Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  10 (1972)

SZACOWAN IE  WSPÓŁCZYN N IKA  TARCIA NA CZOŁACH  Ś CISKAN EJ  PLASTYCZN IE PRÓBKI
WALCOWEJ

Z D Z I S Ł AW  M A L I N O W S K I ,  J AN U S Z  K L E P A C Z K O  ( WAR S Z AWA)

1. Zał oż enia wstę pne

D otychczasowa  literatura  dotyczą ca  plastycznego  ś ciskania  próbek  walcowych  po-
mię dzy  praktycznie  nieodksztalcalnym i  pł ytami  jest  niezwykle  obszerna.  D okł adne  po-
znanie  wszystkich  efektów  towarzyszą cych  próbie  ś ciskania  materiał ów,  w  tym  metali,
stanowi  podstawowy  problem  w  badan iu  ich  wł asnoś ci  plastycznych.  Przy  czym  moż na
tu  wyróż nić  nastę pują ce  trzy  kierun ki  badawcze:

a)  teoretyczny  opis  procesu  ś ciskania  krą ż ków  n a  gruncie  teorii  plastycznoś ci,  w któ-
rym  zmierza  się   do  coraz  bardziej  dokł adn ego uję cia  problem u,

b)  doś wiadczalne  wyznaczanie  krzywych  um ocnienia  dla  warunków  idealnych  (bez
tarcia)  przez  sprowadzenie  rezultatów  uzyskanych  dla  próbek  o  róż nej  smukł oś ci  s

0
  =

=  h
o
jd

o
  do  wartoś ci  dla  s

0
  =  oo;  h

0
  oznacza  począ tkową   wysokość  próblki,  d

0
  oznacza

jej  począ tkową   ś rednicę,

c) doś wiadczalne  okreś lanie  przy  pom ocy  ś ciskania  cienkich  krą ż ków  najbardziej
przydatn ych  sm arów  z  pu n kt u  widzenia  technologii  plastycznego  formowania  metali,  co
wią że  się   bezpoś redn io  z  wartoś ciami  współ czynnika  tarcia  n a  czoł ach  krą ż ka.

Również  literatura  dotyczą ca  teoretycznej  analizy  procesu  plastycznego  ś ciskania  krą ż-
ków  jest  bardzo  obszern a.  N ależy  t u  wymienić  przede  wszystkim  klasyczną   pracę   SIEBLA
[11].  W  pracy  tej  zał oż on o,  że  a

r
  =   crfl  oraz  przyję to  warun ek  plastycznoś ci  w  postaci

o"o =   a
z
  — a

r
.  N astę pn ie  przekształ con o  uproszczone  równanie  równowagi  zapisane

we  współ rzę dnych  cylindrycznych  (z, r, 6)

\ i- J  _

ar

do  postaci

Z  kolei  cał kują c  równ an ie  (2)  dla  warun ku  brzegowego  a
x
  =  a

0
,  gdy  r  =   a  otrzym ano

nastę pują cą   zależ ność  opisują cą   rozkł ad naprę ż eń poosiowych  w  funkcji  prom ienia

(3)  a
z
(r)  m



562  Z.  MALIN OWSKI,  J.  KLEPACZKO

gdzie fi  oznacza  współ czynnik  tarcia, a
Q
  jest  aktualn ym  naprę ż eniem  plastycznego  pł ynię -

cia  przy  ś ciskaniu,  h  stanowi  bież ą cą   wysokość  krą ż ka,  a  jest  bież ą cym  m aksym alnym
prom ieniem .

Ś rednie  naprę ż enie poosiowe  <xz uzyskuje  się   przez  scał kowanie  wyraż enia  (3) i podzie-
lenie  wyniku  przez  aktualn e pole  przekroju  próbki,  stą d

(4)

gdzie

Ifia

h  •

P onieważ  speł niony jest  warunek  stał ej  obję toś ci  m ateriał u  próbki,  to  zachodzi  równ ość

a
2
h  =  a%h

0

wyraż enie  n a  a.  przekształ ca  się   do  pos taci

2fca
o
hh'

2

(5)
h

3
'
2

W pracy  [10] wykazano,  że wyraż enia  (3) i  (4) są   sł uszne jedynie  wtedy,  gdy  współ czyn-
nik  tarcia  / u,  przy  danej  wratoś ci  ajh,  nie przekracza  pewnej  wartoś ci  krytycznej  fi

k
,  którą

wyznacza  się   z  warunku

(6 )  —   ̂ —ł —

G dy  warunek  (6)  nie  jest  speł niony,  to  dla  r  ^  r
k
,  przy  ograniczeniu  0  <  r

k
  <  a,  poja-

wia  się   pewna  strefa,  gdzie  obserwuje  się   tarcie  sczepne  i  wzajemny  poś lizg  m ateriał u
próbki  wzglę dem  ś ciskają cej  pł yty  nie  zachodzi.  Bardziej  szczegół owa  dyskusja  tego  zja-
wiska  wraz  z  odpowiednimi  zależ noś ciami  na  naprę ż enie  ś rednie  a

z
  został a  zamieszczona

n a  przykł ad w pracach  [10] i  [12].

Przedstawione  rozwią zanie  (4) jest  rozwią zaniem  przybliż onym,  a  p o n ad t o  ogranicza
się   do  odpowiednio  mał ych wartoś ci  odkształ cenia i  współ czynnika  tarcia  JJL .

P róbę   bardziej  dokł adnego  rozwią zania  zagadnienia  przy  dowolnych  wartoś ciach
współ czynnika  tarcia  \ i podję to  w  pracy  [7] wykorzystują c  graficzną   m etodę   kon struowa-
n ia pól statycznie i kinematycznie dopuszczalnych, zapropon owan ą  pierwotnie  w  pracy  [9],

Pewne  przybliż one  metody  szacowania  ś redniego  nacisku  om ówion o  także  w  pracy
[13].  N ależy  podkreś lić,  że  wspomniane  rozważ ania  teoretyczne  ograniczają   się   jedynie
do  modelu  ciał a  sztywno- idealnie  plastycznego.

N ieco  odmienne  zagadnienie  stanowią   prace  teoretyczne  uwzglę dniają ce  w  procesie
ś ciskania  również  lepkość  m ateriał u,  a  także  jego  bezwł adność  poprzeczną ,  należy  tu
wymienić  prace  [2],  [4] oraz  [5].

