Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

I,  9 (1971)

Z JAWISKO  R EZ ON AN SU   W  KON TAKCIE  CIAŁ  SP R Ę Ż YSTYCH

JAD WIG A  H A L A U N B R E N N E R ,  MIECZYSŁAW  K M I E C I  K  (KRAKÓW)

1. Wstę p

W szeregu  prac teoretycznych i  doś wiadczalnych  badano wł aś ciwoś ci  mechaniczne kon-
taktu  ciał   sprę ż ystych.  Pokazano, że  ciał a  sprę ż yste,  stykają ce  się   z  innymi  (jak  np.  kulki
w  ł oż yskach  tocznych,  kamyki  w  warstwach  ż wiru)  poddane  dział aniu  sił   stycznych  lub
normalnych  do  powierzchni  styku,  a  także  dział aniu momentów  sił , posiadają   okreś loną
podatność na przesunię cie i skrę cenie. Wytrą cone  z poł oż enia równowagi  wykonują   drgania
tł umione  o  czę stotliwoś ci,  która  jest  funkcją   moduł ów  sprę ż ystoś ci,  bezwł adnoś ci  i  na-
cisku  normalnego.  N ależ ało  zatem  oczekiwać,  że  ciał a  takie  poddane  dział aniu  sił   lub
momentów  okresowo  zmiennych  w  czasie  okażą   zjawisko  rezonansu.

Przedstawiona  praca  zajmuje  się   tym  zjawiskiem  w  przypadku  kuli  przyciś nię tej  siłą
normalną   do  podstawy  i  poddanej  dział aniu  momentu  M  =   M

0
sincot  wymuszają cego

drgania  obrotowe  wokół  normalnej  do powierzchni  kontaktu.

2.  Opis  eksperymentu

Zbudowano przyrzą d przedstawiony  na rys.  1. Skł ada się  on z lekkiego,  pustego  walca  C
z materiał u niemagnetycznego,  do którego  dolnej  podstawy  przyklejono  soczewkę   pł asko-
wypukł ą   L , do górnej  — szklaną   pł ytkę   G.

Soczewka  jest  przyciskana  za  poś rednictwem  stalowej  igł y  do  mosię ż nej  podstawy  B
cię ż arem  W ,  spoczywają cym  n a  koń cu  ramienia  dź wigni.  N a  walcu  nawinię to  cewkę
izolowanego  drutu. Aby  wywierać na  ten ukł ad  (zwany  dalej  wibratorem)  moment  obro-
towy  proporcjonalny  do  natę ż enia  prą du  pł yną cego  przez  cewkę ,  cał oś ć —- jak  w  gal-
wanometrze  o  ruchomej  cewce — umieszczono  mię dzy  biegunami  magnesu  stał ego  N - S.
D la  nadania polu  magnetycznemu  struktury  radialnej,  wewną trz  pustego  walca  z  cewką
umieszczono  walec  peł ny  z  mię kkiego  ż elaza.  P rą d  do  cewki  doprowadzono  za  pomocą
dwóch  bardzo  wiotkich  mosię ż nych  pasków  D,  wywierają cych  znikomy  moment  kie-
rują cy.  Obroty  wibratora  rejestrowano  metodą   optyczną   przy  pomocy  zwierciadeł ka  M
i  papieru  ś wiatł oczuł ego  na  obracają cym  się   walcu.  Cewkę   zasilano  prą dem  zmiennym
z generatora  drgań  akustycznych.



116 J .  J H AL AU N  BREN N ER,  M .  KM IECIK

Wykonano  kolejno  nastę pują ce  pomiary:
1.  Wyznaczono  moment  bezwł adnoś ci  /   wibratora  wzglę dem  gł ównej,  centralnej  osi

bezwł adnoś ci metodą  wahadł a torsyjnego,  znajdują c  /   =   3,57  •   10~6  kgm 2.
2.  Zarejestrowano  drgania  wł asne  «kontaktowe»  ukł adu. U dzielano w tym  celu  wibra-

torowi  sł abego  impulsu  mechanicznego,  skrę cając  w  ten  sposób  materiał  obu  ciał   w  ob-
szarze  styku  i jego  otoczeniu. Rys.  2a  przedstawia  oscylogram  tych  drgań.  Czę stość ich
odczytana  z  oscylogramu/ o  =   55,2 H z.

