Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS72_t10z1_4\mts72_t10z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  10 (1972) WYBOCZEN IE  TR ÓJWAR STWOWE J  PŁYTY  K OŁ OWE J  P O Z A  ZAKRESEM   SPRĘ Ż YSTYM* ZEN ON   W A S Z C Z Y S Z Y N   (KRAKÓW) 1.  Wstę p Przy  obliczaniu  obcią ż eń  krytycznych  pł yt  poza  zakresem  sprę ż ystym  korzystamy z  dwóch  koncepcji  —  podobn ie  jak  przy  badan iu  statecznoś ci  prę tów  ś ciskanych.  Pierw- sza,  tzw.  koncepcja  ustalon ego  obcią ż enia  zakł ada, że  po  wyboczeniu  obcią ż enie  nie ule- ga  zmianie,  a  w  chwili  utraty  statecznoś ci  powstają   natychmiast  peł ne  strefy  lokalnych odcią ż eń  (procesów  biern ych).  D ruga  koncepcja  dopuszcza  wzrastanie  obcią ż enia  i  roz- wijanie  się   stref  procesów  biernych  w  wyniku  powstawania  pozakrytycznych  ugię ć.  W prę - tach  analogiczne  podejś cia  ł ą czy  się   odpowiednio  z  nazwiskami  ENGESSERA  i  KARMAN A oraz  SH AN LEYA  (por.  [29]).  W  odniesieniu  do  pł yt  pierwszą   koncepcję   zaproponowali ILIU SZ YN   [6]  oraz  H AN D ELM AN   i  P RAG ER  [4],  a  drugą   koncepcję  —  wzrastają cego  obcią - ż e n i a— zapoczą tkowali  STOWELL  [22] oraz  PEARSON   [14]**. W  porówn an iu  z  prę tam i,  znaczną   komplikacją   w  zagadnieniach  statecznoś ci  pł yt jest konieczność  uwzglę dnienia  zł oż onego  stanu  naprę ż eń.  Stosowano  tutaj  róż ne  teorie plastycznoś ci.  N a  teorii  odkształ ceniowej,  obok  wymienionych  prac  [6,  22]  opierał   swoje rozważ an ia  BIJLAARD   [1],  Z  prac  korzystają cych  z  równ ań  konstytutywnych  teorii  pł y- nię cia  plastycznego,  obok  [4,  14] należy  wymienić  pracę   [5]  H OP KI N SA. P rzytoczon e  prace  dotyczą   pł yt  prostoką tn ych.  Pł ytami  koł owymi  zajmowali  się TOŁOKON N IKOW  [26,  27],  L E P I K  [9,  10] i  P O P Ó W  [16]. P odstawową   trudn oś cią   w  koncepcji  ustalonego  obcią ż enia  jest  wyznaczanie  poł oż e- n ia  stref  procesów  biernych,  zarówn o  wzdł uż  gruboś ci  pł yty, jak  też  w  odniesieniu do  jej powierzchni  ś rodkowej.  T rudn ość tę   m oż na  obejść  w  wielu  przypadkach  przez  zastosowa- nie  metody  przybliż onej  ILIU SZ YN A  [6],  która  zakł ada  zerowanie  się   wariacji  sił   podł uż- nych  wewną trz  cał ej  pł yty. R ach un ki  znacznie  upraszczają   się ,  jeś li  przekrój  peł noś cienny  zastą pimy  idealnym przekrojem  «sandwiczowym».  T aka  aproksymacja  czę sto  stosowana  w  teorii  plastycz- noś ci  (por.  [24]), pozwala  n a  dobre  opisanie  zachowania  się   konstrukcji.  Przyję cie  takiego modelu  pł yty  umoż liwiło  KLU SZ N I KOWOWI  [7] przeprowadzenie jakoś ciowej  analizy  utraty *'  Podstawowe  tezy  pracy  został y  przedstawione  na  sympozjum  n t.  statecznoś ci,  organizowanym przez Oddział  Łódzki P TM TS i Instytut M echaniki Stosowanej  Politechniki Łódzkiej  (Łódź,  18- 19.XI.1971). **) p r 2 y  cytowaniu  literatury  ograniczono  się   do  prac  podstawowych  i  bezpoś rednio  zwią zanych z  obecną   pracą .  Obszerniejszy  przeglą d  literatury  dotyczą cej  wyboczenia  pł yt  poza  zakresem  sprę ż ystym moż na znaleźć w  [29]. 578  Z .  WASZ C Z YSZ YN statecznoś ci  z  pun ktu  widzenia  stosowania  róż nych  koncepcji  i  róż nych  teorii  plastycz- noś ci. W  obecnej  pracy  zajmiemy  się   szczegół owo  obliczaniem  symetrycznych  postaci  utraty statecznoś ci  idealnej,  symetrycznej  pł yty  trójwarstwowej  (w  cał ym przekroju  obowią zywać bę dzie  hipoteza  odcinka  norm alnego,  pł aski  stan  naprę ż enia  jest  jedn orodn y  wzdł uż noś nych  warstw  zewnę trznych  o jednakowej  gruboś ci  i  wł asnoś ciach).  Bę dziemy  opierali się   n a  liniowych  równ an iach  teorii  mał ych ugię ć,  przyjmują c  m ateriał  izotropowy  i  ś ciś li- wy.  Taki  przekrój  pozwoli  n a  otrzymanie  ś cisł ych  rozwią zań,  podobn ych  do  znanych z  teorii  statecznoś ci  sprę ż ystej,  dla  róż nych  koncepcji  i  teorii  plastycznoś ci. Otrzymane  rozwią zania  przeanalizujemy  w  granicznym  przypadku  m ateriał u  idealnie sprę ż ysto- plastycznego,  a  w  oparciu  o  m etodę   rozdzielenia  sztywnoś ci  BIJLAARD A  [2] uogólnimy  otrzymane wzory  dla  opisania  ogólnej  utraty  statecznoś ci  pł yty  trójwarstwowej z  wypeł niaczem  lekkim. Wszystkie  równania, i  wzory  podam y  w  postaci  bezwymiarowej,  a  obok  powszechnie stosowanych,  bę dziemy  posł ugiwali  się   nastę pują cymi  ozn aczen iam i: Aj,  Bj,  Cj r   elementy  macierzy  sztywnoś ci, Cj, Dj  stał e  cał kowania, a,  f} 2  bezwymiarowe  ciś nienie  radialn e  wedł ug  (2.16), d, h  grubość  i  odległ ość  osi  cię ż koś ci  warstw  zewnę trznych przekroju  trójwarstwowego e p ,  a p   o d kszt a ł c en ie  i  n a p r ę ż e n ie  n a  gr a n ic y  p la st yc zn o ś ci  p r zy jednoosiowym  ś ciskaniu, e s   =   ej/fip  wzglę dne  odkształ cenia gł ówne, 3j  =   Sj O le p ,  kj  =  Hjhje p   u o gó ln io n e  odkształ cen ia  pł aszczyzn y  ś ro dko wej, Ej,  m acierz  tran sform acji  w  zwią zkach fizyczn ych, E,  v  stał e  sprę ż yste warstw  zewn ę trzn ych, G c   m o d u ł   odkształ cen ia  po st acio wego  wypeł n iacza, / s  =   E s jE,  f t   — E,jE  bezwymiarowe  m odu ł y: sieczny  i  styczny, Mi  Mi ni  =   - ~—,  mi  =   —r,- —̂  bezwymiarowe  sił y  podł uż ne i  m om en ty  zginają ce, 2aa p   ał iOp p P  —  ~K~I—  be zwym ia r o wa  in t en sywn o ść  ze wn ę t r zn e go  c iś n ien ia  ra- 2aa p dialnego, Sj =   Sjl  dej/ e p   w  zewnę trznych war- stwach pł yty (2.6)  def  =  83j±~dkj, gdzie  znaki  + , — należy  przypisać  warstwom  zgodnie z rys.  lb. Wielkoś ci  nj i  rrij  bę dziemy  dalej  nazywali  uogólnionym i  sił ami  wewnę trznymi,  a  od- powiednio  3j  i  kj — uogólnionymi  odkształ ceniami.  