Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z4.pdf M E C H A N I K A TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A Ą ,  10  (1972) ZASTOSOWANIE  ELASTOOPTYCZNYCH  BADAŃ   MODELOWYCH  DO  WYZNACZANIA OPTYMALNYCH  KSZTAŁTÓW  KONSTRUKCJI  PŁASKICH ROM AN   S . D O R O S Z K I E W I C Z ,  JE R Z Y  L  I E T  Z ,  STEFAN   O W C Z A R E K (WARSZ AWA) 1. Wstę p Z agadnienie  wyznaczania  optym alnej  linii  brzegu  oś rodka  odkształ canego  w  zakresie sprę ż ystym  jest  bardzo  waż ne  w  projektowan iu  elementów  konstrukcji  i  ich  wzajemnych poł ą czeń.  D o  takich  elem entów  należą   wał y  i  prę ty  o  zmiennej  ś rednicy,  koł a  zę bate, wę zły  kratown ic,  poł ą czen ia belek  i  sł upów  it p.  N ieuwzglę dnianie  tych  zagadnień  prowa- dzi  do  konstrukcji  n araż on ych  n a  ujemne  efekty  karbu,  obniż ają ce  ich  maksymalną   noś- noś ć,  co  pocią ga  za  sobą   zmniejszenie  bezpieczeń stwa  projektowanych  konstrukcji. 21, G' - ,  ł 2 b E' Rys.  1. Warunki brzegowe  naprę ż eń w wę ź le trójramiennym W  celu  ustalen ia  rozważ ań  zagadnienia  optymalizacji  brzegów  obszarów  pł askich po- sł uż ymy  się   przykł adem wę zła  trójram ien n ego  (rys.  1). Zał oż ymy, że  wę zeł  ten  został   wy- cię ty  z  konstrukcji  i  jego  granice  n a  odcinkach FGG'F'  i  EE'  oraz  obcią ż enia  dział ają ce wzdł uż  tych  gran ic  są   dan e. 526  R.  S.  D OROSZKIEWICZ,  J.  LIETZ ,  S.  OWCZAREK Sformuł owanie  zagadnienia  n a  gruncie  pł askiej  teorii  sprę ż ystoś ci  jest  nastę pują ce. Mają c  dane  granice  obszaru  Q  n a  odcinkach  FGG'F'  i  EE'  oraz  wartoś ci  n aprę ż eń brzegowych  wzdł uż  tych  granic  należy  znaleźć  linię   ograniczają cą   ten  obszar  n a  odcin- ku  EF  tak,  aby  był  speł niony warunek  kształ towania  odnoś nie  cał ego obszaru.  Krawę dzie EF  i  E'F'  są   nieobcią ż one.  Jako  kryterium  optymalnoś ci  przyjmujemy  stał ość  wielkoś ci niezerowego  naprę ż enia  gł ównego  nazywanego  w  elastooptyce  naprę ż eniem  brzegowym, wzdł uż kształ towanego brzegu  a b   =   const. W  przypadku  stosowania  funkcji  naprę ż eń Airy'ego  należy  znaleźć  taki  brzeg  obszaru Q,  aby  w  tym  obszarze  i  na  jego  brzegach  był y  speł nione nastę pują ce  warun ki  n a  funk- cję  JF: a) F unkcja  F{x x ,  x 2 )  speł nia w  obszarze  równanie (1)  V*F  =   0, w  którym  V4  oznacza  operator biharm oniczny. b) N a  danych  brzegach  EE',  F'G',  G'G,  GF  speł nione  są   warun ki  n a  wartoś ci  pierw- szych  pochodnych czą stkowych  F }1   i  F, 2 (2)  F tl   =   G i O i , x 2 ),  F, 2   =   G 2 (x x ,  x 2 ). c) N a poszukiwanym  brzegu  EF  i  E'F'  pochodn e czą stkowe  funkcji  F  mają   stał e  war- toś ci (3)  F tl   =  C u   F, 2   -   C 2 . d) N a poszukiwanym  brzegu  .EF  jest  speł niony warunek (4)  V2 F   =   C, w  którym  V2  oznacza operator Laplace'a. Warunek  (1)  zastę puje  równania  równowagi  i  cią gł oś ci  deformacji  w  obszarze.  Wa- run ki  (2)  i  (3)  wynikają   z  cał kowania  naprę ż eń  wzdł uż  brzegów  obszaru.  P rawa  stron a równania  (4)  jest  niezmiennikiem  wyraż ają cym  się   sumą   naprę ż eń  gł ównych.  Wzdł uż brzegu  wolnego  od  obcią ż eń  niezmiennik  ten jest  równy  wartoś ci  n aprę ż en ia n orm aln ego o  kierunku  stycznym  do  brzegu.  Z  kryterium  optymalizacji  —•  wyrównania  naprę ż enia brzegowego  do  stał ej wartoś ci  —  wynika  równanie (4). Z  matematycznego  pun ktu  widzenia  należy  rozwią zać  zagadnienie  brzegowe  równ an ia biharmonicznego  z  warunkam i  brzegowymi  niejednorodnym i,  o  nieustalonej  a  priori czę ś ci  granicy  obszaru,  oraz  wyznaczyć  tę   granicę   z  warun ku  narzuconego  n a  poszukiwa- ną   funkcję .  Sformuł owane  zagadnienie  sprowadza  się   wię c  do  okreś lenia  wpł ywu  granicy obszaru  n a  rozwią zanie  zagadnienia  brzegowego  równ an ia  biharm onicznego,  a  nastę pnie wyboru  takiego  brzegu,  który  speł niał by postawiony  warunek  optymalizacji. Zależ ność rozwią zania  zagadnienia  brzegowego  równ an ia  biharm onicznego  od  granicy obszaru  był a przedmiotem prac  [1],  [2]. P race te  dotyczył y jedn ak  szczególnych  obszarów pł askich  jakim i  są   pół pł aszczyzna  i  obszar  kolisty  oraz  szczególnych  zakresów  zmian brzegów.  Ponieważ  zagadnienie  wpł ywu  zmiany  obszaru  n a  rozwią zanie  problem u  brze- gowego  równania  biharmonicznego  dotychczas  nie  doczekał o  się   ogólnego  rozwią zania, również  rozwią zanie  zagadnień  optymalizacji  obszarów  pł askich  był o  moż liwe  jedynie ZASTOSOWANIE  ELASTOOPTYCZNYCH   BADAŃ   MODELOWYCH 527 w  szczególnych  przypadkach .  