Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  10 (1972) PRAKTYCZN A  P OSTAĆ  O G Ó LN E G O  ROZWIĄ ZAN IA  TARCZY  JEJD N OSP ÓJN EJ KAZIMIERZ  R Y K A L U K  (WROCŁAW) 1.  Wprowadzen ie U G OD C Z I KOW  [1]  po dał   ogóln e  (zespolone)  rozwią zanie  sprę ż ystej  i  jednorodnej  tar- czy  jednospójnej  obcią ż onej  dowoln ym  ukł adem  sił .  U kł ad  ten  stanowią :  sił y  skupione Qj  (j  —  1, 2,  ..., q)  przył oż one  w  pun ktach  tj  kon turu  tarczy  L   (rys.  1),  obcią ż enie  roz- Pft) Rys.  1 ł oż one  n a  kon turze  L —p{t)  —  p x (t)  + ip y (t),  sił y  skupione  Pj  (j  =   1, 2,  ...,p)  przył oż one w  wewnę trznych  pu n kt ach  tarczy  zj  oraz  m om enty  skupione  Mj  (j  =  1, 2,  ..., m)  przy- ł oż one  w  wewnę trznych  pu n kt ach  lj. Rozwią zanie  t o ,  d o ko n an e  m etodą   M U SCH ELISZWILIEG O  [2], dotyczy  przypadku,  gdy obszar  tarczy  S  leż ą cy  n a  pł aszczyź nie  zmiennej  z  =  x+iy  m oż na  odwzorować  konfo- rem nie  n a  koł o jedn ostkowe  |f|  <  1  (f  =   C +  irj)  za  pomocą   wielomianu (1.1) Wtedy  kon tur tarczy  L   zostaje  odwzorowany  w  okrą g  y  (rys.  2), punkty  tj  —  w  punkty =   exp(i(0 gdzie  C? jest  m oduł em  Kirchhoffa. P otrzebny  we  wzorach  (1.14)  pun kt  f  odpowiadają cy  punktowi  z  wyznaczymy  z  funk- cji  odwrotnej  £  =   a ) "1  (z).  F unkcja  taka  istnieje,  gdyż  odwzorowanie  jest  konforemne i  jednoznaczne  [3].  Sposoby  wyznaczania  funkcji  odwrotnej  podaje  F ILCZAKOW  [6]. P rzytoczone  powyż ej  rozwią zanie  U godczikowa  posiada  dwie  niedogodnoś ci: 1) Przy  dział aniu jednej  z  sił  Pj  w  punkcie  Zj  =  0  (czyli  również  w  Cj — °)  nie moż na obliczyć  dla  tej  sił y  współ czynników  D k J)  wedł ug  wzoru  (1.7). 2)  F unkcja  y ( 0  okreś lona  wzorem  (1.3)  posiada  w  punkcie  C =   0  osobliwoś ć,  co uniemoż liwia  analizę  stan u  naprę ż enia  i  odkształ cenia  w  tym  punkcie  oraz  w  jego  oto- czeniu.  Obszar  wpł ywu  osobliwoś ci  jest  tym  wię kszy  im  wyż szy jest  stopień  wielomianu (1.1). 548  K.  RYKALUK Celem  niniejszej  pracy  jest  doprowadzenie  funkcji  y>(£)  (1.3)  oraz  współ czynników D[ J)  (1.7)  do  takich  postaci,  aby  m oż na  je  był o  obliczyć  w  każ dym  pun kcie  £   z  wyją t- kiem  pun któw  Cj i  %j, które  są  pun ktam i  istotnie  osobliwymi. 2.  Rozwią zanie problemu R ozpatrzm y  najpierw  dział anie  sił y  P t   w  począ tku  ukł adu  współ rzę dnych  ( £ x  =   0). Obliczmy  cał kę typu  Cauchy'ego  oznaczoną  w  pracy  [1]  jako  J{ s j) . Ą J)   = 5 1  r  '(^~ł )  J e s t  wartoś cią  brzegową  funkcji  co ^/ w'C f"1)  regularnej  w  ob- szarze  |C|  >  1 i  cią gł ej  w  obszarze  |C|  >  1 z  wyją tkiem  pun ktu  £   =   oo, w  którym  posiada biegun  rzę du  n.  