Zwią zki  geometryczne  pomię dzy wariacjami  uogólnionych  odkształ ceń  i  przemieszczeniami  pł aszczyzny  ś rodkowej  pisze- my  od razu w postaci  bezwymiarowej „  ' 1  „  ,  ,  1  du 0 3 i = - —< 5 «,  Ó3 2  =   j - , ( 2.7)  £ p  £P  * (3/ cj  =   dcp  ,  dk 2   —  - -. 2.3  Równania  fizyczne.  Zwią zek  fizyczny  pomię dzy  wariacjami  gł ównych  naprę ż eń i  odkształ ceń został  wyprowadzony  w  [28] i m a  postać (2.8)  bsj =  E j r d e T i   . / , / • =   1 , 2 , gdzie  obowią zuje  konwencja  sumacyjna  dla  powtarzają cego  się  wskaź nika.  Elementy macierzy  E jr   zależą  od typu  procesu  i  stopn ia  uplastycznienia  m ateriał u  w  rozpatrywa- nym  punkcie  ustroju.  W pracy  [28] wyprowadzono  wzory  n a E Jr   dla  m ateriał u  sprę ż ysto- plastycznego,  ś ciś liwego,  izotropowego  lub ortotropowego  oraz  dla róż nych  teorii  plas- tycznoś ci. W  obecnej  pracy  ograniczymy  się do  materiał u  izotropowego,  lecz  ś ciś liwego,  oraz do  przypadku  równomiernego  dwuwymiarowego  ciś nienia (2.9)   Sl   =  s 2   =   - p,  s 3   =  0 , jakie  bę dzie  wystę powało  w stanie tarczowym  rozpatrywanej  pł yty. Typ  procesu  okreś limy  wedł ug  zn aku  wariacji  intensywnoś ci  n aprę ż eń;  p o uwzglę d- nieniu  (2.9)  otrzymujemy ( 2.10) Sf—  U - - —̂  \ ds 1 +ls 2 - —s 1   )ds 2   \   =  - - ^ - (Ssi s i  L\   z  /   \   z  /   .1  z W  przypadku  procesów  czynnych,  a  więc  takich,  gdy  5s t  > 0,  bę dziemy  korzystali z  nastę pują cych  wzorów,  odpowiadają cych  wzmocnieniu  izotropowem u: a) teoria odkształ ceniowa Eu  = E 22   = A- (f,+ifi,  E 12  =E 2i   = ~-   W ,- f s - 2(l- 2v)fJ t ], (2.11 a) Mm  [3- (l- 2v)f s ]U  +  (l- 2v)f t ]; b) teoria pł ynię cia Su  -   E 22   = - 1. (1 +  3/0,  E l2  =  E 2i  = _ L (2. lib) WYBO C Z E N I E  TRÓJWARSTWOWEJ  P Ł YTY  KOŁ OWEJ 581 We  wzorach  tych  bezwymiarowe  m oduł y: sieczny/ ,  =   E s jE  i  styczny  / ,  =   E,/ E,  należy przyjąć  n a  podstawie  próby jednoosiowego  ś ciskania. D la  procesów  biernych, a więc  takich,  gdy  dsi <  0,  w  odniesieniu  do  przyrostów  obo- wią zuje  prawo  H o o ke'a  i  należy  przyjąć (2.12) Ei  ,  = 1 l- v2 E 12   —  E 2 i  — l~v2 P rzy  posł ugiwaniu  się  wzoram i  teorii  odkształ ceniowej  n a  granicy  strefy  procesów czynnych  i  biernych  mogą  wystą pić  niecią gł oś ci  w  wartoś ciach  przyrostów  naprę ż eń. Wynika  to  z  braku  cią gł ego  przejś cia  od  (2.1 la)  do  (2.12),  gdy  f t   =  1.  Przejś cie  takie istnieje1)  d l a / s  =   1.  Sprzecznoś ci  takiej  nie  wykazuje  teoria  pł ynię cia plastycznego,  gdyż wzory  ( 2. lib)  są  niezależ ne  od  wartoś ci  f s   moduł u  siecznego. P o  podstawieniu  (2.8) d o  (2.4)  i wykorzystaniu  (2.6)  otrzymujemy  potrzebne równania fizyczne,  które  napiszemy  w  postaci  macierzowej (2.13) A2  B2 JB2  A2 gdzie  elementy  macierzy  sztywnoś ci  wynoszą A2  B2 B2  A2 m2 (2- 14)  -   " A2  =   T  (Et,  -   Eu),  # 2= Y  < &*  ~   £ ")  • P rzy  posł ugiwaniu  się  wzoram i  (2.1 lb)  teorii  pł ynię cia  plastycznego  równanie  (2.13) upraszcza  się,  gdyż  wtedy  A 2   =   B 2 . 2.4.  Podstawowy  ukł ad  równań  i  jego  rozwią zanie.  Peł ny  ukł ad  równań  (2.1),  (2.7)  i  (2.13) m oż na  w  drodze  eliminacji  doprowadzić  do  dwóch  równań  róż niczkowych  z nieznanymi funkcjami  dcp  i  du, dtp'  / - »  1 ' + • (2.15) + / P~ du" du  du I  I 2 gdzie  uż yto  róż nych  oznaczeń n a  bezwymiarową  promieniową  sił ę  podł uż ną (2.16) a  =   — 1A2 A\ - A\ 2e„ 2A± 2 A\ 2AX  ' X)   A. A.  Iliuszyn  [6] wyprowadził   równania  statecznoś ci  dla sł abo  rozwinię tych  odkształ ceń  plastycz- nych,  tj.  przyjął   we  wzorach  teorii  odkształ ceniowej  f s   =  I .  Jak  wynika  z  (2.11a)  otrzymujemy  wtedy wzory  n a E jk   zgodne ze wzorami  ( 2.lib)  teorii pł ynię cia plastycznego. 7  Mechanika  Teoretyczna 582 Z .  WASZ C Z YSZ YN Przy  ustalonych  wartoś ciach  a  i  / 32  równania  (2.15)  są  równ an iam i  róż niczkowymi liniowymi  odpowiednio  Bessela  oraz  Eulera.  M oż na je  kolejno  rozwią zać  ze  wzglę du  n a poszukiwane  funkcje  8cp i  du,  otrzymując (2.17) Y 1 (x), dum,  - l gdzie  / i( x)  i  Y±(x)  są  funkcjami  Bessela  pierwszego  i  drugiego  rodzaju  o  argumencie x  =   /?£. Stał e  cał kowania  C i ,  C 2 ;  D1  i  D2  wyznaczymy  z  odpowiednich  warun ków  brze- gowych.  Przy  formuł owaniu  statycznych  warun ków  brzegowych  bę dziemy  posł ugiwali się  wzorami  n a  wariacje  uogólnionych  sił   prom ien iowych;  wynikają  one  bezpoś rednio z  (2.13)  i  (2.7) po  podstawieniu  do  nich  rozwią zania  (2.17) (2.18) 3.  Rozwią zanie  Wedł ug koncepcji  Wzrastają cego  obcią ż enia Jeś li  przyjm iem y,  że w  ch wili  u t r a t y  st at ec zn o ś ci  c a ł a  p ł yta  je st  u p la st yc zn io n a ,  a  strefy lo ka ln yc h  o d cią ż eń  p o wst ają  d o p ie r o  w  wyn iku  u gięć  p ł yt y,  t o  d o c h o d z im y  d o  ko n cep cji wzrast ają cego  o bcią ż en ia.  P r zy  t a k i m  p o d ejś ciu  r o zwija n iu  się  st ref  p r o c e só w  bier n yc h t o warzyszy  wzr o st  o bcią ż en ia  p o n a d  wa r t o ść  kryt yczn ą,  a  k ą t  n a c h yle n ia  krzywej  p(w) w  p u n kc ie  bifurkacji  je st  n a  o gó ł   r ó ż ny  o d  zer a  (rys. 2). K o n c e p c ja  t a  był a  z a p r o p o n o wa - P/ P.kr Rys.  2 n a  przez  SH AN LEY'A  do  analizy  wyboczenia  prę tów  i  zastosowan a  przez  STOWELLA  [22] do  obliczania  obcią ż enia  krytycznego  pł yt  prostoką tn ych. Zasadniczą  cechą  tej  koncepcji  jest jej  duża  prostota.  