Spoś ród  prac  dotyczą cych  drugiego  kierunku  należy  przede  wszystkim  wymienić
pracę   [3], gdzie po  przeprowadzeniu  serii  doś wiadczeń  n a  próbkach  o róż nej  smukł oś ci  s

0
,

ograniczono się  do wyznaczenia krzywych um ocnienia miedzi i kilku jej  stopów  dla s
0
  =  co.

M etoda  t a  był a póź niej  wielokrotnie  wykorzystywana  przez  róż nych  autorów.



SZ AC O WAN I E  WSP ÓŁ C Z YN N I KA  TAR C I A  563

Wreszcie  spoś ród  prac  ostatniej  grupy  m oż na  wymienić  wspomnianą   pracę   [10]  oraz
po n adt o  prace  [6],  [8]  i  [14].  We  wszystkich  wymienionych  w  tej  grupie  pracach  wyniki
doś wiadczeń  n an oszon o  w  postaci  wykresów  we  współ rzę dnych  (aja

o
,  ajh)  celem  po-

równ an ia  z  wynikiem  teoretycznym  (4),  który  w  tych  współ rzę dnych  przedstawiano
w  postaci  rodziny  linii  dla  stał ych  wartoś ci  współ czynnika  tarcia  / / ..  Stwierdzono,  że  dla
mał ych  wartoś ci  / x zależ ność  (4)  wykazuje  zadowalają cą   dokł adność w  porównaniu  z  wy-
n ikam i  doś wiadczalnymi.  P on adt o  w  pracach  [6]  i  [14]  zmierzono  doś wiadczalnie  przy
pom ocy  odpowiedn ich  m in iaturowych  czujników  szpilkowych  rozkł ad  naprę ż eń  normal-
nych  a

z
(r)  wzdł uż  prom ien ia,  stwierdzają c  dla  wartoś ci  e  mniejszych  od  0,05  dobrą   zgod-

n ość  z  równ an iem  (3).

2.  P odstawowe  zależ noś ci

P onieważ  przeprowadzon e  przez  innych  autorów  doś wiadczenia  potwierdza  ją   przy
datn ość  równ an ia  (4),  dla  warun ków  praktycznych  istnieje  zatem  moż liwość  bezpoś red-
niego  szacowania  współ czynników  tarcia  przy  wykorzystaniu  tego  równania.  N ależy
jedn ak  zał oż yć,  że  współ czynniki  tarcia  oraz  m aksym alne  odkształ cenia  nie  przekraczają
odpowiednich  wartoś ci  przy  równoczesnym  speł nieniu  warun ku  (6).

P o  wprowadzeniu  inż ynierskiej  m iary  odkształ cenia

h
o
- h

e  =  — ;  lub  h  =   flo(l- e)
h

0

oraz  warunku  nieś ciś liwoś ci  m ateriał u  krą ż ka

a  =   a
o
l—^- )  lub  a  — a

o
(l  — e ) " 1 ' 2 ,

równanie  (3) przekształ ca  się   do  postaci

(7)  / ?(r)  •

gdzie

oraz  n a podstawie  (5)

„  _

Jak  wspom n ian o  poprzedn io,  s
0
  oznacza  począ tkową   smukł ość  próbki.  Równanie  (4)

oraz  warunek  (6) m oż na zapisać  w  formie

(9)  ^A- -̂ D;  f.A,

(10)



564  Z .  MALIN OWSKI,  J.  KLEPACZKO

Otrzym ane  zależ noś ci  (7),  (8)  i  (9)  umoż liwiają   wyznaczanie  w  róż ny  sposób  współ czyn-
n ika tarcia \ i w  oparciu  o  odpowiednie  dan e  doś wiadczalne.

I tak,  dysponują c  zredukowanym  rozkł adem naprę ż eń (i(r) wzdł uż prom ien ia, otrzyma-
nym  n a  drodze  doś wiadczalnej  z  pom iarów  czujnikami  szpilkowymi,  m oż na  wyznaczyć
/ n(r)  posł ugują c  się   zależ noś cią   (7), stą d

(
a

0

Ponieważ jedn ak  przy  wyprowadzaniu  wzoru  (7)  zał oż on o,  że  \ i  nie  zależy  od  r,  bł ą d  t ak
wyznaczonego  rozkł adu  / u(r)  jest  tym  wię kszy,  im. wartoś ci  fi(r)  bardziej  odbiegają   od
wartoś ci  stał ej.  Stą d  też  postę powanie  takie  jest  racjonalne,  gdy  wartoś ci  e  i  //   są   odpo-
wiednio  mał e.  W  ten  sposób  obliczono  w  pracy  [14]  wartoś ci  / x(r) dla  alum inium  przy
e  =   0,02  i przy  uż yciu  mydł a jako  smaru.

Jeż eli  rozkł ad współ czynnika  tarcia  fj. nie jest  stał y  wzdł uż  prom ien ia,  m oż na  również
wyznaczyć  fi(r)  bezpoś rednio  z  równ an ia  (2).  D okł adn a  m etoda  oparta  n a  lokalnych  po-
m iarach  nacisku  a

z
  i  naprę ż enia stycznego  r  czujnikami  szpilkowymi,  skoś nie  umieszczo-

nymi  n a  osi  z,  został a opisana  w  pracy  [14]. U zyskan e  n a  podstawie  tej  m etody rozkł ady
fi(r)  są   jakoś ciowo  podobn e  do  wynikają cych  ze  wzorów  (2)  i  (7).  G dy  nie  dysponuje  się
doś wiadczalnie  wyznaczonym  rozkł adem fi(r), a jedynie  wartoś cią   n aprę ż en ia  ś redniego /S,
moż na  korzystają c  z  zależ noś ci  (9) wyznaczyć  ś rednią   wartość  p,.  W  tym  celu  należy  prze-
prowadzić  serię - doś wiadczeń  pozwalają cych  n a  otrzymanie  zależ noś ci  fl(s

Q
,  s),  gdzie  po-

czą tkowa  smukł ość  s
0
  jest  param etrem .  P onieważ  jedn ak  \ i  wchodzi  do  zależ noś ci  (9)

w  sposób  uwikł any,  przeto  wartość  współ czynnika  tarcia  należy  wyznaczyć  n a  drodze
numerycznej.  D odatkową   trudnoś cią  jest  posł ugiwanie  się   m odelem  ciał a  sztywno- idealnie
plastycznego  dla  opisu  zachowania  się   realnych metali  wykazują cych  zjawisko um ocnienia.

