Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z3.pdf M EC H AN IKA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  10  (1972) OD BI C I E  P Ł ASKI C H   F AL  N AP RĘ Ż EN IA  W  OŚ ROD KU   SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZN YM O  Z M I E N N E J  G RAN ICY  P LASTYC Z N OŚ CI KRZYSZTOF   P O D O LAK  (WARSZAWA) 1.  Wstę p Celem  niż ej  przedstawion ych  rozważ ań jest  okreś lenie  pól  naprę ż enia i prę dkoś ci prze- mieszczeń,  powstał ych  n a  skutek  nagł ego  pojawienia  się   ciś nienia  n a  swobodnym  brzegu warstwy m ateriał u  sprę ż ysto- plastycznego,  leż ą cej  n a pół przestrzeni wypeł nionej oś rodkiem sprę ż ystym.  D o d at ko wo  przyjmuje  się   zał oż enie, że  intensywność  wymuszenia  maleje  od wartoś ci  począ tkowej  w  sposób  m on oton iczn y z czasem, przyjmują c  od pewnego momentu wartość  równą   zeru.  M ateriał   warstwy  jest  niejednorodny,  przy  czym  wł asność  ta  prze- jawia  się   w  zm iennoś ci  granicy  plastycznoś ci  z  odległ oś cią   od  powierzchni  warstwy.  Taką cechę  wykazują   n a przykł ad  grun ty. P rzeprowadzon a  an aliza  uwzglę dnia  zjawiska  propagacji  pł askich  fal  naprę ż enia po- wstał ych  w  sprę ż ysto- plastycznej  warstwie  wskutek  wymuszenia  brzegu,  ich  odbicie  od powierzchni  pół przestrzen i  sprę ż ystej  oraz  wzajemne  oddział ywanie  fal  padają cych  i  od- bitych. Z agadn ien ie  podobn e  d o  przedstawionego,  w  przypadku  oś rodka  warstwowego,  jed- n orodn ego,  który  posiada  wł asnoś ci  ciał a  sztywno- plastycznego  ze  sztywnym  odcią ż eniem (uwzglę dniono  również  przypadek  szczególny,  gdy  granica  plastycznoś ci jest  równa  zeru) jest  przedm iotem pracy  [1]. M odele  ciał   sztywno-   i  sprę ż ysto- plastycznych  ze  sztywnym  odcią ż eniem  był y  wyko- rzystane  w  szeregu  in n ych  p rac  dotyczą cych  problem u  rozprzestrzeniania  się   i  odbicia pł askich fal  n aprę ż en ia  [2- -̂ 4] z uwagi  n a t o , że dają   one moż liwość  uzyskiwania  rozwią zań w  postaci  zam kn ię tej. Analogiczne  zagadn ien ia  w  przypadku  oś rodka  niejednorodnego,  charakteryzują cego się   zmiennym w  zależ noś ci  od  współ rzę dnej  m oduł em  wzmocnienia  oraz  odcią ż enia  (przy zał oż eniu  granicy  plastycznoś ci  równej  zeru)  został y zbadan e w  pracy  [5], w  duż ej  mierze przy  wykorzystaniu  m et od num erycznych. Pewną   liczbę   p rac  wchodzą cych  w  zakres  omawianej  problem atyki  i  nie wymienionych wyż ej  zawiera  [6]. N a  tle  przedstawion ych  publikacji  praca  niniejsza  stanowi  ich  czę ś ciowe uzupeł nienie. Jej  wyniki  mogą   być  wykorzystan e  przy  obliczaniu  oddział ywań  fal  naprę ż enia,  silnej niecią gł oś ci  n a  kon strukcje  oddzielon e  warstwą   grun tu  od  ź ródła  wywoł ują cego  t e  fale, ja k  również  do  oceny  wielkoś ci  energii  przekazywanej  przez  warstwę   do pół przestrzeni podczas  procesu  odbicia  zachodzą cego  w  pł aszczyź nie ich  stycznoś ci. 374 K .  POD OLAK 2.  