P ozwala  on a  n a  znaczne uprosz- czenie  równań  i  ich  rozwią zań ,  a  jeś li  poł ą czymy  ją  z  teorią  odkształ ceniową,  to  otrzy- mujemy  dobrą  zgodność  z  eksperymentami  wykonanymi  n a  pł ytach  prostoką tn ych  (por. [29]). WYBOCZENIE  TRÓJWARSTWOWEJ PŁ YTY  KOŁ OWEJ  583 N ależy  tutaj  podkreś lić  róż nicę  mię dzy  wzorami  na  obcią ż enia  krytyczne  dla  prę tów i  pł yt.  Jeś li  w  prę tach  podejś cie  SH AN LEYA  sprowadza  się  do  zamiany  moduł u  sprę ż ysto- ś ci  m oduł em  stycznym,  to  w  pł ytach  rozwią zania  oparte  na  teorii  odkształ ceniowej  za- leżą  zarówno  od  m oduł u  stycznego,  jak  też  siecznego.  Wynika  to  ze  wzorów  (2.11  a), a  zgodnie  z  pracą  STOWELLA  [22]  udział   poszczególnych  m oduł ów silnie  zależy  od  warun- ków  brzegowych. W  przypadku  pł yty  «sandwiczowej»  wystą pią  procesy  czynne2)  w  cał ej  pł ycie w  chwili wyboczenia.  P rowadzi  to  do  zależ noś ci  Ef r   — Ej r   =  E" jr ,  skąd  wynika (3.1)  A 2   =   B 2   =   0. D zię ki  temu  równ an ia  fizyczne  rozprzę gają  się —  przyrosty  sił   podł uż nych i  momentów zależą  odpowiednio  tylko  od  przyrostów  odkształ ceń  pł aszczyzny  ś rodkowej  lub  tylko od  przyrostów  krzywizn (3.2)  drij  =  2C jr (h r ,  órrij =  C jr dk r ,(3.2)  drij  2C gdzie  elementy  macierzy  C jr   wynoszą A (3.3)  C u  =   C22  =   —r-   =   - Eii,  C12  =  Ca  =  ~j~  ~  Eiz- Rozprzę ż enie  równ ań  fizycznych  umoż liwia  korzystanie  ze  znanych  rozwią zań  sprę- ż ystych,  jedynie  ze  zmienionymi  współ czynnikami,  zależ nymi  od  A t   i  B t .  Pokaż emy  to n a  przykł adach najczę ś ciej  przyjmowanych  warun ków  brzegowych. 3.1.  Obcią ż enie  krytyczne  pł yty  utwierdzonej  i  przegubowo  podpartej.  Przy  stosowaniu  po- dejś cia  wzrastają cego  obcią ż enia  w  cał ej  pł ycie  bę dzie  obowią zywało  rozwią zanie  (2.17). Z  warun ku  istnienia  skoń czonych  wartoś ci  przemieszczeń  w  ś rodku  pł yty  wynika C 2   — D 2   =  0  i  rozwią zanie  przyjmuje  prostą  postać (3.4)  dcp  =  C 1 J 1 (x),  du  =  DJ. W  pł ycie  utwierdzonej  warun ek  brzegowy  dq)(^ i)  =  0  bę dzie  speł niony  po  wybocze- niu,  jeś li (3.5)  Ą (x,)  m  JM)  .  0. Odpowiednie  równ an ie  charakterystyczne  dla  pł yty  przegubowo  podpartej  uzyska- my  z  warun ku  dm^ i)  =   0;  po  elementarnych przekształ ceniach  (2.18)  otrzymujemy ( 3.6)  . Xl  Jo(x,)  - I I -   - g Ł .I / ,  ( x, )  =   0. Rozwią zanie  xj  =   /?£j  równ ań  (3.5)  lub  (3.6)  pozwala  obliczyć  obcią ż enie  krytyczne j?Sr  =   - Mi  wedł ug  (2.16) (3- 7)   ̂ =  4 % L - 2 )  Jeś li w przekroju trój warstwowym w jednej z warstw noś nych bę dzie zachodził  proces bierny, a w  dru- giej  czynny,  to bę dziemy  mówili  o  procesie  czynno- biernym.  Czę ść  pł yty, w której  zachodzi  taki  proces nazwiemy  obszarem  lub strefą  czynno- bierną.  Podobnie  definiujemy  obszary  czynne i  bierne. 584  Z .  WASZ C Z YSZ YN W  przypadku  pł yty  utwierdzonej  pierwiastki  równ an ia  przestę pnego  (3.5) nie zależą od  współ czynników  Cj,  (najniż szy  pierwiastek  xi  =   3,8317). W  zakresie  sprę ż ystym  otrzymujemy  taką  samą  postać  równ ań  charakterystycznych. W  przypadku  pł yty  przegubowo  podpartej  1 - C1 2 / C n  =   1— v,  a pkr  = xfJ2(l  — v 2 )e p if, co  po  uwzglę dnieniu  uż ytych  wielkoś ci  bezwymiarowych  daje  wyniki  zn an e  z  teorii sta- tecznoś ci  sprę ż ystej  (por. [25]). 3.2.  Obliczenie  ką ta  nachylenia stycznej  w punkcie bifurkacji.  N achylenie stycznej  do krzywej «obcią ż enie- ugię cie»  w  punkcie  rozdwojenia  stanów  równowagi  (rys.  2)  opiszemy wielkoś cią  (por. [10]) (3. 8) dw 1  bp Pkr gdzie  w 0   oznacza ugię cie w ś rodku pł yty. P rzyrost  ugię cia  w ś rodku  pł yty  obliczymy  przez  scał kowanie  (3.4)x ft  Xl (3.9)  dw 0  =  /   ty#   =  - §-  /   Ji(x)dx  =  - S-  [1 - Mxi)], a  przyrost  obcią ż enia  obliczymy  wedł ug (3.2)x (3.10)  dp=~  dn, (I,)  =   -   ^ - (Ą i  +  BJ. £ P D alsze  postę powanie  bę dzie  podobn e  do  tego,  jakie  zapropon ował   LE P I K  [10].  Wa- runek  wystę powania  procesu  czynnego  w  jednej  z  warstw  Ar,* >  0,  p o  uwzglę dnieniu (2.6),  (2.8) i  (2.9), m oż na ł ą cznie  napisać D la  rozwią zania  (3.4) powyż szą  nierówność  m oż na  doprowadzić do postaci (3.12)  " 1 ^ Tfi] Mx)] m W  przedziale  0 <  x  <  3,8317  funkcja  \ J 0 {x)\   <  1 i  jako  stosun ek  D l jC l   m oż na  przyjąć fizycznie  odpowiada  to przejś ciu  jednej  z  warstw  w  ś rodku  pł yty od procesu  aktywnego do biernego. P o  podstawieniu  wyprowadzonych  zależ noś ci do (3.8) otrzymujemy  poszukiwany  wzór n a  współ czynnik ką towy  stycznej  w punkcie bifurkacji  stanów  równowagi (3.14)  T = gdzie  C 12   i  C l x liczymy  wedł ug wzorów  (3.3). WYBO C Z E N I E  TR ÓJWAR STWOWE J  P Ł YTY  KOŁ OWEJ  585 4.  Koncepcja  ustalonego  obcią ż enia W  pł ytach,  podobn ie  jak  w  prę tach,  m oż na  obliczyć  asymptotyczną  wartość  obcią- ż enia  jakie  może  powstać  w  wyniku  powstania  stref  lokalnych  odcią ż eń  przy  nieogra- niczonym  wzroś cie  ugięć  (opieram y  się  n a  geometrycznie  liniowej  teorii  mał ych ugię ć ). Z am iast  rozpatrywać  pozakrytyczne  stany  równowagi  m oż na  od  razu  obliczyć  odpo- wiednią  wartość  obcią ż enia  krytycznego  zakł adają c,  że  w  pł ycie  natychmiast  po  wybo- czeniu  wystą pią  rozwinię te  strefy  czynno- bierne, a  wartość  obcią ż enia  nie ulegnie zmianie. W  prę tach  takie  podejś cie  Engessera- Karm ana  sprowadza  się  do  obliczenia  odpo- wiedniego  m oduł u  zredukowan ego.  