Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2, 10  (1972) P R OBLE M Y  T E O R I I  M EC H AN I C Z N EG O  URABIAN IA  G RU N TÓW* WOJCIECH   S Z C Z E P I Ń S KI  (WARSZAWA) 1.  U wagi  wstę pne Istnieje  dość  bogata  literatura  dotyczą ca  inż ynierskich  m etod  obliczania  oporów, jakie stawia  grun t  lub  in n y  oś rodek  sypki  przy  urabian iu  go  narzę dziami  mechanicznymi. Jedn akże  wobec  trudn oś ci,  jakie  sprawia  opracowanie  teorii  mechanicznego  urabiania, opartej  n a bardziej  solidnych  podstawach,  m etody  te mają   bardzo  przybliż ony  charakter, a  niekiedy  notuje  się  n awet  poważ ne  rozbież noś ci  mię dzy  n im i. Z reguł y m etody  inż ynier̂ skie  ograniczają   się  d o wyznaczenia  wielkoś ci  wypadkowych  sił  dział ają cych  na narzę dzie. Ich  najpoważ niejszym  brakiem  jest  pominię cie  kin em atyki  ruchu  oś rodka,  ale  również w  zakresie  statyki  nie m oż na  n a ich  podstawie  obliczyć,  n a przykł ad,  rozkł adu  nacisków n a  powierzchni  n arzę dzia. R ozpowszechn ion y  jest  poglą d,  że  m echan ika  procesów  urabian ia  gruntów  jest  zbyt zł oż ona,  aby m oż na  był o  d o jej  analizy  stosować  m etody  matematyczne  analogiczne do m etod  stosowanych  w teorii plastycznoś ci.  Jedn akże  n otowan y w ostatnich latach  wyraź ny rozwój  m atem atycznej  teorii  m echan iki  gruntów  wskazuje  n a celowość  podję cia  poważ- niejszych  p ró b  zastosowan ia  jej  m etod  do analizy  róż nych  procesów  urabian ia  gruntów. Oczywiś cie  pojawia  się   tu  szereg  poważ nych  trudn oś ci  dotyczą cych  zarówno  przyję cia odpowiedniego  m odelu  opisują cego  zł oż one  fizyczne  wł asnoś ci  rzeczywistych  gruntów, ja k  i  samego  rozwią zywania  lub n awet  sformuł owania  odpowiednich  zagadnień  brzego- wych  dla  kon kretn ych  przypadków,  nawet  przy  zał oż eniu  moż liwie  prostego  modelu grun tu.  Tym  niem niej  dla  n iektórych  praktyczn ie  waż nych  procesów  mechanicznego urabian ia  m oż na już przedstawić  rozwią zania  uwzglę dniają ce  statykę   i  kinematykę   ruchu oś rodka.  R ozwią zan ia  te odn oszą ce  się  do pł askiego  stan u  odkształ cenia polegają   n a  zbu- dowaniu  siatek  ch arakterystyk  dla n aprę ż eń  i  prę dkoś ci,  a  nastę pnie  na  skonstruowaniu plan u prę dkoś ci.  M oż na również prześ ledzić  n a  drodze teoretycznej znaczny  etap  przebiegu tych  procesów  m etodą   kolejnych  kroków.  D la niektórych  waż nych  procesów  urabian ia gruntów  rozwią zania  teoretyczn e  mają   bardzo  prostą   postać  i  nadają   się   bezpoś rednio do  obliczeń  inż ynierskich.  W przypadkach ,  gdy rozwią zania  teoretyczne są   skomplikowane mogą   one stanowić  podstawę   d o  opracowan ia  odpowiednich  tablic  lub wykresów  dla obliczeń  praktyczn ych. *>  Referat  problemowy  przedstawiony  n a XIV Polskiej  Konferencji  Mechaniki  Ciał a  Stał ego, Kroś- cienko  1971. 328  W.  SZCZEPIŃ SKI Waż ną   technicznie  grupę   procesów  stanowi  m an ipulowan ie  za  pom ocą   maszyn  prze- ł adunkowych  m ateriał am i sypkimi,  jak  koks,  wę giel,  cement  luzem,  zboż e,  ziemiopł ody it p. Wł asnoś ci fizyczne  tych m ateriał ów dają   się  w ś cisły sposób  opisać za pom ocą   prostych zwią zków,  a  zatem  nie  m a  tu  potrzeby  wprowadzan ia  sztucznych  uproszczeń,  które  dla gruntów  w  stanie  n aturaln ym  powodują   n astę pn ie  powstan ie  pewnych  rozbież noś ci mię dzy  rozwią zaniami  teoretycznymi  a  wynikami  bad ań  doś wiadczalnych.  W  przypadku m ateriał ów  sypkich  rozbież noś ci  te  są   m in im aln e. D la  wielu  procesów  o  duż ym  znaczeniu  praktyczn ym  nie  udaje  się   jeszcze  zbudować rozwią zań  teoretycznych. W  takich przypadkach  duże usł ugi mogą   oddać badan ia m odelo- we  tych  procesów  w  mał ej  skali.  Badan ia  takie  m oż na  również  stosować  dla  weryfikacji rozwią zań  teoretycznych.  P rzy  badan iach  modelowych  podstawowe  znaczenie  m a  ustale- nie  kryteriów  podobień stwa  mię dzy  rzeczywistym  procesem  a  badan iem  tego  procesu  n a modelu.  Z agadnienie  ustalenia  kryteriów  podobień stwa  sprawia  jedn ak  wiele  trudn oś ci, specjalnie  wtedy  gdy  proces  urabian ia  zachodzi ze znaczną   prę dkoś cią.  