Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
1  STOSOWANA

1,  9 (1971)

RED U KCJA  STOP N I SWOBOD Y  U KŁAD ÓW  D YSKRETN YCH

JAN U SZ  B A R A N ,  KRZYSZTOF   M A R C H E L E K  (SZCZECIN )

Przy  modelowaniu  maszyn  za  pomocą   ukł adów  dyskretnych  bardzo  waż ną   rolę   od-
grywa  dobór  liczby  stopni  swobody  modelu.  Zwykle  model  charakteryzuje  się   znaczną
liczbą   stopni  swobody,  co  utrudnia  analizę   i  obliczenia,  a  także  może  wpł ywać  na  do-
kł adność  obliczeń.  Stą d  dą ż ność  do  modelowania  maszyn  za  pomocą   ukł adów  dyskret-
nych  o  moż liwie  mał ej  liczbie  stopni  swobody.  N ależy  jednakże  pamię tać  o  tym,  aby
model  opisywał   zasadnicze  cechy  ukł adu rzeczywistego.  Redukcja  stopni  swobody  musi
być  naukowo  uzasadniona, nie moż na jej  dokonywać  w  sposób  dowolny.

- )

fk

Rys.  1. Typowe  ukł ady  czę ś ciowe

Jedną   z metod redukcji  stopni swobody  ukł adów dyskretnych  opracował  i  przedstawił
R I WI N   w  pracy  [I].  M etoda  Riwina  polega  na  redukcji  ukł adów  czę ś ciowych,  charak-
teryzują cych  się   duż ymi  czę stotliwoś ciami  drgań  wł asnych.  W  wię kszoś ci  praktycznych
przypadków,  zakres  czę stotliwoś ci  sił   wymuszają cych  jest  taki,  że  nie  wymaga  się   zna-
jomoś ci  wyż szych  czę stotliwoś ci  wł asnych  ukł adu.  R I WI N   wyznaczył   wzory  redukcyjne
dla  dwóch  podstawowych  parametrów  ukł adu, mianowicie  masy  i  współ czynnika  sztyw-
noś ci. Przy  obliczeniach  charakterystyk  dynamicznych  modelu  na  maszynie matematycz-
nej  konieczna jest  znajomość  wartoś ci  współ czynników  tł umienia, aby  współ rzę dne  tych
charakterystyk  przyjmował y  wartoś ci  skoń czone.  W  pracy  przedstawiono  modyfikację
metody  Riwina,  dają cą   moż liwość  wyznaczania  wzorów  redukcyjnych  dla  współ czyn-
ników tł umienia.

Każ dy  ukł ad dyskretny  moż na rozbić  na  dwa  typowe  ukł ady  czę ś ciowe  (rys.  ł ) . Jeś li
wprowadzić  poję cie  zespolonego  współ czynnika  sztywnoś ci

(1) =  —- +iwh,,



202 J.  BAR AN ,  K .  M AR C H E LE K

gdzie: kj  —  współ czynnik  sztywnoś ci,
ej  — współ czynnik podatnoś ci,
hj  — współ czynnik  tł umienia,

wówczas  równania  równowagi  ukł adu czę ś ciowego  pokazanego  na rys.  la  przyjmą   postać

K
k
(<Pk— <Pk+i)  =   —- Ws+ i-

D la  drgań  harmonicznych moment wymuszają cy  i ką t  skrę cenia  wyrazić  moż na w po-
staci

( 3 )  Mj  =  Moj^ 'mt,  <f>j  —  <Pojela:t  •

Podstawiają c  wyraż enia  (3)  do  równań  (2),  po  dokonaniu  prostych  przekształ ceń
otrzymuje  się

J  1   _J

1
(4)

k- i

lu b

1  .  1 co*

(5 )
Ł- '

^

O o

przy  czym

(6)

gdzie:  a)o<1 —  czę stotliwość  drgań  wł asnych ukł adu czę ś ciowego  typu  a.
P o  podstawieniu  do  wzoru  (6) wyraż enia  (1) uzyskuje  się

ek- lek

Bezwzglę dną   wartość  czę stotliwoś ci  drgań wł asnych wyrazić  moż na zależ noś cią

(8 ) 10)8.1  -



RED U KCJA  STOPN I  SWOBODY  UKŁADÓW  D YSKRETN YCH   203

Rzą d  wartoś ci  poszczególnych  skł adników  wzoru  (8)  po  podstawieniu  param etrów
z tablicy  1 jest  nastę pują cy:

(9)  c o fo «] / 10
1 2 + c o 2 10 6 .

