Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z3.pdf


M E C H AN I K A
TE OR E TYC Z N A
I  STOSOWAN A

3,  10  (1972)

OBCIĄ Ż EN IE  LOSOWE  KON STRU KCJI  JAKO  FU N KCJA STOCHASTYCZN A
Z  N IEZALEŻ N YMI PRZYROSTAM I

JAN U SZ  M U R Z E W S K I ,  AD AM   W I N I A R Z  (KR AKÓW)

P robabilistyczna  teoria  obcią ż eń  konstrukcji  jest  dziedziną ,  która  dopiero  zaczyna  się
formować. Stosun kowo najwię cej  jest prac dotyczą cych statystycznej  analizy obcią ż eń ż ywio-
ł owych:  parcia  wiatru  [4],  falowania  morskiego  [8],  wstrzą sów  sejsmicznych  [3].  P rac
dotyczą cych  uż ytkowych  obcią ż eń  konstrukcji,  w  uję ciu  probabilistycznym,  jest  niewiele.
Z n an e n am prace  [1], [6] dotyczą   koncentracji  obcią ż eń  ruchomych n a mostach  i  korzysta-
ją   z  modeli  stochastycznych  ruch u  drogowego  lub  kolejowego,  które rozwija  się   raczej  dla
potrzeb  teorii  t ran spo rt u .  Obcią ż enia  ruchom e  rozpatrywan e  z  pun ktu  widzenia  teorii
bezpieczeń stwa  konstrukcji  [9] mają   swoją   odrę bną   specyfikę   i prowadzą   do wielu  szczegól-
nych  problem ów,  ja k  n p.  kojarzenie  obcią ż eń  losowych,  współ czynniki  przecią ż enia  itd.
Te  szczególne  zagadn ien ia  próbuje  się   rozwią zywać  za  pomocą   metod  probabilistycznych,
m im o  że  dotą d  brak  adekwatn ego  modelu  teoretycznego  losowych  obcią ż eń  konstrukcji.
W  tej  pracy  próbujem y  zbudować  m odel  dla  obcią ż eń  uż ytkowych  mostów  i  budynków,
oparty  n a  teorii procesów  stochastycznych  o  przyrostach  niezależ nych.

P od  poję ciem  funkcji  stochastycznej  o  przyrostach  niezależ nych  rozumiemy  rodzinę
zmiennych losowych  Q(x),  dla których przyrosty  Q(x

i+1
)  — Q(x;)  są  niezależ nymi zmiennymi

losowymi  dla  każ dego  skoń czonego  ukł adu  x
t
  <  x

2
  <  ...  <  x

n
  [5].  Teoria  funkcji  sto-

chastycznych  o  przyrostach  niezależ nych jest  ś ciś le  zwią zana  z  teorią   funkcji  stochastycz-
nych M arkowa, których wł asnoś ci probabilistyczne  w dowolnym punkcie x

i+l
  są  cał kowicie

okreś lone  przez  wartoś ci  funkcji  w  pun ktach  x
i+1

  i  x
t
,i  nie  zależą   od  wartoś ci  funkcji

w  pun ktach  poprzedzają cych  x
h
  czyli

(1)  Prób {Q(x
t+1

)  <  Q
l+1

\ Q(
Xi
)  =   fi„   fiK- J  = gf- i,  ....  fifo)  =  Qi]  -

=   P rob{2(A- i+ 1)  <  Qt

Obcią ż enie  uż ytkowe  kon strukcji  potraktujem y  jako  funkcję   stochastyczną   o argumen-
cie  dyskretnym,  wartoś ciach  niezależ nych,  jedn orodn ą .  Wł asność  jednorodnoś ci  polega
n a  tym, że funkcja  rozkł adu dla  przyrostu  Q(x+x

Q
)  — Q(x

0
)  nie zależy  od x

0
.  Każ de obcią -

ż enie  uż ytkowe  konstrukcji  traktujem y  jako  sekwencję   cię ż arów  skupionych  dział ają cych
w  pun ktach x

x
  <  x

2
  <  •  •  •  <  x„  i  to  m am y  n a  myś li  mówią c  o  argumencie  dyskretnym.

D otychczasowe  m etody  wyznaczania  najbardziej  niekorzystnych  oddział ywań  w  kon-
strukcjach  statycznie  wyznaczalnych  i  statycznie  niewyznaczalnych  polegają   n a zał oż eniu,
że  obcią ż enie  uż ytkowe  dział a n a  te  elementy  konstrukcji,  dla  których  linie  wpł ywowe  są
tego  samego  zn aku  (rys.  1).



442 J .  MU B.ZEWSKI,  A .  WlN I AR Z

Wedł ug  wprowadzonej  ostatnio  do  n orm  projektowania  metody  stanów  granicznych
obcią ż enie nominalne (obliczeniowe) jest iloczynem obcią ż enia  normowego,  które  w  zasa-
dzie przyjmuje  się   równe  ś redniej  g  i współ czynnika przecią ż enia  a wedł ug  wzorów

(2)  "  g M m  =   8 •   a  =   1(1 +  tavg)  =  g+  ta.(igi

współ czynnik  przecią ż enia,  v
a
  —  współ czynnik  zmiennoś ci,  p

g
  —  odchyleniegdzie  a

standardowe,  t
a

współ czynnik  tolerancji.

Qabl

i  X

Rys.  1

Jeś li obcią ż enie losowe g m a rozkł ad normalny, t o współ czynnik tolerancji t
a
  jest kwantył em

standaryzowanym  rozkł adu  G aussa,  czyli  wartoś cią   funkcji  odwrotnej  do  dystrybuanty
G aussa  dla  danego  prawdopodobień stwa  co.

