Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  9 (1971) P LASTYCZ N E  SKRĘ C AN IE  N I E JE D N O R O D N YC H   P R Ę T ÓW  O  Z M I E N N E J  Ś R E D N I CY M ARIAN   G A L O S  (KRAKÓW) 1.  Uwagi  wstę pne Problemowi  sprę ż ystego  skrę cania  prę tów  o  zmiennej  ś rednicy  poś wię cono  bardzo wiele  prac.  Rozwią zanie  problemu  sprowadza  się   do  znalezienia  dwu  skł adowych stanu naprę ż enia  r Or   i  r Oz ,  jeż eli  problem  rozwią zywany  jest  w  ukł adzie  walcowym  (r, 6, z). Rozwią zano  szereg  przypadków  sprę ż ystego  skrę cania  takich  prę tów,  gł ównie  metodą odwrotną   oraz  metodami  przybliż onymi.  Podstawowymi  pracami  w  tej  dziedzinie  są prace  MICHELLA  [4],  F ÓPPLA  [2],  NEUBERA  [5]. Znalezieniem rozkł adu naprę ż eń w  strefie  plastycznej  przy  sprę ż ysto- plastycznym  skrę - caniu  takich  prę tów  wykonanych  z  materiał ów  sprę ż yś cie  i  plastycznie  jednorodnych zajmował   się   gł ównie  SOKOLOWSKI  [6],  [8],  który  rozwią zał   szereg  przypadków,  jednak w  postaci  dość  trudnej  do  bezpoś redniego  zastosowania  (np. do  rozwią zywania  zadania o  sprę ż ysto- plastycznym  skrę caniu), ponieważ  autor znalazł  uwikł ane równanie charakte- rystyk. Problemem  rozkł ada naprę ż eń w  strefie  plastycznej  przy  skrę caniu  prę tów  plastycznie niejednorodnych  dotychczas  nie  zajmowano  się . Bardzo  trudne do  rozwią zania  jest  zadanie  o  sprę ż ysto- plastycznym  skrę caniu  prę tów o  zmiennej  ś rednicy  i  dowolnym  kształ cie  powierzchni  bocznej.  Istotna  trudność  tego zadania  polega  na  tym,  że  jednocześ nie  szukamy  rozwią zania  w  strefie  sprę ż ystej  oraz granicy  mię dzy  strefą   sprę ż ystą   i  plastyczną .  Wobec  tego  dla  znalezienia  rozwią zania w  zakresie  sprę ż ystym  nie  znamy  bezpoś rednio  granicy  tej  strefy  (co  za  tym  idzie  i  wa- runków  brzegowych).  Jakkolwiek  w tej  dziedzinie rozwią zano  szereg p rzypadków  (ED D Y, SHAW  [1]), to  do  rozwią zania  wykorzystano  metody przybliż one  (wykreś lno- analityczne, energetyczne),  których  zastosowanie  jest  bardzo  ucią ż liwe.  W  rozpatrywanych  przez powyż szych  autorów  przykł adach  przyję to,  że  prę ty  wykonane  są   z  materiał ów jedno- rodnych. W  obecnej  pracy  zaję to  się   gł ównie  rozwią zaniem  problemu  plastycznego  skrę cania prę tów  o  zmiennej  ś rednicy,  wykonanych  z  materiał ów  o  dowolnej  niejednorodnoś ci plastycznej  (zależ nej  od  zmiennych  r, z  w  ukł adzie walcowym  r, 0, z).  Stwierdzono  mia- nowicie  analogię   matematyczną , jaka  zachodzi  pomię dzy  tym  problemem  a  problemem plastycznego  skrę cania  prę tów  pryzmatycznych  wykonanych  z  materiał ów  o  dowolnej niejednorodnoś ci  poprzecznej,  który  to  problem  był  rozpatrywany  w  pracy  G ALOSA  [3]. 90  M .  G ALOS Jeż eli mianowicie do rozważ ań  wprowadzimy  funkcję  naprę ż eń 0  speł niają cą  toż samoś cio- we  warunki  równowagi,  to  rozwią zanie  obydwu  problemów  moż na  sprowadzić  do iden- tycznego  równania (1.1)  |grad0|  =   k(xu  x2 ) , gdzie  przez  x t ,  x 2   oznaczono  w  sposób  ogólny  zmienne  w  przekroju  poprzecznym  nie- jednorodnego  prę ta  pryzmatycznego  o  dowolnym  przekroju  lub  w  przekroju  podł uż nym prę ta  o zmiennej  ś rednicy.  Podobnie, jak  w pracy  [3], zaję to  się  szczegół owo  okreś leniem linii najwię kszego  spadku  funkcji  naprę ż eń (tak w dalszym  cią gu  nazywać  bę dziemy  rzuty tych  linii na pł aszczyznę  r, z  przekroju  prę ta).  Warto  podkreś lić,  że  linie  najwię kszego spadku  funkcji  naprę ż eń  są  identyczne  z  charakterystykami  problemu,  a  zarazem z  liniami poś lizgu. N a podstawie  znalezionych  linii  najwię kszego  spadku  moż na  okreś lić samą  funkcję  naprę ż eń  0,  a  nastę pnie  rozkł ad  naprę ż eń. W  pracy  podano  również  metodę  projektowania  prę tów  rurowych,  które  wykazują cał kowite  uplastycznienie  oraz  metodę  odwrotną  rozwią zywania  problemu  sprę ż ysto- plastycznego  skrę cania  prę tów  o  zmiennej  ś rednicy,  która  to  metoda jest  podobna  do zastosowanej  przez  SOKOLOWSKIEGO  [7]  przy  rozwią zywaniu  zagadnienia  sprę ż ysto- plastycznego  skrę cania  prę tów  pryzmatycznych. W  niniejszej  pracy  zaję to  się  również  okreś leniem  deformacji  strefy  plastycznej  skrę- canego  prę ta  oraz  przedstawiono  szereg przykł adów  ilustrują cych  metody  przedstawione w pracy. 2.  