Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z3.pdf


M E C H AN I K A
TE OR E TYC Z N A
I  STOSOWAN A

3,  10  (1972)

STATYSTYCZNA  ANALIZA  UKŁADU  WIBROUDERZENIOWEGO

WŁOD ZIM IERZ  G AWR O Ń S KI  ( GD AŃ S K)

Waż niejsze  oznaczenia

jakobian  (wyznacznik  funkcyjny),

M
x
  wartość ś rednia  zmiennej  x,

E  symbol  uś redniania,
a

x
  wariancja  zmiennej  x,

K
xx
  moment  korelacyjny  zmiennej  x,

K
xy
  moment  korelacji  wzajemnej  zmiennych  x  i  y.

Schemat ukł adu pokazan o n a rys.  1. N a masę  m podwieszoną   n a sprę ż ynie o  sztywnoś ci
c  dział a  sił a  okresowa  P(t)  =   P o sin (cot+q>).  M asa  m  w  czasie  ruchu  uderza  o  zderzak.
Przy  analizie  ruchu  ukł adu zakł adamy, że  masa  zderzaka jest  nieskoń czenie  duż a,  a  czas

y/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

Rys.  1

uderzenia  masy  o  zderzak  jest  mał y w  porównaniu  z  okresem  ruchu. Zjawisko  uderzenia
scharakteryzowane  jest  współ czynnikiem  restytucji  prę dkoś ci  R.

W  przyjmowanym  najczę ś ciej  modelu  ukł adu  wibrouderzeniowegq  zakł ada  się ,  że
poł oż enie  zderzaka  jest  niezmienne  w  czasie.  Zderzakiem  tym  czę sto  bywa  pal  wbijany
w grunt, a zadaniem wibrom ł ota, którego modelem jest ukł ad wibrouderzeniowy, jest zmiana
poł oż enia tego zderzaka.  Skł ad i  struktura grun tu jest  (również w kierunku przesuwu pala)
zmienną   losową .  P aram etry  statystyczne  tej  zmiennej  dla  danego  typu  gleb,  warunków
otoczenia  itp. m oż na wyznaczyć  doś wiadczalnie.  Poł oż enie zderzaka x

Q
  jest  wię c zmienną

losową .
D alej  przyjmujemy  zał oż enie, że zarówno wartość  ś rednia tej zmiennej, jak  i jej  warian-

cja  są   wielkoś ciami  stał ymi

0 )  M
Xo

  =   const,  a
Xo

  =  const.

6  M ech an ika  Teoretyczn a



430 W.  G AWROŃ SKI

Ruch  ukł adu  rozpatrywać  bę dziemy  mię dzy  dwom a  kolejnymi  uderzeniam i  masy
o zderzak. P rzy tego typu  analizie ruchu ukł adu zjawisko  uderzen ia masy  o zderzak  wpł ywa
n a  warunki  począ tkowe  ruchu.  P onieważ  poł oż en ie  zderzaka  x

0
  jest  zmienną   losową ,

wię c  i  warunki  począ tkowe  ruchu  są   zmienną   losową .  R uch  masy,  tj,  stan  dynamiczny
ukł adu  należy  wię c  rozpatrywać  w  aspekcie  probabilistycznym .

P oł oż enie ukł adu x(t)  i jego prę dkość v(t)  m oż na przedstawić  w zależ noś ci  od  losowych
warunków  począ tkowych  w  postaci  rozwią zania  róż niczkowego  równ an ia  ruchu  ukł adu.

Pit),

/   0
/

r

T _ Z i t

te*.

t

vs-
Rys.  2

W  badanym  przypadku  n ie  interesuje  nas  jedn ak  poł oż en ie i  prę dkość  masy  w  chwili
bież ą cej  t, lecz czas w jakim  m asa m wychodzą c z poł oż en ia x  =  x

0
  wróci  do tego poł oż enia

oraz jej  prę dkość w tym momencie.  Czas  ten oznaczymy przez  r,  a prę dkość przez v
x
.  Obie

te wielkoś ci są   zmiennymi losowymi.  Z akł adam y,  że w  chwili  t  =   0 n astą piło j- te uderzenie
masy  o  zderzak.  Wielkość  fazy  sił y  wymuszają cej  w  tym  m om en cie  ozn aczam y  przez  q>.
P rzez  ę   oznaczamy  wielkość  fazy  sił y  wymuszają cej  po  i + l - sz ym  uderzen iu.  Z  rys.  2
odczytujemy  zależ ność  mię dzy  lj>,  y  i  r.  Analogicznie  ozn aczam y  wielkoś ci  prę dkoś ci
począ tkowej  po  z'- tym uderzeniu  przez  v

Q
,  a  p o  i+  1- szym  uderzeniu  przez  v

0
.