Rys.  2

Są  próby zastosowania  teorii stacjonarnych funkcji  stochastycznych do analizy obcią ż eń.
Pierwszy  z  autorów  [9]  zał oż ył   nastę pują cą   postać  .funkcji  autokorelacyjnej  obcią ż enia

(3)  K{x- x')  m  iĄ e-e]*- x'1

i  obliczył   moment  zginają cy  jako  cał kę   stochastyczną

(4) =   /   g(x)y(x)dx,

której  wagami  są   rzę dne  linii  wpł ywowej  m om en tu  zginają cego  dla  belki  cią gł ej  wedł ug
rys.  2.  Cał ka  stochastyczna  (4) jest  stosowana  w  sensie  I T O  [11].

P arametr  c ma wymiar  odwrotny  do  dł ugoś ci i  może być zapisany jako  - j,  gdzie y  jest



O BC I Ą Ż E N IE  LOSOWE  K O N ST R U K C JI  443

bezwymiarowym  współ czynnikiem,  a  /  — rozpię toś cią   przę sł a. W  skrajnych  przypadkach
y  - >  oo i y  - * 0, funkcja  autokorelacyjna  obcią ż enia  degeneruje  się .  G dy y  - »  oo, to obcią -
ż enie  stabilizuje  się  n a poziom ie gAl  dla każ dego  skoń czonego  odcinka  Al,  wobec  czego
intensywność  obcią ż enia  m oż na przyjmować  jako  w peł ni  okreś loną   wielkoś ć,  stał ą  n a  cał ej
dł ugoś ci  belki.  G dy y  - > 0, to intensywność  obcią ż enia g jest  również jednostajna  n a cał ej
dł ugoś ci belki,  ale jest zmienną  losową   dla róż nych belek,  o wartoś ci  oczekiwanej g i warian-
cji  ft*.  P rzy  podejś ciu  tradycyjnym  zakł ada  się , że  obcią ż enia  są   w  peł ni  skorelowane
(czyli y  ~*  0), ale tylko n a dł ugoś ci jedn ego przę sła / , a ś ciś lej na dł ugoś ci gał ę zi linii wpł ywo-
wej  jedn ego  zn aku, a poza  tym są  niezależ ne. Tak wię c zarówno w tradycyjnym  uję ciu, jak
również  w propon owan ym  analitycznym  sformuł owaniu  autokorelacji  obcią ż enia  (3) tkwi
przypuszczenie  ojej  wzglę dnym  charakterze, tzn. o zależ noś ci autokorelacji  od rozpię toś ci / .

P rzykł adowo dla c  =   1// , korzystają c  z równ ań linii wpł ywowej  dla belki  dwuprzę sł owej
liniowo- sprę ż ystej

V  /

(5)  y(x)  -  < !(/ - . dla  |

Kx<2J,Q 7 2  L  *•  ' *

wyznacza  się  param etry  rozkł adu  prawdopodobień stw  i  wartość  obliczeniową   momentu

zginają cego,  jak  n astę puje:

21

M- gf  v(x)dx  =  0,
o

21  21

(6)  MM  =  /   /   y(x)y(x')K(x- x')dxdx',
o o

HM  m  0, 061/ ł g/ 2,

M
m
  =  0, 070 | / 2  +   0 , 0 6 1/ „ A*«^ 2 -

W  p r z yp a d k a c h  gr a n ic zn yc h ,  gd y  c  - >•   oo i  c  - y 0,  o t r zym u jem y  d la c - >  oo

fiit- tO.  MZ  = 0,070g/ 2,

(7)  dla  C - +0

^ - *  0, 070^fl/
2,  A Q  -   0, 070gobl/

2.

P rzy  zastosowaniu  m etody konwencjonalnej  wartość  M
nam

  = 0,096 g
oU

P  znacznie wybiega
poza  omawiany  przedział .

Rozbież noś ci te budzą  zastrzeż enia odnoś nie do stosowania  omawianej  metody, dlatego
w  obecnej  pracy  propon ujem y  nowy  model  probabilistyczny  dla wyznaczania  maksymal-
nych  obcią ż eń,  który  by dał  wyniki  bardziej  zbliż one  do konwencjonalnych  rozwią zań.

Rozważ amy  najpierw  sekwencję   cię ż arów  losowych  G (rys.  3), stochastycznie  niezależ-
nych,  dział ają cych  n a kon strukcję   w  odstę pach  stał ych Ax  =   const, przy  czym  oczywiś cie
m oże  być G  =  0.



444 J .  M U RZ EWSKI,  A .  WlN I AR Z

P onieważ  zał oż yliś my,  że  obcią ż enia  G
t
  są   niezależ ne,  a  p o n ad t o  speł niają   pozostał e

zał oż enia  centralnego  twierdzenia  granicznego  rachun ku  prawdopodobień stwa  (skoń czona
wartość  ś rednia  i  skoń czona  wariancja)  [5], wobec  tego  m om en t  zginają cy

(8)

ma  rozkł ad  asymptotycznie  norm alny  o param etrach

Ax
  J

(9)
/

V  1

to]/ Jy
2
(x)dxl?.,

A  =
1

Ax  •

Obliczenia  oparte  n a  rozkł adach  asymptotycznych  dają   dokł adn e  wyniki  wówczas,
gdy  rozpię tość belki  / jest  bardzo  duża w  porówn an iu  z elem en tarn ym odstę pem  Ax.