Sformuł owanie  zagadnienia 2.1 Rozważ my  oś rodek  skł adają cy  się   z  warstwy  ograniczonej  dwiema  równoległ ymi pł aszczyznami  o  odległ oś ci  H  i  leż ą cej  n a  pół przestrzen i,  której  powierzchnia  stanowi jedną   z  granicznych  pł aszczyzn  warstwy. M ateriał  warstwy  posiada  wł asnoś ci opisane przez  sprę ż ysto- plastyczny  model P ran dtla z  odcią ż eniem,  którego  m oduł   E„ jest  róż ny  od  m oduł u  sprę ż ystoś ci  E o   (patrz  rys.  2). x" Rys.  1 Rys.  2 N iejednorodnośc  wł asnoś ci  warstwy  uwzglę dniona  jest  przez  zał oż enie, że  gran ica  plas- tycznoś ci  jest  funkcją   odległ oś ci  x  od  swobodnej  powierzchni  warstwy,  wyraż oną   nastę - pują co : (2.1) =  or,(0) + m = l gdzie  B„,  —  stał e współ czynniki. Odnoś nie  do  gę stoś ci  oś rodka  przyjmuje  się ,  że  jest  on a  niezależ na  od  współ rzę dnej x  i równa  Q 0  . P ótprzestrzeń,  n a  której  spoczywa  warstwa,  jest  wypeł niona  oś rodkiem  sprę ż ystym o  m odule  sprę ż ystoś ci  E o   i  gę stoś ci  Q 0 .  Wprowadzimy  oś  współ rzę dnych  X  skierowaną w  gł ą b  oś rodka,  a  pu n kt  począ tkowy  osi  umiejscowimy  n a  swobodnej  powierzchni  oś- rodka  (rys.  1). Z ał óż my  obecnie,  że  n a  swobodnej  powierzchni  (x  =  0)  opisanego  wyż ej  oś rodka, w  chwili  t  =   0  pojawia  się   nagle  ciś nienie  o  wartoś ci  maksymalnej  p m .  W  dalszym  cią gu ciś nienie  maleje  z  czasem  w  sposób  m on oton iczn y  przyjmują c  dla  t  5*  r  wartość  równą zeru.  Przyjmijmy,  że  obcią ż enie  brzegu  opisuje  nastę pują ca  funkcja: (2.2) " ) " dla  0 <  t dla  /   > . T ; T, O D BI C I E  P Ł ASK I C H   F AL  N AP R Ę Ż E N IA  W  OŚ R OD KU   SP RĘ Ż YSTO- P LASTYCZ N YM   375 gdzie n —  liczba n aturaln a, T  —  czas,  p o  upł ywie  którego  ciś nienie  n a  granicy  oś rodka  osią ga  wartość  zero. Z auważ my,  że  zaburzen ia  rozprzestrzeniają ce  się   w  czasie  trwania  procesu  zdetermi- nowanego podan ym i wyż ej warun kam i  mają   ch arakter pł askich fal  o frontach równoległ ych do  granic  warstwy.  F a kt  ten  pozwala  sprowadzić  rozważ ane  zagadnienie  do  jednowymia- rowego,  a  co za  tym  idzie, bad ać  interesują ce  nas  efekty  n a przykł adzie prę ta  skł adają cego się   z  dwu  czę ś ci  o jedn akowym ,  stał ym przekroju.  D odatkowo  należy  przyją ć,  że  prę t nie m a  m oż noś ci  rozszerzan ia  się   w  kierun ku  prostopadł ym do wektora  przemieszczeń  w  roz- waż an ym  procesie  falowym  (por.  [5]). 2.2.  R ówn an ia  ruch u  oś rodka  wyprowadzon e  n a  podstawie  przyję tych  w  2.1  zał oż eń posiadają   nastę pują cą   p o st ać : (2.3)  v, t   =   — a , x ,  v, x   =   ,,  a„  —  w  przypadku  warstwy e °  > e ° ai{a)  sprę ż ysto- plastycznej, (2.4)  v,j  =  - = - 5, r,  »,«  =   2  f- \  cr,j —  w  przypadku  pół przestrzeni, gdzie v(x,  t),  v(x,  i)  —  prę dkoś ci  przemieszczeń, a(x,  t),  a(x,   ~t)  —  n aprę ż en ia, 1 / — -—-   =   au  gdzie i  =   0 ,  l , p — d l a  warstwy, 1/   - r=2-  — a 0   —  dla póiprzestrzeni, V  Qo x  ~  x—H, «0 Każ dy  z podan ych wyż ej  ukł adów równ ań  czą stkowych  (2.3) i  (2.4) m oż na  sprowadzić d o  równ ań  zwyczajnych,  które  są   speł nione  wzdł uż  charakterystyk.  Otrzymamy  w  ten sposób: a) wzdł uż dodatn iej  charakterystyki,  dx  =   adt da  =   Q o ai(a)dv,  da  =   Q o a o dv, b)  wzdł uż  ujemnej  charakterystyki,  dx  =   —adt da  =  —Q 0 ai(o)dv,  da  =   —  Q o a o dv. U kł ad  równ ań  (2.3)  rozwią ż emy  przy  nastę pują cych  warun kach  brzegowych: a) n a  brzegu  x  =   0 <«>  - ".o= {o""( O  T .VT 376  K.  PODOLAK b)  na brzegu  x  =   H I  ff\   — (2.6) Warunki  począ tkowe  n a  obu  odcinkach  prę ta  przyjmujemy  jedn orodn e. 3.  