Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
1  STOSOWANA

1,  9 (1971)

ZAG AD N IEN IE  STATEC Z N OŚ CI  O R T O T R O P O WE J  P O WŁ O K I  ST O Ż K O WEJ  P O D D AN E J
SKRĘ CAN IU

TAD EU SZ  G A Ł K I E W I C Z  (Ł ÓD Ź )

1. Wstę p

Celem  pracy  jest  rozwią zanie  liniowego  zagadnienia  statecznoś ci  cienkich, ortotropo-
wych  powł ok  stoż kowych  podpartych  swobodnie  na krawę dziach  i  poddanych skrę caniu.
Zadanie  rozwią zano  za  pomocą   metody  energetycznej.  Zał oż ono  ugię cie  ś rodkowej  po-
wierzchni  powł oki  w  przybliż eniu  w  postaci  funkcji  w  = fiń nKzsmn^ cp—pż ),  znale-
ziono  cał kowitą   energię   odkształ cenia  powł oki  i  nastę pnie  zastosowano  metodę   Ritza.
Zadanie rozwią zano  dla powł ok cienkich i  o niezbyt  duż ym pochyleniu tworzą cych  stoż ka
do jego osi. U dał o się  okreś lić moment krytyczny  oraz liczbę  fal  powstają cych  na  obwodzie
za  pomocą   wygodnych  do  korzystania  wzorów.

Okazał o się , że dla powł ok stoż kowych  o mał ym pochyleniu tworzą cych  do osi stoż ka  —
wzory tu wyprowadzone  dają   wyniki bliż sze doś wiadczeń  niż wzory  M U SZTARI otrzymane
dla powł ok izotropowych.

N a  rys.  1 podane został y wymiary  s
x
,  s

2
,Rt,  R

2
,  grubość  ś cianki  h  oraz  ką t  mię dzy

podstawą   i tworzą cą   a.  D owolne punkty powierzchni  ś rodkowej  posiadają   współ rzę dne  j
i  cp,  zaś  przemieszczenie  tych  punktów  w kierunku  tworzą cych  oznaczono przez  u, w  kie-
runku  stycznej  do  równoleż nika  — przez ©   i  w  kierunku  normalnej  do  powł oki  przez  w.
Jak  widać  z  rys.  1:  r=  scosa,  R

t
  =   ^ c o sa ,  R

2
  =  s2co sa.

Przyję to nastę pują ce oznaczenia dla stał ych materiał owych: E
±
,  v

x
  — moduł   sprę ż ystoś ci

i  liczba  Poissona  w  kierunku  tworzą cej,  E
2
,

  v
z  —  moduł   sprę ż ystoś ci  i  liczba  Poissona

w  kierunku  równoleż nikowym,  G — moduł   sprę ż ystoś ci  postaciowej.
D la  powł ok  ortotropowych  obowią zuje  zwią zek

M   -
W  pracy KRÓLAKA  [4]  dotyczą cej  statecznoś ci ś ciskanych  powł ok stoż kowych  równanie

nierozdzielnoś ci  dla  powł ok  ortotropowych  doprowadzone  został o  do  postaci

(1.2)



54 T.  G AŁKIEWICZ

gdzie  (P jest  funkcją   naprę ż eń  Airy'ego,  zaś

(1.3) z  —  In —  ,
S

(1.4)

(1.5)  <5r  =
1  /   Ł _ 2 ^\ Gh  Eji

Rys.  1.

2.  Energia  cał kowita ortotropowej  powł oki stoż kowej  poddanej skrę caniu

Energia  cał kowita  nagromadzona  w  obcią ż onej  powł oce  wynosi

(2.1) U
o
  =

W  powyż szym  wzorze  F s  jest  energią   sprę ż ystą   w  stanie  bł onowym,  Va —  energią   od



ZAG AD N IEN IE  STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ  POWŁOKI  STOŻ KOWEJ  55

zginania,  zaś  W —energią   od sił  zewnę trznych.  Energia  sprę ż ysta  w  stanie  bł onowym
okreś lona  jest  wzorem

(2.2)  V
s
 =  ~  ( J  (N

1
e

l
+N

2
e

2
- \ - T y)rd<pds'

'  F

tutaj  e 1 ; e2>y  oznaczają   skł adowe  stanu  odkształ cenia  powierzchni  ś rodkowej.
Siły  przekrojowe  wynoszą   [3]

1  82$  cos  a  80  1  820  1  80
(2.3a)  ^  +

(2.3b)  N
2
  ^

r
2
  dcp

2
  r  8s  j 2 c o s 2 a  dtp2  s  ds '

8
2
0

os-

. , ,  ,  _  1  82<P  ,  cosa  30  1  820  1  80
r  ^ J SC O  r 2  8<p  j c o s a  ^ flgp

gdzie  N
±
,N

2
,  T  są   to  sił y  przypadają ce  na jednostkę   dł ugoś ci  ś rodkowej  powierzchni

(rys. ł ) .
W  powł oce  wystę puje  dwukierunkowy  stan  naprę ż enia,  a  wię c:

(2.4a)

(2.4b)  e
2
 =  - L - ^ - ^ J Vj)  =   8

i
(N

2
- v

2
N

1
),

(2.4c)  7 = - 7r  =
G  '  Gh'

1  .  1
(2.5)  J t  «= - = - / -,  u 2 =  •   ——.