Podstawowe  równania  problemu Problem znalezienia rozkł adu naprę ż eń w strefie  plastycznej  skrę canego prę ta o zmien- nej  ś rednicy jest  problemem  wewnę trznie  statycznie  wyznaczalnym,  zatem rozkł ad  naprę- ż eń  nie jest zależ ny  od  tego, czy przyjmiemy  do rozwią zywania  teorię mał ych odkształ ceń sprę ż ysto- plastycznych,  czy  też  teorię  pł ynię cia plastycznego. Jeż eli  oś  z  jest  osią  prę ta  (rys.  1),  to  róż ne  od  zera  skł adowe  stanu  naprę ż enia  x ir . i  T82. są  okreś lone  równaniem  równowagi  wewnę trznej (2.1)  l  ̂ +  i g l  +   ^ ^ 0 oraz  warunkiem  plastycznoś ci (2- 2)  T0 2 z+ Tfl 2, =   k\ r,  z), (gdzie  k(j;  z)  jest  granicą  plastycznoś ci  na  ś cinanie  bę dą cą  pewną  funkcją  zmiennych /•   i  z),  przy  odpowiednim  warunku  brzegowym. U kł ad  równań  (2.1) i  (2.2) moż na sprowadzić  do jednego  równania przez  wprowadze- nie  funkcji  naprę ż eń  0(r,  z),  speł niają cej  toż samoś ciowo  warunek  równowagi  (2.1), mia- nowicie r £   oz  r 2   dr PLASTYCZN E  SKRĘ CANIE  NIEJEDNORODNYCH   PRĘ TÓW 91 P odstawiają c  zależ noś ci  (2.3)  do  równ an ia  (2.2),  otrzymujemy ~dr |gr a d d > |  = *( > • ,  2 ) , (2.4) lub  zapisan e  w  innej  post aci (2.5) gdzie  k(r,  z)  =   r2k(r,  z). R ozpatrywan y  problem , ja k  ł atwo zauważ yć,  daje  się   zapisać  an alogiczn ym  ró wn an iem róż niczkowym,  do  problem u  plastycznego  skrę can ia  prę tów  pryzm atyczn ych  o  dowoln ej n iejedn orodn oś ci  poprzeczn ej  [3].  Wobec  tego,  p o d o bn ie  ja k  w  pracy  [3],  zajm iem y  się okreś laniem  lin ii najwię kszego  spadku  funkcji  0  (linii poś lizgu),  a  dopiero  n a  tej  podst awie okreś leniem  samej  funkcji    m o ż na  w  oparciu o  wyniki  pracy  [3]  n apisać  w  post aci (2.6) , d k  8k  _ dr  dz z"k{y,  z) 1+ z'2  ' Jeż eli  funkcja  n iejedn orodn oś ci  "kir, z) jest  zależ na  tylko  o d  zm ien n ej  r  lu b  stalą ,  t o równ an ie  (2.6)  ulega  zn aczn em u  uproszczen iu  d o  po st aci (2.7) ,dk z"k Z  ~~z— dr '2  ' 92 M .  G AL O S Znalezienie  rozwią zania  równania  (2.7)  w  kwadraturach  jest  stosunkowo  proste, mianowicie (2.8) r z _z  „  .   f  ± ^ z  z 0   —  r t  i  _ _  , i  Vck 2 - igdzie r 0 ,  z0  są   współ rzę dnymi znanego punktu, przez który  przechodzi linia  najwię kszego spadku,  zaś  C —  stał a  cał kowania  wynikł a  z  warunku  brzegowego. 3.  An aliza  warun ków  brzegowych Przy  prę tach  wykonanych  z  materiał ów jednorodnych  uplastycznienie  prę ta  zaczyna się   na powierzchni zewnę trznej,  a nastę pnie propaguje  do wnę trza prę ta. Zakł adamy dalej, że  rozpatrywać  bę dziemy  prę ty  wykonane  z  materiał ów o  takiej  niejednorodnoś ci, która nie  zmieni  kolejnoś ci  uplastyczniania.  Wobec  tego,  jeż eli  moment  skrę cają cy  prę t  prze- kroczy  wartość  noś noś ci  sprę ż ystej  na  cał ej  dł ugoś ci prę ta,  to  bę dziemy  mieć  do  czynie- nia  z  dwiema  strefami  w  prę cie:  zewnę trzną  — plastyczną   i  wewnę trzną '—sprę ż ystą. dr D o  wyznaczenia  rozkł adu naprę ż eń w  strefie  plastycznej  wystarczają ca  jest  znajomość sposobu  obcią ż enia  powierzchni  bocznej.  Najczę ś ciej  powierzchnia  ta  jest  nieobcią ż ona. Zakł adamy  dalej,  że denka prę ta  są   obcią ż one  w taki  sposób, jak  to wynika  z  warunków brzegowych  danych  n a  powierzchni bocznej  prę ta  oraz  rozwią zania  uzyskanego  przy po- suwaniu  się   wzdł uż  linii  najwię kszego  spadku. Jak  już  poprzednio  zaznaczono, najczę ś ciej  spotykanym  przypadkiem  jest  skrę canie prę tów  o  nieobcią ż onej  powierzchni  bocznej.  D la  tych  przypadków  moż na  wykazać, że  funkcja  naprę ż eń  0  na  konturze  AB  (rys.  2) jest  wielkoś cią   stał ą .  Z  warunków  brze- gowych wynika Pne  = Tteffn,   =   0 , PLASTYCZN E  SKRĘ CANIE NIEJEDNORODNYCH   PRĘ TÓW  93 gdzie .  .  dz a„  =   cos(«, r) =   —. , (3- 2) .  .  ar a nz   =  cos(n, z ) =   - - ^ -, (A — elementarna dł ugość ł uku konturu). Po  podstawieniu  (3.2) i  (2.3)  do  (3.1) oraz po  przekształ ceniach otrzymujemy 80  dz  30  dr  _  d0 ( 1 3 )  15F   dt  +  dr  dt  ~  dt  ~  ' co dowodzi twierdzenia. Mogą   zachodzić także  i  przypadki,  gdy  funkcja  naprę ż eń 0  nie jest  stał a  wzdł uż pe- wnego  odcinka,  mianowicie  wtedy,  gdy  powierzchnia  boczna  prę ta jest  obcią ż ona  lub w przypadku analizy warunków  cią gł oś ci na granicy pomię dzy strefą   sprę ż ystą   i plastyczną , przy  rozwią zywaniu  problemu metodą  odwrotną   (która to metoda zostanie przedstawiona w  nastę pnych  rozdział ach niniejszej  pracy). D latego  w  dalszym  cią gu  rozpatrywać  bę dziemy  przypadek  ogólny,  gdy  funkcja  na- prę ż eń  0  na  pewnym  odcinku  AB  jest  zmienna. Zakł adamy, że  dla  danej  funkcji  nieje- dnorodnoś ci  znane jest  rozwią zanie  równania  róż niczkowego  linii  najwię kszego  spadku w  postaci  ogólnej  (cał ka  ogólna  równania  róż niczkowego  (2.6),  zawierają ca  dwie  stał e cał kowania).  N iechaj  dalej  na  pewnym  odcinku  AB  o  równaniu  z  =   z x (t),  r  =   r^ {t) jest dana  wartość  funkcji  naprę ż eń  ^ ( 0 -   D la  każ dego  punktu  M  leż ą cego  na  odcinku  AB d0 i  okreś lonego  parametrem t — t M ,  moż na okreś lić  pochodną  kierunkową —,-   (o  ile  oczy- dt wiś cie  funkcja  0{t)  jest  róż niczkowalna).  Musi  być  przy  tym  speł niony  warunek (3.4) d0 dt Z  analizy  wektorowej  wynika,  że |grade?