W  pł ytach  problem  jest  znacznie  bardziej  skompli- kowany  ze  wzglę du  n a  zł oż ony  stan  naprę ż eń.  G ł ówną  trudnoś cią  jest  tu  wyznaczenie granicy  wystę powania  obszarów  czynno- biernych.  Odpowiednie  równania,  wyprowadzo- n e  dla  teorii  odkształ ceniowej  przez  ILIU SZYN A  [6],  a  dla  teorii  pł ynię cia  plastycznego przez  H AN D ELM AN A  i  PRAG ERA  [4]  oraz  H OP KI N SA  [5],  m oż na  scał kować  jedynie  w  nie- licznych  przypadkach .  Wynika  stąd  zainteresowanie  m etodam i  przybliż onymi  rozwią zy- wania  poszczególnych  zadań . Przy  obliczaniu  pł yt  koł owych  LE P I K  [9]  zastosował   m etodę  Bubnowa- G alerkina, a  TOŁ OKON N IKOW  [26]  i  P O P Ó W  [16]  otrzymują  przybliż one  wartoś ci  obcią ż eń  krytycz- nych  dzię ki  zał oż eniu rozkł adu stref  lokalnych  odcią ż eń.  P roste rozwią zania  moż na  otrzy- m ać  przez  poł ą czenie m etod wariacyjnych  z  zał oż eniem  ILIU SZYN A  O zerowaniu  się  wariacji sił   podł uż nych wewną trz  pł yty  (por.  [6,  17]). N ajpierw  zajmiemy  się  rozwią zaniem  przybliż onym  metodą  Iliuszyna,  gdyż w pł ycie trójwarstwowej  jest  on o  podobn e  d o  rozwią zywania  otrzymanego  wedł ug  koncepcji wzrastają cego  obcią ż enia. 4.1.  Metoda przybliż ona  Iliuszyna.  Aby  uproś cić  obliczenia  ILIU SZYN   [6]  zał oż ył,  że w  koncepcji  stał ego  obcią ż enia  wariacje  sił   podł uż nych  są  równe  zeru  nie  tylko  przy brzegu,  ale  też  wewną trz  cał ej pł yty, (4.1)  <5«i(£) =   <5«2(f)  a  0. D zię ki  temu  m oż na  z  dwóch  pierwszych  równ ań  fizycznych  (2.13)  obliczyć  dsj,  a  po podstawieniu  do  równ ań  n a  dnij  wyrazić  je  tylko  poprzez  krzywizny.  Otrzymamy  w  ten sposób  wzory  (3.2) 2  n a  wariacje  m om en tów  dmj,  gdzie  współ czynniki  CJr  wyniosą Cn  =  C 22  =   A^ - - ^ rJ- ^ [(A1A2- B1B2)A2- V{A1B2- A2Bl)B2)t (4.2) C 1 2  =   C 2 i  =   — P rzy  posł ugiwaniu  się  teorią  pł ynię cia plastycznego  A t   =   B 2   i wzory  (4.2) znacznie uprasz- czają  się, (4.2a)  C n - A_  A*  Bi Rozprzę ż enie  ukł adu  równ ań  fizycznych  umoż liwia  posł ugiwanie  się  rozwią zaniami (3.5) i  (3.6) ze  współ czynnikami  (4.2)  liczonymi  dla procesów czynno- biernych.  W  każ dym 586 Z .  WASZ C Z YSZ YN punkcie  pł yty jedn a  z  warstw  bę dzie  docią ż ana,  a  w  drugiej  wystą pi  proces  biern y;  zazna- czono  to  n a  rys.  3,  gdzie  nie  zaczerniona  czę ść  odpowiada  procesowi  biern em u. 4.2.  Rozwią zanie  ś cisłe  dla  płyty  przegubowo  podpartej.  Zajmiemy  się   teraz  rozwią za- zaniem  ś cisł ym,  polegają cym  na  odrzuceniu  zał oż enia  Iliuszyna  (4.1).  Przyjmiemy,  że a) b) .  Ł - - Z4O5/ / 3 Ą Sftfti/ fi Rys.  3 w  przypadku  przegubowego  podparcia  rozkł ad  stref  róż nych  typów  procesów  bę dzie taki, jak  n a  rys.  3a  (w  cał ej  pł ycie zachodzą   procesy  czynno- bierne —  w  warstwie  zaczer- nionej  czynne, a  w  dolnej  nie  zaczernionej — bierne). W  przypadku  pł yty  koł owej  C 2   =   D 2   i  wariacje  uogólnionych  odkształ ceń  powierz- chni  ś rodkowej  (2.7)  zgodnie  z  (2.17)  wynoszą a  Di  „   a  Di (4.3) dk x   =   d - ^ - l / o-   — ) .  &k 2   =   Ci, —  —  . Wariacje  uogólnionych  sił   promieniowych  (2.18)  moż na  doprowadzić  do  nastę pu- ją cej  postaci: o  /   ]J 2   BiA. 2   \  & ,  Di gdzie  przez  analogię   do  (3.2)  uż yto  oznaczeń (4- 5)  Cii  =   4 A\ Warunki  brzegowe (4.6) 2Ai  ' dn x (ii)  = 2A X = 0 bę dą   speł nione, jeś li  wyznacznik  gł ówny  ze  współ czynników  przy  C t   i  D x   w  (4.4)  bę dzie zerował   się .  Otrzymujemy  stą d  równ an ie  charakterystyczne  o  postaci  analogicznej  do W  teorii  pł ynię cia plastycznego  A 2   =  B 2 \   bę dziemy  posł ugiwali  się   równ an iem (4.7a,  *,«*)-  [•  -  |  ̂ +  - fir- ̂ ] ' , W  =  0. WYBO C Z E N I E  TR ÓJWAR STWOWE J  P ŁYTY  KOŁ OWEJ 587 P o  rozwią zaniu  równ an ia  (4.6)  obcią ż enie  krytyczne  obliczymy  z  (3.7),  przyjmują c C u  wedł ug  (4.5)i. N ależy jeszcze  sprawdzić,  czy  dobrze  został  przyję ty  typ  procesów  zachodzą cych  przy wyboczaniu  się   pł yty.  Jeś li  bę dzie  wystę pował   proces  bierny  w dolnej  warstwie  (rys.  3a), to  powin n a  być  w  niej  speł niona  nierówność  (3.11),  w  której  ze wzglę du  n a  pierwszą (podstawową )  formę   wyboczenia  m oż na  opuś cić  zn ak  bezwzglę dnej  wartoś ci.  P o  podsta- wieniu  (4.3)  m oż na  (3.11)  przekształ cić do  postaci (4. 8) {A 1 ~A 2 )(A 1 +B l )  x Przy  wzrastają cej  wartoś ci  argum en tu  0 < x <  3,832  funkcja  J 0 (x)  maleje,  natom iast Ji(x)/ x  wzrasta.  Wystarczy  wię c  zbadać  czy zachodzi  nierówność  przy  podporze  dla wartoś ci  x  — xi, kt ó ra  jest  pierwiastkiem  równ an ia  charakterystycznego  (4.7).  M oż emy stą d  obliczyć  J 0 (xi)  i zam iast  (4.8)  zbadać  czy 1 - 2{A,B 2 - B 1 A 2 ) (Af- AIXA. W  drodze  elem entarnych przekształ ceń m oż na  doprowadzić  tę   nierówność  do postaci (4- 9)  f t [3- (l- 2v)f s ]>Q, która jest  zawsze  speł niona. P rzy  stosowaniu  wzorów  ( 2.lib)  teorii  pł ynię cia plastycznego należy  przyją ć /,  =   1. W  ten  sposób  wykazaliś my,  że poprawnie  przyję liś my  obszar  czynno- bierny  w cał ej pł ycie  trójwarstwowej.  D o podobn ego  wniosku  doszedł   LE P I K  [9] okreś lając  rozkł ad stref  w  pł ycie  peł noś ciennej.  N atom iast TOŁOKON N IKOW  [26] i  P OP ÓW  [16] zakł adali wystę - powan ie  strefy  procesów  czynnych  w  cał ych  przekrojach  przypodporowych,  co nie  wy- daje  się   być  uzasadn ion e. 4.3.  Rozwią zanie  ś cisJe  dla płyty  utwierdzonej.  