Rys.  3 Rys.  4

P rzykł adowo  dla  belki  jednoprzę sł owej  (rys.  4)  param etry  (9)  rozkł adu  dla  momentu
zginają cego  wynoszą   odpowiednio

(10) hit/
  l

~  4  y  u -
Przyjmują c  współ czynnik  tolerancji  t

a
  =   3  oraz  współ czynnik  zmiennoś ci  v  =   0,067  po-

równujemy  obliczenia  uzyskane  przy  zastosowaniu  omawianej  m etody  i  m etody  kon-
wencjonalnej

( U )  M
om

=^

Traktują c  param etr  X jako  stał ą   cechę   otrzymujemy  nastę pują cy  wn iosek:

(12)  M
B M n o m  dla

1  Xl



O BC I Ą Ż E N IE  LOSOWE  K ON STR U K C JI 445

W  przypadku  belki  dwuprzę sł owej  (rys.  5) rozkł ad przę sł owego  m om entu zginają cego  m a
param etry

(13)  M  =   0,070g/ 2,  fjt
M
  o  O . l l ^

a  wartoś ci  m om en tów  obliczeniowych  i  «rozpię tość  przeł omowa»  l
0
  wynoszą

(14) =   0,070g7
2

=   1,2  •   0,070g/ 2,  l
0
  =   - 2̂

P odobn ie  w  przypadku  belki  trójprzę sł owej  (rys.  6)  mamy

(15)  M 0 M  =  0, 078gWl  +   ^ | _ - j,  M nom  =   1,2 •   0,078g7
2,  /„ .  J^ - .

R ozkł ad  prawdopodobień stw  cię ż arów  losowych  G  nie  jest  cią gły  gdyż  nie  moż na
pom in ą ć,  realistycznie  rzecz  biorą c, skoń czonego  prawdopodobień stwa  q braku  obcią ż enia
(tzn.  G  =   0)  (rys.  7).

! 1/ 2 i  1/2 .   I

Rys.  5

F(G)

R ys.  6

ptp(G)

\ Vi- vA

Gi

R ys.  7

G ę stość  rozkł adu  wyraża  się  więc  wzorem

(16)  f(G)  =  qd(G)+p<p(G),

gdzie  d(G) —  dystrybucja  D iraca,  p  + q  =  1,  (p(Gi) —  gę stość  warunkowa  dla  G
t
  =£  0,

a  param etry  rozkł adu  wynoszą

G   =  pGi  =  gAx,  fi  =   1 |/ i ' ( ? + o i 2 )  ^ ł i  w  =
P

gdzie  G; ,z>;  —  param etry  rozkł adu  realnych  (niezerowych)  cię ż arów.
G ę stość  rozkł adu  <p(G)  niekoniecznie  musi  być  n orm aln a.  M oże  być  to  n p.  funkcja

rozkł adu  gam m a  lub  in n a —  niesymetryczna,  a  nawet  funkcja  rozkł adu  wielomodalna.
Ta  ostatn ia wystę puje  n p. w  przypadku  obcią ż enia  niezbyt  dł ugich mostów  samochodami
osobowymi  lub  cię ż arowymi  o  bard zo  róż nych  cię ż arach.

7  M ech an ika  Teoretyczn a



446  J.  M U RZEWSKI,  A.  WIN IARZ

W  dotychczasowych  rozważ aniach zakł adaliś my,  że Ax  =   const. Obecnie  potraktujemy
odstę p mię dzy cię ż arami Ax  — t jako  losowy i wyprowadzimy  rozkł ad  prawdopodobień stw
dla  zastę pczego  obcią ż eniâ  =  G/ 't,  korzystają c  z  niezależ noś ci  zmiennych  losowych  G  i  t.
N a  mocy  twierdzeń  dotyczą cych  rozkł adu  ilorazu  zmiennych  losowych  niezależ nych  [7]
mamy

(17)  f(g)  =  qó(g)+pj  <p(gt)f(t)  tdt,
o

gdzie  f(t)  —  gę stość  prawdopodobień stw  odstę pów  pojedynczych  obcią ż eń,  t

Ogólnie  moż emy  tu  rozróż nić  3  typy  strumieni  obcią ż eń:

1)  / ( O  =   he~ xt  —  Poissona,

(18)  2)  / ( O  =

3)  f(t)  =   6(t—Ax)  —P a lm a  (rozważ any  poprzednio),

gdzie  obecnie A =   —.
t

Pierwszy  i  trzeci  typ  strumienia  są   to  szczególne  przypadki  strumienia  Erlanga,  a  to
odpowiednio  dla  k  =  1 i  k  =  oo.

W  przypadku  strumienia  poissonowskiego  otrzymujemy
00

(19)  f{g)  -   qd(g)+X  J  e- x'<p(gt)tdt,
o

w  czym  rozpoznajemy  transformację   Laplace'a  funkcji  ę (gt)t  [10].  P ostać  wzoru  (19)
pozwala  na szerokie jego  stosowanie  ze wzglę du n a  rozpowszechnione  tablice  transformat
Laplace'a  [2]. I  tak,  w  przypadku  gdy  rozkł ad  warunkowy  (p(G

t
)  jest  normalny  o  para-

metrach  N (Gi,  / ni)  mamy

(20)

gdzie
00

s
  = A _ Ą ,  Erfc(x) -   - L-   f  e- »2du.

g  (4  yn  {  d

Prostszy  rozkł ad otrzymujemy  w  przypadku,  gdy  rozkł ad  (p(G
t
) jest  typu  gamma

M amy  wówczas

(22)

W celu wyznaczenia  wystę pują cego  we wzorze  (16) prawdopodobień stwâ  zanalizujemy
bliż ej  zagadnienie  przerw  mię dzy  sekwencjami  obcią ż eń.



