Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,10  (1972) IN Ż YN IERSKIE  M ETOD Y  AN ALIZY  KON STRU KCJI SPRĘ Ź YSTO- PLASTYCZN YCH A N T O N I  S  A  W  C Z  U   K  ( WAR S Z AWA) 1.  Wstę p G ł ówną   wł aś ciwoś cią   inż ynierskich  teorii  jest  dą ż enie  do  prostoty  opisu  matematycz- nego  rozpatrywanej  grupy  zagadnień  technicznych,  przy  równoczesnym  uję ciu  tym  opi- sem  najbardziej  charakterystyczn ych  cech  fizycznych  badan ych  zjawisk.  Celem jest  takie m atem atyczn e  uję cie  problem u,  które  był oby  zarazem  ś cisłe i  praktyczne.  Ś cisł ość  polega n a  tym ,  że  rozum owan ie  prowadzi  się   w  oparciu  o  sprecyzowane  zał oż enia i  w  myśl  pra- wideł   odpowiedniej  dziedziny  m atem atyki.  P raktyczn ość  n atom iast  wyraża  się   w  tym,  że stosowane  m etody  m atem atyczn e  pozostają   w  zasię gu  umieję tnoś ci  inż ynierów.  Oczy- wiś cie m etody te stają   się   coraz bardziej  wyrafinowane  w m iarę  pogł ę biania  przygotowania zawodowego  inż ynierów  w  zakresie  n au k  podstawowych Wymienione  wyż ej  przym ioty  cechują   w  duż ym  stopniu  mechanikę   konstrukcji,  for- muł ują cą   zasady  i  opracowują cą   m etody  obliczenia  wytrzymał oś ci  i  bezpieczeń stwa  bu- dowli  i  urzą dzeń.  Wprowadza  o n a  cał y  szereg  róż nego  typu  postulatów  i  uproszczeń, prowadzą cych  w  rezultacie  do  ł atwiejszych  równ ań  róż niczkowych,  do  prostszych  m etod m atem atycznych  lub  do  ustalen ia  algorytmów  obliczeniowych. W  pierwszym  rzę dzie  idealizujemy  • — podobn ie ja k  to  ma  miejsce  w  mechanice  oś rod- ków  cią gł ych  —•  zachowan ie  się   m ateriał u pod  oddział ywaniami  zewnę trznymi,  przyjmują c odpowiedn i  «m odel»:  liniową   sprę ż ystoś ć,  idealną   plastycznoś ć,  okreś lony  typ  wzmocnie- n ia plastycznego,  liniowe  lub  nieliniowe  peł zanie it p. N astę pną   grupę   uproszczeń  stanowią zał oż enia  dotyczą ce  kin em atyki  odkształ cenia.  Wprowadzam y  n p.  zał oż enie  pł askich przekrojów,  ograniczam y  się   do  stosowania  zwią zków  dotyczą cych  mał ych odkształ ceń, pomijamy  n iektóre  skł adowe  wektora  przemieszczenia  ja ko  wielkoś ci  mał e  w  porówn an iu z  ugię ciem.  Wprowadzam y  również  uproszczenia  do  równ ań  ruchu,  pomijają c  niektóre skł adowe  ten sora  n aprę ż en ia  w  zależ noś ciach  opisują cych  równowagę   ukł adu  lub  pomija- ją c  m om en ty  n aprę ż eń  w  przekrojach,  jak  to  m a  n a  przykł ad  miejsce  w  bł onowej  teorii powł ok.  N ie  są   z  reguł y  rozróż n iane  stany  równowagi  w  konfiguracjach  nieodkształ conej i  odkształ conej.  O drę bna  wreszcie  grupa  uproszczeń,  to  stosowanie  przybliż onych  metod rozwią zywania  otrzym ywanych  równ ań . N awyk  posł ugiwan ia  się   ustalon ym i  schem atam i  m oże  spowodować,  że  czasem  zapo- m in am y  o  «wrodzonych»  ogran iczen iach  okreś lonych  teorii  czy  m etod analizy  konstrukcji. 310  A.  SAWCZUK Stoją c  przed  nowym  zagadnieniem  inż ynierskim  m am y  tendencję   do  «uogóln ian ia»  istnie- ją cych  teorii  czę sto  bez  dokł adnej  analizy  zał oż eń  upraszczają cych  i  ich  konsekwencji dla równ ań problem u, bez  oceny  rzę du  wielkoś ci  pom ijalnych  czł onów itp.  M oż emy  w  ten sposób  dojść  do  wewnę trznie  sprzecznych  teorii,  uwzglę dniają cych  n iektóre  wielkoś ci wyż szego rzę du, a pomijają cych,  wskutek  dziedziczonych zał oż eń, bardziej  istotn e  wpł ywy. W  konsekwencji  powstają   metody,  które nie  tylko  n ie  umoż liwiają   iloś ciowej  oceny  bada- nego  zjawiska,  ale  i  niewł aś ciwie  je  ujmują . D latego  też  przy  opracowywaniu  inż ynierskich  m etod  analizy  bardziej  zł oż onych za- gadnień  z  dziedziny  mechaniki  konstrukcji  sł uszne jest  takie  podejś cie,  w  którym  prze- chodzimy  od zasad  czy  zależ noś ci  ogólnych  do  m etod  i zależ noś ci  przybliż onych.  F orm u- ł ujemy  wówczas  praktyczn e  metody  przez  wprowadzan ie  uproszczeń ,  których  skutki moż emy  ocenić.  Celem,  do  którego  wówczas  ś wiadom ie  zdą ż amy,  jest  «praktycznoś ć» teorii. Analiza  lekkich,  a  wię c  wiotkich  konstrukcji  sprę ż ysto- plastycznych,  badan ie  doty- czą ce  zachowania  się   konstrukcji  niesprę ż ystych  p o d  dział an iem powtarzan ych  obcią ż eń, analiza  noś noś ci  granicznej  elementów  znajdują cych  się   w  zł oż onych  stan ach  zginania i  ś ciskania,  badan ia  wpł ywu  uderzeń  i  fal  n aprę ż en ia  n a  trwał ość  kon strukcji  i  poł ą czeń, warunki  lokalnej  statecznoś ci  elementów  konstrukcji  sprę ż ysto- plastycznych  —  są   przy- kł adowymi  grupami  zagadnień,  które  są   dość  dobrze  opracowan e  od  stron y  podstaw, a  niedostatecznie  wprowadzone  w  sferę   dział alnoś ci  inż ynierskiej.  Sposobam i,  którym i ten  stan  rzeczy  m oż na  zmienić  są   z jedn ej  strony  popularyzacja  już  istnieją cych  inż ynier- skich  metod  analizy  konstrukcji  plastycznych,  z  drugiej  zaś  —  opracowan ie,  stosownie do  wspomnianych  wyż ej  zasad,  takich  praktyczn ych  m etod,  które  umoż liwiał yby  szybkie uzyskiwanie  przez  projektan tów  wiarygodnej  odpowiedzi. W  obecnym  artykule  zamierzamy  omówić  tzw.  kin em atyczn e  podejś cie  w  analizie konstrukcji  sprę ż ysto- plastycznych  oraz  wskazać  te  dziedziny,  w  których  m oż na  n adać tej  metodzie  postać  umoż liwiają cą   wykorzystanie  m etod  i  wyników  bezpoś redn io  w  pro- jektowan iu.  