F unkcję  tę  m oż na  zatem  zapisać  w  postaci  [2] (2- 2)  JV  l '  ^  A:= 0  fc- 1V Wyraż enie  Q  1  z  wyją tkiem  pun ktu  £  =   oo,  w  którym  posiada  biegun  rzę du n + 1 . Korzystając  z  (2.2),  otrzymamy (2 . 3 )  £ - W  myśl  twierdzenia  Cauchy'ego jest  [4] D la  drugiej  cał ki  po  prawej  stronie  wyraż enia  (2.1)  zastosujemy  wzory  podan e  w  [1]. Stąd (2.5)  T U)—  V  *,_/ • *+ ! _L A  i  V  nU)fk_,  \  y_/_ P R AK T YC Z N A  P OSTAĆ  OG ÓLN EG O  R O Z WI Ą Z AN IA  TAR C Z Y  JED N OSP ÓJN EJ 549 F unkcja  y>(£) wyrazi  się  ostatecznie  nastę pują cym  wzorem : (2.6) k=0 ~ - U) + 1 J—l ?Ą h- x 1 k=\ i  V  MJ  f przy  czym  zmieni  się  także  wzór  n a  współ czynniki  y4& 1 (2.7)  Ą - ^f + ^f-   >  e,- -̂ I III J.71  J—J  m' R ozpatrzm y  teraz  drugie  interesują ce  nas  zagadnienie.  Otóż  każ dą  funkcję  regularną / (£ )  m oż na w  otoczeniu p u n kt u  f  =   0  zapisać  w  postaci  sumy jej  czę ś ci  regularnej  i?(Q = i  czę ś ci  osobliwej  O ^  =   J^  r- - k C k  [3],  a  więc \   4 / (2.8) P rzy  rozwią zywaniu  zagadn ien ia  pł askiego  m etodą  M uscheliszwiliego  zachodzi  po- trzeba  obliczania  cał ek  typu  C auchy'ego  z  wartoś ci  brzegowych  pewnych  funkcji.  Cał ki te  równają  się  czę ś ciom  regularn ym  tych  funkcji  [2], czyli (2.9) (2.10) N a  podstawie  (2.8)  cał kę tę  m oż na  zapisać  także  w  postaci 1 1(0  = / ( £ )- O P ostać  (2.10)  był a  stosowan a  w  pracy  [1]  przy  obliczaniu  funkcji  f(C)  co spowodował o, że  n iektóre  jej  wyrazy  stał y  się  osobliwe  w  pun kcie  f  =   0.  Z  powyż szych  rozważ ań  wy- n ika jedn ak,  że  osobliwość  t a jest  pozorn a i  m oż na  się jej  pozbyć  poprzez  wyodrę bnienie czę ś ci  regularnej  funkcji  i/>(f)  w  obszarze  |f|  <  1. 5  Mechanika  Teoretyczna 550 K.  RYKALUK N a  podstawie  (1.5)  m oż na napisać k= \ Stą d (2.11)  F P ochodn a  funkcji  (2.6)  wynosi (2.12)  4- |- in 2n  Z- l 7 = 1 W  obszarze  |C|  <  1 funkcję   n- 2 F unkcja  (2.21)  posiada  w  punkcie  £  =   0  osobliwoś ć,  ale jest  t o  zwią zane  tylko  z  dzia- aniem  sił y  P 1  w  tymże punkcie. Współ czynnik  Zr^  obliczymy  z  rozwinię cia  funkcji  CO(Q)/ W '(Q)  W  szereg  Lauran ta, a  więc  wedł ug wzoru  [4] (2.22)  6.1  -   TJ-  f  ^ r r % . Stał ą  zespoloną  C x  należy  wyznaczyć  z  warun ków  brzegowych.  Obliczmy  jeszcze potrzebne  we  wzorach  (1.14)  poch odn e: (2.23) ft- 2 2*> (2.24) PRAKTYCZN A  POSTAĆ  OGÓLNEGO  ROZWIĄ ZANIA  TARCZY  JEDNOSPÓJNEJ 553 H.- V1 j=2. ft I 2n  ZJ  TO7? •  + n- 2 fl- 2 ( 0 ^  K(Q]   ^  Z  ; N ależy  zaznaczyć,  że  wzory,  (2.21),  i  (2.24)  obowią zują   tylko  w  obszarze  |f|  < 1, n atom iast  n a kon turze y  funkcja  ip(t) wyraża  się  wzorem  (1.3). 