O BC I Ą Ż E N IE  LOSOWE  K ON STR U K C JI  447

Losowa  liczba  brakują cych  sił  w przerwie mię dzy grupami cię ż arów podlega rozkł adowi
geometrycznemu

(23)  P(n)  = q"- 1p,  «- —.

Wyprowadzimy  rozkł ad  prawdopodobień stw  f(Al)  przerwy  w  obcią ż eniu  korzystając
z  zależ noś ci

00

(24)  RAI) =  £f(Alln)P(n)
n =  \

i  z  faktu,  że  w  przypadku  strumienia  poissonowskiego  f(t)  rozkł ad  warunkowy  f(Al\ ń )
jest  typu  gamma.

Mamy  więc

(25) ^

Stąd  i  z  (24)  wynika

(26)  f(Al)  =   pke- ^ K

Rozkł ad  (26) jest  typu  wykł adniczego  o wartoś ci ś redniej  Al  =  —*- , co pozwala  wyznaczyć
pA

prawdopodobień stwo  p  —  — = -   =   - =  z  pomiarów  ś redniego  gabarytu  pojedynczego  ob-

cią ż enia i ś redniej przerwy  mię dzy obcią ż eniami. P odobnie w przypadku strumienia Erlanga

mamy

(27)  f(A  l/ ń ) m  j ^ —  (A If*-   le~ Xń l,

stąd  warunkowa  wartość  ś rednia

Al  «  —

Tym  razem na  mocy  relacji  mię dzy  wartoś cią  ś rednią  warunkową  i  bezwarunkową  otrzy-
mujemy

(28)

a  więc

(29)  *- > a  *,„
bowiem  dla  rozkł adu  Erlanga

k  =  v7
2
,  A =   r 1 .

Powyż sze  rozważ an ia wskazują,  że  znajomość  statystyk:  G
u
  w,; t,v

t
;Al  w  peł ni  pozwala

wyznaczyć wszystkie param etry  om awianego m odelu probabilistycznego.

7 *

Al-

k

k
pl

t

7



448  J.  M U RZEWSKT,  A.  WlKlARZ

Przypuszczamy,  że  przedstawiona  teoria  probabilistyczna  pozwoli  wytł umaczyć  efekty

takie,  jak  redukcja  maksymalnych  obcią ż eń  szkieletów  wielokondygnacyjnych,  specjalne

reguł y  obcią ż enia  mostów  wieloprzę sł owych  itd.,  które  w  tradycyjnej  m etodzie  wymiaro-

wania  uwzglę dniano  w  sposób  intuicyjny,  umownymi  przepisam i.

Literatura  cytoivana w tekś cie

1.  O.  ASP LU N D ,  Probabilities of traffic  loads on bridges, ASC E  P r o c ,  Vol.  81, Sep. 585, Jan . 1955.

2.  H .  BATEMAN ,  T ables of integral transforms, vol.  1,  N .  York 1954,  (tł um .  ros.,  wyd. N au ka, M oskwa 1969).

3.  B. B.  BOJI OTH H ,  npiiMciiemie  cmamucmtmecRux  Memodoe b/ in oueumi  npomiocmu  Kommpymfuu  npu

ceiicMimecKux  eo3deucmeunx,  HHH- C.  CG optiHK,  T . 27, M3fl.  A H   C C C P ,  19S9.

4.  E. COM ELLIN I, C. M AN U Z I O , Rational determination of design loadings for  overhead line towers, Interna-

tional  Conference  on Large H igh  Tension  Electric Systems, N o 23- 08, Jun e 1968.

5.  W.  F ELLER,  W stę p do rachunku prawdopodobień stwa, 1.1 i I I ,  P WN ,  Warszawa 1969.

6.  J. F ERRY  BORG ES, Dynamic loads,  G eneral  R eport on them e VI,  VI I I C ongress I n tern ation al Association

for  Bridge and Structural  Engineering,  N . York  1968.

7.  I,  KOTLARSKI,  Rachunek prawdopodobień stwa dla inż ynierów, WN T , Warszawa 1966.

8.  E. V.  LEWI S,  Predicting long- term distributions  of  wave  induced bending  moment on ship  hulls, The  So-

ciety  of N aval  Architects  and M arin e  Engineers, N o 6, July 1967.

9.  J.  M U R Z EWSKI ,  Bezpieczeń stwo  konstrukcji  budowlanych, Arkady,  Warszawa 1970.

10.  J.  OSIOWSKI,  Zarys  rachunku operatorowego,  WN T, Warszawa  1965.

11.  P . JI .  CTPATOH OBIM,  ycjioeuue  MapKoeaaie  npoą eccu u ux npUMenenun  K meopuu onmuMa/ ibnoso ynpas-

jienusi, H 3fl.  MOCKOBCKOFO  yroreepcuTeTa,  M ocKsa 1966.

P  e  3 ro  M e

C J iyH ABH Afl  H Ar P Y3K A  C O O P y> K E H H H   KAK C J iy^ I Afł H Afl  O yH K L I H fl

C  H E 3AB H C H M L I M H   I T P H P AI I I E H H flM H

M 3rH 6aiomne  MOMeHTti ^ J I H  yn p yr a x  6anoK  [8] 3aBncHT jiHHeHiio  OT nocneflOBaTeJitH ocTH   cjiyH afitibix

Harpy3OK  Gt  Ha GajiKe.,  n p n ^ ew  Bn arm e  onpeneneHHMMW  KO3CpcbHu,neHTaMH   j>t  H BJIH IOTCH   opflHHaTM

BU H H H H H   H 3rH 6aiomero  MoivieHTa.  J I J I H   3KBHBajieHTHMX  pacnpeflene'H H bix  n arpy30K  g(x)  o n p e-

n apam eTpu  pacnpefleneH H n  nepoHTHOCTeii  ii3rH 6aiom ero  MOMenTa.  n p u  BbiBo^e  pacn pefle-

BepoH TH ocm  narpy3i< n  g(x)  c n ep o a  npeflnonaraeTCH   nocTOHHHwe  paccTOHHHn  Ax,

CTOxacTiwecKH  He3aBncHMWMn  Harpy3i<aMH  G, a  3aTeM   cjiyqattuwe  paccTOJimin  t.