U zyskan o  zadowalają ce  rozwią zanie  teoretyczne  powyż ej sfomruował nego  zagadn ien ia  optymalizacji  brzegów jedynie  w  dwóch  przypadkach: —  wyznaczenia  kształ tu  otworu  w  tarczy  nieskoń czonej  w  przypadku  rozcią gania dwukierunkowego  [3], —  optymalizacji  kształ tów  karbów  i  linii  przejś cia  w  prę tach  rozcią ganych  o  duż ym przekroju  [4]. I n n e  problem y  z  tego  zakresu  wynikają ce  z  praktyki  inż ynierskiej  był y  dotychczas rozwią zywane  za  pom ocą   badani  eksperymentalnych. Spoś ród  wszystkich  m etod  rozwią zań  tego  zagadnienia  n a  drodze  eksperymentu  naj- czę ś ciej  stosowane  są   m odelowe  badan ia  elastooptyczne.  W  badaniach  tych  rozwią zanie zagadnienia  uzyskuje  się   m etodą   kolejnego  poprawian ia  brzegu  n a  podstawie  wyników uzyskanych  z  bad ań  m odelu  nie  speł niają cego  warun ku  kształ towania. 2. Przeglą d  prac  dotyczą cych  eksperymentalnego  wyznaczania  linii  brzegu  o  stał ym naprę ż eniu Z adan ie  efektywnego  wyznaczenia  brzegów  o  stał ym  naprę ż eniu  został o  postawione p o  raz  pierwszy  przez  BAU D A.  Z ajmował   się   on  obrzeż em  o  stał ym  naprę ż eniu  w  przy- padku  wał ów  o  zmiennej  ś rednicy,  poddan ych  rozcią ganiu.  W  pracy  [5]  stwierdzono, że  w  przypadku  duż ego  stosun ku  wię kszej  ze  ś rednic  wał u  do  mniejszej  brzeg  o  stał ym n aprę ż en iu  jest  identyczny  z  kon turem  wolnego  strum ienia  wody  wypł ywają cego  z  okrą - gł ego  otworu.  R ozważ an ia  BAU D A  znalazł y  potwierdzenie  w  badaniach  elastooptycznych TH U M A  i  BAU TZ A  [6]. Rozszerzyli  oni  badan ia  wykonane  przez  BAU D A  na  zginanie  i  skrę - canie  oraz  n a  wię kszy  zakres  stosun ków  ś rednic  wał u.  W  pracy  tej  wykazano,  że  przy jedn akowym  zam ocowan iu  czę ś ci  wał u  o  wię kszej  ś rednicy,  brzegi  o  stał ym  naprę ż eniu odpowiadają ce  zginaniu  i  skrę can iu  są   identyczne,  n atom iast brzeg  wał u rozcią ganego  jest Rys.  2.  Zależ ność  kształ tu  brzegu  od  wa- warunków  obcią ż enia  wał u  o  zmiennej  ś red- nicy poł oż ony  p o  ich  zewnę trznej  stron ie  (rys.  2).  P o d an o również  interpretację   warunku  wy- równ an ia  n aprę ż en ia  brzegowego  w  elastooptyce  jako  równoległ oś ci  skrajnej  izochromy do  brzegu  badan ego  m odelu. W  badan iach  elastooptyczn ych  D U RELIEG O  i  M U RRAYA  [7]  poszukiwano  zależ noś ci n aprę ż en ia  n a  brzegu  eliptycznego  otworu  od  stosunku  jego  pół osi,  w  tarczy  dwukierun- kowo  rozcią ganej.  N a  podstawie  obserwacji  modeli  wykazano,  że  naprę ż enie  dookoł a otworu  jest  stał e,  jeż eli  stosun ek  osi  elipsy  jest  równy  stosunkowi  stał ych  naprę ż eń  wy- wieranych  n a  wzajemnie  prostopadł ych krawę dziach. 528  R.  S.  D OROSZ KIEWICZ ,  J.  LI E T Z ,  S.  OWC Z AREK Wyznaczaniem  linii  przejś cia  pomię dzy  dwoma  zę bami  koł a  przekł adn i  zajmował o  się wielu  autorów.  M ię dzy  innymi  H EYWOOD   [8] porówn ał  wyniki  badań  cią gł ego  poł ą czenia pomię dzy  dwoma  zę bami  koł a  przekł adni  z  badan iam i  obrzeża  ograniczonego  dwom a ł ukam i  koł a  i linią   prostą .  Ten  sam  autor  [9] i  [10]  zajmował   się   wyznaczaniem  linii ł ą czą- cej  dwa  boki  koł nierza  obudowy  silnika.  Z apropon ował   on  m etodę   kolejnego  ulepszania kształ tu  modelu  opartą   n a  dodawaniu  warstwy  m ateriał u w  pun ktach ,  w  których  n aprę - ż enia wystę pują ce  w  modelu  badanym  są   wię ksze  od  nom inalnego i  odejmowaniu  w  pun k- tach  o  naprę ż eniach  mniejszych  od  nom inalnego.  G rubość  warstwy  dodawanej  lub  odej- mowanej  okreś lono  za  pomocą   wzoru  empirycznego (5)  ^ « w  którym  przyję to  oznaczenia: przesunię cie  brzegu  (dodatnie n a  zewną trz,  ujemne  do  wewną trz), promień  krzywizny  brzegu, naprę ż enie  brzegowe, ety  naprę ż enie nominalne, a  stał a  równa  okoł o  1,5  (wybierana  metodą   prób). N ieokreś loność  stał ej  a  oraz  wyznaczanie  prom ien ia  krzywizny  obrzeża  R  z  pom iaru w  każ dym  punkcie  brzegu  są   powodem  duż ej  dowolnoś ci  rach un ku  zapropon owan ego przez  H EYWOOD A.  Posł ugują c  się   wzorem  (5)  wyznaczył   on  efektywne  linie  przejś cia  po- mię dzy  bokam i  ką townika  zginanymi  n a  koń cach  czystym  m om en tem  (rys.  3).  P roces poprawy  brzegu  modelu  powtarzan o  siedmiokrotnie,  co wskazuje  n a  sł abą   zbież ność  za- proponowanego  postę powania. Z  opublikowanych  prac  widać,  że  zbież ność  stosowanych  dotychczas  eksperym ental- nych  metod  kolejnego  ulepszania  kształ tu  brzegu  jest  bardzo  m ał a.  Wynika  to  z  faktu, że  oparte  są   one  na  przesł ankach intuicyjnych,  a  nie  n a  ogólnym  rozwią zaniu  zagadn ien ia zmiany  naprę ż eń  przez  zmianę   funkcji  brzegu,  przy  ustalonych  warun kach  obcią ż enia badanego  m odelu. W  dalszym  cią gu  artykuł u  przedstawimy  m etodę   iteracyjną   wyznaczania  optym aln ego kształ tu  brzegu  modelu pł askiego  opracowaną   przez  S.  