Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z3.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  10 (1972) O  N I E K T Ó R YC H  U O G Ó L N I E N I AC H   T WI E R D Z E Ń   N O Ś N O Ś CI G R AN I C Z N E J  D L A  O Ś R O D KA  C O S S E R AT Ó W JÓZ E F   JOACH IM   T E L E G A  (G LI WI C E ) W  ostatnich  latach  ukazał o  się   kilka  prac  poś wię conych  naprę ż eniom momentowym w  teorii plastycznoś ci  [4, 5, 9,  11, 16, 25]. M icicu  [11]  rozważ ył   pewne  moż liwe  formy  warun ku  plastycznoś ci  dla  ciał   sprę ż ysto- plastycznych  przy  uwzglę dnieniu  n aprę ż eń  m om entowych.  Przedstawił   on  również  rów- n an ia  konstytutywne  dla  ciał a  lepkosprę ż ystego  i  lepko- sprę ż ysto- plastycznego  z  naprę - ż eniami  m om en towym i  oraz  uogóln ił   postulat  D ruckera;  m ikrostruktura  oś rodka  omó- wionego  w  [11] jest  sztywna. SAWCZ U K  [16]  rozważa  m ateriał   plastyczny  o  m ikrostrukturze  sztywnej,  przy  czym oś rodek pł ynie przy  pewnych  wartoś ciach  n aprę ż eń i n aprę ż eń momentowych, przed  osią g- nię ciem  tych  wartoś ci  jest  on  sztywny.  K ró t ko  mówią c,  w  pracy  [16]  autor  zajmuje  się analogonem  znanego  z  teorii  klasycznej  ciał a  sztywno- plastycznego.  SAWCZU K  formuł uje równ an ia  kon stytutywn e  ten sorowo  liniowe  skojarzone  z  maksymalnym  rozproszeniem lokalnym .  Ogólny  warun ek  plastycznoś ci  otrzym any  w  [16]  m a  postać gdzie  dij  jest  dewiatorem  symetrycznej  czę ś ci  ten sora  naprę ż enia,  natomiast  ni^ ^ m^ oznacza  symetryczną   (skoś nie  symetryczną )  czę ść  dewiatora  naprę ż eń  momentowych (por.  [8]). Okazuje  się ,  że  tylko  w  przypadku,  gdy  (por.  [11]) 2%p  =   - ^ (d i jd iJ   + L T 2 m (iJ) m iU)   + L j 2 m [W m lin )  =   con st, t o  otrzymujemy  prawo  plastycznego  pł ynię cia, tzn . dy> 8 f 8 y> gdzie  A,  L x ,  L 2   są   stał ym i,  śy  jest  tensorem  prę dkoś ci  odkształ ceń, a  kij  tensorem  prę d- koś ci  zgin an ia- skrę can ia. W  pracy  G R E E N A,  N AG H D I 'E G O ,  OSBORN A  [5]  omówiono  sprę ż ysto- plastyczną   powie- rzchnię   C osseratów,  tzn . powierzchnię   posiadają cą   w  każ dym  punkcie wektor  kierunkowy. Wyniki  uzyskane  w  tej  pracy  są   dalszym  rozwinię ciem  rezultatów  pracy  [3]. 412  J.  J.  TELEG A KOLOKOLCZYKOW  [25],  rozwijając  wyniki  pracy  [8],  wł aś ciwie  w  sposób  form alny  uogól- nił   zwią zki  odkształ ceniowej  teorii  plastycznoś ci  n a  przypadek  sprę ż ysto- plastycznych oś rodków  Cosseratow. Inne  podejś cie,  przy  wprowadzaniu  n aprę ż eń m om entowych,  zapropon ował   LI P P M AN N [9].  Przedstawił   on  teorię  plastycznego  pł ynię cia  dla  sztywno- plastycznych  oś rodków Cosseratow,  w  których  czą stki,  oprócz  obrotów  spowodowanych  przemieszczeniem,  obra- cają  się  dodatkowo w  sposób  niezależ ny  od pola  przemieszczeń  (oś rodek  C osseratow  z nie- zwią zanymi  obrotam i czą stek).  P odstawą  naszych  dalszych  rozważ ań  bę dzie  wł aś nie praca [9].  W  punkcie  pierwszym  przedstawimy  podstawowe  zależ noś ci  omówione  w  pracy  [9], w  punkcie  drugim  uogólnimy  postulat  D ruckera, w  pun kcie  zaś  trzecim  zastanowim y  się nad  niektórymi  moż liwymi  warun kam i  plastycznoś ci  i  uplastycznieniem  czę ś ciowym. W  punkcie  czwartym  przedstawimy  pewien  wniosek  wynikają cy  z  drugiej  zasady  term o- dynamiki.  P un kt  pią ty  jest  poś wię cony  uogólnieniu  noś noś ci  granicznej,  a  w  pun kcie szóstym  uogólnimy  zasadę  wariacyjną  przedstawioną  w  pracy  [12]  (por.  [13,  14, 15]). N a  koniec w punkcie siódmym uogólnimy  twierdzenia  M elan a i K oitera [7]. 1.  Podstawowe  zależ noś ci W  pracy  stosujemy  wył ą cznie prostoką tne kartezjań skie  ukł ady współ rzę dnych, a  także konwencję  sumacyjną  odnoszą cą  się  do  takich  ukł adów. R ównania  równowagi  rozważ anego  przez  nas  oś rodka  Cosseratow  z  niezwią zanymi obrotami  czą stek  mają  postać  [6],  [9] (1- 1)  s U (1.2)   miJi . + 2T j  +  Yj  =  0,  tj  =   1,  2,  3, gdzie  Sij jest  niesymetrycznym  tensorem  naprę ż eń, my  ten sorem  n aprę ż eń m om en towych ; Xj,  Yj  oznaczają  odpowiednio  sił y  masowe  i  m om en ty  m asowe  (na jedn ostkę  obję toś ci). P on adto (1.3) ~2  £jki  rki,  k,  I  =   1, 2, .  3 , (1.4)  S tJ   =   O y+ T y,  Oi]  =  Oj,,  r i j=- T ji, przy  czym  s y t  jest  symbolem  Ricciego. Jednostkowa  moc  odkształ ceń  i  zgin an ia- skrę can ia  A  m a  postać (1.5)  A  —  Oijkjj + mijXij +  lQjT ;, gdzie (1.7)  «y  -   d)y,„ przy  czym  w; i  cb;  są  odpowiednio  współ rzę dnymi  wektora  prę dkoś ci  przemieszczeń  i  wek- tora  prę dkoś ci  obrotów  wł asnych  (czą stki).  