P o  podstawieniu  powyż szych  wzorów  do wyraż enia  (2.2) energia  sprę ż ysta  w stanie
bł onowym  wynosi

(2.6)  Vs =  ̂ -   J J
/

Energia  sprę ż ysta  od zginania

(2.7)  V„ =  ~ jj  f  (p
gi
e

o
^ <y

g2
e

gi
+r

g
y

g
)r  dcpdsdz',

V

gdzie  e ffl, e 9 2, ya  są  to odkształ cenia  wzglę dne  od zginania,  zaś crai,o- ff2, rg — naprę ż enia
od  zginania.



56  T.  G ALKIEWICZ

D la  powł oki  stoż kowej  przyrosty  krzywizn  okreś lone  są   nastę pują cymi  przybliż o-

nymi  zwią zkami  [3]:

8
2
w  '

(2.8a)  A*L   =  ~W >

1  I  dw  .  d
2
w  dw  ,  \   1  dw  .  1  92w

( 2.8b)  Ẑ  «,  =   - - 5-  \ r —z -   co s a +  - 5—5-  +   - 5— sin a I «  5—F -  —j
  2

—- r—,- ,v  '  r 2  \   35  dip2  dcp  I  s  ds  s2cos2a  dcp2'

,.  .  .  .  1  /   d2w  dv  .  dw  .  \
(2.8c)  Ax,   2  =   - ,-1 r  • .  - .-•   + / ' - -— sin a— - r— cos a—» sin a cos a  ssr 2  \   ^ 9 i p  os  dcp  /

^ 2co sa  dcp'

Jeż eli  przez  z'  oznaczymy  odległ ość  elementu  obję toś ci  ś cianki  powł oki  od  powierzchni

ś rodkowej,  to  odkształ cenia wzglę dne  od  zginania  są   nastę pują ce:

(2.9)  e
Bl
cs* — z'Axx,  e f l 2 =   —z'Ax2,  V„ —  - 2z'Axti2.

Przyjmujemy,  że  w  powł oce  wystę puje  dwukierunkowy  stan  napię cia,  wię c  naprę ż enia
od  zginania  wynoszą

(2.10a)  a
gi
  =   j z ^ y ;  (^4- J-a  efl3)  =   -   - ~ ^ z \ A  x,+v2  A % 2 ) ,

(2.10b)  Oraa =  T A _ ( B ^ + V i e f f i ) = =   _ _ A _ Z ' ( ^ ^  +   ^ ^ ^ ) ,

(2.10c)  T 0 =   (7y9  =   - 2 C z ' Z l «1 ) 2 .

Po  podstawieniu  zwią zków  (2.10)  i  (2.9)  do  wzoru  n a  energię   sprę ż ystą   od  zginania  (2.7)

i  po  scał kowaniu wzglę dem  zmiennej z  od  — —  do  +   - „-   otrzymujemy

(2.11)
  g

p
F

przy  czym  Z> l5  D2  są   to  sztywnoś ci  zginania, D1:2  jest  sztywnoś cią   skrę cania, zatem

E n e r gia  sił  zewn ę t r zn ych  w  p r zyp a d ku  skrę can ia  p o wł o ki  stoż kowej  wyn o si

(2.13)  W ~  - MA

gdzie  M
s
  —  moment  skrę cają cy,  0 — ś redni  ką t  skrę cenia  cał ej  powł oki.

P o  utracie  statecznoś ci  ką t  odkształ cenia  postaciowego  dla  powł oki  stoż kowej  jest
okreś lony  wzorem

„   .  1  [  du  dv  dw (  dw
(2.14)  y  =   —  • ——h ' ' - -̂  +   - —̂  - ^  \ "V sin a, I — v co s a

i'  [  dcp  os  os  \  dcp
stą d

\   1  du  dv  1  dw  dw
in a  I —w c o s a  a;  —  - 5—  +   --  — - |  —  - .  - ,

/   r  dcp  ds  r  ds  dtp

I  du  dv  _  I  dw  dw

r  dcp  ds  ' r  ds  dcp'



ZAG AD N IEN IE  STATECZNOŚ CI  ORTOTROPOWEJ  POWŁOKI  STOŻ KOWEJ 57

Za  powierzchnię   odniesienia  przyjmijmy  powierzchnię   ś rodkową   stoż ka  nieod-
kształ conego.  D la  pofalowanej  powł oki  dtugość  odcinka  Ai  B

t
  (rys.  2)  wynosi

(2.16)
1  du dv

ds

Rys. 2

Obrót  promienia  CMj  na  skutek  odkształ cenia  elementu  sił ami  stycznymi  oznaczamy
przez  dd,  przy  czym

(2.17)  dO  w  A ? L  =  I ( i
v  '  r  r  \

=   1  [ 1  (
.ycosa  [  Gh \

ds

1  /   1  dw  dw \   ,  1
-   7[y- j  - j

s
  - fy]

  as
~

  r
\

1  dw  dw
r  ds  dcp

dw  dw

ds  =

\ ds  =
.jcosoc  dsdcp  s2cosoc  dtp J  J C O S «  3s  dcp  J

1  F  1  /   1  d20  I  d&\   1  dw  dw 1
5 cos2a.  [_Gh\   s  dsdcp  s2  dcp J  s  ds  dcp  J

as.