D la  rozpatrywanego  ukł adu  szukamy  rozwią zania  ogran iczon ego.  P od  poję ciem
ograniczonoś ci  rozumiemy  tutaj  prawdopodobień stwo  zdarzen ia,  że  trajektoria  fazowa

Rys.  3

ukł adu  wyjdzie  poza  obszar  A  o  skoń czonej  ś rednicy,  jest  równ a  zeru  dla  0  <  /   <
Oznacza  t o , że wszystkie m om en ty wektora  fazowego  ukł adu  muszą   przyjmować  wartoś ci
skoń czone.

r.



ST AT YST YC Z N A  AN ALI Z A  U K Ł AD U   WI BR O U D E R Z E N I O WE G O  431

R ozpatrzm y  w  tym  aspekcie  cią g  pun któw  S
t
,  S

2
,  S

3
,  ...,  na.  prostej  x  =   x

0
  w  prze-

strzeni  fazowej  (rys.  3), jedn ozn aczn ie scharakteryzowanych  przez trójwymiarową   zmienną
losową   y—  {<p,v

Q
,x

0
}  (rys.  3  przedstawia  rzut  trajektorii  fazowych  n a  pł aszczyznę

(p  =   <p
0
).  Z ależ ność  mię dzy  z- tym  i  i + 1- szym  wyrazem  tego  cią gu  wyznaczona  jest  za

pomocą   funkcji,  którą   otrzymujemy  z rozwią zania  równ an ia róż niczkowego  ruchu. F unkcję
tę   oznaczamy  literą   Q,  współ rzę dne  z- tego  wyrazu  cią gu  przez  y  —  {cp,  v

0
,  x

0
},  a  współ -

rzę dne  f+ 1- szego  wyrazu  cią gu  przez  y  =  {y,v
o
,x

o
}.  M am y  zatem

(2)  y  =   Q(y).

N iech  zmienne  losowe  y  i  y  mają   wartoś ci  ś rednie  oznaczone  odpowiednio  przez
M

y
  =   {M

9
,  M

Vo
,  MĄ },  M

y
  =   {M

p
,  M

Vo
,  M

x
\ }  oraz  m om en ty  drugiego  rzę du oznaczone

przez

jX
2
  =   \ Ji<pę  >  A O o  v0  J  &xQ  x0)  &ipv0  >  - "c jxo '  "*>o

  x
o  I >

p2
  = =   i- "yc),  A U o „ Q ,  Ax„ x 0 ;  A , , J I 0 ,  Ac , X o ,  Aj, o xo / .

Z ależ noś ci  mię dzy  tym i  wielkoś ciami  dan e  są   w  postaci

(3)  My  =   QtiMy),

(4)  Ji
2
  =   Q

2
(f,

2
).

F unkcje i ? ! i Q
2
  nazywam y  odpowiedn io funkcjami  n astę pstwa  rzę du pierwszego  i drugiego.

Jeś li  istnieje  rozwią zanie  ogran iczon e,  tzn .  o  skoń czonych  wartoś ciach  momentów

zmiennej y,  to znajdziemy  takie pu n kt y  M*j i n\   (patrz Aneks  1), że

(5)  M*  =   Q^ Mf),

(6)  [Ą   .  Q
2
{jĄ ).

P un kty  M*  i  ,af  nazywam y  pu n kt am i  stał ego  odwzorowania  odpowiednio  funkcji  i3,
i  Q

2
.