Wektor  (w,)  jest  niezależ ny  od wektora  prę d- O  N IEKTÓRYCH   UOG ÓLN IEN IACH   TWIERD ZEŃ   NOŚ NOŚ CI  GRANICZNEJ  413 koś ci  obrotów  (yj);  ten  ostatn i  okreś lony  jest  zależ noś cią (1.8)  Yj  =  j  ejkiń i >  ^ 1=^ 2  ("'• *  ~ "*• ')' gdzie  hy jest  tensorem  prę dkoś ci  odkształ ceń, k t j  tensorem  prę dkoś ci  zginania- skrę cania, zaś  yij  tensorem  prę dkoś ci  obrotów  pola  prę dkoś ci  przemieszczeń  u t .  Wzglę dna  prę dkość obrotów  Qt  wynosi (1.9)  A  =   yj- c o( . SAWC Z U K  [16],  KOŁ OKOLC Z YKOW  [25]  i  M I C I C U   [11]  przyjmują  Q t   =   0. Z ależ ność  (1.5) wygodnie jest  przedstawić  w postaci (1.10)  A  =   Qjq,  =   Q q, gdzie  wektor  Q  =   ( gi>  . . . , 2 1 8 )  utworzon y  jest  z  sześ ciu  niezależ nych  współ rzę dnych ten sora  a u ,  dziewię ciu  współ rzę dnych  ten sora  m i}   i  trzech  współ rzę dnych  T ( ; natomiast wektor  q  =   (q t ,  . . . , g 18 ),  zbudowan y  jest  z  e y  (i  =  / )  lub  2kij{i=£j),Xi]  i iQt.  Wektory Q  i  q  m oż na również  uważ ać  za  wektory  sił  uogólnionych  (por.  [20]) i uogólnionych prę d- koś ci  odkształ ceń. P rzypom n im y  obecnie  podstawowe  zał oż enia teorii  LIP P M AN N A  [9], Ponieważ  rozważa on  sztywno- plastyczny  oś rodek  C osseratów,  więc  q ( p n  =   q. Przyjmijmy  postulat  Lippm an n a  on  n i e z a l e ż n y ch  warunkach  plastycznoś ci (1.11)  / P ( Q )  =   0 ,  p  =  l,,..,n, przy  czym  n  nie  przekracza  liczby  współ rzę dnych  wektora  Q  (tzn.  18).  Z akł adamy, że funkcje  te  są  gł adkie,  tzn .  w  przestrzen i  fizycznej  o  osiach  współ rzę dnych Q s   w  każ dym pun kcie  powierzchni  (ś ciś le  hiperpowierzchni) f p   istnieje  wektor  normalny. Powierzchnie f p   mogą  być  w  ogólnoś ci  rozł ą czn e.  F u n kcje/ P mogą  zależ eć  również  od historii  obcią ż enia, tem peratury,  mocy  dysypowanej  A  i  prę dkoś ci  q.  LIPPM AN N   przyjmuje  pon adto, że  wa- run ki  (1.11)  są  r ó w n o c z e ś n ie  speł nione  (uplastycznienie  zupeł ne).  Jeś li  f p   <  0, to  m am y  stan  sztywny, jeś li f p   =   0 —  stan  plastyczny.  Stan f p   >  0 jest  niemoż liwy  (przy nieuwzglę dnieniu  efektu  wzm ocn ien ia). Sprecyzujemy  obecnie poję cie  obcią ż ania  i odcią ż ania dla  oś rodków  Cosseratów  (w pra- cy  [9] tego nie zrobion o).  Otóż dla idealnie plastycznego  oś rodka  Cosseratów  (powierzchnie plastycznoś ci  n ie zmieniają  się  w  procesie  odkształ ceń plastycznych)  obcią ż anie  okreś lamy n astę pują co: Jp  —  v,  Jp  u > n atom iast  zwią zki fP  =  o,  / ; <  o definiują  odcią ż anie. D la  oś rodków  Cosseratów  ze  wzmocnieniem  (powierzchnie  plastycznoś ci  mogą  się zmieniać  w  procesie  odkształ ceń  plastycznych)  obcią ż anie,  stan  neutralny  i  odcią ż anie dane są  odpowiednio zależ noś ciami: / P  =   0 ,  / p > 0 ;  fp  =   0,  / p  =   0;  f,  =   0,  / ,  <  0. 5  M ech an ika Teoretyczn a 414  J.  J.  TELEG A W  celu  otrzym ania  zależ noś ci  pomię dzy  Q  i  q  LI P P M AN N   [9]  postuluje  zasadę  Sado- wskiego- P hillipsa- H illa,  która  mówi,  że  dla  danego  stan u  prę dkoś ci  q,  sił y  Q  są  takie, że  moc  dysypowana  osią ga  extremum  (ś ciś le  m axim um ).  Stąd  wnioskujemy,  że  6A  =ś  o, przy  czym  dokonujemy  wariacji  Q  o  <5Q. P o  prostych  przekształ ceniach  otrzymujemy zwią zki (1.12) Z  ostatniej  zależ noś ci  wnioskujemy,  że  wektor  q jest  kombinacją  liniową,  o współ czynni- kach  nieujemnych,  gr a d ie n t ó w- ^ -.  LI P P M AN N   wykazał ,  iż  przyję cie  prawa  plastycznego pł ynię cia  (1.12)  i  tylko  jednego  warun ku  plastycznoś ci  powoduje  trudn oś ci  przy  przejś ciu do  teorii klasycznej,  tzn . gdy  m i}   - > 0,  T,  - > 0.  Trudn oś ci t e polegają  n a  tym , iż  otrzymany przez  przejś cie  m^   - > 0,  r t   - > 0  ukł ad  równ ań  zawiera  wię cej  równ ań  niż  niewiadomych, co  powoduje,  że nie posiada  on n a  ogół   rozwią zań. 2.  Uogólnienie postulatu  D ruckera W  klasycznej  teorii  plastycznoś ci  (tzn.  w  teorii  bez  n aprę ż eń  m om entowych)  funda- mentalną  rolę  odgrywa  postulat  D ruckera  (por.  n p .  [1,  7, 20]).  M a  on  postać (2- 1)  (a^- af^f  >  0, gdzie  a tj   speł nia  równ an ie  powierzchni  plastycznoś ci,  n atom iast  afj  jest  n aprę ż en iem  do puszczalnym,  tzn . znajduje  się wewną trz  lub  n a powierzchni plastycznoś ci,  e ^ f ) jest  czę ś cią tensora  prę dkoś ci  odkształ ceń zwią zaną  z  odkształ ceniami plastycznymi.  D la  ciał a  sztyw- no- plastycznego  e\ J'^  =   ś y.  