Zjawisko  umocnienia m oż na  do  pewnego  stopnia  uwzglę dnić  przyjmują c  ja ko  a
0
  dla

danego  odkształ cenia  wartość  a  odpowiadają cą   tem u  samemu  odkształ ceniu  n a  rzeczy-
wistej  krzywej  umocnienia  uzyskanej  dla  s

0
  - »•   oo.  Sytuacja  t aka  został a  przedstawiona

n a  rys.  1.

Równanie  (9)  może  zostać  wykorzystane  do  obliczeń  numerycznych  p, przy  pom ocy
kolejnych  przybliż eń:  w  dwóch  nastę pują cych  postaciach :

(12)

lub

(1 3)

P rzy  danych  wartoś ciach  s
0
,  P  oraz  e  należy  dać  spodziewaną   wartość  / u  i  z  równ an ia

(8)  obliczyć  a,  a  nastę pnie  sprawdzić  zależ ność  (12)  lub  (13).  Kolejne  przybliż enia  pro-
wadzą   do wyznaczenia  dokł adnej wartoś ci  [i.



SZACOWANIE  WSPÓŁCZYNNIKA  TARCIA 565

P o  rozwinię ciu  ea w szereg  oraz przy  zał oż eniu mał ych wartoś ci  a równanie  (9) moż na
zapisać w formie

(14)  /?  =

Rys.  1.  Schemat  wyznaczania  obliczeniowej  wartoś ci  naprę ż enia  plastycznego  pł ynię cia  a
Q
  dla

danego  odkształ cenia

P o  pominię ciu  wyrazów  zawierają cych  a  w  potę dze  wyż szej  od jednoś ci  otrzymuje się

wzór  przybliż ony

(15)
  M

  =  3
So

(i-
e
yi

2
(j- i).

Ze  wzglę du  na to, że wyniki  doś wiadczalne  nie  zawsze  pozwalają   na  dokł adne wyzna-
czenie  a

0
  dla s

0
  K, oo m oż na  skorzystać  z  równania  (12)  przekształ conego  do postaci

(16)
d/ j,

8s
0

1L
ds0  I'

dfx  .
przy  czym  w  praktyce  wyraż enie  s

o
- z—  jest  zwykle  pomijane.  Pominię cie  wyraż enia

s
0
  jest  równoznaczne z zał oż eniem / J,(S

0
)  =  const.

os
0

W  takim  przypadku  wzór  (16) przyjmuje  postać

(17)  p  • -   -
2  ( e "- l)  1 -

ds
n

oraz w przybliż eniu

(18) JŁ
ds

0

N ależy  zatem  zróż niczkować  wzglę dem  s
0
  otrzymaną   z  doś wiadczeń  zależ ność  f3(s

0
, e),

a  wartoś ci  pochodnej,   ^
8s

0

podstawić  do równania  (16) i obliczyć fi.

6  M ech an ika  Teoretyczn a



566 Z .  M AL I N O WSK I ,  J.  K L E P AC Z K O

Otrzymano  wię c  kilka  zależ noś ci  umoż liwiają cych  efektywne  szacowanie  współ czyn-
nika  tarcia  JJL  po  przeprowadzeniu  serii  doś wiadczeń  polegają cych  n a  ś ciskaniu  próbek
o  róż nej  smukł oś ci  s

0
.  Celem  pracy  jest  wykazanie  efektywnoś ci  propon owan ej  m etody

oraz  porównanie  wartoś ci  / J,  obliczonych  z  róż nych  podan ych wyż ej  zależ noś ci.

3.  Opis  i  wyniki  doś wiadczeń

Celem  doś wiadczeń  był o  wyznaczenie  zależ noś ci  fi(s
0
,  s). Z ależ ność tę  m oż na  uzyskać

n a  podstawie  znajomoś ci  krzywych  umocnienia dla procesu  ś ciskania  próbek  o  róż nych
smukł oś ciach  s

0
.  P róbie  ś ciskania  poddan o  serię   próbek  o  nastę pują cych  wartoś ciach

smukł oś ci  s
0
:  0, 1;  0,125;  0,162;  0,2; 0,25;  0,33;  0,4; 0,5; 0,667;  1,0  i  ś rednicy  począ t-

kowej  d
0
  =   14 m m .

P róbki  z  technicznie  czystego  aluminium  w  stanie  wyż arzonym  rekrystalizacyjnie
ś ciskano  w specjalnym  przyrzą dzie,  przedstawionym  schematycznie  n a rys. 2.  C zoł a  pró-

Rys.  2.  Przekrój  przyrzą du  do  ś ciskania
próbek

1 — korpus,  2 — stempel  z  dynam om etrem ,  3 — prób-
ka,  4—•  kowadeł ko  z  dynam om etrem ,  J — czujnik  in-

dukcyjny,  5 — czujnik  zegarowy

bek  był y  dokł adnie  toczone z  zachowaniem  równoległ oś ci  i  sm arowan e  sproszkowanym
M o S 2 .  Przyrzą d  umieszczano  w  kinematycznej  maszynie  wytrzymał oś ciowej.  D okł adn y
zapis  sił y  oraz  skrócenia  próbki  odbywał   się  przy  pom ocy  pisaka  X- Y.  Sygnał  sił y uzyski-
wano  z tensometrów  elektrooporowych  naklejonych  n a dyn am om etrze, n atom iast  sygnał
przemieszczenia  czół   próbki  z  czujnika  indukcyjnego.  N a rys. 3  przedstawion o  schemat



SZ AC O WAN I E  WSP ÓŁ C Z YN N I KA  TAR C I A 567

pom iarowy  przyrzą du.  P rę dkość  odkształ cenia  przy  róż nych  wartos'ciach  .y0  był a  prawie
równ a i wynosił a  w przybliż eniu  8 x 1 0 "4 S "1 .  P rzekroje  uzyskanej  powierzchni we współ -
rzę dnych  (er, e, ,?o lub l/ s

0
)  pł aszczyznami  stał ych  odkształ ceń e =  0,01;  0,03;  0,05;  0,10;

0,15,  zamieszczono  n a  rys.  4a i b.