Rozpoczniemy  od  metod  oceny  n oś n oś ci  granicznej  kon strukcji,  a  n astę pn ie omówimy  zagadnienia  teorii  przystosowania.  Z  kolei  zajmiemy  się   noś noś cią   graniczną w obecnoś ci sił  bł onowych i m etodam i oceny statecznoś ci rozwią zań  uzyskiwanych  w  opar- ciu  o zał oż enia teorii  noś noś ci  granicznej.  Okazuje  się ,  że  ocen a  statecznoś ci jest  moż liwa tylko  wtedy,  gdy  odejdziemy  od  stosowania  zał oż enia  o  nieskoń czenie  m ał ych odkształ - ceniach  i  oprzemy  się   n a  teorii  duż ych  odkształ ceń. Bę dzie  to  przykł ad przejś cia  od  nieli- niowej  m echaniki kon tin uum do  praktyczn ych  m etod  oceny,  n a  przykł ad  «efektu  tarczo- wego).  Ostatnią   grupę   w  tym  omówieniu  stanowią   zagadn ien ia  dyn am iki  konstrukcji plastycznych. 2. Noś ność graniczna Teoria  noś noś ci  granicznej  jest  jedn ą   z  najpeł niej  opracowan ych  dziedzin  m echaniki konstrukcji  niesprę ż ystych.  R ozpatruje  on a  kon strukcje  sztywno- plastyczne,  a  przy  do- datkowym  zał oż eniu  o  mał oś ci  odkształ ceń —  równ ież  sprę ż ysto- plastyczne,  w  chwili ich  równowagi granicznej,  czyli  w  m om encie  przekształ cen ia  kon strukcji  w  m echanizm o  co  najmniej  jedn ym  stopn iu  swobody.  Teoria  ta  zajmuje  się   tylko  przypadkiem  propor- I N Ż YN I E R SK IE  M ETOD Y  AN ALI Z Y  K ON STR U K C JI  311 cjonalnego  n arastan ia  obcią ż eń  zewnę trznych.  Wszystkie  obcią ż enia  wzrastają   proporcjo- n aln ie  do  jedn ego  param et ru ,  n p .  czasu,  i  to  w  sposób  m onotoniczny, a  zarazem  dosta- tecznie powoli,  t ak  aby  m oż na był o zan iedbać  efekty  dynam iczne. Celem  teorii  n oś n oś ci  granicznej  jest  opracowan ie  m etod  wyznaczania  intensywnoś ci obcią ż enia  granicznego,  a  wię c  takiego  obcią ż enia,  przy  którym  rozpoczyna  się   plastyczne pł ynię cie  kon strukcji.  P rzy  tej  granicznej  intensywnoś ci  obcią ż enia  konstrukcja  staje  się mechanizmem  znajdują cym  się   w  chwilowym  ruch u.  N ależy  szczególnie  podkreś lić,  że teoria  n oś n oś ci  granicznej  zajmuje  się   tylko  począ tkiem  ruchu,  a  wię c  nie  m oż na  za  jej pom ocą   opisać  n p .  zjawisk  wzm ocnienia. W  zakres  zain teresowan ia  teorii  noś noś ci  granicznej  wchodzą   zarówno  konstrukcje z  m ateriał ów jedn orodn ych ,  n p .  m etali, ja k  i  kon strukcje  o  zł oż onej  budowie  przekroju poprzecznego  elementów,  n p .  uwarstwione,  zbrojon e  it p . —jeś li  tylko  m o ż n a. do  nich zastosować  idealn ie  plastyczny  model  odkształ cenia. Teoria  n oś n oś ci  granicznej  posł uguje  się   m etodam i  o  róż nym  stopniu  trudnoś ci, w  za- leż noś ci  od  wymaganej  dokł adn oś ci  i  kom pletnoś ci  poszukiwanego  rozwią zania.  Peł ne rozwią zanie  problem u, stan owią ce w  istocie  rozwią zanie  problem u brzegowego dla równań teorii  plastycznego  pł ynię cia, jest  n a  ogół   trudn e  do  uzyskania.  Takie  rozwią zanie  daje peł ną   informację   n a  tem at  rozpatrywan ego  problem u,  a  wię c  nie tylko  wyznacza  obcią ż e- nie  graniczne,  ale  okreś la  także  sił y  wewnę trzne  w  każ dym  przekroju,  a  również  i mecha- nizm ,  stosownie  do  którego  kon strukcja  się   «ł amie»  w  chwili  wyczerpania  noś noś ci. Aby  ł atwo  uzyskiwać  wielkość  najbardziej  interesują cą   inż yniera,  to  jest  obcią ż enie graniczne,  sform uł owane  został y  twierdzenia  i  rozwinię te  metody  pozwalają ce  n a  szybkie otrzym an ie informacji  o tej  wielkoś ci.  M ówią c  o twierdzeniach  mamy n a myś li  tzw.  twier- dzenia  podstawowe  teorii  n oś n oś ci  granicznej  [23],  które  pozwalają   oszacować  noś ność zarówn o  od góry, ja k  i  od  doł u,  a wię c okreś lić  przedział  w jakim  n a pewno  mieś ci  się  rze- czywista  n oś n ość  gran iczn a,  odpowiadają ca  rozwią zaniu  zupeł nemu.  Sformuł owanie  tych twierdzeń  i  odpowiedn ie  dowody  znaleźć  m oż na  n p. w  m onografiach  [7,  16,  22, 28]. Twierdzenia  o  oszacowaniu  noś noś ci  granicznej  są   przykł adem  wł aś ciwego  przejś cia od  ogólnej  teorii  do  praktyczn ych  m etod,  dają cych  prawdziwą   informację   o  interesują cej inż yniera  wielkoś ci.  W  oparciu  o  te  twierdzenia  m oż na  formuł ować  metody  dotyczą ce szczególnych  zagadn ień  czy  szczególnych  typów  konstrukcji.  Takie  metody  z  dziedziny noś noś ci  granicznej,  które  powstają   bez  nawią zania  do  tych  twierdzeń,  pozostają   tylko m etodam i  przybliż on ym i,  których  stopn ia  dokł adn oś ci  nie  m oż na  ocenić. P rzykł adem  dobrej  inż ynierskiej  teorii,  zwią zanej  z  twierdzeniem  o  górnej  granicy noś noś ci kon strukcji, jest m et oda lin ii zał omów w  teorii noś noś ci  granicznejjpł yt.  P owstał a on a  n a  drodze  syntezy  pewnych  faktów  doś wiadczalnych  dotyczą cych  pę kan ia  pł yt  ż elbe- towych.  Jest  t o  wię c  przykł ad  podejś cia  kinematycznego,  ale  jej  ogólniejsze  znaczenie stał o  się   niewą tpliwie  p o  sformuł owaniu  wspom nianych  wyż ej  twierdzeń. P un ktem wyjś cia  tej  m etody jest stwierdzenie,  że do przekształ cenia pł yty w mechanizm wystarczy,  by  powstał  w  niej  pewien  kinematycznie  dopuszczalny  ukł ad  obszarów  upla- stycznionych.  