OWC Z AR KA. Tok  postę powania  w  tej  metodzie jest  nastę pują cy: a) wyznaczenie  przybliż onego  kształ tu  optymalizowanego  brzegu  modelu, b) wyznaczenie  przy  pomocy  elastooptyki  naprę ż enia brzegowego  w  tym  m odelu, c) wypisanie  zależ noś ci  naprę ż enia  brzegowego  od  współ rzę dnych  brzegu  optymalizo- wanego,  w  oparciu  o  przybliż oną  teorię , n a przykł ad  klasyczną   wytrzymał ość  m ateriał ów, d) okreś lenie  przesunię cia  d  a  nastę pnie  kształ tu  brzegu  modelu  do  badań  w  etapie nastę pnym,  z  wartoś ci  [punkt  b)J  i  gradientu  [(pun kt c)] n aprę ż en ia  brzegowego. Kolejne  etapy  są   powtarzan e  aż  do  speł nienia  kryterium  kształ towania,  to  jest  sta- ł oś ci  naprę ż enia  wzdł uż  optymalizowanego  brzegu. Czynnoś ci  a)  i  b)  są   identyczne  ze  stosowanymi  przez  innych  autorów  w  rozwią zy- waniu  analogicznych  problemów.  I stota  opisywanej  m etody  zawarta  w  pu n kt ach  c)  i  d) polega  n a  tym,  że  wielkość  przesunię cia  brzegu  d  jest  wyprowadzon a  z  rozważ ań  n ad zmianą   naprę ż enia  brzegowego  przy  zmianie jego kształ tu. ZASTOSOWANIE  ELASTOOPTYCZNYCH   BADAŃ   MODELOWYCH 529 M AXIM UM  TFM StON I  650   1B  PER  Są,   IN Rys.  3. Kształ t linii  brzegu  o  stał ym naprę ż eniu  ką townika  obcią ż onego  czystym momentem Z asadniczą   treść  m etody  z  wyprowadzeniem  wzorów  i  przykł adem  obliczenia  brzegu ulepszonego  w  oparciu  o  wyniki  badań  m odelu  wstę pnego  podan o  w  punkcie  5.  Zastoso- wanie  metody  zilustrowan o  n a  przykł adzie  wyznaczenia  optymalnego  kształ tu poł ą czenia sł upa  z  belką   przy  dan ym  polu  statycznym  sił   zewnę trznych. 3.  Schemat, obcią ż enia i opis kolejnych  etapów wyznaczania kształ tów  modeli M odel  przyję ty  do  bad ań  i  obcią ż enia,  przy  których  poszukiwano  optymalnego  kształ - tu  przedstawion o  schematycznie  n a  rys.  4.  Stan  obcią ż enia  modelu jest  okreś lony  sił ami: dwiema  pionowym i  P  i  jedn ą   ukoś ną   Q  dział ają cą   po  przeką tnej  pod  ką tem  a  =   33°. Kształ tu  optym aln ego  poszukiwan o  w  dwóch  przypadkach  stanu  obcią ż enia  sł upa zgię ciowego  oraz  bezzgię ciowego.  W  stanie  zgię ciowym  sił ami  obcią ż ają cymi  był y  sił y P  i  Q,  n atom iast  w  stanie  bezzgię ciowym  wystę powały  jedynie  sił y  P. Jako  kryterium  wyznaczania  optym alnego  kształ tu  sł upa  monolitycznie  poł ą czonego z  belką   przyję to  stał ość  niezerowego  naprę ż enia  gł ównego  wzdł uż  nieobcią ż onej  krawę dzi EF  i  E'F'  (rys.  4).  Wykon an o  dwa  etapy  badań .  D o  badań  w  pierwszym  etapie  przyję to w  obydwu  przypadkach  stan u  obcią ż enia  p o  dwa  m odele. 530 R.  S.  D OROSZKIEWICZ, J.  LIETZ,  S.  OWCZAREK W  przypadku  stanu  zgię ciowego  kształ t  pierwszego  m odelu  był   wyznaczony  z  kry- terium  minimalnej  energii  sprę ż ystej  od  zginania  i  ś ciskania  przy  stał ej  obję toś ci  tworzy- wa  wedł ug  elementarnych  wzorów  wytrzymał oś ci  m ateriał ów przy  obcią ż eniu  P  — 75  kG , Q  =3 30  kG .  Kształ t  brzegu  drugiego  modelu  zał oż ono  w  postaci  elipsy  o  wyrównanych naprę ż eniach  n a pół osiach przy  tym  samym  obcią ż eniu. te. 6 - r „_4 Rys.  4. Schemat modelu  i jego  obcią ż eń W  przypadku  stan u  bezzgię ciowego  kształ t  brzegu  m odelu  n a  odcinku  EF  (rys.  4) wyznaczono  z  warunku  wyrównania  naprę ż enia  brzegowego  wedł ug  elem entarnych  wzo- rów  wytrzymał oś ci  materiał ów. N a  przykł ad  model  5  wyznaczono  ze  wzoru  (30).  Kł adą c we  wzorze  (30)  a b   =   190 kG / cm 2 otrzym an o równ an ie uwikł ane kształ tu brzegu  modelu  5. P o  wykonaniu  badań  elastooptycznych  w  etapie  pierwszym  w  oparciu  o  uzyskane z  nich  wartoś ci  naprę ż eń  brzegowych  zaprojektowan o  n owe  m odele  d o  bad ań  w  etapie drugim.  Wyznaczenia  brzegów  modeli  do  badań  w  etapie  drugim  dokon an o  wedł ug  me- tody  przedstawionej  w  punkcie  5  niniejszego  artykuł u,  zawierają cym  jako  przykł ad  obli- czenie  współ rzę dnych  brzegu  poprawionego  wykonane  w  oparciu  o  wyniki  bad ań  m o- delu  1. Przed  przystą pieniem  do  wyprowadzenia  wzorów  n a  przesunię cia  brzegu  <5  n a  podsta- wie  wyników  badań  modelu  niespeł niają cego  warun ku  optymalizacji,  przeprowadzim y rozważ ania  wstę pne  n ad  zagadnieniem  zmiany  naprę ż enia  brzegowego  przy  zm ianie  funk- cji  brzegu. 4. Wpływ  kształ tu brzegu  na naprę ż enie  brzegowe Rozważ my  zagadnienie  zmiany  naprę ż enia  brzegowego  przy  zmianie  funkcji  brzegu n a  odcinku  EFi  symetrycznym  do niego  odcinku  E'F'  (rys.  5). Z akł adam y stał ość pozosta- ł ych  brzegów  E'E,  FG,  GG',  G'F'  i  obcią ż eń  n a  nich  dział ają cych. Z ASTOSOWAN I E  ELASTOOP TYC Z N YC H   BAP AŃ   M OD ELOWYCH 531 W  celu  wycią gnię cia  pewnych  wniosków  jakoś ciowych  odnoś nie  zmiany  naprę ż enia brzegowego  przy  zm ianie  brzegu  oprzemy  się   n a  twierdzeniu  o  bliskoś ci  zasię gu  zmian odkształ ceń.  Twierdzenie  t o  w  pracy  H EYWOOD A  ([10]  s.  122)  podan o  jako  Proximity Rys.  5.  