Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  9 (1971)

DYNAMIKA  SZ TYWN EJ  PŁYTY  SPOCZYWAJĄ CEJ  N A  SP R Ę Ż YSTO- P LASTYC Z N YM
P OD Ł OŻ U   Z E  ZM IEN N Ą   G RAN ICĄ   P LASTYC Z N OŚ C I.  C Z Ę ŚĆ I .  SZTYWN E O D C I Ą Ż E N IE

JERZY  B A U E R ,  ED WARD   W Ł O D A R C Z Y K  (WARSZAWA)

1. Wstę p

Problem  propagacji  jednowymiarowych  fal  naprę ż enia  w  stał ych  oś rodkach  niejed-
norodnych  był   przedmiotem  badań  wielu  autorów.  D ość  obszerny  przeglą d  literatury
z  tej  dziedziny  podany jest  w  [1]. W  pracach  tych  rozwią zywano  zagadnienia  graniczne
dla  warunków  brzegowych  danych  w  naprę ż eniach  (odkształ ceniach)  i  prę dkoś ciach
(przemieszczeniach).  Brak  jest  jednak  rozwią zań  podobnych  problemów  dla  mieszanych
warunków  brzegowych  wyraż onych  za  pomocą   równań  róż niczkowych  (n p.  obcią ż enie
zewnę trzne  przył oż one na  masę   skupioną   leż ą ca  na  niejednorodnym  oś rodku),  generu-
ją cych  fale  sł abej  niecią gł oś ci.  Ten  rodzaj  warunków  brzegowych  jest  czę sto  spotykany
w praktyce inż ynierskiej,  szczególnie  w problemach  fortyfikacyjnych.

W  niniejszej  pracy  zbadamy  dynamikę   nieodkształ calnej  pł yty,  spoczywają cej  n a
sprę ż ysto- plastycznym  podł ożu  (gruncie) ze zmienną  granicą   plastycznoś ci.

Praca  ta jest  kontynuacją   publikacji  [2], [3], w  których  zbadano  analogiczny  problem
dla oś rodka jednorodnego. U zyskane tam wyniki stanowią   tł o  porównawcze  dla zbadania
wpływu  niejednorodnoś ci  oś rodka  (zmiennej  granicy  plastycznoś ci)  na  dynamikę   pł yty.

Praca skł ada się  z dwóch  czę ś ci. W pierwszej  czę ś ci rozwią zujemy  problem dla  oś rodka
ze  sztywnym  odcią ż eniem, natomiast  w  drugiej  skonstruujemy  rozwią zanie  dla  oś rodka
z liniowo- sprę ż ystym  odcią ż eniem i  zbadamy jego wpływ  na dynamikę  pł yty.

2. Sformuł owanie problemu

Zbadamy  ruch  nastę pują cego  ukł adu.  N a  sprę ż ysto- plastycznym  niejednorodnym
gruncie  wypeł niają cym  dolną   pół przestrzeń, spoczywa  nieodkształ calna, nieograniczona
pł yta  o jednostkowej  masie  m  (masa  odniesiona  do jednostki  powierzchni). Pł yta  obcią -
ż ona  jest  równomiernie  rozł oż onym ciś nieniem  nagle  przył oż onym  i  nastę pnie  maleją -
cym  do  zera.  Tego  typu  schemat  obcią ż enia  może  być  modelowym  przedstawieniem
obiektu  znajdują cego  się   pod  dział aniem powietrznej  fali  uderzeniowej  w  bliskim  oto-
czeniu  epicentrum wybuchu  ł adunku  ją drowego.

Fizyko- mechaniczne  wł asnoś ci  gruntu  aproksymujemy  modelem  P randtla  ze  zmienną
(monotonicznie  rosną cą)  wraz  z  gł ę bokoś cią   granicą   plastycznoś ci.  Przyjmujemy,  że  n a



140  J.  BAU ER,  E.  WŁOD ARCZYK

gał ę zi  odcią ż enia  odkształ cenie  nie  ulega  zmianie •— sztywne  odcią ż enie.  D o  matema-
tycznego  opisu  uż yjemy  współ rzę dnej  Lagrange'a,  przy  czym  dodatnią   pół oś  Ox  kieru-
jemy  w gł ą b  oś rodka.