Lin ie  tych  skoncentrowanych  odkształ ceń :  linie  zał omu,  dzielą   pł ytę   n a skoń czoną   liczbę   obszarów,  o  których  zakł adam y,  że  pozostają   sztywne  [5,  12].  R uch otrzym an ego  u kł ad u  sztywnych  pł atów,  stykają cych  się   ze  sobą   wzdł uż  linii  przegubów, jest  moż liwy  wówczas,  gdy  linie  te  są   osiami  chwilowego  obrotu.  M oż na wtedy  zbudować 312 A.  SAWCZUK plan  prę dkoś ci  obrotu.  D la  swobodnie  podpartej  pł yty  kwadratowej  kinematycznie  do- puszczalny  ukł ad  linii  zał omów podaje  rys.  la .  Odpowiedni  plan  prę dkoś ci  obrot u  przed- stawia  rys.  lb,  podają cy  wektory  obrotów  pł atów  / ,  2,  3,  4  wokół   chwilowych  osi  o br o t u : p o d p ó r  i  linii  zał om u. W  izotropowej  pł ycie  jedn ostkowy  m om en t  plastyczny  przekroju  jest  niezależ ny  od kierun ku  linii  zał om u.  D latego  też,  rozpatrują c  chwilowy  ruch  kinem atycznie  dopuszczal- Rys.  1. M etoda linii zał omów a)  m echan izm  zniszczenia,  b)  p lan  prę dkoś ci  o bro t u  pł atów nego  mechanizmu  i  stosują c  zasadę   prac  przygotowawczych  otrzymujemy  w  tym  przy- padku  nastę pują cą   zależ ność  pom ię dzy  mocą   obcią ż eń  zewnę trznych  P  n a  prę dkoś ciach ugię ć  W   a  rozpraszaniem  energii  n a  obroty  plastyczne  Ó t   w  przegubach  o  dł ugoś ci  L t (2.1) D la  równ om iern ie  obcią ż onej  pł yty  kwadratowej  o  wym iarach,  ja k  n a  rys.  la ,  otrzy- mane  z  (2.1)  obcią ż enie  graniczne,  a  ś ciś lej:  jego  górn a  ocen a,  wynosi  p  =   P L 2 / M 0  =   6 w  przypadku  warun ku  plastycznoś ci  najwię kszego  m om en tu  gł ównego,  n atom iast  p  = =   2/ )/ 3  - 6 fcf 6,92  dla  pł yty  podlegają cej  warun kowi  H ubera- M isesa. N oś n ość  graniczną   m oż na  otrzym ać  rozwią zując  problem  brzegowy  dla  równ ań sprę ż ysto- plastycznego  zginania  pł yty.  P rzy  takim  podejś ciu  ś ledzimy  uplastyczn ian ie  się pł yty  wskutek  przyrastają cego  obcią ż enia.  M oż liwe  jest  tylko  num eryczn e  rozwią zanie ukł adu  równ ań .  R ezultat  obliczeń  przeprowadzon ych  przy  zastosowan iu  m etody  elemen- tów  skoń czonych  pokazan o  n a  rys.  2,  dla  przypadku  pł yt  podlegają cych  warun kowi plastycznoś ci  H ubera- M isesa  [1]. Widać  zeń, ja k  przyrasta  ugię cie w ś rodku  pł yty  ze  wzro- stem  obcią ż enia  oraz jaki jest  ukł ad  stref  uplastycznionych  w  chwili  wyczerpania  n oś n oś ci. Otrzym an y  ukł ad  stref  plastycznych  koncentrują cych  się   wzdł uż  przeką tn ych  potwierdza dopuszczalność  idealizacji  z rys.  la .  D la porówn an ia zazn aczon o również  n a  rys.  2  wartość obcią ż enia  granicznego  uzyskanego  n a podstawie  teorii lin ii  zał om ów dla pł yty z m ateriał u H ubera- M isesa. I N Ż YN I E R SK IE  M ETOD Y  AN ALI Z Y  KON STR U KC JI 313. 2 E W0H 9   Ą,   I 2 Rys. 2. Zginanie  pł yty  sprę ż ysto- plastycznej a)  rozwią zan ie  n um eryczn e,  b)  ocena  górn a  n oś n oś ci  granicznej P rzykł ad  ten  wskazuje,  że  m etoda  linii  zał om ów  posł ugują ca  się  niezwykle  prostą zależ noś cią  (2.1)  stan owi  przydatn e  n arzę dzie  przy  ocenianiu  udź wigu  pł yt.  M etoda  ta został a  u  n as  wprowadzon a  przez  OLSZAKA  [20,  21]  i  doczekał a  się  szeregu  opracowań monograficznych  [8,  11,  18,  19,  26,  28]  oraz  bad ań  doś wiadczalnych  [26, 27]. M etoda linii  zał omu  lub skoncentrowanych  (prę dkoś ci)  odkształ ceń  może być  stosowana do  oceny noś noś ci granicznej  powł ok, poł ą czeń  ś cinanych,  wysokich  belek  itp.  [5, 24, 34]. Jako  przykł ad  rozpatrzym y  zbiorn ik  walcowy  o  wysokoś ci  L ,  zamocowany  u  podstawy i  swobodn y  n a  górn ym  brzegu.  Z biorn ik  poddan y jest  dział an iu parcia  hydrostatycznego P  —  P o   ( £ —x ) .  W chwili wyczerpania  noś noś ci zbiorn ik  walcowy  przekształ ca się  w  ś cię ty stoż ek.  N astę puje  więc  przyrost  obwodu  oraz pojawia  się  przegub  plastyczny  u  podstawy zbiorn ika.  Wycinek  zbiorn ika  i  odpowiednie uogólnione odkształ cenia  pokazan o n a rys.  3. Z asada  bilan sowan ia  m ocy  obcią ż eń  zewnę trznych  i  energii  rozpraszanej  n a  wywoł anie odkształ ceń  plastycznych  przyjmuje  —  n a  jedn ostkę  obwodu  —•  nastę pują cą  postać L   L PW dx = —-  J  N o Adx+M o 0, o gdzie  M o   i  N o   są  odpowiedn io  jedn ostkowym  m om en tem  granicznym  w  przegubie  AB oraz  graniczną  sił ą  obwodową ,,  jaką  m oże  przenieść  ś cianka  zbiornika.  Ponieważ,  jak (2 . 2 ) to ł atwo stwierdzić  n a podstawie  rys.  3:  A  —  QW   — QW 0 - ~—otrzymujemy  w rezultacie, że (2. 3) 314 A.  SAWCZUK M , Rys.  3. Mechanizm zniszczenia zbiornika Jest  to  górn a  ocena  noś noś ci  granicznej  zbiorn ika.  D oln ą   ocenę   otrzym ać  m oż na  bez- poś redn io  z  rozwią zania  «sprę ż ystego».  P eł ne  rozwią zan ie  problem u  wraz  z  wyznacze- niem  zakresu  RjL ,  dla  którego  stosuje  się   (2.3), znaleźć  m o ż na  w  [11, 29]. Przejdziemy  z  kolei  do  rozpatrzen ia noś noś ci  granicznej  ukł adów pł ytowo- tarczowych. Z asada  postę powan ia  jest  analogiczna,  jak  w  przykł adach  po przedn ich :  rozpatrujem y równowagę   sztywnych  pł atów, n a  granicach  których  skupiają   się   obszary  uplastycznione. Energia  zostaje  rozpraszan a  tylko  w  tych  obszarach,  a jej  wyznaczenie  sprowadza  się   do obliczenia  cał ek  liniowych  [8, 24]. Ocenimy  n oś n ość  graniczną   mał owyniosł ego  ostrosł upa  o  podstawie  kwadratowej. Ta  konstrukcja  tarczowa  p o d p art a jest  w  ten  sposób,  że  brzegi  mają   swobodę   przesuwu poziomego.  