Brzeg  i  jego  wariacja L ow:  «Pole  n aprę ż eń  zm ienia  się   tylko  lokalnie  przez  lokalne  nieregularnoś ci  w  kształ cie ciał a i lokaln y  rozkł ad dział ają cych  sił ». Bliskość  zasię gu  zm ian  pola  n aprę ż eń  przez  lokalną   zmianę   kształ tu  ciał a  został a potwierdzon a  w  rozwią zanych  przez  N EU BORA  zagadnieniach  koncentracji  naprę ż eń  [11]. D ruga  czę ść  przytoczon ego  twierdzenia  jest  odm ianą   sformuł owania  twierdzenia  St.  Ve- n an t a. D owód  twierdzenia  o  bliskoś ci  zasię gu  zm ian  odkształ ceń  przez  wprowadzenie  ele- m en tu  AVzostał   podan y  przez  WASIU TYŃ SKIEGO  W  pracy  [12]. Opierają c  się   n a  twierdzeniu  o  bliskoś ci  zasię gu  zmian  naprę ż eń przez  lokalną   zmianę kształ tu  brzegu  wprowadzim y  poję cie  otoczenia  wpł ywu. W  celu  uproszczenia  rozważ ań  wprowadzimy  definicje  odnoś nie  zagadnienia  pł askie- go :  otoczeniem  wpł ywu  dan ego  pun ktu  należ ą cego  do  brzegu  ciał a  bę dziemy  nazywać taki  przedział   linii  brzegu  AB  (rys.  6),  w  którym  wprowadzenie  zmiany  (karbu)  danego _x2 Rys.  6. Otoczenie wpł ywu  punktu P(xi,  x 2 ) rzę du  wielkoś ci  o  okreś lonej  geometrii  powoduje  w  tym  punkcie  zmianę   naprę ż enia  tego samego  rzę du.  W  zagadn ien iu  przestrzennym  nic  by  się   nie  zmienił o w  powyż szym  sfor- m uł owan iu  jedyn ie,  brzeg  liniowy  należ ał oby  zastą pić  przez  powierzchnię   ograniczają cą, a  stan jedn oosiowy  przez  stan  dwuosiowy. Wielkość  otoczenia  wpł ywu  zależy  od  geometrii  karbu  (zmiany).  Otoczenie  wpł ywu danego  pu n kt u  brzegu  zwię ksza  się   wraz  z  wymiarem  karbu.  Wymiar  karbu  okreś la  ob- szar  dopuszczalnej  zm iennoś ci  brzegu. 532  R.  S.  D OROSZ KIEWICZ ,  J.  LI E T Z ,  S.  OWC Z AREK Rozważ my  zagadnienie  zmiany  naprę ż enia  brzegowego  przy  zmianie  funkcji  brzegu o  ustalonych  koń cach E, F  (rys.  5). W  przeprowadzonych  rozważ aniach  przez  x t ,  x 2   oznaczon o  współ rzę dne  dowolnego pun ktu  rozpatrywanego  zakresu  zmiennoś ci  brzegu.  Z ał óż my,  że  są  to  współ rzę dne  kar- tezjań skie.  N iech  bę dzie  dany  wę zeł   trójramienny  o  brzegu  opisanym  równ an iem o (6)  x 2   =  x 2 {x 1 ). Rozpatrzmy  rodzinę  brzegów  o  postaci (7)  x»"»*a ( w  której  a  oznacza param etr, r)(Xj) funkcja  równ a  zero  n a  koń cach przedział u EF.  Weź my pun kt  P(xx,  x 2 )  (rys.  5) należ ą cy  do  wszystkich  krzywych  rozpatrywanej  rodziny  brzegów. Wartość  naprę ż enia  brzegowego  w  tym  punkcie  bę dzie  róż na  w  zależ noś ci  od  charakteru krzywej  brzegowej.  Zależ ność  tego  naprę ż enia  od  współ rzę dnych  pun ktu  P{x±,   x 2 )  i  po- chodnych  funkcji  brzegu  x{ 2 \   aż  do  rzę du  r  wł ą cznie  m oż na  wyrazić  za  pom ocą  wzoru ( 8)  o f  -   f ( x l t   x»,  x' 2 ,  x' 2 ',  . . . , x 2 k ) ,  ...,  JSr> ) w  kt ó rym / jest  funkcją  cią głą  r+2  zmiennych,  a  r  >  k. Aby  okreś lić  bliż ej  liczbę  k  przeprowadzimy  nastę pują ce  rozum owan ie.  Rozważ my dwie  bliskie  krzywe  x 2 ,  x 2 ,  odpowiadają ce  param etrom  a  =   0,  a  =   1.  N iech  linie  te mają  wspólny  pun kt,  którego  współ rzę dne  oznaczymy  przez  xf Rozwiń my  w  szereg  Taylora  obydwa  brzegi  x 2   i  x 2   w  otoczeniu  pun ktu  xf. (9)  x 2 ( Xl )  =   x£ ' • - (10)  x 2 (x t )  = 2! Tym  dwóm  brzegom  w  punkcie  x\   bę dą  odpowiadać  naprę ż enia  0$  i  ffj  wyznaczone ze  wzoru  (8) ( U )  tf? (12)  ^  / Zał óż my  teraz, że istnieje  taka  liczba  k,  że (13)  x' 2   m  xk>  k  =  k,  ..., X& =  x{ł \ przy  której  obydwie  krzywe  m oż na  przyjąć  za  identyczne w  otoczeniu  wpł ywu  pun ktu  x\ . Z ASTOSOWAN I E  ELASTOOP TYC Z N YC H  BAD AŃ   M OD ELOWYCH   533 Z  zał oż enia  identycznoś ci  obydwóch  brzegów  w  strefie  wpł ywu  pun ktu  P  o  współ - rzę dnych  Xi  ,  xl  wynika  równ ość  naprę ż eń  brzegowych  w  tym  punkcie (14)  a° b =al. Jeż eli  k jest  takie,  że  obydwie  krzywe  (9) i  (10)  m oż na przyją ć  za  identyczne w  otocze- niu  wpł ywu  danego  pu n kt u ,  t o  naprę ż enia  w  obydwu  przypadkach  krzywych  brzegowych bę dą   identyczne.  P onieważ  poch odn e  tych  krzywych  wzglę dem  ich  współ rzę dnych  od rzę du  k  do  r  są   róż ne  zatem  wnioskujemy,  że  naprę ż enie brzegowe  zależy  od pochodnych tylko  od  rzę du  k  wł ą cznie (15)  a b   =  f[x x ,  x it   xiiXi),  x'zixO,  .., ,  xi*% i) L Liczba  k  zależy  bezpoś redn io  od  wielkoś ci  otoczenia  wpł ywu,  albo  mówią c  inaczej od  wielkoś ci  obszaru,  w  którym  dopuszczamy  zmiany  brzegu,  k  jest  tym  wię kszą   liczbą n aturaln ą ,  im  wię ksze  dopuszczam y  otoczenie  krzywej. Jeż eli  zał oż ymy,  że  rozpatrujem y  zmianę   n aprę ż en ia  n a  krzywych  gł adkich  i  w  bez- poś redn im  otoczeniu  danej  krzywej  —  o  mał ych  dopuszczalnych  zmianach  brzegu,  to m oż na  rozpatrywać  n aprę ż en ie  brzegowe  jako  funkcję   współ rzę dnych  kartezjań skich (16)  a b   =  f(xx,  x 2 ). Wynik  rozważ ań  (16)  zostanie  zastosowany  poniż ej  do  wyznaczenia  przybliż onej  war- toś ci  gradientu  n aprę ż en ia  brzegowego  generowanego  przez  zmianę  funkcji  brzegu,  z pola skalarnego  zależ nego  tylko  od  współ rzę dnych  Xi,  x 2 - 5.  