Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

J, 9 (1971)

OD P OWIED N IOŚC  M OD ELOWA  D LA  CCEN KOŚ CIEN N YCH   P R Ę TÓW  O  BI SYM ETR YC Z N YM
O T W AR T YM   P R Z E K R O J U   P O P R Z E C Z N Y M

M I EC Z YSŁ AW  J O K I E L  ( WR O C Ł AW)

1.  Wstę p

Przedmiotem  niniejszej  pracy  są   warunki  odpowiednioś ci  modelowej  dla  cienko-
ś ciennego, prostego  prę ta pryzmatycznego  o dowolnym  otwartym  przekroju  poprzecznym.
Rozważ any  prę t jest  obcią ż ony  statycznie  dowolnym  ukł adem uogólnionych  sil  zewnę trz-
nych  wywołują cych  w  nim  okreś lony  stan  napię cia  i  odkształ cenia,  charakteryzują cy
się   wystę powaniem  samozrównoważ onego  ukł adu  naprę ż eń  normalnych,  zwanego  bimo-
mentem i deplanacją   pł askiego przed odkształ ceniem przekroju  prę ta. Odnoś nie do  samego
prę ta  zakł ada  się ,  że  speł nia  on  warunki  ukł adu  Clapeyrona.  Zakł ada  się   pon adto,  że
jego przemieszczenia  są   bardzo  mał e,  a  odkształ cenia ś ciś le odpowiadają   hipotezom przy-
ję tym  w  teorii  prę tów  cienkoś ciennych  WŁASOWA  [6],

W  pracy  sformuł owano  warunki  odpowiednioś ci  modelowej  dla  dowolnego,  pryzma-
tycznego  i  prostego,  prę ta  cienkoś ciennego  oraz  wykazano  moż liwość  ich  speł nienia
w mał ym modelu w przypadku  prę ta o bisymetrycznym  otwartym przekroju  poprzecznym.
Rozważ ania  przeprowadzono  przy  zał oż eniu, że  nie  wystę puje  peł ne  geometryczne  i me-
chaniczne  podobień stwo  obiektu  rzeczywistego!  modelu.

2.  Kryterium  podobień stwa  modelowego

Wielkość energii  odkształ cenia sprę ż ystego  dla  prę ta  cienkoś ciennego  bę dą cego  obiek-
tem  rozważ ań  i  nazywanego  dalej  krótko  obiektem  okreś la  znany  ze  statyki  wzór  [5]

(2.1)  U
o
  =  U

N
+U

Q3
,

0
+U

N
2
  O

2  O2,,  M\   M 2
n

o  I  \   c ""i  r^ zo- p —̂
A
  *  >'°~n  ~A  '  W ~f  '  P  r  • "

Z  J  \   n
0
A

0
  (J

0
AQ  LfO^O  - ^ O'yO  • CO- ':O

Przyję te  oznaczenia  sił  wewnę trznych  wyjaś nia  rys.  1, na którym  zaznaczono pon adto
ś rodek  O  masy  przekroju,  ś rodek  ś cinania  S  oraz  przyję ty  ukł ad  współ rzę dnych  xyz
{ds =   clx).  Indeks  «0»  stosuje  się   do wielkoś ci  przynależ nych  do  obiektu.  D wa  ostatnie



126 M .  JOKIEL

wyrazy  wzoru  wyraż ają   wielkość  energii  zwią zanej  z  n ieswobodn ym  skrę caniem  cienko-
ś cien n ego  p r ę t a,  zależ nej  od  m om en t u swobodn ego  skrę can ia  M

o
  i  bim om en tu B,  którego

wekt o r  zazn aczo n o  n a  rys.  1  podwójn ą   strzał ką .  We  wzorze  nie  uwidaczn ia  się   wpł yw
m o m en t u  gię tn o- skrę tn ego  M

a
.  Konsekwencją   bowiem  przyję tej  hipotezy  braku odkształ -

ceń  po st acio wych  w  powierzch n i  ś rodkowej  p rę ta  cienkoś ciennego  jest  t o ,  że  równ o-
m iern ie  ro zł o ż o ne n a  gruboś ci  elem en tów  przekroju  n aprę ż en ia  styczne,  wywoł ane  gię tno-
skrę t n ym  m o m en t em  M

m
,  nie  powodują   przyrostu  energii  potencjał nej  odkształ cen ia.

Rys.  1.