Z  zależ noś ci  (9) wynika,  iż  dla  co <  10  rad/ sek  drugi  skł adnik  moż na  pom iną ć  bez
szkody  dla  dokł adnoś ci wyniku.  Wówczas  czę stotliwość  drgań  wł asnych  ukł adu  a  wyz-
naczyć moż na z wzoru

(10)  w g a ^ ± l

Postę pując  analogicznie w przypadku  ukł adu typu b, równania równowagi  tego ukł adu
napisać moż na w postaci

Po podstawieniu zwią zków  (3) i uporzą dkowaniu wyraż eń,  ukł ad równań  (13)  przyjmie
postać

(12)

przy czym

(13)

gdzie: oj%
b
 — czę stotliwość  drgań  wł asnych ukł adu czę ś ciowego  typu b.

•   Uwzglę dniając  wyraż enia  (1) we wzorze  (13) uzyskuje  się

c ' J o * = =  _  i
l
  J

k
J
k+l

Bezwzglę dną   wartość wyraż enia  (14) wyznaczyć  moż na ze wzoru

(15)

Rzą d  wielkoś ci  poszczególnych  skł adników  we  wzorze  (15)  po  podstawieniu  para-
metrów z tablicy  1 jest  nastę pują cy

(16)  K ;, |  w  j/ fO "+ a> 2106~

Z  oszacowania  (16)  wynika,  że  dla  a>  <  103  rad/ sek  drugi  skł adnik  we  wzorze  (15)
moż na  bez  szkody  dla  dokł adnoś ci wyniku  pominą ć. Wówczas  czę stotliwość  drgań wł a-
snych ukł adu b bę dzie moż na wyznaczyć  ze wzoru

(17)



204  J.  BARAN ,  K .  M ARCH ELEK

U kł ady  czę ś ciowe  a  i  b  bę dą   sobie  wówczas  równoważ ne,  gdy co
0a

 s=  co
ob
. Aby ukł ad

typu  a mógł  być  zastą piony  ukł adem typu b parametry ukł adu b muszą   speł niać równania:

1

A -   1
 Ki

  x n ,1  x
• "• k-1  J^ k

k~1

• +•

P o  podstawieniu  zwią zków  (18), (19), (20) do ukł adu równań  (12) uzyska  się  równania
ruchu  ukł adu zamienionego

(21)

Porównują c  ukł ad  równań  (21)  z ukł adem równań  (5)  ł atwo  zauważ yć  iż róż nią  się
/   2  \

one mię dzy  sobą   o skł adn ikfl  j -   . Jeż eli speł niona jest nierówność ca2  <C «o a  wówczas

moż na  przyją ć  I I  j - \   sa 1 i uznać, że ukł ady równań (5) i  (21) są  sobie  równoważ ne.

M oż na  postą pić  odwrotnie, zastę pując  ukł ad typu  b ukł adem typu  a, wówczas  para-
metry  ukł adu a muszą   speł niać zależ noś ci

(22)  n- *n+Jhu

(23)  - =S-«

(24)  4r  -   1

W  wyniku  podstawienia  zwią zków  (22), (23) i  (24)  do  ukł adu równań  (5)  otrzyma się
równania  ruchu  ukł adu  zamienionego  róż nią ce  się   od ukł adu  równań  (12) o skł adnik

\   G>06/
Jeś li  speł niona jest nierówność co2 <c a>lb, wówczas  moż na uznać, że oba ukł ady

równ ań są  sobie  równoważ ne.
Ogólnie  moż na napisać, że

(25)  co^- L,



RED U KCJA  STOPN I  SWOBODY  U KŁ AD ÓW  DYSKRETN YCH   205

przy  czym dla ukł adu  typu a

(26)  J — J
k
;  e =  ~ — ,

zaś  dla  ukł adu typu b  '

(27)  7 *

Przy  redukowaniu  liczby  stopni  swobody  należy  w  pierwszej  kolejnoś ci  redukować
ukł ady  czę ś ciowe  charakteryzują ce  się mał ym iloczynem  Je.