|. dt u gdzie  ką t  y M   jest  ką tem zawartym  pomię dzy  styczną   do  konturu w  punkcie M,  a  styczną do  linii  najwię kszego  spadku  funkcji  naprę ż eń  0  w  tym punkcie. Ponieważ  współ czynnik  kierunkowy  stycznej  do  linii  najwię kszego  spadku  przecho- dzą cej przez punkt M jest (jak to wynika  z rys. 2) równy wię c po uwzglę dnieniu  (2.5) oraz (3.7)  t g f  =   *« dt  dt 94 M .  G AL O S i  wykonaniu  prostych  przekształ ceń,  otrzymujemy  ostatecznie (3.8) d&  dz t   dr i di  dt tg«M  =  4 =   — dt dt u Z  powyż szych  rozważ ań  wynika,  że  warunki  brzegowe  dla  linii  najwię kszego  spadku przechodzą cej  przez  pun kt  M  bę dą   nastę pują ce: (3.9)  d]&t  =  t M :  r  =  r M \   z  =   z M \   z'  =  z' M . Warun ki  te  pozwalają   na  okreś lenie  obydwu  stał ych  cał kowania. Jeż eli  rozpatrywać  bę dziemy  kon tur  nieobcią ż ony,  dla  którego  t  =  const,  to  warunki brzegowe  ulegną   uproszczeniu  do  postaci drx  I  dzx ~ZM~  '  di  dt (3.10) dla  t =   tM\   r  =   rM;  z  =   zM; M co  jest  równoznaczne  z  warunkiem  prostopadł osci  linii  najwię kszego  spadku  do  rozpa- trywanego  kon turu  AB. 4.  Okreś lanie funkcji  naprę ż eń W  dalszych  rozważ aniach  korzystać  bę dziemy  z  krzywoliniowego  ukł adu współ rzę d- nych  s, 1.  U kł ad jest  t ak  dobrany,  że jedn a  rodzina krzywych  współ rzę dnych s jest rodziną linii  najwię kszego  spadku,  zaś  druga  rodzina współ rzę dnych  /  — pewną   rodziną   krzywych Rys. 3 przecinają cych  krzywe  s.  Współ rzę dna  /  zmienia  się   wraz  ze  zmianą   punktu  M  leż ą cego n a  rozpatrywanym  odcinku  kon turu  AB  (rys.  3).  U kł ad  współ rzę dnych  s, I może  być  na ogół   dowolnym ,  ukoś noką tnym  ukł adem  współ rzę dnych  krzywoliniowych  okreś lają cych jedn ak  w  sposób  jednoznaczny  cał y  rozpatrywany  podobszar  przekroju  prę ta.  U kł ad PLASTYCZN E  SKRĘ CANIE  NIEJEDNORODNYCH   PRĘ TÓW  95 s, I jest  dobierany  dla  każ dego  zadania  w  ten  sposób,  aby  obliczenia  był y  moż liwie  naj- prostsze. F unkcję   naprę ż eń  0  okreś limy  znają c  linie  najwię kszego  spadku  w  postaci  cał ek  ogól- nych  (okreś lonych  dla  danej  niejednorodnoś ci  materiał u) oraz  warunki  brzegowe. Przedstawmy  linie  najwię kszego  spadku  w  postaci  parametrycznej  (już  p o  uwzglę d- nieniu  warunków  brzegowych),  jako  rodzinę   krzywych (4.1)  r=r{s,l),  z  = 2(3,1), gdzie  s  jest  param etrem  wyznaczają cym  p u n kt  krzywej,  n atom iast  /   —  p a r a m e t r e m wyznaczają cym  krzywą   (stał ym  dla  dan ej  krzywej). W  dalszym cią gu  szukać bę dziemy funkcji  n aprę ż eń  0  zależ nej  od  p a r a m et r ó w  s i l . D la  okreś lenia  funkcji  0  wykorzystan a zostan ie  zależ ność  (2.5) w  nieco  zm ien ion ej  p o - staci dm -   Kr, z), która  stwierdza,  że przyrost  funkcji  naprę ż eń n a  linii najwię kszego  spadku jest  proporcjo- nalny  do  |gr a d $ |  =   k(r,z)  oraz  do  przyrostu  dł ugoś ci  linii  najwię kszego  spadku  dm, (4.2)  d0  =  k(r,z)dm. P o  przedstawieniu  niejednorodnoś ci  w  postaci  k  =  lc(s,  1),  wyraż enie  n a  przyrost funkcji  0  wzdł uż linii  najwię kszego  spadku  moż na zapisać  nastę pują co (4.3)  0(s P ,  l M )- 0(s M>   l M )  =   /   k(s,  1 M ) dm. M D la przypadku  kon turu nieobcią ż onego  przyjmujemy,  że na kon turze 0 K   =  C  =  const i  otrzymujemy p (4.4)  0(s P ,  l M )-   C  =   /   k(s, l M )  dm. M 5.  Okreś lenie  rozkł adu  naprę ż eń W  rozdziale  poprzednim  okreś liliś my  funkcję   naprę ż eń  0.  Obecnie  wykorzystują c wyniki  poprzedniego  rozdział u  okreś limy  rozkł ad  naprę ż eń  z  zależ noś ci  (2.3) T " r  ~  r2  d z ' '  r e x  ~  r2  dr' Ponieważ  poprzednio  szukaliś my  0  jako  funkcji  współ rzę dnych  krzywoliniowych s, I,  dlatego  także i naprę ż enia r 6r   i r Bz   ł atwiej bę dzie  okreś lić  jako  funkcję   współ rzę dnych s, 1. W  tym  celu  należy  wykonać  transformację   zależ noś ci  (2.3)  ze  współ rzę dnych  r, z na  współ rzę dne s,  1. Równanie  rodziny  linii  najwię kszego  spadku  przedstawione  był o  wzoram i  (4.1) r=r(s;[),  z=- z(s;l), 96 M .  