Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  10  (1972) ZAG AD N IEN IA  N IEZ AWOD N OŚ CI  I  BEZPIECZEŃ STWA  W  MECH AN ICE  MATERIAŁÓW I KON STRU KCJI* JAN U SZ  M U R Z E W S K I  (K R AK Ó W) W  zagadnieniach  niezawodnoś ci  i  bezpieczeń stwa  ukł adów  mechanicznych  stosuje  się rach un ek  prawdopodobień stwa  [3],  [8],  [9],  [14].  M etody  probabilistyczne  stosuje  się w  tych  zagadnieniach  w  zakresie  makroskopowym  —  najbardziej  ogólnym,  odniesionym do  obiektów  takich,  ja k  budowle,  maszyny,  urzą dzenia  itp.  które  mają   być  uż yteczne dla  czł owieka  ja ko  cał oś ć,  a  które  oceniamy  z  pun ktu  widzenia  speł nienia swych  zadań. M oż na  rozważ yć  także  prawdopodobień stwa  niezawodnoś ci  i  bezpieczeń stwa  podzespo- ł ów  lub  elementów  kon strukcji,  a  nawet  wię kszych  lub  mniejszych  elementów  materiał u, ale  trzeba  pam ię tać, że  to  ograniczenie  m a  n a  celu  tylko  skoncentrowanie  uwagi  n a  pew- nym  poziomie  analizy  strukturaln ej.  Przyszł ą ,  konsekwentnie  probabilistyczną   teorię niezawodnoś ci  i  bezpieczeń stwa  wyobraż amy  sobie  jako  spójny  kompleks  zastosowań rach un ku  prawdopodobień stwa  n a  róż nych  poziom ach.  P róbę   klasyfikacji  modeli  pro- babilistycznych  przedstawia  tabl.  1.  Jest  to  wstę pna  propozycja.  P otrzeba  takiej  klasy- Tablica  1. Modele  probabilistyczne Poziom makro- submakro- mezzo- mikro- submikro- Problemy niezawodność  urzą dzeń bezpieczeń stwo  konstrukcji wytę ż enie  materiał u efekt  skali | Ej wielofazowe technologiczne quasi- jednorodne infinitezymalne quasi- izotropowe dyslokacje fizyka  statystyczna mechanika  falowa fikacji  niewą tpliwie  istnieje,  gdyż  coraz  czę ś ciej  stosuje  się   podejś cia  probabilistyczne do  m echaniki  systemów  m aterialn ych,  analizowanych  w  róż nych  skalach,  z  mniejszego lub  wię kszego  dystan su. *'  Referat  problemowy  wygł oszony  na XIV Polskiej  Konferencji  Mechaniki  Ciał a  Stał ego  w  Kroś- cienku, we wrześ niu  1971 r. 510 J .  M U RZEWSKI D rugą   cechą   charakterystyczną   tych  zastosowań  rach un ku  prawdopodobień stwa, które  są   przedmiotem  referatu,  jest  to,  że  probabilistykę   stosuje  się   «wszechstronnie», to  znaczy  zarówno  w  odniesieniu  do  wewnę trznych,  jak  również  zewnę trznych  czynni- ków,  warunkują cych  zachowanie  się   obiektu.  A  wię c  n p.  w  przypadku  oceny  bezpieczeń- stwa  budowli,  jako  losowe  traktujemy  zarówno  obcią ż enia,  jak  też —  n oś n ość  kon struk- cji.  Ostatnio  dają   się   zauważ yć  tendencje  autonom icznego  rozwijania  stochastycznej teorii  obcią ż eń  [5],  [13],  a  także  stochastycznej  mechaniki  [4],  [6],  wzglę dnie  jej  dzia- ł ów  —  dynamiki  ukł adów  losowych,  statystycznej  teorii  statecznoś ci  itp.  Te  dyscypliny moż na  by  uznać  za  dział y  probabilistycznej  teorii  niezawodnoś ci  i  bezpieczeń stwa,  gdyż synteza  tych  dyscyplin  prowadzi  wł aś nie  do  oceny  niezawodnoś ci  lub  bezpieczeń stwa obiektu.  Ale  z  drugiej  strony  należy  się   zgodzić,  że  nie  zawsze  taka  synteza  musi  być  ce- lem  rozwijania  tych  dyscyplin. N owy  sposób  matematycznego  opisu  rzeczywistoś ci,  jakim  jest  podejś cie  probabilis- tyczne,  róż ni  się   od  tradycyjnego,  deterministycznego  podejś cia  przede  wszystkim  tym, że  wielkoś ci  charakteryzują ce  stan  i  zachowanie  się   obiektu  okreś la  się   nie  liczba- mi,  lecz  funkcjami  rozkł adu  prawdopodobień stw.  M ają c  to  n a  uwadze,  w  pierwszym etapie  rozwoju  teorii  bezpieczeń stwa  zajmowano  się   elem entarnym i  z  pu n kt u  widzenia materiał u  przypadkami —  prę ta  rozcią ganego,  belki  prostej  itp.  i  skierowan o  wysił ki w  kierunku  probabilistycznej  charakterystyki  zmiennych  losowych.  Rysunek  1  przedsta- m o 2000 —  Rozkł ad  Gaussa —  Rozkł ad  Pearsona 2500 3000 ~3500'  QD$cnf] Rys.  1.  Krzywa  rozkł adu  granicy plastycznoś ci polskiej  stali konstrukcyjnej  zwykł ej jakoś ci wedł ug badań  W.  Wierzbickiego wia  krzywe  rozkł adu  prawdopodobień stw  granicy  plastycznoś ci  stali  konstrukcyjnej, zestawione  przez  W.  WIERZBICKIEG O  n a  podstawie  opracowan ia  dan ych  statystycznych dotyczą cych  produkcji  h ut  polskich  [21].  Rysunek  2  przedstawia  krzywą   rozkł adu  praw- dopobień stw  wytrzymał oś ci  beton u,  wyznaczoną   przez  komisję   C en traln ego  N au kowo- Badawczego  I n stytutu  Kon strukcji  Przemysł owych  w  Z SR R ,  kt ó ra  podję ła  inicjatwy- wę   N . S.  