Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z3.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  10  (1972) PŁYTY  PROSTOKĄ TNE  O  JEDNOKIERUNKOWO  ZMIENNEJ  SZTYWNOŚ CI K AR O L  H .  B O J D A  ( G LI WI C E ) W  pracy  wykorzystan o  wł asnoś ci  operacji  T a  [1]  do  rozwią zania  równania  róż niczko- wego  pł yty  prostoką tn ej  izotropowej  o  jedn okierun kowo  zmiennej  sztywnoś ci.  Rozwa- ż an ia  ograniczono  do  pł yt  o  dwóch  przeciwległ ych  krawę dziach  x  =   0  i  x  =   a  swobodnie y- Rys.  1 podpartych ,  krawę dzi  y  =   0  sztywno  utwierdzonej  i  o  dowolnych  warunkach  brzegowych n a  krawę dzi  y  =   b  (rys.  1). Pł yty  o innych  warun kach  brzegowych  n a  krawę dzi  y  =   0  rozwią zuje  się   tak  samo. 1.  Równanie wyjś ciowe R ówn an ie  róż n iczkowe  powierzchni  ugię cia  pł yty  niejednorodnej  w  swej  pł aszczyź nie m a  kształ t  [2] (1.1)  V*( D Va w) - ( l- ) ») X( Dl  w)  -   q, gdzie 8 2 D  d 2 w  8 2 D  d 2 w  JPD^   d 2 w L {D,w)  -   - ^ - - - ą -r  ~ 2~dxdy'~dxdy+'~dfr"dxir' W  wielu  przypadkach  zm ien n ość  sztywnoś ci  pł yty  m oże  być  wyraż ona  z  dostateczną   do- kł adnoś cią   równ an iem (1.2)  D(y)  =  DoÓ"*, 404  K.  BOJD A w  którym  d —  stał a,  którą   w  każ dym  poszczególnym  przypadku  należy  t ak  dobrać,  by równanie  (1.2)  odtwarzał o  moż liwie  najwierniej  rzeczywistą   zm ienność sztywnoś ci  pł yty. Podstawiają c  wyraż enie  (1.2)  do  równ an ia  (1.1)  znajdujemy 2.  Rozwią zanie  równania  (1.3) Wprowadź my  operację   T a  zdefiniowaną   równoś cią   [1] g d z i e ś  jest pewną   klasą   funkcji  okreś loną   w  [1]. Ponieważ d k+l w tf  dtek  + 1dxkdyl wię c  równanie  (1.3) z  warun kam i  brzegowymi w(0, y)  =   0,  w(a,  y)  =   0,  w(x,  0)  =   0, w, 2( 0, y)  =   0,  wxl(a,  y)  =   0,  wy  (x,  0)  =   0 sprowadza  się   do  postaci  operatorowej r 2 i 1 (2.1)  r(i/ i- )in«  ( w W + 2 5 2 w "+ 5 *n ' ) +   - r- ln8(sw"+s3w)  + - T T (Ind)2(vw"+s2w)\   = o b ] 1  \   2 !—= - ln3  I Wj,2(̂ c,  0) + W y 3 (pc,  0 ) +  - j- lndwy 3 (x,  0) , gdzie  j  jest  operatorem  róż niczkowym,  z  operatorowym i  warun kam i ve(O) =   0,  w"(0)  =   0,  w(a)  =   0,  w" (o)  =   0. Przyjmują c w  =  Jj  w m sma m x,  a,,,  = z  (2.1)  otrzymujemy ( 2 . 2) P Ł YT Y  P R OSTOKĄ TNE  O  JE D N O K I E R U N K O WO  Z M IEN N EJ  SZ TYWN OŚ CI  405 Przedstawiają c  operatory  w,„  w  postaci (2.3)  "'™= ^C»m- ;ir i  uwzglę dniają c,  że jeż eli  (p(s) jest  dowolnym  wyraż eniem  wymiernym  operatora s B k s k Ą -  ...  +B„ (2.4)  l gdzie  hy'  jest  operatorem przesunię cia,  to  operatory  w m   należy  przyją ć  w  postaci j (2.5) P o  podstawieniu  (2.5)  do  (2.2)  należy  porówn ać  współ czynniki  przy  tych  samych  opera- torach przesunię cia i tych  samych potę gach wyraż enia  ( J T —j- l n ó |.  Otrzymujemy  wtedy  j niezależ nych  zwią zków  rekurencyjnych  dla  C„„„. N ależy  zwrócić  uwagę ,  że  teraz  współ czynniki  C m „h y *  nie  są   już  operatoram i  liczbo- wymi,  zatem _ |  _  c / , „ „ ( r ( 1 / 6 ) l i "5 / i 3 ' t ' P onieważ  [1] gdzie  X jest  dowolną   liczbą   rzeczywistą ,  a    C O m l  =   0 , ^*lmO  = =   O J  W , „ I =   0 , oraz  dwa  zwią zki  rekurencyjne  dla  n  >  4, C , m n  =   - = 0 , 0 m 3  =   Bm, im3  ~  T )~l -   0,1). P Ł YT Y  P R OSTOKĄ TNE  O  JE D N O K I E R U N K O WO  Z M I EN N EJ  SZ TYWN OŚ CI 407 Rozwią zanie  w  rozpatrywanym  przypadku  ma postać J 2 J Comn«T+ Clm"  « ^  s i n"- * Wprowadzają c  oznaczenia dla  0  <   j ;  < d ] a (3.3) va.„ zwią zki  rekurencyjne  moż na przedstawić  w  postaci  równań  róż nicowych  rzę du  czwartego if  =   0,  1) (3.4)  C ( m r + 4.+ A1 z warunkami  począ tkowymi C n o  =   " J  C . l m l  =   0, P o  wprowadzeniu  operatora  [1] (3.5)  r o otrzymamy  równoś ci = =  - "mi = 0 , r>0 ~~h  °  ~  /   i  ^ O m r + l "  )  ~ffi  °  ~  /   i  Comr+2'1  > 0  0 - ± - c O f f l r + 3 / * r , - L Stą d  na podstawie  (3.4) i  ostatecznie P o  wprowadzeniu  operatora (3.7) = o (B m +X x A^ h*+A m h 2 408  K .  