Wiadom o  bowiem, że  grunty  wykazują   wyraź ną   zmianę   oporu  odkształ cen ia  przy  zwię kszaniu  prę dkoś ci odkształ cenia. N iestety brak  danych doś wiadczalnych  nie pozwala  na ogólne m atem atyczn e uję cie  tej  zależ noś ci,  co  z  kolei  uniemoż liwia  ś cisłe  ustalenie  kryteriów  podobień stwa modelowego. W  dalszych  pun ktach  pracy  om ówion o  pokrótce  wspom n ian e  wyż ej  problem y  wył a- niają ce  się   przy  opracowywaniu  matematycznej  teorii  m echanicznego  urabian ia  gruntów oraz perspektywy  jej  rozwoju. 2. Warunek stanu  granicznego Ogólnie  przyjmuje  się   (patrz  n p .  [1]),  że  osią gnię cie  stan u  granicznego  w  gruncie  na- stę puje  w  chwili,  gdy  stan  naprę ż enia  speł nia  warun ek  C o u lo m ba- M o h ra.  Warun ek  ten w  przestrzeni  n aprę ż eń  gł ównych  m oż na  przedstawić  w  postaci  nieskoń czenie  dł ugiej piram idy  o  przekroju  sześ ciobocznym.  M oże być  on  zapisan y  w  znanej  postaci (2.1)  o 1 —a 2   =   (o- j +a 2 +2H)sine  (cTj >  a 3   >  o 2 ), Q jest  tu  ką tem  tarcia  wewnę trznego,  a  H  przedstawia  wytrzym ał ość  grun tu  przy  trójosio- wym  izotropowym  rozcią ganiu. Badania  doś wiadczalne  w  warun kach  quasi- statycznych  n a  aparatach  trójosiowych na  ogół   potwierdzają   sł uszność  warun ku  C oulom ba- M oh ra,  chociaż  n iejedn okrotn ie otrzym an a  doś wiadczalnie  obwiednia  granicznych  kół   M o h ra  n ie jest  prostolin iowa,  jak to  wynikał oby  z  zależ noś ci  (2.1).  F akt  ten jest  powodem  wysuwania  innych  propozycji opisu warunku  stanu granicznego i opracowan ia dla nich teorii pł askich stan ów granicznych (patrz  n p.  [1, 2]). Wydaje  się  jedn ak,  że  dla  analizy  procesów  urabian ia  grun tów  warun ek C oulom ba- M ohra  pozostan ie  warun kiem  podstawowym ,  mają c  niezł e  potwierdzenie doś wiadczalne,  a  jednocześ nie  mają c  stosun kowo  prostą   post ać. Pewne  rodzaje  gruntów  (n p. grunty  gliniaste  w  stan ie  n aturaln ym , zagę szczony  piasek) wykazują   zjawisko niestatecznoś ci w procesie odkształ can ia. P rzejawia  się  to przy badan iach doś wiadczalnych  prowadzonych,  n a  przykł ad,  w  aparacie  bezpoś redn iego  ś cin an ia  utwo- P R O BLE M Y  T E O R I I  M E C H AN I C Z N E G O  U R ABI AN I A  G R U N T Ó W 329 rż en iem  się   n a  krzywej  odkształ can ia charakterystycznego  spadku  oporu  gruntu  od  war- toś ci  T * do  T 0 po  osią gnię ciu  pewnej  wielkoś ci  odkształ cenia  (rys.  1). N iestateczność  charakterystyki  wytrzymał oś ciowej  grun tu  powoduje,  że  proces  od- kształ can ia przy urabian iu nie m a charakteru cią gł ego, ale  przebiega  skokowo.  Schematycz- nie przedstawia  to rys.  2 na przykł adzie n aporu pł askiej ś ciany.  W  poł oż eniu począ tkowym Krzywa  niestateczna Krzywa  stateczna Odkształ cenie Rys. 1 (rys.  2a)  powstaje  obszar  deformacji  ABC  oddzielony  od  nieruchomego  masywu  gruntu linią   niecią gł oś ci  prę dkoś ci  CB,  nazywaną   w  praktyce  inż ynierskiej  linią   odł am u. Wzdł uż niej  powstają   znacznie  wię ksze  odkształ cenia, niż  w  pozostał ej  czę ś ci  obszaru  deformacji. P o  pewnym  przemieszczeniu  ś ciany  napierają cej  opór  gruntu  wzdł uż  CB  spadnie  do wielkoś ci  r 0 ,  zachowują c  wię ksze  wartoś ci  w  pozostał ym  obszarze.  Przy  dalszym  ruchu ś ciany  nastą pi  poś lizg  trójką ta  ABC  wzdł uż  CB  powodują cy  powstanie  uskoku  BB'  na Rys. 2 swobodnej  powierzchni  grun tu.  U skok  ten  bę dzie  się   powię kszał   do  chwili,  gdy  odcinek C'E,  n a  którym  ś ciana  n apiera  n a  czę ść  masywu  poniż ej  linii  odł amu  BC,  bę dzie  dosta- tecznie  duży  dla  utworzen ia  się   nowej  linii  odł am u  ED.  W  cią gu  cał ego procesu  powstają kolejno  nowe  linie  odł am u,  wzdł uż  których  zachodzą   poś lizgi  cał ych partii  grun tu. W  re- zultacie  n a  powierzchni  deform owanego  grun tu  powstaje  szereg  uskoków  (rys.  2b). D otychczas,  zarówn o  w  teorii  plastycznoś ci,  ja k  i  w  teorii  mechaniki  gruntów  brak jest  m etod  obliczeniowych  pozwalają cych  rozwią zywać  kon kretn e  zagadnienia  deformo- wan ia  m ateriał ów  z  niestateczną   charakterystyką   wytrzymał oś ciową.  