E O R I A  L E P K O P L AS T YC Z N O Ś CI P I O T R  P E R Z Y N A  (WARSZ AWA) 1. Wstę p Z agadn ien ia lepkoplastycznoś ci  wył onił y się   gł ównie z  problem ów  dynamicznych teorii plastycznoś ci.  Z aobserwowan e  róż n ice  mię dzy  rezultatam i  teoretycznymi  uzyskanymi  za pom ocą   m etod  teorii  plastycznoś ci  a  wynikami  doś wiadczalnymi  zrodził y  potrzebę uwzglę dnienia  efektów  Teologicznych.  R ezultaty  bad ań  eksperymentalnych  wykazał y,  że jednoczesne uwzglę dnienie wł asnoś ci plastycznych i Teologicznych m ateriał u jest  szczególnie potrzebn e  przy  opisie  rozprzestrzen ian ia  się   fal  n aprę ż en ia  oraz  przy  okreś laniu  wytrzy- mał oś ci  konstrukcji  poddan ych  obcią ż eniom  dynamicznym . Specyfika  zagadn ien ia  i  skom plikowan y  ch arakter  sprzę ż enia  efektów  Teologicznych i  plastycznych  wymagają   specjalnych  m etod  opisu  opartych  n a  wnikliwej  analizie  fizyki m ateriał ów  oraz  wł asnych  oryginalnych  opisów  m atem atycznych. Łą czne traktowan ie zjawisk  Teologicznych i zjawisk plastycznych  stwarza jedn ak ogrom- ne  trudn oś ci.  U wzglę dnienie  lepkoś ci  m ateriał u wprowadza  zależ ność  stanów  naprę ż enia i  odkształ cenia  od  czasu,  n atom iast  wł asnoś ci  plastyczne  m ateriał u  uzależ niają   te  stany od drogi  obcią ż enia.  U wzglę dniając  jednocześ nie wł aś ciwoś ci  lepkie i plastyczne  otrzymuje- my wię c zależ ność  równ ań  kon stytutywn ych  od  drogi  i  czasu. G ł ównym  celem  obecnej  pracy  przeglą dowej  jest  dyskusja  termodynamicznego  opisu m ateriał ów  sprę ż ysto/ Iepkoplastycznych  w  oparciu  o koncepcję   param etrów  wewnę trznych przy  zał oż eniu  infinitezym alnych  deformacji. 2.  Opis  deformacji  i  naprę ż enia1) 2.1. Opis deformacji.  C iał o O bę dziemy  traktować jako trójwymiarową   róż niczkowania roz- m aitoś ć,  której  elementy  X  nazywać  bę dziemy  czą steczkami.  N atom iast  przez  konfigu- ację   x  ciał a 3S  rozum ieć bę dziemy  gł adki hom eom orfizm ciał a  Ś 8 n a obszar  trójwymiarowej przestrzeni  Euklidesa,  tzn . gdzie x~ x  oznacza odwzorowan ie  odwrotn e do  %.  P u n kt x  =   %(JSf) jest nazywany  miejscem zajmowanym  przez czą stkę   X. P or.  C. Truesdell  i  W.  N oll [40], 282  P.  PERZYNA Ruchem  ciał a  38  nazywać  bę dziemy  jednoparametrową   rodzinę   konfiguracji  %„ gdzie rzeczywisty  param etr t  bę dziemy  utoż samiać z czasem.  Moż emy  wię c  napisać (2.2)  x P un kt x = %{X,  t) jest  miejscem, w którym  znajduje  się   czą stka X w  chwili t. Chociaż ciał a di nie należy utoż samiać z jaką kolwiek  z jego konfiguracji  przestrzennych, to  jednak  obserwacji  fizykalnych  nie  moż na  na  nim  przeprowadzać  bez  przypisania  mu jakiejś  wybranej  konfiguracji.  Z  wielu  wzglę dów  dogodnie  jest  uwzglę dniać  ten  fakt identyfikują c  poszczególne  czą stki  ciał a przez podawanie  ich poł oż enia  w jakiejś  konkret- nej, ustalonej  konfiguracji.  Tę  ustaloną   konfigurację   bę dziemy  nazywać  konfiguracją   od- niesienia i oznaczać przez !M.  Konfiguracja  odniesienia 91 może być jedną   z pozycji  zajmo- wanych  przez  ciał o w czasie jego  ruchu.  Miejsce  czą stki  X  w  konfiguracji  odniesienia  01 okreś lone bę dzie przez (2.3)  X=St{X). Przypiszemy  czą stce  pewien  ukł ad  współ rzę dnych X",  który  bę dziemy  nazywać  ukł adem współ rzę dnych materialnych. Wtedy równanie (2.3) może być napisane nastę pują co: (2.4)  X=M{Xa)  lub  J r =  ^ - l a ( X ) . Równanie  (2.4)2  definiuje  ukł ad  współ rzę dnych; w  ten  sposób  czą stka  X  i jej  miejsce X  =  0t{X)  w konfiguracji  odniesienia mają   te same współ rzę dne X".  D zię ki temu równanie (2.2)  opisują ce  ruch  ciał a  8$ moż emy napisać w postaci (2.5)  x = %(®{X),t)^ yXX,f). Równanie  to opisuje  rodzinę   konfiguracji  ciał a  w stosunku  do  konfiguracji  odniesienia. Odnoś nie  do  rozpatrywanego  ruchu przyjmujemy  nastę pują ce  aksjomaty: 1) aksjomat  cią gł oś ci  wymagają cy,  aby  funkcja  ruchu i funkcja  odwrotna  miał a  cią głe pochodne  dowolnego  rzę du, tzn. funkcje  %k i %~ u  są  dowolną   liczbę   razy  róż niczko walne; 2) aksjomat  o nieprzenikalnoś ci materii, który  wymaga,  aby  funkcja  (2.5) był a  funkcją jednowartoś ciową. Jeż eli mamy okreś loną   funkcję   ruchu  (2.5), to dowolny  obiekt  geometryczny A zależ ny od  czasu  i  charakteryzują cy  pewne  pole  może  być rozpatrywany  jako  funkcja  A(X, t) czą stki i czasu lub jako funkcja  A(x,  t) miejsca  i czasu. Zmienne X i t nazywamy zmiennymi materialnymi, a zmienne x i t zmiennymi przestrzennymi. Prę dkoś cią  x nazywamy prę dkość zmiany poł oż enia czą stki w czasie ruchu i  definiujemy ją   nastę pują co: (2- 6)  yo| Y Ot   ]X= const Podobnie zdefiniujemy  przyś pieszenie jako (2- 7) Równanie  (2.5), które  okreś la  rodzinę   konfiguracji  ciał a  w stosunku  do  konfiguracji odniesienia 0t, moż emy również interpretować jako  rodzinę  deformacji  w  stosunku do kon- T E R M O D YN AM I C Z N A,  IN F IN ITEZ YM ALN A  TEORIA  LEP KOP LASTYC Z N OŚ CI  283 figuracji  odniesienia,  przy  czym  sł owo  deformacja  oznacza  zarówno  zmiany  kształ tu, jak i  orientacji  ciał a  w przestrzeni. G radien t  deformacji  zdefiniowany  nastę pują co (2.8)  VX  =   W .  t)/ dX opisuje  wszystkie  lokalne  wł asnoś ci  deformacji,  dlatego  nazywany  jest  podstawową   miarą deformacji. Wektor  przemieszczenia  w jest  okreś lony  równaniem (2.9)  u&x- X* Obliczmy  nastę pnie  gradient  przemieszczenia (2.10)  Vu  =  VX(X,f)- l, gdzie 1 oznacza tensor fundamentalny.  Równanie  (2.10) pozwala  na wycią gnię cie  wniosku, że  gradient  przemieszczenia  Vw  może  być  również  traktowany  jako  podstawowa  miara deformacji. Zdefiniujmy  ten sor  odkształ cenia  infinitezymalnego  w  sposób  nastę pują cy (2.11)  E  =  ±(Vu+Vu T), przy  zał oż eniu,  że  gradient  przemieszczenia  Vw jest  wielkoś cią   mał ą   dla  dowolnego  czasu t  e  [0, oo), tzn.  speł niony jest  warunek (2.12)  d) =  jbQdv wzię tą  po cał ej obję toś ci czę ś ci SP ciał a 38 w konfiguracji  % t  nazywa  się  wypadkową  zewnę trz- nych  sił  masowych  dział ają cych n a  czę ść 3P  ciał a 38. Sił y  kontaktowe  albo  powierzchniowe  zdefiniujemy  nastę pują co.  N iech  w  każ dej chwili  t n a powierzchni  d3? ograniczają cej  pewną   czę ść 0> ciał a 3fi zdefiniowane  bę dzie pole wektorowe  t(x,  3P).  N azywać je bę dziemy gę stoś cią   sił y kontaktowej  albo  powierzchniowej. Pole  to proś ciej  bę dziemy  nazywać  wektorem  naprę ż enia  dział ają cym  n a czę ść ̂   ciał a 38. Wypadkowa  sił a  kontaktowa  F Q {3P)  dział ają ca  na & w chwili  t  okreś lona jest  przez  cał kę powierzchniową (2.16)  F e (0>) =  j  t(x,  0>) da, liczoną   po  powierzchni  S3? w konfiguracji  % t . Zał óż my, że istnieje  funkcja  wektorowa  t(x,  ń ), zdefiniowana  dla wszystkich pun któw x w  ciele  38 i dla  wszystkich  wektorów  jednostkowych  n,  taka, że naprę ż enie dział ają ce  na dowolną   czę ść  0>  ciał a  Sfl  okreś la  funkcja (2.17)  t(x,0>) =  t( X! ri), gdzie n jest  zewnę trznym, jednostkowym  wektorem  norm alnym w punkcie x  n a  powierz- chni  ograniczają cej  0>.  Wektor  t(x,  ń ) jest  nazywany  wektorem  naprę ż enia w punkcie x dział ają cym  n a zorientowany element powierzchni o normalnej n. Wprowadzają c  odpowied- nie warunki cią gł oś ci udowodnić moż emy istnienie tensorowego  pola naprę ż enia T , takiego że wektor  naprę ż enia  t(x,  ń ) może  być  wyraż ony  za pomocą   ten sora  T (x, t)  nastę pują co: (2.18)  t(x,n) =  T (x,t)n. Tensor  T (x, t)  jest  nazywany  tensorem  naprę ż enia  C auchy'ego.  