58  T .  G AŁKIEWIC Z

Ś redni  ką t  skrę cenia  elementarnego  stoż ka,  (którego  dł ugość  tworzą cej  jest  ds)  wynosi

2:r

/  dOdcp

(2.18)  « l r — 2 ^ -

rfs
Gh\   s  dsdtp

  +
  s

2
  d<p'J  s  ds  d<p\

  <P
'2ttSCOS

2 ..

Ś redni ką t skrę cenia  cał ej  powł oki  stoż kowej  okreś lono  cał kują c  dO
ir
  od s

L
  do s

2
,  miano-

wicie

v  J  2TTCOS  a  J  s  J  \ Gh\   s  asom  s^   vw]  s  ds  dtp

Ostateczny  wzór  okreś lają cy  energię   sił  zewnę trznych  jest  nastę pują cy:

(2  20)  W  —
v  '  '  > lUli\ s*  ć sć tp  sa  ć cpj  s*

F

C ał kowita  energia  sprę ż ysta  ortotropowej  powł oki  stoż kowej  wynosi

(2.21)  U
o
 =   (y,+  V

g
)+W   =

cos a

M„  r r f  i  / 1  320  i  30 \
> u J J  L " "  \ A

3.  Liniowe  zagadnienie  statecznoś ci  ortotropowej  powł oki  stoż kowej  poddanej  skrę caniu

P rzeprowadzone  doś wiadczenia  n a  skrę canych  powł okach  stoż kowych  wykazują ,
że  fale,  które  tworzą   się  po utracie  statecznoś ci  ukł adają   się   wzdł uż  linii  zbliż onych do
ś rubowych.  Kształ t powierzchni  ś rodkowej  odkształ conej  powł oki  opisać  moż na w  przy-
bliż eniu  za  pomocą   nastę pują cej  funkcji

(3.1)  w = / isin iC zsin tt s(< p—  pz);

tutaj  zmiennymi  niezależ nymi  okreś lają cymi  powierzchnię   ś rodkową   są   <p  oraz z. Ką t  tp
odkł adan y  jest  stale  od  pewnej  pł aszczyzny —•  bazy  przechodzą cej  przez  oś  stoż ka
w  pł aszczyznach  prostopadł ych do osi stoż ka  (rys. 1, 3). D rugą   zmienną   z  moż na wyra-
zić  przez  współ rzę dną   J  mierzoną   od wierzchoł ka  stoż ka  wzdł uż jego  tworzą cych

(3.2)  z =   l n - - ,





60  T . G AŁKIEWICZ

gdzie fx  oznacza  maksymalną   strzał kę   fali,

n  L   - -   s
2(3.3)  K  = - - "

T
  | 1 < - = Ł <2

In  —

zaś  s±   i s
2
  są   to najmniejsza  i najwię ksza  tworzą ca stoż ka  mierzona  od  jego  wierzchoł ka,

n
s
  okreś la  liczbę   fal  tworzą cych  się   na  obwodzie  (n

s
 — liczba  cał kowita  wię ksza  od  je-

dnoś ci), p  jest  to  pewien parametr.
Analizują c  warunki  brzegowe  jakie  speł nia  funkcja  ugię cia  okazuje  się ,  że  odpo-

wiada  on a  w  przybliż eniu  podparciu  swobodnemu  na  krawę dziach.  F unkcję   tę   ł atwo
jest  przekształ cić  do  nastę pują cej  postaci

(3.4)  w  =~- [cos(a
1
zĄ - c(p

1
)- cos(b

1
z- \ ~C(p

1
)]

gdzie

(3.5)  <p
:
 =   (pcosoc,

(3.6)  a
L
 =

In

(3.7)  b^ i
h
p- K=n

s
p-

In- Ł

(3. 8)
COSK

Wstawiono  funkcję   ugię cia  (3.4)  do  prawej  strony  równania  nierozdzielnoś ci  (1.2)
i  otrzymano  nastę pują cy  zwią zek:

(3.9)
prawa strona
równania

=   ^L eZ [—a
t
sm(a

1
z+c<p

1
)+alcos(a

1
z+c<p

1
)+

2

nierozdzielnoś ci

Przewidziano funkcję   naprę ż eń w postaci

(3.10)  0 =   Jj- e*[<xsm(ó
i
z+c(p

1
)- ł - (]cos(ą

!L
z+Cf

1
)+

gdzie  a, /9, y,  ó i  A
o
  są   to pewne  stał e, które należy  okreś lić.

Wstawiono  nastę pnie funkcję  0 do równania nierozdzielnoś ci  (1.2) i po przyrównaniu
do  siebie  współ czynników wystę pują cych  przy tych samych funkcjach  trygonometrycznych
po  obu  stronach równania nierozdzielnoś ci otrzymano ukł ad  czterech równań z  czterema
niewiadomymi.  Współ czynniki  tych  równań  w  sposób  skomplikowany  zależą   od  para-
metrów  a

x
,b

t
,c  i  dalsze  rozwią zanie  zadania  nastrę cza  duże  trudnoś ci  rachunkowe.