Sformuł owany  wyż ej problem wraz z  przyję tymi  zał oż eniami w ję zyku matematycznym
przyjmuje  nastę pują cą   postać:

równanie  równowagi

(2.1)

zwią zki  geometryczne

(2.2)  w

zwią zki  fizyczne
a.) w strefie  obcią ż enia

O T ( E ) =   E
o
e,

^ •  ̂ (  \   p  j- r

b) w  strefie  odcią ż enia

(2.4)

warunki  począ tkowe

(2- 5)

warunek  brzegowy

(2.6)

H/ c*):

u(x,

i  • E l

1

«c

0)  =

0 =

~E
0

K, 0 =

=   mv,
t

dla  |a(e)| <  a°+f(pc),

,  dla  |ff(«, je)l> oj+ / (x)i

"  «(*);

o(*.  0) =   0;

(0,0- 1>(0.
gdzie  p(t)  jest  ciś nieniem  zewnę trznym  obcią ż ają cym  pł ytę ,  natomiast  funkcja  f(x)  cha-
rakteryzuje  zmianę  granicy  plastycznoś ci  gruntu. O funkcji  tej  zakł adamy, ż e:

(2.7)  / ( 0 ) = 0 ,   / ( ' , ) > 0,   ff. (x)«- o?- / (* ).

Wymienione  wyż ej  równanie, zwią zki  geometryczne  i  fizyczne  oraz warunki graniczne
jednoznacznie okreś lają   dany problem.

3.  Konstrukcja  rozwią zania  problemu

Przy  zał oż eniach sformuł owanych  w poprzednim paragrafie  obraz  falowy  rozwią zania
przyjmuje  jedną   z postaci pokazanych n a rys.  1. Analityczne  rozwią zanie  problemu kształ -
tuje  się   nastę pują co.

Strefa  obcią ż enia (obszary  I. II i III). W  strefie  obcią ż enia  zgodnie  z  (2.1), (2.2)  i  (2.3)
ruchem  oś rodka  rzą dzą   nastę pują ce  równania:

(3.1)  u,n~alu,xx  =  0  (obszary  I i  I I ) ,

lu  =  El  fi  / ((3.2)  u, n- alu,xs  =  -
El  _fi  / ( *)  (obszar III),

gdzie  a
0
  =   ]/ E

O
/ QO  ,  «i  =   l/ ^i/ ff



D YN AMIKA  SZTYWNEJ  PŁYTY 141

W dalszym  cią gu  rozważ ań  parametry  należ ą ce  do  danego  obszaru  bę dziemy  oznaczać
dolnym  indeksem  liczbowym  zgodnym  z numerem danego  obszaru.

Rys.  1

Ogólne  rozwią zania  równań  (3.1) i  (3.2)  mają   nastę pują cą   postać:

(3. 3) «2

Z jednorodnych  warunków  począ tkowych  (2.5) wynika,  że

(3.4)

Fizycznie oznacza  to, że  w obszarach  I i I I brak jest zaburzeń  wę drują cych  w  ujemnym
kierunku  osi  x.

N a  podstawie  (2.2), (2.3) i  (3.3) oraz  (3.4)  otrzymujemy:

(3.5)

gdzie 0 '  i  y  oznaczają   pochodne funkcji  0  iW   wzglę dem  argumentów.



142  J-   BAU Ę R,  E.  WLOD ARCZYK

Pozostał e  parametry  ruchu  oś rodka,  tj.  przyś pieszenie  w  i  przemieszczenie  u  otrzy-
mujemy  dokonują c  odpowiednio  operacji  róż niczkowania  i  cał kowania  pola  prę dkoś ci
wzglę dem,  czasu.  Mają c  to na uwadze  w  dalszym  cią gu  bę dziemy  podawać  tylko  wzory
n a  naprę ż enia i  prę dkoś ci.

Podstawiają c  (3.5)Ł  i  (3.5)4  do  (2.6)  oraz  cał kują c  otrzymane  równanie  róż niczkowe
dostajemy  jawną   postać  funkcji  &

x
,  a stą d  wyraż enia  na  pole naprę ż eń i prę dkoś ci

"a

a
i
{x,t)  =  - h

o
e'

Ą
'^

]
  f

(3.6)  °

v
t
 {x, t) -   -   —  a, (x,  t),  h  j

Obszary  I I  i  I I I  są   rozdzielone  frontem  plastycznej  fali  obcią ż enia  x  —  k(t)  (rys.  1).
N a  froncie  tym  nastę puje  odbicie  i  zał amanie  plastycznych  fal  naprę ż enia  wywoł ane
niejednorodnoś cią   oś rodka.  Aby  rozwią zać  problem  w  obszarach  I I  i  I I I należy  okreś lić
nastę pują ce  funkcje:  @'

2
, 0'

3
  i  XF'

3
  oraz front  fali plastycznej  x  =  k(t).