G ALOS 80 8s 80 dl 80 dr d0 dr dr ds dr dl + 80 dz 80 dz dz ds' dz dl' 80  d0 zatem  pochodne  funkcji  naprę ż eń  - *— i ~rr  moż na  zapisać (5.1) Ponieważ  w  naszym  przypadku  dana jest  funkcja  0  =   0(s,  1)  oraz wzory  (4.1), wię c 80  d0 w równaniach (5.1) niewiadomymi są  - 5— i - 5—. Wartoś ci tych pochodnych moż na okreś lić or  ć z 80  80 rozwią zując  ukł ad równań  (5.1). Po wstawieniu  obliczonych  wartoś ci- -̂  i - —̂ orazr(s; 1) do  (2.3) otrzymujemy 30  dr Ć r (5.2) 1 r'\s, 1 r z (s, 1) 1) dl dr ds d0 ds dr ds ds dz dl dz 81 dz dl ds dz 8s dl dz ds 81 dr 81 ' 8z ds dr dl. Rys. 4 Analogiczne  wyniki  dla naprę ż eń r Br   i  r ez   moż emy  otrzymać na innej  drodze, miano- wicie3  jeż eli  z  rys.  4  okreś limy  zależ ność (5.3)  r 0r   =   k(s, / )sina,  r (x   =   — k(s, / )cosa, gdzie  ką t  a  jest  ką tem  zawartym  pomię dzy  osią   r  a styczną   do  linii  najwię kszego  spadku w danym punkcie. PLASTYCZN E  SKRĘ CANIE  NIEJEDNORODNYCH   PRĘ TÓW  97 Jeż eli  udał oby  się   znaleźć  zależ ność  odwrotną   do  (4.1) (5.4)  s  =  s(r;z),  l=l(r;z), to  moż na był oby  okreś lić  funkcję   naprę ż eń jako  (/• ,  z),  a  dalej,  korzystają c  z  (2.3),  okre- ś lić naprę ż enia  r Or   i  r gz   w  funkcji  współ rzę dnych  r, z,  co jest  bardziej  korzystn e  od  (5.2), ze  wzglę du  na  czę sto  spotykane  ograniczenia  prę tów  powierzchniami  z  —  con st;  ł atwo jest wtedy,  dla powierzchni  z  =   const okreś lić  interesują cy  nas rozkł ad n aprę ż eń. 6.  Dsformacja  prę tów Przy rozpatrywaniu  zadania  skrę cania prę tów  o zmiennej ś rednicy  korzysta  się  z metody pół odwrotnej,  która  zakł ada,  że  przemieszczenia  u  i  w  w  kierunkach  osi  ;* i  z  są   równe zeru,  natomiast przemieszczenie  v  w  kierunku  6 jest  róż ne  od  zera.  Przy  takim zał oż eniu, róż ne  od  zera  skł adowe  stanu  odkształ cenia moż na przedstawić  wzorami \   8  lv Jeż eli  dalej  przyjmować  bę dziemy,  że  prę t  wykonany  jest  z  materiał u idealnie  sprę ż y- sto- plastycznego,  to  z  prawa  zmiany  postaci  P ran dtla- R eussa  oraz  z  warun ków  cią gł oś ci pomię dzy  strefą   sprę ż ystą   i plastyczną   wynika,  że  dla  strefy  plastycznej  zachodzi  zależ ność 8 (6.2) ( T) Jeż eli  dalej  uwzglę dnimy,  że  z  rys.  4  wynikają   zwią zki  (5.3) r Br   =  k{s,  Z) sin ot,  t ei   =   — k(s,  l)cos fl,   =  — (7.6) _ 6 + 5i + 3«Ł -B lX+ ^ L i2+ 6*L + 9 \   r 0=  a 2 Z ał óż m y,  że  powierzch n ia  boczn a  p rę ta  (rys.  4) d an a jest  równ an iem (7.7)  Z*°*KQ)1 wobec  tego  warun ki  brzegowe  dla  tej  n ieobcią ż on ej  powierzch n i  m oż emy  zapisać  w p o st aci (7.8)  dla, y  =  0:  z=l,  z ' =  77 (e) Jeż eli  wstawimy  powyż sze  waru n ki  do  szeregu  (7.5), t o n atych m iast  okreś limy  współ - czynniki  szeregu  a 0   i  cii (7.9)  a 0  =  1,  «i = / '( e ) ' a  przy  znajomoś ci  tych  współ czyn n ików  m oż na z  (7.6)  okreś lić  dalsze  współ czyn n iki  sze- r e gu  a 2   i ci 3 . Przykł adowo  przyję to,  że kształ t  powierzchni  bocznej  jest  stoż kiem  o  równaniu (7.10)  / = 2 z o ( l - - ? - ); wtedy (7.11)  a Q  = l,   fll= l£ .  =  const. 7* 100 M .  G ALOS Przeprowadzono  numeryczne  obliczenia  dla  r 0   =  5  [cm], z 0  =   20  [cm], przy  czym prę t  ograniczono  pł aszczyznami z  =   0,  z  =   10  [cm]. W  tablicy  1 podano  wartoś ci  obli- czonych współ czynników a 2   i a 3   dla szeregu  wartoś ci parametru /. N a rys.  5 przedstawiono orientacyjny  przebieg  linii  najwię kszego  spadku  funkcji  naprę ż eń  0  (ograniczono  się do  wyrazów  przy  trzeciej  potę dze  s). Z  analizy  wzoru  (7.5)  i  obliczonych  współ czynników  wynika,  że  zadowalają ca  zbież- ność  przy  przyję tej  iloś ci  wyrazów  szeregu  istnieje  w  rozważ anym  przykł adzie w  zakresie 0 7 ^ : — sj  l ;  natomiast przy  mniejszym  stosunku —  zbież ność  szeregu  pogarsza  się   i  od pewnej  wartoś ci jest on rozbież ny. Wynika  to z faktu,  że linie najwię kszego  spadku  w pew- 0,4k, 0,2k0 naprę ż enia  dla  z=10[cm] naprę ż enia  dla  z- 0 5  6  r[cmj (9) r[cmj Rys.  5 nym  miejscu  ulegają   zagię ciu  i  istnieje  punkt  na  linii  najwię kszego  spadku,  w  którym wartość  z  - »•   oo. D la prę tów  wykonanych  z  materiał ów jednorodnych,  został o to  przed- stawione  przez  SOKOŁOWSKIEGO  [8]. W  naszym  przypadku,  gdy  znajdujemy  rozwią zanie równania  (7.3)  w postaci  szeregu  potę gowego,  uchwycenie  tego  zjawiska  wydaje  się  utru- dnione; jednakże  w  warunkach  rzeczywistych  strefa  plastyczna  znajduje  się   w  dość  du- ż ym  oddaleniu  od  punktów  zagię cia  linii  najwię kszego  spadku,  wobec  czego  rozwią zanie równania  (7.3)  przedstawione  w  postaci  szeregu  (7.5) jest  wystarczają co  dokł adne  i do- godne  przy  rozpatrywaniu  problemu  sprę ż ysto- plastycznego  skrę cania  prę tów  niejedno- rodnych. W  wyniku  przeprowadzonych  obliczeń  numerycznych  przedstawiono  na  rys.  5 roz- kł ady  naprę ż eń  r Sr   i  r 6z   w  strefie  plastycznej  na  denkach prę ta.  G ranicę   mię dzy  strefą sprę ż ystą   i  plastyczną   (orientacyjnie  przedstawioną   linią   przerywaną   na  rys.  5a)  oraz rozkł ad naprę ż eń w strefie  sprę ż ystej  moglibyś my  okreś lić rozwią zując  problem sprę ż ysto- plastycznego  skrę cania  prę ta — co  jest  jednak  zadaniem  bardzo  trudnym. i i i  • ^ • r ^ o r ^ r ^ o ^ O t — i r ^ r ­ i r ^ ^ ­ t 1  i  i |  O  o  i­H  CM  co  ­^  in  vo*  i>­  oo  oo  ON 1—'  j­sj  ^ • * O ' o i r i t r > i n i n i n » o » r i ' = ^ ­ ' ^ f S  • N  'I "ftfl H  • ^ ­ f o o o o r ^ o o o o o o o o o o o o o o o o 1  i­H u co II  o o o o o o o o o o o o r H - u i S  ^  v o i n o \ 0 ' — ' O r n r o r ­ ^ h ^ o o i  I  ^ ^  ^ J C^j  f ^  ^ ^  ^ ^  ^ 1  f ^  ^ ^  <^^  ^|^  ^ ^ ^  O O O O O O O O O O O O ^  o"  o"  o  o"  o  o"  d  o  o"  o*  o"  o r ™ " " " '  i o o \ o o o r-- i—'  o i  o  ' o o ^ c o m i  '  •  O O O O O O O  O O O O O ^  o"  o  o  o"  o  o"  o  o  o"  o  o  o ­  1  !  