Rys.  1. Schemat ukł adu  do wymuszania  drgań  obrotowych

3.  Sporzą dzono  statyczne  pę tle  histerezy.  D oprowadzono  w  tym  celu  do  cewki  prą d
stał y  o  powoli,  monotonicznie narastają cym  natę ż eniu /  od  zera  do pewnej  wartoś ci  mak-
symalnej  ; 0 ,  przechodzą c  nastę pnie  powoli  do  natę ż enia  —/ 0  i  wracają c  do  zera. Odpo-
wiadają ce  obrotowi przesunię cia wskaź nika  ś wietlnego  odczytywano  na mikroskali  odległ ej
od  zwierciadeł ka  o  4  m. Wykreś lono  statyczne  pę tle  histerezy  dla  szeregu  amplitud  prą -
dowych  i

0
  aż  do  wartoś ci  amplitudy,  przy  której  zachodził  poś lizg  na  cał ej  powierzchni

styku,  tzn.  obserwowano  powolny,  jednostajny  obrót  cewki.  Rys.  3  przedstawia  otrzy-
mane  pę tle  histerezy  w  ukł adzie współ rzę dnych  M, tp,  gdzie  cp  oznacza  ką t  obrotu  cewki
liczony  od  poł oż enia  począ tkowego,  zaś  M  — ki  moment  obrotowy  wywierany  przez
pole  magnetyczne  n a  cewkę   przewodzą cą   prą d.  Pola  powierzchni  pę tli  rosną   szybko
z  rosną cymi  amplitudami  M

o
.

4. Wyznaczono  doś wiadczalnie  współ czynnik  proporcjonalnoś ci  k  mię dzy  natę ż eniem
prą du  /  w  cewce  a momentem M  =•   ki  wywieranym  na nią   przez pole  magnetyczne. Usu-
wano  w tym  celu podstawę   B oraz igł ę  przenoszą cą   nacisk  normalny i zawieszano  wibrator
na  pionowym,  sprę ż ystym  druciku  z fosforobrą zu.  Mierzono metodą   optyczną   ką t  obrotu
cewki  rp pod  wpł ywem  prą du  o  natę ż eniu  / ;  moment wywierany  przez  skrę cany  drucik
obliczono  ze wzoru  M  =   nGr*tpj2L .  Otrzymana stą d  wartość  k  wynosi

10- *  N m/ A.



ZJAWISKO  REZONANSU   W  KONTAKCIE  CIAŁ  SPRĘ Ż YSTYCH 117

5. Z dję to  szereg  am plitudowych  krzywych  rezon an su  zasilają c  cewkę   p r ą d em  o  n a-
tę ż eniu  sinusoidalnie  zm ien n ym  o  stał ej  am plitudzie  / 0  zmieniają c  jego  pulsację   ca. D la
każ dej  wartoś ci  am plitudy  prą dowej  wykonywano  dwie  serie  obserwacji:  pierwszą   d la

ft"""  • ''•'

y- r

M W. VW>AA/v

m iiilWIIiaf
c

Rys.  2. Oscylogramy:  a — swobodnych  drgań  ukł ada, b — drgań  wymuszonych  przez  moment o czę stoś :i
20  H z i amplitudzie  M o =   9,5 •   10~

5  N m ,  c — drgań  wymuszonych  przez  moment o czę stoś ci  33 H z o tej
samej  amplitudzie

czę stoś ci  rosną cych  (przy n acisku  n orm aln ym JV  =   7,5  N , od 20 H z d o  80 H z) ,  drugą   —  dla
czę stoś ci  maleją cych,  w  tych  sam ych  gran icach.  U stalon ą   am plitudę   drgań  wym uszon ych
odczytywano  n a  m ikroskali  lub  rejestrowan o  n a  papierze  ś wiatł oczuł ym  (rys.  2b  i  2c) .

P  - 1  0'/  1 2  / i  /   4  / '• lO- 'mtl Jj>

Rys.  3. Pę tle histerezy  statycznej:  zależ noś ci  przył oż onego  momentu  obrotowego  M o d  ką ta  obrotu ukł adu
ruchomego