Wymiary  oraz  kinem atycznic  dopuszczaln y  m ech an izm  zniszczenia  podan e są   n a rys.  4. Wzdł uż krawę dzi  OB,  n a  czę ś ci jej  dł ugoś ci, powstaje  skupion e odkształ cenie obwodowe. Linie  AC  są   przegubam i  plastycznymi,  wzdł uż  których  tylko  m om en t  zgina- ją cy  bierze  udział   w  rozpraszan iu  energii.  P oł oż en ie tego  przegubu  podlega  wyznaczeniu z  warun ku  minimum  obcią ż enia.  Oznacza  t o ,  że  spoś ród  kin em atyczn ie  dopuszczalnych mechanizmów  zniszczenia  rozpatrywanej  rodzin y  poszukujem y  takiego,  którem u  odpo- wiada  najmniejsza  wartość  obcią ż enia,  a  wię c  w  rozpatrywan ym  przypadku  m in im um sił y  skupionej  Q  zaczepionej  w  wierzchoł ku  o st ro sł u p a.' Z asada  bilan su  m ocy  obcią ż eń  zewnę trznych  i  sił  wewnę trznych  m a  po st ać (2.4) QW 0   = I N Ż YN I E R SK IE  M ETOD Y  AN ALI Z Y  K ON STR U K C JI 315 Wskutek  n adan ia  wierzchoł kowi  ostrosł upa  prę dkoś ci  wirtualnej  W o ,  skupione  od- kształ cenia  wydł uż eń  A  i  obrotów  i>  są   —d l a  rozpatrywanego  m ech an izm u —jed n o - znacznie  okreś lone.  Z  zależ noś ci  geometrycznych  otrzymujemy,  na  podstawie  rys.  4, Rys. 4. Mechanizm zniszczenia  tarczownicy  stoż kowej (2.5) 0 _,   - - - y, a  w  rezultacie  nastę pują cą   postać  równ an ia  (2.4) s  =  . (2.6)  Q JV 0   = - X)  =   4N 0 ^ -  W 1 +  2jJ+ 8 A f O ^ o ( | -   - 316  A.  SAWCZUK Wyznaczają c  X  z  warun ku  dQjdX  =   O dochodzim y  do  wyraż en ia  okreś lają cego  udź wig konstrukcji W  obszarach  skoncentrowanych  odkształ ceń wystę pować  mogą   równocześ nie  m om en ty i  sił y  bł onowe. Wówczas wielkoś ci  M  i N   nie mogą   być  traktowan e ja ko  niezależ ne. Zwią - zane  są   one z warunkiem  plastycznoś ci,  który  przybiera  postać f{M,  N )  — 0,  a  wię c przed- stawić  go  m oż na  w  postaci  krzywej  granicznej  wią ż ą cej  m om en t  n orm aln y  i  sił ę  bł onową przekroju  poprzecznego.  Z agadnienie  to  omówimy  przy  rozpatrywan iu  «efektów  geome- trycznych»,  czyli  wpł ywu  ugię ć  n a  udź wig  kon strukcji. 3.  Przystosowanie R zadko  kiedy  m am y  do  czynienia  z  takim i  kon strukcjam i,  które  podlegają   wył ą cznie dział aniu  obcią ż eń  narastają cych  m on oton iczn ie i  proporcjon aln ie  do jedn ego  param etru . Zwykle program y  obcią ż ania  są   bardzo  zł oż one i  n a  ogół  m am y  tylko  informację   o  brzegu obszaru  obcią ż eń,  a  wię c  o  ekstremalnych  wartoś ciach  jakie  poszczególne  oddział ywania mogą   przyją ć.  N iektóre informacje  o ekstremalnych  wartoś ciach,  n p. parcia  wiatru,  obcią - ż eń  uż ytkowych  itp.  uję te  są   przepisam i.  Badaniem  zach owan ia  się   kon strukcji  sprę ż ysto- plastycznych  p o d d an ych . wieloparametrowym  oddział ywaniom  lub  cyklom  obcią ż ania zajmuje  się   teoria  przystosowania  [6,  7,  29]. D la  okreś lonego  program u  oddział ywań  cyklicznych  m oże  n astą pić  bą dź  n arastan ie odkształ ceń plastycznych  w  konstrukcji  w  czasie  każ dego  cyklu,  bą dź  też  ustalenie  się   tych odkształ ceń.  W  tym  drugim  przypadku  kon strukcja  —  p o  przejś ciu  przez  pewien  zakres odkształ ceń  plastycznych  —  reagować  bę dzie  już  tylko  sprę ż yś cie.  M ówim y  wówczas, że przystosował a  się   on a do  granic  aktualn ego  program u  n aprę ż en ia.  Celem  teorii  przysto- sowania  jest  opracowanie  zasad  i  m etod  ustalenia  takich  wł aś nie  gran ic  obszarów  zmien- noś ci  m noż ników  obcią ż eń,  dla  których  odkształ cen ia  plastyczn e  stabilizują   się . Konstrukcja  sprę ż ysto- plastyczna  p o d d an a  dział an iu  obcią ż eń  powtarzaln ych  —•  przy czym czas trwan ia  cyklu  i jego am plituda niekoniecznie muszą   być  dokł adn ie zn an e —  może utracić  cechy  uż ytkowe  bą dź  wskutek  n arastan ia  odkształ ceń  (zniszczenie  przyrostowe), bą dź  też  wskutek  niskocyklowego  zmę czenia  w  rezultacie  przem ien n ych  odkształ ceń  pla- stycznych.  U znajemy,  że  kon strukcja  przystosuje  się   do  pewnego  program u  obcią ż eń, jeś li  po  skoń czonej  liczbie  cyklów  odkształ cenia  plastycznego  powstaje  w  niej  taki  ukł ad naprę ż eń  resztkowych,  że  przy  dalszym  obcią ż aniu,  w  ram ach  tego  program u  odkształ - cenia  bę dą   czysto  sprę ż yste. Z upeł ne  rozwią zanie  problem u  równowagi  kon strukcji  sprę ż ysto- plastycznej  w  przy- padku  zmiennych  obcią ż eń  polegał oby  n a  kł opotliwym  okreś lan iu  krok  p o  kroku  cał ej historii  procesu  odkształ cenia. D la  celów  prostej  oceny przystosowan ia  potrzebn e  są   prak- tyczne  m etody,  które  um oż liwiał yby—- podobn ie,  ja k  t o  m a  miejsce  w  teorii  noś noś ci granicznej  —  oszacowanie  obszaru  dopuszczalnych  zm ian  obcią ż eń,  wielkoś ci  trwał ych przemieszczeń  itp., bez potrzeby  rozwią zywania  kom pletu ró wn ań zawierają cych  ju ż  w  tym I N Ż YN I E R SK IE  M ETOD Y  AN ALI Z Y  K ON STR U K C JI 317 przypadku  co najmniej  dwie  zmienne, jako  że  proces przebiega  w  czasie.  