Rozwią zanie  zagadnienia Zajmiemy  się  n a  wstę pie  przypadkiem,  gdy  w  czę ś ci  warstwy  bezpoś rednio  przylega- ją cej  do pół przestrzeni  (por.  obszar  IV  n a  rys.  3) wystą pi  zjawisko  odcią ż enia  po  odbiciu pierwszej,  sprę ż ystej  fali  silnej  niecią gł oś ci: (3.1)  x  =  a o t. Rozważ ać  bę dziemy  pon adto warstwy, których  grubość  speł nia  warunek (co  dla  warstwy  z  piasku  daje  ograniczenie  H  <  167 m,  gdy  czas  dział ania  zewnę trznego obcią ż enia  T =   1 sek). Obraz  rozwią zań,  jaki  otrzymamy  na  pł aszczyź nie  fazowej,  w  okreś lonych  wyż ej  wa- runkach  został  przedstawiony  n a rys.  3. W  dalszym  cią gu  podamy  sposób  otrzymania  oraz postać  rozwią zań  w  poszczególnych obszarach.  N astę pnie  n a  podstawie  analizy  tych  rozwią zań  okreś limy  warun ki,  których speł nienie  wprowadzi  zmiany  o  charakterze  jakoś ciowym  w  przyję tym  n a  rys.  3  obrazie rozwią zań  oraz przedstawimy  postać  tych zmian. N aprę ż enia  i  prę dkoś ci  przemieszczeń  w  kolejnych  obszarach  (wedł ug  oznaczeń  z  rys. 3) pł aszczyzny  fazowej  wyraż ają  niż ej  podan e  zależ noś ci. Obszar 0.  Obszar  niezaburzony (3.2)  a o (x,  t)  =   0,  v o (x,  t)  -   0. Obszar I.  Obszar  sprę ż ystego  obcią ż enia (3.3)  *iC *i 0  <"  - *• (&)• gdzie £   ni  O l 1   da- C O D BI C I E  P Ł ASK I C H   F AL  N AP R Ę Ż E N IA  W  OŚ R OD KU   SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZN YM 377 Obszar II. Jest  to  obszar  odcią ż enia.  Okreś lenie  rozwią zań  wewną trz  obszaru  jest moż liwe po uprzednim wyznaczeniu  rozkł adu naprę ż enia i prę dkoś ci przemieszczeń wzdł uż fali  odcią ż enia (3.4)  x  =  a x t. Odpowiednie wyraż enia  analityczne tych wielkoś ci  moż emy uzyskać  na drodze omówionej w  rozdz.  1 [6].  W  dalszym  cią gu  stosują c  metodę   charakterystyk  otrzymamy  wyraż enie okreś lają ce  prę dkość  przemieszczeń  brzegu  (x  =   0)  oś rodka (3.5)  o 2 ( L ) ( 0  = p(t)+- a,. a Q a ± / \ / ^ \ / 7 -1 1 \ t ^»- Rys.  3 oraz  rozwią zania  wewną trz  rozważ anego  obszaru: (3.6) c ,  i)  —  p \ i  —  I  - r  ^ ;  L°o v 2 (x,  t)  = t~ a* a) +  0- 02(^2)] +   flp- 378  K .  P O D O LAK gdzie ,-1  2n(n- l)...(n- k+ l)(ri- l?l  x>   \ k\ î Z ft  —'  1 n,l  —  wynikają   ze zwią zków  (2.2)  i  (2.1). Ofozflr  / / / .  Zał oż enia  przyję te  na  wstę pie  obecnego  paragrafu  i  przeprowadzon a  na ich  podstawie  analiza  zjawiska  odbicia  sprę ż ystej  fali  opisanej  równaniem  (3.1)  prowadzą do  wniosku,  że wzdł uż odbitej  fali  silnej  niecią gł oś ci (3.7)  x  -   - a o t+2H wystę pują   naprę ż enia  równe  granicy  plastycznoś ci (3.8)  |ff, .(*)|  -   er.(*), natomiast  prę dkoś ci  przemieszczeń  wynikają ce  z  warun ku  cią gł oś ci  dynamicznej  wyraża wzór  nastę pują cy: (3.9)  v re {x)  =  Ą U Q 0 a 0   [  Ć J  \ \   a o - Wykorzystują c  (3.8) i  (3.9) oraz mają c  n a uwadze fakt,  że w  rozważ anym  obecnie  obszarze nastę puje  plastyczne  obcią ż enie,  okreś limy  rozwią zania  we  wnę trzu  obszaru  metodą  cha- rakterystyk: *8c*. o -   -  4 fo (w+ o, fo3)] -  ^ ~  [o,.(f3) -   «r , y . (3.10)  z gdzie | 3  =   _ — _ _  ;  yj3  — a 0 — Obszar IV.  W  obszarze  tym,  zgodnie  z  postawionym  n a  wstę pie  obecnego  rozdział u ż ą daniem,  wystę puje  zjawisko  odcią ż enia.  Znalezienie  rozwią zań  wewną trz  obszaru  moż- liwe  jest  po  okreś leniu  zależ noś ci  wyraż ają cych  naprę ż enie  i  prę dkoś ci  przemieszczeń w pł aszczyź nie styku  warstwy  z pół przestrzenią  oraz  wzdł uż fali  silnej  niecią gł oś ci (3.11)  x  m- ai t  + a 0 O D BI C I E  P Ł ASK I C H   F AL  N AP R Ę Ż E N IA  W  OŚ R OD KU   SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZN YM 379 W  tym  celu  wykorzystujemy  relację   wynikają cą   z  rozważ enia  zjawiska  propagacji  fal  na- prę ż enia  w  pół przestrzeni  sprę ż ystej, (3.12)  a 0 380  K .  