118 J.  H ALAU N BREN N ER,  M.  KM IECIK

Krzywe  rezonansu  amplitudy  przedstawia  rys.  4. N a osi poziomej  odcinano  czę stoś ci/
momentu  wymuszają cego,  na  osi  pionowej — ustaloną   amplitudę   drgań  wymuszonych.
Wartość  amplitudy  momentu  wymuszają cego  M

o
  =   ki

cn
y2  zaznaczono jako  parametr

dla  każ dej  krzywej.  Począ wszy  od  pewnej  wartoś ci  amplitudy  prą dowej  obserwowano
«skoki»  amplitudy  drgań  wymuszonych:  AB  — przy  czę stoś ciach  maleją cych,  CD—przy
czę stoś ciach  rosną cych,  charakterystyczne  dla  drgań  nieliniowych.  Przesunię cie  wierz-
choł ka  krzywej  rezonansowej  w  kierunku  mniejszych  czę stoś ci  ś wiadczy  o  «mię kkiej»
charakterystyce  sił   sprę ż ystych  w  kontakcie. Ten  rodzaj  charakterystyki  pocią ga  za  sobą
wzrost  okresu  drgań ze wzrostem  ich amplitudy.

2 0

R ys.  4.  Krzywa  rezon an su:  zależ ność  amplitudy  ką towej  <p
0
  drgań  wymuszonych  od  czę stoś ci/ m om en tu

wymuszają cego  M  =   M
0
sm2nft  dla  róż nych  wartoś ci  amplitudy  M

o
.  N a  rysunku  wykreś lono  krzywa

«szkieletową »  poprzez  maksima krzywych  rezonansu

Przez  maksima  krzywych  rezonansu  przeprowadzono  krzywą   «szkieletową »  i  ekstra-
polowano ją   do przecię cia  z  osią   czę stoś ci. Punkt ten ma  odcię tą/  =   61,2 H z bliską   czę -
stoś ci  drgań  swobodnych  55,2 H z zarejestrowanych  n a  oscylogramie  na rys.  2a.

6. Zmierzono współ czynnik tarcia ś lizgowego szkł a po mosią dzu  przyrzą dem wahadł o-
wym;  otrzymano JU =   0,33.



ZJAWISKO  REZONANSU   W  KONTAKCIE CIAŁ  SPRĘ Ż YSTYCH   119

3.  Sporzą dzenie  charakterystyk  momentów  sił   sprę ż ystych  i  momentów  sił   tarcia

Przedstawimy  sporzą dzenie  charakterystyk  momentów  sił   sprę ż ystych  i  momentów
sił   tarcia  w  kontakcie  kuli  z  pł ytą   w  tarciu  suchym,  wiertnym  na  podstawie  uzyskanych
eksperymentalnie  krzywych  rezonansu amplitudy wzglę dem  statycznych pę tli  histerezy.

Celem  znalezienia  charakterystyki  sprę ż ystej  kontaktu,  tzn.  zależ noś ci  momentu  sił
sprę ż ystych  M

s
  od  amplitudy  (p

0
  ką ta  obrotu  wibratora  na  podstawie  krzywych  rezo-

nansowych, napiszemy  równanie drgań wymuszonych  wibratora  w postaci:

(3.1)  Jy=  ~M
s
(<p)—krp+M

0
ń n(cot+a).

W  równaniu  tym  J  oznacza  moment  bezwł adnoś ci  wibratora  wzglę dem  osi  obrotu,
M

o
  —  amplitudę   momentu wymuszają cego  o pulsacji  ca;  tarcie  suche zastą piono  tarciem

wiskotycznym  (przy  czym  współ czynnik  k jest  funkcją   amplitudy)  tak,  by  praca  rzeczy-
wistego  momentu  sił   tarcia  w  czasie  okresu  T  =   2JT/CO  był a  równa  pracy  momentu kip
w tym samym czasie.

Jako przybliż one  rozwią zanie  tego równania moż na przyją ć  funkcję

(3.2)  <p  =   (p
o
sincot.

Z  ż ą dania,  aby  to  rozwią zanie  był o  sł uszne  przynajmniej  dla  maksymalnych  wychyleń
(cot  =   njl)  i  dla  przejść  przez  poł oż enie równowagi  (cot  =  0),  otrzymujemy  dwa  rów-
nania :

—J(p
0
co

2
+M

s
((p

0
)  ~  M

0
cosa,

k<p
o
co • =   M

o
sina.