N ie  m a  jeszcze dostatecznej  liczby  dan ych  doś wiadczalnych  z  bad ań  zjawiska  niestatecznoś ci  w  ogólniej- szych  trójosiowych  stan ach  n aprę ż en ia. N ie pozwala  to n a opracowanie  iloś ciowe  podstaw teorii  gruntów  mają cych  niestateczną   charakterystykę .  Opracowanie  takiej  teorii  nie rozwią zywał oby  jeszcze  sprawy  teoretycznej  analizy  m echaniki  kon kretn ych  procesów 330  W.  SZCZEPIŃ SKI urabian ia,  ponieważ  skokowy  przebieg  tych  procesów  dla  oś rodków  niestatecznych wŷ magalby  dodatkowego  opracowan ia m etod rozwią zywania  zagadn ień  brzegowych.  W obec- nej  fazie  rozwoju  teorii  procesów  urabian ia  zjawisko  niestatecznoś ci  musi  być z  koniecz- noś ci  pom in ię te.  Przyjmują c  dla rzeczywistych  grun tów  warun ek  stanu  granicznego  bez niestatecznoś ci,  otrzym am y  w  wyniku  teoretycznej  analizy  procesów  urabian ia  pewne uś rednienie  ich przebiegu.  W  przypadku  pokazan ym  n a rys. 2b  otrzym alibyś m y,  zam iast skokowego  charakteru  zdeformowanej  powierzchni  grun tu,  uś redn ioną   pewną   linię zastę pczą. Innym  waż nym,  a dotychczas  sł abo opracowan ym ,  zagadn ien iem jest  wpł yw  prę dkoś ci odkształ cenia n a opór grun tu przy  deformacji.  P rzede wszystkim brak jest dan ych  doś wiad- czalnych  pokazują cych  zmianę   oporu  grun tu  w zależ noś ci  od prę dkoś ci  odkształ can ia  dla zł oż onych  stanów  n aprę ż en ia.  Obszerniejsze  badan ia  w  tym zakresie  pozwolił yby  podją ć próbę   teoretycznego  opisu  wpł ywu  prę dkoś ci  przy  odkształ can iu  grun tu.  M iał oby  to podstawowe znaczenie dla ustalenia  kryteriów  podobień stwa  przy  modelowych  badan iach procesów  urabian ia. Jako najprostszą   m oż na by wysuną ć  sugestię  uzależ nienia obu stał ych  Q i  H  w  warunku  C oulom ba- M ohra od  odpowiedn io  obliczonej  zastę pczej  prę dkoś ci  od- kształ cania.  Pewne  próby  opisu  wł asnoś ci  Teologicznych  grun tów  zawarto  w  m on ografii [3].  Rozważ ania  te mają   jedn ak  raczej  zwią zek  ze zjawiskami  peł zan ia grun tu  przy  posa- dowieniu  na n im budowli. Zjawiska  te przebiegają   z bardzo mał ymi prę dkoś ciami odkształ - cania,  znacznie  mniejszymi  od  prę dkoś ci  wystę pują cych  przy  mechanicznej  obróbce gruntów.  N ależy tu zwrócić  uwagę ,  że również  dla m etali  brak jest  dostatecznej dokum en - tacji  doś wiadczalnej  dla  róż nych  propon owan ych  w  teorii  lepkoplastycznoś ci  opisów zmiany  wł asnoś ci  przy  róż nych  prę dkoś ciach  odkształ can ia. 3.  Zwią zki  mię dzy  naprę ż eniami  a prę dkoś ciami  odkształ cenia Sprawa  wyboru  zwią zków  pomię dzy  n aprę ż en iami  a  prę dkoś ciami  odkształ cen ia m a podstawowe  znaczenie dla opracowan ia  teorii  urabian ia  grun tów.  Istnieje  kilka  koncepcji budowy  takich  zwią zków.  Ź ródł owy  przeglą d  tych  koncepcji  zawierają   prace  [4, 5, 6], a  sprawie  wyboru  najbardziej  odpowiedniej  z  n ich  dla  teorii  procesów  m echanicznego urabian ia  gruntów  poś wię cono  poprzednią   pracę   [7]. M oż liwe  są  dwie drogi  eksperymentalnego  badan ia przydatn oś ci tej czy  innej  koncepcji zwią zków  fizycznych  do  teoretycznej  analizy  procesów  urabian ia.  P ierwsza  droga,  to badan ia typu podstawowego  n a aparatach trójosiowych  przy  zastosowan iu  cylindrycznych, peł nych lub  rurkowych,  próbek  grun tu.  Badan ia  takie są  pracoch ł on n e i chociaż z n auko- wego  pun ktu  widzenia  są   najbardziej  odpowiednie  nie wydaje  się , aby tą   drogą   m oż na był o  uzyskać  niezbę dną   ilość  danych  doś wiadczalnych.  D ru ga  droga,  to  badan ia  typu weryfikacyjnego,  polegają ce  n a teoretycznym  opracowan iu  kin em atyki  grun tu  dla wybra- nych procesów  odkształ cania przy  zastosowaniu  róż nych zwią zków  fizycznych,  a n astę pn ie n a  porówn an iu  tych  rozwią zań  z  rzeczywistą   kin em atyką   otrzym an ą   n a  stan owiskach modelowych.  Taką   drogę   postę powan ia  przyję to  w  pracach  [4] i  [5], w  zastosowan iu  do zagadnień  wciskania  stempli  o  róż nych  kształ tach.  Badan ia  tego  typu  bliż sze  procesom urabian ia  gruntów  przedstawion o  w pracy  [7]. P R O BLE M Y  T E O R I I  M EC H AN IC Z N EG O  U RABIAN IA  G R U N T Ó W  331 Szczególnie  przydatny  do  badań  modelowych  okazał   się   proces  spię trzania  gruntu, analogiczny  do  procesu  wystę pują cego  w  pewnej  fazie  pracy  zgarniaka.  