Czę sto  wygodnie  jest posł ugiwać się  inną  miarą   naprę ż enia zdefiniowaną   wyraż eniem (2.19)  T a  3  d et ( VZ ) ( V*) - 1  7 \ V r y . Tensor  T g nazywany  jest  drugim  tensorem naprę ż enia  P ioli- Kirchhoffa. W  przypadku  speł nienia warunku  (2.12)  tzn.  kiedy  proces  deformacji  prowadzi do nieskoń czenie mał ych odkształ ceń tensor naprę ż enia Cauchy'ego T i drugi tensor naprę ż enia Pioli- Kirchhoffa  T a   są   nierozróż nialne,  tzn. (2.20)  T =T a . T E R M O D YN AM I C Z N A,  IN F IN CTEZYM ALN A T E O M A  LEP KOP LASTYC Z N OŚ CI  285 3.  P odstawowe  zasady  m echan iki i term odyn am iki 3.1. Zasada zachowania pę du i momentu pę du2'.  W  celu  sformuł owania  podstawowych  zasad m echan iki  wprowadzim y  definicję   sił y i m om en tu dział ają cych  n a  ciał o  8$ o obję toś ci  8P. Wielkoś ci  te  są   nastę pują cymi  wekt oram i: (3.1)  F=fdF,  M= J(pxdF+dM), & 9 gdzie  dF i  dM są   odpowiedn io  elem entarną   sił ą   i  elementarnym  momentem dział ają cym n a  jedn ostkowy  elem ent  obję toś ci  ciał a.  R ówn an ie  (3.1)2  jest  odniesione  do  począ tku ukł adu, w którym  okreś lony jest prom ień wektora p.  Symbol x  oznacza iloczyn  wektorowy wektorów  p  i dF, Wielkoś ci  F  i  M  są . zn an e  a  priori  dla danego  ciał a  i  są   takie  same  dla  wszystkich obserwatorów. Oznaczmy  przez  P pę d,  a przez  H m om en t pę du  wzglę dem  począ tku  ukł adu  ciał a ś §. P odstawowe  prawa  m echan iki  klasycznej,  nazywane  prawam i  Eulera,  mogą   być wy- raż one  wzoram i (3.2)  F=P,  M =  H" sł usznymi dla dowoln ego  ciał a 88. Te dwa  równ an ia  opisują   odpowiednio zasadę   zachowa- n ia  pę du  i  zasadę   zach owan ia  m om en tu pę du. Wielkoś ci  F'\  M przedstawiają   obcią ż enie ciał a 88, podczas gdy wielkoś ci P i i i w dowol- nym  ukł adzie odniesienia są  reakcją   ciał a wywoł aną   dział aniem obcią ż enia Fi  M. P rawa  E ulera  m ogą   być  ogólnie  wysł owione  w  postaci  nastę pują cego  stwierdzenia: w ukł adzie inercjalnym  reakcja  dowolnego  ciał a jest równ a  dział ają cemu n a nie obcią ż eniu. Korzystają c  z  analizy  sił   dział ają cych  n a  ciał o,  przeprowadzonej  w  p . 2.2  moż emy n apisać (3.3)  F =  J  t(x, ri)da+ J  bqdv  =  ~   j  pgdv  =  P, (3.4)  M =  Jpxt(x,  ń )da+  J ( px b) e d v  = ~   J(pxi>)Qdv =   H. 3.2. Podstawowe  prawa  Cauchy'ego. Wykorzystują c  definicję   tensora naprę ż enia (2.17), defi- nicję  przyś pieszenia  x  (2.7) oraz posł ugują c  się  przekształ ceniem  G reena (3.5)  JdivT dv=  j  T nda, dostajemy  z (3.3) zależ ność (3.6)  d i vT - e x  =   - eb, speł nioną  w każ dym  punkcie rozpatrywanego  ciał a  0. 2 )  Wyczerpują ce  omówienie zasad  mechaniki moż na znaleźć w  monografii  C. Truesdella i R. Toupina [39];  pof.  również  A. E.  G reen  i  W.  Zema  [9]. 286  P.  PERZYNA R ówn an ie  (3.6) jest  pierwszym  prawem  ruchu  C auchy'ego  i wyraża  dostateczn y i  wy- starczają cy  warun ek  dla  zachowania  zasady  pę du.  W  reprezentacji  kon trawarian tn ej równ an ie  (3.6)  m a  postać (3.7)  7*m,„- QXk =  - 8 b\ Postę pując  podobn ie  z  równaniem  (3.4)  i  uwzglę dniając  równ an ie  (3.6)  dostajemy nastę pują cy  rezultat: (3.8)  T   =   T T,  T km  =  T '"k speł niony  w każ dym  pun kcie  ciał a Bft. Równanie  (3.8)  wyraża  drugie  prawo  ruchu  C auch y'ego.  P rawo  to  m oże  być  wypo- wiedziane  nastę pują co:  koniecznym  i  wystarczają cym  warun kiem  speł nienia zasady  zacho- wania  m om entu  pę du  w  ciele,  dla  którego  speł niona jest  zasada  zachowan ia  pę du,  jest symetryczność  ten sorowa  naprę ż enia. 3.3. Niezmienniki tensora naprę ż enia. D rugie prawo  ruchu C auchy'ego wymaga, aby  tensor  na- prę ż enia  T  był  symetryczny.  To zapewnia  istnienie  trzech  rzeczywistych  liczb,  nazywanych naprę ż eniami  gł ównymi  oraz  istnienie  trzech  rzeczywistych  ortogon aln ych  kierunków gł ównych,  które  okreś lają   gł ówne  osie  n aprę ż en ia. N iezmienniki  ten sora  naprę ż enia  I T , H T ,  III T   są   zdefiniowane  jako  współ czynniki nastę pują cego  wielomianu  wzglę dem  X (3.9) Jeż eli  przez  a„ oznaczamy  n aprę ż en ia  gł ówne, to  mamy  proste  zwią zki: (3.10)  I T  =   tfi+ tf2+ ff3,  II T  =  01< 3.4. Pierwsza  zasada  termodynamiki.  Rozważ my  ruch ciał a 38  o  obję toś ci  0*  ograniczonej  po- wierzchnią   b&.  Oznaczamy przez,;T energię   kinetyczną   ciał a  podczas jego  ruch u, a przez  S jego  energię   wewnę trzną.  N astę pn ie  przyjmiemy,  że  do  ciał a  Ś S dostarczon a  jest  energia mechaniczna  n a  skutek  dział ania  n a  ciał o  ukł adu  sił   oraz  energia  n iem echan iczn a  za po- ś rednictwem  przepł ywu  ciepł a i prom ien iowan ia.  C ał kowitą   m oc  mechaniczną   oznaczymy przez if,  a cał kowitą   m oc niemechaniczna przez  Q. Z asada  zachowania  energii  dla  ciał a 38 może być  wyraż ona  przez nastę pują ce  równ an ie: (3.11)  jł +Ś  = ir  +  Q. P rawo  (3.11)  jest  nazywane  czę sto  pierwszą   zasadą   term odyn am iki,  którą   m oż na wypowiedzieć  n astę pują co:  zm iana  cał kowitej  energii  ciał a  &  w  czasie  jest  spowodowan a przyrostem  pracy  dostarczonej  do  ciał a przez  ź ródła  m echaniczn e i n iem echan iczn e. D la  oś rodka  cią gł ego  moc  m echaniczna  bę dzie  równ a  sumie  prę dkoś ci  zm ian y  pracy sił  powierzchniowych  dział ają cych  n a powierzchni  dSP  ciał a 38 oraz prę dkoś ci  zm ian y pracy sił  masowych  wewną trz  cał ej  obję toś ci  SP  ciał a ^ .  M oż emy  n apisać (3.12)  1T =JT n- xda+jb- XQdv. T E R M O D YN AM I C Z N A,  I N TI N I TEZ YM ALN A TEORIA  LEP KOP LASTYC Z N OŚ CI  287 N atom iast  m oc  n iem echan iczn a  spowodowan a  jest  przepł ywem  strumienia  ciepł a q przez powierzchnię ciał a  b£P  oraz prę dkoś cią  zm ian y  energii prom ien iowan ia r n a  jedn ostkę masy  i może  być  wyraż ona  n astę pują co: (3.13)  Q =   j  ą ncł aĄ -  J r^ dv  =   J divqdv+ j  rgdv. S9 » 9 SP En ergia wewn ę trzna  i  ciał a B  m oże być wyraż ona za pom ocą wł aś ciwej energii  wewnę trz- nej  e odniesionej  do jedn ostkowej  masy  w postaci  cał ki (3.14)  <5"=   f- eqdv. 0> Obliczamy  wreszcie energię  kinetyczną Jf  ciał a Ś S (3.15) gdzie  przez k 2  rozum iem y  iloczyn  skalarowy x>x. D la  obszarów, w których  T , x i q są funkcjami  klasy  C 1 , tzn . są cią głe wraz ze swymi pierwszymi  poch odn ym i, podczas  gdy x, i r są funkcjami  klasy C °,  tzn. cią gł ymi, po  wy- korzystaniu  toż sam oś ci (3.16)  JT n- xda=- J[di gdzie E jest  ten sorem  prę dkoś ci  odkształ cenia, moż emy  n apisać (3.17)  QX- X+QB =   divT - x+tr(T E)+Qb- x+óxvq+Qr. N ależy zaznaczyć, że przy  róż n iczkowan iu  m aterialn ym wyraż eń  n a energię  wewnę trzną (3.14)  i  energię  kinetyczną  (3.15)  uwzglę dniliś my  zasadę  zachowania  masy  wyraż oną zwią zkiem (3.18) 4p(qdo) =   0, który  w przypadku  odkształ ceń  infinitezymalnych  m a postać (3- 19)  ,  Q R  =  Q. N apiszem y  równ an ie  (3.17) w nastę pują cej  postaci: (3.20)  (Qx- divT —Qb)- x = ti{TE)—div#—Q8+ rg. U wzglę dniając  w (3.20) pierwsze prawo  ruchu C auchy'ego dostaniemy (3.21)  ti(T E)~dwq- ee  =   - rq. Otrzym an e  równ an ie  jest  speł nione w. każ dym  pun kcie  materialnym  X  ciał a  $%. Jest to róż niczkowa  postać  równ an ia  zachowan ia  energii. 3.5. Druga zasada termodynamiki3). Oznaczmy  przez  • & =   &{X,  t) lokalną tem peraturę,  którą bę dziemy  przyjmowali  ja ko  zawsze  dodatn ią, #  >   0,  tzn .  może być  n p.  m ierzona w skali bezwzglę dnej.  Wprowadź my  n astę pn ie  funkcję  i\  =  rj(X,  t),  którą  bę dziemy  nazywać wł aś ciwą  en tropią  n a jedn ostkę  masy. 3 )  P or.  B. D .  Coleman i  W.  N oll [1]. 288  P.  