W  przypadku  ukł adu  zdeterm in owan ego  (wystę puje  tylko  funkcja  nastę pstwa  rzę du
pierwszego)  zwią zek  (5)  wyznacza  warun ki  okresowoś ci  ruchu  ukł adu  (czas  mię dzy  ude-
rzeniami jest  stał y)  [1]. W  przypadku  ukł adu probabilistycznego  czas  mię dzy  uderzeniami
jest  zmienną   losową ,  chociaż  zarówn o  jego  wartość  ś rednia,  jak  i  m om enty  wyż szego
rzę du  są   stał e  [wynika  to  ze  zwią zków  (5) i  (6)]. R uch  taki  nazwiemy  ruchem  quasi- okre-
sowym.

Wyznaczymy  funkcje  Q
x
  i Q

2
  dla badan ego ukł adu oraz ich pun kty stał ego  odwzorowa-

n ia.  C harakterystyki  probabilistyczn e  przemieszczenia  masy  zależą   tylko  od  warunków
począ tkowych, wymuszenie jest wielkoś cią   zdeterminowaną ,  a wię c zwią zek  mię dzy 7p,  v

0
  , x0

i  <p,  v
0
,  x

0
  moż emy  przedstawić  za  pom ocą   zależ noś ci  funkcjyjnej  y  = f(<p,  v

0
,  x

0
),  ®o  =

=   g(<P,v
0
, x

0
),  x

0
  =   x

0
.  Ostatn i  zwią zek  wynika,  z  dokł adnoś cią   do  momentów  rzę du

drugiego,  z  zał oż enia  (1), pozostał e wyznaczamy  n astę pują co:  najpierw  znajdujemy  zależ-
noś ci  mię dzy  prę dkoś cią   ukł adu v

0
  i  ką tem  przesunię cia  fazowego  sił y wymuszają cej  <p  tuż

po  i+  1- szym uderzen iu, a  prę dkoś cią   ukł adu v
t
  tuż przed  i+  1- szym uderzeniem i  czasem

przebywania  ukł adu  m ię dzy  uderzen iam i  t.  Te  ostatn ie  zaś  wielkoś ci  zależą   funkcyjnie

6*



432  W.  G AWR O Ń SKI

od  prę dkoś ci v
Q
,  poł oż enia  zderzaka x

a
  i fazy  sił y wymuszają cej  ę   tuż po / - tym uderzeniu:

*  =  / i O o ,  <p,x
Q
),

F unkcje  te otrzymamy z rozwią zania  równ an ia  róż niczkowego  ruchu, w postaci uwikł anej

(7)  JF 1(T , W1, C ), WO J.- V:O)  =   0,

Fzit,®!,  <p,v
o
,x

0
)  =   0.

Zależ ność mię dzy  <j»,  T i ę   wynika  z rys. 2 (przyję liś my,  że czas  uderzenia jest pomijalnie

mał y)

(8)  cp =  a>r  + cp- 27c,

a  mię dzy  w0  i  w,  okreś lona  jest  zwią zkiem

(9)  v
0
  -   - Rv

v

Wartoś ci  ś rednie M
Vi
,  M

r
 i odpowiednie m om en ty korelacyjne  wyznaczymy  w  sposób

przybliż ony,  przy  pom ocy  linearyzacji  funkcji  zmiennych  losowych  (patrz  Aneks  2).
Z godnie  z tą   metodą   wartoś ci  ś rednie  wyznaczamy  ze  zwią zków

Fi(M
t
,  M

Vl
,M

v
,  M

Vo
,  M

XQ
)  = 0,

F
2
(M

t)
M

Vl
,M

v
,M

Vo
,M

Xo
)  =  0,

m om enty  zaś korelacyjne  wyznaczamy  n a podstawie  zależ n oś ci:

(11)  K
m
  =   d

l
d

2
K

K
VlVi

  -   dlK

oraz

Krep =   Oj K
w
  + Ó

3
 K

ę Vo
  +  (55 K

ll>XQ
  ,

K
Vl
  t,,  =   (5 2  - Srvc, +   ( 3 4 iś T?j, 0 +   <?6 ̂

• ^jwo  =   b2K<p
Vo

- \ -  Ó4.Kv
oVo

  + d

K
Vl
x

0
  =   ^2  K

ę Xo
  + ó

A
 K

VXo
  +  <5 6

W  zwią zkach  (11) i  (12) oznaczyliś my

(13)