Zajmiemy  się   drugim  skrajnym  przy- padkiem  podparcia  brzegu.  W pł ycie  utwierdzonej  mogą   wystą pić  dwa  przypadki  roz- a)   A   b)  j P J .  h - i- ii mii JLp= J= : —I— Rys.  4 kł adu  obszarów  róż n ych  typów  procesów.  Rozważ amy  najpierw  przypadek  ogólniejszy, którem u  odpowiada  rys.  4a. W  pł ycie  obok  obszarów  czynno- biernych  może  wystą pić  obszar  bierny,  którego nie  był o  przy  stosowan iu  zał oż enia Iliuszyna  (por.  rys.  3b). W obszarze  tym,  wobec  jed- nakowego  typu  procesów  zachodzą cych  w  zewnę trznych  warstwach,  bę dzie A\ l  = 5 2 X  =  «„  =   0, 588  Z .  WASZ C Z YSZ YN co  nieco  uproś ci  dalsze  równania.  Aby  skrócić  zapis,  wielkoś ci  odnoszą ce  się  do  poszcze- gólnych  obszarów  opatrzym y  odpowiednimi  indeksam i.  W pun ktach  styku  obszarów argument x bę dzie  miał   dwa  indeksy,  z których  dolny  oznacza  pun kt, a górny  obszar: (4.10)  4=>PJr,  /" =   I, I I ;  * =   I , H ,  I I I . P un kty  i l   i  £ n  rozgraniczają  róż ne  obszary  i jeś li  um ówim y  się,  że  warstwa  „  +  " bę dzie  warstwą  dolną  n a  rys.  4a,  to  bę dą  obowią zywały  równ an ia  wynikają ce  z warunku dsi  =   0: (4.11) dk 2 2 '  ókt+Ł k 2 W  pun ktach tych  muszą  być  speł nione warunki  cią gł oś ci _ 2 " ( 4 - 1 2 )  ó«r s  =   < SH ; + \   (duty  =   ( ^ + 1 ) ' ,   r > s  ~  I ;  ' a  w  punkcie koń cowym f( warunki  brzegowe (4.13)  %  =   0,  a«1( ft)  =  0. Otrzymujemy  w ten  sposób  kom plet  dwunastu  równ ań  n a  wyznaczenie  stał ych Cj, D'  dla  5 =   1, I I , I I I i j  =   1, 2  (przyjmujemy  C\   — D\   =  0)  oraz  współ rzę dnych  fr>  £ n i  £ ,. Ponieważ  równ an ia  są  liniowe  wzglę dem  stał ych  Cj i Dj,  t o  m oż na  te  stał e  wyelimi- nować  i  zamiast  jednego  równ an ia  charakterystycznego  otrzym ać  nastę pują cy  ukł ad równ ań : h Ą \ >®+b 2  yp ( *g) + Ą-  Jt(x\ )  =  o, (4.14)  d l JF f  = + l(kx l ) 2 Y o (x{?)- (x{Y) 2 Y 2 (x\ iW i  =  0, gdzie  wprowadzono  oznaczenia b . _  n  U  v i nrl l  rlll  i  „II TlIrIII\ L  , /   vIIIyII rin  ,   VII yll  rIII\   Ł   12~ L(. — JCn ^ l  J o  +XuJoJl  )Oi  +  ( — X u   Xi  J o   +X u I 0 Ji  )O 2 i [  A\ y- (A\ y ]  '  k -   A\ - B\  '  Ka ~  A\ WYBO C Z E N I E  TR ÓJWAR STWOWE J  P Ł YTY  KOŁ OWE J  589 W  podanych  współ czynnikach  uż yto  skróconych  oznaczeń  wartoś ci  funkcji  Bessela, zgodnie  z przyję tymi  indeksami,  np. / P ( fn  =  ^(xJJ 1).  Jako  mnoż nik po prawej  stronie tych współ czynników  wystę puje  n/ 2, co wynika  ze zwią zku  (por. [12]), [J^ x)Y 0 (x)- J Q (x)Y 1 (x)]x  = —. 71 U kł ad  (4.14)  zastę puje  równanie  charakterystyczne  (3.5) z  koncepcji  wzrastają cego obcią ż enia i może być ł atwo rozwią zany  w drodze kolejnych  prób. Postać ukł adu  narzuca metodę   rozwią zywania.  Jeś li  mianowicie  bę dziemy  ustalali  wartoś ci  x\ , to moż na  wtedy obliczyć  b t   oraz b 2   i  rozwią zać  równanie  (4.14)j  ze wzglę du na x\ \ . Z kolei  moż na obli- czyć  współ czynniki  d t   oraz  d 2   i  rozwią zać  (4.14)2  ze wzglę du  na x,.  Wartość  x\   należy tak  dobrać, aby był o speł nione równanie  (4.14)3, t j . / =  0. Jeś li  podczas  rozwią zywania  bę dzie  x\ jl  > x,  to  oznacza,  że strefa  bierna  dochodzi do podpory i należy rozpatrzeć rozkł ad obszarów, jak na rys.  4b. W tym przypadku  liczba równań  (4.11)  i  (4.12)  maleje  i  zamiast  (4.14)  otrzymujemy  nastę pują cy  ukł ad równań: ( 4 > 1 6 )  /   m K b x?J 0 (xl)- (x\ yj 2 (xl)  -   0, gdzie  współ czynniki  b x   i b 2   został y  okreś lone  w  (4.15), a K b   wynosi {  n  *  A\ [{A\ y(A\ Uż yte  w  równaniach  (4.14)  i  (4.16)  współ czynniki  bj  i  dj  wynikają   z  równań  cią g- ł oś ci  i są   stosunkami  odpowiednich stał ych, (4.18)  CflCj  =  bj,  CjnjCj  =  dj  dla  j  =  1,2. Tak  wię c  typ stref  przy  brzegu  pł yty  utwierdzonej  bę dzie  ustalony  w trakcie  obliczeń i  nie jest  zakł adany a priori, jak to uczyniono w pracach  [26] i [16]. 5. M ateriał  idealnie plastyczny Rozważ ając  modele materiał u ze wzmocnieniem należy pamię tać, że moduł y styczny / , i  sieczny f„ nie są  niezależ ne, lecz powią zane charakterystyką   materiał u  a(s). Pizy  przejś ciu do  materiał u  idealnie  plastycznego  we wzorach  (2.11)  należy  przyją ć  / , =  0, natomiast 1 > /» > 0.  Taka  niejednoznaczność  bę dzie  miał a  wpływ  na wyniki  obliczeń,  toteż zaj- miemy się  dokł adniej tym przypadkiem  (por. też [8], [10]). Wszystkie  wzory  podamy  dla teorii  odkształ ceniowej,  gdyż jak  wskazaliś my  w p.  2.3 przejś cie  do  teorii  pł ynię cia  uzyskamy  przyjmują c  / , =  1. Potrzebne  współ czynniki po- damy dla róż nych  koncepcji: a) wzrastają ce  obcią ż enie C l l = - C 1 2  = 2[ 3- ( l- 2r ) /s ] 590 Z .  WASZ C Z YSZ YN b) ustalone obcią ż enie, przybliż ona metoda  Iliuszyna f lb)  C  =   — C  = c)  ustalone  obcią ż enie,  rozwią zanie  ś cisłe  (dla  procesu  czyn n o- biern ego  przy  pod- porze) / •   n  / id- *)C 11  —  "ST*:3+v(2- v)f s   ' 2[3+v(2- v)f.]  • T ak  samo jak w p. 5 rozpatrzymy  dwa przypadki  warun ków  brzegowych. 5.1.  Pł yta  przegubowo  podparta.  Współ czynnik  l — C 12 / C 1:L   w  równ an iu  (3.6)  bę dzie równy  2, ja k  wynika  ze wzorów  (5.la)  lub  (5.1b)  i  rozwią zanie  x, =   0  bę dzie  niezależ ne od f s .  M oż na  w  tym przypadku  okreś lić  granicę  stosun ku  obcią ż eń  krytycznych  liczo- nych  wedł ug  (3.7) dla przypadków  a) i b),  okreś lonych  wzoram i  (5.la)  i  (5.1b), (5.2.1) — lim y 1   —  lim /.