H arpy3i<n  ((? =   0) .

S u m m a r y

RAN D OM   LOAD   OF  STRU CTU RES AS  A  STOCH ASTIC  F U N C T I O N   WITH   I N D EP EN D EN T

IN CREM EN TS

The  bending moments for elastic  beams  (8) depend  linearly  on the sequence  of random gravity  loads

Gi acting on the beam, and the deterministic factors  y
t
  are the ordinates  of  an influence  line for  the ben-

ding moment. The parameters of probability  distribution for the bending moment are  defined  for  an equi-

valent  uniformly  distributed load g(x).  Constant  distance Ax  for  stochastically  independent  loads  G are

initially  assumed, and then — a random variable  distance /  is  prescribed  for the derivation  of  the proba-

bility  distribution of the load g(x).  A  finite  probability  q of  n o loading  (G  =  0) is  taken  under conside-

ration.

P OLI TE C H N I KA  KRAKOWSKA

Praca  został a zł oż ona w  Redakcji  dnia  19 lipca  1971 r.



M E C H AN I K A
TE OR E TYC Z N A
I  STOSOWAN A

3,  10  (1972)

OPTYM ALIZACJA  WŁAŚ CIWOŚ CI  D YN AMICZN YCH
N APĘ DU   G ŁÓWN EG O  OBRABIARKI

JAN U SZ  B A R A N ,  KR Z YSZ TOF   M A R C H E L E K  (SZ CZ ECIN )

Procesy dynam iczn e zachodzą ce w n apę dzie gł ównym  obrabiarki  w czasie jego rozruchu
i  ham owan ia, a także  podczas  skrawania,  wywierają   istotn y wpł yw  na trwał ość i  ż ywotność
elementów obrabiarki  oraz n a takie wskaź niki  technologiczne, jak  chropowatość powierzch-
chni  obrobionej  i  trwał ość  ostrza  narzę dzia  skrawają cego.  N a podstawie  obserwacji  pracy
napę dów  obrabiarek  w  warun kach  przemysł owych  stwierdzono,  że  najczę stszym  uszko-
dzeniom ulegają   podczas rozruch u i ham owan ia n apę dy nie zawierają ce  sprzę gieł. Zachodzą -
ce  w  takich  n apę dach  procesy  przejś ciowe,  wywoł ane  wł ą czeniem  silnika  napę dzają cego,
charakteryzują   się   duż ym  przeregulowan iem  odpowiedzi  skokowej  i  znacznym  czasem
trwan ia.

P rzeprowadzon e  przez  WE JC A  [1]  n a  matematycznej  maszynie  analogowej  badania
procesów  przejś ciowych  zachodzą cych  w  napę dzie  gł ównym  wykazał y,  że jednym  z pod-
stawowych  wskaź ników  jakoś ci  dynamicznej  n apę du  jest  stosunek  T

E
jT

M
,  gdzie:  T

E
  —

elektromagnetyczna  stał a  czasowa  silnika,  T
M
  —  elektromechaniczna stał a czasowa  silnika.

Im wię ksza jest  wartość  T
E
jT

M
,  tym  silniejszy jest  wpł yw  procesów  przejś ciowych  przebie-

gają cych  w  silniku  elektrycznym  n a  procesy  dynamiczne zachodzą ce w  napę dzie gł ównym.
R I WI N   [2]  wykazał ,  że  przebieg  procesów  przejś ciowych  zachodzą cych  przy  rozruchu
i  ham owan iu  zależy  od  param etrów  opisują cych  model fizyczny  napę du gł ównego.

Z ależ ność  wskaź ników  procesu  przejś ciowego  od  param etrów  opisują cych  model
n apę du  gł ównego  obrabiarki  jest  bardzo  zł oż on a.  Trudn o  jest  zatem  wprost  okreś lić
optym aln e  wartoś ci  param etrów  opisują cych,  które  gwarantował yby  osią gnię cie  ekspe-
rymentalnych  wartoś ci  wskaź ników jakoś ci  dynamicznej n apę du. D ysponują c  odpowiednio
dokł adn ym  modelem  m atem atyczn ym  n apę du  gł ównego  moż na,  stosują c  metody  opty-
malizacyjne,  wyznaczyć  także  wartoś ci  param etrów  opisują cych,  przy  których  speł nione
bę dą   zał oż one  kryteria.  Ogólnie  biorą c,  optymalizacja  napę du  gł ównego  obrabiarki
powin n a być  optymalizacją   wielokryterialną ,  uwzglę dniają cą   zarówno wskaź niki  techniczne
(sztywność  technologiczna, zapas  stabilnoś ci,  cię ż ar, wymiary  itp.), jak  i wskaź niki  ekono-
miczne  (wydajność  urzą dzen ia, koszty  budowy  i eksploatacji  itp.). W  literaturze  dotyczą cej
obrabiarek  spotkać  m oż na  prace  n a  tem at  optymalizacji  konstrukcji,  n p.  w  pracy  [3]
om ówiono  zagadn ien ia  optymalizacji  konstrukcji  obrabiarek  ze  wzglę du  na  wskaź niki
ekonomiczne.  Brak  jest  n atom iast  opracowań  m etod  optymalizacji  wł aś ciwoś ci  dynamicz-
nych  obrabiarek  i  zespoł ów  obrabiarkowych.