M etoda  gradien tu  korygowan ia  kształ tu  brzegu  n a  podstawie  wyników  badań  wstę pnego  modelu 5.1.  Wyprowadzenie  wzorów  na współrzę dne brzegu  poprawionego.  M etoda korygowania  kształ - tu  brzegu  jest  oparta  n a  nastę pują cych  wnioskach  wynikają cych  z  wyż ej  przeprowadzo- nych  rozważ ań: —  kon struowan ie  funkcji  n aprę ż en ia  brzegowego  wystę pują cego  przy  zmianach  brzegu w  dopuszczalnym  obszarze  zmiennoś ci  daje  się   sprowadzić  do  pola  skalarnego  zależ nego od  skoń czonej  liczby  zm iennych niezależ nych, —  rzą d  zmiennych  niezależ nych  przy  kon struowan iu  pola  naprę ż enia  brzegowego w  przypadku  mał ych  obszarów  dopuszczalnej  zmiennoś ci  i  dostatecznie  regularnej  klasy brzegów  może  być  tak  niski,  że  pole  to  m oż na  traktować  jako  zależ ne  tylko  od  współ - rzę dnych  kartezjań skich. Z  teorii  pola  wiadom o,  ż e: (17)  da b   =   grad<76-   dr, (18)  gradom  =   o b , 1 i+o b , 2   j . We  wzorach  (17)  i  (18 o zn aczo n o : dr  —  eds  przyrost  wektora  miejsca, i  wersor  kierun ku  x t . j  wersor  kierun ku  x2 . 4  M ech an ika  Teoretyczn a 534  R. S.  D OROSZKIEWICZ,  J.  LIETZ ,  S.  OWCZAREK Jeż eli  e jest  jednostkowym  wektorem  gradientu,  to przyrost  pola  n aprę ż en ia  wzdł uż jego  linii  o dł ugoś ci  róż niczkowej  ds  wyniesie (19)  da b  = Hgrado- fcH*. Przy  mał ych zmianach  brzegu  moż emy  zastą pić  róż niczki  wystę pują ce  we wzorze  (19) przez  skoń czone  przyrosty,  a wię c: (20)  da b  = a b - a r b ,  ds =  d. Przyję to  tu  nastę pują ce  oznaczenia: ?(,  wartoś ć,  do  której  wyrównujemy  naprę ż enia  brzegowe, a b   wartość  naprę ż enia  brzegowego  w modelu  badan ym , d  róż nica  odległ oś ci  pun któw  brzegu  poprawionego  i  badan ego  m ierzona  wzdł uż wektora  gradientu.  Wielkość  d  przyję to  nazywać  przesunię ciem  brzegu. Podstawiają c  (20)  do  (19)  otrzym ano  wzór  n a  przesunię cie  brzegu m  • • *- !&• Wzór  (21)  może  być  porównywany  n p. ze wzorem  empirycznym  (5)  n a  poprawę   brze- gu, zaproponowanym  przez  H EYWOOD A.  Oznaczają c  współ rzę dne pun ktu, w którym  kształ t ma  być  skorygowany  przez  x±,  x 2 ,  poprawionego  przez X t ,  X 2   znajdujemy: X l   =   A Przyrosty  współ rzę dnych  kartezjań skich  obliczono z  zależ noś ci: (23)  Ax x   =   <5cosa,  Ax 2   =  <5cos/ ?, w  których  cos a,  cos/ ?  cosinusy  kierunkowe  gradientu  pola  naprę ż enia  brzegowego (24)  c o sa -   / ł a  coS9 = Podstawiają c  (23)  i  (24)  do  (22)  otrzym an o  ostatecznie  wzory  n a współ rzę dne  brzegu poprawionego: Y  x   y Ob, i +   ab, 2  o b> !  +  a b>  2 Wzory  (25)  odnoszą   się  do dowolnego  m odelu  i  dowolnych  obcią ż eń  n ań  dział ają - cych.  Przystosowanie  wzoru  (25)  do danego  m odelu  polega  n a przyję ciu  odpowiedniego pola  skalarnego  naprę ż eń  brzegowych  a b . 5.2.  Przykład  obliczenia  współrzę dnych  brzegu  poprawionego  wykonany  w oparciu o wyniki  ba- dań  modelu l.  F unkcje  naprę ż enia  brzegowego  a b   n a  odcinku  EF  (rys. 4)  przyję to poprzez  modyfikację   wzorów  wytrzymał oś ci  m ateriał ów  w  sposób  nastę pują cy:  zakł ada- ją c,  że są  znane  naprę ż enia  n orm aln e  o x   i  a 2   i  biorą c  p o d  uwagę ,  że naprę ż enie  gł ówne o  kierunku  norm alnym  do  brzegu  jest  równe  zeru  (brzeg  nieobcią ż ony)  i  wychodzą c z  pierwszego  niezmiennika  naprę ż eń  I t   okreś lono  wartość  n aprę ż en ia  brzegowego  jako (26)  I t   —  a b   = ffj +  o- 2- Z ASTOSOWAN I E  ELASTOOP TYC Z N YC H   BAD AŃ   M OD ELOWYCH   535 Przyjmują c,  ż e: N ( Xl )  0  _  Mjr,)  N {rj) otrzymano _  0  M(Xl)  N (Xl)  M(rj)  N (rj) "  "  W (x 2 )   T  +   + We  wzorach  (27)  i  (28)  przyję to  nastę pują ce  ozn aczen ia: x ± ,  x 2   współ rzę dne  dowolnego  pun ktu  rozpatrywanego  brzegu  EF  (rys.  4), M(x l ),N (x 1 )  m om en t  zginają cy  i  sił a  wzdł uż na  w  przekroju  poziomym  sł upa,  odnie- sione  do jego  ś rodka  cię ż koś ci, M(7]),N (rj)  m om en t  zginają cy  i  sił a  wzdł uż na  w  przekroju  pionowym  belki,  odnie- sione  do jej  ś rodka  cię ż koś ci, W (x 2 ),  A(x 2 )  wskaź nik  wytrzymał oś ci  i  pole  przekroju  poziomego  sł upa, W (Xi),  A(x L )  wskaź nik  wytrzymał oś ci  i  pole  przekroju  pionowego  belki. Wzór  przybliż ony  (28)  mógł by  być  zastosowany  do  wyznaczenia  współ rzę dnych  brze- gu  poprawionego  ze  wzoru  (25),  bowiem  w  przedstawianej  metodzie  nie  postuluje  się ś cisł ego  okreś lania  pola  n aprę ż en ia  brzegowego.  