W równaniach zamiany  (18)- (20) i (22)- (24) wystę puje  zespolony  współ czynnik sztyw-
noś ci K. Podstawiając  wyraż enie  (1) do kolejnych  równań zamiany, moż na ustalić w  jakim
zakresie  czę stotliwoś ci  skł adnik zawierają cy  współ czynnik  tł umienia może być  pominię ty.

Podstawiając  do  wzoru  (18)  zależ ność  (1) i dokonując  prostych  przekształ ceń  uzyska
się

kl

D la co <  103 rad/ sek  czę ść urojoną  wyraż enia  (28) moż na pominą ć; uzyska  się  wówczas

Po  podstawieniu  wyraż enia  (1)  do  wzoru  (20)  i  dokonaniu  prostych  przekształ ceń
uzyska  się

Ą ia)h?e£  ek- i- UoW L i<Ci  e
a

k
- iwh°

k
e?

 ̂ J  1  l  / ...l.b*b\ 2  1  l  t...l.a  „a  \ 2~ '

D la  a><^ lO6 rad/ sek  wyraż enie  1 +  (co/jj- ej)2  as  1 i  wówczas  zależ ność  (30)  moż na
napisać w postaci

(31)  el

Postę pując  analogicznie wyznaczyć  moż na równanie zamiany  dla masy  7c+ l

(32)  ^

Z  porównania  czę ś ci  rzeczywistej  i  urojonej  lewej i prawej  strony  równania  (31)  wy-
nikają  zwią zki

(33)  4^ 4- i+4,

(34)  h
k
  -



206 J .  BARAN ,  K.  M ARCH ELEK

W  przypadku  zamiany  ukł adu b  ukł adem a  równania  zmiany, po  dokonaniu podsta-
wienia  zwią zku  (1) do wyraż eń  (23)- (24) uzyska  się  odpowiednio dla co  <  103 rad/ sek.

(35)
Jb

- el,

(36)

(37)

(38)

- el

jb  I  el  V

„u

P r z y k ł a d :  Przedstawioną   metodę   redukcji  stopni  swobody  zastosowano  przy
obliczeniach  charakterystyk  amplitudowo- fazowych  napę du gł ównego obrabiarki.

N apę d  gł ówny frezarki  F u la moż na zastą pić  modelem o oś miu stopniach swobody  [2].
Postać  analityczna  charakterystyki  amplitudowo- fazowej  dla  ką ta  skrę cenia  mierzonego
na  wrzecionie  jest  skomplikowana.  Zł oż oność  charakterystyki  amplitudowo- fazowej
pogł ę bia  się   ze  wzrostem  liczby  stopni swobody.  D latego też przy  obliczeniach praktycz-
nych  (projektowych)  dą ży  się   do  zastosowania  moż liwie  najmniej  skomplikowanego
modelu,  a wię c  o moż liwie  najmniejszej  liczbie  stopni  swobody.

D okon an o  redukcji  ukł adu o oś miu  stopniach swobody  do  ukł adu o pię ciu stopniach
swobody.  P arametry ukł adu wyjś ciowego  podano w tablicy  1.

Tablica  1.  Wartoś ci  parametrów  okreś lają cych  wł aś ciwoś ci  dynamiczne  napę du
frezarki  F u la

J L p .

1.
2.
3.
4.
5.
6.

7.
8.

7 ; k G m s e k
2

25, 7- 10-3

1,25- 10-3

0, 284- 10-3

0,769 - 10-3

1,45- 1O-3

6, 50- 10-3

96,00-   10- 3

99, 44- 10-3

n  =   180  obr/ m in

li; kG m sek

0,18
0,042
0,019
0,037
0,0975
0,187
0,72

13,00

kjkG ra/ rad.