1  I  1  1  1  I  i  1  I  1 v ­ i i r i i n v ­ j i / i v i i / i i n v i L n m i o o  o"  o"  o'  o  o  o"  o  o  o  o  o" ,—i  O ^ O v i O v i O  • / " I O ' O O 1 / " ! rv.  p  O t ­ w ­ i t N O t ^ ­ m f N O r ­ 1 ^ ^ ] u  §  o o o t ­ ^ ^ i n m r ^ ' — < oo t~*- *>O ! O  O T — i c s . r O * ^ l O ^ O t ­ C O a \ 0 " — • [101] 102  M.  G ALOS 8. Projektowanie prę tów rurowych  o zmiennej ś rednicy, Wykazują cych cał kowite uplastycznienie W  rozdziale  obecnym  zajmiemy  się   projektowaniem  prę tów  rurowych  o  zmiennej ś rednicy,  wykonanych  z  materiał u niejednorodnego,  z  uwagi  na  stał ą   n a  cał ej  dł ugoś ci noś ność  graniczną   przekroju  (cał kowite  uplastycznienie  przekroju). Z ał óż my,  że  z  m ateriał u  o  dowolnej  niejednorodnoś ci  typu  k(r, z),  wykonany  jest prę t  o przekroju  rurowym  i  danej  powierzchni  wewnę trznej  (np. ze wzglę dów  konstruk- cyjnych),  którą   m oż na  przedstawić  wzorem (8.1)  *- J ( f i ), gdzie  / jest  param etrem kon turu. N ależy  tak  dobrać  kształ t powierzchni  zewnę trznej,  aby przy  danym  momencie  skrę - cają cym  n astą piło cał kowite  uplastycznienie  prę ta.  P rę t  taki jest  zaprojektowany  najbar- dziej  ekonomicznie,  bowiem  cał y  jego  materiał   jest  wykorzystany. Jeż eli  wprowadzimy  do rozważ ań  funkcję   naprę ż eń 0  (2.3), to zwią zek  mię dzy  funkcją naprę ż eń  a  momentem  granicznym  skrę cają cym  prę t  M  moż na  zapisać  jako (8.1)  JW —  2nC4>.—d>v)f gdzie  <2>z jest  wartoś cią   funkcji  naprę ż eń,  odpowiadają cą   powierzchni  zewnę trznej  prę ta, a 

  a * Tablica  2 1 [cm ] 0 3 6 9 12 15 18 i? [cm] 5,00 6,50 8,00 9,50 11,00 12,50 14,00 z(I, ś )j  (/, i')  [cm/ kG cm] s=  0 [cm] 0,00 0,0  Aro 3,00 0,0  A:o 6,00 0,0  k 0 9,00 0,00  ko 12,0 0,0  fco 15,00 0, 0  ko 18,00 0, 0 A-o x  =   0,5 [cm] - 0 , 22 15,5  A-o 2,77 25, 4 A-o 5,77 37,9  A:o 8,75 52, 9  fc0 11,76 70, 4  fco 14,76 90, 4  fc0 17,76 113,0  fco S-   1 [cm] - 0, 41 34,0  k 0 2,57 54,5  fco 5,56 80,1  k a 8,56 110,7  ko 11,55 146,3  fc0 14,54 187,0 Aro 17,54 232,7  fc0 s=  1,5 [cm] - 0, 60 55, 4  fco 2,39 87,2  fc0 5,38 126,5 fco 8,36 173,4  fc0 11,35 227,8  fco 14,34 289,7  fco 17,33 359,2  fc0 s  =   2,0 [cm] - 0, 60 80,0  fco 2, 21 123,5  fc0 5,20 177,2 fco 8,18 240, 9  fco 11,17 314,7  fc0 14,15 398, 6  fc0 17,14 492, 5  fco F unkcję   naprę ż eń  0  okreś limy  wykorzystują c  zależ noś ci  (4.4)  i  (8.2).  Po  wykonaniu przekształ ceń,  otrzymujemy  wzór  okreś lają cy  funkcję   naprę ż eń  0  w  postaci  szeregu  po- tę gowego,  mianowicie 1+ w2 • • ] • Ponieważ szukamy  nieobcią ż onej powierzchni zewnę trznej prę ta przenoszą cego moment M, wię c  z  zależ noś ci  (8.1)  moż na  okreś lić  wartość  funkcji  naprę ż eń  & z ,  a  dalej  z  zależ noś ci szukaną   powierzchnię   nieobcią ż oną   w postaci s  =  s(l). P L AST YC Z N E  SK R Ę C AN IE  N I E JE D N O R O D N YC H  P R Ę T ÓW 105 W y k o n a n o  o b li c z e n i a  n u m e r y c z n e  d l a p r ę ta  o  p o wi e r z c h n i  we wn ę t r z n ej  o k r e ś l o n ej wz o r e m  ( 8. 11) ,  p r z y  c z ym  72 =   - = -,  z 0   =   —2 0  [ c m ] ,  o gr a n i c z o n e go  p ł a s z c z y z n a m i  z  =   0, z  =   15 [ c m ] .  W yn i k i  o b li c z e ń  z =   z(s,  ł ),  0  =   $>(s,  1)  d l a  sze r e gu  wa r t o ś ci  s i l  p r z e d - 1,0  k„ - [ Tr el O  2   4   6   8 rozktad  naprę ż eń dla  i- O rozkł ad  naprę ż eń d/a  z- 15/ cmJ R ys.  6 12  W  r[cm] stawiono  w  tabl.  2.  N a  rys.  6  przedstawiono  linie  najwię kszego  spadku  funkcji  0  oraz rodzinę   nieobcią ż onych  powierzchni  zewnę trznych  (które  są   oczywiś cie  powierzchniami 0  =   const). D e f o r m a c j a  p r ę t a.  U plastycznienie  prę ta  rozpocznie  się   od  powierzchni  zew- nę trznej, a nastę pnie bę dzie posuwać  się  do wewną trz  prę ta. W chwili  wyczerpania  noś noś ci plastycznej  prę ta,  ulega  uplastycznieniu  warstwa  przy  powierzchni  wewnę trznej.  W  tym 106  M.  