Wykorzystują c  warunki  cią gł oś ci  pola  naprę ż eń  i  prę dkoś ci  na  granicy  obszarów
I I  i  I I I , wartość  naprę ż enia  równą   granicy  plastycznoś ci na krzywej x  =   k(t)  oraz warunek
brzegowy  (2.6),  otrzymujemy  nastę pują cy  ukł ad  równań  na  wymienione  wyż ej  funkcje:

(3.7)

Z  pierwszego  i trzeciego  równania po  rozwikł aniu  otrzymujemy

gdzie

Zał óż my  chwilowo,  że  znamy  funkcję   x  =   k(t).  Wówczas  wartoś ci  funkcji  0'
3
  i  lI"

3

w  dowolnym  punkcie  (x, t)  obszaru  I I I wyrażą   się  nastę pują cymi  wzorami:

(3.10)



D YN AMIKA  SZTYWNEJ  PŁ YTY  143

gdzie

( Xi  — X  \   I  X  X
Wielkoś ci  Xi  i  x2  są  odcię tymi  punktów  przecię cia  się  charakterystyk  odpowiedn io

dodatniej  i  ujemnej  z  frontem  fali  x =   k(t),  przechodzą cych  przez  wspólny  p u n kt  (x, t),
poł oż ony  wewną trz  obszaru  I I I (rys. la) . Stosowane  w  dalszym  cią gu  rozważ ań  ozna-
czenia  Xi(x,  i) i x

2
(x, t) należy  rozumieć jako  rozwią zania  równań  (3.11).

Analityczne  rozwią zanie  problem u  wewną trz  obszarów  I I  i  I I I po  wykorzystaniu
(3.10), (3.7)2 i  (3.5) kształ tuje się nastę pują co:

(3.12)  c
2
{x, t) =   —a°- f[k(h)],  v

2
{x, t) =   ^ -

a
°+- ^ - f[k(t

l
)]

oraz

E,  Ei  a
n

(3.13)  o
3
(x, t) =  —a°- \  L f{x{)- \  N f(x

2
),  v

3
(x, t) ~   ~~-   a°—

gdzie

(3.14)  h  .=  t-
l

Wróć my  obecnie  do  okreś lenia  frontu  plastycznej  fali  obcią ż enia  x =   k(t).  Ż ą dając
speł nienia  przez  wyraż enia  (3.13)  warunku  brzegowego  (2.6) n a  granicy  obszaru I I I ,
otrzymamy

(3.15)  ~a°+^   ^
a

gdzie  obecnie

(3.16)
  Xl

  =

Równanie  powyż sze  obowią zuje  dla  czasów  4 ^  tpś £ t,„  (patrz  rys.  la ) . Jest  to  nie-
liniowe  równanie róż niczkowe z przesunię tym  argumentem. Analizą  tego  równ an ia i kon-
strukcją  rozwią zania  zajmiemy  się w rozdziale 4. Obecnie przejdziemy  do strefy  odcią ż enia.

Strefa  odcią ż enia. W  strefie  sztywnego  odcią ż enia  mamy  v(x, t) x  v{t)  i  wobec  tego
z  równania  równowagi  (2.1) po scał kowaniu  wzglę dem  x  i wykorzystaniu  warun ku  brze-
gowego  (2.6)  otrzymujemy

(3- 17)  cr(x, t) =   (.Q
0
x+m)v'(.t)- p(t).

F ron t  fali  odcią ż enia x =  s(t) w rozpatrywanych  warunkach  granicznych jest  frontem
sł abej  niecią gł oś ci.  Mając  to  n a  uwadze  wprowadzamy  do  (3.17),  przy  x—  s(t),  pole



144  J.  BAU ER,  E.  WŁOD ARCZYK

naprę ż eń  i  prę dkoś ci  z  obszaru  I I I  wyraż one  wzorami  (3.13).  W  konsekwencji  otrzy-
mujemy  nastę pują ce  równanie  na front  fali  odcią ż enia  x  =   s(t)
(3J8)  „  E  4

)irN  =  bo*

gdzie

(3.19)  x,  =
L  "i  "i  J  L  "i  " i ,

Równanie  powyż sze  cał kujemy  numerycznie  w  przykł adzie  liczbowym  za  pomocą
metody  Runge- Kutta.