STRELECKIEG O  zmierzają cą   do  uzasadnienia  obliczeniowych  wytrzymał oś ci w  oparciu  o  szerokie  badan ia  statystyczne,  a  roboty  przy  budowie  m etra  moskiewskiego dał y  ku  temu  dobrą   okazję   [2].  Rysunek  3  przedstawia  histogram  i  krzywą   rozkł adu przedstawioną   przez  O. G .  JU LIAN A  W pierwszym  raporcie  o  postę pie  prac  komisji  d/ s współ czynników  bezpieczeń stwa  Amerykań skiego  Towarzystwa  Inż ynierów  Cywilnych [12].  Wykresy  te  nie  dają   jeszcze  jasnego  obrazu,  jakie  funkcje  charakteryzują   rozkł ad Z AG AD N I E N I A  N I E Z AWOD N OŚ CI  I  BEZ P I EC Z EŃ STWA  W  M ECH AN ICE 511 param etrów  wytrzymał oś ciowych  podstawowych  materiał ów  budowlanych.  D alsze coraz  liczniejsze  badan ia  statystyczne  nie  doprowadził y  do  sfinalizowania  sprawy  jedn o- znacznej  weryfikacji  empirycznej  znanych  rozkł adów  teoretycznych  (tabl.  2).  W  tej  sy- Rys.  2.  Krzywa  rozkł adu  granicy  plastycz- noś ci  stali  zbrojeniowej  St. 3 wedł ug  C N IIP S (Z SRR) Krzywa  empiryczna Krzywa  normalna 21  23  25  27^ 29  31  33  35  37  39  40  <5r Liczba 861 Krzywa  prawdopodobień stwa Histogram 62 0 - 28  - 21  - 14  - 7  0  7  14  21  28  35 Rys.  3. Krzywa  rozkł adu  wytrzymał oś ci  walcowej  betonu  produkowanego  pod  dobrą   kontrolą wedł ug raportu O. G . Juliana, ASCE  (U SA) Tablica  2. Rozkł ady  prawdopodobień stw  weryfikowane  empirycznie N azwa normalny gamma log- normalny Weibulla G ę stość  prawdopodobień stw 2v 2 pR ]/ 2nvR i  /  pRy  i  pi 1 \ / 2nvR   2 " 2 l - a tuacji  duże  nadzieje  wią że  się   obecnie  z  zastosowaniem  asymptotycznych  rozkł adów wartoś ci  ekstrem alnych  [11].  W  zagadnieniach  bezpieczeń stwa  dużą   rolę   grają   ekstrem a: najwię ksze  obcią ż enia,  najmniejsze  wytrzymał oś ci,  itp.  Jeś li  te  ekstremalne  wartoś ci 512 J .  M U RZEWSKI mamy  wybrać  spoś ród  n stochastycznie  niezależ nych  wielkoś ci  losowych,  to ich praw- dopodobień stwo  moż emy  charakteryzować  rozkł adem  asymptotycznym.  Bę dzie  to  cha- rakterystyka  przybliż ona,  bo  rozkł ady  asymptotyczne  są  dokł adne  dla  n -> oo, ale przy  dostatecznie  duż ej  liczbie  n przybliż enie  może  być  dobre.  M atematycy  R.  A.  F I SH ER i  L. H .  TIP P ETT  udowodnili,  że istnieją  3 i  tylko  3  asymptotyczne  rozkł ady  ekstremów ftabl.  3), z  których  pierwszy  charakteryzuje  ekstrema  zmiennych  losowych  nieograniczo- Tablica 3. Rozkł ady prawdopodobień stw ekstremalne — asymptotyczne Rodzaj I.  rodzaju I I .  rodzaju I I I .  rodzaju D ystrybuanta / "(min) I - «- / < *•* F(max) Zakres — 00  <  X  <  + O0 0  < x  < oo, x =  P 0  <  x  <  o o , x= i? nych, a nastę pne — ograniczonych.  P aram etry  rozkł adu  podlegają,  oczywiś cie,  osobnemu wyspecyfikowanemu  i  są  zależ ne  od każ dorazowej  liczebnoś ci  cią gu  n  zmiennych  loso- wych.  Jeś liby  udał o  się tak formuł ować  zagadnienia  bezpieczeń stwa  budowli,  ż eby  w  ra- chubę  wchodził y  tylko  ekstrema  cią gów  zmiennych  losowych  jednorodnych  i  niezależ- nych,  moż na  by zrezygnować  w  ogóle  z  dociekań  nad typem  rozkł adów  macierzystych, tzn.  rozkł adów  poszczególnych  zmiennych  losowych,  a  korzystać  z  gotowych  wzorów n a  prawo  rozkł adu ekstremów  z tabl.  3. N ie wchodząc  w dyskusję,  czy  taka  perspektywa jest  realistyczna,  a  mając  na uwadze  inne  utrudnienia, o których  mowa  za chwilę,  wspo- minamy  o innej  jeszcze  koncepcji  polegają cej  na tym,  ż eby  nie  ustalać  dokł adn ych  praw rozkł adu  prawdopodobień stw  i  nie  przykł adać tak duż ej  wagi  do tego  zagadnienia. Wys- tarczają ce  praktyczne  wyniki  moż na  uzyskać  charakteryzując  każ dą  skalarową  zmienną losową  dwoma  parametrami  rozkł adu i  stosując  twierdzenie  waż ne  w  zasadzie  dla roz- kł adów  normalnych. N a tym polega,  z grubsza  rzecz  biorą c,  teoria  stochastyczna  drugiego rzę du, zwana  też metodą  korelacyjną  [3], D alej jeszcze  idzie  praktyczna  propozycja  autora [14], by w obliczeniach  stosować  róż ne  rozkł ady  dla tej samej  zmiennej losowej,  w  zależ- noś ci  od wygody.  Przy  tym  wygodne  są  te rozkł ady  prawdopodobień stw,  które  są  sto- chastycznie  stateczne  wzglę dem  dział ania,  które  mamy  wykonać.  