P O D O LAK yup- rui 1 -   _  x+a p t- H  _  x- a p t £4. =   ,  ^4 =  — •   a 1 a  ct+ct , t)]  dla.  * - - • £- , 0]  dla * -   -   - - "1 —  wielkoś ci  te okreś lamy n a  podstawie  (3.10); Ą   _  _Qoao9oa P   _ D  = - = -= j= 2 - a. !p Z  (3.13), p o podstawieniu  x  = H  i  t  = Hja 0   w  wyraż eniu  okreś lają cym  n aprę ż en ia, wynika  nastę pują cy  warun ek  pojawienia  się w m om encie  odbicia  pierwszej  fali  sprę ż ystej (3.1)  naprę ż enia, którego  wartość  bezwzglę dna  przewyż sza  granicę  plastycznoś ci (3  ]4) a s {H)   > Obszar  V.  Jest  to  obszar  odcią ż enia.  Analiza  obrazu  rozwią zań  przedstawionego  na rys.  3 wskazuje,  że wartoś ci, jakie  przyjmują  n aprę ż en ia i  prę dkoś ci  przemieszczeń  w  ob- szarach  V, VI i  VIII  n ie wpł ywają  n a rozwią zania  w pł aszczyź nie  styku  warstwy z pół prze- strzenią  w rozważ anym  zakresie  czasów  (tj. do m om en tu odbicia  fali  (3.4) od powierzchni pół przestrzeni). Aby  nie rozszerzać  zbytnio  obję toś ci  artykuł u, ja k  równ ież  biorąc  p o d uwagę  fakt stwierdzony  w  poprzedn im  zdaniu,  nie bę dziemy  zamieszczać  wymagają cych  zbyt  wiele miejsca  zależ noś ci  rekurencyjnych,  które  wyraż ają  n aprę ż en ia  i  prę dkoś ci  przemieszczeń O D BI C I E  P Ł ASK I C H   F AL  N AP R Ę Ż E N IA  W  OŚ R OD KU   SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZN YM   381 w  poszczególnych  czę ś ciach  wymienionych  obszarów.  Ograniczymy  się   wię c  w  dalszym cią gu  do  zwię zł ego  om ówienia  sposobu  uzyskania  tych  zależ noś ci. J ako  pierwszy  kro k  w  kierun ku  okreś lenia  rozwią zań  wewną trz  obszaru  V  potraktu- jem y  wyznaczenie  n aprę ż eń  i  prę dkoś ci  przemieszczeń  wystę pują cych  n a  froncie  fali  od- cią ż enia  (3.4),  wzdł uż  jej  odcin ka  5  (Rl)  (patrz  rys.  3).  W  tym  celu  należy  wykorzystać scał kowan e  zwią zki  dla  dodatn ich  charakterystyk  w  zakresie  odcią ż enia,  które  biorą   po- czą tek  n a  granicy  x  =   0  obszaru  / /  i  przecinają   front  fali  (3.4)  na  odcinku  5  (Rl).  Otrzy- m an a  w  ten  sposób  zależ ność  mię dzy  naprę ż eniem  i  prę dkoś cią   przemieszczeń  wystę pu- ją cymi  n a  froncie  fali  (3.4)  pozwala  okreś lić  każ dą   z  tych  wielkoś ci,  jeś li  uwzglę dnimy warun ek  dynamicznej  cią gł oś ci  oraz  (3.10).  W  dalszym  cią gu  na  podstawie  scał kowanych zwią zków  wzdł uż  ujemnych  charakterystyk  w  zakresie  odcią ż enia,  biorą cych  począ tek n a odcin ku J  (Rl)  oraz  (2.5) wyznaczamy  prę dkość przemieszczeń na brzegu x  =   0 warstwy n a  odcin ku  J  (L I)  —  patrz  rys.  3). P rocedura  okreś lan ia  rozwią zań  n a  kolejnych  odcinkach fali  odcią ż enia  (3.4)  i  granicy x  — 0  rozważ anego  obszaru  dalej  powtarza  się . Stosują c  m etodę   charakterystyk  znajdziemy  bez  trudu  rozwią zania  wewną trz  obszaru pam ię tając  o  tym,  że  okreś liliś my  je  n a  granicach  tego  obszaru. Obszar  VI.  