ZAG AD N IEN IE  STATECZNOŚ CI  ORTOTROPOWEJ  POWŁOKI  STOŻ KOWEJ  61

N a  podstawie  porównania  szeregu  szczególnych  przypadków  powł ok  stoż kowych  z  po-
wł okami  walcowymi  o  zbliż onych  wymiarach  [zakł adano tu  ś rednicę   powł oki  walcowej

równą   R  =   —l-   2  i  dł ugość  powł oki  L  =   ( ^ 2 —J J ]  zauważ ono, że  dla  pewnej  grupy

powł ok  wystę pują cy  w  równaniach  współ czynnik  c 4  jest  wielkoś cią   znacznie  wię kszą
od  współ czynników  typu  c2a\ ,  c2bj, af,  b\   itp.  W  omawianej  dalej  pracy  zagadnienie
rozwią zano  w  sposób  przybliż ony,  gdyż pominię to wszystkie  wyraż enia  mał e  w  stosunku
do c 4.

Jak  wykazuje  dokł adniejsza analiza  dobre wyniki  uzyskuje  się   dla powł ok  stosunkowo
cienkich  i  o  mał ym  ką cie  pochylenia  tworzą cych  do  osi  stoż ka.

Po  wykonaniu  powyż szych  uproszczeń  i  przyrównaniu  do  siebie  współ czynników
wystę pują cych  przy  tych  samych  funkcjach  trygonometrycznych  z  obu  stron  równania
nierozdzielnoś ci  otrzymujemy  nastę pują cy  ukł ad  czterech  równań,  z  których  wyliczamy
stał e

(3.1 la)  aó
n
c

A  =   - «!  stą d  a =  -   - / V =

(3.11b)  / 3<5nc
4 =   ff?  stą d  /? =   •  '

(3.11c)  yd
n
c

i
  =  b

1
  stą d  y  =   4 ,

b\
(3.11d)  < 5 ^ I I C 4 = - 6?  stą d  ó  =

Wzór  na  funkcję   naprę ż eń jest  wię c  teraz  nastę pują cy:

(3.12)  4ri

+~b
1
sm(b

1
z+c<p

1
)—blcos(b

1
z+c<p

1
)]+Ao(pi.

Stał ą   A
o
  wyliczamy  ź  warunku  równowagi.  Z  sumy  momentów  wzglę dem  osi  stoż ka

wynika  równość

(3.13)  M
s
  =   /   [T (rd<p)]r,

o

przy  czym  sił a  styczna  T   przypadają ca  na  jednostkę   dł ugoś ci  ś rodkowej  powierzchni
okreś lona  jest  wzorem  (2.3c).

Po wyliczeniach

f  sm(b
L
z+c(p

1
)+

A



62  T .  G AŁKIEWICZ

Wstawiają c  sił ę   T  do  wzoru  (3.13) i  cał kują c, mamy

(3.15)  M
s
  =   J  A

0
cos

2
ad(p=  A

0
2izcos

2
a,

\   °
a  stał a

M
(3.16)  A

o
  =   „   '

v  '  °  2wcoKoń cowa  wię c  postać  wzoru  n a  funkcję   naprę ż eń jest  nastę pują ca:

(3.17)  0  =  ~- - g- ^
r
[—a

l
sm{a

1
z+c^

1
)+alcos(a

l
z+cf

1
)+

Ze  zwią zków  (2.3a),  (2.3b),  (2.3c)  wyliczyć  moż na teraz  sił y  wewnę trzne N x,N
2
  i T ,

mianowicie

(3.18a)  N   Ą 2  L
2  OftC  Si  s

(3.18b)  N
2
 = 4 -   ^

s
±
  s

1  1

-   —  —  -   M
+cb

2

1
sm(b

1
z+c(p

1
)- cb

3

1
cos(b

l
z+c(p

1
)]- [-  2 w i > a c ^

(3.18c)  r - ^ - -

Otrzymane wyż ej siJyJVi, iV2 i Twstawiono  do wyraż enia  (2.6) i po scał kowaniu i pominię -
ciu  wielkoś ci  mał ych  otrzymano  ostateczną   postać  wzoru  na energię   sprę ż ystą   w stanie
bł onowym

8jrG !/ jcos3a

Przystą piono  nastę pnie  do  obliczenia  energii  sprę ż ystej  od zginania.  Przyrosty  krzy-
wizn  okreś lono z wzorów  (2.8a), (2.8b) i  (2.8c), wynoszą   one

/ i( 3 . 2 0 a )  A x  Y
T

p p (

+blcos(b
1
z+c(p

1
)],

f
(3.20b)  AH

2
 =   y

f.
(3.20c)  - d^i.2  =



ZAG AD N IEN IE  STATECZNOŚ CI  ORTOTROPOWEJ  POWŁOKI  STOŻ KOWEJ 63

Ax
ls
  A%

2
- >  An

li2
  wstawion o  n astę pn ie  do  wzoru  n a  energię   o d  zgin an ia  (2,11)  n a -

stę pn ie  p o  obliczeniach  i  uproszczen iach  otrzym an o

V  - li l̂710
9  2  '  4 K

2
+l

gdzie

(3.22)
K

2 - ł
+ 1

G dy
In s2

s
2
~- s

2

>  1,  wówczas  C  w  -  -   2 ~  .