I tak stateczne  są  n p . : a) rozkł ady normalne — wzglę dem  dodawania, b) rozkł ady log- normalne — wzglę dem  mnoż enia, c) rozkł ady  ekstremalne — wzglę dem  operacji  wyznaczenia  maksimum  lub minimum. Wiele  wzorów  mechaniki  technicznej  m a  postać  wielomianu: (1)  Z =  aX%X&X£  ... +bY{iYi*Yi'+  ..., gdzie Z, Xi,  Yj — zmienne losowe,  a, a. u b, fy — param etry  zdeterminowane. P arametry  rozkł adu  prawdopodobień stw  dla jednom ianów  ł atwo  obliczamy  zakł a- dają c,  że  zmienne  losowe  Xi, Yj...  są  log- normalne,  bo  wówczas  iloczyny  są  również Z AG AD N I E N I A  N I E Z AWOD N OŚ CI  I  BEZ P I EC Z EŃ STWA  W  M ECH AN ICE 513 log- normalne,  a param etry  rozkł adu cał ego wielomianu  Z  obliczamy  jak  dla zmiennej loso- wej  n orm aln ej,  zakł adają c  tym  razem ,  że jego  skł adniki  losowe  są   n orm aln e. N iekonsek- wencja  t aka  jest  dopuszczaln a  przy  mał ych  współ czynnikach  zmiennoś ci  v t ,V]  ...,  choć i  w  tych  przypadkach  wym aga  niewą tpliwie  duż ej  ostroż noś ci. D odatkowym  utrudn ien iem  w  wyznaczeniu  funkcji  rozkł adu  prawdopodobień stw  jest t o ,  że  zmienne  losowe  muszą   być  bardzo  ś ciś le  zdefiniowane,  z  uwzglę dnieniem  drobiaz- gowych  warun ków.  P rzy  zan iedban iu  niektórych  warun ków  materiał   statystyczny  może się   okazać  bezuż yteczny.  Weź my  dla  przykł adu  rozkł ad  prawdopodobień stwa  wytrzy- mał oś ci  m ateriał u przed  kon trolą   i  p o  kon troli jakoś ci.  G dyby  kon trola  był a doskonał a, rozkł ad  prawdopodobień stw  nieograniczony  zamienił by  się   w  wyniku  dział alnoś ci  braka- rza  n a  rozkł ad  ucię ty  (rys.  4a  i  c).  W  praktyce  zauważ amy  n a  ogól  tylko  nieznaczne o) b) c) f Rn  R R Rys. 4. Rozkł ad  prawdopodobień stw  wytrzymał oś ci  materiał u:  a) naturalny,  b) po wyrywkowej kon troli  braków, c) po kontroli  doskonał ej powię kszenie  asym etrii  rozkł adu  (rys.  4b).  Jest  to  efekt  drobny,  którego  nie  powinno się   jedn ak  lekceważ yć.  W  rozwią zaniach  probabilistycznej  teorii  bezpieczeń stwa  ten wł aś nie  efekt  może  być  uwzglę dniony  ja ko  bardzo  waż ny  param etr  [14]. f b)  c) f(Pma*W) Af>ót' f(P) 0 Rys. 5. Rozkł ad  prawdopodobień stw  parcia  wiatru: a) chwilowego, b) maksymalnego  w  czasie At, c) maksymalnego w czasie At' I n n ym  przykł adem  są   krzywe  rozkł adu  prawdopodobień stw  dla  parcia  wiatru,  które mogą   mieć  róż ną   postać  i  róż ne  param etry  w  zależ noś ci  od  tego,  jak  to  obcią ż enie  de- finiujemy  (rys.  5).  Czy  t o  m a  być  losowa,  chwilowa  wartość  parcia  wiatru  w  czasie  ka- lendarzowym,  tzn . bez  pom in ię cia chwil  ciszy, czy  w  czasie  obcią ż enia?  A  może maksimum 514  J-   MU RZEWSKI parcia  wiatru  obserwowane  w okresach  kilkusekundowych,  kilkum inutowych,  kilkulet- nich?  Ż eby  odpowiedzieć  trafnie  na  te pytania,  trzeba  zn ać  dynam ikę   budowli,  której obcią ż enie  wiatrem  rozpatrujemy  [3]. Z  przykł adów  tych  wynika,  że rozwój  badań  teoretycznych  probabilistycznej  teorii bezpieczeń stwa  jest  równie  waż ny  jak  rozwój  badań  statystycznych  i powinien  je  wyprze- dzać.  Okazuje  się   przy  tym,  że  gł ę boka  probabilistyczna  analiza  problem ów  m echan iki prowadzi  do  wyników  jakoś ciowo  róż nych  od  tych,  które  zn an e są  z klasycznych,  deter- ministycznych  rozważ ań.  Wyjaś nione  zostają   efekty,  które  poprzedn io  był y  uwzglę dnione przy  pomocy  wzorów  empirycznych,  albo  wrę cz —  zaniedbywane,  ja ko  niemoż liwe do pogodzenia  z  deterministycznymi  kategoriam i  rozum owania. Jako  pierwszy  taki  efekt  omówimy  efekt  skali.  O  efekcie  skali  mówimy  wtedy,  gdy sformuł owane  są  teoretyczne  prawa  prawdopodobień stwa  modelowego  i  gdy  stwierdza- my  w praktyce  odstę pstwa  od  tego  prawa.  W szczególnoś ci  w  mechanice  technicznej zauważ ono,  choć  w  obliczeniach  inż ynierskich  n a ogół   nie  uwzglę dniano,  efekt  skali polegają cy  na  tym,  że  wytrzymał ość  materiał u  w  [kG / cm 2]  zależy  od  obję toś ci  próbki badanej  [7]. N iezależ nie  od  róż nych  przyczyn  technologicznych,  które  mogą   to  powodo- wać,  rachunek  prawdopodobień stwa  pozwala  n a przekonywają ce  wytł umaczenie  tego efektu.  Wystarczy  przyją ć,  że  zapoczą tkowanie  procesu  w  jedn ym  miejscu  n aprę ż on ego ciał a  prowadzi  nieuchronnie do  zniszczenia  cał ego  ciał a i jest  równoważ nym  zdarzeniem losowym.  