<L  m  -   3 1  (5  -   -  ^ 3 2



ST AT YST YC Z N A  AN ALI Z A  U K Ł ADU   WI BR OU D E R Z E N I OWE G O  433

gdzie

8(F
1
,F

2
)  d(F

lt
F

2
)  d(F

u
F

3
)

d(M
T
,M

v
y

  a%1
  d{M

ę
,M

v
y

  i2
~  d{M

r
,M

ę
)>

^ 3 2   =

M , o ) '
  3 1

  d{M
XQ

,M
v
y

d(FuF2)
d(M

T
,M

Xo
)

Ze zwią zków  (8) i  (9) m am y

(15)  Ml

(16)  M
Va

  =  - RM
VV

N a  podstawie  (8)  i  (9)  wyzn aczam y  także  zależ noś ci  mię dzy  m om entam i  korelacyjnymi
zmiennych  T i v

t
  i  m om en tam i korelacyjnymi  zmiennych  c>, v

0
,  x

0
:

(17)  K
w
  =  E[(ę - M

9
)

2
]  =   E[f2]- MŹ  -   ^ [ ( W T + ^ - I ^ )2 ] -

-   (coM
r
 +  M

c

(18)  K£  =   E[(ip- M
9
)(vo- M

v
j\   =  E{yv

o
]~M

v
M

Vo
  =

(19)  Ą  ̂ =   E[(v
0
  -   M

Vo
)

2
]  =   E[v%] -   M\

VQ
  =

(20)  Ę *o  =   £ R S S o ] - Mv M X o =   E[(a>T  +  <p- 2n)x0]-

- {wM
x
+M

9
- 2n)M

Xo
  =

(21)  ^ o X o  =   E[v0x0]- MVoM Xo  =   E[- RvlXo]+RM VlM Xo  =  - RKVlXo.

We  wzorach  ( 1 7 ) - H ( 2 1) skorzystaliś my  z  nastę pują cej  zależ noś ci:

E[(x- M
x
)

2
]  =  E[x

2
]- M

2
.

Z ależ noś ci  mię dzy v
0>

  q>,  x
0
  p o  / - tym i  i+ 1- szym uderzeniu mają  postać:

a)  dla  wartoś ci  ś redniej  (funkcja  nastę pstwa  rzę du  pierwszego),  p o  uwzglę dnieniu  (1),
(8),  (9),  (10)

M
Xo

  =  MĄ ,

~M
9
  =   a>M

x
 +  M

v
- 2n,

(22)  M
Vo

  =   - RM
Vi
,

FdMr,  M Vl,  M 9,  M Va,  M Xa)  =  0,

F
2
(M

r>
  M

Vl>
  M

ę
,  M

Vo
,  M

Xo
)  =   0.

b)  dla  m om en tów  korelacyjnych  (funkcja  n astę pstwa  rzę du  drugiego),  po  uwzglę dnie-
niu  (1),  (11),  (12),  (17)- ł - (21), przy  oznaczeniu  K

XQXO
  =   al

o
:

(23)  K
ę v



434  W.  G AWROŃ SKI

(23)  J C „ o =

[c.d.]

K
VoVo

  =

Funkcje  i ^  i  i*̂   otrzymujemy  z  równania  ruchu  ukł adu, które  ma  postać

(24)  x +  6 2 x  =  psin(cot + cp);  0  <  ? <  r,

gdzie

\   m  m

Przyjmują c  warunki  począ tkowe  ^(0)  =   x
o
,v(0)  — v

Q
  (stan  ukł adu po  uderzeniu)  otrzy-

mujemy  rozwią zanie  równania  (24)  w  postaci

/   P  \   sinbt  I  pco
X[t)~  \ X0-   ,2

(25)  x( 0  =   fcsinfol  2  —j- sin99—xo\   +   lw0  rj  5  pj

cos(
O  —f t )

N astę pne uderzenie w ukł adzie nastą pi w chwili  t  =  x, gdy  x  =  x
0
  i:

(26)  x(r)  =   * 0 ,  x(r)  =  vv

Z  warunków  (26), na podstawie  (25) otrzymujemy  funkcje  F,.  i F
2
  w postaci