PERZYN A U waż ając  ą ]$  za wektorowy  strumień entropii spowodowany  przepł ywem  ciepł a i  /• /# za skalarową  prę dkość dostarczania entropii na skutek promieniowania, moż emy zdefinio- wać prę dkość powstawania  entropii w czę ś ci & ciał a J 1 jako (3.22)  B- ^ L dm-  f~dm  +  f±q- nda, gdzie dm jest elementem masy w  8$  w konfiguracji  # ,. N ależy zwrócić uwagę na znak ostatniej cał ki w równaniu  (3.22). Jeż eli wektor strumie- nia  przepł ywu ciał a q jest skierowany  do wewną trz  ciał a, to ze wzglę du n a  to,  że  jednostko- wy  wektor normalny skierowany jest na zewną trz powierzchni  d0>  elementu 0>,  znak anali- zowanej cał ki bę dzie ujemny. W przypadku przeciwnym, kiedy odbieramy od ciał a  38  ciepł o, znak  tej  cał ki  bę dzie  dodatni. Przy  odpowiednich zał oż eniach  regularnoś ci  równanie  (3.22) moż na zapisać  w postaci (3.23) .  3  = J gdzie (3.24)  ^ r , - ^   + jest  wł aś ciwą  prę dkoś cią  powstawania  entropii. D rugą  zasadę  termodynamiki  moż na  ś ciś le  matematycznie  sprecyzować  w  postaci nastę pują cego postulatu: D la  każ dego  dopuszczalnego  procesu  termodynamicznego w  ciele  Ś S  nastę pują ca  nie- równość musi być speł niona w każ dej chwili czasu t i dla wszystkich  czę ś ci  3P  ciał a  88: (3.25)  •   3  >  0. Ś cisłą  definicję  dopuszczalnego  procesu  termodynamicznego  podam y  w  nastę pnym rozdziale. N ierówność (3.25) jest nazywana nierównoś cią  C lausiusa- D uhema. Jak się przekonamy w  nastę pnych  punktach  podstawowy  postulat  wyraż ają cy  drugą  zasadę  termodynamiki bę dzie  nakł adał   pewne  ograniczenia  na  ukł ad  równań  konstytutywnych  opisują cych • s. rozważ any  materiał . Aby  nierówność  (3.25)  był a  speł niona dla  wszystkich  czę ś ci  0* ciał a  Ś B,  warunkiem koniecznym  i  wystarczają cym  bę dzie (3.26)  £  >  o w każ dej  czą stce X  ciał a  3S. D la  każ dego  procesu  termodynamicznego zasada  zachowania  energii  (3.21)  pozwala na  napisanie  (3.24)  w  postaci (3.27)  f M 4  +  J ^ Wprowadzimy  obecnie  jeszcze  jedną  nową  wielkoś ć,  mianowicie  wł aś ciwą  energię swobodną  ip. F unkcję  y(X,  t)  zdefiniujemy  nastę pują cym  równaniem (3.28)  y>  =s- ri&. F unkcja  • ę jest  czę sto  nazywana  swobodną  energią  H elmholtza n a jednostkę  masy. TERMODYNAMICZNA,  INHNITEZYMALNA  TEORIA  LEPKOPLASTYCZNOŚ CI  289 Zróż niczkujemy  m aterialnie  równanie  (3.19).  D ostaniemy  zależ ność (3.29)  f  =  e —§rj—  4rj. U wzglę dniają c,  że  §  >  0 n a podstawie  (3.29) moż emy zwią zek  (3.27) napisać jako  równa- nie (3.30)  0 f =   - y>+  —  tx'(T JS)- 7i&—jq- V&- 4.  Termodynamiczna teoria materiał u  Teologicznego z  wewnę trznymi zmianami strukturalnymi Bę dziemy rozważ ać  ciał o  08,  które może  być  deformowane  i  przewodzić  ciepł o. Celem naszym bę dzie opis dysypacji  w takim ciele. Chcą c ją   bliż ej  scharakteryzować  musimy  zde- cydować  się , jaki  m ateriał   bę dziemy  przypisywać  ciał u  38. P raktyka  bowiem  wykazuje,  że dwa fizykalne  ciał a o identycznym kształ cie i rozkł adzie masy mogą   zachowywać  się   zupeł - nie inaczej  pod wpł ywem  takich samych  obcią ż eń.  Róż nica  ta  spowodowana  jest  tym,  że ciał a te są   z innych materiał ów. M ateriał   ciał a jest  zdefiniowany  zał oż eniem konstytutyw- nym, które jest ograniczeniem nał oż onym  na procesy  termodynamiczne dla  ciał a  SH  i które wyraża  zasadę   determinizmu. W  punkcie  tym  chcemy  opisać  szeroką   klasę   materiał ów, które  nazywaliś my  m ateriał am i  Teologicznymi  z wewnę trznymi  zmianami strukturalnymi. Są  t o materiał y, które przed uplastycznieniem charakteryzują   się  wł aś ciwoś ciami  reologicz- nymi,  a  p o  osią gnię ciu  stanu  plastycznego  mogą   podlegać  odkształ ceniom  trwał ym. Odkształ cenia  te,  nazywane  odkształ ceniami plastycznymi,  wywoł ują   w  materiale  wew- nę trzne zmiany strukturaln e. N ależy  jedn ak  podkreś lić,  że  charakter  procesu  deformacji plastycznych  bę dzie  w  duż ym  stopniu  zależ ny  od  tego  czy  rozważ ane  obcią ż enia,  które wywoł ują   plastyczne  pł ynię cie,  są   statyczne  czy  dynamiczne.  Obcią ż enia  dynamiczne wywoł ują   zwykle  proces  odkształ ceń  plastycznych  zależ nych  od  prę dkoś ci  deformacji. Termodynamiczny  opis  materiał ów Teologicznych  z  wewnę trznymi  zmianami struktu- ralnymi oprzemy n a koncepcji wprowadzenia  param etrów wewnę trznych4>. Aby  zdefiniować  param etry  wewnę trzne  i  omówić  ich  rolę   musimy  podać  róż nicę mię dzy  procesem  termodynamicznym  odwracalnym  i  procesem  termodynamicznym nie- odwracalnym. M akroskopowy  proces  termodynamiczny bę dziemy  nazywać  odwracalnym jeś li  moż liwe jest  przywrócenie  stanu  począ tkowego  ukł adu  i  otoczenia. Proces termody- namiczny  nie  speł niają cy  tych  warunków  nazwiemy  nieodwracalnym. Zmienne  sł uż ą ce  do  peł nego  zdefiniowania  ciał a  36  podczas  odwracalnego  procesu termodynamicznego  nazywamy  zmiennymi  stanu.  W  procesie  termodynamicznym  nie- odwracalnym  aktualn e  wartoś ci  zmiennych  stanu  są   niewystarczają ce,  aby  opisać  stan ciał a  ^ .  Tak  wię c, w  celu  peł nego opisu  stanu  ciał a $) podczas  nieodwracalnego procesu termodynamicznego  wymagane  są   dodatkowe  zmienne,  które  mogł yby  jednoznacznie 4 )  Opis dysypacji  materiał u  za  pomocą   parametrów wewnę trznych został  szeroko omówiony w pracach B. D .  Colemana  i  M . E.  G urtina  [3]  oraz przez  K.  C.  Valanisa  [41,  42],  Inny  opis dysypacji  materiał u  wy- korzystują cy  zanikają cą   pamię ć materiał u  podany  został   przez  B. D .  Colemana  [2],  B. D . Colemana  i V.  J. Mizela  [4],  M. E.  G urtina  i  A.  C.  Pipkina  [11]  oraz  J.  Meixnera  [20]. 8  M ech an ika  Teoretyczn a 290  P .  PERZYN A opisać  wewnę trzną   dysypację   materiał u.  Te  dodatkowe  zmienne  nazywać  bę dziemy  para- metrami  wewnę trznymi5 \ W  przypadku  materiał u  reologicznego  z  wewnę trznymi  zmianam i  strukturalnymi są   dwie jakoś ciowo  róż ne przyczyny  wewnę trznej  dysypacji  m ateriał u.  Przyczyną   pierwszą są   efekty  lepkie  materiał u, a drugą   wewnę trzne  zmiany  strukturaln e  zachodzą ce  podczas deformacji  plastycznych.  W  celu jednoczesnego  opisu  obydwu  przyczyn  dysypacji  wpro- wadzimy  dwie jakoś ciowo  róż ne  grupy  param etrów  wewnę trznych. Bę dziemy  rozważ ać  tylko  infinitezymalne  odkształ cenia  ciał a  Ś fl  speł niają ce  warunek (2.12).  D zię ki  temu  opis  deformacji  ulegnie  istotnemu  uproszczeniu.  Warun ek  (2.12) pozwala  rozdzielić  addytywnie  cał kowite  odkształ cenie  E  n a  odkształ cenie  sprę ż ysto- lepkie i odkształ cenie niesprę ż yste  o  charakterze  trwał ym  (plastycznym)  P, tzn . (4.1)  E=V+P. Proces  termodynamiczny  dla  ciał a J 1 jest  opisany  ukł adem  funkcji  zależ nych  od  czą - steczki  X i  czasu  t, tzn . (4.2)  {A*(x,t),  n(x,t),  a(x,t),  a>(x,t)}. F unkcja  A*  reprezentuje parę   odkształ cenie- temperatura (4.3)  A*  =  {E,&}.  • Czę sto  mówimy,  że  A'*  opisuje  konfigurację   lokalną   temperaturowo- deformacyjną   czą - steczki  X.  F unkcja  77  reprezentuje  zmienne  zależ ne (4.4)  n- {?,ri,T ,q}, gdzie  ip  oznacza  wł aś ciwą   energię   swobodną   na  jedn ostkę   masy,  r\  wł aś ciwą   entropię , T   tensor naprę ż enia i q wektor  strumienia ciepł a  odniesiony  do jednostkowej  powierzchni w konfiguracji  odniesienia Ś $.  F unkcje a i co reprezentują   dwie grupy param etrów wewnę trz- n ych 6j.  