Przejdziemy  obecnie  do  okreś lenia  pól  naprę ż eń  i  prę dkoś ci  w  poszczególnych  ob-
szarach  strefy  odcią ż enia.  Rozpatrzymy  dwa  moż liwe  ukł ady  obszarów  na  pł aszczyź nie
fazowej  x,  t  (patrz rys.  la, b).

Przypadek  I —  1K<Z  (rys. la) .

O b s z a r  I V:
N a  podstawie  (3.17) i  (3.13)  otrzymujemy

o*(x, 0  =
(3.20)

gdzie  x
t
  i  x

2
  okreś lają   wzory  (3.19), natomiast ich  pochodne przyjmują   postać

(3.21)

O b s z a r  V:

(3.22)  ,
K

E°f. O c . 0 —l - ^fc O.   ̂ -   ao(m+ eoXKy
gdzie  xK  i  rK  są   współ rzę dnymi  koń ca  fali  odcią ż enia  (rys.  1).  Okreś lamy  je  z  przecię cia
się   frontu  plastycznej  fali  obcią ż enia  z falą   odcią ż enia.



D YN AMIKA  SZTYWNEJ  PŁ YTY  145

O b s z a r  VT :

(3.23)

v
6
(x,t)=  - - ~- n

s
(x,t).

O b s z a r  V I I :

(3.24)

O b s z a r  V I I I :

(3.25)

Przypadek II — t
K
>  % (rys. lb). W  tym warian cie  rozwią zan ie  w obszarze  I V  p o krywa

się  z rozwią zaniem  w obszarze  I V  poprzedn iego  przypadku .  W  pozostał ych  o bszarach

otrzymujemy

O b s z a r  V:

o
s
(x, t) =   (eoX+m)[- L f'(x

l
)x

l
+N f'(x

2
)x

2
],

0, (X. 0 =  4jr-  of -   £ / (*,)  +N f(x
2
).

O b s z a r  V I :

v
6
(x,t)=  —~- a

6
(x,t).

O b s z a r  V I I :

/   x~xr\
- hĄ t- tK  Ł

<r(xt)=[o°- f(x)]e  ^   "°  '
{5.As)

v
n
(x,  t) =   — _2- flr7(x,  0 .

4. Analiza  frontów  fal  obcią ż enia i odcią ż enia

W  pierwszej  kolejnoś ci  zbadam y  fron t  plastycznej  fali  obcią ż en ia.  F r o n t  tej  fali za-
czyna  propagować  się od pł yty  w gł ą b  oś rodka  w chwili  t =  t

3)
  dla kt ó rej  n ap rę ż en ie

pod  pł ytą  osią ga  wartość a =  —of.

10  Mechanika  teoretyczna



146  J.  BAU ER,  E.  WŁOD ARCZYK

Równanie  (3.15), p o uwzglę dnieniu faktu, że dla  t  =   t
s
  zachodzi x2  =   x2  =   0 i/ (0)  =   0,

redukuje  się   do  równania kwadratowego,  po  rozwią zaniu  którego  otrzymujemy  zamknię ty
wzór  n a  począ tkową   prę dkość  fali  o postaci

(4.1)

gdzie

A  =
m / '(0)a o«i

Warun kiem  istnienia  frontu  plastycznej  fali  obcią ż enia  w  badanym  przypadku  nie-
jedn orodn oś ci  jest  k'(t

s
)  >  0.  Z e  wzoru  (4.1)  wynika,  że  warunek  ten  bę dzie  speł niony

gdy

(4.2)  p(ta)- a°s  > 0 .

D la j?(4)—o- .° <  0 w oś rodku  pod pł ytą  wytwarza  się  tylko  sprę ż ysty  stan odkształ cenia.
P oza  tym  z  (4.1)  wynika,  że  począ tkowa  prę dkość  propagacji  plastycznej  fali  obcią ż e-

n ia  może zmieniać się   w przedziale  0 ̂   c
s
 ^  a^ .