3. Przykł ady liczbowe 1. Wyznaczyć  rozkł ad n aprę ż eń obwodowych  a ę   na kon turze tarczy  koł owej  o  promie- niu  R  obcią ż onej, ja k n a rys. 3. F unkcja  odwzorowują ca  jest  w tym przypadku jedn om ian em i wynosi z  =   RCt Ze  wzoru  (1.8)  obliczymy  b x   =  1. P un kt  zaczepienia  sił y  Q x   — t x   =  R  zostaje  odwzorowany  w  pun kt gi  =  1. y Rys.  3 N a  podstawie  wzorów  (2.7),  (1.12)  i  (1.9) obliczamy  k o l e j n o ^  —X\ 2n,  a x   =XjA%, Ze  wzglę du  n a  t o , że  n a  kon turze  a, =  0,  wystarczy  obliczyć  tylko  funkcję   q>'(0, gdyż a 9   -   4R e Ze  wzoru  (2.12)  otrzym am y , m  1  X  1 -   - -. XX  X  2+(K- 1)C+(X+1)C 2 2n  l - < An f (i -  0 554 K.  RYKALUK N a  kon turze  y — C =   Q =   e'9  =  cos  pun ktom  z 2  =   - z3  =   0, 27712(1+ 0. Współ czynniki  b k ,  obliczone  wedł ug  wzoru  (1.8), wynoszą - - if) I  r  \ 2   r +  2 5 ( ^ -   - i i -=   0,94484, Cl  /   Ct =   - 0, 07917, Cl =   0,04166, b 2   = b 4   =  b 6   = b B   =  0 . RAKTYCZN A  POSTAĆ  OGÓLNEGO  ROZWIĄ ZAN IA  TARCZY  JEDNOSPÓJNEJ  555 Obliczamy  teraz  współ czynniki  D[J)  wedł ug  wzoru  (1.7). =   *  ( j 1 +   *5_ +   A A  =   _D[3)  =   _ 1 > 9 2 8 0 8 ( 1 + 0 tz  \   «  t2  / =   _ J _ /  **_ +   **_] =   Ą .)  =   _0,98324, C2  \   £2  fz  / tf  =   - 0, 49162(1- 0, £ 2  \   ba Z> =   -   - i-  ( A -   +  4Ł -1  =  DP  =  0,49162/ , - - | - k-   + - * £ - )-   - £ ( 3) =  0,24581(1 +  0, =   0,16664,  £ 7 2>  - - - & --   - i>( 73 )  -   0, 08332( 1- 0, C l i ) 6  0,16664,  £ 7  & £2  C l =   - 0,08332*,  Dp  =   - Ą-   -   - - D( 9 3)  =   - 0,04166(1 +  i). C Wprowadź my  ozn aczen ie:  jR, =   v ' ^ .  w  .  Wtedy  i? 2  =   - i ?3 =   1,35206(1 +  0- Współ czynniki  ,4fc,  obliczone  wedł ug  wzoru  (2.7),  wynoszą 2,00000*:-   2,30408  - 0 , 3 3 3 3 3 K - 0 , 7 3 7 64  . 2] / 2T T ( 1 +  «)  '  2]/ 2n(l + x) - 0,1000Qp<- 0,36882  0,03571^+ 0,34275  . 0,01389^  +  0,17137 ^ 9  =   7= —  Ai  =   AA  =   Aa  —  As  =   U . U kł ad  ró wn ań  (1.12) przybierze p o st a ć : a 8   =  0, a 7  =   >43 a 6  = 0 , ; +  4Z>954  =  0, , +  2 5 9 a 2  =  0, 556  K.  RYKALUK Powyż szy  ukł ad  da  się   rozseparowac  na  dwa  ukł ady  niezależ ne —jed en  z  nieparzysty- mi  wskaź nikami  przy  niewiadomych  i  drugi  z  parzystymi  posiadają cy  jedynie  rozwią za- nie  zerowe,  tzn.  a 2   =   «4  =   a 6   =   a a   =   0.  N atom iast  z  ukł adu  równań  posiadają cego nieparzyste  wskaź niki  przy  niewiadomych  tworzymy  dwa  ukł ady  równań  poprzez  roz- dzielenie  czę ś ci  rzeczywistych  i  urojonych,  stosują c  dla  współ czynników  a k   zapis  (1.11). Z  rozwią zania  ukł adów równań otrzymamy 1 , 0 3 0 8 7 K -  1,30782  - 0, 26926^- 0, 53173 2 J / 2 ( 1  +   ) - 0, 01522^- 0, 39093  0,00206* +  0,27630  . 