Stawiane  jest  jedynie  wymaganie,  aby zależ ność  naprę ż enia  brzegowego  od  współ rzę dnych  brzegu  był a  wyprowadzona  z  roz- waż ań  przybliż onych,  ja k  n a  przykł ad  w  tym  przypadku  przy  uż yciu  wzorów  wytrzyma- ł oś ci  m ateriał ów.  Jedn akże  jest  oczywiste,  że  im  ś ciś lejszą  postać  funkcji  przyjmiemy  za podstawę  do  obliczenia  gradien tu  naprę ż enia  brzegowego  tym  wyniki  bę dą  lepsze.  D ą ż ąc do  uś ciś lenia  wzoru  (28)  wprowadzon o  współ czynniki  funkcyjne  (29): (29)  fl Wprowadzając  współ czynniki  (29)  do  wzoru  (28)  otrzym an o a„  -   \ P ostać  wyraż eń  (29)  został a  zapropon owan a  p o  porówn an iu  wyników  z  badań  czte- rech  modeli  z  pierwszego  etapu  bad ań  z  wartoś ciami  wyznaczonymi  ze  wzoru  (30). Współ czynnik  /? jest  współ czynnikiem  koncentracji  naprę ż eń  w  punkcie  o  współ rzę d- nej  x ±   =  0,  x 2   =   b  (pun kt  E  n a  rys.  4),  a  współ czynnik  (33 jest  współ czynnikiem  koncen- tracji  w  pun kcie  m odelu  o  współ rzę dnych  x 2   =  h,x±   =  l- a  (punkt  F n a  rys.  4). M oż na się  o  tym  ł atwo  przekon ać  podstawiając  współ rzę dne  pun któw  E  i  F  do  wzoru  (30). (31) ,  N (Xj) W (x 2 )   +   A(x 2 ) Xi  =   0 x 2   =   b N in) W (Xi)   +   A(Xi) Xi  =  l- a x 2 We  wzorze  (31)  a\   oznacza  naprę ż enie  brzegowe  otrzym ane  z  badań . Współ czynniki  / Sj, / 93  wyznaczone  po  wykon an iu  pierwszego  etapu  badań  wynosił y: h  =   1,025,  £ 3  =   1,243. 536  R.  S.  D OROSZKIEWICZ,  J.  LIETZ ,  S.  OWCZAREK M omenty  i  sił y  podł uż ne  w  przypadku  modelu  1  (rys. 4) są   okreś lone  nastę pują cym} funkcjami: .Wfa)  -   J ^ Xi,  N (x 1 )=N A , (32)  M{rj)  =  M( Xl ,  x 2 ) =   i VB . Podstawiają c  dane z badań P  =  75 kG , g  =  30 kG , sin a  =   0,5547,  cos a  =  0,8321  otrzy- mamy : N A.  =  2 i > + gsi n a  =   150 +  30- 0,5547  =   166,4  kG , T A   =  gc o sa  =   30 •   0,8321  =  25  kG , T D   =  P+Qsina  =  75 +  30-  0,5547  =   91,41  kG , JVC  =  gc o sa  =  30 •   0,8321  =  25 kG . F unkcje  okreś lają ce  param etry  geometryczne  w  przypadku  m odelu  1  mają   post ać: W {x 2 )  = ^ - {x 2 )\   A(x 2 )=2gx 2 , (33) Podstawiają c  (33) i  (32) do (30) przy  danych /  =  8 cm, l t   = 4 cm, a =   3 cm, g  =   1  cm, =   0,81 cm otrzym an o: 548, 45( 12- x2) - 75( 5- x1)  25 + Przez róż niczkowanie (34) otrzymano: 3 7 , 5 / 4 - x2 \ 2 a  ,  \   1096, 9( 12- x2) - 150( 5- )̂  75 fff- ,i =  ~^f~\ ~37i9~/   ^ 1 +  [  ( 11- xi)3  (11 - xt ) 2 25  1 / ^ W  ,  [  1096, 9( 12- x2) - 150( 5- )̂  ,  50 ( 3 5 )  ^ ^ - l T / [ f a !  83,21 ( 4 - 19 166,4] f4 - x2  548,45 J L I ^ "  PI ~  di- x) Podstawiają c  współ rzę dne  w  dziesię ciu  pun ktach  brzegu  obliczono  wartoś ci  num e- ryczne  pochodnych  danych  wzorem  (35).  Wyniki  zestawiono  w  tablicy  1, kt ó ra  zawiera również  wartoś ci  naprę ż eń  brzegowych  otrzymanych  z  badań  modelu  1.  W  tablicy  tej wykonano  obliczenie  współ rzę dnych  brzegu  poprawionego  wedł ug  wzoru  (25) n a  pod- stawie  wyników  badań  modelu  1.  Wykres  kształ tu  wykonany  w  oparciu  o  obliczone w  tablicy  współ rzę dne  brzegu  poprawionego  przedstawiono  n a rys.  ł l a . Wykres  ten jest ^  °  o" O  M  rn  rt  (S  N" n  m  r f ~  l ^ O O O O i n > n \ O Q V O O Q O .  ̂ Q Q O C N C O I - H O O N O O ^  5   O O O O ' - i m i r i ' o o o O O  «  N  m  • * • * rl-" * ł  r f  w-T n • ii.  i - ł ^ C ^ O O t ^ i - H C S OO Q  J a  c l o o o S o o o S © • *  TJ  O  ©  O  O  O" O  O"  O"  O"  o" O" 1  1  1  1  1  1  1  1 1 00 in 1 —i II  h » M t o i n i O Q ^ O O Ib  K  i=l  0 0 0 © ' - < ' - i » - < 0 00 ,_(  ~  o" o" o" o" O  O" O  o" o" O s 1 {  : - 1?  § 8 8 8 8 § l 8 8 S - a  t>   H  g  © o c T o o o o o o c ? Jg  ^ "  8  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 î   *•*  Y  ^4  o o O t - H t - o o o o o o t ^ i r- •   f  t  «u  8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 • g  ««•   8  o o o o o o o o o o «  to - f-   —-   i ^ i ^ m O ^ O W - i T - i v o 'o g •a  ,  fi  ł i i O T t n m t O i J t o i n n,  to  ?U  t«  » i o  o \ i f  M « M  » to  CL  f n ( N f S m t - w O ( N ^ I ~ ~ J Tg,  m  t>   o  » A O »  »  a  *  »  H N  N  fi  h.   N  iO  rt  CO 1O  H  VI  O  O\ o .  ° 0  I I I I Ul  " w i l l i "I §  TH  E  t - < t ^h - o ^c m v£ ) o o in ON M  *"  - =i  o\"  *  m  o  vo  • * r i  n  m  o •S  to  rt  m n v n o » o > O H M m 0 _,  ~  5  N  m «  n  w m i-T  T-7  o"  o" g  r W  V l r - J T - H i — 1 » — I i - H ł — l i — 1 XI  to  ^> H  0  N » O l » H « O l O l N N VJ2  G \ S rf  VO  r f  O"   • *"  \o"  \O"  00"  «T to  ^ t  O ' * ^ ' * ^ ' T ' * ' * - I o 1 ' > T - ł O \ t ^ ^ i —1   M    ̂  ̂ H  O M   Ci  O O C O O C O O C N ^ O O T J O ^  o .   c T o i - ^ r - i M M t N c n c o T j* n  d  O O O O O f N M - ' - O O OO X  g  o" «  N  m" * " ł  • •  *  Tf  ul [537] 538 R.  S.  D OROSZKIEWICZ,  J.  LIETZ ,  S.  OWCZAREK jednocześ nie  kształ tem  brzegu  modelu  3  poddawan ego  badan iom  w  stanie  zgię ciowym w  etapie  drugim.  