E n ergia  sił   zewn ę trzn ych  wyliczona  ze  wzoru  (2.19)  wyn osi

2  s  4 c o s 2 a  4nGhcos3  a
(3.23)

Ostateczn ie  wzór  okreś lają cy  cał kowitą   energię   odkształ cen ia  powł oki  zo st ał   d o pro wa-
dzon y  do  nastę pują cej  p o st a c i:

(3.24)

gdzie

(3.25)

M
2 „2  „2

S2  * 1

K

(3.26)  ̂ =   n2E  h_pi\ ll+ L\ 8in2< xcos5g,
si—si  L  - s:5  J

(gdy  K2  >  1  wówczas  ——^ —  »  - pr)>

(3.27)
n  ,

12(1  —  v1 r 2 ) c o sa

Z  warun ku  m in im um  en ergii  - xjr~-  ~  0,  —- ^-   >  O  okreś lony  został   m o m e n t  skrę -
dfl

cają cy

(3.28) M s  = -   Vy]   +JB—.



64 T .  G AŁKIEWICZ

Wyznaczono  nastę pnie  dla  jakich  wartoś ci p  i  i] moment M
s
  jest  najmniejszy.  Warunki

m in im um  dają   dwa  zwią zki

(3.29) ™*L -   o  idp  - ° dr] =  0,

które  prowadzą   do nastę pują cego  równania  dwukwadratowego

< 1 3 0 )

Interesują cy  n as  rzeczywisty  dodatn i pierwiastek  tego  równania  wynosi

( 3- 3 1)  ~"  =

Stą d  okreś lono  zwią zek  mię dzy param etram i p  i  rj, mianowicie

(3.32)  p=  1,887??.

Wstawion o  teraz p  do  wzoru  (3.28)  i  otrzymano M
s
  w  funkcji  tylko  jednego  parametru

(3.33)

(3.34)

czyli

(3.35)

B

8M
S

dr]

I,887ł 73  '

IB

'  l,887r/ 4
=0,

-  — \ f B

M ają c  7]  m oż na okreś lić  liczbę   fal  powstają cych  na obwodzie  stoż ka

(3.36)

G dy  skorzystamy  ze  zwią zków  (3.26) i  (3.27), to po wyliczeniach  otrzymamy

1/4

1/   .  2 l+ |_i.|
(3.37)  «s =  4,02  i Ł f Ł

cos a .



ZAG AD N IEN IE  STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ  POWŁOKI  STOŻ KOWEJ 65

1  s  /   B

Wstawiono  nastę pnie  rj =  y —- 1/  —  do  wyraż enia  (3.33) i otrzymano  wzór  na  kry-

tyczny moment skrę cają cy  ortotropowej powł oki stoż kowej.  M oment ten wynosi

(3.38)  JlfŁo =   5,05- 4
3'82ts'8.

Po  uwzglę dnieniu,  że  A  i  B  okreś lone  są   odpowiednio  wzorami  (3.26)  i  (3.27)  mamy
3/ 4

(3.39)  M
ko
  =   4,6- s s1s2h

3
tga  1/

Jeż eli wprowadzimy  oznaczenie

(3.40)  w  =

s
1
s

2
h

3
tgtx

1/ 4

to  wzory  (3.37) i  (3.39) moż na zapisać  proś ciej

(3.41)

V
1/4.

1/ 8
cocosa

h  '

(3.42) M
ko
  =   4,6

D la  powł oki izotropowej  E
l
  =  E

2
  =  E,  zaś  vx  =   v2  ^=   r.  G dy  v =   0,3  wówczas  mamy

<y cosec
(3.43)

(3.44)

», -   3,97-
h  '

U wzglę dniając  fakt,  że .ŝ  =   x  •>  ^2 =   ^— i  L   =   Ą —tfi#   wzory  (3.37)  i  (3.39)
COS  ut  C O S CC

moż na doprowadzić do nastę pują cej  postaci:

(3.45)  n
s
 -   4,(

r
RJi

2

'

(3.46)  M
ka

  -   4,6

5  M ech an ika teoretyczn a



66  T .  G AŁ KIEWICZ

gdzie

Ri  i  -   - K- 2 \   n. J< 2  r.  I  ł < 2

(3.47)

2

i+ A

- ^ - i
(3.48)

In

Z badan e zostanie teraz zachowanie się funkcji  okreś lają cych  n
s
 oraz  M

ko
  w  przypadku

zbliż ania  się kształ tu powł oki stoż kowej  do walcowej.  G dy a - »•   jr/ 2  wówczas:

(3.49)  - jf- - *l,  s i n a - > l.

M oż na  wykazać, że

(3.50)  lim l i  =   1,  lim £ 2 =   1 •
7T  71

Wzory  n a liczbę fal oraz moment krytyczny  dla powł oki walcowej  otrzymane jako  granice,
do  których  dą żą  wyraż enia  (3.45)  i  (3.46),  gdy kąt a dą ży  do n/ 2, są  więc  nastę pxiją ce:

,1/ 8

(3.51)  » =   n
s

n

D;, 2

(3.52)

Tutaj  R
x
  =  R

2
  =  R  oznacza  promień  powierzchni  ś rodkowej  powł oki  walcowej,  L  —

dł ugość  powł oki,  h — grubość  ś cianki,  zaś  E±,E
2
,  v

t
v

2
  — stał e  materiał owe. Liczbę  fal

dla  powł oki  walcowej  oznaczono  przez  n, a  moment krytyczny  symbolem  M
kro

.  Wzory
(3.51)  i  (3.52)  są  identyczne  z wzorami  uzyskanymi  przez  autora w pracy  [1]  dotyczą cej
statecznoś ci  ortotropowych powł ok walcowych  poddanych skrę caniu.