Rozwią zanie teoretyczne  dla  tej  fazy  procesu  jest  bardzo  proste  (rys.  3),  co  znacznie  uł atwia  analizę wyników  doś wiadczalnych.  Jeż eli  swobodna  powierzchnia  badanego  oś rodka jest  prosto- liniowa,  to  rozwią zanie  da  się   wyrazić  elementarnymi  wzorami. Z  róż nych  teoretycznych  propozycji  praw  pł ynię cia  dla  gruntów  dwie mają   charakter zwią zków  ogólnych  obejmują cych  dowolne  stany naprę ż enia. Pierwsza,  to prawo pł ynię cia stowarzyszone  z  warunkiem  stanu  granicznego  Coulomba- M ohra (3.1)  e u   =   A-   8- W zwią zkach  tych zaproponowanych przez  D RU CKERA  i PRAG ERA [8] utoż samiono potencjał plastyczny  z  warunkiem  stanu  granicznego  (2.1).  Wynika  z  nich  efekt  cią gł ego  przyrostu obję toś ci  oś rodka  w  procesie  odkształ cania, co  szczególnie  przy  znaczniejszych  odkształ - ceniach  jest  sprzeczne  z  wł asnoś ciami  rzeczywistych  gruntów.  W  teorii  pł askiego  stanu pł ynię cia zwią zki  (3.1)  prowadzą   do  pokrywania  się   charakterystyk  dla  naprę ż eń  i prę d- koś ci. W  drugiej  propozycji  praw  pł ynię cia dla  gruntów  [9, 4] przyjmuje  się  jako  jedną   z za- leż noś ci  warunek  nieś ciś liwoś ci.  D rugą   zależ noś cią   jest  pokrywanie  się   kierunków  gł ę w- nych  tensora  naprę ż enia  i  tensora  prę dkoś ci  odkształ cenia.  Tak  sformuł owane  prawo pł ynię cia  moż na  ogólnie  zapisać  w  postaci (3.2)  ćy =   A ( f f y — I  V i - lest  ono  wię c  identyczne  ze  zwią zkami  Levy'ego- M isesa  dla  oś rodków  idealnie  plastycz- nych.  Wyniki  doś wiadczalne  uzyskane  w  pracach [4] i  [7] wykazują ,  że koncepcja  ta może być  bardzo  przydatna  przy  analizie  procesów  urabiania  gruntów.  W  przypadku  pł askiego stanu pł ynię cia charakterystyki  dla  prę dkoś ci  bę dą   teraz  ortogonalne i nie bę dą   pokrywał y się   z  charakterystykami  dla  naprę ż eń. 4.  R ówn an ia  pł askiego  stan u  pł yn ię cia  gruntów Wiele  praktycznie  waż nych  procesów  urabiania  gruntów  przebiega  w  warunkach pł askiego  stanu  pł ynię cia  i  z  tego  wzglę du  teorii  tego  stanu  poś wię ca  się   wiele  uwagi. Zwykle  przyjmuje  się   taką   orientację   ukł adu  współ rzę dnych  x,  y,  z,  aby  stan naprę ż enia i  pole  prę dkoś ci  był y  niezależ ne  od  współ rzę dnej  z.  Oś y  skierowana  jest  pionowo  w dół . Stan  pł askiego  pł ynię cia  opisany  jest  ukł adem  pię ciu  równań, mianowicie: a)  warunkiem stanu  granicznego (4.1)  (^ - ±e)dx,   dff±2atgQdcp   =   y(dy±tgQdx). P R O BL E M Y  T E O R I I  M EC H AN IC Z N EG O  U R ABI AN I A  G R U N T Ó W  333 P om ocn icze  wielkoś ci  a  i  ę   są   okreś lone  przez  podstawienia °H = a( o r , J  <• R ówn an ia  dla  prę dkoś ci  mają   charakterystyki  ortogon aln e  o  współ czynnikach  kierun- kowych (4.6) A  zatem  ch arakterystyki  dla  n aprę ż eń  i  prę dkoś ci  n ie  pokrywają   się .  Przyję ta  proce- d u ra  budowan ia  kon kretn ych  rozwią zań  polega  n a  wyznaczeniu  najpierw  siatki  charakte- rystyk  dla  n aprę ż eń,  a  n astę pn ie  n a  wykreś lnym  wyznaczeniu  siatki  charakterystyk  dla prę dkoś ci.  P ole  prę dkoś ci  okreś la  się   budują c  h odograf  wedł ug  metod  identycznych,  jak w  teorii  plastycznoś ci  (patrz  n p .  [10]).  M etodę   t ę   zastosowan o  w  pracy  [4]  rozwią zując zagadn ien ie wciskania  sztywnego  klin a  w  suchy piasek.  P osł uż ono  się   nią   również  w pracy [7] do  analizy  kin em atyki  oś rodka  idealnie  sypkiego przy  n aporze pionowej  ś ciany.  W  obu powyż szych  pracach  otrzym an o  dobrą   zgodność  wyników  z  badan iam i  eksperymental- n ym i. W  przypadkach  biern ego  parcia grun tu, jakie  zwykle wystę pują   w procesach urabiania, obszar  odkształ can ia ogran iczon y  przez  skrajne  linie  siatki  charakterystyk  pola  prę dkoś ci mieś ci  się   cał kowicie wewną trz  obszaru  pokrytego  siatką   charakterystyk  dla naprę ż eń. P oniż ej  podam y  kilka  typowych  przykł adów  zastosowania  teorii  pł askiego  stanu pł ynię cia do analizy m echan iki grun tu przy urabian iu róż nymi narzę dziami. We wszystkich przypadkach  zał oż ono wię c,  że  swobodn a  powierzchnia  gruntu  jest  walcowa,  ale  profil jej  m oże  mieć  dowoln ą   postać. P odobn ie ja k  w teorii  obróbki  plastycznej  metali [10], róż ne procesy  urabian ia  gruntów m oż na  rozpatrywać  ja ko  procesy  niestacjonarne  stosują c  procedurę   kolejnych  kroków. Z akł adają c  począ tkową   konfigurację   swobodnego  brzegu,  m oż na  wyznaczyć  odpowia- dają ce  jej  pole  prę dkoś ci.  