Analogicznie  n a  podstawie  wyników  badań  m odelu  5  zaprojektowan o model  6 do badań w  stanie bezzgię ciowym  w  etapie  drugim  (rys.  li b ) . 6.  Opis badań Wykonano  badan ia  sześ ciu  modeli.  W  etapie  pierwszym  wykon an o  badan ia  czterech modeli.  N um eram i 1 i 2  oznaczono modele badan e  w  stanie zgię ciowym,  a  n um eram i 4 i  5 w  stanie  bezzgię ciowym  sł upa.  W  etapie  drugim  wykon an o  badan ia  dwóch  m odeli:  sta- nowi  zgię ciowemu  obcią ż eń  odpowiada  N r  3,  a  stanowi  bezzgię ciowemu  N r  6. Jak  wspomniano  wyż ej  kryterium  stał oś ci  naprę ż enia  brzegowego  sprowadza  się w  elastooptyce  do  ł atwo  sprawdzalnego,  wizualnego  efektu  równoległ oś ci  skrajnej  izo- chromy  do  kształ towanego  brzegu.  P oszukiwano  wię c  takich  kształ tów  m odelu,  przy których  skrajna  izochroma  był a  równoległ a  do  kształ towanej  krawę dzi  n a  odcinkach EF,  F'L '  w  stanie  zgię ciowym  i  EFL ,  E'F'V  w  stanie  bezzgię ciowym  sł upa  (rys.  4). M odele  wykonano  z  materiał u  elastooptycznego  VP  1527  w  stanie  wygrzewanym. Obcią ż enia  w  postaci  trzech  sił   skupion ych:  dwóch  pionowych  P  i jednej  ukoś nej  Q  rea- lizowano  bezpoś rednio  przez  ukł ad  dź wigni  i  krą ż ka.  Badan ia  wykon an o  w  polarysko- pie  o  ś rednicy  pola  widzenia  30  cm  w  ś wietle  rozproszon ym .  W  każ dym  przypadku  ob- cią ż enia  rejestrowano  obrazy  izochrom  cał kowitych  i  poł ówkowych.  Obrazy  izochrom uzyskiwano  w  monochromatycznym ś wietle  sodowym.  Obrazy  te  rejestrowano  za pom ocą aparatu  Exacta  Varex'n a  bł onie  panchromatycznej  o  czuł oś ci  10 D I N . Rys.  7. Obrazy  izochrom w modelach przy  obcią ż eniu  P  -   75 kG , Q  =   30 kG ;  a) model  1, b)  mo- del  2 W  badaniach  etapu  pierwszego  n a  podstawie  zdję ć  izochrom  wykon an o  wykresy naprę ż eń  brzegowych. Izochromy  przy  sił ach P  =   75  kG , Q  =   30  kG   w  m odelu  1 przedstawion o  n a  rys.  7a, a  w  modelu  2  na  rys.  7b. Rys.  8.  Wykresy  naprę ż eń  brzegowych  przy  obcią ż eniu  P  =   75 kG ,  Q  =   30  kG ;  a)  model  1, b) model 2 1539] 540 R.  S.  D OROSZKIEWICZ, J.  LIETZ ,  S.  OWCZAREK Wykresy  naprę ż eń  brzegowych  przy  tym  obcią ż eniu  wykon an o  n a  rysun kach  8a  i  8b. Obraz izochrom w modelu 4 przy  sile P  =   110 k G  i w m odelu  5 przy  sile P  =   112,5 kG przedstawiono  n a  rys.  9,  a  wykresy  naprę ż eń  brzegowych  wykon an o  n a  rys.  10. Badania  w  etapie  drugim  wykonano  przy  róż nych  wartoś ciach  sił   P  i  Q.  W  stanie zgię ciowym  sił y  te  zmieniono  proporcjonalnie  tak,  że  ich  stosunek  wynosił   P:Q  =   2,5 i  był   równy  stosunkowi  tych  sił  w  etapie  pierwszym.  P onieważ  efekt  równoległ oś ci  skraj- nej  izochromy  do  brzegu  w  badan iach  etapu  drugiego  był   niewą tpliwy,  zdję cia  izochrom Rys.  9. Obraz  izochrom  w  modelach;  a)  model  4  pod  obcią ż eniem  P  =  110  kG ,  b)  model  5  pod obcią ż eniem  P  =   112,5 kG wykonywano  przy  obcią ż eniach  odpowiadają cych  poł oż en iom  skrajnych  izochrom  na brzegu  badanego  modelu. Zdję cia  odpowiadają ce  poł oż eniom  n a  brzegu  m odelu  3  kolejnych  poł ówkowych izochrom  od  rzę du  0,5  do  3,5  zestawiono  n a  rys.  12a.  Analogiczne  zdję cia  izochrom  n a brzegu  modelu  6 zestawiono  na  rys.  12b. N a  podstawie  rys.  12a  i  12b  stwierdzono,  że  kształ t  brzegu  modelu  3  (rys.  l l a )  może być  przyję ty  (rys.  li b )  jako  rozwią zanie  stanu  zgię ciowego,  a  kształ t  m odelu  6 —  stanu bezzgię ciowego  sł upa. U zyskanie  zadowalają cego  speł nienia  warunku  kształ towan ia  ju ż  w  drugim  etapie  ba- dań  stanowi  potwierdzenie  opisanej  w  punkcie  5  metody  korekcji  brzegów.  Z dan iem autorów  niniejszego  artykuł u  dalszy  postę p  w  rozwią zywaniu  zagadnień  wyznaczania kształ tów  brzegu  modelu jest  zależ ny  od  udoskon alen ia  techn iki  badawczej  oraz dokł ad- noś ci  wykonywania  badanego  modelu. 7. Wnioski  ogólne dotyczą ce kształ tu brzegu  równej  wytrzymał oś ci Pierwsze  kolejne  pochodn e  funkcji  brzegu  równej  wytrzymał oś ci  są   cią głe  wzglę dem jego  współ rzę dnych. Rys.  10. Wykresy  naprę ż eń  brzegowych:  a)  w  modelu  4  pod  obcią ż eniem  P  =   110  kG , b)  w mo- delu  5 pod  obcią ż eniem P  =   112,5 kG [541] Rys.  11. Wyznaczone  kształ ty  brzegów  równej  wytrzymał oś ci:  a)  stan  zgię ciowy  modelu,  b)  stan bezzgię ciowy  modelu Rys.  12. Obrazy  izochrom  poł ówkowych  w  modelach  przy  obcią ż eniach  odpowiadają cych  poł o- ż eniom na brzegu ich kolejnych  rzę dów  od 0,5  do 3,5.;  a) model 3, b) model 6 [542] ZASTOSOWANIE  ELASTOOPTYCZNYCH   BADAŃ   MODELOWYCH 543 D ł ugość linii  ł ą czą cej  dwie  czę ś ci jest  wię ksza  od  strony  tej  czę ś ci,  która  posiada  wię k- sze  n om in aln e  n aprę ż en ie.  