Rys.  3. Schemat pomiarowy  próby  ś ciskania
l  — stempel  z  naklejonymi  ten som etram i  (dyn am om etr),  2 — próbka,  3 — kowadeł ko  z  naklejonymi  tensometrami
(dynam om etr),  4 — czujnik  indukcyjny,  5 — czujnik  zegarowy,  6 —  wzmacniacz  N - 101,  7 —m o st ek  tensometryc2ny

ZPT- 147,  S — pisak  X- Y  E n dim  2200

Jak  wynika  z  rys. 4b  krzywe  a(s
0
)  dla e =  0,03  i  e =  0,05 w  zakresie  s

0
  < 0,25  są

bardziej  strome, niż krzywe  dla odkształ ceń 0, 01;  0,10;  i  0,15.  Przyczyną   tego jest wystą -
pienie  w tym  obszarze  efektu  P ortevin- Le  C hatelier  (na  przykł ad  praca  [1]). Jako  miarę
naprę ż enia  przyję to  n aprę ż en ie  rzeczywiste  a  — P/ F,  gdzie  P  oznacza  sił ę ,  a F  bież ą ce
pole  przekroju  próbki.  W dalszej  czę ś ci  pracy  zakł ada  się , że ffz = a. D la  odkształ ceń

przyję to  m iarę   s  — ——.  Wykresy  a  wykon an o  w  zależ noś ci  od s
0
  i  od  1/ J 0,  uzyskują c

" O

w  ten sposób  moż liwość  ekstrapolacji  w  obu przypadkach  granicznych,  tzn .  gdy s
0
  ->  0

i  s
0
  - > oo. N a  rys.  4 przedstawion o  róż ne  sposoby  ekstrapolacji  a przy  , fo - > o o.  Ponieważ

wartoś ci  a  dla s
Q
  — co  traktowan e  są   jako  a

0
,  sposób  ekstrapolacji  m a bardzo  duży

wpł yw  n a wyniki  obliczeń  wartoś ci  / j,  ze  wzorów  (12) lub  (15).  D la lepszego  zbadania
przydatnoś ci  propon owan ej  m etody  skorzystano  także  z  wyników  badań  przeprowadzo-
nych  dla miedzi,  a  zamieszczonych  w  pracy  [3].  Z aczerpnię te  z  pracy  [3] przekroje po-
wierzchni  (a, e, s

0
)  dla próbek  o wartoś ciach  s

0
  — 0,25;  0,33;  0,5;  1,0; 1,5; przedstawia

rys.  5.  Czoł a  uż ywanych  w  pracy  [3] próbek  był y  toczone, nie był y  jedn ak  smarowane
podczas  procesu  ś ciskania.  M aksym aln e  odkształ cenie  wynosił o 0,60.

4.  Wyn iki  obliczeń  współ czynnika  t arc ia

Korzystają c  z  wyznaczonych  doś wiadczalnie  zależ noś ci  < T(1/ J0)  dla  e =» const  oraz
ze  wzorów  (12),  (15) i  (17) m oż na  obliczyć  wartoś ci  ś redniego  współ czynnika  tarcia  / J,
pomię dzy próbką   i ś ciskają cymi  ją   stemplami.

We  wzorze  (12) p  wystę puje  w. postaci  uwikł anej.  D odatkową   trudn ość  stanowi t o ,
że  m etoda  kolejnych  przybliż eń  w  odniesieniu  do  tego  wzoru  jest  stosunkowo  wolno

6*



568 Z .  MALIN OWSKI,  J.  KLEPACZKO

zbież na  wzglę dem  fi,  a jej  zbież ność  zależy  od  s
0
  i  e. W  zwią zku  z  tym  obliczenia przepro-

wadzono  n a  maszynie  cyfrowej  «Odra  1204»  wedł ug  program u  zapewniają cego  uzyskanie
dokł adnych  rozwią zań.  Również  n a  tej  maszynie  wedł ug  odpowiednio  uł oż on ego  pro-

Rys. 4. D oś wiadczalnie  wyznaczone  dla  próbek  aluminiowych  wartoś ci  naprę ż enia  a  w  funkcji
l/ ^o  oraz s

0
;  a)  zależ ność ff(l/ Jo), b) zależ ność a(s

0
)

gramu  wykonano  obliczenia  fx z  zależ noś ci  (17).  W  tym  przypadku  n a  podstawie  danych

doś wiadczalnych  należ ało  obliczać  p o c h o d n ą - ^ —I —I,  co pocią gało za  sobą   konieczność

interpolacji  i  znajdowania  analitycznych  zależ noś ci  opisują cych  krzywe  doś wiadczalne



SZ AC O WAN I E  WSP ÓŁ C Z YN N I KA  TARCIA 569

0

_kB_ t
mm

80

60

~ —* —r

- •"  J

A
/

w  J
fc/   J

/

/ I

0  /   p  J  ^ ^
• 5(7

Rys.  5. Zależ noś ci o(lls
0
)  dla miedzi wedł ug pracy  [3]

N a  rys.  6a  i  b  został y  przedstawione  obliczone  numerycznie  na  podstawie  wzorów
(12)  oraz  (15)  wartoś ci  {i,  odpowiadają ce  uzyskanym  doś wiadczalnie  dla  próbek  alumi-
niowych  zależ noś ciom  wedł ug  rys.  4a  i  b.  W  obliczeniach  przyję to  jako  a

0
  wartość  a  dla

s
0
  =   oo  oznaczoną  n a  rys.  4a  przez  ao1. Taki  sposób  ekstrapolacji  a

0
  przy  s

0
  - > oo  należy

przyją ć,  jeż eli  uwzglę dni  się   charakter  zależ noś ci  a(s
0
)  w  przedziale  0,5  <  s