Wyniki  otrzymane  n a podstawie  wyż ej  wyprowadzonych  wzorów  dla powł ok  walco-
wych  są  bardzo  bliskie  wyników  uzyskanych  przez  innych  autorów  np.  D ON N ELLA [8],
PARSZEWSKIEG O  [7], D AREWSKIEG O  [9], którzy  rozwią zali  podobne  zagadnienia  innymi

metodami.  D la  powł ok  izotropowych,  gdy  parametr  .  >  17  maksymalna  róż nica
]/ Rh

w  odniesieniu  do wzoru  (3.52) nie przekracza  ± 4 % .
W  artykule  [2] przeprowadzono  porównanie  wyników  uzyskanych  w niniejszej  pracy

z  wynikami  M U SZTARI  [9],  który  rozwią zał   liniowe  zagadnienie  statecznoś ci  skrę canych

izotropowych  powł ok  stoż kowych.  Wykazane  został o, że gdy  L  1 /   ta 20  wyniki



ZAG AD N IEN IE  STATECZNOŚ CI  ORTOTROPOWEJ  POWŁ OKI  STOŻ KOWEJ 67

uzyskiwane  przy  pomocy  porównywanych  wzorów  są  do  siebie  zbliż one.  Okazuje  się,

że  wraz  ze  wzrostem  parametru L I/   - p—r moment krytyczny  liczony  wedł ug  wzorów

M usztari daje  wartoś ci wię ksze o AM
M
  od wyników  uzyskanych  wedł ug  wyprowadzonego

tu  wzoru (3.42)  i  (3.46), np. dla L ~\ f  - —-   wynoszą cego  kolejno 40, 50  i  60 —  wzglę dny

przyrost momentu równy jest  odpowiednio  okoł o  +6%,  +9%  i  + 1 1 % .

Jak  wiadomo,  wyniki  doś wiadczeń  dla  powł ok  walcowych  leżą  kilkanaś cie  procent
poniż ej  wyników  uzyskanych  z  rozwią zań  zagadnień  liniowych  [1, 8, 7].  Oczywiste  jest,
że  podobnie bę dzie  się  rzecz  miał a  z  powł okami  stoż kowymi  o  mał ym pochyleniu  two-
rzą cych do osi stoż ka. Z przeprowadzonej analizy  wynika,  że wzory  na moment krytyczny
wyprowadzone  w  niniejszej  pracy  dają  wyniki  bliż sze  doś wiadczeń  niż  wzory  M usztari.

W  celu uł atwienia korzystania  z wzorów  (3.45) i  (3.46)  wprowadzono oznaczenia

In-

1+   -
R

2

1/ 8

j/ i£ (f+ 1)-

(3.54)

21 J±
+
Ri

- 1
1 / 8

'  2  - —

ln-

Powyż sze  wzory  są  sł uszne, gdy
7 1

1, co ma miejsce dla  1 <  ~  <  2 i  wówczas
R

ln-

1  oraz
2   4 ?. - :

i.

D zię ki czemu wzory  n a n
s
 i  M

ko
  moż na zapisać krótko

(3.55)

(3.56)

n
s
  =   nfo  |/ si|/ sm a  a; n

M
ko
  =



68 T.  G AŁKIEWICZ

Tutaj  n i M
kro

  jest  to liczba fal oraz górny  moment krytyczny  dla powł oki walcowej  o gru-
boś ci  ś cianki h, promieniu R = R

x
,  dł ugoś ci równej dł ugoś ci tworzą cej  stoż ka  L  =   s

2
—s^

i  stał ych materiał owych E
1>

 E
2
,  v

1
,v

2
,  czyli

(3.57)

(3.58) M
kro

  =  4,6 5/ 8  "

1,0

D la  powł oki  izotropowej  zakł adamy  E
t
  — E

2
  *=  E,  oraz

kowo  przyjmiemy  v — 0,3, otrzymamy
=   v

2
  — v, a gdy dodat-

(3.59)

(3.60)

\ / R
1
h

Wystę pują ce  we  wzorach  (3.55),  (3.56)  współ czynniki  ip
0
  i  | 0  jak  widać  ze  zwią zków

(3.53) i (3.54) są  funkcjami  stosunku - ~.  N a rys. 4 sporzą dzono  wykresy  y 0  i  fo  w za-



ZAG AD N IEN IE  STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ  POWŁOKI  STOŻ KOWEJ  69

P
leż noś ci  od  ~ .  Wykresy  te  uł atwiają   praktyczn e  korzystan ie  z  o t rzym an ych  wzo ró w.

Z ilustrowan e zostan ie  t o  n a  przykł adzie  liczbowym .