Pierwsza  grupa a jest wprowadzona  w celu opisu  efektów  Teologicznych, a  druga co w  celu  opisu  zmian  strukturalnych  zachodzą cych  podczas  deformacji  plastycznych. Postulujemy,  że (4.5)  a - «W>,  j=l,2,...,m, gdzie  a ( J )  d la /   =   1, 2,  ...,  m  są  skalarami,  n atom iast (4.6)  co  =  {x,P,r%  t=> 1,2,...,», gdzie  x reprezentuje  skalarowy  param etr  wzmocnienia  izotropowego,  P oznacza  zdefi- niowany  za  pomocą   zwią zku  (4.1)  infinitezymalny  tensor  odkształ cenia  niesprę ż ystego o  charakterze trwał ym  (plastycznym) i F(i)  {i —  1, 2,  ...,  n) są  symetrycznymi  tensorami drugiego  rzę du  opisują cymi  rozkł ad  dyslokacji. W  zdefiniowanym  powyż ej  procesie  termodynamicznym  dla  ciał a  &  nie  wystę pują dwie  funkcje,  mianowicie  funkcja  sił y  masowej,  b(X,  t)  i  funkcja  okreś lają ca  prę dkość dostarczania  ciepł a  na jednostkę   masy  r  (X, t).  Ponieważ jedn ak  każ dy  proces termodyna- miczny  powinien  być  zgodny  z  prawami  mechaniki  i  term odynam iki,  stą d  speł nienie S )  Definicję   tę   podał   K.  C.  Valanis  [42]. 6> Koncepcja  ta  został a  przedstawiona  w  pracach  [34,  35],  por.  również  [25,  32,  33,  15 i  16]. T E R M O D YN AM I C Z N A,  IN F IN ITEZ YM ALN A  TEORIA  LEP KOP LASTYC Z N OŚ CI  291 pierwszego  równania  ruchu  Cauchy'ego  (3.6) determinuje  gę stość  sił y masowej  b, a speł - nienie  pierwszego  prawa  termodynamiki  (3.21)  okreś la  funkcję  /• . Warto  zauważ yć,  że para  odkształ cenie- temperatura A* — {E,&} reprezentuje  termo- dynamiczne zmienne  stanu.  Ze wzglę du  na zależ ność  (4.1)  oraz na wprowadzenie  drugiej grupy  parametrów  wewnę trznych  a w postaci  (4.6)  moż emy  przyją ć  w celu  wygody  jako termodynamiczne  zmienne  stanu  nową   parę (4.7)  A =  {Ą,{)}, gdzie  V oznacza  infinitezymalne  odkształ cenie  sprę ż ysto- lepkie  zdefiniowane  zależ noś cią (4.1). Wprowadź my  poję cie  czą steczki  uogólnionej p,  która  jest  zdefiniowana  nastę pują co (por.  WAN G   [43]): 1.  Jest  opisana  za  pomocą   funkcji (4.8)  g(t) = {A(t),W ;  a, w}; 2.  Wyposaż ona  jest w ukł ad  funkcji  konstytutywnych  L  =  {W , N , T , Q), A =  {AU)}, j  — 1,2,  ...,m,  Q =  {K, G, Z ( i ) },  i =  1,2,  ...,n,  definiują cych  materiał   w czą steczce X za  pomocą   równań (4.9)  a(t)=A(g(t)), gdzie  W  oznacza  funkcję   konstytutywną   energii  swobodnej,  N  entropii,  T  naprę ż enia, Q strumienia ciepł a, funkcje A^   okreś lają   prę dkość  zmiany parametrów a ( J ) d l a y=   1,2,... ...,m s   K okreś la  prę dkość  zmiany  param etru  wzmocnienia  izotropowego,  G prę dkość zmiany  tensora  odkształ cenia niesprę ż ystego  i Z ( i ) prę dkość  zmiany  tensorów  opisują cych rozkł ad  dyslokacji  (i =  1,2,  . . . , «) . Proces  termodynamiczny  {A, IJ, a, w}  speł niają cy  równania  konstytutywne  (4.9) w  każ dej  czą steczce  uogólnionej p  ciał a  J 1 bę dziemy  nazywać  dopuszczalnym  procesem termodynamicznym. D opuszczalny  proces  termodynamiczny  {A, II, a, co} powinien  być zgodny  z drugim prawem  termodynamiki.  M usimy  zaż ą dać,  aby proces  ten speł niał   postulat  termodyna- miczny  (3.25).  Jest  to równoważ ne  speł nieniu  nastę pują cej  nierównoś ci  [por. z  (3.26) i  (3.30)]: (4.10)  _ y_ ^.+  it r( ri) - - 1^- W;>0 w  każ dej  czą steczce  uogólnionej p w ciele SS. W  celu  zbadan ia  ograniczeń  jakie  nakł ada  postulat  termodynamiczny  zał óż my,  że bę dziemy  rozważ ać  tylko  taki  m ateriał  i takie procesy,  dla których  funkcja  konstytutywna energii  swobodnej  W  jest  róż niczkowalna  wzglę dem g(t). Obliczmy (4.11)  ip(t) =   tr{dy 8* 292  P .  PERZYNA Podstawiają c  rezultat  (4.11)  do  nierównoś ci  (4.10)  otrzymujemy (4.12)  —  tT KT - odr^ Vl- id^ W +^ i Q '- i =   l Wybierają c  dowolnie wielkoś ci  V,&iW   m oż na wykazać, że zawsze potrafim y okreś lić dopuszczalny  proces  termodynamiczny  w ciele  38. Speł nienie  nierównoś ci termodynamicznej  (4.10) daje  nastę pują ce rezultaty: B Vi W   =  0, T {f)  =QdyW (g*(t)), 77(0=   - V/y O *( 0 ) > m (4.13) ^iF - I rJp]- gdzie (4.i4)  J * ( Q - { i i;  a, © }. Zdefiniujmy  funkcję   opisują cą   dysypację   wewnę trzną   materiał u w sposób  nastę pują cy: ] J. (4.15) a = aa+ffa  =  - i Po podstawieniu  (4.15)  do  nierównoś ci  ogólnej  dysypacji  (4.13)4  otrzymamy (4.16)  ( r - - l j -? - V ^ > 0. W  przypadku  jednorodnego  rozkł adu  temperatury  w  cał ym  ciele  38 mamy  V#  =  0 i  wtedy  nierówność  ogólnej  dysypacji  przybiera  postać nierównoś ci  dysypacji  wewnę trznej (4.17)  c r > 0 . Zał óż my  nastę pnie, że wewnę trzne  zmiany  strukturalne  zachodzą   tylko  podczas  de- formacji  plastycznych,  tzn. wtedy  kiedy  Pź 0. Warunek  ten bę dzie  speł niony dla  naszego opisu  jeż eli  przyjmiemy7' (4.18)  K=tr[J 7 )  Ogólniejszy  opis parametrów  wewnę trznych J V)  wprowadzili  J.  Kratochvil i O. W. D illon [16]. T E R M O D YN AM I C Z N A,  I N F U U TEZ YM ALN A  T E O M A  LEP KOP LASTYC Z N OŚ CI  293 Z ał oż enie  to  implikuje,  że  dysypacja  wewnę trzna jest  okreś lona  zależ noś cią 5. M ateriał   sprę ż ysto/ lepkoplastyczny Zajmiemy  się   obecnie  opisem  m ateriał u,  który  przed  uplastycznieniem  posiada  wł aś ci- woś ci  reologiczne,  a  p o  uplastycznieniu  sprę ż ysto/ lepkoplastyczne  (por.  [34 i  35]).  Wyko- rzystamy  w  tym  celu  poprzedn ie  rezultaty  otrzym an e  dla  materiał u  reologicznego  z  we- wnę trznymi  zm ian am i  strukturaln ym i. Z  wzoru  n a  dysypację   wewnę trzną   widzimy,  że  funkcja  G,  która  opisuje  prę dkość zmiany  ten sora  deformacji  niesprę ż ystej  odgrywa  decydują cą   rolę   w  teorii  materiał u z  wewnę trznymi  zm ian am i  strukturaln ym i. .  R ezultaty  badań  eksperym en taln ych  w  zakresie  dynamicznych  wł aś ciwoś ci  materia- ł ów wskazują ,  że  podstawową   przyczyną   róż nego  zachowan ia  się   m ateriał u  podczas dyna- micznego i statycznego  obcią ż enia jest wraż liwość m ateriał u n a prę dkość deformacji  i zmia- ny tem peratury. Efekty  prę dkoś ci  odkształ cenia i zm ian tem peratury mogą   być  uwzglę dnio- ne w  ram ach lepkoplastycznoś ci.  Ogólnie  przyjmuje  się   w  lepkoplastycznoś ci,  że  prę dkość odkształ cenia  nieprę ż ystego  P  jest  funkcją   nadwyż ki  naprę ż enia  n ad  stan  quasi- statycz- nego  uplastycznienia.  T o  zał oż enie jest  um otywowane  fizykalną   teorią   ruchu  dyslokacji dla  m ateriał ów krystalicznych  bazują cą   n a procesach termicznych  aktywacji. M ateriał   reologiczny  z  wewnę trznymi  zm ian am i  strukturaln ym i  przed  uplastycznie- niem  m a  wł aś ciwoś ci  lepkie,  stą d  począ tkowy  warun ek  quasi- statycznego  uplastycznienia powinien  zależ eć  od  efektów  pam ię ci.  Efekty  te  są   opisane  przez  param etry  wewnę trzne a<^.  T ak  wię c,  quasi- statyczny  warun ek  uplastycznienia  może  być  zdefiniowany  nastę - pują co gdzie param etr wzm ocnienia izotropowego  « zdefiniowany  jest równaniam i  (4.9)3 i  (4.18)!, a  tensory  rozkł adu  dyslokacji  równ an iam i  (4.9) 3  i  (4.18) 2. Postulujemy,  że nastę pują ce  równ an ie róż niczkowe  determinuje wewnę trzny param etr P dla  m ateriał u  sprę ż yste/ lepkoplastyczn ego: (5.2)  ? ( 0  =   y (# ) < 0 ( ^ ) > M ( 7 \   fl,  V0;  «, co), gdzie y( # ) jest  zależ nym  od  tem peratury  współ czynnikiem  lepkoś ci  m ateriał u.  Bezwymia- rowa  funkcja  (0^ )  m oże  być  t ak  dobran a  aby reprezentował a  rezultaty  badań  dotyczą ce dynamicznego  zach owan ia  się   m ateriał u. Odpowiedni wybór  funkcji  &(&?)  pozwoli  opisać wpł yw  prę dkoś ci  odkształ cen ia i  tem peratury  n a  granicę   plastycznoś ci  m ateriał u.  Symbol < $(^")>  jest  zdefiniowany  n astę pują co: [ 0  dla(53)  *  { dla  ^ P rzez  M  oznaczyliś my  symetryczny  ten sor  drugiego  rzę du. 294  P.  PERZYNA Z ał oż enie  kon stytutywn e  (5.2)  dla !F  >  0  prowadzi  d o  nastę pują cego  dynamicznego kryterium  plastycznoś ci (5. 