M oż liwość  takiej praktycznej  oceny  dają   dwa  podstawowe  twierdzenia  teorii  przystosowania,  aczkolwiek m etody  dokon ywan ia  takiej  oceny  w  oparciu  o  te  twierdzenia  nie  są   jeszcze  dostatecznie proste  [13,  14,  28]. Jedn o  ze  wspom n ian ych  twierdzeń  gł osi,  że  konstrukcja  n a  pewno  przystosuje  się   do rozpatrywan ego  program u ,  jeś li  istnieje  niezależ ne  od  czasu  pole  naprę ż eń  resztkowych takie,  że  w  każ dej  chwili  sum a  n aprę ż eń resztkowych  i  naprę ż eń  otrzymanych  dla  analo- gicznej  konstrukcji  sprę ż ystej  nie wykracza  poza  powierzchnię   plastycznoś ci.  Obszar  przy- stosowan ia  m oż na  ogran iczyć  od  góry  korzystają c  z  twierdzenia  o  nieprzystosowaniu. Stanowi  on o  rozszerzenie  kinematycznego  podejś cia  teorii  noś noś ci  granicznej  i  posł uguje się   poję ciem  kinem atycznie  dopuszczalnego  cyklu  odkształ ceń [14]. Jeś li  taki  cykl  w  bada- nym  program ie  obcią ż enia  wystą pi,  t o  kon strukcja  na  pewno  do  tego  program u  się   nie przystosuje  i  stan ie  się   n ieuż ytkowalna  bą dź  wskutek  n arastan ia przemieszczeń,  bą dź  też wskutek  niskocyklowego  zniszczenia  [2,  7,  14]. Cel  teorii  przystosowan ia,  mianowicie  ustalenie  zakresu  obcią ż eń, n a które  konstruk- cja  reaguje  czysto  sprę ż yś cie  (po  przejś ciu  przez  pewien  zakres  odkształ ceń plastycznych i  powstan ie  sam on aprę ż eń) —  zilustrujemy  n a  prostym  przykł adzie.  Rozpatrzymy  prę t o  przekroju  prostoją tn ym  2HxB,  poddan y  dział aniu  sił y  osiowej  N   i  m om en tu  zginają - Rys.  5. Cykliczne zginanie prę ta rozcią ganego a)  obcią ż enie,  b)  dopuszczaln e  stany  n aprę ż en ia cego  M, ja k  p o kazan o n a  rys.  5a.  Chcemy wyznaczyć  taki  obszar  w  pł aszczyź nie  obcią ż eń, aby  przy  stał ej  sile osiowej  N i  cyklicznym  zgin an iu  ±M   odkształ cenia plastyczne  ustabili- zował y  się .  Wytworzon y  stan  sam on aprę ż eń zapewni  wówczas, że  wypadkowe naprę ż enia n ie  przekroczą   gran icy  plastyczn oś ci  a 0 .  s Sił ę  graniczną   i m om en t graniczny  prę ta  oznaczymy  odpowiednio  przez N Q   =   2  0,  to  obcią ż enie graniczne jest  stateczn e  i  ze  wzrostem  ugię ć  nastę puje  «geometryczne»  wzmocnienie. N ie- Rys.  7. Zależ noś ci geometryczne przy  duż ych ugię ciach belki  sztywno- plastycznej równ ość  dPjdW   <  0  wskazuje,  że  kon strukcja  m oże ulec zniszczeniu  w  sposób  «katastro- falny».  P oczą tkowe  nachylenie  krzywej  zależ noś ci  «obcią ż enie- ugię cie»  stanowi  wię c bardzo  istotn ą   informację . R ozpatrzym y  najpierw  przypadek  statecznego  procesu,  kiedy  to  zmiany  geometrii prowadzą   do  zwię kszenia  udź wigu.  I stotę  zagadn ien ia  przedstawim y  n a prostym przykł a- dzie  belki,  przekształ cają cej  się   w  m echanizm  pokazan y  n a  rys.  7. Sztywne  ogniwa  obracają   się   wokół   nieprzesuwnych  przegubów  podporowych  tak,  że ugię cie  W Q   jest  porówn ywaln e  z  wysokoś cią   przekroju  belki.  W  przegubie  ś rodkowym pojawiają   się   odkształ cen ia, przy  czym  wystę pują   t am  n ie  tylko  obroty,  ale  i  wydł uż enia 320 A.  SAWCZUK osiowe, wł aś ciwe  wskutek  «duż ych»  ugięć  [30,  34]. Z  zależ noś ci  geometrycznych  wynika, że  odkształ cenia  oraz  ich  prę dkoś ci  wynoszą  odpowiednio (4.1) A 2L   '  ~  L   ' Zasada  bilansu mocy przyjmuje  postać (4 . 2 ) Widać  wię c,  że  udź wig  zależy  od  ugię cia.  Jeś li  M  i N   w  przegubie  był yby  niezależ ne, to  przyrost  udź wigu  ze wzrostem  ugię cia  był by liniowy.  P onieważ jedn ak  M  i N ,  w  takiej sytuacji jak  pokazano n a rys.  7, są  zwią zane  i ich wartoś ci  zależą  od aktualnego poł oż enia osi  oboję tnej,  to  zachodzi  mię dzy  nimi  okreś lony  zwią zek.  D la jedn orodn ego  przekroju, w przypadku  materiał u  o jednakowych  wł asnoś ciach na  ś ciskanie  i  rozcią ganie, zachodzą zwią zki (4.3)  £H  =  A/ 0  =W ,  N   =   JVof,  M  =  M 0(l- C 2 ), gdzie N o   i M o   są wielkoś ciami  granicznymi sił y podł uż nej i m om en tu w przekroju.  Pierwszą z  zależ noś ci  (4.3)  otrzymujemy  rozpatrując  kinematykę. Aby  ruch  prowadzą cy  do  konfi- guracji  pokazanej  linią  cią głą  n a  rys.  7  był  moż liwy,  wektory  chwilowego  obrotu  muszą przechodzić przez punkty A  i B.  Stąd wynika  zależ ność pomię dzy  poł oż eniem  £H wł ókna neutralnego  a  wielkoś cią  ugię cia  W . Rys.  8.  Obszary  skupionych  odkształ ceń  przy  duż ych  ugię ciach  pł yty D la  belki  obcią ż onej  sił ą  skupioną  w  ś rodku  rozpię toś ci  (rys.  7)  otrzymujemy,  wyko- rzystując  (4.3)  w  (4.2), zależ ność (4 . 4 ) 0 D la  f  >  1 zachodzi M  — 0, czyli  w  cał ym  «przegubie»  ś rodkowym  wystę pują  naprę ż enia rozcią gają ce.  Ł atwo się przekonać z  (4.2), że wówczas  udź wig wzrasta liniowo z przyrostem ugię cia. I N Ż YN I E R SK IE  M ETOD Y  AN ALI Z Y  KON STR U KC JI  321 Z  zależ noś ci  (4.4)  widać,  że  ugię cie  równe  poł owie wysokoś ci  przekroju  zwią zane  jest dwukrotn ym  zwię kszeniem  obcią ż enia,  jakie  może  przenieść  sztywno- plastyczna  belka z  nieprzesuwnymi  po d po ram i.  Sprę ż ysta  podatn ość  podpór  ten  przyrost  zmniejsza  [10]. D la  pł yty  kwadratowej  o  przegubowo  zam ocowanych  krawę dziach  ukł ad  stref  skon- centrowanych  odkształ ceń pokazuje  rys.  8.  Kinematycznie dopuszczalny  mechanizm zwią- zany  jest  w  tym  przypadku  z  wystą pieniem  wzdł uż  przeką tnych  zarówno  obrotów,  jak i  wydł uż eń  [30,  34].  