G ALOS momencie  na  powierzchni  wewnę trznej  prę ta  obowią zywać  bę dzie  wzór  (6.7),  na  pod- stawie którego  zostanie  okreś lona  deformacja  I —I  prę ta. Jeż eli powierzchnia  wewnę trzna jest  dan a wzorem e =  e(0 [odwrócona  zależ ność  (7.7)], to równanie  (6.7) przyjmie  postać, przy  czym  n a powierzchni wewnę trznej  przekroju  (rys.  6)  obowią zują   zależ noś ci Tfl,  =   fc(/ )sina(/ ),  r t e  =   —/ c(/ )cosa(/ ),  dq—  ~dltga(l). P o  uwzglę dnieniu  tych  zależ noś ci  otrzymujemy lv\   (v\   1  r  k(l)dl \ r/ R   \ rjj( o ^   G  J  g(/ )cos«g(/ )cosa(0 " W  rozpatrywanym  przykł adzie interesują ce  nas  dane był y  nastę pują ce: k(l)  =   k 0   =   const,  tg«(/ ) =   »  =   — y ,  z 0  =   — 20 [cm]. Jeż eli  przyjmiemy  dalej,  że  pun kt  powierzchni  wewnę trznej  okreś lony  parametrem /  =   0 jest  ustalony, t o  deformacja  powierzchni wewnę trznej  prę ta jest  równa a- P onieważ, jak  to wynika  ze wzoru  (6.3), linie najwię kszego  spadku  funkcji  naprę ż eń  0 lv\ są   zarazem  poziomicami funkcji  i — I,  wię c  deformację   cał ego  prę ta  (w  chwili  wyczer- pan ia  noś noś ci  plastycznej)  moż na już  ł atwo  obliczyć  wychodzą c  ze  znanych  deformacji n a  powierzchni  wewnę trznej. 9.  M etoda  odwrotna  rozwią zywania zagadnienia  sprę ż ysto- plastycznego P on ieważ  ś cisłe  rozwią zanie  problem u  sprę ż ysto- plastycznego  skrę cania  niejednorod- nych plastycznie  prę tów  o zmiennej ś rednicy metodą  wprost jest bardzo trudne, w obecnym rozdziale  pracy  przedstawiono  metodę  odwrotną   rozwią zania  tego problemu. Przyjmijmy  mianowicie,  ż -e znany  jest  nam  rozkł ad  naprę ż eń  w  strefie  sprę ż ystej,  aa przykł ad  przez  funkcję   naprę ż eń (9.1)  &  = &(r,z), kt óra  w przypadku  ciał   sprę ż yś cie jednorodnych  speł nia równanie 3 czyli  tak  warun ki  równowagi,  jak  i warunki  nierozdzielnoś ci. PLASTYCZN E  SKRĘ CANIE  N IEJEDN ORODN YCH   PRĘ TÓW  107 Jeż eli  dla  danego  ciał a  okreś lona jest  funkcja  niejednorodnoś ci plastycznej  k  —  k(r,  z), to  moż na okreś lić  granicę mię dzy  strefą  sprę ż ystą  i  plastyczną  równaniem (9.3)  r,  =   r g (z), które  znajdziemy,  wykorzystując  w  tym  celu  warunek  plastycznoś ci  sł uszny  dla  zakresu sprę ż ystego  n a granicy  mię dzystrefowej (9.4) N a  granicy  mię dzystrefowej  muszą  być  speł nione również  warunki  cią gł oś ci n aprę ż eń (9.5)  dla  r  =   r t :  x\ z   =   T£ Z>  rgr  =   x\ rs co jest  równoważ ne  zwią zkom d& e  _  dp  <90e  _  d&" (9- 6)  dr  ~  dr  '  dz  ~  dz  ' Przyjmijmy  dalej,  że  n a  granicy  mię dzystrefowej  funkcja  naprę ż eń  0  jest  cią gła (9.7)  @e  =   0 "  dla  r  • =  r, . P rzy  znajomoś ci  granicy  mię dzystrefowej  oraz wartoś ci  funkcji  naprę ż eń n a  tej  granicy, moż na  okreś lić  warunki  brzegowe  dla  rodziny  linii  najwię kszego  spadku  funkcji  naprę ż eń w  obszarze  plastycznym  ", a  dalej  —  przy  znajomoś ci  linii  najwię kszego  spadku  funkcji naprę ż eń —  rozkł ad  naprę ż eń  w  strefie  plastycznej.  D alszym  zadaniem  przedstawionej metody  bę dzie  okreś lenie  kształ tu  nieobcią ż onej  powierzchni  zewnę trznej  prę ta  (przy danym  momencie  skrę cają cym)  lub  też  znalezienie  obcią ż enia  powierzchni  zewnę trznej (przy  danym jej  kształ cie). N ależy jedn ak  zaznaczyć,  że  jeż eli  pręt  o  okreś lonej  w  ten sposób  powierzchni  zewnę trznej  obcią ż ać  bę dziemy  danym  m om entem  skrę cają cym, to  rozkł ad  naprę ż eń  w  strefie  sprę ż ystej  oraz  granica  mię dzystrefowa  mogą  się  róż nić od  obliczonych  powyż szą  metodą.  Obydwa  rozwią zania  bę dą  identyczne  wtedy,  gdy  n a denkach  prę ta  bę dą  speł nione odpowiednie  warunki  brzegowe  mianowicie, jeś li  rozkł ad naprę ż eń  bę dzie  taki, jak  t o  wynika  z  rozwią zania  problemu  metodą  odwrotną,  oraz  gdy sposób  obcią ż enia  bę dzie prosty  lub  też  zbliż ony  do  prostego. P r z y k ł a d.  Rozpatrzm y  przykł adowo  pręt  wykonany  z  m ateriał u  jedn orodn ego (przyję cie  materiał u  niejednorodnego  w  niczym  nie  zmieni  metody  rozwią zywania,  a  je- dynie  może  utrudn ić  obliczenia).  Zał óż my  dalej,  że  funkcja  naprę ż eń  obowią zują ca w  zakresie  sprę ż ystym  dan a jest  wzorem (9.8)  0 e  =   O F unkcja  ta  oczywiś cie  speł nia równanie (9.2). Z adanie  nasze  polegać  bę dzie  n a  «obudowaniu»  strefy  sprę ż ystej,  okreś lonej  wzorem (9.8),  strefą  plastyczną  oraz  znalezienie —  przy  danym  momencie  skrę cają cym  — kształ tu nieobcią ż onej powierzchni zewnę trznej ograniczają cej  strefę  plastyczną.  W  dalszych rozważ aniach  posł ugiwać  się  bę dziemy  metodą  mał ego  param etru  przyjmują c,  że  m ał ym 108  M .  G ALOS param etrem  bę dzie  s. Z e znajomoś ci  funkcji  naprę ż eń w strefie  sprę ż ystej  moż emy okreś lić rozkł ad naprę ż eń (9-9) G ranicę   mię dzystrefową   okreś limy  z  warunku  plastycznoś ci,  który  obowią zuje  dla strefy  sprę ż ystej  n a  tej  granicy (9.10)  ( T f, ) 2 + ( T j, ) a «= *8. Jeż eli  przyjmiemy,  że ~  =   K,  to  stosują c  metodę   mał ego  parametru  moż na  okreś lić granicę   mię dzystrefową   w postaci  parametrycznej 4 N a  granicy  mię dzystrefowej  moż na dalej  okreś lić Znają c  te  wartoś ci,  moż emy  okreś lić  warunki  brzegowe  dla  linii  najwię kszego  spadku na  granicy  mię dzystrefowej,  mianowicie  warunki  (3.9).  Wartość  z' M   okreś lona  zostanie ze wzoru  (3.10) (9.13)  Ą m.