BO J D A w  ten sam  sposób  znajdujemy Wyraż enia  (3.6) i  (3.8)  należy  rozbić  n a  uł am ki  proste,  które  z kolei  należy  rozwinąć w  szeregi  potę gowe  operatora  przesunię cia.  Otrzym an e  szeregi  należy  porówn ać  odpo- wiednio z (3.5) i  (3.7) i w  ten sposób  znaleźć  niewiadom e C Omr ,  C lmr . W  obliczeniach praktycznych wygodniej jest jedn ak  wyznaczyć  kilka  pierwszych  współ - czynników  szeregu  (2.7)  ze zwią zków  rekurencyjnych,  nie  szukając  ogólnej  postaci  tych współ czynników.  P rzedstawiony  sposób  może  być z korzyś cią  stosowany,  gdyż  niezależ nie od  warunków  brzegowych  n a krawę dziach  y  = 0  i  y  — b  oraz  ch arakteru  obcią ż enia, do wyznaczenia  pozostają  zawsze tylko  dwie  stał e.  P oza tym  wyznaczanie  współ czynników z  prostych  zwią zków  rekurencyjnych  n ie  sprawia  kł opotów  rachun kowych. M etodę tę moż na  natychmiast  rozszerzyć  n a  szereg  innych  przypadków,  n p.  n a  pł yty o  zmiennej  sztywnoś ci  spoczywają ce  n a  sprę ż ystym  podł oż u. 4.  U wagi  o  altern atywn ych  rozwią zan iach  równ an ia  (2.2) Przyjmując  operatory  w,„  w postaci l wartoś ci  G tmn   m oż na  także  wyznaczyć  m etodą  współ czynników  nieoznaczonych.  W tym celu należy  porówn ać wyraż enia  przy  tych  samych  operatorach przesunię cia i tych  samych potę gach  operatora  róż niczkowego. P o  wyznaczeniu  współ czynników  (?„„„   rozwią zanie  przyjmuje  postać J w = £ ̂ y  G„„„ <5- /̂ >"tsma,„x. m>l  n>l  ( = 0 Rozwią zanie  to jest  mniej  przydatn e  do praktycznych  obliczeń  od rozwią zania  (2.7) z  powodu  czynnika  d~ ylb.  P oza tym  zwią zki  rekurencyjne  dla  G„ m  są bardziej  zł oż one od zwią zków  dla C, m„ . Operatory  w,„  m oż na  także  otrzym ać  w postaci  zam kn ię tej.  I stotn ie,  z  (2.2)  wynika (4.1)   W m   = Wielkoś ci  X k  (k  =  1, 2,  3, 4)  okreś lone  są wzorami  (3.3). Rozwią zanie  operatorowe  dane jest  pojedynczym  szeregiem  sinusowym (42) w =   2 ' PŁYTY  PROSTOKĄ TNE  O  JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ  SZTYWNOŚ CI  409 Aby  otrzym ać  rozwią zanie  w  zwykł ej,  nieoperatorowej  postaci  należy  wyraż enie  (4.1) rozł oż yć  n a  uł am ki  proste,  a  n astę pn ie,  korzystają c  ze  znanych  wzorów  rachun ku  opera- torów  [1],  otrzym an e  wyraż enia  przedstawić  w  postaci  funkcji  zmiennej  y.  W  tym  przy- padku  trudn oś ci  rach un kowe  są   wię c  takie  same,  jak  przy  wyznaczaniu  ogólnej  postaci współ czynników  C„„„. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  J.  MIKU SIŃ SKI,  Rachunek  operatorów,  PWN ,  Warszawa  1957. 2.  Z .  KĄ CZKOWSKI,  Pł yty,  PWN ,  Warszawa  1968. P  e  3  io  M  e n P H M O yrO JI BH BI E  ITJIAC TH H KH  C  OflH OC TOP OH H E H  n E P E M E H H O H   >KfiCTKOCTBIO P aSoTa  coflepwH T  T o r a o e  p e i n e i m e  SHebcpepefmKraji&Horo  ypaBH em ro  iwoTponnoH   njTacTHHKH   c  n e - peMeilHOH   HopMyjiam. S u m m a r y RECTAN G U LAR  PLATES  WI TH   U N ID IRECTION ALLY  VARIABLE  RIG ID ITY The  paper  discusses  a  formally  accurate  solution  of  a  differential  equation  of  bending  of  an  isotropic plate with  variable  rigidity.  The  considerations  concern  rectangular  plates  with  certain  prescribed  boun- dary  conditions. Plates  with  other boundary  conditions  are  to  be  solved  in  a  similar  way.  The  solution in the  form  of  a  double  trigonometric  exponential  series  has  been  obtained  on the basis on  Mikusinski's operators. The coefficients  of  the series  are calculated  by  means  of  simple  recurrent relations. P OLI TE C H N I KA  Ś LĄ SKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  17  maja  1971  r.