P ole  t o  m oż na  uważ ać  za  niezmienne  w  okresie  dostatecznie m ał ego  przyrostu  czasu.  T aka  przybliż ona  m etoda  umoż liwia  wyznaczenie  deformacji jakiej  dozn ał a  swobodn a  powierzchn ia  grun tu  w  okresie  tego  przyrostu  czasu. N astę pnie dla n owego  kształ tu powierzchn i buduje  się  nowe rozwią zanie i nową   deformację   swobodnej powierzchni.  P rocedurę   t ę   m oż na  powtarzać  aż  do  m om en tu,  gdy  dla  jakiegoś  stopnia deformacji  powierzchn i  niemoż liwe  ju ż  bę dzie  zbudowanie  rozwią zania  teoretycznego. P odan y  zostan ie  równ ież  przykł ad  takiej  sytuacji. 5.  Rozwią zanie  dla  narzę dzia typu zgarn iaka  [ U ] N arzę dzie  zgarniają ce  o  przekroju  pokazan ym  schematycznie  n a  rys.  3  zamknię te jest  z  obu  stron  ś cian ami  równoległ ymi  do  pł aszczyzny  rysunku.  Ś ciany  te  uniemoż liwia- ją ce.odkształ cen ie  grun tu  w  kierun ku  osi  z  stwarzają   warun ki  zbliż one  do  pł askiego  stanu odkształ cenia.  Przyjmijmy,  że  n arzę dzie  porusza  się   z  prę dkoś cią   v 0   o wektorze  nachylo- n ym  p o d  ką tem  /3 (0  <  /3  <  /?*)  wzglę dem  poziom u.  Z akł adam y,  że  kształ t  profilu  AB swobodnej  powierzchn i  grun tu  w  rozpatrywanej  chwili  jest  znany. 11  Mechanika  Teoretyczna 334 W .  SZCZEPIŃ SKI Siatkę   charakterystyk  dla  naprę ż eń pokazan ą   n a  rys.  3a  otrzym an o  przez  rozwią zanie zagadnienia brzegowego C auchy'ego, okreś lonego  przez zn an e wartoś ci  a i   /S*  wektor niecią gł oś ci prę dkoś ci wzdł uż CD  m iał by taki  sam zwrot, jak  naprę ż enie styczne.  D ysypacja energii  n a  linii  niecią gł oś ci  CD  był aby  więc  ujemna.  Rozwią zanie  tego  typu  dla  / ? > / ? * był oby n iepoprawn e. P rzykł ad ten wskazuje n a konieczność zwrócenia uwagi n a zachowanie warun ku,  aby  dysypacja  energii  był a wszę dzie nieujemna. Jeż eli  profil  powierzchn i  grun tu  tworzy  prosta  nachylona  pod  pewnym  ką tem  do  po- ziom u,  to  charakterystyki  dla  n aprę ż eń i prę dkoś ci  wyznacza  się  z  prostych  równań  para- metrycznych.  D la  oś rodka  bez  spójnoś ci,  siatki  charakterystyk  dla  naprę ż eń i  prę dkoś ci skł adają  się  z  linii  prostych .  R ozwią zan ia  te  o  duż ym  znaczeniu  praktycznym  przedsta- wion o  w  pracy  [7]  wraz  z  weryfikacją  doś wiadczalną.  Otrzym ano  dobrą  zgodność  teore- tycznych  i  doś wiadczalnych  pól  prę dkoś ci  dla  suchego  piasku  i  dla  modelu  oś rodka zł o- ż on ego  ze  szklanych  prę cików. 6. Rozwią zania  dla ł yż ki ł adowarki [11] C h arakter  pracy  ł yż ki  ł adowarki  zbliż ony  jest  do  pracy  zgarniaka  omówionej  w  po- przedn im  pun kcie.  R ozwią zan ia  teoretyczne  są  jedn ak  odmienne.  M aksymalne  obcią- ż enie  ł yż ki  powstaje  w  koń cowej  fazie  procesu  n apeł n ian ia, a  więc  dla  tego  etapu  pracy rozwią zania  bę dą  m iał y znaczenie techniczne.  Ze wzglę du  n a inne ukształ towanie ł yż ki  niż zgarn iaka,  przy  próbach  zbudowan ia  siatki  charakterystyk  dla  naprę ż eń  takiego  typu, ja k  n a rys.  3 przecię libyś my  charakterystyką  CA  ś cianę  ł yż ki, co był oby sprzeczne z istnie- ją cymi  n a  niej  warun kam i  tarcia.  Z  kilku  moż liwych  wariantów  rozwią zań  teoretycznych dla  pracy  ł yż ki  przytoczym y  dwa  najbardziej  typowe. Pierwszy  przykł ad  przedstawia  rys.  4.  W  siatce  charakterystyk  dla  naprę ż eń  (rys.  4a) lin ia AM,  wynikają ca  z rozwią zania  zagadnienia brzegowego Cauchy'ego  w trójką cie  ABM n ie  przechodzi  przez  krawę dź  ł yż ki  C.  P ozostał ą  czę ść  siatki  tworzy  wachlarz  CAM.  