7,53 •  103

3,79 - 103

0,839- 103

1,372- 103

4, 01- 103

2, 80- 103

5,25- 103

1,192- 103

W  rozpatrywanym  przykł adzie zastę pować  się   bę dzie ukł ady typu  a ukł adami typu  b.
W  tym  celu  najwygodniej  jest  posł ugiwać  się   metodą   tablicową .  W  tablicy  2  podano
schemat  modelu  dyskretnego  opisany  wartoś ciami  parametrów  / ,- , hj,  ej  oraz  obliczone
wartoś ci param etrów ukł adów czę ś ciowych  wedł ug wzorów  (26) i  (27). Z tablicy 2 wynika,
że  najmniejszą   wartość  iloczynu Jj- ej  ma ukł ad czę ś ciowy  typu  a  o masie J

3
.  U kł ad ten

zamieniono  ukł adem typu  b o parametrach / *, / * *, e%  i h%  (rys. 2).



RED U KCJA  STOPNI  SWOBODY  UKŁADÓW  DYSKRETNYCH 207

Tablica  2

25,7- ilf3  1.25- 10"3  0.284- 10"3  0,769- ID3  1,45 g6 , Q0 1 0 3  99,40- 103

[O,I33- 1O3^ 7
h i

0,18
ha

1,19- ID3 0,726- itf3 D,2S- 1D3

e

h5

o,35a- to"3 o, io- i5
3

ha
0,019  0,037  0,0975  0,187  0,7Z  13,00.

1 i
1,2- 10'3

I
1

0 , 5 1 0 3  i  1,18- tf3  6,D7- 1Ó3!  50.2- 103  |
>- t-

J- ek 0 , 1 6 - 1 0 "
6 i0 , 0 6 H0 " e i

i  .  i

e= ; 0,0885- 10"3  [  0,ZI5- 1Ó3 1 0 , 1 8 6 - #   10,M8- 10"3  10,fZ4- TCf3 I  0,16 - 10'3

Jk- e 0,11- ID"
6  10,061- 10' 0,27- 106  j  0,96- 108 11, 9- 10°} 15.9- 106

Parametry  ukł adu obliczono  na podstawie  wzorów  (29),  (30), (33)  i (34).

73*  =   — ^ —  J 3  =   0,233 •  10-
3  [kG msek2],

/ * • =•
J

3
  =   0,051 •  10- 3  [kG msek2],

e* =   e
2
+e

3
  =   1,454-  1O- 3 [rad/ kG m],

.„   h
2
e\ Ą - h

3
el  0,042- 0,2642+ 0,019.1,192

et2 I,454
2

=   0,014  [kG msek].

^

h,
o,oa

Rys.  2.  Schemat zamiany  ukł adu typu  a  ukł adem typu  b przy  redukcji  ukł adu o  oś miu  stopniach  swobody

Momenty  bezwł adnoś ci  J
2
  i  J | !  oraz  / **  i  / 4  sumuje  się , uzyskują c  ukł ad  czę ś ciowy

o  momentach bezwł adnoś ci  J'
2
  i J'

3
  (rys.  2)

j ^  =   / 2 + J *  =   1,483- 10-
3  [kG msek2],

Ą   =   / * * + J 4  =   0,820- 10-
3  [kG msek2].

W  wyniku  zamiany  ukł adu  czę ś ciowego  typu  a  ukł adem typu  b  zredukowano  liczbę
stopni  swobody  modelu  napę du  gł ównego  frezarki  F u la  o jeden,  uzyskują c  model  o  sie-
dmiu  stopniach  swobody.



208 J.  BARAN ,  K.  MARCH ELEK

Przy  dalszej  redukcji  stopni  swobody  postę puje  się  podobnie.  W  tablicy  3 podano
schemat  modelu  o  siedmiu  stopniach swobody, jego  parametry  oraz parametry ukł adów
czę ś ciowych.  N ajmniejszą  wartość  iloczynu  J£ej  ma ukł ad czę ś ciowy  typu  a  o  masie  J2.