4) Zwią zek  (5.4)  może być  interpretowany jako  opis  aktualn ej  zm ian y  powierzchn i pł ynię cia w  czasie  procesu  termodynamicznego.  Z m ian a  ta  jest  wywoł ana  efektami  wzmocnienia, wpł ywem  prę dkoś ci  odkształ cenia  i  tem peratury  n a  granicę   plastycznoś ci  m ateriał u oraz efektami  lepkoś ci.  Warto  podkreś lić,  że  zwią zek  (5.4)  stan owi  bazę   'dla  bad ań  ekspery- mentalnych. U wzglę dniając  zał oż enia  (4.9),  (4.18)  oraz  (5.2)  dostajemy  nastę pują ce  równ an ia róż niczkowe  opisują ce  param etry  wewnę trzne  «  i J W,  i =  1, 2,  . . . ,  n: {   } Wykorzystują c  poprzedn ie  rezultaty  dla  m ateriał ów  Teologicznych  z  wewnę trznymi zmianami  strukturalnym i  i wprowadzon e  zał oż enia kon stytutywn e  moż emy  n apisać  peł ny ukł ad  równ ań  konstytutywnych  dla  m ateriał u  sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  w  postaci: Z  ukł adu  równ ań  konstytutywnych  (5.6)  widzimy,  że  m ateriał   sprę ż ysto/ lepkopla- styczny  jest  opisany  w  procesie  term odyn am iczn ym  nastę pują cymi  funkcjami  konstytu- tywnym i:  W ,Q,A(J),  $(&?), M,  J, S&  oraz  współ czynnikiem  y( # ) . Wszystkie  równ an ia  konstytutywne  (5.6)5_8  opisują ce  wewnę trzne  param etry  a ^ , %,  P, - T(i) zależą   od zm iany  skali  czasu.  R ówn an ia róż n iczkowe  dla  param etrów  wewnę trz- nych  aS^  opisują   efekty  lepkie,  a  równ an ia  róż niczkowe  dla  param etrów  wewnę trznych  «, P, F^   opisują   efekty  lepkoplastyczne.  R ówn an ia  te  jedn ocześ n ie  pokazują ,  że  obecna teoria  m ateriał u  sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  uwzglę dnia  historię   odkształ cen ia  V,  tem- peratury  #   i  gradien tu  tem peratury  V# .  Jest  to  spowodowan e  faktem ,  że  w  celu  scał ko- wania  równ ań  ( 5.6) 5_ 8  i  okreś lenia  aktualn ych  wartoś ci  param etrów  wewnę trznych a ( i ) ( 0 .  x(()>  ^(Oi ^ (t)  w  czą steczce  X  w  ciele  Ś S  m usim y  zn ać  wartoś ci  począ tkowe  a^ \ Xo > Po > Fb^   oraz  cał kowite  historie  V,  ft  i  V# . T E R M O D YN AM I C Z N A,  IN F IN ITEZ YM ALN A  TE OR I A  LEP KOP LASTYC Z N OŚ CI  295 D ysypacja  wewnę trzna  m ateriał u  sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  jest  okreś lona  w  spo- sób  nastę pują cy (5.7)  a = — N ierówność  dysypacji  ogólnej (5.8)  ,0 zapewnia  speł nienie  postulatu  termodynamicznego  dla materiał u  sprę ż ysto/ lepkoplasty- cznego. Zwią zek  dla naprę ż enia  (5.6)2  moż na  napisać  w postaci (5.9)  T  =  *(T ,# ;u,a>). Jeś li  tensor  V m a reprezentować  odkształ cenie sprę ż ysto- lepkie  tak,  aby  zachodził   zwią zek (4.1), to  funkcja  (p* w (5.10)  musi  być  niezależ na  od co.  Bę dzie  to  speł nione, jeż eli  funkcja konstytutywna  energii  swobodnej  m a  postać (5.11)  Ą(g*(t))  = Ąi  (V, ^«)+SV©) • Wtedy (5.12)  T^QdyW^V.^a). Jeż eli  zależ ność  (5.12) jest  odwracalna  wzglę dem  K t o  mamy (5.13)  K =  c> ( r, .0, a) , ską d (5.14)  V =   d T q>T +d & qy$+d a M(g(fj). 6.  Om ówien ie  podstaw  fizykaln ych D eformacje  plastyczne w metalach powstają   gł ównie n a skutek  ruchu defektów  w  krysz- tał ach  nazywanych  dyslokacjami.  Rozkł ad  dyslokacji  w ciele  jest  charakterystyczny dla wewnę trznego  mechanicznego stanu  ciał a,  które poddan e był o plastycznym  deformacjom. Przy  konstruowaniu  teorii  makroskopowej  bazują cej  n a rezultatach  fizykalnych  badań mikroskopowych  powinniś my  rozważ yć  moż liwość  opisu  stanu  wewnę trznego  ciał a  przez 296  P .  PERZYNA podanie  pewnych  ś rednich  wielkoś ci,  które  charakteryzują   rozkł ad  dyslokacji  w  sposób makroskopowy.  Wybór  tych  charakterystycznych  wielkoś ci  jest  niezmiernie  istotny  dla każ dej  teorii  fenomenologicznej.  W  naszych  rozważ aniach  rolę   takich  wielkoś ci  speł nia- ją   parametry  wewnę trzne,  mianowicie  parametr  wzmocnienia  izotropowego  te,  tensor odkształ cenia  niesprę ż ystego  P  oraz  tensor  rozkł adu  dyslokacji  J W  (i =   1,2,  . . . , «) . N ajpierw  podamy fizykalne  motywacje  wyboru  tensora  odkształ cenia niesprę ż ystego  P i parametru wzmocnienia izotropowego  x jako  param etrów  wewnę trznych. Zauważ my,  że  aby  wywoł ać  plastyczne  pł ynię cie  materiał u potrzebn a jest  skoń czona, okreś lona  wartość  naprę ż enia.  N aprę ż enie  to  jest  potrzebne  do  pokon an ia  przeszkód hamują cych  ruch dyslokacji  przez kryształ . Wygodnie  jest  podzielić  te przeszkody  n a  dwie grupy  w  zależ noś ci  od  odległ oś ci  oddział ywania  ich  pól  naprę ż enia  z  polami  naprę ż enia przesuwają cych  się   dyslokacji:  n a  pole  naprę ż enia  dł ugiego  zasię gu  i  n a  pole  krótkiego zasię gu.  Termiczne  aktywacje  nie  odgrywają   ż adnej  roli  przy  pokon an iu  przeszkód  cha- rakteryzują cych  się   polem  dł ugiego  zasię gu,  dlatego  przeszkody  te  są   nazywane  czę sto atermicznymi.  Termiczne fluktuacje  mogą   pom agać  przył oż onym  naprę ż eniom  w  poko- naniu  przeszkód  charakteryzują cych  się   polem  krótkiego  zasię gu.  Te przeszkody  są   nazy wane  przeszkodami  termicznymi  i  one  wł aś nie  są   odpowiedzialne  za  efekty  dynamiczne deformacji  plastycznych. Popularnymi  mechanizmami  termicznych  przeszkód  w  czystych  metalach  są :  naprę - ż enie  Peierlsa- N abarro, las  dyslokacji,  ruch  progów  w  dyslokacjach  ś rubowych,  poś lizg poprzeczny  dyslokacji  ś rubowych  i  wspinanie  się   dyslokacji  krawę dziowych. Mechanizm  przezwycię ż enia  lasu  dyslokacji,  który  może  mieć  miejsce  w  kryształ ach metali  o budowie  f.c.c,  c.p.h. i  b.c.c. w  róż nych zakresach  tem peratur został  opracowany teoretycznie przez  SEEGERA [37]  (por.  również  prace przeglą dowe  [5, 8]). Jeż eli  deformacja  jest  kontrolowana  przez  pojedynczy  proces  termicznej  aktywacji, wtedy  mamy (6.1)  P  =   vexp[- U/ kd], gdzie  U jest energią ,  która powinna być  dostarczona przez  termiczną  fluktuację   dla  każ dej zachodzą cej  aktywacji,  k  oznacza  stał ą   Boltzmanna i  v  współ czynnik  czę stoś ci. Aby  być  w  zgodzie  z  danymi  eksperymentalnymi,  energia  aktywacji  U jest  najczę ś ciej przyjmowana  jako  nieliniowa  funkcja  nadwyż ki  naprę ż enia n ad  stan  uplastycznienia, tzn. (6.2)  U  =  cp[a(T - Y)], gdzie  a jest  stał ą  strukturalną   i  Y  oznacza atermiczne naprę ż enie lub  granicę   plastycznoś ci materiał u. Tak  wię c  prę dkość  odkształ cenia niesprę ż ystego  jest  okreś lona  nastę pują co (6.3)  P  =  vexp{- }. To  implikuje  zależ ność  dla  naprę ż enia (6.4)  T   = Porównanie  teoretycznego dynamicznego  kryterium  uplastycznienia  (5.4) ze  zwią zkiem fizykalnym  (6.4)  pokazuje,  że  fenomenologiczne  kryterium  uplastycznienia  może  być T E R M O D YN AM I C Z N A,  I N F I N I TE Z YM ALN A  TEORIA  LEP KOP LASTYC Z N OŚ CI  297 traktowane jako  uogólnienie dla polikryształ ów  i dla  ogólnego stanu naprę ż enia fizykalnie uzasadnionego  zwią zku  (6.4).  Przy  tym  uogólnieniu  zał oż ono,  że  wpływ  prę dkoś ci  od- kształ cenia  i  temperatury  na  granicę   plastycznoś ci  może  być  opisany  przez  nieliniową funkcję   &(&). Z  powyż szych rozważ ań  wynika również prosta interpretacja wewnę trznego parametru x.  