We  wzorze  (2.1)  oznaczają   p o n a d t o :  E, G  —  stał e  sprę ż ystoś ci  m at eriał u ;  A,I
y
,,L ,

I<»Im—- geometryczne  i  wycinkowe  ch arakterystyki  przekroju;  k
y
,k

z
—  współ czynniki

liczbowe  zależ ne  tylko  od  kształ tu  przekroju  prę t a.
An alogiczn ą   wart ość  energii  odkształ cen ia  sprę ż ystego  prę ta,  bę dą cego  m odelem

p r ę ta  ro zważ an ego  (in deks  m),  okreś la  wzór

( 2. 2)  Um -   UNm+   UQym+   U< bm+ UMyM  +   UMim+   UMv,„+   UBm =

w"  n i 'J.  J  \   Ź L
m
A.

m
  \ jr

m
A

m

M 2  M
2  M2

ym  ,   m  zm  ,   lvlyn
FT  FT  FT

J
- 'm

1
ym

  J
- 'm

i
zm

  ±J
m

1
vm

ds„,.

K r yt er iu m  odpowiedn ioś ci  m odelowej  obiektu  rzeczywistego  i  m odelu,  kon ieczn e
i  wystarczają ce  d la  p o d o bień st wa  energii  odkształ cen ia  sprę ż ystego,  m oż na  sformuł ować
w  o parciu  o  wzory  (2.1)  i  (2.2) w  nastę pują cy  sp o só b:  podobień stwo  energii  odkształ cen ia



O D P O WI E D N I O ŚĆ  MOD ELOWA  D LA  CIEN KOŚ CIEN N YCH   P R Ę T ÓW  127

sprę ż ystego  obiektu i  modelu  jest  speł nione, jeż eli  stosunek  odpowiedniej  czę ś ci  energii
sprę ż ystej  pochodzą cej w modelu i obiekcie  od  przyczyny  tego  samego  rodzaju,  jest  taki
sam  dla każ dej  przyczyny.  Winno  być  zatem

Uo  Uf/ o  Uą
vQ

  UQZO  U
M  O  UMV0  UEO

U,„  U
N m

  Uą
y
,„  UQ_„,  U

Myin
  U

Mi>m
  U

Bm

Podane  kryterium  odpowiednioś ci  modelowej  energii  sprę ż ystej  obiektu  i  modelu
zawiera  warunki  podobień stwa  przesunię ć,  ką tów  obrotu i deplanacji  [3].

3.  Z wią zki  wyraż ają ce  przyję te  kryterium  podobień stwa  modelu  i  obiektu

W  celu  szczegół owego  przedstawienia  zwią zków  wyraż ają cych  warunki  podobień stwa
wprowadzono  nastę pują ce  oznaczenia  skal  wielkoś ci  wystę pują cych  w modelu i obiekcie:

"o

M
o

^0

—  n

- f

PoS°- - fn

rmi>m

Go
6
'  G

m

  g

=  a

.  / *  ,
'• '  L...

podział ka  dł ugoś ci prę tów,

podział ka sił ,

podział ka momentów,

podział ka bimomentów,

podział ki stał ej sprę ż ystoś ci podł uż nej i postaciowej,

podział ka  pól,

podział ki  momentów  bezwł adnoś ci  wzglę dem  osi

- ~-   =   z„   podział ka  momentu bezwł adnoś ci  czystego  skrę -
"'"  cania,

- ~S.  =  i
a
  podział ka  wycinkowego  momentu  bezwł adnoś ci

°""  wzglę dem  ś rodka  ś cinania  przekroju,

Po
  u

o
  v

o  w
0
  , . ,.

=   =   =   p o d z i a ł k a  p r z e su n ię ć,
Pm  »

m
  V

m
  W

m

- ^ -  =  — : —~ = —r  podział ki ką tów  obrotu i deplanacji,
<p

m
  n  x

m
  n

2

~~-   =  =fj  =  u  podział ka  energii  sprę ż ystej  i  pracy.



128  M :  JOKIEL

(3

P o  wprowadzen iu  przyję tych  podział ek  kryterium  (2.3)  przyjmuje  postać

ea  '  eiy  ei
z
  k

zm
  ga  k

ym
  ga  gi

v
  ei

a
  '

a  p o  skrócen iu  st ro n am i  przez  f2n

• g 2^  —  ZL_  — It  —;  —l—  _L-  =   y 0  ._ s
  w  _  J?

e«  e/ j,  <?/z  / c.,„   ga  k ym  ga  giv  eia

Stosown ie  d o  p o d an ych  wyż ej  wniosków  równoś ci  (3.2)  przedstawiają   kom plet  wa-
ru n kó w,  kon ieczn ych  i  wystarczają cych,  odpowiednioś ci  modelowej  obiektu  rzeczywistego
i  m o d elu  dla  prost ego ,  pryzm atyczn ego  prę ta  cienkoś ciennego  o  dowoln ym  przekroju
otwartym  w  przypad ku ,  gdy  po m iaro m  na  m odelu  podlegają   przemieszczenia  wywoł ane
statyczn ie  dział ają cym  ukł adem  uogóln ion ych  sił   zewnę trznych.