Wiadom o,  że  postulat  D ruckera  jest  równoważ ny  wypuk- ł oś ci powierzchni  plastycznoś ci. P ostulat  (2.1)  m oż na  uogólnić  na  przypadek  rozważ anej  przez  n as  teorii  Lippm an n a n astę pują co: (2- 2)  (Qs- Qf)h P   >  0,   j P  =   l , . . . , n , *  d f  dfp gdzie  q sp   =  ^ .p- ^ zr-  (pop  n ie  sumować ).  Wektor  Q*(Qf)  nazwiemy  n aprę ż en iami dopusz- czalnymi.  Jest  to  wektor,  który  w  fizycznej  przestrzeni  n aprę ż eń  znajduje  się  wewną trz (lub n a) wszystkich  powierzchni f p .  Z zależ noś ci  (2.2) wnioskujemy,  że każ da  z powierzchni f p   jest  wypukł a,  tzn.  obszar  ograniczony  przez  każ dą  z  tych  powierzchni  jest  wypukł y. Sumując  w  (2.2) po  „p"  mamy (2.3)  £  (Q'- Qt)hr  -   (e.- fi?)«.  >  0. p Tak  więc  zwią zek  (2.3) jest  formalnie  podobn y  do  klasycznego  postulatu  D ruckera. O  N IEKTÓRYCH   UOG ÓLN IEN IACH   TWIERDZEŃ   NOŚ NOŚ CI  GRANICZNEJ 415 3.  N iektóre moż liwe  warunki  plastycznoś ci.  Uplastycznienie  czę ś ciowe Przyję cie  n  niezależ nych  warun ków  plastycznoś ci,  które  mają   być równocześ nie  speł - nione, jest  duż ym  ograniczeniem  n a moż liwe  drogi  obcią ż eń. a Q(Qj.Qz,Qi) Rys. 1 R ozpatrzm y  przypadek  n  — 2.  N a rys.  la  przedstawion o  dwie  powierzchnie  f lt f 2 przecinają ce  się  w pu n kt ach A, B, C, D. P onieważ  zał oż yliś my,  że warunki  plastycznoś ci mają   być  równocześ nie  speł n ion e,  oznaczał oby t o , że teoria  opisuje  tylko  stany  uplastycz- n ien ia  odpowiadają ce  tym  czterem  pu n kt om . Jeś li  n atom iast wektor  Q odpowiada  punk- towi  E, t o bę dziemy  m ieć tzw.  uplastycznienie czę ś ciowe: f 2   =  0,f t   <  0. P odobnie sprawa wyglą da  z przypadkiem  przedstawion ym  n a  rys.  lb . W tym  przypadku  teoria Lippm an n a opisuje  tylko  takie  stan y  uplastycznienia,  dla których Jeś li  wektor  n aprę ż eń  Q ( 2 i , 2 2 > G 3 )  odpowiada  n a przykł ad  pun ktowi  A  (rys. lb) , t o wówczas  stanu  takiego  n ie  m oż na  opisać  teorią   Lippm an n a. R ozpatrzm y  pewn e  m oż liwe  (teoretycznie)  sposoby  wł ą czenia  do  teorii  Lippm an n a stanów  czę ś ciowego  uplastyczn ien ia.  N iech  wektor  Q  odpowiada  pun ktowi  E  (rys. la) . P owstaje  pytan ie, co się  bę dzie  dział o  n a drodze EF  przy  obcią ż aniu. M oż na sobie  wyobra- zić  nastę pują ce  odpowiedzi  n a tak  postawion e  pyt an ie: 1°  P owierzchnia f 2   doznaje  wzmocnienia  izotropowego,  przesuwa  się  i  obraca.  Wł ą - czamy  tutaj  również  obroty,  gdyż  badan ia  eksperym en taln e  n a gruncie  teorii  klasycznej (por.  [18],  [21]) wykazał y,  iż w n iektórych  przypadkach  powierzchn ia  plastycznoś ci  może się   obracać.  Kiedy  pu n kt y  E i F  pokryją   się  wówczas  m am y  sytuację   podobn ą   do  stanu A  (rys.  la ) . 5* 416  J.  J.  TELEG A 2° Oznaczmy  wektor  naprę ż eń  odpowiadają cy  pun ktowi  E  przez  Q((2S).  Wówczas q s   = j=  .  Z akł adam y,  że  n a  drodze  EF wektor  q nie  doznaje  przyrostów. N atom iast w punkcie F a 2 gdzie  Q(Q S ) jest  wektorem  naprę ż enia  odpowiadają cym  pun ktowi  F.  C ał kowita  prę dkość odkształ ceń q s   wyniesie dfx df2(3.1)  q s   = q s   + q s   = SAYIR  [17] rozważa  warunek  plastycznoś ci  (w teorii klasycznej)  w postaci  wielomianowej gdzie  współ czynniki  K o ,  K u ,  K ijk ,,  ... są  ten soram i  stał ych  m ateriał owych.  I ch  ch arakter tensorowy  wynika  z zasady  obiektywnoś ci  m ateriał u tzn.  niezależ noś ci  równ an ia  konsty- tutywnego  od ukł adu  odniesienia.  W teorii  plastycznoś ci  zasada  ta  oznacza  niezależ ność warunku  plastycznoś ci  od ukł adu współ rzę dnych,  stanowią cych  ukł ad  odniesienia. W  n a- szym  przypadku  m oż na by przyjąć  trzy  nastę pują ce  warun ki  plastyczn oś ci: (3.2)  j \  = K o  + KijSij + K m   s tJ  s kl +  ..., (3.3)  f 2   =  L Q  + L ij m ij +L im m l] m k i+  ..., (3.4)  / 3  =  M o+ M ijk,siJmki  + M iJklsklmij  + M ijk,, msiJski>nnm+  .... N ie  bę dziemy  dalej  szczegół owo  rozpatrywać  zwią zków  (3.2)- (3.4),  gdyż  ze wzglę du  n a brak  danych  doś wiadczalnych  przyję cie  takiego  czy  innego  warun ku  plastycznoś ci —• w  teorii  z naprę ż eniami momentowymi —jest , jak n a razie,  sprawą  czysto  formalną. LIPPM AN N   [9] uogólnił   warunek  plastycznoś ci  H ubera- M isesa  i  warun ek  Treski  n a przypadek  oś rodka  Cosseratów. 4.  Wnioski  wynikają ce  z  pierwszej  i  drugiej  zasady  termodynamiki ZIEG LER  [23]  wykazał ,  że w klasycznej  teorii  plastycznoś ci  warun ek (4.1)  a u - Ą p  > 0 wynika  z drugiej  zasady  term odynam iki. R ozpatrzm y  oś rodek  sztywno- plastyczny.  