Tablica 3

2 5 , 9 ' ilf  1.483- 103  0,82- tO5  1 , 4 5 #   B.50- 105  9 6 , 0 D #   9 9 , 4 0 #
J i  J2   J3   JĄ  J5   06   J7

e,

Ny
hi

1

1A54- W3

e 2
O.7Z6- I03

e 3

1

0, 55#

N y Ny
hj

_

Q, 1 9 tD3

e B

he

e 7

0,18  0,014  0,037  0,0975

J~Jl,+J

J- ek

e=7

i  1
U - t O'  I  0.53- 103 i  D,52'103

I
1 -

O.raB- IO"8  I  0,77- 10"s  iO,37e- )0"e

I  ,   I

1.18- 10"3

0,72  13,00

"T

6.07- 1D3  I  50,2- I0tf I

I  I
2,W- 106l  g,55- 10°  |

0J22- 10"3 10,186- 10"
3!  0.148- 103

0,18H06 I
,

0,Z7# j  0,96# j  I1.9- 106

O,I6€3

15,9-ifl6

1483-W'3

0,133-W'3

0,18

t,454-!0 J,
j;

o, on

Rys.  3. Schemat Zamiany ukł adu typu  a ukł adem typu b przy redukcji  ukł adu o siedmiu stopniach  swobody

Tablica  4

27,06- iff1  0,943- 1(Ja  1 , « € 3 6,50-If 3 96,00-1O3 93,40-iff
l~]i,5SMi?f~|o,726-i53p^ O , B - # f " l n 3 5 B - i 8 3 r i ( M 9 ' " ' 3 '~

hi  ""•  hi ha
MK

bs
0,013 0,037 0,0975 0,187 0,72 13,00

3~-'k+Jk+1

J-ek

e=l^

0,915-10"'

1,45-ffl6

1,18-iS3

0,Z95-iOa| Z,17-1ff6

50,2-103

9,55-10°!

O,5­11J3

0,47-iff8 0,27-1IJ61 O,96-1O8I
1

O,124-1B3I 0,16-103|

11,9'iff6] 15,g-1IJ6j



RED U KCJA  STOPN I  SWOBODY  UKŁADÓW  D YSKRETN YCH 209

U kł ad  ten  zamieniono ukł adem typu  b.  Schemat zamiany  pokazano  na  rys.  3.  U zyskano
model  o sześ ciu  stopniach  swobody.  W  tablicy  4 podan o  schemat modelu  o  sześ ciu  stop-
niach  swobody,  jego  parametry  oraz  parametry  ukł adów  czę ś ciowych.  N ajmniejszą   war-
tość iloczynu  J- ^ i ma ukł ad czę ś ciowy  typu  a o masie  Ą .  U kł ad ten zamieniono  ukł adem

J.45- 10'
3

1
  0,25- W

3

JUMfTjJ
0,037 0,0975

Rys.  4.  Schemat zamiany  ukł adu typu  a ukł adem typu  b przy  redukcji  ukł adu o sześ ciu  stopn iach  swobody

27,08- 10'' 1M- W ~
J
  7,S8- W '

3
 9B.00- W '

3
  99,10- W

3

'  ^ S710- ^ 0ff7S/ 0'
3
^ S5S!ff-

J
^ 0/ S/ ff-

J
  ^  0,84- 10i

m
0,0/ 30  0,0266  0J37  0,72  13~00

Rys.  5.  M odel ukł adu o pię ciu  stopniach  swobody

Tablica  5.  Parametry  modelu  o  5  stopniach  swobody

Lp.

1.
2.
3.
4.
5.

n  =   180  obr/ min

/ jkG m sek2

27,06- 10-3

1,314- 10-3

7,58  - 10-3

96,00- 10"3

99,40 - 10-3

AjkG msek

0,013
0,0266
0,187
0,720
13,00

fcjkG m/ rad

0,63- 103

1,020- 103

2,80- 10e
5,25- 103

1,192- 103

Tablica  6.  Czę stotliwoś ci  drgań  wł asnych  napę du  gł ównego  frezarki  F u - la  przy  prę dkoś ci  obrotowe
n  =   180  obr/ min