Może on być uważ any  za proste uogólnienie naprę ż enia atermicznego Y. We  wcześ niejszych  pracach  [31]  i  [32] wykazano  na podstawie  wyników  eksperymen- talnych, że nieliniowa  zależ ność  (6.4) może dobrze opisywać dane doś wiadczalne  w całym zakresie  zmian  prę dkoś ci  odkształ cenia. U dowodniono również,  że  wprowadzenie  nieli- niowej funkcji  &(JF) do zał oż eń konstytutywnych! jej wybór na podstawie danych doś wiad- czalnych mogą   być  uważ ane za dobrze uzasadnione hipotezy. Tensory  rozkł adu JW  są   interpretowane przez  RRÓNERA  [17] jako  nadwyż ka  gę stoś ci dyslokacji  - T(1),  nadwyż ka  gę stoś ci  pę tli  dyslokacji  F<2\   nadwyż ka  gę stoś ci  pary  pę tli dyslokacji / "'3), itd. Oczywiś cie,  rozumowanie to może być kontynuowane dalej w ten sam sposób i  wtedy  otrzymamy  nieskoń czony  i peł ny ukł ad parametrów wewnę trznych,  który opisywał by  kompletnie  rozkł ad  dyslokacji.  Jednak  nie  wydaje  się   celowe  wprowadzanie wszystkich  szczegół ów  ze  skali  mikroskopowej  do  opisu  makroskopowego  materiał ów sprę ż ysto/ lepkoplastycznych.  Moż na powiedzieć,  że  nie  wszystkie  szczegóły mechanizmu mikroskopowego  są   waż ne  do  opisu  zjawisk  makroskopowych.  W  praktyce  wygodniej jest posł uż yć się   tylko  pewnymi  uś rednionymi wielkoś ciami  reprezentatywnymi  dla  opisu makroskopowego.  D latego wystarczy zał oż yć skoń czony  zbiór parametrów wewnę trznych JW,  * = 1 , 2 , ..., «. Pierwsza  grupa  parametrów  wewnę trznych  a ^  jest  interpretowana  jako  parametry niezależ ne od prę dkoś ci  odkształ cenia P.  Parametry a ^  są   wprowadzone w  celu opisania tarcia  wewnę trznego.  Wiadomo,  że  tarcie wewnę trzne  w  materiale  może być  wyjaś nione w oparciu o róż ne mechanizmy. Jednak w liniowej aproksymacji  każ dy z tych mechanizmów prowadzi  do  znanych  równań  lepkosprę ż ystoś ci  Boltzmanna. Aby  opisać  ten  przypadek liniowy  należy zlinearyzować  równania róż niczkowe  opisują ce  parametry {[BVJdW dW   ^ N ierówność  dysypacji  ogólnej (7.6)  A zapewnia  speł nienie postulatu  termodynamicznego  dla  m ateriał u  sprę ż ysto/ lepkoplastycz- nego. Odwracają c  zależ ność  dla  naprę ż enia  (7.4)2  wzglę dem  ten sora  V  dostajemy (7.7) ską d (7.8)  "V =   d T  oo. W  tym  przypadku  # " =   0,  tzn. (8.2)  / (r,^p,r< '- ))  =   «. Z  definicji  symbolu  ( ^ ( J ^ ) )  widzimy,  że równanie róż niczkowe  okreś lają ce  parametr wewnę trzny  P  może  być  napisane  w  postaci (8.3)  P(t)  =  CM(T ,$,W ;co), gdzie  param etr  f  =   y(# )< 3> (^)>  może  być  okreś lony  z  warunku, że punkt  reprezentują cy w  przestrzeni  naprę ż enie- tem peratura  aktualny  stan  temperatury  i  naprę ż enia  leży  na powierzchni  pł ynię cia (8.2). Z warunku plastycznoś ci  (8.2) i z ogólnego zał oż enia, że prę dkość parametrów wewnę trz- nych  k i F W znikają,  gdy  P  =   0  moż emy  wydedukować  nastę pują ce  kryterium  obcią ż enia (8.4)  / = «  i  ti(d T fT )+d t f4>0. Podobnie,  kryteria (8.5)  / = «  i  tr(8 T ff)  + 8 9 f'4  < 0 definiują  odpowiednio  odcią ż anie  i  stan  neutralny. Aby  speł nić poprzedn io  wypowiedziane  ż ą danie  odnoś nie pun ktu  okreś lają cego  aktu- alny  stan  naprę ż enia  i  tem peraturę wystarczy  zadoś ć uczynić  równaniu /   =   «,  tzn. (8.6)  tt(d T ff)  + 8 a f^   + ̂ r(d P fM)+C^ tT (d rW fS^ [M])  =  Ctv(JM), 1 = 1 gdzie  obecnie (8.7) (8.8) Z e  zwią zku  (8.6)  dostajemy (8- 9) gdzie  przyję to  oznaczenie n (8.10)  A  -   {t r[( / - 3, /-  £  djtyfSW )]*]}- 1 > 0. (i 300  P.  PERZYNA U wzglę dniając  ostatnie  rezultaty  oraz  kryteria  obcią ż ania  (8.4) i  (8.5)  moż emy  napisać równanie  róż niczkowe  okreś lają ce  param etr  wewnę trzny  P w  postaci (8.11)  P(t) =  Xą tv(d r ff)  + 8Jd]}M(T ,  $, V#;  co), gdzie  symbol  <[ ]>  jest  zdefiniowany  nastę pują co: {[  ] ,  jeż eli  /   =   «  oraz  [ ] > 0,0,  jeż eli  / = «  oraz  [ ] < 0  l u b / < « . Peł ny  ukł ad  równań  konstytutywnych  opisują cy  zachowanie  się  materiał u  sprę ż ysto- - plastycznego  w czasie  procesu  termodynamicznego w czą steczce X  w  ciele  38 ma  po st ać 9 ) (8.13) f T ,  tf,  Vtf;  co), N ależy  zwrócić  uwagę   n a fakt,  że wszystkie  równania  opisują ce  param etry  wewnę trzne są   obecnie  niezmiennicze  ze wzglę du  n a zmianę   skali  czasu. Aby  zapewnić  speł nienie postulatu  termodynamicznego,  należy  obecnie  zaż ą dać  speł - nienia  nastę pują cej  nierównoś ci (8.14)  ffco__LQ.v^^O, gdzie (8.15)  0 a   =   - i < [  ]y okreś la  dysypację   wewnę trzną   materiał u  sprę ż ysto- plastycznego. 9.  M ateriał y  stateczne W  poprzednich  pun ktach  przedstawiona  został a  ogólna  teoria  materiał ów  sprę ż ysto- - lepkoplastycznych.  Teoria  ta był a  rozwinię ta  w  oparciu  o rozważ ania  termodynamiczne w  ram ach  zał oż eń dla  materiał ów z wewnę trznymi  param etram i  stanu.  Od  równ ań  kon- stytutywnych  wymagaliś my,  aby był y  zgodne  z prawam i  term odyn am iki.  Obecnie  rozwa- ż ymy  wę ż szą   klasę   materiał ów, tzn.  materiał y  stateczne.  Poję cie  niesprę ż ystego  materiał u statecznego  został o  wprowadzone  przez  DRTJCKERA  [7].  Wykorzystują c  pewne  spostrze- 9 )  Por.  z wynikami  pracy  A. E.  G reena  i  P .  M.  N aghdiego  [10].  D yskusję   opisu  termodynamicznego materiał ów  sprę ż ysto- plastycznych  moż na  znaleźć również w  pracach  [6, 13, 14, 15, 32—34 i  36]. T E R M O D YN AM I C Z N A,  IN F IN TTEZYM ALN A  TEORIA  LEP KOF LASTYC Z N OŚ CI  301 ż enią   z  teorii plastycznoś ci  celowo  wprowadził   on postulat  ograniczają cy  rozważ aną   klasę materiał ów  do materiał ów statecznych.  Okazuje  się , że wprowadzają c  postulat  o  materiale statecznym  moż na  otrzymać podstawowe  warunki,  których  speł nienie  pozwala  na wypro- wadzenie  równań  konstytutywnych  istotnych  dla  zastosowań  praktycznych. P ostulat  D RU CKERA  O materiale  statecznym  moż na  wypowiedzieć  nastę pują co:  w  da- nym  procesie  izotermicznym  ciał a  38  praca  wykonana  przez  przyrost  sił  zewnę trznych n a odpowiednich  przyrostach  skł adowych  wektora  przemieszczenia  musi  być  nieujemna. P ostulat  ten prowadzi  do  nastę pują cego  warunku (9.1)  f  —  tt(AT AE)dt^ O, ' o gdzie  przyrosty (9.2)  AT  = T ™- T tl>,  AE =  E™- E^ są   okreś lone  przez róż nice tensorów  naprę ż enia i róż nice prę dkoś ci  odkształ cenia liczonych dla  dwóch  róż nych  dróg  obcią ż enia  zaczynają cych  się  od siebie róż nić w chwili  t Q ;  przez t k oznaczono czas  koń cowy. Aby  podać  szczegół owe  interpretacje  ograniczeń  wynikają cych  z  postulatu  D R U C - KFRA, zanalizujemy  bliż ej jego  postać  matematyczną   dla przypadku  nieskoń czenie  mał ych odkształ ceń. Rozważ my  w tym  celu  ciał o  38 o obję toś ci  3f ograniczone  regularną   powierzchnią   dSP, poddan e  dział aniu  sił  powierzchniowych  t  i  sił  masowych  b,  które  są   funkcjami  czasu. Okreś lone  przez  te  warunki  brzegowe  stany  przemieszczenia  u, odkształ cenia E  i naprę - ż enia  T , są  również  funkcjami  czasu.  Zał óż my, że warunki  brzegowe ulegają   pewnym wa- riacjom  i są   okreś lone  sił ami powierzchniowymi  tĄ - At  i  sił ami masowymi  bĄ - Ab, którym odpowiadają :  stan  przemieszczenia  uĄ - Au,  stan  odkształ cenia  EĄ - AE  i  stan  naprę ż enia T Ą - AT .  D efinicję   m ateriał u  statecznego  moż na  przedstawić  w  nastę pują cej  postaci: 'u (9.3)  J  { J  (At- Aii)daĄ -  f  Q(Ab- Au)dv\ df  >  0, jeż eli  t =  0  oznacza  chwilę   przył oż enia przyrostów  sił  zewnę trznych. Wykorzystują c  zasadę   prac  przygotowanych  m oż na  sił y  powierzchniowe,  sił y  obję - toś ciowe i prę dkoś ci  przemieszczenia  zastą pić  naprę ż eniami i prę dkoś ciami odkształ cenia. Z asada  prac  przygotowanych  stwierdza,  że dla dowolnych  cią gł ych  prę dkoś ci  ii zachodzi równość (9.4)  j(t- u)daĄ -  jg(b- u)dv  = gdzie t, b, T  reprezentują   ukł ad  wielkoś ci  statycznych  bę dą cych  w równowadze,  a  u, E są zgodnym  ukł adem  kinematycznym. Z akł adają c,  że rozpatrujemy  tylko  jedn orodn e  stany  naprę ż enia  i  odkształ cenia i wy- korzystują c  zasadę   prac  przygotowanych  (9.4)  z  (9.3) p o  uwzglę dnieniu  (9.2) dostajemy tk (9.5)  J 302  P .  