Jeż eli  nom inaln e  naprę ż enie  wzdł uż  strony  A  (rys.  13)  jest wię ksze  w  porówn an iu  ze  stron ą   B,  wtedy  linia  ł ą czą ca  pun kty  G  i  B  o  stał ym  naprę ż e- niu  m a  kształ t, ja k  pokazan o  n a  rysunku.  W  przypadku,  kiedy  szerokoś ci  ł ą czonych bo- ków  a  i  d  są   równ e  i  z  obydwu  stron  wystę pują   równe  naprę ż enia  nominalne, linia  brze- gu  jest  symetryczna  wzglę dem  jej  ś rodka,  AEB  n a  rys.  13.  P rom ień  krzywizny  jest  naj- wię kszy  w  pun kcie  A  i  B,  a  najmniejszy  w  punkcie  ś rodkowym.  P odobn a  jest  relacja pomię dzy  stosunkiem  szerokoś ci  ś cian  ł ą czonych  czę ś ci,  a:d.  Linia  brzegu  jest  dł uż sza od  strony  elementu  o  mniejszej  szerokoś ci,  GCB  n a  rys.  13.  Kształ t  linii  brzegu  zależy Rys.  13.  Zależ ność  kształ tu  brzegu  od na- prę ż enia  nominalnego  i  stosunku  szerokoś ci boków ,  d „ B A  a; od  typu  obcią ż enia,  peł niejszy  przekrój  jest  wymagany  dla  obcią ż enia  rozcią gają cego niż  dla  zginania  lub  skrę can ia  (rys.  2). D otychczas  nie  został a  opracowan a  m etoda,  która  pozwolił aby  na  drodze  teoretycz- nej  wyznaczyć  linie  brzegu  równej  wytrzymał oś ci  konstrukcji  pł askiej  przy  dowolnym obcią ż eniu.  D latego  też  przy  projektowan iu  nowych  konstrukcji  podlegają cych  zł oż o- nym  stan om  obcią ż enia  n ad al  konieczne  jest  stosowanie  badań  eksperymentalnych. P rzedstawion a  w  pun kcie  5  m etoda  poprawy  brzegu  stanowi  dalszy  postę p  w  rozwią - zywaniu  zagadnienia  wyznaczania  linii  brzegu  o  stał ym  naprę ż eniu  poprzez  elastooptycz- ne  badan ia  m odelowe. Literatuta  cytowana  w  tekś cie 1.  I .  BABUSKA,  J. KAU TSKY,  Ein Beitrag zur  T heorie  der Kerbspannungen,  ZAM M , 41  (1961). 2.  J.  KAU TSKY,  Aproximation of  solution of  Dirichlet's problem on nearly circular  domains  and  their  ap- plications  in numerical methods,  Aplikace  matematiky,  3  (1962). 3.  I \   I I .  ^EPEnAHOB,  06panman  ynpyzo- n/ iacmunecKan  3adaua e ycjioeunx UJIOCKOU  defiopMaifUU,  H 3B. Anafl.  HayK  C C C P ,  Oip,.  T ex.  HayK.  M ex. H   M ain .,  1  (1963). 4.  I . BABUSKA,  J. KAU TSKY,  Vber die  Optimerung von Kerbformen,  ZAM M , 43/ 1, 2  (1963). 5.  R. V.  BAU D , Fillet profiles for  constant stress,  M achinist, June 23,1934. Product Engg.  Apr.  1934,  133. 6.  A.  TH U M  and  W.  BAU TZ , Photoelastic analysis of  streamline fillets,  F orsch. Ing. Wessen, 6 (1935),  269. 7.  A. J.  D U RELLI, W. M .  M U RRAY,  Stress distribution  around  an  alliptical discontinuity in any two  di- mensional,  uniform and axial, system of  combined  stress, P roc.  Soc.  Exp. Stress.  Anal.,  1, 1  (1943). 8.  R. B.  H EYWOOD ,  T ensile fillet  stresses loaded projections,  Optimum thread from.  P roc. I M E,  195  (1948). 9.  R. B. H EYWOOD , Modern applications ofphotoelasticity,  P roc. Inst. Mech. Engrs.,  158 (1948). 10.  R. B.  H EYWOOD , Designing  by photoelasticity,  Chapman, H all., London  1952. 11.  H .  N EU BER, Kerbspannungslehre,  Berlin  1938. 544  R. S.  D OROSZKIEWICZ,  J.  LIETZ ,  S.  OWCZAREK 12.  Z . WASIUTYŃ SKI,  A  theorem  on  the  concentration  of  load reinforcement  effect  of  structure,  Bull.  Acad Polon. Soi., Serie Sci. Techn., 3,17  (1969). 13,  S.  OWCZAREK,  Stan  naprę ż enia  na brzegu  poł ą czenia belki  ze  sł upem, Inż ynieria  i  Budownictwo,  gru- dzień  1969. P  e 3 io  M e I1PHMEHEHHE  nOJI3PH 3Al];H OH H O -  OnTIWECKH X  MOflEJISHblX HCCJIEJJOBAHHK  JLHfl  onPEflEJIEH H H   OIITHMAJILHLIX  O^tEPTAHHfł njIOG KHX  KOHCTPYKUHfl; CcfiopiwyjisipoBaHa  san a^ a  06  onpefleneraiH   c rep T am iii  IU IOCKH X  KOHCTpyKu;Hit,  yfl,OBJieTBopjiiom,HX ycjioBHK)  nocTOHHCTBa  nanpji>KeHHH   n a  iKeHHH. MeTOfl  HJiJiiocTpHpyeTCH   npiiMepoM   onpefleneiiH H   JIH H H H   n e p e xo ^ a  OT 6aJirai  K onopnoiviy  CTonSy. S u m m a r y APPLICATION   OF   PH OTOELASTIC  M OD EL IN VESTIG ATION S  F OR  D ETER M I N ATI ON   OF OPTIM U M   SHAPES  OF   TWO- D IM EN SION AL  STRU CTU RES The  problem of  determination of shapes  of plane structures satisfying  the condition of constant bound- ary  stresses  is  formulated  in  the paper.  Survey  of  relevant  literature  on  this  subject  is  given.  Moreover, an  experimental method consisting  in improving  the initial  model by  adding  or substracting  some material is presented in a more detailed manner. The displacement of  the  boundary calculated  on the basis  of  photo- elastic  investigations  and  an  approximate value  of  the stress  gradient  give  the new  improved  shape  of  th e model. This  procedure may  be  repeated  as  long  as  the uniform  boundary  stress  is  obtained. The method described  is  illustrated  on  the  example  of  determination  of  the  transition  line  between  a  column  and a  beam. N I STYTU T  P OD STAWOWYC H   P R O BLE M Ó W  T E C H N I K I  P AN Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  4  paź dziernika  1971  r.