Przejdziemy  obecnie  do  konstrukcji  rozwią zania  równania  frontu  fali  (3.15).  Jest  to
nieliniowe  równanie  róż niczkowe  z  przesunię tym  argumentem  typu  neutralnego.  D la
skonstruowania  rozwią zania  tego  równania,  począ tkowy  (dostatecznie  mał y)  odcinek
frontu  fali  aproksymujemy  odcinkiem  stycznej  do  tegoż  frontu  o  współ czynniku kierun-
kowym  wyliczonym  z wzoru  (4.1). Odcinek  ten m a postać

(4.3)  k{t)  -   c
s
(t- t

s
),  t

s
^ t^

D alej  n a podstawie  (3.11) i  (4.3)  otrzymujemy

Podstawiają c  z kolei  (4.3) i  (4.4) do  równania  frontu  fali  (3.15), otrzymamy

• ^ Kxi)+lf(xx)  =  2(0,

a  stą d

(4.5)  f(
Xl
)  =   e- W-<

gdzie



D YN AMIKA  SZTYWNEJ  PŁYTY  147

Mają c  znaną  postać fun kcji/ (xx)  z równania  (4.5) moż emy  okreś lić  dla  poszczególnych
chwil  czasu  wartość  nieznanego  argumentu  x^ t),  który  zgodnie  z  (3.16)  w  przedziale
t

s
sC

:
 f^ Z  t

s
+At—x

1
/ a

1
  poprawia  zał oż ony  począ tkowo  liniowy  odcinek  fron tu  fali,

natomiast  dla  t  >  tg+dt—Xi/ ai  okreś la  kolejny  odcinek  frontu  fali  potrzebny  do  reali-
zowania  nastę pnego  kroku  obliczeń. D alej proces  obliczeń  powtarza  się .

Przejdziemy  obecnie  do  analizy  frontu  fali  sztywnego  odcią ż enia.  W  pierwszej  ko-
lejnoś ci  zbadamy  zachowanie  się   frontu  fali  w  otoczeniu  punktu  «startowego»  (0,  / ,„).
Czas  t,„ jest  chwilą , w  której  naprę ż enie  pod  pł ytą   osią ga  maksymalną   wartość  (w  sensie
wartoś ci  bezwzglę dnej).  Okreś lamy  go  z  równania

(4.7)  <r
3it

(O,t
m
)=0.

Równość ta, po  wykorzystaniu  (3.13)x  przyjmuje  postać

(4.8)  L f[
xoXl

+N f{
X2)

k
2
=0.

Róż niczkując  z  kolei  równanie  frontu  fali  x  =   k{t)  i  uwzglę dniając  (4.8)  dla  t  =  t,„
otrzymamy

(4.9)  m[- L f
0̂
(k

i
r- L f[

xó
x

i
+N / ['

X2)
(k

2
y- +N f[

X2)
x

2
]- - p'(t

m
)  =   0.

P oza  tym równ an ie  (3.15) m o ż na  zapisać w  nastę pują cej  skrócon ej  form ie

(4.10)  - aS  + —  L f(x
1
)  + ~N Ax

2
)+mL f{

xó
x

l
- mN f[

Xl)
x

2
+p(t

m
)  =  0,

a
1
  cii

gdzie

( t )
Xi  —  r- ,  X2  —

"i,
W  ten sposób  otrzymaliś my  trzy  toż samoś ci,  które wykorzystamy  przy  badan iu  frontu

fali  odcią ż enia.
Z równania  (3.18), po  rozwikł aniu wzglę dem  s'(t),  otrzymujemy

tui)  *'« =  «.m.
gdzie

)Xi. - W
{Xl

)  x
2
,

G(s,  t) =   L flxjXt

(4- 12)

x = L i fli J JJ. =

10*



148  J.  BAU ER,  E.  WŁOD ARCZYK

N a  podstawie  toż samoś ci  (4.8)  i  (4.10)  wynika,  że  W (0,  t,„) =   G (0,  /,„) =  0. Oznacza
t o ,  że  równanie  (4.11)  posiada  w  punkcie  (0, t,„)  izolowany  punkt  osobliwy.  Zbadamy
zachowanie  się   frontu  fali  w otoczeniu punktu  osobliwego.