P rzed- stawiamy  energię  swobodną  / ,  przypadają cą  n a jedn ostkę  masy,  w  postaci < 4.2)  Qf=   Qf0- QS0@- &0)—£ jL{# - &0)*, gdzie  / o  odnosi  się do  stanu  począ tkowego  • &  =  # 0 ,  & jest  tem peraturą  bezwzglę dną, n a- tom iast s0  przedstawia  wartość en tropii n a jedn ostkę  masy w stanie  # 0 ,  Q jest stał ą  gę stoś cią {• w teorii  mał ych  odkształ ceń ). O  NIEKTÓRYCH   UOG ÓLN IEN IACH   TWIERD ZEŃ   NOŚ NOŚ CI  GRANICZNEJ  4 1 7 P o n ad t o __  du przy  czym (4.3)  QU gdzie (4.4)  QS  =   ~9- % =   f Z ależ ność  (4.4)  przedstawia  en tropię  n a jedn ostkę   obję toś ci. Z  pierwszej  zasady  term odyn am iki —  dla  przedział u  czasu  dt  —  otrzymujemy  (por. P L  [26]) (4.5)    0. Korzystają c  z  poprzedn io  wprowadzon ych  oznaczeń, zwią zek  (4.9)  zapiszemy  krót ko 418  J.  J.  TELEG A w  nastę pują cej  postaci: (4.10) p Jeś li  więc  przyjmiemy,  że  powierzchnie  f p   mogą  przesuwać  się  (oś rodek  C osseratów z wzmocnieniem), to uwzglę dniając  (4.10) i niezależ ność warun ków  plastycznoś ci  wniosku- jemy,  że  muszą  one zawierać  począ tek  ukł adu  współ rzę dnych  przestrzeni  fizycznej. Uwaga  4.1.  VALAN IS  [22] wykazał   również  n a  drodze  term odyn am iczn ej, że  powierzch- nia  plastycznoś ci  (w  teorii  klasycznej)  musi  zawierać  począ tek  ukł adu.  N iem niej  jedn ak wydaje  się,  iż  dowód  ZIEG LERA  [23] jest  bardziej  interesują cy,  gdyż  VALAN IS  [22]  korzysta z postulatu  D ruckera  (2.1), zaś  ZIEG LER  nie. 5.  Noś ność  graniczna  dla  oś rodka  Cosseratów N iech  rozpatrywany  przez  nas  sztywno- plastyczny  oś rodek  C osseratów  o  obję toś ci  V bę dzie ograniczony powierzchnią  5".  Zał óż my, że w każ dym  pun kcie tej  powierzchni  istnieje zewnę trzny, jednostkowy  wektor  n orm aln y  o  współ rzę dnych n t   i  niech S u n,  S u <, S T n,  S T t, S w ",  S a t,  S M n,  S M tcS,  przy  czym  zachodzą  nastę pują ce  rozł ą czne rozkł ady: (5.1)  S  =   S >   U  S T n  =   S,,t  U   S T >  =   S a n  U  S M n  =   S a *  U  S M >. Przyjmijmy  nastę pują ce  warun ki  brzegowe  [6]: (5.2a) (5.2b) (5.2c) (5.2d) (5.3a) (5.3b) (5.30) (5.3d) przy  czym  wskaź niki  n  lub  /  oznaczają  odpowiednio  skł adową  n orm aln ą  lub  styczną  wek- tora, tzn . w» =   it"jfij,  iigi  =   Uof~Uojnj^ t>  u"  — iijnj>  w|  =   Ui —  Ujnjł ii, T  =   Sj k njn k ,  T t   =  Sjinj~Sj k njn k ni,  s Jk   =  Gj k +T Jk , i  podobn ie dla  k ) +  mijXij. Przez  wektor  Q  m oż na więc rozum ieć wektor  odpowiadają cy  ten sorom s^ ,  Wy,  zaś  przez q  wektor  odpowiadają cy  ten sorom  Ay  =   Uj ti  — e lik co k   i  «,7. u"  =   tą u\   -   uf oi cb"  =   0)" ó)\   «•   col. rplt  ,  rpIJ rpt  nrt M"  =  M" M\   =   M' t na na na na na na na na S„n, S u h S>uh S T n, S T t, SM"  J S M ', O  N IEKTÓRYCH   UOG ÓLN IEN IACH   TWIERD ZEŃ   NOŚ NOŚ CI  GRANICZNEJ  4 1 9 Z asada  mocy  przygotowan ych  dla  oś rodka  Cosseratów  z  niezwią zanymi  obrotam i czą stek  m a  postać  [6] (5.5)  /   lSij(iij, i - e i j k a) k )  + m iJ k l j]dV  =   /   (X i u i   + Y i "dS+  [M t i ć >< i dS+  j  T n u" o dS+  J  T ^ dS- Y  J  M%" o dS+  J A£\ ót oi dS, S  s  s  s  VSM>>  M  „  «  ra  V (po  n i  /  nie  sum ować ). U ogólnim y  obecnie  zn an e —  z  klasycznej  teorii  noś noś ci  granicznej  (por.  [7,20,24]) poję cia  statycznie  dopuszczaln ego  pola  n aprę ż eń  i  kinematycznie  dopuszczalnego  pola prę dkoś ci  przemieszczeń. P rzez  statycznie  dopuszczaln e  pole  n aprę ż eń  Q°  rozumieć  bę dziemy  pola  naprę ż eń sfj  i  n aprę ż eń  m om en towych  mij  speł niają ce  nastę pują ce  warun ki: 1°  speł nione  są  warun ki  równowagi sfa+X,  m 0,  - mfu+W  + Y,  -   m° JU +  6,^   + 7,  -   0, i  warunki  brzegowe  (5.3a)- (5.3d); 2°  / , (Q°)  «S 0,  p  =   !, . . . , «. M ówimy,  że  zbiór  {U *}  =   {ii*,  w*}  stanowi  kinematycznie  dopuszczalne  pole  prę d- koś ci  przemieszczeń  uf  i  m ikroobrotów  ć of  jeś li: I .  P ole  to  speł nia  kin em atyczn e  warun ki  brzegowe  (5.2a)- (5.2d). I I .  M oż na z  niego  otrzym ać pole  q*,  tzn . pole prę dkoś ci  odkształ ceń Xfj i pole  kfj  (lub I I I .  Okreś lona  prawą  stroną  wzoru  (5.5)  moc  obcią ż eń  zewnę trznych —•  oznaczmy  ją przez  L  —jest  dodatn ia,  tzn .  L   >  0. D la  prostoty  rozważ ań  rozpatrzm y  szczególny  przypadek,  gdy S U "  —  S u t  =   S ca n  =   S a t  =   S u ,  S r n  =   S T t  =   S M n  =   iSjtft  —  $T - Wówczas  warunki  brzegowe  (5.2a)- (5.2d),  (5.3a)- (5.3d)  przyjmują  odpowiednio  postać (5.6)  iii  =   u otl   (o ;   =   o ) o i  n a  S u, (5.7)  T t   =   SjiHj,  Mi  =  mjiitj  n a  S T . Z ał óż my  pon adt o, że  u oi   =   co oi   =   0.  