Z  tego ukł adu równań  obliczamy

(3.3)  M
s
(cpo)  =  ±}/ M

2
- k

2
tp

2

0
co

2
+J<p

a
co

2

( 3 ' 4 ) t g a =  ! i ^
Pamię tają c,  że moment sił  tarcia  równa  się   M

t
  — kę   =  kq>

0
cocoscot  i jego  wartość  mak-

symalna wynosi  M
t0
  — k<p

o
co, moż emy przepisać  równania  (3.3) i  (3.4) w  postaci

(3.5)  M
s
(<Po) -   ±   YMŹ ~

(3.6)  t
M

s
((p

0
)—J(p

0
0}

2
  '

Wzór  (3.5) jest  równaniem  krzywej  rezonansowej.  Przy  danej  pulsacji  momentu  wymu-
szają cego,  maksymalną   amplitudę  drgań wymuszonych  otrzymamy  dla M 2  =  Mo

t
.  Z atem

równanie

(3.7)  M
s
(<p

0
)  =   J<p

o
co

2

jest równaniem krzywej  «szkieletowej»  dla ukł adu krzywych  rezonansu amplitudy.  Odczy-
tują c  z krzywej  «szkieletowej»,  poprowadzonej  przez  maksima  krzywych  rezonansowych
wartoś ci  <p

0
 i  co,  otrzymujemy  przebieg  funkcji  M

s
  =   M

s
(<p

0
). Krzywa  t a  przedstawiona



120 J.  H ALAU N BREN N ER,  M.  KMIECIK

jest  na  rys.  5  i  oznaczona  cyfrą   1.  Posiada  ona  jedno  wyraź ne  maksimum.  Zależ ność
amplitudy  momentu sił  tarcia  M,

o
  od  amplitudy  wychylenia  otrzymujemy  również  z  krzy-

wej  szkieletowej,  ponieważ  dla  wszystkich  jej  punktów  zachodzi  M
t0
  =   M

o
.  Przebieg  M

t0

przedstawia  krzywa 2 n a  rys.  5.
Przedstawimy  charakterystyki:  sprę ż ystą   i  tarciową   kontaktu  uzyskane  na  podstawie

statycznej  pę tli  histerezy.

150"tO~
s
md

<Po

R y s .  5. P r z y b l i ż o ne  c h a r a k t e r y s t y k i  sp r ę ż yste  i  t a r c i o we  k o n t a k t u  u z y s k a n e  w  o p a r c i u  o  k r z ywe  r e z o n a n s u
(krzywe  1 i 2)  i oparte na statycznej  pę tli  histerezy  (krzywe  3 i 4)

D la  sporzą dzenia  przybliż onej  charakterystyki  kontaktu,  przy  pominię ciu  wyż szych
harmonicznych,  wystarczy  odczytać  współ rzę dne  wierzchoł ków  pę tli  histerezy.  Przy po-
wolnym  (co ~  0)  obiegu  pę tli  z  przystankami  dla  odczytu  M

s
  i  q>,  moment  zewnę trzny

przył oż ony  do  wibratora  równoważy  moment sił  sprę ż ystych  w  kontakcie. Wykres  ampli-
tudy  M

s0
  w  funkcji  <p

0
  przedstawia  krzywa  3  na  rys.  5.  Począ wszy  od  pewnej  wartoś ci

amplitudy  wychylenia  przebiega  ona  równolegle  do  osi  <p
0
.  Charakterystykę   tarciową

kon taktu  otrzymamy,  pamię tają c,  że  powierzchnia  pę tli  histerezy  przedstawia  pracę   L
t

momentu  sił   tarcia  zamienioną   podczas  obiegu  pę tli  na  ciepł o  i  zuż ycie  cierne  obu  po-
wierzchni.  Przy  zał oż eniu tarcia  wiskotycznego  i przybliż onego  rozwią zania  (3.2), mamy

2n  2rt  T   2njca

(3.8)  L,  =   f  M,dcp  =   j  hpd<p  =  J  k<p2dt =  kcplm2  j  cos2mtdt  =
o d o  o

=   M
tO
7i<po,  st ą d  Mto  =   — — •

7l(pQ



ZJAWISKO  REZONANSU   W  KONTAKCIE CIAŁ  SPRĘ Ż YSTYCH   121

Wykres  amplitudy  momentu  sił   tarcia  w  funkcji  amplitudy  ką ta  obrotu  przedstawia
krzywa  4  na  rys.  5.  Przebiegi  M

t0
  na  podstawie  krzywej  rezonansowej  i  na  podstawie

statycznej  pę tli  histerezy  nie  róż nią   się   wiele  od  siebie,  natomiast  przebiegi  amplitudy
sił  sprę ż ystych  róż nią   się  bardzo znacznie.

W  przypadku  przebiegów  quasi- statycznych  moment  sił   sprę ż ystych  osią ga  «nasy-
cenie», w przypadku  drgań  wymuszonych  to nie zachodzi.