Zgodnie z metodą   F rommera [4] równanie  (4.11) zapiszemy  w  postaci

, „ , «  i„   v  W ,
t
dt+W ,

s
ds  ^ °  dt

df

gdzie

ff =   W ,
t
[

t
m.t

m
,ł - 1)  =  0,

6 =   W/,s!<= / ,,,.s= o =  - 2 r1 ,

Kł adą c  w  (4.13)  <A/<r/? =  .?'(/,„) otrzymamy  wzór  na począ tkową   prę dkość  frontu  fali
odcią ż enia

(4.15)  c
Q
 = s'(t

m
)  =  la,  [ l -

W  szczególnym  przypadku  dla  oś rodka jednorodnego mamy

(4.16)  c 0 —2 O Ł . '

W  ten  sposób  okreś liliś my  współ czynnik  stycznej  do  krzywej  cał kowej  w  punkcie
osobliwym  (0, / „,).  Powstaje  pytanie, czy tylko  jedna  krzywa  cał kowa  przechodzi  przez
ten  pun kt,  czy też pę k krzywych  o wspólnej  stycznej,  wyż ej  okreś lonej.  N a to pytanie
znajdziemy  odpowiedź  badają c  rodzaj  punktu  osobliwego.  Zgodnie  z  metodą   From-
mera  [4],  o rodzaju  punktu  osobliwego  decydują   pierwiastki  ?

n
  i  X

2
 równania  charakr

terystycznego

(4.17)  x2- (b

D la  wartoś ci  współ czynników  a,b,cid  okreś lonych  wzorami  (4.14),  równanie  (4.17)
m a  dwa  pierwiastki  rzeczywiste  o nastę pują cych  wartoś ciach:

(4.18)  Al =  2 T 1 )  A 3 - - 2 7 i.

Zatem  punkt  osobliwy  jest  punktem  siodł owym i przechodzą   przez  niego  dwie  krzywe
cał kowe.  Krzywa  cał kowa  o stycznej  só(t,„)  =  0 nie speł nia  warunków  cią gł oś ci  w oto-
czeniu  punktu  (0, /,„)  i  został a  wył ą czona  z  rozważ ań.  W  ten sposób  udowodniliś my
jednoznaczność badanego problemu. Krzywą   Ą t) okreś lamy  z równania (4.11)  rozwią zując
go  metodą   Runge- Kutta.



D YN AMIKA  SZTYWN O  PŁYTY

5.  Przykł ad  liczbowy

149

N a  podstawie  wyprowadzonych  w  poprzednich paragrafach  wzorów  przeprowadzon a
iloś ciową   analizę   ruchu  pł yty  nagle  obcią ż onej  przył oż onym  ciś nieniem  zmieniają cym
się   w  czasie  wg  prawa

(5- 1)

przy  liniowej  zmianie granicy  plastycznoś ci  oś rodka

(5.2)  f(x)  -   Ax.

D la  wykonania  obliczeń  numerycznych  wprowadzono  nastę pują ce  wielkoś ci  bez-
wymiarowe:

(5.3)

i'o

U  =  ——,  Kx  —  -   ,  ICn  =  •   ,

Ofi

Rys. 2.

0,5 0,8 X

Wyniki  obliczeń  liczbowych  wykonanych  n a  E M C  zamieszczamy  w  postaci  graficz-
nej  na rys.  2- 4.



Rys.  3a

0,  p ­ a ,  Qs=0,25,  n=3
1(4­1

R y s .  3b

[150]



= AO, j j - 3 , Qs-0,25, n=3

-0,2

Rys. 3c

, Qs=0,25, n-3

IB  T



152 J .  B AU E R ,  E .  WŁ O D AR C Z YK

u ,
V

0,8

0,8

0,4

0,7

0,1  W
- Q

=K

!o = 10,  ( J - 3, Q s= 0,

Urno*

^*"*""- —•   ,  max

- Wm i n

i  i

•   — — .