Jeś li  W o   oznacza  ugię cie  w  ś rodku  pł yty,  to  wzdł uż  przeką tnych (4.5)  CH= W= W0- - ,  A  =   W0~&. Obcią ż enie zwią zane  z tym  schematem zniszczenia wyznaczamy  z zależ noś ci  (4.2),  uwzglę d- niając  w  n im wyniki  (4.3). P o  wykon an iu  cał kowań otrzymujemy  —  w przypadku  równo- m iernie  rozł oż on ego  obcią ż enia  P—  nastę pują ce  wyraż enie: Pl 2   W 2 (4.6,  ifc- < + *£ •   < > < * < '• P rzedstawia  ono wpł yw  «duż ych»  ugięć  n a udź wig pł yty w zakresie przemieszczeń  W o   <  H. P onieważ  wielkoś ci  M  i  N   wchodzą ce  do  (4.2)  zależą  od  budowy  przekroju  poprzecz- nego —  i  są  in n e  dla  przekroju  peł n ego, a  inne  n p .  dla  dwuteownika,  t o  fakt  ten  uwi- doczni  się  w  ostatecznych wzorach  okreś lają cych  wzmocnienie geometryczne [30]. P odan e  przykł ady  ilustrują  m etodę  kinematyczną  obliczania  tego  geometrycznego wzmocnienia.  Inform acja  o  tym ,  czy  noś ność  graniczna,  tzn .  obcią ż enie  powodują ce ruch ,  odpowiada  rozwią zaniu  statecznemu  czy  niestatecznemu, otrzymać  m oż na  badając nachylenie  krzywej:  obcią ż enie —  charakterystyczne  ugię cie  [4]. N iech  n oś n ość  gran iczn a  konstrukcji  wynosi  P o .  R ozpatrzym y  takie  procesy  obcią- ż ania,  dla  których  akt u aln a  intensywność  obcią ż enia  wyraża  się  zależ noś cią  P  =   AP 0, a  więc  źl jest  m n oż n ikiem  charakteryzują cym  wzrost  oddział ywań.  W  oparciu  o  zasadę . bilansu  mocy  obcią ż eń  zewnę trznych  i  mocy  sił   wewnę trznych  otrzymujemy (47)  1-   P (4.7)  A =   —  = = - £ , gdzie  D{W 0 )  oznacza  dysypację  z  uwzglę dnieniem  zm ian  geometrii  pł yty, zaś  D o — odpo- wiednią  jej  wartość  dla  chwili  rozpoczyn an ia  się  ruchu  plastycznego.  Jako  param etr cha- rakteryzują cy  wpł yw  czasu  przyjmujemy  tu  przemieszczenie  W o   w  pewnym  punkcie  kon- strukcji. O  statecznoś ci  decyduje,  przy  takim  sformuł owaniu  problem u, zn ak  wielkoś ci  dXjdW 0 dla  W o   =  0.  W  konsekwencji  otrzymujemy  warunek  statecznoś ci  w,nastę pują cej  postaci P rzypadek  niestatecznego  obcią ż enia  granicznego  zilustrujemy  n a  przykł adzie  tzw. efektu  sklepieniowego  w  pł ycie.  R ozpatrzym y  pasm o  pł ytowe  wykonane  z  m ateriał u, który  przenosić  m oże  tylko  n aprę ż en ia  ś ciskają ce.  P asm o  podparte jest  przegubowo  nie- 10  M ech an ika  Teoretyczn a 322  .  A.  SAWCZUK przesuwnie,  n p.  wskutek  umieszczenia  pomię dzy  dwiema  nieodksztalcalnymi  ś cianami. Jeś li  chodzi o geometrię   i  kinematykę ,  to  mamy  tu  sytuację   jak  na  rys.  7.  Zależ ność po- mię dzy  ugię ciem  W o   w ś rodku  rozpię toś ci  a poł oż eniem  «warstwy  oboję tnej»  w  przegubie opisana jest  pierwszym  z  równań  (4.3), a ponadto (4.9)  2V=   J V0 ( l- !) / 2,  M   =   M 0 ( l - | 2 ) / 2 . Rozpraszanie  energii  nastę puje  tylko  w  «uogólnionym»  przegubie.  Otrzymujemy (4.10)  XM 0   =  N W +M  =   -   - ~  ( 1- 1)  iH+  —^ -  (1  - 12 ) , 2   2 gdyż  w  przegubie  wystę puje  ś ciskanie.  Wykorzystują c  zależ ność  (4.3)  oraz  zwią zek  po- mię dzy  M o   i  N o   dla  przekroju  prostoką tnego,  dochodzimy  w  rezultacie  do  nastę pują cej postaci  kryterium  (4.8) (4.11)  ^ =   I ( { ł V l ) ' =   - 2 + 2 - —. W  począ tkowym  stanie  ruchu,  a  wię c  dla  W o   =   0,  'otrzymujemy  X =   —2  <  0,  a  wię c mamy  do  czynienia  z  przypadkiem  niestatecznoś ci. U dź wig  pasma  przy  uwzglę dnieniu  efektu  sklepieniowego  ł atwo  obliczyć  z  zależ noś ci (4.2). Wynosi  on, w przypadku  obcią ż enia sił ą  skupioną   w ś rodku  rozpię toś ci, M o   ~~  H  H 2   ' a  wię c noś ność  spada  do  zera  kiedy  ugię cie  osią ga  poł owę  gruboś ci  pł yty. W  zakresie  badań  efektu  sklepieniowego,  wzmocnienia  geometrycznego  i  statecznoś ci opracowano  u  nas  szereg  problemów  zarówno  o  znaczeniu  podstawowym  (twierdzenia o  oszacowaniach) [4], jak  i  rozwią zań  szczegół owych, również  z  uwzglę dnieniem  wpł ywu odkształ ceń  sprę ż ystych  [10]. 5.  D ynamika Konstrukcja  idealnie sprę ż ysto- plastyczna  może być  obcią ż ana  poza noś ność  graniczną jeś li dział anie obcią ż eń jest impulsowe.  Wówczas,  wskutek  nadanych przyspieszeń  poprzez n p.  wprowadzenie  do  ukł adu  pewnej  energii  kinetycznej,  nastę puje  ruch, który  trwa  aż do rozproszenia tej  energii  na odkształ cenia plastyczne. W  takim przypadku  mamy do czynie- nia  z problemami  «dynamicznej»  noś noś ci  granicznej.  Jeś li  obcią ż enie  dział a  przez  krótki czas,  to  uruchomione wskutek  nagł ego  przył oż enia  impulsu  sił y  bezwł adnoś ci  mogą   być dostatecznie duże n a to, aby  zapobiec nadmiernym odkształ ceniom,  a w  rezultacie i znisz- czeniu  konstrukcji.  . Inną   grupę   problemów  zwią zanych  z  dynamicznymi  oddział ywaniami  n a  budow,Ie stanowią   zagadnienia  propagacji  fal  sprę ż ysto- plastycznych  w  elementach  konstrukcji, zwią zanych  z tym koncentracji  odkształ ceń plastycznych,  a w  rezultacie i zmę czenia nisko- cyklowego.  Te  dwie  grupy  zagadnień  wymagają   odmiennych  podejś ć. D ynamika  konstrukcji  plastycznych  stosuje  w  zasadzie  wszystkie  zał oż enia  teorii belek, pł yt lub powł ok i posł uguje się  odpowiednimi uogólnionymi wielkoś ciami: momenta- I N Ż YN I E R SK IE  M ETOD Y  AN ALI Z Y  KON STR U KC JI  323 mi  zginają cymi,  wypadkowym i  n aprę ż eń  itp.  Odm ienność  w  stosunku  do  zagadnień noś noś ci  granicznej  polega  n a  uwzglę dnieniu  sił   bezwł adnoś ci  i  wystę powaniu  w  równa- niach  czasu  jako  zmiennej  niezależ nej.  