Kąt wachlarza  £  wynika  z  warun ku  przechodzenia  skrajnej  charakterystyki  przez  pun kt  C Rozwią zanie  statyczne  tego  typu  jest  moż liwe, jeż eli  współ czynnik  tarcia  JJ,  pomię dzy grun tem  a wewnę trzną  powierzchnią  ł yż ki jest dostatecznie duż y. Warunek  lokalnej równo- wagi w pun kcie A  bę dzie  speł niony, jeż eli  |T „ , |  <   [AG„, gdzie a„ i  T„< są  odpowiednio  naprę- ż eniem  n orm aln ym  i  stycznym  dział ają cym  n a  ś cianę.  D la  danego  fi  graniczna  dopusz- czaln a  wartość  ką ta  wachlarza  i*  wynika  z  równoś ci  |T „ , |  =   fxa n .  Jeż eli  dla  uzyskania przechodzen ia  skrajnej  charakterystyki  wachlarza  przez  pun kt  C  konieczny  był by  kąt  f wię kszy  od  granicznej  wartoś ci  £ *,  t o  rozwią zanie  tego  typu  nie  speł niał oby  warunków statycznych  w  otoczeniu  p u n kt u  A.  D alej  omówimy  typ  rozwią zania  dotyczą cy  takich przypadków. Siatka  charakterystyk  dla  prę dkoś ci  może  m ieć  wachlarz  z  biegunem  w  punkcie  A, albo  ograniczać  się  do  krzywoliniowego  trójką ta  w  zależ noś ci  od  geometrii  ł yż ki  i  swo- bodn ej  powierzchni  oś rodka.  N a  rys.  4b  przedstawion o  ten  drugi  typ  siatki,  a  na  rys.  4c zbudowan y  n a  jej  podstawie  hodograf.  M a  o n .po d o bn ą  budowę,  jak  hodograf  podan y w  poprzedn im  pun kcie.  N iezn aczn a zm ian a  budowy  wynika  z  faktu  zmiany  znaku  krzy- wizny  linii  niecią gł oś ci  CD  w  pun kcie  S. Każ dy  p u n kt trójką ta  D'S'T '  n a plan ie prę dkoś ci 336 W .  SZCZEPIŃ SKI przedstawia  jednocześ nie  prę dkoś ci  ruch u  dwóch  róż nych  pu n kt ów  n a  pł aszczyź nie  fi- zycznej.  N a przykł ad pu n kt y D  i  U, w  których  nachylenie stycznej .do  charakterystyki  DC jest  takie sam o, są  n a pł aszczyź nie hodografu  reprezen towan e przez jeden  p u n kt  D'(U')  — rys.  4d. Jeż eli  współ czynnik  tarcia  n a  wewnę trznej  ś ciance  ł yż ki  jest  zbyt  m ał y,  to  skrajna charakterystyka  wachlarza  wychodzą ca  z  pun ktu  A  p o d  ką tem  £ *  n ie  przejdzie  przez krawę dź  ł yż ki  C.  N a  rys.  5  przedstawion o  schem at  rozwią zan ia  takiego  przypadku  dla grun tu  idealnie  spoistego,  dla  którego  charakterystyki  dla  n aprę ż eń i prę dkoś ci  pokrywają się. J ak  w poprzedn im przypadku  kąt  f *  wachlarza  bę dzie  okreś lony  przez  warun ek  tarcia \ x m\   — fiGn n a ś cianie AF.  Warun ek ten wraz z charakterystyką  AN   wyznacza  jedn ozn aczn ie siatkę  charakterystyk  w  obszarze  AFCN .  P oł oż enie  p u n kt u  F  wynika  z  warun ku,  że  cha- rakterystyka  FC  musi  przechodzić  przez  ostrze  ł yż ki  C. Obszar  zalegają cy  n a  lewo  od  FC  porusza  się  ja k  sztywna  cał ość  wraz  z  ł yż ką,  a  cał y masyw  grun tu  n a  prawo  od  BC  pozostaje  w  spoczyn ku.  D la  speł nienia [warunków  zwar- toś ci  w  otoczeniu linii  styku  AF  konieczne jest  wprowadzen ie  dodatkowej  linii  niecią gł oś ci prę dkoś ci  FKL G.  Sytuację  w  tym  miejscu  po  m ał ym  przesun ię ciu  ł yż ki  pokazuje  rys.  5c. D oln a  i  górn a  stron a  tej  linii  niecią gł oś ci  są  reprezen towan e  n a  pł aszczyź nie  hodografu odpowiednio  przez  ł uki  F'G'  i  F*G*. Odcinek  F'F*  przedstawia  skok  prę dkoś ci  wzdł uż P R O BLE M Y  T E O R I I  M EC H AN IC Z N EG O  U RABIAN IA  G R U N T Ó W 337 tej  linii.  P rosta  O*F* jest  poprowadzon a  równolegle  do  AF,  ponieważ  wzglę dna  prę dkość prześ lizgu  oś rodka  p o  ś cianie  ł yż ki  musi  być  do  niej  styczna.  P rę dkoś ci  pun któw  leż ą cych n a  swobodnej  powierzchn i  grun tu  są   n a  hodografie  reprezentowane  przez  pun kty  dwóch ł uków  B'G'  i  G*A*. A  zatem w  pun kcie  G  tworzy  się   n a powierzchni  uskok. zsmę sK r ^ O'A* , R ys.  5 Jeż eli  przyją ć,  że  stan  graniczny  oś rodka  opisan y  jest  warunkiem  C oulom ba- M ohra (2.1),  to  z  wyż ej  podan ym  rozwią zaniem  mogą   być  zwią zane  róż ne  typy  pól  prę dkoś ci. P roblem  ten  om ówion o  szerzej  w  pracy  [11]. 7.  M ec h an ika procesów  spychan ia  gruntów  [12] P rzedstawim y  teraz dwa  typy  rozwią zań  zwią zanych  z pracą  lemiesza  spychacza. M oż na wyróż nić  dwie  podstawowe  fazy  pracy  lemiesza,  mianowicie  fazę   począ tkową   (rys.  6a) i  fazę   koń cową   (rys.  6b).  