W  obszarze  tym  m ateriał   warstwy  znajduje  się   w  zakresie  odcią ż enia, jed- n akże  mamy  tu  do  czynienia  z  procesem  n arastan ia  bezwzglę dnej  wartoś ci  naprę ż enia. Osią ga  on o  w  poszczególnych  pu n kt ach  o  współ rzę dnej  przestrzennej  x  leż ą cych  przed fron tem  fali  silnej  niecią gł oś ci  (3.11)  (na jej  odcinku  stanowią cym  granicę   mię dzy  obsza- ram i  VI  i  VII)  wartoś ci  takie  jakie  przyjmował o  w  pun ktach  o  tej  samej  współ rzę dnej  na froncie  fali  odcią ż enia  (3.4).  F akt  ten  pozwala  w  sposób  podobn y  do  stosowanego  w  ob- szarze  V  okreś lić  rozwią zan ia  n a  granicach  rozważ anego  obecnie  obszaru,  a  nastę pnie w jego  wn ę trzu. Obszar  VII.  W  obszarze  tym  wystę puje  zjawisko  podobn e jak  w  obszarze  VI.  N aprę - ż enie  w  poszczególnych  pu n kt ach  o  współ rzę dnej  przestrzennej  x,  należ ą cych  do  obszaru i  znajdują cych  się   przed  fron tem  fali  silnej  niecią gł oś ci  (3.1)  osią ga  wartość  taką   samą , jaką   m iał o  w  pu n kt ach  o  tej  samej  współ rzę dnej,  leż ą cych  n a  fali  odbitej  (3.11).  F akt ten pozwala,  w  sposób  analogiczn y  do  stosowanego  w  obszarze  VI,  okreś lić  rozwią zania  po- szukiwan e  obecnie. N aprę ż en ie  i  prę dkoś ci  przemieszczeń  wzdł uż  odcinków  7(Rk)  granicy  prawostronnej x  — H)  o bsza r u ,  o n um erach kolejnych  ,,/ c", wyraż ają   się   nastę pują co: ( 3 1 5 )  Q0a0  +   e 0 0  j n,  ( t \   _  ff7(Rfc)(0 Q o a 0 gdzie 3  Mechanika Teoretyczna 382 K .  POD OLAK k- l.i- 1) ff4(ci)(0>  ^( cp ifei)  —  odpowiednio  n aprę ż en ia  n a  styku  warstw  oraz  n a  froncie  fali odbitej  (3.11)  okreś lone  w  objaś nieniach  wzorów  (3.13). Rozwią zania  wzdł uż kolejnych  odcinków  o n um erach „k"  lewostronnej  granicy  obszaru [tj.  przed  frontem  fali  silnej  niecią gł oś ci  (3.4)]: (3.16) k- l y(_. Izie Xsl   - a p - ai N a podstawie  (3.15) i (3.16) okreś lamy  rozwią zania  w dowolnym  pun kcie (x,  t)  leż ą cym wewną trz  obszaru: 2   2 (3.17 gdzie T - jiX,  t)  m V n { X ,  t)  m i i )+  »7(ŁO (X S )]  + [a7(m(th)- aHL l)(xs)], ) (O -  ° t„  —  dla pu n kt u  (x,  t)  leż ą cego  wewną trz  trójką ta  przyległ ego  do  odcin ka 8(L 1)  lewostronnej  granicy  (ograniczonego  charakterystykam i  —  patrz rys.  3), a p t- x x s   =~- —fli, Op- Ox l,k  —  numery kolejnych  odcinków  odpowiednio lewo i prawostron n ej  granicy  obszaru, które okreś la  się  po  obliczeniu wielkoś ci t h ,  t„, x s   n a podstawie  wyraż eń  podan ych wyż ej. Obszar VIII. Jest  to  obszar  odcią ż enia. P oszukiwanie  rozwią zań  w  obecnym  przypadku moż na sprowadzić  do dwu  etapów. W pierwszym  z n ich wykorzystują c  warun ki  dynamicz- O D BI C I E  P Ł ASK I CH   F AL  N AP R Ę Ż E N IA  W  OŚ R OD KU   SP RĘ Ż YSTO- P LASTYCZN YM   383 nej  cią gł oś ci  n a fron tach  fal  silnej  niecią gł oś ci  (3.4) i  (3.11)  (stanowią cych  granice  obszaru) oraz  rozwią zania  w  są siednich  obszarach  VI  i  VII  okreś limy  n aprę ż en ia i  prę dkoś ci  prze- mieszczeń  n a  odcin kach 8(L 1)  i  8(R1)  tych  gran ic  (patrz rys.  3).  Zastosujemy  w  tym  celu m etodę podobn ą, jak  przy  znajdowaniu  rozwią zań  w  obszarze  IV. N aprę ż en ia  i  prę dkoś ci  przemieszczeń  okreś lają  nastę pują ce  wzory: (3.18) i = l £ > 0«l gdzie i - i «o  ^ -   - 2 ?- * *+ (3.19) «  (r\   - «8( Ł 1)W gdzie Z ależ noś ci  (3.18)  i  (3.19)  stanowią  podstawę  do  okreś lenia  rozwią zań  n a  dalszych odcinkach prawo  i lewostron n ej  granicy  obszaru  oraz w jego wnę trzu. Sposób  znajdowania tych  rozwią zań  p o d a n o  przy  om awian iu  obszaru  V. P odział   rozważ anego  obecnie  obszaru  n a  czę ś ci  m oże  przyjmować  róż ne formy  w  za- leż noś ci  od przyję tych  wartoś ci  param etrów. F akt ten pocią ga  za sobą  konieczność okreś la- n ia  rozwią zań  osobn o  dla  każ dego  przypadku.  