- *• (>  / t- »o  Pa Pb   _  2[ 3- ( l- 2v) /J • u 0  0,2  0.4  QB Rys.  5 Współ czynnik  gi(f s ),  okreś lają cy  wzglę dną  wartość  obcią ż enia  liczonego  wedł ug  me- tody  Iliuszyna  w  stosunku  do  koncepcji  wzrastają cego  obcią ż enia,  wynosi  dla  skrajnych wartoś ci/;  (rys. 5) #1.(0) =  2,  gŁ ( l) =  1. Jeś li  posł ugujemy  się  rozwią zaniem  ś cisł ym  w  koncepcji  ustalon ego  obcią ż enia,  to współ czynnik  przy  / i( x, )  w  równaniu  (4.7) wynosi  też  2.  Współ czynnik  g 2   obliczymy jako  granicę  stosun ku  obcią ż eń  krytycznych  liczonych  wedł ug  koncepcji  ustalonego i  wzrastają cego  obcią ż enia  przy  uż yciu  wzorów  (5. la)  i (5.1c), (5.2.2)  ft.Mya- limf- - - ^Z£ / ,- j.O  / t- i-0  Pa  - >- rV(2 —  V)j s Wartość  tego  współ czynnika  d l a / s  -   0  wynosi  ^ ( 0 ) =  2,  n atom iast  d l a / s  =   1  wartość g( l)  =   1 i  zależy  od współ czynnika  P oisson a v. N a rys. 5 pokazan o  wykresy  tych  współ - czynników  dla ustalonej  wartoś ci v  =   0,3. W  rozpatrzonym  przypadku  graniczna  wartość  współ czynnika  ką towego  i  stycznej w punkcie  bifurkacji  wynosi (5.3)  lim  T  =  2. WYBO C Z E N I E  TR ÓJWAR STWOWE J  P Ł YTY  KOŁ OWEJ  591 Wyniki  otrzym an e  dla  pł yty  przegubowo  podpartej  mają  znaczenie  czysto  teoretyczne, gdyż  odpowiadają  przypadkowi  granicznemu  x t   - »•   0.  Z  (3.7)  wynika,  że  e p ifp kr   - * 0, co  dla  p kt   - +   1  prowadzi  do  wniosku,  że  prom ień  pł yty  £, - > 0.  W  takim  przypadku przestają  obowią zywać  zał oż enia  pł yt  cienkich,  n a  których  oparliś my  cał ą  analizę. 5.2.  Pł yta  utwierdzona.  P ierwiastek  równ an ia  (3.5)  obowią zują cego  w  koncepcjach a)  i  b) jest  niezależ ny  od  wł asnoś ci  m ateriał u i  wynosi  x t   =   3,832.  Analiza  równań  (4.14) wskazuje,  że  przy  / ,  - > 0  przy  podporze  pojawia  się  obszar  procesów  czynnych  i  należy się  posł ugiwać  ukł adem  (4.16). Jeś li/,  =   OtoK b   =   0 i równ an ie  (4.16)2 jest speł nione dla  xl  =   0. Oznacza to,  że  w  ca- ł ej  pł ycie zachodzi  proces  czynny  i  należy  posł ugiwać  się  wzorem  (5.la)  dla  CU.  Ponieważ w  tym  przypadku  b x   =   1 i  b 2   -   0,  równanie  (4.16)!  przechodzi  w  (3.5).  Tak  więc  obcią- ż enie  krytyczne  obliczane  m etodą  ś cisłą  wedł ug  koncepcji  ustalonego  i  wzrastają cego  ob- cią ż enia  przyjmuje  w  pł ycie utwierdzonej  tę  samą  wartość  (g 2   =   1) 3,8322C?t  _  3,67O/ s(5>4) J S " i G ran iczn a  wartość  współ czynnika  ką towego  r  w  punkcie  bifurkacji  wynosi  zgodnie z  (3.14) (5.5)  lim  T  =   0. A- *o ;vi- »- 3,832 P onieważ  wartoś ci  g t   należy  liczyć  wedł ug  wzoru  (5.2.1),  więc  wynika  stąd  wniosek, że  obcią ż enie  krytyczne  liczone  wedł ug  metody  U iuszyna  bę dzie  dla  f s   - +  0  wyż sze  od obcią ż enia  wyznaczonego  m etodą  ś cisł ą.  W  granicznym  przypadku  / s  =   0  posł ugiwanie się  metodą  U iuszyna  może  prowadzić  do  znacznych  bł ę dów. W  pracy  [17]  przeprowadzon o  obliczenia  dla  pł yty  koł owej,  wykonanej  z  materiał u sprę ż ysto- plastycznego,  o  zależ noś ci  a—e  aproksymowanej  wzorem  Ylinena:  eja  = =   E~ 1(l—c\ ala p \ )/ (l  — \ ff/ a p \ ).  Obliczenia  prowadzon o  metodą  odwrotną,  czyli  że  dla ustalonych  wartoś ci  p kr   okreś lano f s   i / ,  i  obliczano  f j .  W  takim  postę powaniu  otrzymy- wan o  duże  róż nice  wyników  przy  stosowaniu  m etody  U iuszyna,  gdyż  d la / ,  - > 0  wartoś ci gi  ~>   2 . P rzeprowadzon a  an aliza  m ateriał u  idealnie  plastycznego  rozszerza  wnioski  podan e w  pracach  LE P I K A  [8,  10],  gdyż  został a  dokon an a  w  oparciu  o  rozwią zanie  ś cisłe  kon- cepcji  ustalon ego  obcią ż enia.  Z drugiej  strony  został a ona wykonana  dla pł yty  trójwarstwo- wej,  którą  zastą piliś my  pł ytę peł noś cienną. 6.  P rzykł ad n um eryczn y Aby  uniezależ nić  się  od  charakterystyki  m ateriał u  a—e,  obliczenia  numeryczne  wy- kon an o  w  oparciu  o  wzory  teorii  plastycznego  pł ynię cia.  Obliczenia  prowadzon o  metodą odwrotną,  która  polegał a  n a  obliczaniu  obcią ż eń  krytycznych  p  — Ptr^ p^ i  dla  ustalonych wartoś ci  m oduł ów  stycznych  / ,  =   E t jE.  Wszystkie  obliczenia  wykonano  dla  materiał u ś ciś liwego,  gdy  współ czynnik  P oisson a  v  =   0,3.  • 592 Z .  WASZCZYSZYN Wartoś ci  funkcji  Bessela  wzię to  z  tablic  [20,  23], w  których  przyrost  argum en tu  Ax  = =   0,01.  Wartoś ci  poś rednie  otrzymywano  z  interpolacji  liniowej,  zachowują c  5  cyfr znaczą cych. W  tabl.  1 podan o  wartoś ci  p  dla  pł yty  przegubowo  podpartej,  obliczone  wedł ug  kon- cepcji  wzrastają cego  obcią ż enia  oraz  współ czynniki  y t  i  y2  dla  m etody  przybliż onej  Iliu- szyna  i rozwią zania  ś cisł ego  wedł ug koncepcji  ustalon ego  obcią ż enia. Tablica  1.  Pł yta  przegubowa  podparta,  teoria  plastycznego  pł ynię cia,  v  —  0,3 / , 0 0,005 0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 Pwzr 0 0,00861 0,01975 0,04026 0,09437 0,17978 0,33259 0,70200 7i 1 2,277 2,622 1,859 1,823 1,704 1,532 1,239 Yi 1,440 2,324 2,646 1,877 1,851 1,733 1,552 1,244 YilYi. 1,440 1,021 1,009 1,010 1,015 1,017 1,013 1,004 T 2 1,180 1,021 1,011 1,097 1,175 1,290 1,482 Tablica 2. P ł yta  utwierdzona,  teoria  plastycznego  pł ynię cia, v =  0,3 ft 0 0,005 0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 Pvizr 1,4117 1,4300 1,4483 1,4846 1,5917 1,7647 2,0915 2,9411 Vi 1 1,013 1,034 1,046 1,099 1,153 1,191 1,137 Y2 1 1,043 1,068 1,102 1,160 1,205 1,223 1,142 YilYi 1 1,030 1,034 1,053 1,056 1,049 1,027 1,004 T 0 0,0061 0,0360 0,0727 0,1612 0,2852 0,4634 0,6844 Pierwiastki równań  (4.14) lub  (4.16) xl x¥ 0 1,152 1,400 1,344 1,630 1,550 1,874 1,770 2,120 1,952 2,302 2,133 2,448 3,320 2,495 xii *W 3,780 3,126 3,328 2,779 3,130 2,653 2,940 2,562 2,655 2,469 xt 3,832 3,913 3,960 3,326 3,446 3,566 3,693 3,807 Pust.