W  fazie  począ tkowej  niejednorodne  pole  prę dkoś ci  obejmuje obszar  ABE  przylegają cy  bezpoś redn io  do  ś ciany  lemiesza  i  oddzielony  od  nieruchomej czę ś ci  grun tu  wyraź n ie  widoczną   linią   niecią gł oś ci  BE.  W  fazie  koń cowej  oprócz  obszaru n iejedn orodn ego  ruch u  ABCE  pojawia  się   obszar  BCD  przemieszczają cy  się   ja k  sztywny blo k  p o  począ tkowej  powierzchn i  grun tu  C D . Obszar  BCD  m oże  nie  być  w  stanie  gra- nicznym,  co  powoduje  zn aczn e  trudn oś ci  w  sformuł owaniu  zagadnień  n a  wartoś ci  brze- gowe.  Obecnie  n ie  udaje  się   jeszcze  otrzym ać  rozwią zań  dla  tej  koń cowej  fazy  procesu. R ozważ an ia  n asze  ograniczym y  zatem  tylko  do  fazy  począ tkowej. 338 W .  SZCZEPIŃ SKI Obszar  Obszar - M- ^Modksztat-  \   przesuwaną cania  \ Nieruchomy Q masyw  gruntu 'V/ / / / / / / / / / / / / / ME  masyw  grunfu Rys.  6 O'. Rys.  7 Stosują c  m etodę   kolejnych  kroków  m oż na  prześ ledzić  dość  znaczną   czę ść  przebiegu począ tkowej  fazy  pracy  lemiesza.  D la  każ dego  kro ku  wyznacza  się   siatki  ch arakterystyk dla  n aprę ż eń i  prę dkoś ci,  a  n astę pn ie  p o  zbudowan iu  h odografu  okreś la  zm ian ę  kształ tu powierzchni  grun tu  dla  tego  kroku.  Stanowi  to  p u n kt wyjś cia  dla  zbudowan ia  rozwią zan ia w  n astę pn ym  kr o ku . ,  •   >.":  .  '  .  '.  • P R OBLE M Y  TE OR I I  M EC H AN IC Z N EG O  U R ABI AN I A  G R U N T Ó W 339 W  zależ noś ci  od  kształ tu  i  poł oż enia lemiesza  oraz  formy  powierzchni  gruntu  m oż na otrzym ać  róż ne typy rozwią zań  dla  począ tkowej  fazy  pracy  lemiesza.  W pewnych  przypad- kach  n a  cał ej  powierzchni  lemiesza  może  wystę pować  prześ lizg  grun tu.  W  innych  przy- padkach  mogą   tworzyć  się   obszary  martwego  m ateriał u  przylegają cego  do  lemiesza  n a cał ej  lub  czę ś ci  dł ugoś ci jego  profilu.  Poniż ej  podam y  dwa  przykł ady  takich  rozwią zań. Jako pierwszy  omówimy  przypadek,  gdy prześ lizg gruntu nastę puje  n a cał ej powierzchni lemiesza.  Lemiesz  przesuwa  się   n a  prawo  z  zadaną   prę dkoś cią   v 0 .  Kształ t  swobodnej powierzchn i grun tu AM  (rys.  7) jest również  znany. Rys.  8 Siatkę   charakterystyk  dla  n aprę ż eń  przedstawia  rys.  7a.  N a  jej  podstawie  został a n astę pn ie  zbudowan a  wykreś lnie  siatka  charakterystyk  dla  prę dkoś ci  (rys.  7b).  Obszar odkształ can ia  grun tu  ogran iczon y  jest  linią   niecią głą   prę dkoś ci  EDCB,  poniż ej  której czą stki  grun tu  pozostają   w  spoczynku. Budowę   hodografu  (rys.  7c) rozpoczynam y  od pun ktu E rozkł adają c prę dkość  lemiesza v 0   n a  skł adową   prześ lizgu  wzdł uż linii  niecią gł oś ci EB  (wektor  O'E')  i wzdł uż powierzchni lemiesza  (wektor  O*E').  Linię   niecią gł oś ci  EB  reprezentuje  n a  hodografie  ł uk  koł a  E'B'. W  obszarze  EDA  pole  prę dkoś ci  jest  okreś lone  przez  warunek,  że  prę dkość  prześ lizgu grun tu  po  lemieszu  m usi  być  styczna  do jego  powierzchni,  oraz  przez  dane na  ED.  P rofil 340  W.  SZCZEPIŃ SKI lemiesza  reprezentuje  n a  hodografie  ł uk  E'A'.  P un ktowi  osobliwemu  A  odpowiada  n a pł aszczyź nie  hodografu  odcinek  A'A*,  a  odcinek  B'A*  przedstawia  prę dkoś ci  pun któw swobodnej  powierzchni  grun tu  BA.  P rę dkość  ruch u  dowoln ego  p u n kt u  obszaru  odkształ - can ia  znajdujemy  jako  wektor  ł ą czą cy  biegun  hodografu  O'  z  pun ktem  hodografu  odpo- wiadają cym  wybranemu  pun ktowi  n a  pł aszczyź nie  fizycznej.  D la  wyznaczenia  prę dkoś ci ruchu  czą stek  grun tu  wzglę dem  lemiesza  należy ja ko  biegun  przyją ć  p u n kt  O*.  Widoczne jest, że pole prę dkoś ci odniesione do lemiesza jest silnie n iejedn orodn e.  F akt ten stwierdzon o również  doś wiadczalnie  w  badan iach  m odelowych  przy  uż yciu  suchego  piasku  [14]. Rysunek  8  przedstawia  inny  typ  rozwią zania,  w  którym  pojawia  się   m artwy  obszar gruntu  przylegają cy  do  czę ś ci  profilu  lemiesza.  W  rozwią zan iu  statycznym  (rys.  8a)  cha- rakterystyka  RE  wychodzą ca  z  pu n kt u  R  przechodzi  przez  ostrze  lemiesza  E.  P o d o bn a sytuacja  wystę puje  w  siatce  charakterystyk  dla  prę dkoś ci  (rys.  8b),  w  której  charaktery- styka  EF  wychodzą ca  z pun ktu E  przecina  ko n t u r lemiesza  w  pun kcie F.  