G d y  o biekt  rzeczywisty  i  m odel  speł niają   równoś ci  (3.2),  przemieszczenia  obiektu
m ogą   być  wyzn aczon e  za  pom ocą   uprzedn io  zm ierzonych  przemieszczeń  m odelu  z  relacji

przesun ię cia  p
0
  =  ./>„„

(3.3)  ką ty  o bro t u  <p
0
  = —- <p

m
,

deplan acje  x
0
  =   ~-

2
-   x,„,

w  kt ó rych  podział ka j  podlega  wyznaczeniu  z  równ oś ci  (3.1),  zaś  n  jest  skalą   dł ugoś ci

prę tów.

4.  Sposób  zastę pczych  przekrojów  modelu

4.1.  Uwagi  wstę pne. Analizują c  waru n ki  (3.2)  n ietrudn o  zauważ yć,  że  są   one  toż sam o-
ś ciowo  speł n ion e w  przypadku,  gdy  wystę pują ce  w  nich  skale  geometrycznych  i  wycinko-
wych  ch arakterystyk  przekrojów  obiektu  i  modelu  zależą   od  skali  dł ugoś ci  prę tów,  czyli

gdy

( 4. 1)  a  =   n2;  i
y
  =  i.  =  /„   =   « 4 ;  ł

a
  =   n6  ;  • —•-  =   • *—•  =  i

o r a z  gdy

(4.2)  e  =   g,

a  zat em ,  gdy  zach odzi  geom etryczn e  i  mechaniczne  podobień stwo  m odelu  i  obiektu.
P rzy  rozwią zywan iu  n a  m ał ych  m odelach  praktyczn ych  problem ów  technicznych

rzad ko  wystę puje  m oż liwość  zapewn ien ia  peł nego podobień stwa  geometrycznego  i speł nie-
n ia  przez  t o  równ oś ci  (4.1).  N awet  najczę ś ciej  wystę pują ce  w  budown ictwie  profile  walco-
wan e,  dwuteown iki,  ceowniki,  ką town iki  posiadają   wyokrą glenia  i  zbież noś ci  trudn e
d o  zrealizowan ia  w  m ał ym  m odelu.  P o d o bn e  cechy  posiadają   cienkoś cienne profile  gię te,
kszt ał t o wan e  n a  zim n o .  N iekiedy  zaś  spotyka  się   bardzo  skom plikowan e  przekroje,  n p.



OD POWIED N IOŚĆ  MODELOWA  DLA  CIENKOŚ CIENNYCH   PRĘ TÓW  129

zł oż one z kilku  profili  walcowanych.  Wykonanie  mał ych modeli takich  prę tów jest zwykle
w  warunkach  laboratoryjnych  niemoż liwe,  dokł adność  wykonawstwa  musi  pon adto
budzić  wą tpliwoś ci.

Tym  bardziej  rzadko  wystą pi  moż liwość  zapewnienia  równoczesnego  podobień stwa
geometrycznego  i  mechanicznego,  wymagają cych  speł nienia  oprócz  warunków  (4.1)
także  warunku  (4.2)  w  postaci

Ostatni  warunek  jest  wrę cz  niemoż liwy  do  speł nienia w  modelach  mał ych przy  obecnie
stosowanych  materiał ach  konstrukcyjnych.

Przedstawione  trudnoś ci  skł aniają   przy  wymiarowaniu  mał ych  modeli  do  rezygnacji
z peł nego podobień stwa  geometrycznego  i mechanicznego modelu i obiektu oraz  powodują
konieczność  uję cia  zagadnienia  odpowiednioś ci  modelowej  w  oparciu  o  inne  zasady.