W  rozpatrywanym  przypadku  optymalizacja  został a  przeprowadzona  pod  ką tem
polepszenia  jakoś ci  przebiegu  procesów  przejś ciowych  w  zależ noś ci  od  param etrów  opi-



450 J.  BARAN ,  K.  MARCHELEK

sują cych  model. Jest to zatem optymalizacja jednokryterialna.  Przebieg procesów  przejś cio-
wych jest zwią zany  z takimi wskaź nikami, jak  czas jego trwania  wartość  «przeregulowania»
odpowiedzi  skokowej  ukł adu itp.  Wskaź niki  te  ś ciś le  są   zwią zane  z  innymi  wskaź nikami
jakoś ci  dynamicznej,  jak  stopień  i  zapas  stabilnoś ci,  reakcja  ukł adu  n a  wymuszenie  ze-
wnę trzne.

Optymalizację   dynamicznego  ukł adu  napę du  gł ównego  przeprowadzić  moż na  dla
przypadku  biegu  jał owego  oraz  dla  skrawania.  U kł ad  dynamiczny  napę du  gł ównego
obrabiarki  przedstawić  moż na  za  pomocą   schematu  blokowego  (rys.  1).  Schemat  ten
opisuje  przypadek  skrawania.  D la biegu jał owego  schemat blokowy  ukł adu dynamicznego
upraszcza  się   (rys. 2), nie wystę puje  bowiem  czł on  «proces  skrawania»  i sprzę ż enie  zwrotne
mię dzy  czł onami  «ukł ad  masowo- sprę ż ysty»  i  «proces  skrawania».

Zastę pczy  ukł ad
masowo- sprę ż ysty
napę du  obrabiarki

Waistwa  skrawana
(Proces  skrawania) m  yft)

Zastę pczy  ukł ad
masowo- sprę ż ysty

Rys.  \ .  Schemat  blokowy  zamknię tego  ukł adu
dynamicznego  napę du  obrabiarki

Rys.  2.  Schemat  blokowy  ukł adu  dynamicznego
napę du  gł ównego  biegu  jał owego

Ponieważ  procesy  przejś ciowe  odgrywają   dominują cą   rolę   przy  rozruchu i  hamowaniu
napę du,  optymalizację   ukł adu  dynamicznego  napę du  gł ównego  należy  przede  wszystkim
prowadzić  pod  ką tem  ich  polepszenia.  Oczywiste  jest,  że  uzyska  się   także  polepszenie
wskaź ników  procesów  dynamicznych  zachodzą cych w  czasie  skrawania;  przede wszystkim
wzroś nie  stopień  i  zapas  stabilnoś ci.

Wł asnoś ci  dynamiczne  ukł adu  dynamicznego  pokazanego  na  rys.  2  opisuje  zależ ność
mię dzy  sygnał em  wyjś ciowym  a  sygnał em  wejś ciowym  [4]

( 0  <p(t)  =  G[W ,  M
t
(t)],

gdzie
cp(t)  —  sygnał   wyjś ciowy,  M

z
{t)  —  sygnał   wejś ciowy,  W  —  funkcja  przejś cia  czł onu.

W  najogólniejszym  przypadku  n apę d  obrabiarki  jest  ukł adem  bardzo  zł oż onym  pod
wzglę dem  dynamicznym. Jest  to ukł ad nieliniowy,  o nieskoń czonej  liczbie  stopni  swobody,
o  masach  i  wł aś ciwoś ciach  sprę ż ystych  rozł oż onych  w  sposób  cią gł y.  W  dynamicznym
ukł adzie napę du  gł ównego  obrabiarki  wystę pują   sprzę ż enia  wewnę trzne  mię dzy  drganiami
skrę tnymi  i  poprzecznymi.  Optymalizacja  wł asnoś ci  dynamicznych  tak  zł oż onego ukł adu
jest  zagadnieniem  trudnym.

N a  podstawie  licznych  badań  [2, 4] wykazano,  że  z  duż ym  powodzeniem  ukł ad dyna-
miczny  napę du  gł ównego  obrabiarki  aproksymować  m oż na  modelem  liniowym.  Liniowe
przybliż enie  pozwala  przeanalizować  znaczną   czę ść praktycznie  waż nych  zjawisk  i  stanowi
bazę  do dalszego  badan ia ukł adów bardziej  zł oż onych. Liniowy  model mechaniczny ukł adu
przedstawiono  na  rys.  3.  M odel  matematyczny  n apę du  gł ównego  frezarki  stanowi  ukł ad



O P T YM ALI Z AC JA  WŁASN OŚ CI  D YN AM I C Z N YC H

liniowy  równań  róż niczkowych  zwyczajnych  nastę pują cej  postaci:

Ji<Pi+h
l
(q>

1
- q>

2
)+k

1
((p

1
- (p

2
)  m M{t),

(2)  J2f2- hi(spi.- q>^ +h
2
(ip

2
- <p

z
)- k

i
.((p

l
- (p

2
)+k

2
((p

i
- ę

3
)  = 0,

451

Ostatn ie z równ ań  ukł adu  (2) jest  równ an iem ruchu  silnika  napę dzają cego [4].
Jako  funkcję   celu  (odległ oś ci) w procedurze optymalizacji  przebiegu  procesu  przejś cio-

wego  w  n apę dzie  gł ównym  obrabiarki  przyję to:  przeregulowanie  odpowiedzi  skokowej