U wzglę dniając  (1.10),  (5.4), (5.6) i  (5.7) w  (5.5) otrzy- mujemy (5- 8)  j'Q s 'q s dV  =   f  (X i u i  + Y l ó) i )dV+  {7^ 8+  JM&dS. V  V  ••   .  ST  ST Weź my  pod  uwagę  obcią ż enie  jedn oparam etrowe,  tzn .  obcią ż enie  dan e  zależ noś ciami (por.  [25]) (5.9)  Xi  =   fiXfixj),  Y t   =  juY,°(xj),  f {   -   / uT Hxj),  M t   =   fiM?(xj), gdzie  n  >  0 jest  param etrem  obcią ż enia. M oż na  również  wprowadzić  poję cie  statycznie  dopuszczalnego  / i s   i  kinematycznie dopuszczalnego pi k  m n oż n ików  obcią ż enia. Zdefiniujemy  je  podobn ie jak  w teorii  klasycznej 420  J.  J.  TELEG A (por.  [7, 20,  24]). I tak, jeś li  dla  obcią ż enia  pX?,  (xY°, / j,T °, fiM°  moż na  wyznaczyć jakie- kolwiek pole g°,  to odpowiadają ce  temu (i nazwiemy  statycznie dopuszczalnym  mnoż nikiem obcią ż enia  / J, S .  Kinematycznie dopuszczalny  mnoż nik / u k   okreś lony jest  n astę pują co: (5.10) J  (X?ń f  + Y i ayf)dV+  J  ( v  s Z  postulatu  I I I wynika, że  mianownik  we  wzorze  (5.10) jest  dodatn i. Przez  rozwią zanie  zupeł ne  rozumiemy  takie  rozwią zanie,  które  speł nia  zarówn o  wy- magania  strony  statycznej,  jak  i  kinematycznej  (por.  [20]).  Odnoszą cy  się   do  rozwią zania zupeł nego  mnoż nik  obcią ż enia  oznaczmy  symbolem  fi G .  Ł atwo  udowodnić,  że (5.11)  ft* *ś  fa  **  f*k- D owód  przebiega  jak  w  przypadku  klasycznym. Uwaga  5.1.  Ponieważ  zasadę   mocy  wirtualnych  (5.5)  m oż na  uogólnić  n a  przypadek niecią gł ych  pól  naprę ż eń  s tJ   i  naprę ż eń  momentowych  m- ti   [6],  zależ ność  (5.11)  pozostaje sł uszna i  dla  takiego  przypadku. Uwaga  5.2.  Rozpatrzmy  zagadnienie  niecią gł oś ci  pól  prę dkoś ci  przemieszczeń  in i  prę dkoś ci  m ikroobrotów  &>;  Oznaczmy  przez  S hk   powierzchnie  niecią gł oś ci  prę dkoś ci przemieszczeń  mię dzy  obszarami  R h ,  R k   rozpatrywanego  oś rodka,  zaś  przez  M Xm   powierz- chnie  niecią gł oś ci  pola  m ikroobrotów  cb;  pomię dzy  obszarami  Z t ,Z m .  N iech  pon adto pole iti jest niecią głe w kierunku  stycznym  do powierzchni  S hk ,  n atom iast pole ó); w  kierunku normalnym  do  M lm .  Wówczas moc  dysypowana  na  powierzchniach  niecią gł oś ci  m a postać (por.  [24],  [14]) (5.12)  D  =  S gdzie T ihk)  oznacza naprę ż enie styczne przekazywane  przez element powierzchni  dS z  obsza- ru  R k   do  R h ;  u^ ,  u^   są   skł adowymi  stycznymi  prę dkoś ci  przemieszczeń  odpowiednio w  obszarach  R h ,R k ,  natom iast  M ( ' m )  oznacza  n orm aln e do  powierzchni  M lm   naprę ż enie momentowe  przekazywane  przez  element  powierzchni  dS  z  obszaru  Z ,  do  Z,„;  cb^', cójif} są   skł adowymi  normalnymi  prę dkoś ci  m ikroobrotów  w  obszarach  Zi,Z m . N aprę ż enie  styczne  T ^ ,  zwią zane  z  naprę ż eniami  s tJ   n a  powierzchni  S hk ,  wynosi (por.  [9]  rys.  2). (5.13) natomiast  momentowe  naprę ż enie  norm alne  M (tm),  zwią zane  z  naprę ż eniami  m om en to- wymi my  n a powierzchni  M u „,  dan e jest  wzorem (5.14)  Af<'«)  =   m Jk njn k , przy  czym  w  (5.13)  wektor  jednostkowy  nj jest  wektorem  n orm aln ym  do  powierzchni*?/ *, natomiast  w  (5.14) —  do  M im .  .  , O  N IEKTÓRYCH   UOG ÓLN IEN IACH   TWIERD ZEŃ   NOŚ NOŚ CI  GRANICZNEJ  421 C ał kowita  m oc dysypowaną   D  wynosi (5.15)  D =>  f  AdV+J). Jeś li w (5.10) uwzglę dnimy  m oc D, dysypowaną   n a powierzchniach niecią gł oś ci, to zwią zek (5.11)  pozostaje  sł uszny. 6.  Uogólnienie  zasady  wariacyjnej  T. Mury  i S.  Lee W  pracach  [12], [14]  M U R A  i  LEE  podali  zasadę   wariacyjną   przydatną   w  noś noś ci granicznej.  Z asadę   tę  bę dziemy  krót ko  oznaczać  symbolem  ML . W  pracy  [13] autorzy ci  stosują   zasadę  ML  d o an alizy  granicznej  ortotropowej  pł yty koł owej swobodnie podpar- tej i poddanej  obcią ż eniu  rozł oż on em u.  SACCH I i  SAVE  [15]  stosują c  zasadę   ML ,  rozważ yli statyczne  i  kin em atyczn e  podejś cie  dla trójwymiarowego  kon tin uum . Obecnie naszym  celem  bę dzie  uogólnienie zasady  ML  na oś rodki  Cosseratów. Rozważ my  funkcjonał (6.1)  F(s i j,m i j,it i ,u) i ,Ri,Mf i ,[ł ,(p p )=  js,j(Uj ji - e i j k m k )dV+  J m,jOj, t dV- v v -   f Ą utdS-  f Mfm,dS- Ą   f  (T fut + MfcoddS- 1] -  /  W A Ś  S  S  V Z  zasady  stacjon arn oś ci  funkcjonał u F  dla  dowolnych  wariacji  jego  argumentów — przy dodatkowym  warun ku  X p  ̂   0, p  =  1, . . . , n — otrzymujemy (6.2)  6F =  j  ós i j(u hi - e iJk w k )dV+  {s iJ (dUj ti - e ijk dć o k )dV+  f  dm iJ w J , i dV+ V V V +  jmijócQj tl dV-   j  dRiiiidS-   j  R t du,dS~  j  &M?widS-   J  Mfó^ dS- V  S u   S u   S u  «„ -   dĄ   f  (TftH+ MiwddS- l]- / *  }  (T fSui + MfÓaiddS-   }  dk p [f f (sij t m tJ )  + k — K~pT ~ (6.14)  W; i  =   K"—- "  dmij (6.15)  f  (T fiii+MfwddS  =  1  n a  SV, (6.16)  / j>Ou,>Wy)+ <$ =   0,  p  =   1, . . . , «, w  F (6.17)  X p ę p   =   0  w  F . P odobnie, jak  uczyniono  to w pracy  [15], m oż na wykazać,  że F G   =   / u G , gdzie F G   jest  war- toś cią  funkcjonahi  F  odpowiadają cą  zależ noś ciom  (6.5)—(6.17). 