Próby  uzyskania  krzywych  rezonansu przy  zał oż eniu waż noś ci  statycznej  pę tli  histerezy
w  warunkach  dynamicznych  nie  doprowadził y  do  krzywych  rezonansu  otrzymanych
doś wiadczalnie.

4.  Przeglą d  waż niejszych  prac  teoretycznych  dotyczą cych  charakterystyki  sprę ż ystej  kontaktu  dwóch  kul
z  uwzglę dnieniem  tarcia

Zagadnienie kontaktu dwóch  ciał  sprę ż ystych  stosują cych  się  do prawa H ooke'a i przy-
ciskanych do siebie sił ą N  normalną  do ich wspólnej  powierzchni styku  rozwią zał  H .  H E R TZ .
Jednym  z  waż nych  jego  zał oż eń  jest  pominię cie  naprę ż eń  stycznych  na  powierzchni
kontaktu.

W przypadku  kuli przyciskanej  do poł przestrzeni sprę ż ystej  obszar  kontaktu  jest koł em
o promieniu a danym  wzorem

(4.1)  a*

gdzie  Gi  i  G
2
  oznaczają   współ czynniki  sprę ż ystoś ci  na  skrę canie,  v

1
  i  v

z
  —  współ czynniki

Poissona materiał u  kuli  i podstawy,  R — promień kuli.
Rozkł ad naprę ż eń normalnych na powierzchni  kontaktu wyraża  się  wzorem

(4.2)

gdzie  Q jest odległ oś cią   punktu od  ś rodka  koł a  styku.
MIN D LIN   [1]  rozpatruje  kontakt  dwu  sprę ż ystych,  jednorodnych  kul  przyciskanych

do  siebie  siłą   normalną   i  poddanych  dział aniu  momentu  pary  sił   obracają cego  ukł ad
wokół   linii  ś rodków  obu  kul.  Wykazuje  on,  że  przyjmują c  sczepienie  kul  w  obszarze
kontaktu  otrzymujemy  wynik,  że  naprę ż enia  styczne  n a  obwodzie  koł a  styku  rosną   do
nieskoń czonoś ci przy  dowolnie mał ym ką cie  skrę cenia  <p.

LUBKIN   [2] zakł adają c  tarcie,  dopuszcza  poś lizgi;  skrę cenie  ukł adu o  ką t  cp  powoduje
podział   obszaru  styku  na  dwie  czę ś ci:  czę ść  ś rodkową,  koł ową ,  obracają cą   się   jak  ciał o
sztywne  (obszar  sczepienia)  i  pierś cień  poś lizgu,  na  powierzchni  którego  naprę ż enia
styczne mają   wartość  wyznaczoną   prawem  tarcia  Coulomba: r  =   / ua„,  gdzie / i jest współ -
czynnikiem tarcia mię dzy  obu ciał ami, niezależ nym od nacisku i prę dkoś ci. Relację   mię dzy
ką tem  skrę cenia  rp  i wewnę trznym  promieniem c pierś cienia  poś lizgu  podaje  wzór

(4.3)  9 =
AnGcr



122  J.  HALAUN BREN N ER,  M .  KM IECIK

gdzie  k 2  =   l—c2/ cr,  zaś  D  jest  kompletną   cał ką   eliptyczną   modulo  k.  Przy  wzroś cie
ką ta  <p>  szerokość  pierś cienia  poś lizgu  roś nie.  G dy  poś lizg  obejmuje  cał ą   powierzchnię
styku  (c =  0), m om ent sił  tarcia  osią ga  wartość  maksymalną   M x

(4.4)  M
±
=~ixN a.

D la  m om en tu  sił  zewnę trznych  M  — Mi,  ką t  cp roś nie  nieograniczenie. Zwią zek  mię dzy
wartoś cią   m om en tu  sił   zewnę trznych  a  promieniem  pierś cienia  poś lizgu  c  wyraża  się
bardzo  skomplikowaną   funkcją   uwikł aną ,  nie  pozwalają cą   n a  zapis  momentu  M  w  for-
mie  M  =  M(tp).