Z tego wzglę du nie bę dziemy  tutaj  zamiesz- czać wymagają cych  wiele miejsca  zależ noś ci, które  odpowiadają  przedstawionemu n a rys.  3 obrazowi  rozwią zań. 3 * 384 K .  PODOLAK Znają c  w  dalszym  cią gu  rozkł ad  n aprę ż en ia  n a  frontach  fal  silnej  niecią gł oś ci  (3.4) i  (3.11), jak  również  przed  ich  frontami  (na  podstawie  rozwią zań  w  obszarach  VI  i  VII) moż emy  okreś lić  współ rzę dne punktów,  w  których  silna  niecią gł ość  zan ika.  W  przypadku zaistnienia  tego  rodzaju  moż liwoś ci  wyniknie  konieczność  analizy  zjawiska  odbicia  fali sł abej  niecią gł oś ci  od  powierzchni  pół przestrzeni  sprę ż ystej. Jeś li  natom iast  od  powierzchni  pół przestrzeni  ulegnie  odbiciu  fala  silnej  niecią gł oś ci (3.4)  (jak  to  widać  n a  rys.  3),  wówczas  znajdowanie  rozwią zań  w  dalszych  obszarach pł aszczyzny  fazowej  sprowadzi  się   do  rozważ ali  prowadzon ych  poprzedn io. W  dalszym  cią gu  zostaną   scharakteryzowane  dwa  przypadki,  dla  których  pola  naprę ż e- nia  i  prę dkoś ci  przemieszczeń  róż nią   się  jakoś ciowo  od  analizowanych  dotychczas. 4.  I n n e  przypadki  pól  n aprę ż en ia  i  prę dkoś ci  przem ieszczeń W  tym  rozdziale  zajmiemy  się   wył ą cznie  analizą   n aprę ż en ia  wystę pują cego  w  czę ś ci pł aszczyzny  fazowej  zawartej  w  granicach  obszarów  oznaczonych  n um eram i  III,  IV, i  VII  na  rys.  3. 4.1.  Jako  pierwszy  rozważ ymy  przypadek,  gdy  wartość  bezwzglę dna  n aprę ż en ia  po odbiciu  sprę ż ystej  fali  silnej  niecią gł oś ci  (3.1)  od  powierzchni  pół przestrzeni  sprę ż ystej Rys.  5 bę dzie  mniejsza  od  granicy  plastycznoś ci  m ateriał u warstwy  o  współ rzę dnej  x  =  H.  Ana- litycznie  fakt  ten  oznacza  niespeł nienie  warunku  (3.14). Zmieniony  obraz  rozwią zań  w  zakresie  interesują cej  nas  czę ś ci  pł aszczyzny  fazowej przedstawia  rys.  5.  M aksymalne  (co  do  wartoś ci  bezwzglę dnej)  n aprę ż en ia  i  prę dkoś ci O D BI C I E  P Ł ASK I C H   F AL  N AP R Ę Ż E N IA  W  OŚ ROD KU   SP REŻ YSTO- P LASTYCZ N YM   385 przemieszczeń  n a froncie  sprę ż ystej  fali  odbitej  (w pun kcie o współ rzę dnej  x  =  H)  okreś lo- nej  równaniem  (3.7)  obliczamy  n a  podstawie  nastę pują cych  zależ noś ci: (4.1)  2 vre(JH)  =   = - =   as(0 ). R ozwią zania  we  wn ę trzu  obszaru  / / /  okreś limy  metodą   charakterystyk  wykorzystują c warun ek  cią gł oś ci  dynam icznej  n a  froncie  wspom n ian ej  fali  odbitej  oraz  warunki  (2.6) i  (4.1). U zyskan e  tą   drogą   wzory  n a n aprę ż en ie i prę dkoś ci  przemieszczeń  w punkcie  (x,  t) rozważ anego  obszaru  są   n astę pują ce: (4 . 2 ) P rzyrównują c  wartość  bezwzglę dną   n aprę ż en ia  z  (4.2)  do  granicy  plastycznoś ci  (2.1) znajdujemy  równ an ie  fali  obcią ż enia  plastycznego,  która  oddziela  analizowany  obecnie obszar  odkształ ceń  sprę ż ystych  / / /   od  obszaru  odkształ ceń  plastycznych  IV. W  przypadku  liniowej  zm iany  granicy  plastycznoś ci,  którą   zał oż ono  w  przykł adzie liczbowym,  falę   obcią ż enia  plastycznego  reprezentuje  n a  pł aszczyź nie fazowej  linia  prosta. N a  podstawie  (4.2)  m oż emy  okreś lić  rozkł ad  n aprę ż en ia  i  prę dkoś ci  przemieszczeń wzdł uż fali  obcią ż enia  plastycznego.  