Tego  typu  koncepcję   nazywa  się   koncepcją   najsł abszego  ogniwa  w ł ań cuch u. Wytrzymał ość  ł ań cucha  zł oż onego z n ogniw  o losowo  zmiennej  wytrzymał oś ci  jest  bo- wiem  równa  wytrzymał oś ci  najsł abszego  ogniwa. (2)  R =  minRi,  i=  1 , 2 , 3 ,  . . . , ». Jeś li  zmienne  losowe  R t  są  niezależ ne, a ich  dystrybuanty  F t (Ri)  jedn akowe,  to  dystry- buan ta  wytrzymał oś ci  ł ań cucha  wynika  ze  wzoru (3)  F(R)=\ - [l- F 1 (R)f. D la  dystrybuanty  F^ ^ R) typu  Weibulla  o param etrach, R o , a,  lub  dla  duż ej  liczby  ogniw (n - *  oo) mamy Przy  oznaczeniu  n  =  VIV o ,  gdzie  V o   —  obję tość  jednego  ogniwa,  oraz  R t —  ś rednia wytrzymał ość  próbki  o jednostkowej  obję toś ci,  mamy  wzór  n a ś rednią   wytrzymał ość obiektu  o  obję toś ci  V Wzór  ten  moż na  stosować  do  rozcią ganego  ł ań cucha, którego  ogniwa  cechują   stochastycz- nie  niezależ ne  granice  wytrzymał oś ci,  a także  do  innych  ciał ,  dla  których  jest  aktualn a koncepcja  «najsł abszego  ogniwa  w  ł ań cuchu». U ogólnieniem  tej  koncepcji  jest  teoria  zniszczenia  zakł adają ca  nieprzekraczalną ,  gra- niczną   kumulację   mikrodefektów.  W  myśl  tej  teorii (6)  X <  Ault «  ]/ vJV,  r =  const. Z AG AD N I E N I A  N I E Z AWOD N OŚ CI  I  BEZ P I EC Z EŃ STWA  W  M ECH AN ICE 515 Kum ulacja  m ikrodefektów  A,  którą   m oż na  też  nazwać  lokalnym  stopniem  wytę ż enia, definiowana  jest  ja ko  prawdopodobień stwo  geometryczne  uszkodzonych  mikro- elemen- tów  w  mał ym  makro- elemencie.  Wią że  się   to  z  zał oż eniem  zł oż onej,  losowej  struktury oś rodka  quasi- jednorodnego  i  z  wyróż nieniem  w  nim  elementów  mał ych  pierwszego rzę du  (m akro)  i  drugiego  rzę du  (mikro).  P aram etr  r  daje  się   zinterpretować  jako  gra- niczna  ilość  m ikro- uszkodzeń,  które  mogą   być  skoncentrowane  w  jednym  elemencie pierwszego  rzę du.  Lokaln y  stopień  wytę ż enia  wyraża  się   dla  niezależ nych  mikro- naprę- ż eń  i  mikro- wytrzymał oś ci  7? cał ką (7) =  f  Fa(R)MR)dR, gdzie F„ —  dystrybuan ta  m ikro- naprę ż eń,  f R   —  gę stość  prawdopodobień stwa  mikro- wy- trzymał oś ci. D la  porówn an ia  ze  wzorem  (5)  podajemy  wedł ug  [14]  jeden  ze  wzorów  n a  ś rednią wytrzymał ość  ciał a  o  obję toś ci  V,  który  wynika  z  tej  koncepcji.  M amy (8) R gdzie  W  —  funkcja  odwrotn a  do  funkcji  Laplace'a,  v x   —  współ czynnik  zmiennoś ci  R t . Jeszcze  ogólniejsza  jest  koncepcja  równoległ ej  wią zki  ł ań cuchów. M oż na ją   wykorzys- tać  do  wyjaś nienia  efektu  skali  dla  rozcią ganych  prę tów  pryzmatycznych  z  materiał u cią gliwego  [14]. Okazuje  się , że  efekt  ten m a jakby  charakter anizotropowy, tzn. parametry b) Q-   const Rys.  6. Zależ ność  oczekiwanej  granicy  plastycznoś ci  Q  i  jej  współ czynnika  zmiennoś ci  v  od  (a) dł ugoś ci  L ,  (b)  pola  przekroju  A  rozcią ganego  prę ta  cią gliwego  stochastycznie  niejednorodnego rozkł adu  prawdopodobień stw  granicy  plastycznoś ci  Q  inaczej  zależą   od  dł ugoś ci  prę ta L ,  a  inaczej  od  pola  jego  przekroju  A  (rys.  6). U kł ady  szeregowe  i  równoległ e  są   to  podstawowe  modele  rozważ ane  w  teorii  nieza- wodnoś ci  systemów.  D o  m odelu  szeregowego  czyli  pojedynczego  ł ań cucha  daje  się   spro- wadzić  wszelkie  ustroje  statycznie  wyznaczalne  (np. z  rys.  7a), zł oż one z  elementów  o nie- zależ nych  granicach  wytrzymał oś ci.  U stroje  statycznie  niewyznaczalne  dają   się   podzielić czasem  n a  takie  podzespoł y,  które  po  zblokowaniu  dają   się   sprowadzić  do  ukł adu  sze- regowego  (n p.  rys.  7b).  Równoległ y  schemat  bloku  n a  ogół   niezbyt  dokł adnie  modeluje 516 J .  M U RZEWSKI pracę   statyczną   podzespoł u.  M odele  równoległ e  i  mieszane,  bardzo  rozpowszechnione w  teorii  niezawodnoś ci  ukł adów elektronicznych  [10], są   niestety  zbyt  uproszczone  w  sta- tyce  ustrojów  niewyznaczalnych.  N ie  są dzimy  jedn ak,  by  rozwój  analizy  takich  zastę p- Q J  I V Ł  fl, Blok Di \ > < / )  O D 1   D 2 Ei Rys.  7. Przykł ady  konstrukcji  zł oż onej  z  losowo- jednorodnych  elementów,  których  niezawodność maleje:  a) ukiad  szeregowy, b)  ukł ad  mieszany czych  modeli  był   tu  potrzebny.  Są   już  bowiem  przykł ady  ś cisł ych  obliczeń  prawdopo- dobień stwa  zniszczenia  elasto- plastycznych  ram ,  belek  cią gł ych  i  kratown ic  hipersta- tycznych  [15], oparte  n a  rozważ eniu  prawdopodobień stw  warunkowych  powstan ia  wszel- kich  moż liwych  mechanizmów  pł ynię cia,  których  zbiór  może  być  przeliczalny,  a  może być —  mocy continuum . D rugim  efektem  statystycznym,  który  omówimy,  jest  efekt  trwał oś ci.  