M OD EL

8
masowy
5
masowy

foi

10,6

10,6

Czę stotliwoś ci

19,8

19,7

53,2

53,2

drgań  wł asnych  w  H z

/ o *

102,6

102,6

fos

227,2

187,2

/ o6

346,6 387,6

14  M ech an ika  teoretyczn a





a -

II -

3-

I  -

0   _
100 200

fwfHz}
500

Rys.  7.  Charakterystyka  amplitudowo- czestotliwos'ciowa  modelu  o  oś miu  stopniach  swobody  napę du
gł ównego frezarki  F u - la przy  prę dkoś ci  obrotowej  n =   180 obr/ min

m 500
fw[ Hz]

6  -
?n —

Rys.  8.  Charakterystyka  fazowo- czę stotliwoś ciowa  modela  o  oś miu  stopniach  swobody  n apę du  gł ównego
frezarki  F u- la przy  prę dkoś ci  obrotowej  n  — 180 obr/ min

14* [211]



212 J.  BARAN ,  K,  MARCH ELEK

typu  b.  Schemat zamiany  pokazano  n a  rys.  4.  U zyskano  w  ten  sposób  model  o  pię ciu
stopniach  swobody  (rys.  5), którego parametry podano  w tablicy  5.

W  tablicy  6 podan o wartoś ci  czę stotliwoś ci  drgań wł asnych modelu o oś miu  oraz mo-
delu  o  pię ciu  stopniach  swobody,  obliczone  metodą   HOLZERA  [3] na  maszynie matema-
tycznej.

Ulu)- 1D
3
[ra4/ k6m]

2 0

13

iW u)- W
3
[rad/ kGm]

~o,ooi  Ulo)- 10
3
[rad/ kBm]

R ys.  9.  C harakterystyka  amplitudowo- fazowa  modelu  o  pię ciu  stopniach  swobody  napę du  gł ównego
frezarki  F u - la przy  prę dkoś ci  obrotowej  n =  180 obr/ min

N a  rys.  6,  7  i  8  pokazano  wykresy  charakterystyki  amplitudowo- fazowej,  charakte-
rystyki  amplitudowo- czę stotliwoś ciowej  i  charakterystyki  fazowo- czę stotliwoś ciowej  mo-
delu  o  oś miu  stopniach  swobody,  natomiast na rys.  9,  10 i  11 pokazano te  same charak-
terystyki  dla  modelu  o pię ciu stopniach swobody.  Charakterystyki  obliczono na maszynie
matematycznej.



13  -

11  -

fwfHz)

wo 200 300

Rys.  10.  Charakterystyka  amplitudowo- czę stotliwoś ciowa  modelu  o pię ciu stopniach  swobody  n apę du
gł ównego  frezarki  F u - la przy prę dkoś ci  obrotowej  n —  180 obr/ min

100 200 300 400 500 fw[Hz]

3  -
• Jl  —

3,1

3,2

V

Rys.  11. Charakterystyka  fazowo- czę stotliwoś ciowa  modelu  o pię ciu  stopniach swobody  n apę du  gł ównego
frezarki  F u - la przy  prę dkoś ci  obrotowej  n  => 180 obr/ min

[213]



214  J.  BARAN,  K.  MARCHELEK

W n i o s k i

1. Z porównania uzyskanych  wyników dla redukcji  ukł adu o oś miu stopniach swobody
(tablica  6 oraz  rys. 6- 11) wynika,  że proponowana metoda daje  dobre wyniki  dla celów
praktycznych w zakresie czę stotliwoś ci  co <  103 rad/ sek. W zakresie czę stotliwoś ci  co  > 103

rad/ sek  wystę pują   rozbież noś ci  zarówno  w  przypadku  czę stotliwoś ci  drgań  wł asnych
(tablica  6), jak  w  przypadku  charakterystyk  fazowo- czę stotliwoś ciowych.  Wynika  stą d,
że  dla czę stotliwoś ci  co >  103 rad/ sek  nie moż na pomijać  czł onów urojonych we wzorach
redukcyjnych.