PERZYNA Zał óż my,  że  stan  T ( 1 )  jest  identyczny  ze  stanem  stacjonarnym  T *  w  chwili  t =  0, a  stan  T(2>  bę dzie  stanem  aktualnym,  zmiennym w  czasie i stan  ten  oznaczmy  przez  T . Zanalizujmy  nastę pują cy  zamknię ty cykl  obcią ż enia.  W chwili  t  =   0  aktualny  stan  obcią - ż enia  T  pokrywa  się   ze  stanem  stacjonarnym  T *,  nastę pnie  stan  bież ą cy  T   zmienia  się wzdł uż drogi  M^ M^   (rys.  1) osią gając  w  chwili  t  =>  t t   punkt M 1   odpowiadają cy  stanowi uplastycznionemu.  N a drodze  M X M 2   istnieją   przyrosty  odkształ cenia plastycznego.  Stan M 2   osią gnię ty  zostaje  w chwili  t  =  t 2 .  Poczynają c  od chwili  t 2   nastę puje  odcią ż enie wzdł uż drogi M 2 M 0 .  W chwili  t  =   t k   stan  aktualny  pokrywa  się  ze stanem  począ tkowym  i wtedy T =  T *. Warunek  (9.5)  dla  zamknię tego  cyklu  M^ M^ MxM^   w  czasie  /  e [0, t k ]  daje (9.6)  /   [T - T *][E- E*]dt>0, o gdzie E i 2J* zastę pują   odpowiednio i? ( 2 )  i Ew.  Uwzglę dniają c,  że P* =   0 oraz E =  V+P, wyraż enie  (9.6)  moż na  zapisać  w  postaci10) (9:7)  /   [T - T *]Pdt  + {P(T , K)}'0" >  0, ti gdzie (9.8)  {p(T ,  F)}'o fc  =   /   ( T - r *)  (V- V*)dt. o Rozwijają c  pierwszy  skł adnik  wyraż enia  (9.7)  w  szereg  Taylora  w  punkcie  t  = i  zachowują c  tylko  pierwszy  wyraz,  otrzymamy (9.9)  [ ( r Jeż eli zał oż ymy, że At  =  t 2 —1 ±  jest dostatecznie mał e, ograniczymy  się  wtedy do ż ą dania «statecznoś ci  w  mał ym»  (w  przeciwień stwie  do  ż ą dania  «statecznoś ci  w  duż ym»,  jeż eli przedział  czasu  nie jest  ograniczony  do  mał ego i może być  dowolny),  to nierówność  (9.9) implikuje  nierówność  (9.7). 1 0 )  P or.  P. M .  N aghdi  i  S. A.  M urch [21]. TERMODYNAMICZNA,  IHFINITEZYMALNA  TEORIA  LEPKOFLASTYCZNOŚ CI  303 Ostatnia nierówność  (9.9) pozwala wycią gnąć  pewne waż ne wnioski  dotyczą ce kierunku wektora  prę dkoś ci  odkształ cenia  (w  przestrzeni  dziewię ciowymiarowej  tensor P jest  wek- torem). Zał óż my obecnie, że rozważ ana powierzchnia pł ynię cia dla procesu izotermicznego (9.10)  f(T ,  P, r^ )  =   x jest  w  przestrzeni  naprę ż enia  powierzchnią  wypukł ą. Wyraz  - - r- {{]}'£ jest  zależ ny  od  efektów  lepkich i znika  tylko  wtedy  kiedy  tensor  V jest  tensorem  odkształ cenia czysto  sprę ż ystego.  W  tym  przypadku  tylko  cał kowita praca sprę ż ysta  wykonana  na  zamknię tym  cyklu  jest  równa  zeru.  Zachodzi  to  dla materiał u sprę ż ysto/ lepkoplastycznego,  który  przed  uplastycznieniem  zachowuje  się  sprę ż yś cie. Tak  wię c,  dla  materiał u sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  posiadają cego  wł aś ciwoś ci  lepkie przed  uplastycznieniem  obowią zuje  w  przypadku  materiał u statecznego  nierówność (9.9). N atomiast dla  statecznego materiał u sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  nierówność (9.9) uprasz- cza się  do postaci (9.11)  ( T - T * ) P > 0. Ograniczenie  rozważ ań  do  klasy  statecznych  materiał ów  sprę ż ysto/ lepkoplastycznych prowadzi do interesują cego  wniosku,  że wektor  prę dkoś ci infinitezymalnego  odkształ cenia niesprę ż ystego  P  jest  ortogonalny  do  wypukł ej  aktualnej  powierzchni  pł ynię cia  (9.10). Oczywiś cie  wniosku  takiego  nie  moż emy  wycią gnąć  dla  statecznego  materiał u sprę ż ysto- lepkoplastycznego 11K 10.  Szczególne przypadki Zanalizujemy  pewne  szczególne  przypadki  równań  konstytutywnych  w  klasie  sta- tecznych  materiał ów sprę ż ysto/ lepkoplastycznych.  Bę dziemy  obecnie  rozważ ać  tylko pro- cesy izotermiczne. Przyjmijmy  uproszczoną  postać  statycznej  funkcji  uplastycznienia (10.1) Zał óż my  również  szczególną  postać  równania  róż niczkowego  opisują cego  param etr wzmocnienia  izotropowego (10.2)  K = które  moż na  również  napisać  w  postaci (10.3)  dx  = skąd (10.4)  »  =   J  T dP. 11)  Szeroka  dyskusja  tego  zagadnienia  został a  przeprowadzona  przez  P . M.  N aghdiego  i  S. A.  Mur- cha[21]. 304  P .  PERZYNA W  tym  przypadku  param etr  wzmocnienia  izotropowego  utoż samiamy  z  pracą   odkształ - cenia plastycznego.  Jest  to  bardzo  dobrze  zn an a hipoteza  w  teorii  plastycznoś ci. O  powierzchni  pł ynię cia !F  — 0,  rozważ anej  w  dziewię ciowymiarowej  przestrzeni na- prę ż enia  zakł adamy,  że  jest  regularna  i  wypukł a. N a  podstawie  zwią zku  konstytutywnego  (7.9)  moż emy  napisać  dla  analizowanego przypadku  zależ ność  (por.  [26]) (10.5) gdzie  obecnie  C  oznacza  macierz  sprę ż ystą. W  równaniu  konstytutywnym  (10.5)  wykorzystano  ortogonalność  tensora  P  do  po- wierzchni pł ynię cia. D ynamiczny  warunek  uplastycznienia  przybiera  obecnie  postać (10.6) D alsze  ograniczenia  otrzymamy  przyjmują c  prostsze  postacie  funkcji  statycznego uplastycznienia  # ".  Zakł adają c  na  przykł ad  tylko  opis  wzmocnienia  izotropowego  mamy f(T ,P)  =  *{l + ff- 1 [ ( t r P y 2 ) 1 / *  ( t r ( S T / ) 2 ) - 1 / 2 ] }. (10.7)  ^   (T;  x)  =  ^ —  - 1 , gdzie  x  jest  okreś lone  zależ noś cią   (10.4). Ponieważ funkcja  / zależy  tylko  od naprę ż enia, stą d dla materiał u izotropowego moż emy napisać (10.8) gdzie I T ,  II T ,  III r   oznaczają   niezmienniki  tensora  naprę ż enia  zdefiniowane  przez  (3.10). Równanie  konstytutywne  (10.5)  przyjmie  dla  tego  przypadku  postać (10.9)  E  =   T +8 ulT fII T ]  1 -   [8 IlT f+d niT fI T ]  T +  8 IIlT fT 2 }, gdzie  obecnie  C x   oznacza  macierz  sprę ż ystą   materiał u  izotropowego. Ograniczają c  dalej  wł aś ciwoś ci  materiał u  do  idealnie  plastycznych  bez  wzmocnienia moż na  funkcję   SF  przyją ć  w  postaci (10.10) tzn. (10.11)  k(t)  — 0  ską d  a =   «0  =   con st. Równanie  konstytutywne  dla  tego  przypadku  m a  n adal  postać  (10.9).  Przypadek  ten był   analizowany  w  pracy  [26]. Wyczerpują cą   dyskusję   dalszych  przykł adów  równań  konstytutywnych  dla materiał ów sprę ż ysto/ lepkoplastycznych  wraz z  ich zastosowaniami  do  opisu  metali i  gruntów  moż na znaleźć  w  pracy  przeglą dowej  [29]  lub  monografii  [30]. TERMODYNAMICZNA,  INFINITEZYMALNA  TEORIA  LEPKOPLASTYCZNOŚ CI  305 Literatura  cytowana  w  tekś cie 1. B. D .  COLEMAN   and  W.  N OLL,  T he thermodynamics of  elastic materials with heat conduction  and visco- sity,  Arch.  R at.  M ech. Anal.,  13  (1963),  167—178. 2. B. D .  COLEMAN,  T hermodynamics of  material  with memory, Arch.  Rat.  Mech. Anal.,  17  (1964),  1—46. 3.  B. D .  COLEMAN   and  M . E.  G U R T I N ,  T hermodynamics  with internal state variables,  J.  Chem.  Phys., 47 (1967),  597—613. 4. B. D .  COLEMAN   and  V. J.  M I Z E L,  A  general theory  of dissipation  in materials with  memory, Arch. R at. M ech.  Anal.,  27  (1968),  255—274. 5. H .  CON RAD ,  T hermally activated deformation  of metals,  J.  M etals, 16  (1964), 582—588. 6. D . C.  D RU CKER,  Comments  by  Session  Chairman, Symposium  on  Mechanical  Behavior  of  Materials under  Dynamic  L oads,  September  1967, San  Antonio;  Springer,  New  York  1968,  pp.  405—409. 7. D . C. D RU CKER,  A  definition  of  stable inelastic  material,  J.  Appl.  Mech., 26  (1959),  101—106. 8. A.  G .  EVAN S  and  R. D .  RAWLIN G S,  T he  thermal  activated  deformation  of  crystalline  materials, Phys. Stat.  Sol.,  34  (1969),  9—31. 9. A.  E.  G REEN  and  W.  ZERN A,  T heoretical elasticity,  Oxford,  Second Edition 1968. 10. A. E.  G REEN  and  P. M .  N AG H D I , A  general theory of  an  elastic- plastic  continuum,  Arch.  