T ak  propon u- jemy  nazwać  efekt  zwią zany  z  czasem,  a  wię c  do  pewnego  stopn ia  analogiczny  do  efektu skali, który  dotyczył  wymiaru  przestrzeni. Efekt  trwał oś ci uwzglę dnia  się   od dawn a  w  prak- Rys.  8. Losowy  proces  obcią ż enia  P{t) przewyż szają cy  w czasie  T  noś ność  niestarzeją cej  się  kon- strukcji tyce  projektowania,  przyjmują c  in n e  obcią ż enia  dla  budowli  prowizorycznych,  a  inne dla  budowli  stał ych —  n a  podstawie  intuicyjnego  odczucia.  Teoria  asym ptotycznych rozkł adów  ekstremów  pozwala  n a  ś ciś lejsze  ustalenie  obcią ż eń  obliczeniowych  P gr   w  za- leż noś ci  od  zał oż onego  z  góry  prawdopodobień stwa  przecią ż enia  3P{P >  P gr ),  prelimi- nowanej  trwał oś ci  obiektu  T   i  param etrów  rozkł adu  P o ,  v 0   maksymalnego  obcią ż enia w  ustalonym  okresie  t 0   (rys.  8). Z AG AD N I E N I A  N I E Z AWO D N O Ś CI  I  BE Z P I E C Z E Ń STWA  W  M ECH AN ICE  517 D la  rozkł adu ekstremalnego  pierwszego  rodzaju  (G umbela)  mamy (9, a  dla  rozkł adu ekstremalnego  drugiego  rodzaju  (F recheta) nr gdzie  0  =   ~^ rs  5~\   ś redni  okres powrotu przecią ż enia,  a  s  0,8 v 0   —  weibullowski wskaź nik  zmiennoś ci. D la  stosowalnoś ci  tych  wzorów  potrzeba,  by  maksymalne  obcią ż enia  w  są siednich okresach  t Q   był y  stochastycznie  niezależ ne.  Zał oż enie  to  jest  raczej  kł opotliwe.  N ie jest ono  potrzebne  w  teorii  przewyż szenia  ustalonego  poziomu  N   przez  stacjonarny  proces stochastyczny  P(t). G dy  proces jest  gaussowski,  to  ryzyko  przecią ż enia  P(t)  >  N   wynosi gdzie  f p   —  gę stość  prawdopodobień stwa  obcią ż enia  chwilowego  o  parametrach  P o ,  JJ, 0 , K T  —  funkcja  autokorelacyjna  procesu  obcią ż enia  dla  dwóch  chwil  odległ ych o  T,  a krop- kami  oznaczono róż niczkowanie  wzglę dem  czasu. D ystrybuan ta  trwał oś ci  przy  stał ym w  czasie  ryzyku  wyraża  się   wzorem wykł adniczym (12)  F(t)  = 0>(T  —  sprawność  kon troli,  r 0   —  ryzyko  stacjonarne,  T o   — trwał ość  preliminowana. N ajtrudniejszy  do  oszacowania  jest  param etr  ip mogą cy  się   wahać  w  granicach (15)  0  <  f  <  1. G dy  sprawność  kon troli  osią ga  kres  dolny  (f  =  0),  t o  funkcję   przetrwan ia  bę dziemy  n a- zywać  funkcją   niezawodnoś ci,  gdy  zaś  tp =   1,  bę dziemy  mówić  o bezpieczeń stwie.  P ro p o - nują c  takie  rozróż nienie  poję ć  niezawodnoś ci  i  bezpieczeń stwa  mamy  n a  uwadze  wy- magania  zwią zane  z  odrę bnymi  dziedzinami  zastosowań  teorii  niezawodnoś ci  i  teorii bezpieczeń stwa,  mianowicie  z  dziedziną   urzą dzeń  mechanicznych i  elektrycznych  w  pierw- Z AG AD N I E N I A  N I E Z AWO D N O Ś CI  I  BE Z P I E C Z E Ń STWA  W  M ECH AN ICE 519 szym  przypadku,  i  dziedziną   konstrukcji  budowlanych  —  w  drugim.  W  rzeczywistoś ci nie  m a  t ak  drastycznych  róż n ic  sprawnoś ci  kon troli  w jednym  i  drugim  przypadku  i moż- n a  oczekiwać ,  że  krzywa  przetrwan ia  bę dzie  zawsze  przebiegać  mię dzy  krzywą   nieza- wodnoś ci  a  krzywą   bezpieczeń stwa. Rys.  11. F unkcja przetrwania  obiektu,  zmienna w czasie zależ na od sprawnoś ci  kontroli odbiorowej Jeś li  stawiamy  problem  kon troli,  to  od  razu  n asuwa  się   kwestia  podział u  odpowie- dzialnoś ci. Ile  m a  być  wielkoś ci  podlegają cych  kon troli,  z  pun ktu  widzenia  ogólnej  teorii bezpieczeń stwa,  czyli  ile  jest  tzw.  param etrów  bezpieczeń stwa? Jeś li  rozróż n iamy  tylko  jeden  param etr  bezpieczeń stwa,  to  mamy  przypadek  osobliwy, w  którym  nie  m a  wł aś ciwie  sensu  mówić  o  odpowiedzialnoś ci  kogoś  przed  kimś.  Ale dla  moż liwoś ci  póź niejszego  porówn an ia  rozpatrzm y  najpierw  ten  wł aś nie  przypadek. Tym  jedn ym  param etrem  bezpieczeń stwa  może  być  n p .  losowy  współ czynnik  bezpie- czeń stwa (16) x  =  Rja  >  1, gdzie  a —  losowe  n aprę ż en ie, R  —  losowa  wytrzymał oś ć. Z  warun ku  zachowan ia  z  góry  dan ego  bezpieczeń stwa  Q, (17) =  Q, otrzymujemy  dla  rozkł adów  log- norm alnych  prosty  wzór  na  obliczeniowy  współ czynnik bezpieczeń stwa (18) x  = gdzie  v t ,v 2   —  logarytm iczn e  wskaź niki  zmiennoś ci  i  naprę ż enia.  