„   — — —

'i

i—^ .
5  k,

R ys.  4a ,  b

U  1- Q.1W

10,  y- S,  Qs- 0,25

max
max

1,6

1,2

0,8

0,4

_ - Wm (n

-   /w  / '

X—J= —•

3, Qs= 0,25, n-

k i - 0

0,4

20 50  80  1. 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4

R ys.  4c ,  d

D la  obcią ż enia  przyję tego  w postaci  (5.1) ruch pł yty i  stan  naprę ż enia w  oś rodku pod
pł ytą   zależy  od  pię ciu  parametrów:  l

o
,ju, Q

s
,  nik

x
.  Charakter wpływu  tych parametrów

obrazują   zamieszczone wykresy.
N a  rys.  2 pokazujemy  fronty  fal  plastycznych  K{T )  i  fronty  fal  sztywnego  odcią ż enia

S(T )  dla  kilku  wartoś ci  współ czynnika  k
x
,  który jest  odpowiedzialny  za  zmianę   granicy

plastycznoś ci  oś rodka.
Jak  należ ało  oczekiwać,  ze  wzrostem  gradientu  wzrostu  granicy  plastycznoś ci  (kj

intensywnie  maleje  gł ę bokość  przenikania  strefy  odkształ ceń  plastycznych.  Proces  ten
przebiega  nieliniowo.  Taki  rodzaj  przebiegu  zjawiska  wynika  z  okolicznoś ci,  że  wraz
z  powię kszeniem  gradientu  wzrostu  granicy  plastycznoś ci  maleją   nadwyż ki  ciś nienia



D YN AMIKA  SZTYWNEJ  PŁYTY 153

powodują ce  uplastycznienie  oś rodka.  W  konsekwencji  maleje  strefa  odkształ ceń pla-
stycznych.

N a  rysunkach  3a- d  zamieszczone  są  przebiegi  zmian w czasie  bezwymiarowych  współ -
czynników  przemieszczenia  pł yty  U, prę dkoś ci  V, przyspieszenia  W  i  naprę ż enia pod
płytą   Q dla kilku  wielkoś ci  współ czynnika  k

x
.  Charakter  zmian w  czasie  wymienionych

parametrów jest  podobny, jak dla oś rodka jednorodnego  k
x
  — 0 [2],  z tym, że  wielkoś ci

E/i V wraz ze wzrostem fct — maleją ,  a wartość Qmax  roś nie. D la realnych wielkoś ci  współ -
czynnika  kj  (np.  k, =  5) róż nice  dochodzą   do  kilkudziesię ciu  procent.  F akt  ten  ma

- to

0,8

0,6

'"m

(„- • «?, (Js- 0,25, n - 3

w

_ _ 4 1 ^

i  3  4  y

Rys. 4e

istotne  znaczenie  w  praktyce  inż ynierskiej.  Malenie  wielkoś ci  U i  V oraz  wzrost  Q
miiX

jest  wynikiem  oddział ywania  fal  odbitych  od niejednorodnoś ci,  które  dział ają   hamują co
na  ruch pł yty i spię trzają   naprę ż enia pod  nią .

N a  rysunkach  4a- e  pokazano  zmiany  maksymalnych  wartoś ci  poszczególnych  współ -
czynników  w funkcji  parametrów  lo,ft>Q

s
,n  i k

t
.  Jako  tł o porównawcze  zamieszczono

również  wyniki  dla  oś rodka  jednorodnego.  Z  zamieszczonych  wykresów  wynika,  że
szczególnie  wraż liwe  na  niejednorodność  oś rodka  jest  przemieszczenie  pł yty.  Róż nice
dochodzą   tutaj nawet  do  100%.

Reasumują c  należy  stwierdzić,  że zaniedbywanie  w dynamicznych  obliczeniach  obiek-
tów fortyfikacyjnych  (czę sto spotykane w literaturze technicznej) wpł ywu niejednorodnoś ci
oś rodka  może prowadzić w niektórych  przypadkach  do poważ nych bł ę dów.

Literatura  cytowana  w tekś cie

1.  E. WŁODARCZYKT,  Rozprzestrzenianie  się  i  odbicie jedno  i  dwuwymiarowych fal  naprę ż enia w oś rodkach
plastycznych,  D odatek do Biul.  WAT,  2 (198)  (1969).  (Rozprawa  habilitacyjna).

2.  E. WŁOD ARCZYK,  Dynamika  sztywnej pł yty  spoczywają cej na sprę ż ysto- piastycznym podł oż u,  Biul.  WAT,
4  (188),  (1968).

3.  E.  WŁOD ARCZYK,  W pł yw liniowo- spreż ystego  odcią ż enia na parametry  ruchu sztywnej  pł yty  spoczywa-
ją cej  na sprę ż ysto- piastycznym  gruncie, Biul.  WAT,  7  (203)  (1969).