7.  Twierdzenia  M olami  i  Koitera  o  dostosowywaniu,  uogólnione  na  przypadek  oś rodków  Cosseratów W  dotychczasowych  naszych rozważ aniach  przyjmowaliś my  m odel  sztywno- plastyczny. Aby  mówić  o zagadnieniach  dostosowywania,  należy  rozpatrywać  oś rodek  sprę ż ysto- pla- styczny  [7]. Przez  sprę ż ysto- plastyczny  oś rodek  Cosseratów  z  niezwią zanymi  obrotam i  czą stek bę dziemy  rozumieć  taki  oś rodek  Cosseratów,  dla  którego  cał kowite  odkształ cenia  Ay i  cał kowite zginanie- skrę canie  xij  są  dan e  zależ noś ciami (7.1) (7.2) gdzie czę ś ci  sprę ż yste  Ą f t   x\ f  są  dan e wzoram i  [6] (7- 3)  X\ f>  m P iJkl s kl +Q iJkl m kl ,  P ijkl   -   P m , (7- 4)  xip  =  Q przy  czym  tensory P ijk i,  Q iJkl   S iJk i  są  stał ymi m ateriał owym i. U ogólnimy  obecnie  poję cie  n aprę ż eń resztkowych.  M ianowicie  rzeczywiste n aprę ż en ia O  N IEKTÓRYCH   UOG ÓLNIENIACH   TWIERD ZEŃ   NOŚ NOŚ CI  G RANICZNEJ  423 S(li'rzeczywiste  n aprę ż en ia  m om en towe my m oż na  zapisać  w postaci (7.5)  % -   ty+Qtj, (7.6)  Wy  =  m\ p + (fij, gdzie  sffl, m\ f  oznaczają   odpowiedn io  naprę ż enia  i  naprę ż enia  momentowe w doskonale sprę ż ystym  oś rodku  C osseratów,  poddan ym tym samym  obcią ż eniom  i warunkom brzego- wym,  zaś  gy, (pij oznaczają   odpowiednio  n aprę ż en ia  resztkowe  i  resztkowe  naprę ż enia m om en towe.  R esztkowe  n aprę ż en ia i  resztkowe  naprę ż enia  momentowe  definiujemy  jako stał e  n aprę ż en ia,  pozostają ce  w  oś rodku  po  odcią ż eniu,  tzn.  usunię ciu  zewnę trznych obcią ż eń  i  powrocie  przemieszczeń  i  obrotów  n a  S„ do  zera,  przy  czym  odcią ż anie  to zachodzi bez plastycznych  odkształ ceń i bez plastycznego  zginania- skrę cania.  Przyjmujemy, że  odcią ż anie  opisywane  jest  zależ noś ciami  (7.3),  (7.4). Resztkowe  naprę ż enia i  resztkowe n aprę ż en ia  m om en towe  speł nianiają   równ an ia  równowagi  (1.1),  (1.2),  (5.7),  gdzie  X t   = = : ; y ; •  =   T ,  = M,  =  0. •  P rzez doskon ale sprę ż ysty  oś rodek  C osseratów  bę dziemy rozumieć oś rodek, dla którego równ an ia  kon stytutywn e  mają   postać  (7.3),  (7.4). •   D la  prostoty  przyjmujemy,  że  n a  S u :  u t   =   a>,- .=  0.  N iech  oś rodek  bę dzie  poddany pewnemu  program owi  obcią ż enia,  tzn . T t ,Mi,X x ,  F;  są   funkcjami  czasu  i  zmieniają   się w pewnych  przedział ach w sposób  n a ogół  dowolny,  ale quasi- statyczny  (por.  [19]). Oznacz- my  przez  Sij(ł ),  Ą f(t),  tfp(t)  odpowiednio  rzeczywiste  wartoś ci  naprę ż eń,  odkształ ceń sprę ż ystych  i  odkształ ceń plastycznych,  n atom iast przez  mij(t) t   Ą f(t) t   Ą f{t)  odpowiednio rzeczywiste  n aprę ż en ia  m om en towe,  sprę ż yste  zginanie- skrę canie  i  plastyczne  zginanie- skrę canie. Rozważ my  idealn ie  sprę ż ysty  oś rodek  C osseratów  poddan y  tym samym  obcią ż eniom i  warun kom  brzegowym,  co  oś rodek  sprę ż ysto- plastyczny.  N iech sffl(t),  m$(t)  oznaczają odpowiednio  n aprę ż en ia i  n aprę ż en ia  m om entowe w  oś rodku  idealnym,  a  odpowiadają ce im  odkształ cenia i  ten sor  zgin an ia- skrę can ia  oznaczmy  odpowiednio  przez  X\ p(t),  %\ f(t). R esztkowe  n aprę ż en ia  oznaczmy  przez  Qij(ł ), resztkowe  zaś naprę ż enia momentowe przez ;. M usimy wię c wprowadzić  poję cie  dopuszczalnego  cyklu  prę dkoś ci  plastycznego  zgin an ia- skrę can ia tffl].  D opuszczalny cykl  prę dkoś ci  plastycznego  zgin an ia- skrę can ia  x\ ?l  okreś lamy  w  ten sposób,  że  przyrost (7.12) zaś  cykl  wyznaczony  przez  przedział   czasu  T   stanowi  kinematycznie  dopuszczaln e  pole zginania- skrę cania.  Oznacza  to,  że  ten sor  (7.12)  m oż na  otrzym ać,  korzystają c  z  (1.7), z pola  m ikroobrotów  Aco t0 ,  przy  czym  pole  to  znika  n a  S„  (zgodnie  z  warun kam i  brzego- wymi).  