2  / 2 ( l  ) - 0, 02905K + 0, 22585 a   =   , -   ,  a 2   =  a 4   =  a 6   =  a 8   =  0. 2- y2jr(l+ «) N a  podstawie  wzoru  (1.9)  obliczamy  współ czynniki  Ą 0,96913^- 0,99626  - ,  - 0, 06407^- 0, 20591 X  ,  A3  =   p=   z, - 0, 08478^+ 0, 02211  =   0,03365^+ 0,06645  ; 2]/ 2n(l+H) 0,04294*- 0,05448  „ A 9  _  ,  A 2  —  A 4  —  A 6  —  A 8  =   U. Współ czynniki  g k   oraz  / jj,  obliczone  wedł ug  wzorów  (2.16)  i  (2.19),  wynoszą =   - 0,39002a,  g n   =   9c 9 bi.  =  0,19107o, - 0, 76436*- 1, 66032  . - 0, 05120*- 2, 00775 0,01362*+ 1,82741  . n 5   —  ibiCin  =   =   1, 2j/ 2w( I+ «) ,  . ,  - 0, 24703*+ 1, 92053 M amy  zatem wszystkie dane,  aby  m óc napisać wzory  (2.12),  (2.23) i  (2.24): +   6, 51717^2+ 4, 80565C ;4- 2, 79811it6- l, 00944C8 -   0,38646C8)  , X  I s  i s  +  *  + N  +  *  i  N  I N X  H  oo  v i  - rt*  N  [ ^  (N  £̂>   (S  h-   oo  CT\   O * O i  *t  oo  yD  en  m m  r-   co  (N  »n  o r ^  \ o  ^ ~  l >   O  r-1  i n  oo  (N  oo  ^  c - l vi  ^ H ( N  M  M T- <  Tt - ^-i  o r -   *o  r-   *- i  CTS  m c j \   oo  DO  < JS  t— *rf  en  i n  r ^c ~ -   oo  i—i  t - no  I-H  *3-   OO  H  VO  O §  < n rf  T-H  f ^  M  ^  vo" t- ?  o\   as"  ^o  o"  r- i  o" ! M  I I  | - i ^ _ t M +  +  1  I  I  | r - l O -   + S + X  | N  | X + N +  - * r - , i w - 1 \ o o o M -   v o m j S o o ! 3  rtincst- it^m  o s o o S — i I  q  m  r T  oo  IJŚ"  H  B  o "  m"  UT"  r- f > -   +  +  1 '  '  + Q  .„   .„   .,  ..  +... s-   + - ^ + ^  ,1?  ,  +1?  « 1? K  o o v o  r - "n  i n  O\   o o ^ t -   rt- AD T^  OO  ^ t  O t ~ -   CO  Ô  0 0 0  \ D ^ ^  M  t*-   ^ - ^-   c o t - -   m  a\   ^ O N r ^  CO" * t  CO" VO"  en  i- t  Tf  n  1  H -   %   i i  i i l i  +  "ST  i  "S  + 1 T + x 3  o  o o t s i c n v o  M - t - ł c no Ł J ^ T  o  «  o n  y 3 0 \ T l - v o ^  1 ^  a > ^ o « " > " *  —i  O  m  ffi > •   r f  0 "  ^0"  T- T  m  0 "  o f  t^r ^  +  x  + s  + s  + s  + * • . + • .*  r * /—N  DO  t ^  T t m  r - 00  H  v i  * t  H  a\   o\   T - HO ?i  u  00  O " o  c^r* %  o t - -   r o o  ( N C h  r - ^ t* r  N  0  - «^- VD  v i  00  m r * J  o \ o  r ^ r -   0 0 0 ~r  c r \ c o  r s  co  c n r ~ -   o o >   • ^• 00  M S ' ^  OOI- H T-<  V D O  >n  rH  00  1O  V£> F-   m o O  i - H *̂  V O O "hÓ1  r~f  <- H"  lo"  r- l  00" i- i"  H f r t  i-H  Ó"  O O  O"  Ó" 1̂5  +  +  1 4-   +  +  1 +  1  1 7  7   7   +   +   + i~^  i—(  ł- H  ^ - ł  T*H  *-H  *H>*sĵ   Ł ^ J  tfc^̂ /   i>_ ./   ^  ^  \ ^^>   \ ^ y 1  vd  K  v5  v3  K  ® • - i tS  vo  (VI  0  Ô  (N  O '  0  t ^  a\   0  t~  < s\ 0 "  0 "  <- n"  0"  0"  i-T 1   1   ! / - s i o o - ^ f m o ^ m J x j i f o m T - f r ^ c n i - i c s ^ O \ O \ 0 O r t O s 0 0 i - < o C i ' d - O T - i - y O i - i a  1 0  »n  r -   O ' o  t ^  O H | ( S  O  O"  O"  «• ?'  