Rat. Mech. Anal.,  18  (1965),  251—281. 11.  M. E.  G U R TI N   and  A.  C.  P I P KI N ,  A  general theory of  heat  conduction  with finite  wave  speeds,  Arch. R at .  Mech. Anal.,  31  (1968),  113—126. 12. K.  HOHENEMSER and W.  PRAOER,  Obcr die Ansatze  der Mechanik isotroper Kontinua,  ZAM M ,  12 (1932), 216—226. 13.  J.  KESTIN ,  On  the  application  of  the principles of  thermodynamics  to  strained  Solid  materials,  IU TAM Symposium  on  Irreversible  Aspects  of  Continuum Mechanics, Vienna,  June  22—25,  1966;  Springer, Wien  1968,  pp.  177—212. 14. J.  KESTIN  and J. R.  R I C E , Paradoxes  in the application of  thermodynamics to strained solids, International Symposium  on a  Critical  Review  of  the  F oundations of  Relativistic  and  Classical  Thermodynamics, U niversity  of  Pittsburgh,  April  7—8,  1969. 15.  J.  KRATOCITVIL  and  O. W.  D I LLON ,  T hermodynamics of  elastic- plastic materials as a theory  with internal state  variables,  J.  Appl.  Phys.,  40  (1969),  3207—2318. 16. J.  KRATOCH VIL  and O. W. D I LLON ,  T hermodynamics of crystalline elastic- visco- plastic  materials, J.  Appl. Phys., 41  (1970),  1470—1470. 17. E.  KRON ER,  Dislocation; A  new  concept in  the  continuum theory of plasticity, J.  M ath, and  Phys., 42 (1962), 27—37. 18.  E.  KRON ER,  Initial studies of  a plasticity  theory based upon  statistical mechanics,  The Battelle Institute Colloqium  on  the  Inelastic  Behavior  of  Solids,  September,  1969. 19. L. E.  MELVERN ,  T he  propagation of  longitudinal waves  of plastic deformation  in a bar  of  material exhi- biting  a  strain rate  effect,  J.  Appl.  M ech.,  18  (1951),  203—208. 20. J.  MEIXN ER,  Processes in simple thermodynamic materials, Arch.  Rat.  Mech. Anal.,  33  (1969), 33—53. 21.  P . M.  N AG H D I  and  S. A.  M U R C H ,  On  the  mechanical behavior of  viscoelastic  -  plastic solids, J.  Appl. M ech., 30  (1963),  321—328. 22.  W.  N O LL,  A  mathematical  theory of  the  mechanical behavior  of  continuous  media, Arch.  R at. M ech. Anal., 2(1958),  193—228. 23.  W.  OLSZAK  and  P.  PERZYN A,  T he  constitutive equations  of  the flow  theory for  a  non- stationary  yield condition, Eleventh International  Congress  of  Applied  Mechanics, Munich,  August  30 to September 5, 1964,  P roc.  Springer  1966,  Berlin,  pp.  545—553. 24. W.  OLSZAK  and  P.  PERZYN A,  On  elastic- visco- plastic  soil,  P roc.  Symposium  on  Rheology  and  Me- chanics  of  Soils,  G renoble, April  1964. 25.  W.  OLSZAK  and  P.  PERZYN A,  T hermal effects  in  viscoplasticity,  P roc.  IU TAM  Symp.  East  Kilbride, June  25—28,  1968,  Springer,  pp.  206—212. 26. P . PERZYN A,  T he constitutive equations for  rate sensitive plastic materials, Quart. Appl.  M ath., 20 (1963), 321—332. 9  Mechanika  Teoretyczna 306  P .  PERZYN A 27. P.  PERZYN A,  T he cottstitutive  equations for  work- hardening  and rate  sensitive plastic  materials, P roc. Vibr.  Probl.,  4  (1963),  281—290. 28. P .  PERZYN A  and  T.  WIERZBICKI,  T emperature  dependent and strain  rate  sensitive plastic materials, Arch.  Mech.  Stos.,  16  (1964),  135—143. 29. P .  PERZYN A,  Fmidamentał  problems in  viscoplasticity,  Advances  in Applied  M echanics,  9  (1966), pp. 243—377. 30. P .  PERZYN A,  T eoria  L epkoplastycznoś ci,  PWN ,  Warszawa  1966. 31.  P. PERZYN A,  On physical fundations of  viscoplasticity,  Report  of  the Institute of  F undamental Techni- cal  Research,  28/ 1968;  12th International Congress  of Applied  and Theoretical  Mechanics,  Stanford, August 1968. 32. P .  PERZYN A,  T hermodynamic  theory of  viscoplasticity,  Advances  in  Applied  Mechanics,  U   (1971). 33.  P .  PERZYNA  and W.  WOJN O,  T hermodynamics  of  a  rate sensitive plastic  material,  Arch.  M ech.  Stos., 20  (1968),  499—511. 34. P .  PERZYN A,  T hermodynamics  of  rheological  material with  internal changes,  Journal  de  M ecanique, 10  (1971), 391—408. 35.  P .  PERZYN A, On rheological effects and internal changes of a material, Bull. P ol. Scien., SeY. Scien. tech., 19  (1971), I, 177—181;  I I , 183—188. 36. D .  RIBIN ,  Mechanical and thermodynamic considerations  of  an  assemblage of  homogeneous  elastic- plastic states, J.  Appl.  Mech.,  35  (1968),  596—603. 37. A.  SEEGER, T he generation of lattice defects by moving dislocations, and its application  to the  temperature dependence  of flow- stress of fee.  crystals, Phil.  Mag., 46  (1955),  1194—1217. 38.  B. B.  C OKOJI OBC KH H ,  PacnpocmpaneHue  ynpy:o~en3KO- njiacmunecKux  BOM B  cmepwcHHX,  IIpH Kji. MaT.  M e x o 1 2 ( 1 9 4 8 ) 3 3 . 39. C.  TRUESDELL  and R. A.  TOU P IN ,  T he Classical Field  T heories, Encyclopedia  of  Physics,  vol. 111/ 1. Springer,  Berlin  1960, pp.  226—793. 40. C. TRUESDELL and W.  N OLL,  T he N on- L inear Field T heories  of  Mechanics, Encyclopedia  of  Physics, vol.  n i/ 3, Springer,  Berlin  1965. 41.  K. C.  VALANIS,  Unified  theory of  thermomechanical  behavior of  viscoelastic  materials, Symposium  on Mechanical  Behavior  of  Materials  under  D ynamic  Loads,  September  1967, San An ton io;  Springer, New  York  1968, pp. 343—364. 42. K. C. VALANIS, Proof of existence of  entropy for  irreversible systems, Acta  M ech., in print. 43.  C. C.  WAN G ,  Generalized simple bodies,  Arch.  R at. Mech.  Anal.,  32  (1969),  1—29. 44. W.  WOJN O,  Uwagi  o  infinitezymalnej  teorii materiał ów  sprę ż ysto- lepkoplastyeznych,  Mech. Teor,  Stos., 8  (1970), 239—256. P  e 3  IO  M e B«3K0- nJIACTirqECKHX I Jem ao  pa6oTbi  HBjraeTCH   TiuaTejibHbift  aiiajiH 3  TepMOflHHaiuiraecKoft  Teopira B  npeflnoJio>KeHHH 3 OTO fleKfleHH   OCH OBW  MexaHHKH  H  TepMoflHHaMHKii  cnnouiH OH   c p eflt i.  B t o - flH TCH   oripeR en eim e  IIOH H TH H   Tena,  a  aaTeivi  H3JiaraiOTCH   on ucaiOM   flecpopiwairtrii  H  H anpa»ceH H H .  H a ocHOBe  HHTerpaJiBHLix  cbopMVOTpoBOK  BMBefleHbi  ypaBHeHHH   ABH>KeHHH   K O H I H ,  n e p B t r a  H  BTOpoił npH H U H ntl  TepMOflHHaiYIHKH. Pa3Aen  4  coflep>iiK«eH bi  MexaHH3Mbi,  npH Bo/ ynim e  K T eopan  yn p yr o - B  pa3flejiax  7  HO 10 flaeTCH  aH arai3 HeKOTopbix  ^acxH bix  ciry^aeB  M aTepnanoB.  I I I H P O K O  oBcysKflaKw S u m m a r y I N F I N I TE SI M AL  TH EORY  OF  VISCOPLASTICITY The  object  of this  paper  is to discuss a thermodynamic theory  of viscoplasticity  under the assumption of  infinitesimal  deformations. In  the  first  part  the foundations  of  mechanics  and thermodynamics  of  continua are analyzed.  After defining  a continuous  body  the  descriptions  of deformation  and  stress are showed.  Based  on integral for- mulation Cauchy's laws an d the principles  of thermodynamics  are stated. I n  p . 4 a  mathematical  theory  of a rheological  material  with  internal  structural  changes  is  proposed. To  describe  the internal dissipation  of a material  two  groups  of internal parameters  are introduced. In p . 5 this theory is used to describe  the properties of an elastic- viscoplastic  material. Restrictions implied by ther- modynamics  and the assumption  of  infinitesimal  deformations  are  discussed. In  p . 6 the physical  foundations  of viscoplasticity  are analyzed.  The mechanisms  generating  the rheolo- gical  effects  and  dynamic  plastic  deformations  are investigated.  The  mechanisms  leading  to the theory of an  elastic- viscoplastic  material  are  discussed. In  p . 7—10  some particular  cases of materials  are investigated.  In particular  the stable  material is des- cribed. INSTYTUT  PODSTAWOWYCH  PROBLEMÓW  TECHNIKI  PAN Praca  został a  zł oż ona  w Redakcji  dnia 31 paź dziernika  1971  r. 9*