W  tej  sytuacji  znalezienie rozwią zań  w  poszczególnych czę ś ciach  obszaru  IV  nie  przedstawia  trudn oś ci. D odatkowo  należy  pam ię tać,  że  wartość  bezwzglę dna  naprę ż enia  wystę pują cego  n a froncie  sprę ż ystej  fali  odbitej,  wzdł uż  jej  odcin ka  wchodzą cego  w  zakres  obszaru  IVE (patrz  rys.  5), jest  równ a  granicy  plastycznoś ci. Obraz  rozwią zań  w  rozważ anym  obecnie przypadku  znacznie upraszcza  się   w  porówna- niu  z  przedstawionym  n a  rys.  3.  Z  uwagi  n a  t o , że  w  wyniku  odbicia  nie  pojawia  się   fala obcią ż enia  plastycznego  silnej  niecią gł oś ci  (3.11),  ulega  zanikowi  obszar  VII  i  zwią zany z jego  wystę powaniem  obszar  VI.  N a  ich  miejscu  powstanie  obszar,  w  którym  pola  n aprę - ż enia  i  prę dkoś ci  przemieszczeń  zachowują   taki  charakter, jak  w  omawianym  uprzednio obszarze  V.  Z  tego  wzglę du  nie  bę dziemy  dalej  omawiać  wyników  rozważ ań  dotyczą cych obecnego  przypadku. 4.2.  Z badam y  obecnie  moż liwość  wystą pienia  w  obszarze  IV  (patrz  rys.  3)  procesu obcią ż enia  plastycznego  w  przypadku,  gdy  speł niony jest  warunek  (3.14).  Jak  pam ię tam y, w rozważ aniach prowadzon ych w p . 3 zał oż yliś my, że w  obszarze tym wystę puje  odcią ż enie. 386 K .  PODOLAK Rozwią zania,  n a podstawie  których  obliczamy  obecnie  n aprę ż en ia  i  prę dkoś ci  prze- mieszczeń  w  obszarze  IV  mają   nastę pują cą   po st ać: (4.3) ( * , 0 - ~ ,  Qoa [ '̂wW+ i^̂ ] . x= H Rys.  6 gdzie na  podstawie  (2.1), okreś lamy  przyjmują c  we  wzorze  (3.3)  zależ ność  mię dzy  współ rzę dnymi wedł ug  (3.7), 0  +  2 -̂ Obraz  rozwią zań,  w  aktualnie  rozważ anym  przypadku,  w  interesują cej  n as  czę ś ci pł aszczyzny  fazowej  m a  postać, ja k n a  rys. 6. O D BI C I E  P Ł ASK I CH   F AL  N AP R Ę Ż E N IA  W  OŚ R OD KU   SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZN YM   387 N a  podstawie  (4.3)  m oż na  okreś lić  zachowanie  się  naprę ż enia  w  czasie,  badając  znak poch odn ej: (AA\   Sa 4 (x,t)  =   _  flp- ai  a  das(zA)  _  a\   d_ D o  obliczeń  przyję to  dan e  liczbowe: dla  I  i  I I —  a 0   =   500[m/ sek]  =   a p ,  a x   =   250  [m/ sek],  g0  =   200  [kg/ m 3],  o.(x)  = -   0,2(1 +x)  [kG / cm 2],  p m   -   20  [kG / cm 2],  r  =   0,4  [sek],  n  =  2,  a 0   =  3000  [m/ sek], Qo -   255  [kg/ m 3]:  H  _  50  [m]  (przyp.  I ) , H  =  0,75  [m]  (przyp. I I ) ; dla  I I I —  a 0   =   1000  [m/ sek]  =   a„,  a t  =   200  [m/ sek],  H  =   0,75  [m],  as(x)  =   0,2 + +  0,15*  [kG / cm 2],  pozostał e  param etry  ja k  poprzedn io. 388 K .  PODOLAK Sporzą dzone  na podstawie  obliczeń wykresy  n aprę ż en ia w  funkcji  czasu  przedstawione są   n a  rys.  7  (a  i  b).  P orówn an ie wykresów  wykazuje  istnienie  efektu  «ł agodzenia»  silnej niecią gł oś ci  (przypadek  I —  rys.  7a)  dzię ki  znacznej  gruboś ci  warstwy  (50 [m])  charakte- 0,1 0,3 0,2 0,1  - [ kG/ cmV - b- 3 4 , 5 , 26,15  < f—. j  I j  4  ęs(0) 1   1 1, i  I  - 0,2 t[sek] Rys.  7 3  A 10 3 - t[sek] ryzują cej  się   rosną cą   z  gł ę bokoś cią   granicą   plastycznoś ci.  Efekt  ten jest  znikomy  w  przy- padkach  I I i  I I I ,  bowiem  warstwa  m a  tutaj  grubość  zaledwie  0,75  [m]. 6.  U wagi  koń cowe N a  podstawie  przeprowadzonych  w  p p .  