Mzft)

Rys.  3.  U kł ad  dyskretny  napę du  gł ównego  frezarki

ukł adu  Ah
x
  i  czas  trawan ia  procesu  przejś ciowego  t

n
  dla współ rzę dnej  ę

t
  opisują cej  ką t

skrę cenia  n apę du  m ierzony  n a wrzecionie.  Wł aś ciwie  są   to dwie  funkcje  celu  sprzę ż one
pomię dzy  sobą   param etram i ukł adu.  Wyznaczenie  tych funkcji  w postaci pewnego  zwią zku
matematycznego  param etrów  n apę du  gł ównego  obrabiarki  jest  praktycznie  niemoż liwe,
dlatego  do  badań  optymalizacyjnych  zastosowano  zmodyfikowaną   metodę   reaksacyjną .

W  metodzie tej procedurę   optymalizacji  rozpoczyna się  od zmiany  tylko jednego  para-
m etru,  podczas  gdy in n e  są   utrzym ywan e  n a poziom ie  stał ej  wartoś ci.  Stosują c  ją   osią ga
się   ten sam wynik, ja k  przy  in n ych  m etodach, jest  ona  n atom iast  ł atwiejsza  do zrealizo-
wania  n a  maszynie  an alogowej.  P aram etr ulega  zmianie aż do chwili  osią gnię cia minimum
lokalnego.  Operację   iteracyjną   stosuje  się  dla każ dego  z param etrów  zmiennych do chwili
osią gnię cia  przez  ten param et r m in im um .  Proces minimalizacji  m oż na ograniczyć do mniej-
szej  liczby  kroków,  przechodzą c  do  nastę pnego  param etru już  wówczas,  gdy minimum
lokalnego  nie osią gnię to  przy  zał oż onej liczbie  kroków.

M> i(t)

hz  "*  h3
Rys.  4.  U kł ad  masowo- sprę ż ysty  z  tł umieniem wiskotycznym  o  trzech  stopniach  swobody

M etody  gradien towe  mają   jedn ą   niekorzystną   cechę .  Jeż eli  istnieje  kilka  ekstremów
(minimów)  i jeż eli  się   osią gnie  jedn o  z  minimów, t o nie m oż na  gwarantować,  że rozwią -
zanie  uzyskane  n a m aszynie  zbliży  się  wł aś nie  do  tego  minimum ,  ponieważ  rozwią zanie
zadan ia  rozpoczę ła m aszyn a  od dowolnego  zbioru  wartoś ci  param etrów.



452  J.  BAR AN ,  K .  M AR C H E L E K

Wadę  zastosowanej  metody  usunię to  w  ten  sposób,  że  n a  koń cu  procesu  optymalizacji
sprawdzono,  czy  istnieją  in n e  m inim a  lokaln e.  Wyniki  był y  negatywne,  co  oznacza,  że
w  zał oż onych granicach  zmian  param etrów  istniał o  tylko  jed n o  m in im um  lokaln e.

P rocedurę  optymalizacji  n apę du  gł ównego  obrabiarki  przeprowadzon o  n a  maszynie
analogowej  ELWAT- 1.  Ze wzglę du  na  ograniczoną  pojem ność  operacyjną  uż ytej  maszyny
model  mechaniczny  n apę du  gł ównego  obrabiarki  należy  zredukować  do  trzech  stopn i  swo-
body.  Redukcji  stopni  swobody  dokon an o  za  pom ocą  zmodyfikowanej  m etody  R I WI N A
[6].  M odel  mechaniczny  n apę du  gł ównego  frezarki  przedstawion o  na  rys.  4.

M odel  ten opisany jest  ukł adem równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych:

(p
2
)  =   M-

(3)  J2ł P2- h
1
{<pi- q>2) + h

2
(<p2- <pi)- ki((pi.- cp2)

J
rk2((p2- cpi)  =  0,

= 0 .

Jako  funkcję  wejś cia  przyję to  skok  jedn ostkowy  (funkcja  H eaviside'a),  R ówn an ia  (3)
przekształ cono  w  postać  bezwymiarową

L ~  9 2 . )  =   ?W  '  I  (. tj  ,

(4)  nlf2~2£
2

n
i[

a
i(tyi~y

2
)~(y

>
2~<P3)]+[~~Pi(

<
Pi~

(
P

2
)  + (

(
p

2
  — <P3)]  —  0>

H2 <p3 "" 2f3«2 [K2 ($2  ~(pz)~   ^ 3]  +  [ ~ ft 2 ($2  ~ fi)  +  Vi]  =   0 •

W  równaniach  (4) wprowadzon o  nastę pują ce  ozn aczen ia:

t  / ji  / ji  «  Jc2

(5)  ^= 7 T= >  «.- *-.   7- - - P-.
2y  J

2
k

2
  «3  "i

  i 2

I 3  =
1

2 | / / 3 / c 3  '
  P  * a '  n

2
-   T

3
'

p r z y  c z y m

£i  r  _  -i /
  J

2
  T

  _  - .  /   Ą

oraz przyję to  skalę  czasu  w  postaci  tzw.  czasu  bezwymiarowego

(6) T=4 T'
gdzie  T —•  czas  maszynowy  (bezwymiarowy),  t —  czas  rzeczywisty.

M odel  analogowy  n apę du  gł ównego  obrabiarki  przedstawion o  n a  rys.  5.
Stosując  metody  analizy  wymiarowej  stwierdzono,  że  dwa  param etry  bezwymiarowe

są  zależ ne,  tzn .  są  funkcją  pozostał ych  param etrów.