ś cJP W Ir WYBO C Z E N I E  TR ÓJWAR STWOWE J  P Ł YTY  KOŁ OWEJ  593 Wyniki  obliczeń  dla  pł yty  utwierdzonej  zestawiono  w  tabl.  2.  P odano  tutaj  wartoś ci x\ ,  x\ l l  i  Xi  rozgraniczają ce  obszary  czynne  od  czynno- biernych.  Widać,  że  dla  mał ych m oduł ów/ ,  <  0,01  obszar  czynny  dochodzi do  utwierdzenia. Otrzymane  wyniki  potwierdzają   wniosek,  jaki  czę sto  wycią gano  w  oparciu  o znacznie skromniejsze  dane  numeryczne  (por.  n p.  [9,  16]),  o  dobrej  dokł adnoś ci  metody  przybli- ż onej  Iliuszyna.  W  przypadku  pł yty  swobodnie  podpartej  róż nice  w  odniesieniu  do me- tody  ś cisł ej  ustalonego  obcią ż enia  (z  wyją tkiem  / ,  =   0)  nie  przekraczają   2%,  a  dla pł yty utwierdzonej  —  6%. 7.  U ogóln ien ie Wyników  n a rzeczywistą   pł ytę   trójwarstwową Zgodnie  z  zał oż eniami  przyję liś my,  że  przekrój  trójwarstwowy  ma  aproksymować przekrój  peł noś cienny.  Otrzymane  wyniki  moż na  wykorzystać  również  do  obliczenia  sił krytycznych  w  rzeczywistym  przekroju  trójwarstwowym.  W  takich  pł ytach  duży  wpł yw n a  ugię cia  mają   odkształ cenia  postaciowe  wypeł niacza  -i  stosowana  przez  nas  hipoteza Kirchhoffa  (2.5)  odcinka  norm alnego  w  odniesieniu  do  cał ego przekroju  może  prowadzić do  znacznych  bł ę dów  (por.  [21]).  Zajmiemy  się   teraz  uogólnieniem  rozważ ań  n a  przypa- dek  ogólnej  utraty  statecznoś ci  pł yty  trójwarstwowej  w  oparciu  o  metodę   Bijlaarda  roz- dzielonych  sztywnoś ci. W  pracy  [2]  BIJLAARD   zapropon ował  obliczanie  obcią ż enia  krytycznego  wedł ug  wzoru nn  n  J  l  o.  l (7- 1)  Pkr=Po+\   1 \ Pl  Pl w  którym  p 0   jest  obcią ż eniem  krytycznym  liczonym  dla  oddzielnych  warstw  noś nych (zewnę trznych), p ±   —  obcią ż enie  krytyczne  bez  uwzglę dnienia  wpł ywu  odkształ ceń posta- ciowych  wypeł niacza, p 2   —  obcią ż enie  krytyczne  tylko  od  odkształ ceń wypeł niacza.  Przy liczeniu p v   i p 2   pomija  się   sztywnoś ci  wł asne n a zginanie  warstw noś nych. W  naszym  przypadku  obcią ż enie  p kr   liczone  wzorem  (3.7)  odpowiada  p^   w  (7.1). Jak  wykazano  w  [2]  dla  wszechstronnego  pł askiego  ś ciskania,  sił a p 2   jest  niezależ na  od formy  wyboczenia  i  wynosi (7.2)  P 2   =  — G t , gdzie  G c   jest  moduł em  odkształ cenia postaciowego  wypeł niacza. W  zastosowaniach  m oż na  cał kowicie  pom iną ć  sztywnoś ci  wł asne  warstw  noś nych, a  wię c  przyją ć  p 0   =   0.  P o  poł ą czeniu wzorów  (3.6)  i  (7.2)  wzór  (7.1)  na  obcią ż enie  kry- tyczne  napiszemy  w  postaci (7- 3)   Pkr   = gdzie,  dla  skrócenia  zapisu,  uż yto  oznaczeń 594  Z .  WASZ C Z YSZ YN Współ czynnik  a zależy  wył ą cznie  od  stał ych  materiał owych  (E i  s p   odnoszą   się   do  warstw noś nych)  i  wymiarów  poprzecznych  wypeł niacza,  n atom iast  wartość  współ czynnika  C u odpowiada  obcią ż eniu  p kr   z  (7.3).  W  rozważ anym  poprzedn io  przypadku  niepodatnego wypeł niacza  G c   - *  oo i  współ czynnik  C n  =   f(pi). Wzór  (7.3)  został   wyprowadzony  dla  wypeł niacza  typu  lekkiego  (taki  term in jest  sto- sowany  w  literaturze  radzieckiej  —  por.  [29]),  który  przenosi  jedynie  naprę ż enia  styczne od  sił  poprzecznych,  a  noś ne  warstwy  zewnę trzne  są   w  stanie  bezm om entowym  (pomija- liś my  dla  tych  warstw  sztywność  wł asną   n a  zginanie). Ogólniejsze  równania  statecznoś ci  pł yt  trójwarstwowych  uwzglę dniają ce  również uplastycznienie  wypeł niacza,  wyprowadził   G R I G OLU K  [3];  wystę pują   jedn ak  znaczne  trud- noś ci  przy  ich cał kowaniu. 8.  U wagi  koń cowe W  pracy  zaję liś my  się   tylko  symetryczną   pł ytą   trójwarstwową .  R ozważ an ia  m oż na bez  trudu  uogólnić  na  pł yty  o  róż nej  gruboś ci  i  róż nych  wł asnoś ciach  warstw  noś nych (por.  [13]). W  konstrukcjach  warstwowych  czę sto  istotne  jest  uwzglę dnienie  anizotropowych wł asnoś ci  materiał u.  Odpowiednie  równ an ia  statecznoś ci  dla  sprę ż ysto- plastycznej  pł yty peł noś ciennej  został y  wyprowadzone  w  [18].  Wszystkie  równ an ia  i  wzory  wyprowadzone w  obecnej  pracy  zachowują   swoją   postać  w  przypadku  cylindrycznej  ortotropii.  N ależy wtedy  tylko  przyją ć  macierz  Ej,  wyprowadzoną   dla  m ateriał u  ortotropowego  w  [28] zarówno  dla  teorii  odkształ ceniowej, jak  też  plastycznego  pł ynię cia. W  pracy  obliczaliś my  obcią ż enia  krytyczne  wedł ug  koncepcji  wzrastają cego  i  ustalo- nego  obcią ż enia.  W  obliczeniach  inż ynierskich  znaczenie  m a  przede  wszystkim  pierwsza koncepcja,  która  daje  bezpieczniejsze  (niż sze)  wartoś ci  obcią ż eń  krytycznych  i  w  przy- padku  pł yt  prostoką tnych jest  zgodna  z  doś wiadczeniami  (por.  [29]).  Obcią ż enie  krytyczne liczone  wedł ug  koncepcji  ustalonego  obcią ż enia  jest  wyż sze  i  daje  oszacowanie  od  góry obcią ż eń  jakie  może  przenieść  pł yta  w  wyniku  rozwinię cia  się   stref  procesów  biernych. N ależy  tutaj  podkreś lić  dobrą   dokł adn ość przybliż onej  m etody  Iliuszyna,  co  wykorzysta- no  w  pracy  [17]  do  sporzą dzenia  wykresów  zależ noś ci  pomię dzy  krytycznymi  wartoś cia- mi  obcią ż enia  i  odpowiednimi  promieniam i pł yty  p—ii- N ależy  dodać,  że  wartoś ci  krytyczne  liczone  wedł ug  koncepcji  ustalonego  obcią ż enia mogą   być  osią gnię te  przy  nieograniczonym  wzroś cie  ugię ć  (opieram y  się   n a  geometrycz- nie  liniowej  teorii  mał ych  ugię ć ).  