3  i  4  rozważ ań  m oż na  uzyskać  szereg  innych przypadków  wynikają cych  bą dź  z  róż nych  warun ków  brzegowych  (sztywna  ś ciana  lub brzeg  swobodny  w  miejscu  pół przestrzeni sprę ż ystej),  bą dź  też  ze  szczególnych  wł asnoś ci materiał u  (sztywne  odcią ż enie,  stał a  granica  plastycznoś ci). P rzedstawione  w pracy  wyraż enia  analityczne,  okreś lają ce  pola  n aprę ż en ia  i  prę dkoś ci przemieszczeń  mają   niejednokrotnie zł oż oną   postać, stą d  też w  praktycznych  przypadkach może  być  sł uszne  korzystanie  z  modelu  m ateriał u  jeszcze  bardziej  uproszczonego  (n p. sztywne  odcią ż enie)  niż  m ateriał   opisany  w  p .  2.  Stosują c  jedn akże  tego  typu  podejś cie nie uwzglę dniamy  czę sto  dość  istotnych  efektów  jakoś ciowych,  ja k  n p. wspom n ian e  w po- przednim  punkcie  «zł agodzenie»  silnej  niecią gł oś ci. OD BICIE  PŁASKICH   FAL  NAPRĘ Ż ENIA  W  OŚ RODKU   SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZNYM  389 Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  S.  KALISKI,  Fala odcią ż enia  dla ciał a  o sztywnej charakterystyce odcią ż enia  w oś rodku  warstwowym,  Biul. WAT,  3(103),  X  (1961). 2.  E, H .  LEE,  A  boundary  value problem in the theory of plastic wave propagation,  Quart. Appl.  M ath., 10, 4(1953). 3.  S.  KALISKI,  J.  OSIECKI, Problem odbicia  się  fali  odcią ż enia  od sztywnej ś ciany dla ciał a  o  sztywnej cha- rakterystyce odcią ż enia,  Biul.  WAT,  2 (85), VIII (1959). 4.  S.  KALISKI, J.  OSIECKI, Zagadnienie odbicia się  fali  odcią ż enia od odksztakalnej podpory dla ciał a  o  sztyw- nej  charakterystyce  odcią ż enia,  Biul.  WAT,  XLIII, VI I I (1959). 5.  J.  OSIECKI,  Odbicie  pł askiej  fali  naprę ż enia  w  oś rodku stał ym  niejednorodnym, Biul.  WAT,  9 (98),  IX (1960). 6.  X .  A.  PAXMATyjiHHj  I O . A.  H E M H H O B,  npoHHOcnih npu  uwneHcusHUX  KpaniKoepeMeimbix  naspy3Kax, F o e .  H 3fl.  K3.- MaT.  J I I I T . ,  M ocKBa  1961. P  e 3 io ra e OTPA3KEHHE  nJIOCKH X  BOJIH   HAITPJDKEHHił   B  ynPyrO- nJIACTOTECKOft  CPEflE C  nEPEMEH H MM   riPEAEJIOM   TEKY^ECTH B  paG ore  paccMOTpena  3aaa^ a  o  pacnpocTpaH eH H H   nnocKHX  BOJIH   H anpnweH H H , Bbi3BaHHbix  BHe- 3anHO  noHBJMioruHMCfl  AaBneHHeM   Ha noBepxHOCTK  yn pyro- n n acTH ^ecKoro  CJIOH ,  ocH OBaiuioro  Ha  n o - BepxHOCTH   yn p yr o r o  n oJiyn pocTpan cTBa.  M aTepn aji  c n o a  o6naflaeT  nepeMeHHbim  npeflenoM   TenyM ecm, 3aBHCHiHHM   OT  paccTOJiHHH   OT BHemHeft  noBepxHOCTH   cjion .  IloJiy^eH H bie  pe3yjibTaTbi  no3BonaioT oą eH H BaTt  ycan H si,  fleftcrByiomne  Ha  coopywcennej  H axojiH meecH   B  r p y m e ,  B03HHKaiomne  BO  BpeiwH BOJiHOBoro  n po iiecca. S u  m m  a r y REF LECTION   O F   PLAN E  STRESS  WAVES  I N  ELASTIC- PLASTIC  M ED IU M   WITH   VARIABLE YIELD   LIM IT The  problem  of  propagation  of  plane  stress  waves in a  layered  medium consisting  of  an  elastic- plastic layer  and elastic  semi- space  is  considered.  At  outer  surface  of  the  layer,  the  suddenly  increasing  pressure (which  then monotonically  decreases  to  zero) is  given.  I t is  assumed  that the layer  is  inhomogeneous with respect  to the yield  limit.  The  results  obtained  in  the  present  paper  can  be  applied  to estimate  the  dyna- mic  forces  acting  on a  structure  placed  on  soil. INSTYTUT  PODSTAWOWYCH   PROBLEMÓW  TECHNIKI  PAN Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  7  kwietnia  1971  r.