O"  O"  r-T x * ,  »" ^  / " ^  /—^  /**\   v ^ \ **•*  .  *"*  '• **  l- H  i—S  ^ + + , ' + •   |   1  1 w  O  w  v̂ -   w  w O  OO  O  i-H  OO  O  »-1 00  r-   r i  00  r-   ł-< r-   m  r- *-   t- -   cn  t*-* o  00  O  O  00  O tn  *r>   p*   &L  "**  P̂ d  0"  cT  0"  0"  o1 1557] e. to- es x- o II o II o1 II II o 1! 9 CN o " 1 0 \ ł —1 ,—1 ,5 3 o 1 10 ,6 5 cn ,9 23 8 0 0 ,7 3 T—1 O 8 co" CN 50 8 JJ o" 1 oo so " 1 12 ,5 9 ,4 6 es O 0 0 07 8 m Ó" 37 87 3 o ^ cn cn 7 8 30 ,9 2 o ,1 87 m i 0 0 5 43 1 / —N 1—1 O 83 7 V i o 07 10 6 8 33 o o 07 1 o 1 48 o 33 0 S s ii—* 28 ,3 1 0 0 OO ,1 87 o 1 | c? 1 1—1 0 0 07 8 cn O o 4 32 2 o o " 1 0 0 O\ oo ,2 0 o 1 11 ,5 3 m 44 2 o 1 oo ,3 9 o 1 o 83 7 V i o 99 87 5 o" 1 ,0 8 o 1 o o I 07 1 © [558] P R AK T YC Z N A  P O STAĆ  OG ÓLN E G O  R O Z WI Ą Z AN IA  TAR C Z Y  JED N OSP ÓJN EJ 559 < p"(0  = L12+1Ć3 ^7  21,63296  r ^ r  + - 02  ( 2+ / C 2 ) 3 13,03434/ f  +  19, 22260£ 3-   16,78866/ C5  - 8,07552C7 -   1,41330/ f5 -   3, 09168^1 } , 2  + i f ^ - 4 , 6 0 8 16 ( 2 C 2 - 02 + 0,191070  y ^ a + 1,660322+ 6,02325£ 2 -   9,13705/ f4  - D la  siedmiu  wybranych  p u n kt ó w:  z  =  0,  ( ± l +  / )a/ 6,  ( ± l +  i)a/ 3  i którym  odpowiadają  pu n kt y  f  =   0,  0, 30788(± 1 + z) ,  0,58370  ( ± l +  t),  0,70711  ( ± l +  r), obliczono  wartoś ci  co'(C), «"( £ ) ,  95'(O.  9>"(0  i  v' ( 0 -   Wartoś ci  te  zestawiono  w  tablicy  1. W  dwu  ostatn ich kolum n ach tejże  tablicy  zamieszczono wartoś ci  naprę ż eń a, i  a 9 .  W  tabli- cy  2  zamieszczono  wartoś ci  n aprę ż eń w  tych  pun ktach dla  tarcz  posiadają cych  współ czyn- niki  P oisson a  v  =   0  oraz  v  =   0,5,  jak  również  procentowe  róż nice  mię dzy  tymi  naprę ż e- niami,  liczone wzglę dem  m ateriał u o v  =  0. Wykresy  n aprę ż eń  n orm aln ych  w  rozpatrywanych  przekrojach  dla  tarczy  wykonanej z m ateriał u o współ czynniku  P oisson a v  =  0,3  pokazan o n a  rys.  6. L it er a t u r a  cytowan a  w  tekś cie 1.  A.  F . yrofliH KOB,  M .  H .  fljiyrAij  A.  E .  C T E I I AH O B, Peiueuue  Kpaeeux  3adau  n/ iocxou  meopuuynpyzocmu na  ifucfipoebix  u  maAozosux  Maiaunax,  Bbicm ajł   niKOJia,  M ocKBa  1970. 2.  H .  H .  MycxEJiH iiiBiwiH ,  HeKomopue  ocnoenue  3ada%u  MameMammecKou  meopuu  ynpyiocmu,  H ayKa, M ocKBa  1966. 560  K.  RYKALUK 3.  F . LEJA,  T eoria funkcji  analitycznych,  PWN , Warszawa  1957. 4.  W. I .  SMIRN OW, Matematyka  wyż sza,  t. 3, PWN , Warszawa  1967.  . 5.  K.  RYKALUK,  T arcza  kwadratowa  obcią ż ona  na  konturze  sił ami  skupionymi,  Rozprawy  Inż ynierskie, 19, 2  (1971). 6.  I I . <3>.  Hjib'iAii