D la  norm alnych  roz- kł adów  prawdopodobień stw  wytrzymał oś ci  i  naprę ż enia,  wzglę dnie  —  noś noś ci  i  ob- cią ż enia,  lepiej  jest  wzią ć  ja ko  jedyn y  param etr  bezpieczeń stwa —  losową   rezerwę   noś- noś ci (19) Wówczas  warun ek  bezpieczeń stwa x  = N - P  > 0. 520 J .  M U RZEWSKI daje  prosty  wzór  n a  wartość  obliczeniową: (20) x  = gdzie  fj, lt   fj, 2  —  odchylenia  standardowe  noś noś ci  i  obcią ż enia. Jeś li  zgodzimy  się,  że  są  dwa  param etry  bezpieczeń stwa,  to  n aturaln ą  rzeczą  bę dzie uważ ać  jako  takie —  losową  noś ność  i  losowe  obcią ż enie: (21)  N   >  X,  P(N   >  X,  P    P), co  jak  spostrzegliś my,  przez  dł ugi  czas  rozwoju  teorii  bezpieczeń stwa  nie  był o  rozum ian e [14]. Z warunku bezpieczeń stwâ  <  Q  i zał oż enia o typie  rozkł adów wynikają  współ czynniki tolerancji {~\   _  1  T T 1  f  V\   v  0 1  ~ ~   ""*"  1 v  / X y które  sł użą  do  okreś lenia  czę ś ciowych  współ czynników  bezpieczeń stwa  Ą,  Z  =   1,2, i  obliczeniowej  wartoś ci  granicznej  X.  N p .  dla  rozkł adów  log- normalnych (24)  Si =  e^ ',  X  =  N js 1   lub  X  =  Fs 2 . G lobalny  współ czynnik  bezpieczeń stwa  wynosi (25)  s  =  ^ A Z AG AD N I E N I A  N I E Z AWO D N O Ś CI  I  BE Z P I E C Z E Ń STWA  W  M ECH AN ICE  521 Współ czynnik  bezpieczeń stwa  daje  się   sformuł ować  tą   metodą   dla  trzech  i  wię cej param etrów  bezpieczeń stwa,  mianowicie (26)  s  =  e x p ^ 1  AiVi, i nie  da  się  jedn ak  ogólnie  okreś lić  dla  tzw.  m etody  «Stanów  G ranicznych))  [2]. W metodzie SG   ilość  param etrów  bezpieczeń stwa  nie jest  z  góry  ustalona,  a  dla  każ dej  ewentualnej zmiennej  losowej  (lub  jej  skł adowej),  która  wystę puje  w  obliczeniach  wytrzymał oś cio- wych,  okreś la  się   wartość  graniczną   wedł ug  «reguł y  trzysigmowej» (27)  X t   m  x t ±3ai, gdzie  di  — odchylenie  stan dardowe  zmiennej  losowej  xi. Bardzo  waż nym  problem em  jest  optymalizacja  m iar  bezpieczeń stwa  [1],  [20].  Teoria bezpieczeń stwa  n abiera  wł aś ciwego  sensu  dopiero  p o  sformuł owaniu  warunku  ekono- micznego.  W  myśl  tego  warun ku  ogólny  społ eczny  koszt  obiektu,  do  którego  oprócz kosztów  realizacji  i  asekuracji  doliczają   także  koszty  eksploatacji  i  likwidacji,  powinien osią gać  m in im um .  D la  tej  funkcji  celu  optymalizuje  się   prawdopodobień stwo  bezpie- czeń stwa  i  zależ nie  od  wskaź n ików  kosztów  awarii  proponuje  się   klasyfikację   bezpie- czeń stwa  budowli  i  innych  obiektów  technicznych  [14].  Oprócz  tych  zagadnień,  które wymagają   danych  ekon om etryczn ych  i  które  nazwiemy  drugim  zadaniem  optymalizacyj- nym  teorii  bezpieczeń stwa,  wyodrę bniliś my  pierwsze  zadanie  optymalizacyjne,  polegają ce n a  optymalnym  rozkł adzie  z  góry  danego  wskaź nika  bezpieczeń stwa  Q  na  czynniki Q t ,Q 2   . . . .  Z auważ my,  że  ju ż  przy  dwóch  param etrach bezpieczeń stwa  (23)  mamy  jeden stopień  swobody  w  tym  wzglę dzie. P robabilistyczne  teorie  niezawodnoś ci  i  bezpieczeń stwa  są   to  teorie  mł ode,  stoją ce niewą tpliwie  u  progu  swego  rozwoju.  Same poję cia  niezawodnoś ci  i  bezpieczeń stwa,  które w  sposób  lapidarn y  objaś niliś my  przeciwstawiają c  rys.  12  i  rys.  13,  nie  są   rozumiane w  sposób  jedn ozn aczn y.  N iektórzy  kojarzą   poję cie  niebezpieczeń stwa  tylko  z  tymi  okoli- cznoś ciami,  które  stanowią   bardzo  poważ ne  zagroż enie  dla  czł owieka,  a  poję cie  nieza- wodnoś ci —  z  moż liwoś cią   niespeł nienia  wszystkich  innych  funkcji  obiektu.  Tak  czę sto rozum ie  się   teorię   niezawodnoś ci  w  mechanice  maszyn,  silnie  wią ż ąc  niezawodność  z  za- gadnieniam i  starzenia,  zuż ycia  i  trwał oś ci  technicznej,  a  nawet  m oralnej.  Oczywiś cie w  mechanice  budowli  także  m oż na  i  trzeba  zagadnienie  niezawodnoś ci  i  bezpieczeń stwa stawiać  ogólnie  i  kom pleksowo  i  t u  przytoczymy  za  SAWYEREM   [18]  rys.  14,  przedstawia- ją cy  schemat  ideowy  takiego  sposobu  podejś cia  w  budownictwie  ż elbetowym.  