Ponieważ  przyrosty  odkształ ceń  plastycznych  (7.11)  mają   być  kinematycznie dopuszczalne,  moż na  je  otrzymać  z  pola  przemieszczeń  Au i0 ,  które  zn ika  n a  S„,  oraz z  pola  Acoio- P olom  Mjfo{t),  k\ f a (t)  towarzyszą   resztkowe  prę dkoś ci  n aprę ż eń  gyo(O  i  resztkowe prę dkoś ci  naprę ż eń momentowych  jf> iJ0 (t). Z  kolei  tym  resztkowym  polom  n aprę ż eń i  na- prę ż eń  momentowych  odpowiadają   sprę ż yste  odkształ cenia  i[f o {t)  i  sprę ż yste  zginanie- skrę canie  k\ f o {t).  N iech  iĄ (t)  i  «?(/ )  oznaczają   odpowiednio  pole  prę dkoś ci  przemieszczeń i  pole mikro- obrotów, z  których  otrzymujemy  kinematycznie dopuszczalne  pole  prę dkoś ci odkształ ceń i  kinematycznie  dopuszczalne  pole  prę dkoś ci  zgin an ia- skrę can ia (7.14)  k tJ0   =   ą i+Ą ji Przyrosty  przemieszczeń  i  m ikroobrotów  za  cykl  dopuszczalnych  prę dkoś ci  odkształ ceń plastycznych  i  dopuszczalnych  prę dkoś ci  plastycznego  zgin an ia- skrę can ia  są   dan e  zależ- noś ciami (7.15)  Au i0   =  /   ufdt, o T (7.16)  Aw i0   =  j  mtdt. o Resztkowe  naprę ż enia  i  resztkowe  n aprę ż en ia  m om en towe  w  chwili  t  =   T   przyjmują wartość  taką ,  jak  w  chwili  t  =  0,  gdyż  przyrosty  odkształ ceń  plastycznych  i  przyrosty plastycznego  zginania- skrę cania  są   kinematycznie  dopuszczalne.  Stą d  wynika,  że T (7- 17)  f  \ \ %dt  =  0, ó T (7.18)  /   k\ f Q dt  =   0. O  N IEKTÓRYCH   UOG ÓLNIENIACH   TWIERD ZEŃ   NOŚ NOŚ CI  G RANICZNEJ  425 P o  tych  dł ugich, aczkolwiek  niezbę dnych  okreś leniach,  moż emy  sformuł ować  twierdze- nia  o  dostosowan iu,  uogóln ion e  na  przypadek  oś rodków  Cosseratów  z  niezwią zanymi obrotam i  czą stek. Uogólnione twierdzenie  Melana a) Jeś li  istnieją   niezależ ne  od  czasu  pola,  odpowiadnio  naprę ż eń resztkowych  gy  i  reszt- kowych  n aprę ż eń  m om en towych  c?y  takie,  że  wektor  Q{s\ f, m\ j)),  gdzie  sf-  ̂=   $ ' + g y mty  — m\ f  +  (pij  leży  w e w n ą t rz  wszystkich  powierzchni  plastycznoś ci,  w  każ dym punkcie  oś rodka  i  dla  wszystkich  moż liwych  kombinacji  obcią ż eń  dla  danego  programu obcią ż enia,  to  ukł ad  dostosowuje  się , [  b)  D ostosowan ie  n ie  n astą pi,  jeś li  nie  istnieją   niezależ ne  od  czasu  pola  resztkowych n aprę ż eń  i  resztkowych  n aprę ż eń  m om entowych,  dla  których  wektor  Q  o  skł adowych, jak  w  a) był by  dopuszczaln ym  (por.  pun kt  5)  w  każ dym  punkcie  oś rodka  i dla  wszystkich moż liwych  kom binacji  obcią ż en ia. Uogólnione  twierdzenie  Koitera a)  U kł ad  n ie  dostosowuje  się ,  jeś li  istnieje  dopuszczalny  cykl  prę dkoś ci  odkształ ceń plastycznych  X$l(t)  i  dopuszczalny  cykl  prę dkoś ci  plastycznego  zginania- skrę cania  k\ f a (i), a  p o n ad t o  istnieją   obcią ż enia  zewnę trzne  X t (t),  Yi(t),  T ( (t),  Mi(t)  wewną trz  danych przedział ów  zmiennoś ci  tych  obcią ż eń,  takie  ż e, • . - . .  • • •   T   T . f  dt[J(X t u° t   + Y t eo°i)dV+  J  (T iiĄ  + M&ftds]  >  J  dt j '  {s- ^ l+m^ k^ dV. o  v  ST  6  v ;•  ,,b)  U kł ad  dostosowuje  się ,  jeś li  istnieje  k  >  1,  o  takiej  wł asnoś ci,  że  dla  wszystkich dopuszczalnych  cykli  odpowiedn io  prę dkoś ci  odkształ ceń plastycznych  Ą f o {t)  i  prę dkoś ci plastycznego  zgin an ia- skrę c en ia«^ (O  oraz wszystkich  obcią ż eń  zewnę trznych  (wewną trz dan ych  przedział ów), zachodzi T   '  T k  f  dt[j  {XiiĄ  + 7,ć >°t)dV+  j  (JiiĄ +Mi»?)*]  <  J  dt J  (%Ujl+myM v D owodów  powyż szych  twierdzeń  nie  podajemy.  Chcą c je  dowieś ć,  należy  skorzystać z  prac  [6],  [7]. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  D . C.  D RU CKER, A definition of stable inelastic material, J. Appl. Mech., 1, 26 (1959), 101- 106;c6.  n ep. MexaHHKa,  2  (1960),  55- 70. 2.  Y. C.  F U N G , Podstawy mechaniki ciał a  stał ego,  Warszawa 1969. 3.  A. E.  G REEN ,  P. M .  N AG D I ,  A  general theory of  an  elastic- plastic  continuum,  Arch.  Rational  Mech. Anal.,  4,  18  (1965),  251- 281;  c6. n ep. MexaHHKa,  5  (1965),  111- 142. 4 2 6  J .  J .  T E L E G A 4.  A .  E .  G R E E N ,  P .  M .  N A G H D I ,  Plasticity  and  multipoint  continuum  mechanics,  M a t h e m a t i c a ,  12  ( 21) , ( 1965) ,  2 1 - 2 6. 5.  A .  E .  G R E E N ,  P .  M .  N A G H D I ,  R .  B .  O S B O R N ,  T heory  of  an  elastic- plastic  Cosserat  surface,  I n t . J .  S o l i d s S t r u c t . ,  4  ( 1968) ,  9 0 7 - 9 2 7.  .• • • : 6.  I .  H L AVAC E K ,  M .  H L A VA C E K ,  On  the  existence  and  uniqueness  of  solution  and  some  variational  principles in  linear  theories  of  elasticity  with  couple- stresses,  Ap l i k a c e  M a t . , 5 , 1 4  ( 19 6 9 ) ,  3 8 7 - 4 1 0. 7.  W .  T .  