- 80] \   dr / „ gdzie  M jest  dowolnym  punktem leż ą cym  na znalezionej  granicy. R ówn an ie  róż niczkowe  linii  najwię kszego  spadku  funkcji  naprę ż eń  &p  dla materiał u jedn orodn ego  moż na sprowadzić  do postaci (9.14) a  po scał kowaniu (9.15) ]/ r A - D PLASTYCZN E  SKRĘ CANIE  N IEJED N OROD N YCH   PRĘ TÓW  109 Stał ą  cał kowania  D  okreś limy  z  warunku  brzegowego,  wyznaczają cego  kierunek  linii najwię kszego  spadku  n a  granicy  mię dzystrefowej i - \ - z M Po  rozwinię ciu  w  szereg  i  wykonaniu  cał kowania, równanie  linii  najwię kszego  spadku moż na przedstawić  nastę pują co: (9.17)  z  =  l~ 2- 44  /-   5- 45 Funkcję  naprę ż eń w  zakresie  plastycznym  @p  okreś limy,  wykorzystując  w  tym  celu  wzór (4.3), z którego  po przekształ ceniach otrzymujemy (9.18)  &  =&([) +CKU~\ r3-   - j-   +   - r  / f i +   - h r  T 7 T  + \ 4 / r \ 4 /   ' [   \ 4 /   2- 42r /   7 W  powyż ej  przedstawionym  wzorze  funkcja  naprę ż eń &p  zależ na jest  od promienia r  oraz parametru  /. D la naszych  celów  (okreś lenia naprę ż eń i kształ tu powierzchni  nieobcią ż onej) potrzebna  jest  znajomość  <2>  =   (p(r, z).  Aby  uzyskać  tę  zależ noś ć,  musimy  odwrócić szereg z =   z(l, e) na /  =   / (z, e); po przekształ ceniach otrzymujemy (9.19)  / =   z + _ . - — - _  1  £— —- z  3  e 2 +  • ... 64  \  4r  /   64  \   r j Wprowadzając  tę  zależ ność  do  wzoru  (9.18)  okreś lają cego  & =  (9.21) Kształ tu  powierzchn i  zewn ę trzn ej  poszukiwać  bę dziemy  w  post aci (9- 22)   r   =   r o +r 1 e+r 2 E 2 +r 3 s 3 +  . . . . 110 M.  G ALOS Szu kan a  powierzch n ia jest  powierzchnią   nieobcią ż oną,  wobec  czego  n a  tej  powierzchn i &p(r, z)  —  &o  =   con st.  Jeż eli  wprowadzim y  do  tego  warun ku  szereg  okreś lają cy  kształ t szukan ej  powierzch n i,  t o  porówn ują c  współ czynniki-   przy  jedn akowych  potę gach  pa- ram et ru  e,  m oż emy  okreś lić  współ czynniki  r l s  r2,  r 3  itd.  Ostateczn ie,  po  wykon an iu  tych przekształ ceń ,  kształ t powierzch n i  zewnę trznej  m oż na  zapisać  n astę pują co: (9.23) ' ' - ' 'o  - 44   r 24s/ - 3, K 5   K 3 z 2 Tf iTif ~T~ "r K 8 z 1  M„5  "T"  / I7„ 3 2- 4 3 rl K 6 z  .  5K5z  5K3z3 gdzie  r 0   = Z aletą   tego  rozwią zan ia  jest  ogólna  postać  zapisu  kształ tu  powierzchn i  zewnę trznej k w  zależ n oś ci  od  trzech  param et ró w  e,  - ~,  0 O .  Jeż eli zadan ie polegał o bę dzie  n a  rozwią ż ą- n iu  p rzyp ad ku  skrę can ia  sprę ż ysto- plastycznego  p rę ta  o zm iennej  ś rednicy  m etodą   wprost, k t o  m oż emy  wykon ać  t o  w  sposób  przybliż ony,  dobierają c  współ czynniki  e,  - ~,$> 0   tak, aby  powierzch n ia  okreś lona  wzorem  r  =  r\ z,  e,- ~- ,& 0 \   ja k  najmniej  róż n iła  się   od V  C  •   I dan ej  powierzch n i  rzeczywistej  p rę t a. D okł adn iejsza  an aliza  wyprowadzon ych  zależ noś ci  wykazuje,  że  szereg  okreś lają cy p ro m ień  gran iczn y  r g   jest  stosun kowo  sł abo  zbież ny  dla  wię kszych  param etrów  l i e . Tablica  3 [cm] 0 3 6 9 12 15 18 r g   [cm] 3,000 2,6342 2,3757 2,1808 2,0271 1,9018 1,7972 0 B   [kG cm] 6,73  k 0 5,20 k 0 4,24 k 0 3,57 k 0 3,09 ko 2,72 k 0 2,43 * 0 D [cm 4] 0,4531 0,1605 0,0701 0,0354 0,0196 0,0118 0,0075 [cm] 0,820 0,633 0,514 0,434 0,374 0,330 0,294 z =  cm/ fp  [kG cm] r = 3  [cm] 0,0000 6,73 * 0 0,0019 8,11  *o 0,0232 8,77 *0 0,0235 9,12*o 0,0224 9,32 * 0 0,0209 9,43 *0 0,0192 9,50 k 0 r —  4  [cm] 0,0517 19,lO*o 0,0519 20,46 * 0 0,0452 2 1, ll*o 0,0407 21,45 * 0 0,0341 21,65*o 0,0291 21,76*o 0,0266 21,81 * 0 r  =  5  [cm] 0,0756 39,43 * 0 0,0720 40,79 ko 0,0584 41,45 * 0 0,0487 41,78*o 0,0410 41,98*o 0,0354 42,10 * 0 0,0308 42,16 * 0 r  =  6  [cm] 0,0985 69,77 *„ 0,0856 71,13*o 0,0673 71,78*o 0,0548 72,11 * 0 0,0457 72,32*o 0,0337 72,43 * 0 0,0337 72,50 * 0 PLASTYCZN E  SKRI- CANIH   N IEJEDN ORODN YCH   PRĘ TÓW 111 Sł aba  zbież ność  tego  szeregu  pocią ga  za  sobą   sł abą   zbież ność  pozostał ych  szeregów. D latego  w  dalszym  cią gu  rozwią zano  przykł ad  numerycznie,  bez  stosowania  m etody mał ego  param etru; w  tym  przypadku  lie  mogą   być  dowolnie  duż e. Rozwią zano  przykł ad, gdy  zakres  sprę ż ysty  jest  okreś lony  funkcją   naprę ż eń  wyraż oną wzorem  (9.8), przy  czym 8 = 0 , 1 — 1  i :  =   - ^  =   12,03 [cm]. D la tych wartoś ci  granicę  mię dzystrefową   moż na przedstawić  wzorem (9.24)  r a - = 50  - 16l  1 +  ^ - 1 + y  25611 +   T ~ Okreś lono  dalej  dla  szeregu  wartoś ci  / prom ień graniczny  r e ,  wartoś ci  funkcji  n aprę ż eń 0°  =   0e a Q) na  granicy  mię dzy strefowej,  wartoś ci  stał ej  D  oraz b  =   ]/- D  =   b(J). R ówn an ie z [cm]  i - 18 - ta  - - 12   - • B -  8- I .a r[cm] Rys.  7 linii  najwię kszego  spadku  funkcji  naprę ż eń  0  moż na, w  zakresie  plastycznym,  dla  przy- padku  materiał u jedn orodn ego  przedstawić  jako (9- 25) 112  M .  