4.  W. W.  STIEPAN OW,  Równania  róż niczkowe, PWN , Warszawa  1956.



154  J.  BAU ER,  E.  WŁOD ARCZYK

P  e  3  IO  M  e

AH H   AMI- IK A  >KECTKOft  riJIH Tfcl  H AXOJli&TEH OI  HA  yilPyrO- IU IACTI- M ECKOM
H EOflH OPOflH OM   OCHOBAHITH.  t- IACTB  I.

B  pa6o T e  iiccjicflOBaiiu  napa.weTpŁi flBH >KeH nw jKSCTKCtft  I U I H T W  H axoflam eiica:  n a  yn pyro- ruiacTii-

tieCKOM   ocuoBaiiH H   c  nepeMeHHbiM   npeflejioM   nnacTirajloCTH .  H ccJiefloBam- m  npoBcfleuM   AJI H   >i<ecTKoii

p asrp ySK H .  I lr r a T a  H a r p ywe u a  paBHOiwepHO  pacnpe.ne.neH H i.iM   flaBJieiiH e/ w,  npanoH ceiH iLiM   BH e3arriro,

a  3aieM   M OIIOTOH H O  ySbiBaromeM   K H yu io .  I l p n  Tai<nx  VCJIOBH H X,  n p n  cooTBeTcraenH o  n oflo6pan H oii n a-

rpy3i< e,  n n m a  r e iie p u p ye T  B 0CH0B3HHH  njiacTH iecKH e  BOJI H Ł I  n arpy3K H ,  3a KQToptiMH   cn eayeT  n p o u e c c

pa3i*py3i<H .  JT.JW  (JipoHTOB  njiacTiwccKoft  BonH bi  riarpy3KH   H  Bon iibi  pa3rpy3KH   n on y^eH M   H enH iieftH bie

oSLlKHOBCHHbie flKdlcJiepCH ttH aJIBKbie ypaBiieH H H   CO CflBHHyTblMH   apryMCHTaSlH   COflepHtaiUHMH  HCKOMbie

(byHKHHH   (fJjpOHTW  BOJIIl).  3 T H   J'paBHeHHH  peilieH bl  Ha 3JICKTP0HH0H  BbUmCJIHTCJIŁHOH  MaTeMaTHtieCKOlt

M a m im e.  BLiBCfleHM   aaiWKHyTbie  cbopjMyjibi  mm  H a^ianbH bix  CKOPOCTCH   pacn pocTpan eH itH   njiacrimecKoft

BOJlHbl  H  BOXIHbl  pa3Tpy3KH .  ^HCJICHHO HCCJleflOBai- ia  3aBHCIIMOCTb napaMCTpoB flBID KeH H H  njlHTBI  H   p e-

ai<HHH   n epe# aBaeM oił   eio  n&  ocH OBanae  OT  H coflH opoflnocTii  n peflen a  n n a c T iiin io c n i

S u m m a r y

D YN AM I C S  O F   A  R I G I D   PLATE  RESTIN G   ON   ELASTIC- PLASTIC  N ON H OM OG EN EOU S

M E D I U M .  PART  I.

I n  th e  paper  the parameters  of  motion of  a  rigid  plate resting  on elastic- plastic  medium with  varying

plastic yield  limit  was  investigated.  T h e investigations  were  carried  out for  rigid  unloading. The plate was

loaded  with  uniformly  distributed  pressure  which  at  first  was  suddenly  applied  and  next  was  allowed  to

decrease monotonically up  to the zero  value.  U nder  these conditions and for  the respectively  chosen load

the  plate  generates  in  th e  medium  t h e  plastic  loading  waves,  which  are  followed  by  unloading  process.

F or  the fronts  of plastic loading and unloading waves the usual nonlinear differential  equations with  shifted

arguments  containing t h e  sought  functions  (wave  fronts)  were  obtained. The equations  were  solved  with

th e  help  of  a  digital  computer. The closed  formulae  for  initial  velocities  of  propagation  of  plastic  loading

an d  unloading wave were  derived. T h e motion parameters of  the plate and its reaction transmitted to  the

medium depending on the nonhomogeneity of  the plastic yield limit were numerically  investigated.

WOJSKOWA  AKADEMIA  TECH N ICZN A

Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 27 maja 1970 r.