0
  <  1,  oraz

warunek,  że =o.
N a  rys.  7a  i  b  przedstawion e  został y  wyniki  obliczeń  fx  na  podstawie  wzorów  (12)

i  (15)  przy  wykorzystaniu  wyznaczonych  doś wiadczalnie  w  pracy  [3]  krzywych  a(lls
Q
)

dla  miedzi, zamieszczonych  uprzedn io  n a  rys.  5.  Jako  granicę   plastycznoś ci  cr0  dla  danego
odkształ cenia  przyjm owano  ekstrapolowaną   n a  rys.  5  wartość  a  dla  s

0
  -> oo.  W  celu

lepszego  pokazan ia  wł aś ciwoś ci  wzorów  (12)  i  (15)  wyniki  obliczeń  przedstawiono  w  za-
leż noś ci  od  s

0
,  jak  również  od  l/ s

0
.  Z akresy  smukł oś ci s

0
  i  odkształ ceń s,  w  których  obli-

czano  p.  dla  alum in ium  i  miedzi  zawierają   się   w  nastę pują cych  gran icach:  0  <  e ^  0,15,
0,25  ^  s

0
  <  1. P orówn ują c  w  tym  obszarze  wyniki  uzyskane  dla  aluminium —  rys.  6  i  dla

miedzi —  rys.  7,  widzimy,  że  ch arakter  zależ noś ci  ^(so) J e s t  w  °bu  przypadkach  podobny.
Współ czynnik  / J,  wzrasta  wraz  ze  wzrostem  ,s0.  Z arówn o  dla  aluminium, jak  i  dla  miedzi
przyję to  w tym przypadku prostolin iową  zależ ność a{\  js

0
)  w omawianym zakresie wartoś ci e

i  s
0
.  N a  podstawie  otrzym an ych  wyników  ze  wzoru  przybliż onego  (15)  (rys.  6  i  rys.  7  —

linia  przerywana)  m oż na  stwierdzić,  że  wzór  ten  szacuje  wartość  / i  od  góry.  D aje  on  tym
lepsze  przybliż enie,  im  mniejsze  są   wartoś ci  a,  a  wię c  bł ą d  wzrasta  wraz  ze  zwię kszeniem



570 Z .  M ALI N OWSKI ,  J.  KLE P AC Z KO

M
0,30

0.21

do- 6?

0,18

0.12

0.06

O

Q30

0,24

0,18

0,12

0,06

O

**—
,   „ ^

S- - 003

^  .
^Z—'—
—~—~^

• So

—r
i

Ą 1- 0,03

1

-
r - — • - • - - • - ,•

Jg- .-w

0,2 04 0.6

Rys.  6. Wartoś ci  współ czynnika  tarcia  / .i  dla pró-
bek  aluminiowych  obliczone  z  zależ noś ci  (12) —
linia  cią gła  oraz z zależ noś ci  (15) —lin ia  przery-
wan a;  a) / i w  funkcji  l/ s

0
,  b) ft  w  funkcji  *0 .

W  obliczeniach  przyję to  a
0
  =  t rj1

0,24

0,18

0.12

0.06

b)

0.30

0,24

0,18

0,12

0,06

0

ty

e
.  a  0,05

b  0,10
c  0,20
d  0,30
s  0,40
f  Q50
9  0,55

\

&

Vi*

• — • —

— -

ji— - i  -

^ =

0,2 0.4  0,6

Rys.  7.  Wartoś ci  współ czynników  tarcia  / u.  dla
próbek miedzianych obliczone z zależ noś ci  (12) —
linia  cią gła  oraz z zależ noś ci  (15) — lin ia  przery-
wan a; a ) / iw  funkcji  1 ls

0
,  b) / .i w funkcji  s

0
.  Linie

cienkie, cią gle  ilustrują   warun ek  (10).  W  oblicze-
n iach  przyję to  <T0 =   (ff)so= oo-

się  / J.  i  e  oraz  maleje  gdy,  ^ 0  wzrasta.  N a  rys.  8  zestawiono  wyniki  uzyskane  dla  próbek

aluminiowych i miedzianych przy  wykorzystaniu  odpowiednio wzoru  (12) lub  (17). W  obli-

czeniach  przyjmowano  a
0
  = CT" dla  alum inium  oraz  a

0
  =   (a)

Sa=a>
  dla  miedzi.  Widzi-

my,  że  gdy  zachodzi  warunek  ——  =   0  wartoś ci  / i  uzyskane  z  zależ noś ci  (12)  i  (17)  są

równe,  n atom iast w  przypadku  ogólnym  róż nią   się   o

5. D yskusja  wyników doś wiadczeń  i obliczeń numerycznych

Obliczają c  współ czynnik  tarcia  z  zależ noś ci  (12),  (15)  i  (17)  należy  zn ać  aktualn ą   gra-
nicę   plastycznego  pł ynię cia  a

0
.  Wartoś ci  a

Q
  przy  róż nych  sposobach  ekstrapolacji  ozna-

czono  n a  rys.  4a  przez  a\ ,  al
o

l
,  al

u
.  Wyniki  obliczeń  / J,  wedł ug  wzoru  (12)  dla  próbek

aluminiowych  przy  przyję ciu  jako  a
0
  odpowiednio  a\   i  er"1  są   po d an e n a  rys.  9a  i  b.  War-

tość  al  odpowiada  wartoś ci  a  dla  s
0
  =   1,  a"1  odpowiada  prostoliniowej  ekstrapolacji  a



SZACOWANIE  WSPÓŁ CZYNNIKA  TARCIA 571

dla  s
0
  - > oo. Widzimy,  że  wpł yw  tr0  n a  fi  zależy  od  s0  i  zwię ksza  się,  gdy  s0  wzrasta.  Przy

przyję ciu  a
0
  =   (<f)s

o
=i  =   <TQ  stwierdzono  n a podstawie  wzoru  (12), że  niezależ nie  od  war-

toś ci  s  w  granicy  otrzymuje  się  s
0
  - >  1,  ^  - > 0.  Analogiczne  wyniki  obliczeń,  uzyskane

AL
Cu

\

'  V N
% •

e
a  At  0,01
b  At  0,15
c  CuQOS
d  CuO.20

- — • —.

— > — —

0.30

0.24

0,18

012

- 6a- e
'  6o- (6)Sa=i

\

j'- 0P1

" FoT—

~

i= O, 1 5

~—~- - .

~~——.