G AL O S gdzie  F(e,p)  jest  cał ką  eliptyczną   pierwszego  rodzaju,  natomiast  odpowiednie argumenty są   równe b  b  \ / 2 ex =   arc cos—,  e2  =   arc cos —,- ,r>  P =   f~- Wzór  na  funkcję   naprę ż eń  0"  dla  zakresu  plastycznego  moż na  natomiast  przedstawić w postaci y(]  ) (9.26)  0"  =  &,®+Kljj=- [F(8 u p)- F(8 2 ,p)]+j\ / r*- D  ^ / ^ ( Z J - Z)  . Wyniki  numerycznie obliczonych  wartoś ci  Az  =   (z—I),  @p dla  szeregu  wartoś ci / podano w  tablicy  3.  N a  rys.  7 przedstawiono  rodziny  nieobcią ż onych  powierzchni  zewnę trznych ograniczają ce  strefę   plastyczną   znalezione  numerycznie.  Z  przedstawionego  rysunku wynika,  że w miarę  narastania warstwy plastycznej  (przy ustalonym  obszarze  sprę ż ystym), powierzchnia  boczna  zbliża  się   coraz  bardziej  do  powierzchni  walcowej.  Z  przeprowa- dzonych  badań  wynika,  że  mał e zmiany  ś rednicy  zewnę trznej  prę ta  skrę canego  pocią gają za  sobą   duże  zmiany  promienia granicznego  mię dzy  strefą   sprę ż ystą   a  plastyczną   — tym wię ksze,  im bardziej  materiał  jest  uplastyczniony. Literatura cytowana  w tekś cie 1.  R. P .  E D D Y,  F . S.  SH AW,  N umerical  solution of  elasto- plastic  torsion of  a  shaft  of  rotational symmetry, J.  Appl.  M ech., 16  (1949),  139- 148. 2.  A.  F O P P L ,  Sitz.- Ber.  Bayer.  Akad.  Wiss.,  M onachium, 35  (1905),  249- 504. 3.  M .  G ALOS,  Obliczanie noś noś ci granicznej skrę canych prę tów  o  dowolnej niejcdnorodnoś ci poprzecznej, R ozpr.  Inż yn., 2, 16  (1968),  233- 260. 4.  J. H .  M I C H E LL,  P roc.  Lon don  M ath.  So c ,  31  (1899),  141. 5.  H .  N EU BER ,  Kerbspannunglehrc,  Berlin  1937. 6.  B .  B .  C O K O J I O BC K H H , HeKosHopbie sabcimi meopuu  nnacmumiocmu  co cmenennuMynpouHCHueM Mamepiiajtue, ITpiiKJi.  M aT.  M ex.,  T . X I I ,  BŁirt. 6  (1949). 7.  B.  B.  COKOJIOBCKH H ,  O  odfioit  3abane  ynpyio- ndacmimecKoao  KpyueHUH,  ITpmcji.  MaT.  H  M ex.5  2, 6 (1942),  241- 246. 8.  B.  B.  COKOJIOBCKH H ,  T ljiaammecKoe  Kpy venue  Kpyz/ iux cmepjimeu nepejuemioio  buauempa,  I I P H K JI . MaT.  u  M ex.,  4,  9 (1945), 343- 346. P  e  3  IO  M  e IIJIACTIM ECKOE  KPytJEH H E  HEOflHOPOflHLIX  CTEPKHEKt H EPEMEH H OrO  JJHAMETPA pa6oTM   HBnaeTCH   njiacTiwecKoe  K pyn em ie  cTep>KHeH   n epeM eH uoro  AHaiweTpa n a C npOH3BOJIBHOH   nJlaCTiraeCKOH   HeOflHOpOflHOCTBIO  (3aBHCIIM0H   OT KOOpflHHaT  r,  Z B npHMeHHejttOH   3flecb CHcieMe  Koopaim aT  r,  0, z).  3flec t  Hcno;ib3yeTCH   MaTeMaTHiecKan  an ajiorujr PLASTYCZN E  SKRĘ CANIE  N IEJED N OROD N YCH   PRĘ TÓW  113 pacc.MaTpiiBaeMoii  3afla^ieii  H  3a.fis.HePi.  o  nnacTiwecKOM   KpyieHUH  iipH3MaTHHeciHOH   n o n e p e m io S  iieofliiopofluocTbio  ( r a ji t o c  [3]). P em cH iie  3aji;aqn  n o n y^ e n o  nyTeM   BBefleni- ia  cbyHKUKH   HanpH>KeHHH3  C jiaroflapji  ^eiwy  3&p,a*.m  CBe- jiacb  i< p e u ie u m o  yp a sn e n i i n  ]grad  0\   =  k(r,  z ) . H a  a r o r o  ypaBH eiiiifl  MO>KHO  onpeflenH Tb  J I H H H H   n a n - C ojibiuero  HaKJlOHa  cpyniKeHKH   0  a  B  I I OC JI C ^C TBH H   Tai  n  H anpjiH - ceiniH   zg r npoeKTiipoBaH H Ji  TpyoqaTLix  ciep>KH efi  nojiHOCTbio  n epexoAH rqiix  B  n jia c iiwe c K o e cocTOHinie  H  o6paTH biii  MeTOfl  pemeH H H  3aflaMH   06  yn pyro- n n acTuqecKOM   K p yieH u n  c iep wH eft  n ep eM en - iioro  ceM emin  H3 n Jiacn m ecK H   n eo flH o p cwio ro  M aTcpnana. PaccMOTpen  TaKHiifl  npH M epoB  H jiJiiocTpupyiom n x S u m m a r y PLASTIC  TORSION   OF   N ON - H OM OG EN EOUS  ROD S  O F   VARIABLE  TH I C K N E SS The  problem  of  plastic  torsion  of  rods  of  variable  thickness  m ade  of  materials  characterized  by  arbi- trary  plastic  nonhomogeneity  (depending  on  coordinates  /• , z  of  t h e  cylindrical  system  r, 0, z)  has  been considered  in  the  paper.  The  mathematical  analogy  between  the  problem  under  consideration  and  the problem  of  torsion  of  prismatic  transversally  nonhomogeneous  rods  (G alos  [3])  has  been  used. The  solution  is  obtained  by  introducing the stress  function  0  what  reduces  th e problem  to  the  solution of  the equation |grad|  =   k(r,ż ). This  equation  enables  us  to  determine  the  lines  of  maximum  slope  of  the  stress  function  0  an d, next,  the function    itself  and  the stresses  rg r   and T02. The  method  of  designing  the  fully  plasticized  pipe  rods  is  presented  as  well  as  th e  inverse  method of  solution  of  the problem  of  elastic- plastic  torsion  of  variable  diameter  rods  made  of  plastic non- homo- geneous  materials.  The  question  of  deformation  of  the  plastic  zone  in  the  rods  under  consideration  has been also  presented. A  number  of  numerical  examples  is given. WYŻ SZA  SZ KOŁ A P E D AG O G I C Z N A KRAKOW Praca  został a  zloicna  w  Redakcji  dnia  27  kwietnia  1970  r. 8  M echanik?,  teoretyczn a