Z  tego schematu  wył ania  się   bardzo  szerokie  zadanie  probabilistycznej  mechaniki  konstrukcji, polegają ce  n a  takim jej  zaprojektowan iu,  by  zoptym alizować  krzywą   wzglę dnych  kosztów szkód,  wynikł ych  z  niewł aś ciwego  zachowania  się   budowli  w  zależ noś ci  od  prawdopo- dobień stwa  przecią ż enia. Obecny  stan  rozwoju  teorii  niezawodnoś ci  i  bezpieczeń stwa  jest  już  jedn ak  tak  za- awansowany,  że  wielu  autorów  i  instytucji  uznaje  za  aktualną   sprawę   wprowadzenia n iektórych  wyników  d o  n o rm  projektowan ia  konstrukcji  budowlanych  [14],  [19]  i innych [1],  [13]. R ozważ an ia  i  dyskusje  idą   w  dwóch  nie  wykluczają cych  się   kierun kach : a)  okreś lenia  systemu  czę ś ciowych  współ czynników  bezpieczeń stwa  lub  tym  podob- nych  wartoś ci  obliczeniowych,  które  miał yby  obiektywny  sens  statystyczny  [17],  [19]; 522 J .  M U RZEWSKI b) wprowadzenia  miar  bezpieczeń stwa  pozwalają cych  n a  klasyfikację   bezpieczeń stwa projektowanych  lub  wykonanych  obiektów,  na  podstawie  racjonalnych  przesł anek  [13], [14], 10 1 r,  ,  oczekiwanie szkody J   k ° p *  koszt  budynku 10°  W p =  prawdopodobień stwo  przecią ż enia iv okresie  uż ytkowania 0,20  0,40 0,60  0,70 0,90 - 1  Obcią ż enie s =- N oś noś ć Rys.  14. Przypuszczalny  wykres  charakteryzują cy  koszty  zmiaa  stopnia  niezawodnoś ci  konstrukcji ż elbetowej  wedł ug S awyera Propozycje  nowelizacji  n orm  projektowania  mają   n a  razie  charakter  kom prom iso- wy  — zachowują   n a  ogół   konwencjonalną ,  deterministyczną   m etodykę   obliczeń.  Bardziej konsekwentne,  probabilistyczne  metody  projektowania  są   jedn ak  kwestią   nie  t ak  od- legł ej  chyba  przyszł oś ci.  P roblemy  rozwojowe,  których  rozwią zanie  może  tę   perspekty- wę   przybliż yć  są , zdaniem  autora,  nastę pują ce: 1) przetworzenie  posiadanych  informacji  o  obcią ż eniach  konstrukcji  i  zebranie  n o - wych  danych  statystycznych  wedł ug  jednolitego,  spójnego  systemu,  opartego  n p .  n a teorii  rozkł adów  ekstremalnych  lub  teorii  procesów  stochastycznych, 2) wyprowadzenie  prostej,  ale  probabilistycznie  uzasadnionej  m etody  kojarzenia  (ko- niunkcji)  obcią ż eń  wieloź ródł owych, 3)  opracowanie  praktycznych  m etod  obliczania  prawdopodobn ej  noś noś ci  ustrojów hiperstatycznych  z  uwzglę dnieniem  niepewnych  wł asnoś ci  wytrzymał oś ciowych,  odchy- ł ek  wymiarów  i  bł ę dów  wynikają cych  z  przyję cia  do  obliczeń  wyidealizowanych  schema- tów  statycznych, ZAG AD N IEN IA  NIEZAWODNOŚ CI  I  BEZPIECZEŃ STWA  W MECHANICE  523 4)  zbadan ie  doś wiadczalne  autokorelacji  cech  mechanicznych  dla  róż nych materiał ów kon strukcyjn ych;  dotkliwy  br a k  dan ych  w  tym  zakresie  bardzo  hamuje  praktyczne  za- stosowanie  probabilistycznej  m echan iki  budowli, 5)  okreś lenie  uzasadn ion ych  limitów  dla  czasu  eksploatacji  poszczególnych  typów  kon- strukcji  i  przygotowanie  plan u  wdroż en ia  techniki  niezawodnoś ci  dla  konstrukcji  budo- wlanych  i innych. Literatura  cytowana  W tekś cie 1.  E. ABRAHAMSEN,  Structural  safety  of ships and risks  to human life, European Shipbuilding, 6(1962), 3- 7. 2.  B. A. BAJiffHtH   ii H H .  Pacuem  cmpoumeAbmix  KoiicmpyKifiiu no npedejihHbiM  cocmosiuuHM,  M o c K B a l95 1. 3.  W. W.  BO Ł O T I N ,  Metody  statystyczne  w mechanice  budowli,  Warszawa 1968. 4.  B. B.  EOJIOTHH, T IpuMenemie  meopuu eepommoamu  u meopuu nadeotcHocmu  e pacuemax  coopyoicemiii, MocKBa 1971. 5.  J. F .  BORG ES, M.  CASTAN HETA,  Structural  Safety, Lab. N ac.  de Engenheria Civil,  Lisboa,  Course 101 N ov.  1969. 6.  C. A. CORN ELL, Bounds on the reliability of structural systems, J/ Struct. D iv. ASCE, F ebr.  1967,171- 200 7.  B. E. ""̂ E^ynHHj Macmma6HUU  c/ iaKmop  u  cmamucmunecKan  npupooa  npouHOcmu  MemaMoe,  MOCKBB 1963. 8.  J. D AH L,  G ,  SPAETHE,  Sicherheit  mid Zuvelasstgkeit  von  Bauv/ erken,  D eutsche Bauinformation,  D BA, Berlin  1970. 9.  A. M .  FREU D EN TH AL, Critical appraisal of safety  criteria and  their basic concepts, VHI- th Congr. TABSE— N ew  York  1968, Prel. R ep. 45- 55. 10.  W. W.  G N IED IEN KO, J. K.  BIELAJEW,  A. D .  SOŁOWIEW,  Metody  matematyczne w teorii  niezawodnoś ci, Warszawa  1963. 11.  E. G UMBEL, Statistics  of Extremes,  Columbia U n .  Press, N ew York 1962. 12.  O. G . JU LIAN ,  Synopsis  of  First  Progress Report  of  Committee on Factors of  Safety, J. Struct.  D iv. ASCE, July  1967, 1- 22. 13.  P . H . JU U L, N ote sur le degre de securite et sur les risques de rupture dans Vetude  des pylónes,  CIG RE — Session  1964, P aris, N o  215. 14.  J.  M U RZEWSKI, Bezpieczeń stwo  konstrukcji  budowlanych,  Warszawa  1970. 15.  J.  M U RZEWSKI,  J.  