^ — ^

£- 030/

1 /
//

^oioT—

^  • -

^ %

- —  —  —  • ""

\

~e- o,oT~

E- - 0.03 _

- Ł- - 0.05—

£.- • 0,10

Rys.  8. Wartoś ci współ czynnika  tarcia ,« dla pró-
bek  aluminiowych  i  miedzianych  obliczone  z  za-
leż noś ci  ( 12) — linia  przerywana  i  (17) —  linia
cią gł a; a ) / i w  funkcji  l/ .c0,  b)  / i  w  funkcji  s0.
W  obliczeniach przyję to  o

0
  =   tfj1  dla aluminium

oraz cr0 =   (ff) S o = c o  dla miedzi

Rys. 9.  Wartoś ci  współ czynnika tarcia n  dla  pró-
bek  aluminiowych  obliczone  z  zależ noś ci  (12)
przy  przyję ciu  a

0
  =  ffo s  ( o ') S o = , — linia  cią gła

oraz  <r0  ==  ffj
11 — linia  przerywana.  Wyniki  obli-

czeń  przedstawiono w funkcji  l/ ^0 oraz  sa;  a)  [i
w  funkcji  1/so, b) / J. w funkcji  J 0

dla  miedzi  n a  podstawie  krzywych  doś wiadczalnych  cr(l / ^0)  z  rys.  5 i  przy  przyję ciu  a0  =
=   (ff) Jo = i,  przedstawion o  n a  rys.  10.

P odobn e  wł asnoś ci, ja k  wzór  (12) wykazuje  również wzór  przybliż ony  (15). W  oparciu
o  analizę  otrzym anych wyników  m oż na  stwierdzić,  że jako  dobre  oszacowanie  wartoś ci  fi,
które  otrzymuje  się  n a  podstawie  zależ noś ci  (12)  i  (15),  należy  przyjmować  wartoś ci / x
dla  próbek  o  sm ukł oś ciach  s

0
  <  0,3.  Z nacznie  mniejsze  róż nice  w  wartoś ciach  / J,  przy

przyję ciu  róż nych  a
0
  otrzymuje  się  ze  wzoru  (17).  Ponieważ  dla  duż ych  s

0
  pochodn a

3. .

jest  bardzo  m ał a,  stąd  wzór  (17) może mieć pewne  znaczenie  dla  szacowania  współ -
ds

0

czynnika  tarcia  przy  wykorzystaniu  próbek  o  wię kszych  smukł oś ciach.  Wzór  ten  jest

jedn ak  obarczony  bł ę dem  wynikają cym  z  pominię cia wyraż enia  s
0
  - J- ,  a  więc  zależ nym

od  charakteru  zmiennoś ci  fj,(s
0
),  co  zmniejsza  jego  praktyczną  przydatnoś ć.



572 Z .  MALIN OWSKI,  J.  KLEPACZKO

N a  podstawie  otrzymanych  wyników  obliczeń  numerycznych  m oż na  pokazać,  jak
zmienia  się   współ czynnik  tarcia  fi  w  zależ noś ci  od  odkształ cenia  przy  ś ciskaniu  krą ż ków
o  róż nych smukł oś ciach.

02

0,12

0,06

0

T~

iy
O/ *

ty

a  0.05
b  0.10
c  0,20
d  0.3O
e  0,10
f  0,50
'g  Q55

V
0,2 0,4 0,6 0.8

Rys.  10. Wyniki  obliczeń  współ czynnika  tarcia ji z zależ noś ci  (12) dla próbek  miedzianych. W  ob-
liczeniach  przyję to  a

0
  =  (<*)*<,=i

M
0.30

024

0,18

0,12

0.06

0

\

i
So

1  0.667
- 2  0,4  -

3 0.25
4 OM
5  0,1

0.04 0,08 0,12

Rys.  11, Wartoś ci  współ czynnika  tarcia / J,  W zależ noś ci  od odkształ cenia dla próbek  aluminiowych,
uzyskane na podstawie wyników przedstawionych  linią   cią głą   n a rys. 6

N a  rys.  l i i  rys.  12  zamieszczone  są   krzywe  ilustrują ce  zależ ność  / j,(e).  Sporzą dzono  je
n a  podstawie  rys.  6  dla  aluminium  i  rys.  7  dla  miedzi.  Jak  wynika  z  pracy  [14], krzywe  te
zależą   w  duż ym  stopniu,  zarówno  jakoś ciowo,  jak  i  iloś ciowo,  od  m ateriał u  próbek,  ro-
dzaju  ich  powierzchni  oraz  uż ytego  przy  ś ciskaniu  sm aru.  D latego  też  rys.  11  i  rys.  12
odnoszą   się   tylko  do  próbek  aluminiowych  i  miedzianych  ś ciskanych  w  ś ciś le  okreś lonych
warunkach,  które  został y  uprzedn io podan e.

N a  rys.  13  zestawiono  krzywe  (linia  cią gł a)  dla  s
0
  =  0,1  i  s

0
  =   0,25  wzię te  z  rys.  11,

z  odpowiednimi  krzywymi  z  pracy  [14]  (linia  przerywana),  odnoszą cymi  się   również  do
próbek  aluminiowych  smarowanych  M o S 2 .  N ależy  podkreś lić,  że  wartoś ci  fi  w  pracy  [14]
został y  uzyskane  inną   metodą ,  mianowicie  n a  podstawie  pom iarów  n acisku  skoś nie



SZACOWANIE  WSPÓŁCZYNNIKA  TARCIA  ' 573

osadzonymi  czujnikami.  Widzimy,  że  charakter  krzywych jest  podobn y,  natom iast róż nice
w  wartoś ciach  / i  należy  prawdopodobn ie  tł umaczyć  nieco  odmiennymi  warunkam i  prze-
prowadzon ych  w  obu  pracach  eksperymentów.

N a  rys.  13  przedstawion o  także  (linia  kreska- kropka)  wartoś ci  / J,  uzyskane  n a  drodze
numerycznej  z  zależ noś ci  (12)  dla  próbek  o  smukł oś ci  s

0
  =  0,1,  badanych  w  pracy  [14].