Fi(*,Vi,<P,Vo,Xo)  =  - x
0
  + (x

0
 + Csin(p)cosbT +  —z- —X

o

<27)  x(u 0- C cocos99) +  Csin(a)T+ (p)  =   0,

F
2
(r,v

lt
  cp, v

Q
,  x

0
)  -   —v

1
+bsinbr(Csin<p- x

0
)  +

+cosbt(v
0
  — Ccocos(p) + Ca)cos(a)t+(p)  =   0,

gdzie

N a podstawie  zależ noś ci  (22) i  (27) znajdujemy  pun kt stał ego odwzorowania  dla  funkcji
nastę pstwa  rzę du pierwszego.  Z adanie to sprowadza  się   do wyznaczenia  warunków okreso-
woś ci  rnchu dla ukł adu zdeterminowanego i został o przeanalizowane  n p. w  [1, 2]. Z analizy

ci

tej  otrzymujemy  m .in.,  że  M
T
  - —  .

co



ST AT YST YC Z N A  AN ALI Z A  U K Ł AD U   WI BR OU D E R Z E N I OWE G O  435

N a  podstawie  (14)  i  (27)  wyznaczamy  wielkoś ci  A
o
,  A

lt
,  A

l2
,  A

21
,  A

22
,  A

3U
  A

a2
;

A o =  (Cń nM
ę
—M

XQ
)  b sin A + (M

Va
  + Ccocos M,,) cos A +  Cco cosM

ę
,

(2 8 )

+ b (Cco cos M
ę
  -   M„ 0) sin A -   Cco

2 sin M„] +  [6 sin X (C sin M p -   M XQ) +

+  (M
Vo

  + Cco cos My) cos A +  Cco cos M
r
] [b cos M 9 sin A +  co sin M^(cos A — 1)],

A
31
  =  1- cosA,

A 3 2  =  (1—CC

— Cco2 sin M
T
] — b sin A [b sin A(Csin Afv  — M Xo)  + cos A (M Vo  — Cco cos M,,) +

+  Cco cos M J ,

gdzie:

co

Z  powyż szych  zależ noś ci i z równ ań  (13) wyznaczone są   współ czynniki  d
y
 +  ć )6.  Wyzna-

czamy  stą d,  n a  podstawie  (6)  i  (23), p u n kt  stał ego  odwzorowania  dla  funkcji  nastę pstwa

rzę du  drugiego.  Otrzymujemy  ukł ad  równ ań

+2d
3
d

5
K,

oXo
  =   - 5 | < ,

(29)

± ^K VaXa  =   - d6al0,



436  W.  G AWROŃ SKI

Powyż szy  ukł ad równań  ma nastę pują ce  rozwią zanie

Ra
2
- d

s  a

gdzie

W
o
  =

W
t
  =   Z)1

W
2
  =   b

1

oraz

1O4—  o 2 o 3 ,  a 2  =   03o 6 — 0405,  a 3  =   Oidg —  o2os,

—- ,

-   a 3 ) •

A N E K S

1.  O  punkcie  stał ego  odwzorowania  dla  cią gu  zmiennych  losowych

Rozpatrzmy  w  trójwymiarowej  przestrzeni  euklidesowej  cią g  punktów

(Al)  Si,  S
2
,  S

3
,  SĄ ,  ...,

których  współ rzę dne  są   zmiennymi  losowymi.  Oznaczmy  współ rzę dne  pun ktu  Si  przez
Xi,  x

2
,  x

3
,  a współ rzę dne punktu S

t+i
  przez  x

lt
  x

2
,  x

3
.  Wartoś ci  ś rednie  tych  współ rzę d-

nych  oznaczamy  odpowiednio  przez  M
Xx

,  M
Xl
,  M

Xi
  i  M

Xl
,  M

X2
,  M

X3
,  zaś  momenty



STATYSTYC Z N A  AN ALI Z A  U K Ł AD U   WI BR OU D E R Z E N I OWE G O  437

centralne  rzę du  n- tego  oznaczamy  / u„ i  Ji„:

-   M
Xl
)l  (x

2
 -  M

x
y  (*, -   M

X3
y

t
],

gd z i e  p , q , r  -   0 , 1 , 2 , 3 , . . . , « ,  ; j +  tf +  r  =   «,  w =   2 , 3 , 4 ,  ....  M a m y  wi ę c

f ^ n
  =   \ A * n .  O ,  0 >   A ^ n - l,  1 , O >  ^ n - 1 , 0 ,  l i  • ••   >  A * l ,  O ,  n - 1 '  i " o ,  l , n -   1 >  / M o ,  O , nj  j

i ° n  =   l i ^ n . O , O >  i ^ o - l ,  1 , 0 )  ^ 1 - 1 , 0 , 1 '  • ••   '  M l .  0 , n - 1 5  fto,  l , n - 1 »  / ^ O ,  O ,  n } >

gdzie

s,  u  =   O, 1, 2,  ...,  / i.  M̂,, i /<„ są   wię c wektorami  ifc- wymiarowymi,  gdzie k  =   1 + 2 +  ... +n  +

+  «+ l  =  2  Z,
( = 1

Zał óż my,  że  mię dzy  charakterystykam i  statystycznymi  wyrazów  cią gu  (Al)  zachodzi
jedn ozn aczn a  zależ n oś ć:
(A3)  M

x
^ Q

i
.(M

x
)

)

(A4)  Ż ł »- fl. C u O.

przy  czym  M *  =   {Af,,, M X j ,  M X 3 },  M x -   {M Xj,  M X 2 , M x>}.  Zależ ność  (A3)  nazywamy
funkcją   nastę pstwa  rzę du  pierwszego,  a (A4)  funkcją   nastę pstwa  rzę du n- tego.

Oznaczmy przez S
k
 fc- wymiarową przestrzeń euklidesową , oraz obierzmy w tej przestrzeni

podzbiór  Ś S
k
,  ograniczony  i  dom knię ty.  Cią g  ( Al)  moż emy  scharakteryzować  cią gami

pun któw:
(A5)  M

X
'\ M?\ M?\ M?\ ...,

(A6)  W.lfc.W.ł tfK- -
przy  czym  dla  każ dego  wyrazu  cią gów  (A5) i (A6)  zachodzi M

x
  e S$

3
  i / i

n
 e  SS

k
.  Ponieważ

zbiór  $
k
  jest  nieprzeliczalny  i  ograniczony,  wię c  posiada  na  mocy  twierdzenia  Bolzano-

Weierstrassa  co najmniej jeden  pu n kt skupienia.  Oznacza to, że istnieje  taki punkt  n*e!M
k
,

że

(A7)  / Ą   =   Q
n
(flS).

P un kt  ten  nazywamy  pun ktem  stał ego  odwzorowania.  Analogiczny  zwią zek  zachodzi  dla
wartoś ci  ś redniej'

2,  O  lin earyzacji  funkcji  zmiennych  losowych

P U G ACZ EW  [3]  podał  m etodę  wyznaczania  wartoś ci  ś rednich i momentów  korelacyjnych
funkcji  zmiennych losowych.  N iech  dan a bę dzie  funkcja

(A8)  y

y  =   {yi,}> 2,  • • • jjr},  X  =   • {X1,X2,  ...,X„).



438  W.  G AWR OŃ SKI

F unkcję  tę  rozwija  się  w szereg Taylora wokół  wartoś ci ś redniej M
x
  i po pominię ciu wyrazów

rzę du  drugiego  i wyż szych  otrzymujemy  funkcję   (A8)  w  postaci  liniowej
»

(A9)  y
t
  = f, (M

Xl
  ,MĄ ,...,  M

Xn
)  +  V  a

ip
(x

p
  -   M*),

gdzie

( A 1 0 )  ^

Stosują c  odpowiednie wzory  definicyjne  otrzymano wartoś ci  ś rednie i momenty  korelacyjne
zmiennej  losowej y  w  postaci

( Ali)  M„  =  f
t
(M

x
),

(A12)  K
yiyj

  -   2 ]

/ , ;  =   1, 2,  . . . , r

oraz

S/ KM*)

M etoda  ta wymaga uzupeł nienia. W  celu wyznaczenia  peł nych charakterystyk  zmiennej
y  (z  dokł adnoś cią   do  momentów  rzę du  drugiego)  należy  wyznaczyć  funkcje  korelacji
wzajemnej  wartoś ci  funkcji  i jej  argumentów. Wykorzystują c  zlinearyzowaną   funkcję   (A9),
zgodnie  z  definicją   momentów korelacyjnych  znajdujemy

(A13)  K
yiXs

  =  E[(
yi
- M

y
Xx

s
- M

Xs
))  =  E\ ya

tp
(x

p
- M

x
\ )(

Xs
- M

x
Ą   =

1
~~  /   c+in- t^ - x*.  i i i

Z _ i  '"  XpXl'
P = I

i  =   1, 2,  ...,  r,  5  =   1, 2,  ...,  n.