2. Róż nice  w  wartoś ciach  rzę dnych  charakterystyk  amplitudowo- czę stotliwoś ciowych
(rys. 7 i  10) rosną  ze wzrostem czę stotliwoś ci/! Wynika  to z powodu maleją cej dokł adnoś ci
obliczeń  na maszynie  matematycznej. Zastosowanie  dokł adniejszej  maszyny matematycz-
nej  powinno  dać wyniki  praktycznie  zgodne,  szczególnie  w  zakresie  co <  103  rad/ sek.

3.  Przyję cie  w  proponowanej  metodzie  idei  kolejnej  redukcji  ukł adów  czę ś ciowych
o  najwyż szych  czę stotliwoś ciach  drgań  wł asnych jest  uzasadnione, ponieważ  amplitudy
drgań  w  rezonansach  o  duż ych  czę stotliwoś ciach  są   wielokrotnie  (nawet  kilkaset  razy)
mniejsze  od  amplitud  drgań  w  rezonansie  podstawowym,  który  wystę puje  zwykle  przy
jednej  z  niż szych  czę stotliwoś ci  drgań  wł asnych.

4. Wyznaczenie  wzorów  opisują cych  współ czynniki  tł umienia  zastę pczego  ukł adu
czę ś ciowego  m a duże  znaczenie  praktyczne,  ponieważ  umoż liwia  zastosowanie  maszyn
matematycznych  do  obliczeń  charakterystyk  dynamicznych.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  E .  H .  P H B H H J  Memod  yMenbiuenun  cmeneneu  ceoóodbi e  paciemnux  cxeMax  i/ ennux  u  pa3aemeAeuuux

cucme/ iiax,  M auiH H OcrpoeH n e  N °  S,  1966.

2.  K .  M AR C H E L E K ,  T eoretyczne  podstawy  dynamicznych  obliczeń  napę dów  gł ównych  frezarek,  Z eszyty  N a -

ukowe  P olitechniki  Szczeciń skiej  n r  103, P race  Monograficzne  n r  49,  Szczecin  1968.

3.  J. P .  D E N   H AR T O G , Mechanical Vibrations, N ew  York- Toron to- Lon don,  M cG raw- H ill Book  Company,

1956.

P  e 3  M   M e

nP H BEflEH H E  CTEIIEH EPl  CBOEQUBI  .HHCKPETHLIX  CHCTEM

B  p a 5 o i e  coflep>KHTCH   BHflo3MeHeHHbiH   M ewm  3 .  H .  P r a i i n a  npHBefleHHH   cTeneH eft  cBo6oflbi

CHCTeM.  I I p H   BBefleHHH   noHHTHH  KOMnJieKCHoro KO3(J)<J>HiiHeHTa HcecTKOcm  n o n yqeH bi

n pH BC fleim a  KoatpiJamiieH TOB  3aTyxaHHH.  ITpeflCTaBJieHHbift  M eiofl  npH Be^eH H H  creneH eft  C BO -

n pH M en err  gnu  p a c ^ e i a  aMnjiH Ty«H 0- cpa30Bwx  xapaKTepiicTH K  rjiaBH oro  npH BOfla  c r a m o  F u - l a.

H a  ocH OBe  n on iraeH K bix  pe3yjn.TaT0B  Haiin,eHOj  MTO  n pe^n araeM BiH   MeioA  o a e i  xo po n iH e  p,nn  n p a u -

B  flaana30H e  ca <  1 0 3



RED U KCJA  STOPNI  SWOBODY  UKŁADÓW  DYSKRETNYCH   215

S u m m a r y

RED U CTION   O F   TH E  N U M BER  OF   D EG REES O F   F R E E D OM  I N   D I SC R E TE  SYSTEM S

The paper presents  a modification  of  Rivin's  method of  reduction of  the number of  degrees  of  freedom
of  discrete  systems.  By  introducing  the notion of  a complex  rigidity  coefficient  th e reduction formulae  for
the damping coefficients  are obtained. The method is then applied t o the calculation of th e amplitude- phase
characteristics  of  the  main  drive  of  the  F u- la  milling  machine. Th e  results  of  these  calculations  indicate
that  the proposed  method is  practically  accurate and applicable  in  the frequency  range  of  a>  <  103  sec- 1.

POLITECHNIKA  SZCZECIŃ SKA

Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 20 kwietnia  1970 r.