P orówn an ie  tych  wartoś ci  z  wartoś ciami  \ i  przedstawionymi  linią   przerywaną ,  a  uzyska-

Rys.  12. Zależ noś ci  współ czynnika  tarcia  ji  od  odkształ cenia  uzyskane  dla  próbek  miedzianych
na  podstawie  wyników  przedstawionych  linią   cią głą   na rys. 7. Linie cienkie ilustrują   warunek (10)

powstawania  strefy  tarcia  sczepnego

0,24

0,12

0

\

—\

0,04 0,12 0,16 0,20  e

Rys.  13. Porównanie wyników  uzyskanych  dla próbek  aluminiowych  smarowanych  M o S2
1  —  krzywe  obliczone z  zależ noś ci  (12)  wedł ug rys,  11, 2  —  krzywe  uzyskane  inną , niezależ ną   metodą   w  pracy  [14], 3  —
krzywa  uzyskana  n a  podstawie  zależ noś ci  (12)  oraz  danych  doś wiadczalnych  odpowiadają cych  krzywej  2  dla  s

0
  =   0,1

nymi  w  pracy  [14]  m etodą   bardziej  dokł adn ą   wskazuje,  że  obydwie  metody  dają   w  tym
przypadku  zbliż one  rezultaty.  P onieważ  jedn ak  propon owan a  m etoda  szacowania  \ i jest
mniej  pracoch ł on n a,  nadaje  się   on a  bardziej  d o  praktycznego  zastosowania.



574  Z .  M ALIN OWSKI,  J.  KLEP ACZ KO

N a  rys.  12  i  rys.  7b  naniesiono  linie  stanowią ce  warunek  (10)  i  okreś lają ce  zależ ność
pomię dzy  param etram i  /*,  s

0
,  e,  dla  których  na  powierzchni  próbki  pojawia  się   strefa

z  tarciem  sczepnym.  Jednakże  n a  podstawie  przedstawionych  wyników  t ru dn o  jest  ustalić
jednoznaczny  zwią zek  pomię dzy  charakterem zmiennoś ci  / L I  a  pun ktem , w  którym  powinno
wystą pić  tarcie  sczepne.

6.  Wnioski

U zyskane  w  niniejszej  pracy  wyniki  wskazują ,  że  propon owan a  m etoda  oparta  na
uproszczonej  analizie  Siebla  daje  moż liwość  szacowania  współ czynnika  tarcia  / j, n a  po-
wierzchniach  ś ciskanych  próbek  walcowych  i  nadaje  się   do  praktycznego  zastosowania.
P orówn an ie  wyników  uzyskanych  tą   metodą   z  wynikami  bardziej  dokł adn ych  badań ,
zamieszczonymi  w  pracy  [14],  wskazuje  n a  dobrą   jakoś ciową   i  iloś ciową   ich  zgodnoś ć.
Z astosowane  w  teoretycznej  analizie  uproszczenia  dotyczą ce  róż niczkowego  równania
równowagi,  modelu  rozważ anego  ciał a,  a  także  zał oż enie  stał ego  n a  powierzchni  próbki
współ czynnika  tarcia  fx  nie  powodują   w  tym  wypadku  duż ego  bł ę du.  W  pracy  nie  wni-
kan o  w  fizykalną   stronę   zjawisk  mają cych  wpł yw  n a  wartość  współ czynnika  tarcia,  a  za-
chodzą cych  wewną trz  i  n a powierzchni  ś ciskanej  próbki.  W  zwią zku  z  tym  przeprowadzo-
n o  tylko  iloś ciową   analizę   uzyskanych  zależ noś ci  / j,(e) oraz  fi(s

0
).

P rzedstawiona  m etoda  może  mieć  praktyczn e  znaczenie  dla  badan ia  przydatnoś ci
smarów  stosowanych  w  procesach  przeróbki  plastycznej.  M oż na ją   również  stosować  do
procesów  dynamicznych.  N ależy jedn ak  skorzystać  wówczas z ogólniejszych  zależ noś ci  wy-
prowadzonych  dla  modelu  ciał a  lepkoplastycznego,  n a  przykł ad  prace  [4]  oraz  [5].

P otrzebne  w  tym  przypadku  do  wyznaczenia  współ czynnika  tarcia  dan e  doś wiadczalne
są   takie  same, jak  dla  procesu  statycznego.  Wyznaczanie  jedn ak  dynamicznych  krzywych
umocnienia  jest  o  wiele  trudniejsze  i  wymaga  stosowania  skomplikowanej  aparatury  ba-
dawczej.

Literatura  cytowan a  W tekś cie

1.  J.  F . BE LL,  T he  Physics of  L arge Deformation of Crystalline  Solids, Springer, 1968.
2.  R . L.  CARLSON ,  Compression of  a viscoplastic disk, J. Basic Engng., 4, 86 (1964), 700.
3.  M . C OOK,  E. C .  LAR KE,  Resistance of  copper  and copper  alloys  to  homogeneous  deformation  in  com-

pression, J.  I n st.  M etals, 71  (1945),  371.
4.  J. B.  H AD D OW,  On the compression of  a thin disk,  I n t .  J. M ech .  Sciences,  10, 7  (1965),  657.
5.  J.  KLEP AC Z KO,  L ateral Inertia Effects  in the Compression Impact  Experiments,  I n st .  F u n d .  Tech. R es.

R eports  (Prace I P P T  P AN ),  17,  1969.
6.  S. KOBAYASH I,  A.  G .  M AC D O N ALD ,  E.  G .  TH OM SEN , Some aspects of press forging, I n t .  J.  M ech. Sciences,

2/ 3, 1  (I960), 282.
7.  K.  KWASZCZYŃ SKA,  Z . M R Ó Z ,  A  theoretical  analysis of plastic  compression  of short  circular cylinders,

Arch.  M ech. Stos., 5, 19 (1967), 787.
8.  A.  M AC D O N ALD ,  S.  KOBAYASH I,  E. G .  TH OM SEN ,  Some problems  of press  forging  lead and aluminum,

J.  E n g.  Ind., 82  (I960), 246.
9.  Z . M R Ó Z ,  Graphical solution of  axiatty  symmetric problem  of plastic flow,  Z AM P ,  18 (1967), 219.



SZACOWANIE  WSPÓŁCZYNNIKA  TARCIA  575

10.  W.  SCHROEDER,  D . A.  WEBSTER,  Press- forging  thin  sections: effect  of friction, area, and thickness  on

pressures Required,  J.  Appl.  M ech., 16  (1949), 289.