K O I T E R ,  General  theorems  for  elastic- plastic  solids,  P r o gr e s s  i n  S o l i d  M e c h a n i c s ,  A m s t e r d a m  1960, 1 6 6 - 2 2 1. 8.  W .  T .  K O I T E R ,  Couple- stresses  in  the  theory  of  elasticity,  P r o c .  N e d e r l .  A k a d .  W e t e n s c h a p p e n ,  S e r .  B , 1,  6 7 ,  ( 1964) ,  17 - 4 4,  c 6 .  M e xa i n i K a ,  3  ( 1965) ,  8 9 - 1 1 2. 9.  H .  L I P P M A N N ,  Eine  Cosserat- T heOrie  des  plastischen  Fliessens,  A c t a  M e c h a n i c a ,  8  ( 1 9 6 9 ) ,  2 5 5 - 2 84 10 .  R .  D .  M I N D L I N ,  Micro- structure  in  linear  elasticity,  Ar c h .  R a t i o n a l  M e c h .  An a l , .  1,  1 6  ( 19 6 4 ) ,  5 1 - 7 8; c 6 .  M e x a m i K a ,  4  ( 19 6 4 ) ,  1 2 9 - 1 6 0.  ' 1 1 .  M .  M I C I C U , On  a theory  of  asymmetric  plastic  and  visco- plastic  solids,  M e c h .  Ap p l . ,  3 , 9 ,  ( 1 9 6 4 ) , 4 7 7 - 4 9 5. 12.  T .  M U R A ,  S.  L E E .  Application  of  variational  principles  to  limit  analysis,  Q u a r t .  A p p l .  M a t h . ,  3 , 2 1 ,  ( 19 6 3 ) , 2 4 3 - 2 4 8. 13.  T .  M U R A ,  J .  S.  K A O ,  S.  L E E , L imit  analysis  of  circular  orthotropic  plates,  P r o c .  A S C E ,  J .  E n g n .  M e c h . D i v. ,  5,  90  ( 1964) ,  3 7 5 - 3 9 5. 14.  T .  M U R A ,  W .  H .  R I M A W I ,  S.  L E E , Extended  theorems  of  limit  analysis,  Q u a r t .  A p p l .  M a t h . ,  2 ,  2 3  ( 19 6 5 ) . 15.  G .  S Ac c m ,  M .  S AVE ,  On  the  evaluation  of  the  limit  load  for  rigid- perfectly  plastic  continual  M e c c a n i c a , 3,  3  ( 1968) ,  1 9 9 - 2 0 6. 16.  A .  S A W C Z U K ,  On  yielding  of  Cosserat  continua,  A r c h .  M e c h .  S t o s . ,  3 , 1 9  ( 19 6 7 ) ,  4 7 1 - 4 8 0. 17.  M .  S AYI R ,  Zur  Fiessbedingung  der  Plastizitatstheorie,  I n g .  A r c h . ,  3 9  ( 1 9 7 0 ) ,  3 1 4 - 4 3 2. 18.  W .  S Z C Z E K N S K I ,  J .  M I A S T K O W S K I ,  An  experimental  study  of  the  effect  of  the  prestraining  history  on the  yield  surfaces  of  an  aluminium  alloy,  J .  M e c h .  P h y s .  S o l i d s,  3,  1 6  ( 1 9 6 8 ) ,  1 5 3 - 1 6 2. 19.  J .  J .  T E L E G A ,  Zastosowanie  programowania  liniowego  do  wyznaczania  noś noś ci  granicznej  konstrukcji, ( P r z e gl ą d  p r a c ) ,  M e c h .  T e o r .  S t o s. ,  1,  9  ( 19 7 1) ,  7 - 5 2, 2 0 .  T eoria  plastycznoś ci,  p r a c a  z b i o r o w a  p o d  r e d .  W .  O L S Z A K A ,  P .  P E R Z Y N Y ,  A .  S A W C Z U K A .  W a r s z a w a 1965. 2 1 .  K .  T U R S K I ,  Badanie  wpł ywu  odkształ cenia  plastycznego  na  zachowanie  się   metalu  przy  róż nych  drogach wtórnego  obcią ż enia,  M e c h .  T e o r .  S t o s. ,  1,  9  ( 19 7 1) ,  1 5 5 - 1 9 9. 2 2 .  K .  C .  VAL AN I S ,  On  the  thermodynamic  foundation  of  classical  plasticity,  A c t a  M e c h a n i c a ,  9  ( 19 7 0 ) , 2 7 8 - 2 9 1. 2 3 .  H .  Z I E G L E R ,  Plastizitat  ohne  T hermodynamik,  Z A M P ,  5,  2 1  ( 1 9 7 0 ) ,  7 9 8 - 8 0 5. 24.  J I .  M .  K A^ AH O B,  OcHoeu  meopuu  rtAacmuuHocmu, M ocKBa  1969. 2 5 .  B.  B.  K O JI O K O JI M H K O B,  MoMeHmnan meopun  Manuxynpyzo- njiacmunecKUX  de^ opMaą uu,  BeciH .  M O C K . YH.,  M aT - M ex.,  1  ( 1971) ,  76- 84. 26.  J I .  H .  CEflOB,  MexaHUKa cnAouiuou  cpedu,  T .  I ,  M ocKBa  1970. P  e  3  IO  M   e O  H E K O T O P B I X  O E O E m E H H fl X  T E O P E M   O  H E C YI H E ft  C n O C O E H O C T H C P E flŁ I  K O C C E P A B  paSoTe  flatio  o6o6meH H e  Ha  cJiy^aii  cpeflt i  K occepa  Teopeiw  o  H ecym eii  CIIOCOSH OCTH   H   Teopeirt M en a n a  n  KoflTepa  o  npHcnocoSjweMOCTH.  flanw  o6o6meH H H   BapH aicnoH H oro  npH injH na  M io p a - J I n, BbiBOflOB  D jirn ep a j  BbiTeKaiommc H3 n ep Bo ro  H  Bxoporo  npuH H nnoB  TepMOfliraaMUKHj  a  T aK «e  o6o6m e- HHe nocTyjiaTa  Jlpyracepa.  BbinoiraeH H oe  HCcneflOBaHHe  OCH OBSH O Ha n pefln araeM oii  JlnnniwaHHOMTeopHH TeqeHHH   cpeflbr  K occepa. O  NIEKTÓRYCH   UOGÓLNIENIACH  TWIERD ZEŃ   NOŚ NOŚ CI  GRANICZNEJ  4 2 7 S u m m a r y ON   SOME  G EN ERALIZ ATION S  O F  LIM IT  AN ALYSIS  TH EOREM S  F OR  COSSERAT  M ED IA This paper presents  the generalizations  of limit analysis and shake- down  theorems of Melan and Koiter to the case of Cosserat  media.  M oreover,  the variational  principle of Mura- Lee, Ziegler's  conclusion  from the first  and second  laws of thermodynamics  and D rucker's  postulate have  been generalized.  The problems discussed  in the paper  are  based  on Lippmann's  theory  of  plastic  flow  of Cosserat  media. P OLI TE C H N I KA  Ś LĄ SKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  16  czerwca  1971  r.