Wprowadza  to  znaczne  komplikacje,  jako  że pro- blemy  są  teraz  opisywane  równ an iam i  róż niczkowymi  czą stkowymi. P roblem y  falowe  rozpatrywan e  są  zarówn o  w  naprę ż eniach, ja k  i  w  wypadkowych wielkoś ciach.  Cel bad ań z tego  zakresu jest —  w  zastosowaniach  do konstrukcji  — odmien- ny.  C hodzi  o  ustalenie  miejsc  i  wielkoś ci  lokalnych  koncentracji  trwał ych  odkształ ceń, podczas  gdy  dyn am ika  konstrukcji  zajmuje  się  raczej  deformacją  cał ej  budowli  wskutek podm uch u  czy  uderzen ia  «masowego»  oraz  oszacowaniem  czasu  trwania  wymuszonego w  ten  sposób  ruch u. W  zagadnieniach  dyn am iki  konstrukcji  plastycznych  wielkoś cią  szczególnie  waż ną jest  pole  trwał ych  przemieszczeń,  które  realizuje  się  w  rezultacie  n p.  przył oż enia  impulsu ciś nienia,  dział ają cego  w  czasie  0  <  t  <  t.  D la  scharakteryzowania  tego  typu  zagadnień i  przedstawienia  prostych  m etod ich  liczbowej  oceny  rozpatrzym y  pł ytę kwadratową  pod- daną  dział aniu  krótkotrwał ego  równom iernego  ciś nienia.  Zajmiemy  się  okreś leniem trwał ego  ugię cia  ś rodka  pł yty  pokazan ej  n a  rys.  1 i  obcią ż onej  impulsem  ciś nienia  takim , że  P  =   const  dla  0  <  t  <  T oraz  P  =  0  dla  t  >  T. Wskutek  nagł ego  przył oż en ia  im pulsu  ciś nienia  wzbudzone  zostają  sił y  bezwł adno- ś ci—•  \ iW ,  przy  czym  ja  oznacza  m asę  przypadają cą  n a jedn ostkę  pł aszczyzny  ś rodkowej pł yty,  zaś  W   =   'd2W J8t2  jest  przyspieszeniem  jej  ugin an ia  się.  Z asada  bilansowania  mocy obcią ż eń  zewnę trznych  i  sił  wewnę trznych  (2.1), zastosowana  do  mechanizmu  zniszczenia przedstawionego  n a  rys.  1, przyjmuje  postać =   M o U derzon a  pł yta  dozn a  przyspieszeń.  P oszczególn e' pun kty  pł ata  OBA  powierzchni ś rodkowej,  w  przypadku  rozpatrywan ego,  kinematycznie  dopuszczalnego  mechanizmu, mają  nastę pują ce  prę dkoś ci  i  przyspieszenia  ugięć (5.2)  w=W 0 ( Wykorzystując  (5.2) w  (5.1) otrzymujemy,  po  wykonaniu  przepisanych  cał kowań, nastę pu- ją ce  wyraż enie  n a  przyspieszenie  pun ktu  0 (5.3)  W O = 1 ( O ) ,  O T £ . gdzie P o   oznacza  n oś n ość  graniczną  pł yty  obcią ż onej  równomiernym ciś nieniem  w  sposób statyczny.  Jeś li  przed  uderzen iem pł yta jest  n ieodkształ cona i n ieruchom a, tzn .  W (x, 0)  = =   W (x, 0)  =   0, to cał kując  (5.3) otrzymujemy  nastę pują cą  zależ ność  pomię dzy  intensyw- noś cią  przył oż onego  ciś nienia  a  ugię ciem  ś rodka  pł yty: (5.4)  W a   =   - (P- P 0 )t\   P>  P o . 10* 324  A.  SAWC Z U K P o  zdję ciu  obcią ż enia  w  chwili  t  — x  ruch trwa  n adal z  tym, że  nastę puje  teraz  spowal- n ian ie ugięć aż do chwili, gdy  energia wł oż ona zostan ie cał kowicie rozproszon a  na odkształ - cenia  plastyczne.  Przyspieszenie  tego  zamierają cego  ruchu  wynosi  W o   —  —2P 0 / / u.  Ruch ustaje  w  chwili  /  =   T ,  gdy  W 0 (T )  =   0.  Wymagając  cią gł oś ci  prę dkoś ci  i  ugięć  w  chwili t  =   T otrzymuje  się  stał e  cał kowan ia  dla  r  <  / <  T ,  a  w  rezultacie  zostaje  jedn ozn aczn ie opisany  proces  ruchu  mechanizmu pokazan ego  n a  rys.  1. P ł yta  przestaje  się  uginać  w  chwili  /  =   T .  Chwila  ustan ia  ruchu  i  wielkoś ci  trwał ego ugię cia  ś rodka  pł yty  wynoszą  odpowiednio (5.5)  r  =  - £- r,   W0  =   ~(P- P0). Rozwią zanie  to  jest  waż ne  dla  pewnego  zakresu  ciś nień,  mianowicie,  gdy  P  <  2P Q . Przy  wię kszych  ciś nieniach  tworzy  się  inny  m echan izm ,  m ianowicie  ś rodkowa  czę ść porusza  się  w  począ tkowym  okresie  ja k  ciał o  sztywne  tak,  że  pole  prę dkoś ci  ugięć  ogra- niczone  jest  powierzchnią  ś cię tego  ostrosł upa  [33]. 6. Zakoń czenie Przedstawiliś my  przegląd  zagadnień  teorii  kon strukcji  sprę ż ysto- plastycznych,  ze szczególnym  podkreś leniem praktycznych m etod ich an alizy. Kon ieczn ym krokiem w stronę zastosowań  w  projektowan iu  jest  przejś cie  d o  opracowan ia  m etod  i  procedur  obliczenio- wych,  dostosowanych  do  szczegół owych  typów  kon strukcji,  wę zł ów  i  poł ą czeń  [32,  35]. Przy  omawianiu  m etod  skoncentrowaliś my  się  n a  podejś ciu,  które  m oż na  nazwać kinematycznym,  gdyż  geometryczną  stron ę  procesu  deformacji  konstrukcji  ł atwiej  sobie wyobrazić,  a  więc  w  konsekwencji  ł atwiej  zastosować  takie  wł aś nie  m etody  w dział alnoś ci projektowej. Om awiana  tem atyka  był a  przedm iotem  referatu  problem owego  wygł oszonego  na sympozjum  ((Practical  Application s  of  P lasticity  Theory*  ASM E  Win ter  An n ual M eeting,  N owy  Jork  30  listopada —  3  grudn ia  1970  r. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  J.  BAC K L U N D ,  Mixed  finite  element  analysis  of  elastic- plastic  plates  in  bending,  Ar c h .  M ech .  Stos.,  24 (1972)  (w  d ru ku ) . 2.  R .  BR Z E Z I Ń SK I,  J. A.  K O N I O ,  Ocena  ugię ć  sprę ż ysto- plastycznych  konstrukcji  ramowych  przy  obcią - ż eniach  zmiennych,  P r a c e  IPPT,  60/ 1971. 3.  M .  D U S Z E K ,  Plastic  analysis  of  cylindrical  shells  subjected  to  large  deflection,  Arch .  M ec h .  St o s.,  18 (1966),  653—663. 4.  M .  D U S Z E K ,  Statecznoś ć  konstrukcji  sztywno- plastycznych,  P rac e  IPPT  1972  (w  p rzygo t o wan iu ) . 