D ERESIEWICZ  [3]  rozpatruje  dwie  jednakowe  sprę ż yste  kule  przyciskane  do  siebie  siłą
n orm aln ą ,  dział ają cą   wzdł uż ich  linii  ś rodków  i  poddan e  dział aniu momentu M  oscylu-
ją cego  powoli  mię dzy  wartoś ciami  — M

o
  ^  M^   M

o
,  ograniczają c  się   do  momentów

M  <  Mi-   Otrzymuje  on  pę tle  histerezy  o  powierzchni  proporcjonalnej  do  M 3 ,  przedsta-
wiają ce  straty  energii  n a ciepł o podczas jednego  cyklu.

W  pracy  doś wiadczalnej  H ALAU N BREN N ER  i  SU KIEN N IK  [4]  obserwowano  drgania  kuli
ś ciś nię tej  mię dzy  dwiema  równoległ ymi  pł ytami, obróconej  o  mał y  ką t  i  puszczonej  swo-
bodn ie.  N a  podstawie  wzoru  Lubkina  n a podatność C jednego  z  ciał   kontaktują cych  dla
bardzo  mał ych ką tów  skrę cenia

1  ;
  cIM ~  16Ga

3

obliczono  okres  tych  drgań

(4.6)  T =  2 n 1 /   J L.  Z- (J_ +  _L\
V 16 a3 [O, +  G2)'

gdzie  /   oznacza  moment bezwł adnoś ci  kuli  wzglę dem  ś rednicy.  Wzór  ten  doś wiadczenie
potwierdził o.

W  drugiej  pracy  tych  samych  autorów  [5]  obserwowano  zanik  amplitudy  drgań  kuli
przy  tej  samej  geometrii  doś wiadczenia,  wymuszonych  przez  skrę coną   i  puszczoną   swo-
bodn ie  sprę ż ynę   pł aską .  Przebieg  zjawiska  tł umienia wyjaś niono  poś lizgami  n a  cał ej po-
wierzchni  styku,  nastę pnie  przy  mniejszych  amplitudach  n a  pierś cieniach  zewnę trznych
ko ł a  styku,  w  koń cu przy  bardzo  mał ych  • — tarciem wewnę trznym  w  materiale kuli  i pod-
stawy.

SIEM IEN OWA  [6,  7]  obserwuje  zjawisko  rezonansu przy  drganiach  obrotowych  wymu-
szonych  walca  przyciskanego  sił ą   normalną   do  podstawy  i  wykorzystuje  krzywe  rezo-
n an su  dla  okreś lenia  zależ noś ci  sił  wzajemnego  oddział ywania  obu  ciał   od  nacisku  nor-
m aln ego,  czasu  trwania  kon taktu,  rodzaju  ciał ,  obróbki  powierzchni  i  smaru.  Próbuje
on a  opisać  zjawisko  równaniem  D uffinga  bez  wnikania  w  strukturę   kon taktu.

5.  Wyniki  eksperymentu  w  ś wietle  prac  teoretycznych

R ozpatrzon o  pę tle  histerezy  statycznej  (rys.  3).  N a  każ dej  z  nich  zaznaczona  jest

krzywa  «dziewicza» wychodzą ca  z poł oż enia  zerowego.  Z e wzrostem  ką ta  w,  ——  maleje
a<p



ZJAWISKO  REZONANSU   W  KONTAKCIE CIAŁ  SPRĘ Ż YSTYCH   123

i począ wszy  od pewnej  wartoś ci  amplitudy ką towej  cp  krzywa  osią ga  «nasycenie».  Krzywa
teoretyczna, podają ca  zależ ność  ką ta  obrotu  cewki  cp od  wartoś ci  przył oż onego momentu
M, dana jest  graficznie  w  pracy  [3]. Przebieg  krzywej  eksperymentalnej  m a  ten  sam  cha-
rakter.  Wartość  momentu  zewnę trznego,  od  której  począ wszy  nastę puje  poś iizg  na  cał ej
powierzchni  styku  wedł ug  wzoru  (4.4)  wynosi  teoretycznie  2,74  •   10~4  N m,  podczas  gdy
wartość  ta  odczytana  z  pę tli  histerezy  równa  się   6,86  •   10~4  N m.  Ta  znaczna  rozbież ność
obu  wartoś ci  da  się   czę ś ciowo  wyjaś nić  dział aniem kolca  przenoszą cego  nacisk  normalny.
Zarówno  kolec, jak  i  sprę ż ynki  doprowadzają ce  prą d  wywierają   pewien  moment  zwrotny.
Prawo tarcia Coulomba też nie jest  ś cisł e: współ czynnik  tarcia jest funkcją   nacisku  i prę d-
koś ci,  a także zależy  od  wilgotnoś ci  i zanieczyszczeń  atmosfery.  N ależ ał oby  doś wiadczenie
powtórzyć  zastę pując  kolec  drugą   soczewką , indentyczną   z dolną   i  przeprowadzić  ekspe-
ryment w próż ni.