Analiza  stanu  pozakrytycznego  wymaga  oparcia  się   n a teorii  duż ych  ugię ć  (por.  [28]), przy  czym  może  powstać  konieczność  rozważ an ia  nie  tylko procesów  biernych,  ale  też  wtórnych  odkształ ceń  plastycznych  (por.  [11,  19]). Jak  wykazaliś my  w  p .  5, przy / ,  - > 0  i / ,  - > 0  również  prom ień  pł yty  li  - »  0.  Podkreś li- liś my,  że  takie  rozważ ania  mają   charakter  czysto  teoretyczny,  gdyż  przy  krę pych  pł ytach przestają   obowią zywać  przyję te  zał oż enia.  W  takim  przypadku  nastę puje  znaczny  wzrost odkształ ceń  i  zagadnienie  utraty  statecznoś ci  należy  rozpatrywać  w  uję ciu  teorii  odkształ - ceń  skoń czonych  (por.  [27]). W  pracy  opieraliś my  się   n a  klasycznych  teoriach  plastycznoś ci.  Jak  wynika  z  przyję - tych  wzorów  (2.11),  wyniki  obliczeń  wedł ug  teorii  odkształ ceniowej  i  pł ynię cia  plastyczne- WYBO C Z E N I E  TR ÓJWAR STWOWE J  P Ł YTY  KOŁ OWEJ  595 go  nie  bę dą  się  wiele  róż niły  przy  mał ych  odkształ ceniach  plastycznych. Przy  wzroś cie tych  odkształ ceń  otrzymujemy podwyż szenie wyników  teorii  pł ynię cia  w stosunku do teorii odkształ ceniowej,  przy czym t a  ostatn ia  n a  ogół  lepiej  zgadza się z wynikami  doś wiadczeń. Zbliż enie  wyników  teoretycznych m oż na  uzyskać  przez  odpowiednią  modyfikację  teorii pł ynię cia  (por.  [15]). N ależy  też  wymienić próby  stosowania  teorii  statystycznych  (por. [29]), które prowadzą jedn ak  do ż m udnych  rachun ków. L it erat u ra  cytowana w tekś cie 1.  P . P .  BI J L AAR D ,  T heory  and  tests  on  the  plastic  stability  of  plates  and  shells,  J. Aero. Sci., 9,  16 (1949), 529- 541. 2.  P . P .  BI J L AAR D ,  Analysis  of  the  elastic  and plastic  stability  of  sandwich  plates  by  the  method  of  split rigities,  J.  Aero ,  Sci., P .  I , 5,  18  (1951), 339- 349;  P . I I , 12, 18  (1951), 790- 796, 835. 3.  E .  H .  F piiroJiioK, OS ycmouuusoctnu  mpexcjiauuhix  O6OMOHBK  U njiacmuH 3a npedcjiojtt ynpysocmu,  HSB. AH   C C C P ,  O T H ,  6  ( 1958) ,  68- 72. 4.  G . H .  H AN D E L M AN ,  W.  P R AG E R ,  Plastic  buckling  of  a  rectangular  plate  under  edge  thrusts,  N AC A T R 946, 1949. 5.  H . G .  H O P K I K S ,  T he plastic  instability  of  plates,  Q u a r t .  Ap p l.  M a t h . ,  2,  11  (1953), 185- 200. 6.  A.  A.  H J I BI O I I I H H ,  II/ iacmuHHocmb, F ocTexiraflaT,  M o c m a —J le in iiir p a fl  1948. 7 .  B.  J\ .  K JI K U U K H K O B,  Ycmounusocmb  npoifecca  coicamuH  udeanu3upoeauuou  nAacmuuKU, M ex. T B . T e jia ,  4  ( 1966) ,  2 8 - 3 6. 8.  I O . P .  H E I T H K ,  T lomepn  ycmouHueocmu  n/ iacmunoK U3 cwcuMaemoio  Mamepuana ua  tutoufadice  mei. H .  Py3AH 0B, O  nomepe  ycmoumieocmu  momiux  auu3omponubix  nAacnuiH  u  noAozux  O6OAO*W K  B nAa- cmuuecKoil  oSAacmu,  C 6 .  „ H jiacTH qecKoe  TeweHue  MeTMU OB",  H 3p;.  „ H a yi< a ",  MocKBa  1968, 4 4 - 5 2. 19.  E .  C AK K O B,  HccAedoeanue  nocAeKpumunecKou cmaduu  ycmounueocmu,  Yn.  3 a n .  TapTycicoro  YI - M B., 206  (1967), 160- 173. 20.  B.  H .  CErAJi,  K .  A.  C E M E H P ;H E B,  IlnmMHaHHbie  MameMamw- iecKue  ma6jiuą bi,  H 3fl.  3,  H3MaTrH3, M ocKBa  1965. 2 1 .  M .  SO K O Ł O WSK I,  O  granicy  stosowania  hipotezy  Kirchhoffa  w  teorii  zginania  pł yt  poprzecznie  niejedno- rodnych  i  warstwowych,  Ar c h . I n ż . L ą d ., 1, 5  (1959), 3- 13. 22.  E . Z .  ST O WE LL,  A  unified  theory  of  plastic  buckling  of  columns  and plates,  N AC A  T R  898,  1948. 596  Z .  WASZCZYSZYN 23.  T aÓAUiĄ bi fiynKijuuEeccenn ą eAozonoAOOicumeAbuozo undeKca, E H 6 H .  M aTeM . Ta6jiH H ., BK U I .  12,  BŁ WH C J I . U em p  AH   C C C P ,  MocKBa  1960. 24.  T eoria plastycznoś ci,  praca zbiorowa  pod red. W.  OLSZAKA,  P.  PERZYN Y  i  A.  SAWCZUKA,  PWN , War- szawa  1965. 25.  S. P.  TIMOSHENKO, J. M .  G ERE,  T heory of  Elastic Stability,  Mc G raw- H ill, 1961  (tł um.  polskie,  „Ar- kady", Warszawa  1963). 26.  J I . A.  TOJI OKOH H H KOB,  K  sonpocy  06 ycmouuueocmu  KpytAux  njiacmun,  coicamux  paenoMepuo pacnpe- deAeHHUM  daa/ UHueM  no  Komnypy,  Y i ,  3 a n . PocTOBcKoro  T o e. Y H K B . ,  3,  18  ( 1953) . 2 7.  JI . A.  TOJIOKOH H H KOB,  KpumwiecKoe  daejimue lia KpyzAyw nAacmuuKy, H 3B. AH   C C C P ,  O T H  10, (1958),  77- 86. 28.  Z.  WASZCZYSZYN,  Obliczanie  skoń czonych  ugię ć sprę ż ysto- plastycznych  pł yt  i powł ok  obrotowo- syme- trycznych, Zeszyty N aukowe  Politechniki  Krakowskiej,  3 (1970). 29.  A.  C .  BoJibMHP,  ycmoiiweocmb  de$opMupyeMux  cucmeM,  Htefl.  „ H a yi t a ",  MocKBa  1967. P  e  3  IO  M e YC T O H ^ H B O C T B  K P Yr J I O H   T P E XC J I O ft H O ft  n J I AC T H H K H   3 A  I I P E flE J I O M ynpyrocTH HfleajiH3HpoBaHHaH   TpexcnoiiH aa  ruiacTuH Ka  H ccjieflyeTca  B paMKax  rim oTe3bi  Kirpxrocptba  o H op- jwajiBHOM   ce'qeHHH, o6o6meH H oił  Ha Bee  n o n e p e iH o e  ce^eH H e, H  B npeflnojio>iKeHHHM  CTaHOBHTCH BO3MO5KHBIM   HHTerpHpOBafflie  OCHOBHOH   CHCTCMfcl  ypaBHeHHlł   ( 2. 15) .  T o iH O e  pemeH H e  ( 2.17)  CXOflHO n o  diopMe  c  pemeHHeM  win.  yn p yro ii  njiacTHHKH,  osH aKo  KosdpibHinieHTŁi  B  STOM  pemeH H H  3aBHCHT KaK OT  Tan a  n portecca,  TaK H  OT BejiH iH H bi  n n a c m ^ ec K o ił  flecJiopM auH H  B  H ecym ax  CJIOH X. H ccjieaoBaH bi  pe3yjibTaibi,  n o jiy^ e m a ie  B paMKax  rip n im m ia  nocTOHHHoii narpy3KH   (n o^xofl  K ap - H   B paMKax  npH H uiina  BO3pacTaiorqeH   iiarpy3KH   (noflxofl  IIIeH JiH ).  F IojiytieH H bie  pemeH H H   cn pa- KaK fljis fle