Przykł ad  liczbowy.  Obliczyć  n
s
  oraz  M

kf>
  dla  p o wł o ki  stoż kowej  p o d d a n ej  skrę can iu

wykon an ej  z  folii  m osię ż n ej.  D a n e :

h  — 0,02  cm ,  R
x
  —  5,20  cm,  R

2
  =   8,33  cm,  L   =   18,0 c m ,

E,  =   E
2
  =   E  =   1,16  •   106  k G c m 2 ,  v

x
  =   v

2
  =   r  =   0, 3.

M am y

i?x  " 5 , 2 0

* J Ł  =  A«- wo  _ ^ _ O

sinoc =   ] / l~ c o s 2 a  =   |/ l—0 . 1 7 3 7 2  =   0,985,

sin 3 a  =   0,952,  f/ sin a  =   |/ O,985  ==  0,997,  |/ ś i n3 a  =   0,988 .

Z  wykresów  n a  rys.  4  znajdujemy,  że  dla  ~ -   = 1 , 6

V o =   1.195;  ^ 0 =   1,338.

Liczba  fal  n a  obwodzie  (3.55)  o raz  skrę cają cy  m o m en t  krytyczn y  dla  (3.56)  rozpat ry-
wanej  przez  n as  powł oki stoż kowej  wynosi

n
s
  =   m

Po
  f/ sń ia  =   | 3 , 9 7 l / - -̂   ] / - f | |)  1=195 •   0,997 .  (8,57)1,191  =   10,2  *  10 fal,

M
ko
  =   M A, . ^ 0 |/ sin ^ =   / 4,88  •   1,16 •  10

6 — S ^ J . M g !  \   1,338  •  0,988 =
/   180

j/ 5, 20  •   0,02

=   (1580)1,32  . =   2085 kG c m =   20, 85 k G m .

W  powyż szych  obliczen iach skorzystan o  z wzorów  (3.59)  i  (3.60).

N aprę ż en ie  krytyczn e  wystę pują ce  w  dowoln ym  przekroju  p o p rzec zn ym  p o wł o ki

ozn aczam y  sym bolem

M.
(3.61)  r

kr
  =

2nr
2
h  '

Wstawiają c  r  =  R
t
  i  ;•   =   R

2
  otrzymujemy  n aprę ż en ia  krytyczn e  odpowiadają ce  n a p r ę -

ż en iom  n a  krótszej  i  dł uż szej  krawę dzi  skrę canej  p o wł o ki  stoż kowej.
M aksym aln e  n aprę ż en ia  wystą pią   n a  krawę dzi  o  m niejszym  obwodzie  i  wyn oszą

M.
(3:62)



70  T .  G AŁKIEWICZ

Ponieważ  rozpatrywane  zagadnienie  dotyczył o  sprę ż ystej  utraty  statecznoś ci,  wię c  oczy-
wiś cie x

kr
  musi  być mniejsze  od granicy  proporcjonalnoś ci materiał u powł oki.

Wzory  wyprowadzone  w  tej  pracy  są   pierwszym  przybliż eniem  omawianego  zagad-
nienia.  Rozwią zując  zadanie  pominię to  wszystkie  wyraż enia  mał e  w  porównaniu  z c 4.
Waż ną   rzeczą   jest  ocena maksymalnego  bł ę du  otrzymanego rozwią zania,  co  pozwolił oby
na  okreś lenie  dla jakich  parametrów powł ok stoż kowych  wyprowadzone  tu wzory  moż na
stosować.  Problem ten na obecnym  etapie  pracy  jest  niemoż liwy  do rozwią zania,  gdyż
nieznane  jest  ś cisłe  bą dź  dokł adniejsze  rozwią zanie  omawianego  zagadnienia.  W  arty-
kule  [2] rozważ any  był  ten  problem  dla izotropowych  powł ok  walcowych  i  został o  tam
wykazane,  że z  dokł adnoś cią  do  ± 4 % wzory  (3.51)  i  (3.52)  moż na  stosować  wówczas,

gdy  L I\ / jRh > 14.
Ponieważ  wzory  tu wyprowadzone  wraz  ze zbliż eniem  się  kształ tu powł oki  stoż kowej

do  walcowej  dą żą   dokł adnie do  postaci  (3.51), (3.52), wię c moż na przypuszczać,  ż e- —dla
powł ok  stoż kowych  o  niezbyt  duż ym  pochyleniu  tworzą cych  do osi  stoż ka — granica
stosowalnoś ci  wzorów  (3.55),  (3.56)  bę dzie  niewiele  róż niła  się  od  granicy  dla powł ok
walcowych.  Wydaje  się , że otrzymane wzory  bę dzie  moż na stosować z dobrymi  wynikami
nawet  w zakresie  60° ^  a ̂   90°,  wówczas  gdy  parametr

/ "ET

W  celu  dokł adniejszej  oceny  omawianego  zagadnienia  przeprowadzane  są   obecnie
w  Instytucie  M echaniki  Stosowanej  Politechniki  Łódzkiej  badania na skrę canych po-
wł okach  stoż kowych.  Wyniki  tych  badań  zestawione  zostaną   w  osobnej  publikacji.