Podatność  ukł adu  soczewka- pł yta  na  skrę cenie  dla  bardzo  mał ych  ką tów  skrę cania
obliczona  na  podstawie  (4.5)  wynosi  przy  N  =   7,5  N ,  R  =   5,0  cm  i  tablicowych  warto-
ś ciach  G  dla  szkł a i  mosią dzu:  C  =   1,90  rad/ N m. Podatność  otrzymana  z krzywej  «dzie-
\viczej»  pę tli  o  najmniejszej  amplitudzie  na  rys.  3  ma wartość  3,29  rad/ N m. N ależy  zau-
waż yć,  że  w  poł oż eniu zerowym  struktura  kontaktu  nie jest  znana;  nie udaje  się   bowiem
zetkną ć  soczewki  z podstawą   i  obcią ż yć  jej  tak,  by  nie był o n a  powierzchni  styku  mał ych
poś lizgów i obrotów.  Moż na się   o tym przekonać na duż ych modelach przy  uż yciu  metody
elastooptycznej.

Zajmiemy  się   teraz  czę stoś cią   drgań  wł asnych  wibratora  o  tak  mał ej  amplitudzie,
że nie popeł niają c duż ego  bł ę du moż na przyją ć,  że zachodzi sczepienie na cał ej  powierzchni
styku.  Czę stość  ta  odczytana  z  oscylogramu  n a  rys.  3a  wynosi  f

0
  =   55,2 H z,  czę stość

obliczona  na  podstawie  wartoś ci  C  otrzymanej  z  pę tli  histerezy  46,5  H z.  Krzywa  «szkie-
letowa»  amplitudowych  krzywych  rezonansu  (rys.  4)  przecina  oś  czę stoś ci  w  punkcie
o  czę stoś ci  61 H z. F akt  ten jest  trudny  do interpretacji,  skoro  czę stość  sł abo tł umionych
drgań  wł asnych  wynosi  okoł o  55  H z.

Z  rys.  2b  i 2c  widać,  że  przebieg  drgań  wymuszonych  nie wykazuje  duż ych  odstę pstw
od  przebiegu  drgań  harmonicznych  prostych:  zawartość  wyż szych  harmonicznych  zależy
od  amplitudy  i  pulsacji  momentu  wymuszają cego.

Opisane  zjawisko  odgrywa  rolę   w  badaniu  procesów  zachodzą cych  w  parach  kine-
matycznych.  Biorą c  pod  uwagę ,  że  podobne  zjawiska  wystę pują   w  kontakcie  przy  drga-
niach  wymuszonych  przez  okresowo  zmienne  sił y  styczne  do  powierzchni  kontaktu,
a  także  i  siły  normalne, moż na  przewidzieć  obszary  czę stoś ci  fal  mechanicznych  tł umio-
nych  selektywnie  przez  warstwy  materiał ów  ziarnistych,  jak  np.  piasek  i  ż wir.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  R. D .  M I N D LI N , Compliance  of  elastic bodies in contact,  Jour,  of  Appl.  M ech. Trans., ASM E , 71  (1949),
259- 268.

2.  J. L.  LU BKIN ,  T he torsion of  elastic spheres in contact, Jour,  of  Appl.  M ech.  Trans., ASM E ,  73  (1951)
183- 187.

3.  H .  D ERESIEWICZ,  Contact of  elastic spheres under  an oscillating torsional  couple, Jour,  of  Appl.  M ech.,
M arch,  1954,  52- 56.



124  J.  H ALAU N BREN N ER,  M.  KMIECIK

4.  J.  H ALAU N BREN N ER,  P .  SU KIEN N IK,  On  the  end  of  the  motion of  solids on  an  elastic base, Acta  Phys.
P olon., XXI  0962),  F asc. 3.

5.  J.  H ALAU N BREN N ER,  P .  SU KIEN N IK,  On  the  role of  contact  stresses in frictional  clamping  of mechanical
oscillation,  Jour,  of  Lubrication Technology  Trans., ASME,  Series  F ., N „  2, 89  (1967),  109.