D alej  zał óż my,  że  d an a jest  funkcja  (A8) w  postaci  uwikł an ej,  tj.

(A14)  F i O i . J s ,  • ..,y
r
,x

l
,x

2
,  ...,x„)  =   0

* - I , 2 , . . . , r,

Postę pując  podobnie  jak  w  poprzednim  przypadku  znajdujemy,  że  wartość  ś rednia
zmiennej  losowej  y  wyznaczona  jest  zwią zkiem

(A15)  F ^ M Ą ,  M y 2 ,  . . . , M * ,  M X l ,  M X l ,  ....  AfJ D  =   0

i"  1, 2,  ...,;- ,

momenty  zaś  korelacyjne  tej  zmiennej  oraz  momenty  korelacji  wzajemnej  y  i  x  dane  są
zwią zkami  (A12)  i  (A13),  przy  czym  współ czynniki  a

ip
  i  a

jq
  wyznaczamy  z  nastę pują cych



STATYSTYC Z N A  AN ALI Z A  U K Ł AD U   WI BR OU D E R Z E N I OWE G O  439

zwią zków

z, y  =   1 , 2 ,  . . . , r ,  / > , g =   1 , 2 , . . . , «  i  < d o # 0 .

W  z w i ą z k a ch  ( A 1 6 )  o z n a c z y l i ś my

„  F
2
,...,F

r
)

d(F
lf
F

2i
...  ,

Pl
  d(M

n
,M

y2
,...,M

Xp
,...,M

yr
)  •

L it e r a t u r a  cytowana  w  tekś cie

1.  H . H .  BWXO BC K H H ,  OcHosbi meopuu  euópaijuoHuou mexnuKU, H 3fl.  MauiHHOCTpoeHHe, MocKBa  1969.

2.  B.  K O WAL C Z YK ,  Badanie  stabilnoś ci  strukturalnej  ukł adu  wibrouderzeniowego  o jednym  stopniu swobody,

Z esz.  N a u k .  P o lit ec h n iki  G d a ń skiej,  N r 112, M ec h a n ika  N r 9,  G d a ń sk  1967.

3 .  B . C . ITyrA^EB,  T eopun  cnyuauHbix  $yHKuuu,  H 3fl.  H ayK a,  M ocKBa  1962.

P  e 3 re M  e

CTATH CTH ^ECKH fł   AHAJ1H3  BHBPOyflAPHOfł   CHCTEMŁI

noBefleH H e  BH Spoyflapiiofi  CHCTeMbi  n p n  c n yqat eo M   noJiojKeHHH

3HaqeHHe  H  Ba p n a im iw  noJKOKenna  orpaH H ^H ieiw  HBJiHiOTca  BeJiH^niHaMH  nocTOHHHbiMH.

orpaH H ieH H oe  peuieH H e,  ocHOBaHHoe Ha M eiofle  TOMeMHbK  OTOópawceHuił,  npHMeHeHHOM  H JW

o^ieK  co  cnyqaiou.iM H   KoopflHHaTaMH.  P em em ieM   H BJIH M TCH

MOMBHTbl  (J)a3OBbIX  KOOpflHHaT  CHCTeMbi.

S u m m a r y

STATISTICAL  AN ALYSIS  OF  VIBRO- IMPACT  SYSTEM

I n  the paper  the vibro- impact  system  with  random  coordinate  of  the  buffer  is  analyzed.  The average

value and the variance  of this  variable  are assumed  to be  constant.  The  bounded  solutions  are found  by

means  of the point  mappings  method, interpreted  for points  sequence  of random  coordinates. The corre-

lation  moments of state  coordinates  of the system are determined.

INSTYTUT  MECHANIKI I  PODSTAW  KONSTRUKCJI  MASZYN
POLITECHNIKI GDAŃ SKIEJ

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  7  lipca  1971 r.