SOJKA,  Charakterystyka  prawdopodobień stwa  noś noś ci  granicznej ustroju  z quasi- jednorodnego  materiał u  cią gliwego,  Rozpr. Inż .,  2 (1967), 259- 282. 16.  J.  MU RZEWSKI,  A.  WI N I AR Z ,  Safety  of structures  subject to random load impulses,  Bull.  Acad.  Polon. Sci.,  Serie sci.  techn., 4  (1970), 1- 8. 17.  M. K.  RAVIN DRA,  A. C.  H EAN EY,  N . C.  LI N D ,  Probabilistic  Evaluation of  Safety  Factors,  Symposium IABSE —L o n d o n  1969, F inal R ep. 35- 46. 18.  H . A. SAWYER,  Comprehensive design  of reinforced concrete frames  by plasticity factors, Bull. d'Inform. CEB,  N o 53, Janv.  1966,  299- 316. 19.  M. TICH Y,  A  L ogical  System  for  Partial  Safety  Factors, Symposium  IABSE —Lo n d o n  1969,  F inal Report,  273- 277 20.  C. J.  TU RKSTRA,  Choice  of failure probabilities,  J. Struct. D iv. ASCE, D ec. 1967,  189- 200. 21.  W. WIERZBICKI,  Obiektywne  metody  oceny bezpieczeń stwa  konstrukcji, Warszawa  1961. P  e 3 io  M  e BO n P O C Ł I  H AAliSCH OCTH   H  BE 3O n AC H O C T H B  M E XAH H KE  M ATEP H AJIOB H B  TeopHH  MexaHHHecKon Hafle>KHocTH  H  6e3onacnocTH   Ha  iwaKpocKonaiecKOM BepoHTHocTHwe  iweTOflbi,  Tan  flnH   3ap,z<ł   o  H arpy3Kax3  Kai<  H   flna  Haxo>KfleHHH   CBOHICTB B  n epByio  o^epeflt  paccM aTpH Bajracb  HeKOTopbie  ocnoBH bie  pacnpeflejieH H H   BepoHTHocxeft  ( T a 6n . 2 ) , 524  J.  MURZEWSKI 6bin  paapaSOTaH   aHajiH3  acHMnTOTH- qecKHX pacnpefleneH H ft  ( T a 6 n .  3) ,  a BToporo  nopfiflKa  n p n  iieonpefleJieHHOH   cpopivie  pacn peflen eH iM .  IIpocTafl  BepoH TiiocTiiaH Macm.Ta6iioro  3tbeKTa  flana  BeaSyjuioM   H JIH   xpym cax  Ten .  flua  H CKOTOPBIX  3a«aq  RaHO  o6o6meH H e 3T0H   TeopHH  Ha ynpyro- miacTiP iecKHe  co o p ym ero m  ( P H C .  7) .  P aCTe'roan  n arpy3Ka  3aBHCHT  OT  n pefln o- aaraeM oro  BpemeHH   pa6oTW  KoiicrpyKUHHj  ( 9) ,  ( 10) .  TaKofi  3(|)4)eKT  HOJiroBe^HocTM   6bin  pacciwoTpeH C T o wn  3peHHa TeopHH  rayccoBbix  M aniroH apH kix  cn yqaH H tix  n poqeccoB  (opM.  13) .  C  T O ^ K H   3peHHH KOH ipona  noiwTH H   H aflenaiocTH   H  6e3onacH0CTH   pa3n n M n w.  3 T H   IIOH H TH H   OTHOCHTCH   K  nsyM cjiyianiw:  Korfla  fle4)eKTH bie  H3flenHH   He  HCKJiicmeHM   (nr.  13) ,  H JIH   K or^a  OH H   Bn ojin e i  (Hr. 12) .  E C JI H  34)^eKT  KOH TP OH H   yuTCH  B pac^e'Tax  HeoSxoflHMo  on pe^en H Tb OTHOCKTenb- oTBepcTBeHHocTH.  Pa3^H qH H  iwewfly  6e3onacHOCTLM  u  Hafle>KtiocTŁio  Bo3HHKaiOT B  cjiyqae 6on ee  KOHTporaipyeMbix  napaM erpoB  6e3onaciiocTH   ( O wr .  12) .  Koa^J^Hi^HeHT 3an aca  pa3jia- raeTCH   B  STOM  c n yia e  Ha  vacxwmbie  4 > a K T 0 P M  ( 25) . S u m m a r y RELIABILITY  AN D  SAF ETY  PROBLEMS I N  M ECH AN ICS OF  M ATERIALS  AN D  STRU CTU RES Probabilistic  methods  are  applied  to  mechanical  reliability  and  safety  problems  on  the  macroscopic level, both  to  the loading  and  structural  properties.  F irst,  some  basic  probability  distributions  (Tab.  2) have  been  taken under consideration,  then a  distribution- free  analysis is  attempted  by  means  of  the  asymp- totic distributions  (Tabl.  3)  or  by  a  «second- order»  statistical  analysis,  where  the exact  form  of  the  distri- bution remains  undefined. Simple  probabilistic  theory  of  size- effect  has  been  developed  by  Weibull  for  the  brittle  bodies.  The extension  of  the theory  to elastic- plastic  structural  systems  is  already  accomplished  in some  cases  (F ig. 7). The design  load  depends  on the anticipated  service- life  of  the structure, E qs.  (9), (10). This  «durability effect»  has  also  been  analysed  by  means  of  G aussian  stationary  stochastic  processes,  Eq.  (13). N otions of  reliability  and safety  are  distinguished  from  the point  of view  of  the effect  of  control. These notions  correspond  to  the  two  extreme  cases:  no  preliminary  elimination  of  defective  objects  (F ig.  13) and  the perfect  elimination  (Fig-   12). If  the  control  effect  is  taken  into  account, the specific  fields  of  re- sponsibility  must  be  defined  and  delimited.  The  difference  between  safety  and  reliability  is  evident  in  the case  of  two  or  more  safety  parameters  under  control  (F ig.  12).  The  safety  factor,  E q.  (25),  is  easily  de- composed  into partial  factors  in these  cases. P OLI TE C H N I KA  KRAKOWSKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  22  listopada  1971  r.