Obszar  odkształ - cania  gruntu  zawiera  się   mię dzy  odcinkiem  AF  profilu  lemiesza  i  ch arakterystykam i  FE i  EB.  Obszar  n a  lewo  od  FE  stanowi  m artwą   strefę   poruszają cą   się   ja k  sztywna  cał ość wraz z lemieszem.  Oprócz obu  linii  niecią gł oś ci prę dkoś ci  FE  i EB  pojawia  się   trzecia  lin ia niecią gł oś ci  FK,  konieczna dla  speł nienia warun ków  zwartoś ci  w  pun kcie  F. N a  plan ie  prę dkoś ci  (rys.  8c)  znajdujemy  prom ien ie  O'E'  i  O'*E'  ł uków  E'B'  i  E'F' reprezentują cych  linie  niecią gł oś ci  EB  i  EF  rozkł adają c  prę dkość  v 0   n a  skł adowe  wzdł uż tych linii. Linię  niecią gł oś ci FK reprezentują   dwa równoległ e ł uki F'K'  i F*K*. Swobodn em u brzegowi  AB  odpowiadają   n a pł aszczyź nie hodografu  dwa  ł uki  A*K*  i B'K'.  W  pun kcie K powstaje  wię c  uskok  w  procesie  odkształ can ia. 8.  Uwagi koń cowe Rozwią zania  przedstawione  powyż ej  należy  traktować ja ko  pierwszy  kro k  w  kierun ku zbudowania teorii procesów mechanicznego urabian ia grun tów opartej n a bardziej  solidnych podstawach. Obszerne badan ia doś wiadczalne  [14]  przeprowadzon e n a suchym piasku  wska- zują ,  że  rozwią zania  takie  mają   znaczenie praktyczn e  przynajm niej  dla  oś rodków  bezko- hezyjnych.  D obrą   zgodn ość  teoretycznych  i  doś wiadczalnych  pól  prę dkoś ci  otrzym an o dla piasku  w  stanie luź nym. N ieco gorszą   zgodn ość  otrzym an o dla piasku  w  stan ie zagę sz- czonym.  N iezbę dne  są   dalsze  badan ia  doś wiadczalne,  przede  wszystkim  dla  grutów  ze '  spójnoś cią   oraz  dla  grun tów  wykazują cych  n iestateczn ość  krzywych  n aprę ż en ie- odkształ- cenie. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  B. B.  COKOJIOBCKHH,  CmamuKa cunyneu cpebu, M o c m a  1960. 2.  IT.  H .  I I E P J I H H ,  06  ypameuunx  ruiacmuuHOcmu  npu  W KomopoM  npedenbHOM ycjioeuu,  I lp m - u i.  M a T . M e x o  3, 26 (1962), 580- 582. 3.1.  KISIEL,  Reologia  w  budownictwie,  Arkady,  Warszawa 1967. 4.  A.  DRESCHER, K.  KWASZCZYŃ SKA,  Z .  M R Ó Z ,  Statics  and  kinematics of  the  granular medium in the  case of  wedge  indentation,  Arch.  Mech.  Stos.,  I , 19 (1967), 99—113. 5.  A.  D RESCH ER,  A.  BU JAK,  Kinematyka oś rodka sypkiego na przykł adzie  wciskania pł askiego stempla, Rozpr.  Inż .,  2, 14 (1966), 313—325. 6.  A. J.  M.  SPENCER, A  theory  of  the  kinematics of  ideal soils under plane strain conditions,  J. M ech. P hys. Sol.,  12 (1964), 337—351. PROBLEMY  TEORII  MECHANICZNEGO  URABIANIA  GRUNTÓW  341 7. W.  SZCZEPIŃ SKI,  H .  WIN EK,  Doś wiadczalne  studium kinematyki oś rodka  sypkiego dla  pewnych  proble- mów brzegowych,  Rozpr. Inż ., 1, 20  (1972). 8. D . C.  D RU CKER,  W.  PRAG ER,  Soil  mechanics and plastic analysis  or  limit  design, Quart.  Appl.  M ath., 10  (1952),  157—165. 9. A. W.  JEN IKE,  R. T.  SH IELD ,  On  the plastic flow  of  Coulomb  solids beyond  original failure,  J.  Appl. M ech., 27  (1959),  599—602. 10. W.  SZCZEPIŃ SKI,  W stę p  do  analizy procesów obróbki plastycznej metali,  PWN , Warszawa  1967. 11.  W.  SZCZEPIŃ SKI,  Mechanika oś rodka sypkiego przy  pracy  ł yż ki  ł adowarki,  Arch.  Bud.  Maszyn,  3,  18 (1971), 463- 478. 12. W.  SZCZEPIŃ SKI,  Mechanika  ruchu oś rodka sypkiego w  począ tkowej  fazie  pracy  lemiesza  spycharki, Arch.  Bud.  Maszyn,  1,  19  (1972),  15—24. 13.  W.  SZCZEPIŃ SKI,  Some  slip- line  solutions for  earthmoving  processes,  Arch.  Mech.  Stos.,  6,  23  (1971), 885—896. 14. W.  SZCZEPIN SKI,  H .  WIN EK,  Badania modelowe procesów  mechanicznego  urabiania gruntów (w  przygo- towaniu). P  e 3  IO  M e riP OE U E M LI  T E O P H H   3EM JI EP O£ ł H LIX  nPOLCECCOB O6cyHKHOCTH   (jjopMyjiHpoBKH   H an6ojiee  npaBwiBH oro  KpHTepHH   npeflenBH oro  H anpH H ceimoro  COCTOJIHHH H   cooTBeTCTByiomHx  3aB«CHMOCTeft  Me>Kfly  TeH3opaMH   HanpHH B  sa l m o n  cTaflHH   nsy^ esaa.  Bon poca  n p n  pemeH H H  npaKTH^iecKH  HHTepecHbix HeT  BO3MOJKHOCTH   yqH TbiBaTb  C H I L I  H H epiniH   H  BJiHHHHe  CKopocTeH  flecpopM H poBaH H H . J],pyrH e HOCTH  BO3HHKaiOT  B CBH3H  C TeM,  MTO flJIH  rpyHTOB  C HeyCTOHtJHBOH  XapaKTepHCTHKOH fle