Rozpatrzone  w pracy  zadanie jest  rozwią zaniem  zagadnienia  liniowego.  Obecnie jest
w trakcie  rozwią zywania  identyczny problem — tylko  w uję ciu  nieliniowym.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1. T .  G AŁ K I E WI C Z , N ieliniowe  zagadnienie statecznoś ci  ortotropowej powł oki  walcowej poddanej  skrę caniu

Arch.  Bud. M asz., 4, 12 (1965).

2.  T .  G ALK I E WJC Z ,  Analiza  znanych  wzorów  dotyczą cych  Statecznoś ci powł ok  walcowych  i  stoż kowych

poddanych  skrę caniu,  Zeszyty  PL  (1970),  (w  druku).

3.  E .  H .  F pH rojuoK,  Ynpyian  ycmaibiutocnih opmomponuux  u  ctioucinux  KOHUW CKUX  U  i^ ujiundpimecKUx

o6ononeK, P aM eT  npocTpancTBem- ibix  KoiicipyKUHii  I I I , M o c r a a  1955.

4.  M .  K R Ó L AK ,  Statecznoś ć  ortotropowej  powł oki  stoż kowej  ś ciskanej  osiowo —  iv  uję ciu  nieliniowym,

Arch .  Bud. M asz., 3, 16 (1969).

5.  J .  LE YK O,  Statecznoś ć  ortotropowej  powł oki  o  postaci  wycinka  stoż kowego  ś ciskanego  wzdł uż  tworzą -

cych,  Arch .  Bud.  M asz.,  4,  8  (1961).

6.  X .  M .  AlyiiiTAPH ,  npu6jnaiceuHoe  peuteuue  rieKomopux  3adau  ycmoumwocmu  moiiKocmeimoO  KOUU-

HecKou  060/ iOHKU  Kpysoeoco  ceuemin,  I lpH KJI .  M a x. M c x. , 3 ,  7  ( 1943) .

7.  Z .  PARSZEWSKT,  Krytyczne  obcią ż enie  przy  skrę caniu  cylindrycznej  pow/ oki  ortotropowej  o  skoń czonej

dł ugoś ci, Arch.  M ech.  Stos., 3, 17 (1955).

8. S. P .  TI M OSH E N KO, J. M .  G E R E ,  T eoria statecznoś ci  sprę ż ystej  (Wzory  L. H . D on n ella),  Arkady,  War-

szawa  1963.

9.  A.  H.  BOJIBMH PJ  ycmouHueocmb  detpopuupyeMux cucmeM  (Wzory W. M .  D arewskiego  i  C h .  M . M u-

sztari),  H ayKaj  Moci<Ba  1967.



ZAG ADNIENIE  STATECZNOŚ CI  ORTOTROPOWEJ  POWŁOKI  STOŻ KOWEJ  71

P  e  3 ro  M e

ITPOEJTEMA  yC T O firaH BO C T H   O P T O T P O n H O H  K O H H ^ E C K O t ł  O E O J I O ^ K H
n O flBE P r H YT O H

B  pa6oTe  npH Befleno  peinem- ie  n po6n eM bi  ycroifaH BocTH   KOH imeciorx  o pT O T po n n t ix  ogoJio^ieK  iiia p -

on epTbix  n o  Topił am  H   no,n,BeprH yTbix  Kpy^eH H JO.

pemaeTCH   c  noM oinwo  npH 6jin>i<eH H oro  3H epreTjrqeci< oro  M eiofla  P u m a . ,  B  paM Kax

TOH KH X  o6ojionei<  c  He6ojibuiHM   HaKJioHOiw  o6pa3yiom eft  Kotiyca  K  e r o  OC H .

rioKa3biBaeTCfl,  MTO npHMeiiHH   nony^ieH H bie  aBTopoM 3  flOBontno  n pocTbie  c  TOMIKU  3peH H H

H H H   (JjopiwyjiWj  MO>KHO  B flaH H OM  c n yq a e  onpeflenwTb  K p irra^ ecK n ii  MOMCH TJ  a  Taioi<e  • qncjio  o 6p a 3y-

n o  OI<py>KHOCTH   BOJIH.

bie  pe3yjii>TaTBi  6jiH>i<e  K  sKcncpiiM enTanbiiwm  flaH H ŁiM ,  nem  n ojiy^aeM Ł ie  n o

X .  M .  M yn rrap H   fljia  H 3OTponH oii  O 6O H O ^ K H .

S u m m a r y

N ON LI N EAR  STABILITY  PROBLEM   OF   AN   ORTH OTROP IC  CON ICAL  SH ELL  SU BJECTED
TO  TEN SION

This  paper  is  devoted  to the  solution  of  the stability  problem  of  an orthotropic shell  with  simply  sup-
ported  edges,  subjected  to  torsion.

The problem  is  solved  by  the energy  method. The  obtained  solution  is  valid  for  conical  shells  of  mo-
derate apex  angle.

The  critical  torque  is  determined,  and  the  number  of  waves  arising  on  the  circumference  is  expressed
by  very  simple  formulae.

It  is shown  that for  the shells with  a small  apex angle the derived  formulae  give better results  for  practice
than  the formulae  obtained  by  H . M.  M ushtari  for  isotropic  shells.

POLITECHNIKA  ŁÓDZKA

Praca  został a zł oż ona w Redakcji  dnia 18  marca  1970 r.