6.  B .  A.  C E M E H O BA,  Iiccsicdosauue  npoijeccos  eHeuiaeso mpenu.i  mmajuios  uemoboM  auajima  Obinyjicdcinibix

MUKpoKOjieSaniiH  nojayfia,  JT3B.  B M C .  Yn,  3a B .  C C C P ,  M an iH H ocTp.,  JMa  10,  1 9 6 1 .

7 .  B .  A.  C E M E H O B A,  O  tfiu3imecKou npupode  eiieumezo  mpeuun  e ycjioeunx  lapMonuuecKux  Ko.ieGauuu  noji-

3yua  s  itpcde.iax  npedeapwncjibiwso  cumą mun,  H 3B.  B M C .  U IKOJTŁIJ  M au iro io c T p . ,  Na  2,  1962.

P  e 3  IO  M  e

.H BJIEH H E  P E 3OH AH C A  B  KOH TAKTE  Yn P Yr H X  TE JI

pa6oTa  COCTOHT  H S 3  qacTeit:  yacTŁ  I  coflep>i<nr  o n iicam ie  SKcnepHMeHTa. C (pepn -

i,  CTeKjiHKiiaH   JiHH3a O m ia  npiD KaTa jiopM ajibiioii  CH JIOH  K  ropH3OHTajibHOMy;  yn pyroM y  ocH ocan m o

H   n o flBeprn yT a  MOMemy  CH JI  BpamaioinH X  ee  BOKpyr  BepTHKanbHoii  O C H . F Ipw  H3,«eHHiomeHCH   n yjit -

o> BBiny>Kflaiomero  MOMeiiTa  Af  ==  M o si n o j/   n p ii  IIOCTOH H H OH   a.MnjiHTyfle  M o  n o jiyq e n t i  aimjiH -

KpiiBbie  pe3OH anca  fljia  p a 3iit ix  BEJIIIM IIH  M
a
.  X O A  KpriBbix  yi<a3biBaeT  n a  CHJIKHO  iicjiH iieiiH yio

H   «!ttH rKyió»  yn p jT yio  xapaKTepiicriiKH  KOHTaKia.

n e r a n  m cTepe3H ca  fljia  pa3jiH in ibix  aMnJiHT5',n;  M
o
  H  3aperH CTpnpoBaH a

BoSoflH bix  H   BbiHyH<AeHHbix  KOJie6aHHH   xrnH3Łi.

B  Mac™  I I  Ha  ociiOBe  pc3yjibTaTOB  3KcnepHMeHTa onpe^enei- iH   yn p yr a a  H  r]5pHKiiHOinian xapaKTepH -

CTHKa  KOHTai<Ta.

B  ^lacTii  I I I  npeflCTaBnenbi  pe3yjibTai'bi  Son ee  3H aMeH aTejitH bix  TeopeTH iecKirx  pa6oT  B  o6JiacTii

KOHTaKTa  y n p y n i x  Ten.  Pe3ynbTaTbi  D KcnepuMeiiTa  cpaBHeHW  c  Teopn eft.

S u m m a r y

T H E  RESON AN CE  P H EN OM EN ON   F OR  ELASTIC  BOD IES  I N   CON TACT

The  paper  is divided  into three parts. In part I the experimental investigations  are described. A  spherical
glass  lens  h as  bsen  presented  to  a  horizontal  elastic  plate  and  then  loaded  by  a  twisting  moment  M  =
=   M

0
sin(ot  turning  it  around  the  vertical  axis.  Varying  the  frequency  w  of  the  torque  and  keeping  the

amplitude  M
a
  constant, th e  reson m ie  carves  for  various  values  of  Mj  have  bssn  recorded,  These  curves

show  that  the  elastic  characteristics  of  the contact  is  strongly  noii- lineir  a n i  «soft».  F or  various  ampli-
tudes  M o  of  the moment, the hysteresis  loops  have  been measured  and, using  optical  methods, the oscillo-
grams  of  the  free  and  forced  vibrations  of  the lens  have  been  recorded.  P art  I I  of  the paper contains the
analysis  of  the  approximate  elastic  and  frictional  characteristics  of  the  contact  based  upon  the  experi-
mental  results.  I n  part  I I I the results  of  certain  important theoretical works  dealing  with  the contact phe-
nomena  of  elastic  bodies  are  presented.  Theoretical  results  are  then  compared  with  those  obtained  expe-
rimentally.

POLITECH N IKA  KRAKOWSKA

Praca został a  zł oż ona w Redakcji dnia 8 maja 1970 r.