5 .  A.  A.  FB03flEB,  PacHe'm  uecyufeii  cnocoÓHOcmu  KoncmpyKifuu  no  Memody  npedenbHozo  paehtoeecus, CipoH 3flaT,  M ocKBa  1949. 6 .  ,11,.  A.  rox*EJiEfl,  Hecyufan  cnocoduocmb  KOHcmpyiaiuu  e  ycnoeunx  mennocMeit,  MamHHOCTpoeHHe, M ocKBa  1970. 7.  P . G .  H O D G E ,  Plastic  analysis  of  structures,  M c G raw- H ill, N ew  Yo r k  1959. 8.  M .  JAN AS,  N oś noś ć  graniczna  luków  i  sklepień ,  Ar ka d y,  Warszawa  1967. IN Ż YN IERSKIE  METODY  AN ALIZY  KON STRU KCJI  355 9.  M . JAN AS,  L arge plastic  deformations  of  reinforced concrete slabs,  I n t.  J. Solids Struct., 4  (1968), 61—74. 10.  M .  JAN AS,  Skoń czone  ugię cia sprę iysto- plastyczne  pł yt  zamocowanych, P race  1PPT 36/ 1970. 11.  M .  JAN AS,  J, A.  K O N I G ,  N oś noś ć  graniczna  powł ok.  Przekrycia  i zbiorniki,  Arkady,  Warszawa  1968. 12.  K. W.  JOH AN SEN ,  Yield- line  theory,  Cem.  C oncr.  Assoc.,  Lon don  1961. 13.  L.  KON I E C Z N Y,  T eoria przystosowywania  się   belek,  M ech.  Teoret.  Stos., 8  (1970), 257—276. 14.  J. A.  K O N I G ,  Podstawowe  twierdzenia  z  zakresu  teorii  dostosowania  Się  konstrukcji Sprę ż ysto- plastycz- nych  do  obcią ż eń  zmiennych  w  czasie,  M ech.  Teoret.  Stos., 8  (1970), 149—158. 15.  J. A.  K Ó N I G ,  A  method  of  shakedown  analysis  of  frames  and arches,  I n t . J.  Solids  Struct.,  7  (1971), 327—344. 16.  C h .  M ASSON N ET,  M .  SAVE,  Calcul plastique  des  constructions, Z, CBLIA, Bruxelles 1963. 17.  Z .  M R Ó Z ,  On the  theory  of  steady plastic  cycles  in structures,  Structural  M echanics in R eactor  Techno- logy  (Berlin  1971)  R eprin t  L5/ 6. 18.  D .  N IEP OSTYN ,  N oś noś ć  graniczna  pł yt  prostoką tnych.  Arkady,  Warszawa  1962. 19.  D .  N IEP OSTYN ,  N oś noś ć  graniczna pł yt  koł owo- symetrycznych, Arkady, Warszawa 1963. 20.  W.  OLSZ AK,  T eoria  noś noś ci  granicznej  pł yt  ortotropowych,  Budownictwo  Przemysł owe, 2  (1953), 254—265. 21.  W.  OLSZ AK,  Zagadnienia  ortotropii w  teorii  noś noś ci granicznej pł yt,  Arch. M ech.  Stos., 5 (1953),  329— 350. 22.  W.  OLSZ AK  i  in,  T eoria plastycznoś ci,  P WN , Warszawa  1965. 23.  W.  P RAG ER,  An  introduction  to plasticity,  Addison- Wesley, Reading,  M ass., 1959. 24.  A .  P .  P)KAHimfeiHj Pacsem  coopyotceHuii cynemoM  nAacmtmecKUX ceoucnie Mamepuajwe,  roccTpoin raflaT, MocKBa 1954. 25.  A.  SAWC Z U K,  Zagadnienia  teorii  umiarkowanie duż ych ugię ć  powł ok plastycznych,  M ech.  Teoret. Stos., 2  (1971),  335—354. 26.  A.  SAWC Z U K,  T h .  JAEG ER,  Grenztragfdhigkeits- T heorie  der  Platten,  Springer, Berlin  1963. 27.  A.  SAWC Z U K,  M .  JAN AS,  J.  Z AWED Z KI,  Z  zagadnień technicznej teorii  noś noś ci granicznej pł yt  o miesza- nych  warunkach  brzegowych,  R ozpr.  I n ż ., 10  (1962) 243—278. 28.  A.  SAWC Z U K,  M .  JAN AS,  J. A,  K O N I G ,  Analiza  plastyczna  konstrukcji,  Ossolineum, Wroclaw  1972. 29.  A.  SAWC Z U K,  J. A.  K O N I G , Analiza  stanu zniszczenia  walcowych silosów ż elbetowych, Arch.  Inż.  Lą d., 8 (1962), 161—183. 30.  A.  SAWC Z U K,  L.  WI N N I C K I , Plastic  behavior  of  simply  supported  reinforced  concrete plates  at modera- tely  large  deflections,  I n t . J.  Solids  Struct.,  1,  (1965) 97—111. 31.  Z   SOBÓTKA,  T heorie plasticity  a  meznich  stavu  stavebnych  konstrukci,  CSAV,  P rah a  1955. 32.  J. J.  TELEG A,  Zastosowanie  programowania  liniowego do  wyznaczania  noś noś ci  granicznej  konstrukcji, M ech.  Teoret.  Stos.,  9  (1971),  7—52. 33.  T .  WI E R Z BI C KI ,  L iniowa  teoria lepkoplastycznych  konstrukcji,  P race  I P P T 29/ 1971. 34.  R . H .  WO O D ,  Plastic  and  elastic  design of  slabs  and plates,  Thames an d  H udson,  Lon don  1961. 35.  O. C.  Z I E N KI E WI C Z ,  T he finite  element  method  in  engineering  science,  M cG raw  H ill,  N ew  York  1971. P  e 3  K3  M  e HHKEHEPHLIE M ETOflbl  AHAJIH3A  ynP yrO- njIACTOTECKHX B  pa6oTe  H 3JiaraioTca  n pH JioweH n a  MeTOflos  T eopun  imacTirraocTH   B  iwexaHHKe  coopy>iKeHHbie  meTOflbi  aH ann3a  ynpyro- nJiacTH ^ecKHx  coopymeH H H   (TeopHfl  JIH H H H   nuacraqecKH X m apH iipoB, KHHeiwaTiwecKHe OIJCH KH  H ecym eił   CIIOCO6H OCTH  oSojio^eK, noBeflemie  miacTHH  n p ii  HMnyjibc- H bix  narpy>KeH H H x).  ITofliiepKHBaeTCH   3HaqeHHe  H H weH epH oro  noflxofla  K TeopHH   nJiacranecKH X  co- 326  A.  SAWCZUK 06cy>KfleH bi  Bon pocbi  ycTOH'iHBOCTu  penieH H H   B  TeopHH   npefl&nbH bix  COCTOHHHH  ( reo - yn po T m eH n e  H  npomejiKH BaH iie),  a  Taion e  HeKOTopbie  a a n a iH   TeopHH  npncnoco6jtaeM ocTH H , H KJI H tieC KH X S u m m a r y EN G I N EER I N G   ASPECTS  OF   PLASTIC  AN ALYSIS  O F  STRU CTU RES The  theory  of  plastic  structures  is  discussed  from  the  viewpoint  of  applications  in  structural  design. Limit  analysis,  shakedown  and  large  deformation  theory  are  considered.  Approximate  methods  (yield- line theory  of plates, kinematical methods in shell analysis  and in dynamics  of plates) are commented upon, their  engineering  motivation  being  emphasized.  Stability  of  yield  point  loads  ("geometrical  hardening* and  snap- through)  and  shakedown  to  cyclic  loading  are  considered. I N STYTU T  P OD STAWOWYC H   P R O BLE M Ó W  TE C H N I KI  P AN Praca został a zł oż ona  w Redakcji dnia 31 paź dziernika  1971  r.