11.  E.  SIEBEL,  Grundlagen  zur  Berechnung des  Kraft  und Arbeitbedorf bei  Schmieden und  W aken, Stahl

u.  Eisen, D iisseldorf, 41, 43  (1923),  1295.

12.  E. G .  THOMSEN,  C. H .  YAN G ,  S.  KOBAYASHI,  Plastic Deformation in  Metal  Processing,  M ac  Millan,

1965.

13.  L. TÓTH, Die  W irkung des Schmierens Bein Stauchen von Metallen,  Acta  Techn.  H ung., 51 (1965), 327.

14.  G . T.  VAN   ROOYEN , W.  A.  BACKOPEN , A  study of  interface friction  in plastic compression, I n t. J. Mech.

Sciences,  1, 1  (I960), 1.

P  e  3 io  M  e

OHEIIKA  KOSOOH U H EH TA  TPEHHfl  HA  nOBEPXH OCM X  KOHTAKTA
IIJIACTH ^ECKH   OKATOrO  ItH JIH H flPH ^IECKOrO  OEPA3UA

B  p a 6o ie  npefljiaraeTCH   iweTofl  onei- iKH   KoaibcbHUHeHTa T pem m  Ha noBepxnocTH X  KOHTaKTa  BO

luiacTH ^iecKoro  oi<axnH   n, H Jnnm piraecKoro  o6pa3ija.  M eTofl  ocuoBai- r  Ha  3aBHCUM0CTHx3  BbrreKaiounix

H3  yn pom eH H oro  T eopen rqecK oro  aH anH 3a  npoSjieM Łi,  flaH H oro  3a6ejieM .  3 T H   3aBHCHM0CTH,  n peo 6pa-

30BaHHŁie  B  pa6oTe  K  cooTBeTCTByiomeMy  BH ^y,  no3B0HHi<3T  onpeflenH TŁ  m rcjieim o

T pein ra  n a  ocuoBaHHH   sKcnepHiweHTaJiŁHO  ycTaHOBJieHHbix  K P H BM X  yn po^n eH H a  B  n poijecce

o6pa3ijoBn pH pasraraH bix  oT H on ien H axh
a
jd

a
, r# eh

o
v.d

a
oG osH atiaioT cooT BeT C T Beiin on a^an wiyioBbicoT y

H   HaManBHbiH  ̂ HaMeTp o6pa3i(a.  ITpuMeH aH  npefljiaraeM Biii  MeTOfl  MO>KHO oiteraiTŁ  KO3(b4iHipieHT  Tpem m

B  HCCnefloBamiOM   SKcnepHMeHTantHO  flH ana3OH e  oTi- ioinenaft  hajd
a
,  flH ana30H e  flecbopM aijH H   o6pa3qa,

a  TaKH<e  flira  HcnonB3OBaHHOH  B n p o q e c c e  OKaTHH  CMa3i<H.  B pa6oTe flaiOTCH  pe3yjibTaTfci  BW^HcneHHHH

K03(})$HD(HeHTa  TpeHHH, n ojiy^eH M e  H U H   aniOMUHHeBbix  o6pa3HOB  n a  ocuoBe  co6cTBenH bix  onbiTH bix

flamibix  H   an H   MeflbHBix  o6pa3HOB  —  i-m  ocuoBe  3KcnepHMeHTanMiwx  flaH H bix,  B3H TM X  H3  jiH TepaTypbi.

B  npoBefleHHOM   aH anH 3e ym eH O  Bm ifiraie  H eroquocTeii  onpefleneH H H   n pen ejia  TeKy^ecTH   a
0
  n a  3Ha^eHHe

K03cb(pHHneHTa  ipeH H H .  Pe3yjibTaTbi  n o jiyqem ibie  B pa6oTe  cpaBH eH H   c  pe3yji&TaTaMH   H3BecrHbiMH  n o

JiH TepaType,  H O  BbiiHCJieHHHMH  n o  npyrH M   MeioflaM.  OiieHHBaH   npuroflH ocTb  npefljiaraeiworo

cjie^yeT  OTMeTHTb,  MTO  OH  roflHTCH   jjjm  npaKTH ^iecKoro  npHMenenHH   B  HCCJieflOBaiiHH

n poił eccoBj  oflnaKO  cymecTByeT  Taion e  BO3MO>KHOCTB  Hcnonb3OBaHHH   ero  B  c n yi a e

n poi(eccoB

S u m m a r y

ESTIM ATION   O F   TH E  C OE F F I C I E N T  OF   F R I C TI ON   ON   TH E IN TERF ACES OF

TH E  PLASTICALLY  D EF OR M ED   CYLIN D RICAL  SPECIMEN

I n  this  paper  the  method  has  been  proposed  which  makes  it  possible  to  estimate  the  coefficient  of

friction  between  the  interfaces  of  the  plastically  deformed  cylindrical  specimen  and  loading  plates.  The

method is based  on earlier  Siebel's  simple  theoretical  analysis  of  this problem. The relations given by Siebel

were  reformulated  to  the  proper  form  enabling  us  to  estimate  the  coefficient  of  friction  from  the  series

of  compression  experiments  on  specimens  of  different  height  to  diameter ratio. The method proposed can

be  applied  to  different  height  to  diameter  ratio,  also  to  different  stages  of  deformatation  and  different

conditions  of  lubrication.  I n  the  paper  some  numerical  results  are  shown  which  have  been  obtained  on

the  basis  of  the  compression  experiments  on  aluminium. I n  addition, some  numerical  results  are  shown

for  copper,  based  on  earlier  results  given  in literature. The  present  analysis  takes  into  account the  effect

of  inaccurate  determination  of  the  yield  limit  on  the  coefficient  of  friction,  in  the  model  of  a  perfectly



576  Z .  MALIN OWSKI,  J.  KLEPACZKO

plastic  body  assumed  in the considerations. The results  obtained in this way are compared  with  the proper
data taken from  the different  sources  and obtained by different  methods. I t may  be stated  taht the propos-
ed method can be applied  to the practical cases of static compression  as well as to the dynamic  compression
experiments.

I N STYTU T  P OD STAWOWYC H   P R O BLE M Ó W  T E C H N I K I PAN

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  3 grudnia  1971  r.