(7)  ax  =   - z
1 —,  v.

2
  =  ~£- —n

x
.



O P T YM ALI Z AC JA  WŁ ASN OŚ CI  D YN AM I C Z N YC H 453

Współ czynniki  te  charakteryzują  sprzę ż enia  dysypacyjne  w  ukł adzie,  a  ich  wpł yw

na jakość  przebiegu  procesów  przejś ciowych  jest  m inim alny  (mieś ci  się  w  granicach  bł ę du

pracy  maszyny  analogowej).

P aram etry podlegają ce  optymalizacji,  tj.  f  t ,  £ 2 ,  f3,  / 3X,  / ?2, — ,  —  nie  mogą  zmieniać

się  dowolnie. N ał oż one  są  n a nie  ograniczenia wynikają ce  z prawidł owego  funkcjonowania
obiektu.  G ran ice dopuszczalnych  zmian  przyję to  w  sposób  nastę pują cy:

—  dla  współ czynników  wzglę dnego  tł umienia  za  maksymalną  wartość  przyję to  £ m a x  =
=   0,4- 0,5.  Odpowiada  to takiem u  stopniowi  dysypacji  energii  mechanicznej, jaki  zapewnić
mogą  tarciowe  tł um iki  drgań  [5],

—  dla  współ czynników  / 8i, / S2. —  > —  przyję to  zmianę w  dół  w  zakresie  50%  wartoś ci
«i  n

2

nominalnej  i  w  górę,  w  zakresie  100%  wartoś ci  n om in aln ej.

100
Pr

Rys.  5.  M odel  analogowy  napę du  gł ównego  obrabiarki

M oż na  przypuszczać,  że  zm ian a  param etrów  w  tak  okreś lonych  granicach  gwarantuje
uzyskanie  wartoś ci  optym aln ej, moż liwej  do  praktycznej  realizacji.  Współ czynniki te  mają
wpł yw  n a  modulację  przebiegu  w  zależ noś ci  od  dominacji  pierwszej  lub  kolejnej  czę sto-
tliwoś ci  ukł adu.  P odlegają ce  optymalizacji  param etry  J ; ,  hi  oraz  k t  (lub  ich  kombinacje
bezwymiarowe)  traktować  m oż na jako  zmienne losowe.  Wynika  to  stą d,  że  optymalizacji



454 J.  BARAN ,  K.  MARCHELEK

podlegają   param etry  zredukowane  n p.  n a  wrzeciono.  U zyskan e  n a  tej  podstawie  tzw.
param etry  bezwzglę dne  mają   dla  każ dej  prę dkoś ci  obrotowej  n apę du  in n e  wartoś ci  opty-
malne.  P onieważ  n apę d m oż na zrealizować  konstrukcyjnie  tylko  dla jedn ego  zbioru  para-
metrów  bezwzglę dnych,  zastosowano  do  tego  celu  prawa  rach un ku  prawdopobień stwa
i  statystyki  matematycznej.  Wyznaczyć  m oż na  w  ten  sposób  najbardziej  prawdopodobn e
bezwzglę dne  param etry.

Opierają c  się   n a  niecentralnej  statystyce  [7] stwierdzono,  że  powyż ej  liczby  p ró b  n  — 5
dla prawdopodobień stwa p  =   95% dokł adn ość  uzyskanych  wyników  roś nie bardzo  wolno.
Z  tego  wzglę du  przyję to  do  optymalizacji  pię ć  prę dkoś ci  obrotowych  n apę du  gł ównego.
N a  podstawie  uzyskanych  danych  prę dkoś ci  obrotowych  param etrów  optym alnych  wyz-
znaczono  najbardziej  prawdopodobn e  param etry  bezwzglę dne.

N a  podstawie  analizy  wykresu  przeł oż eń n apę du  gł ównego  frezarki  F WH 25  do  badań
wytypowano  nastę pują ce  ł ań cuchy kinem atyczne:

1.
  n

  =   45  obr/ min —  zakres  wolnoobrotowy,

2.  n  =   180  obr/ min  |
3.  n  =   560  obr/ min I
4.  n  =   900  obr/ min  1  ,  ,

n«̂ A  i  i  •   i —z a k r e s  wysokoobrotowy.
5.  n  =  2240  obr/ min J
P rę dkoś ci  obrotowe  są   tak  dobran e,  że  w  sposób  wystarczają cy  charakteryzują   wł aś-

ciwoś ci  dynamiczne  n apę du  gł ównego  frezarki.  P aram etry  charakteryzują ce  ukł ad  przed
optymalizacją   i  ukł ad po  optymalizacji  po dan o odpowiednio w  tabl.  1 i  tabl. 2  (jako  przy-

Tablica  1.  Parametry  modelu  mechanicznego — ukł ad  przed  optymalizacją

•  zakres  ś redn ioobrotowy,

F rezarka  F WH 25;  n =   560  obr/ min

h
[kG msek2]

13,204 •   10- '

3,654 •   10- '

23,092 •   10- 3

k
[kG msek]

0,184

0,051

0,095

h
[kG m/ rad]

1,12- 103

0,75  •   10'

0,171  •   103

Tablica  2.  Parametry  modelu  mechanicznego — ukł ad  po  optymalizacji

h
[kG msek2]

13,20  •   10"'

5,4  •   10"'

74,6 •   10- '

F rezarka  F WH 25;  n =   560  obr/ min

h
[kG msek]

0,384

0,245

3,66

h
[kGm/ rad]

1,12- 10'

1,12- 10'

0,281 •   10'