4.2. Idea przekroju  zastę pczego.  Moż liwe  jest  ukształ towanie przekroju  modelu  z pomi-
nię ciem peł nego podobień stwa  geometrycznego  i  mechanicznego  [1], [2], [3], [4]. W przed-
stawionej  pracy  zakł ada  się ,  że  badany  cienkoś cienny  ukł ad  prę towy  skł ada  się   z jedno-
wymiarowych  elementów,  bę dą cych  osiami  ś cinania prę tów.  Kształ t i wymiary  przekroju
prę tów reprezentują  jego geometryczne i  wycinkowe  charakterystyki:  A,  k

z
,k

y
,  I

y
,  L , I„,

I
t0
.  Warunki podobień stwa geometrycznego  obejmują   zatem tylko osiowy zarys  konstrukcji.

Podobień stwo  wymienionych  charakterystyk  przekroju  winny  zapewnić  warunki  podo-
bień stwa  kinematycznego  i  dynamicznego,  a  wię c podobień stwa  przesunię ć,  ką tów  obro-
tu,  deplanacji,  sił , momentów  sił  pracy  i  energii.  D la  cienkoś ciennego  ukł adu  prę towego
obcią ż onego  statycznie,  w  którym  pomiarom  podlegają   wył ą cznie  przemieszczenia  i  to
ukł adu  już  odkształ conego  pod  cię ż arem  wł asnym,  konieczne  i  wystarczają ce  warunki
podobień stwa  modelu  i  obiektu  przedstawia  ukł ad  równań  (3.2).  D alsze  rozważ ania
dotyczą   bisymetrycznego  przekroju  otwartego, w  którym  ś rodek  masy  przekroju  pokrywa
się   ze  ś rodkiem  ś cinania.

Wskutek  takiego  uję cia  zagadnienia  odpowiednioś ci  modelowej  nie zachodzi koniecz-
ność  wiernego  modelowania  zł oż onego  kształ tu  poprzecznego  przekroju  obiektu.  Prze-
kroje  prę tów  modelu  mogą   być  ukształ towane dowolnie,  zgodnie  z  praktycznymi  moż li-
woś ciami  i  poziomem  wykonawstwa  laboratoryjnego.  D owolność  kształ tu  przekroju
zastę pczego jest jednak  ograniczona w  tym  sensie, że musi to być przekrój  cienkoś cienny,
gdyż  zwią zki  matematyczne  bę dą ce  podstawą   niniejszej  pracy  opisują   zjawiska  zacho-
dzą ce  w  prę tach  cienkoś ciennych.  Dalszą   zaletą   proponowanego  sposobu  jest  moż liwość
wyrównania  bł ę du  wynikają cego  z  niespeł nienia  warunku  podobień stwa  mechanicz-
nego  (4.2).

Podane  zał oż enia  stanowią   podstawę   sposobu  przekrojów zastę pczych  wymiarowania
modeli.  Przed przystą pieniem  do  wymiarowania  przyjmuje  się   podział kę  dł ugoś ci prę tów
n, kształ t przekroju  poprzecznego  oraz materiał  konstrukcyjny,  z  którego  model  m a  być
wykonany.  Podział kę  n przyjmuje  się  w  zależ noś ci  od ż ą danego  gabarytu  modelu. Kształ t
przekroju  zastę pczego  winien  speł niać postulat  «prostoty»,  polegają cy  n a  wprowadzeniu
moż liwie  najmniejszej  liczby  elementów  skł adowych  przekroju  zastę pczego.  P ostulat
prostoty  uł atwia  wykonawstwo  modelu,  umoż liwia  uzyskanie  niezbę dnej  dokł adnoś ci

9  Mechanika  teoretyczna



130  M.  JOKIEL

i  ż ą danej  tolerancji  oraz —  w  przypadku  przeprowadzania  badań  metodą  przemieszczeń
wymuszonych  [3] —  stosowanie  uniwersalnych  deformatorów.

W  dalszym  cią gu  należy  okreś lić  funkcje  A
m
,k

zm
,k

ym
,I

ym
,L

m
,  / „,„,/ „,„   zależ ne  od

parametrów  przyję tego  przekroju  zastę pczego.  Przy  wyznaczaniu  funkcji  I
ym

  i  /.,„   dla
przekroju  cienkoś ciennego  jest  dopuszczalne  pominię cie, jako  mał ych  wyż szego  rzę du —

skł adn ików- pr-,  w  których  b  jest  szerokoś cią,  a  d  gruboś cią  elementów  skł adowych.

M oment  bezwł adnoś ci  /„,„   dla  przekrojów  zł oż onych  z  wą skich  prostoką tów  należy
obliczać z  wzoru

Z  ukł adu  równań  (3.2)  podlegają  wyznaczeniu  parametry  wybranego  zastę pczego
przekroju  modelu,  których  funkcjami  są  podział ki  a,i

y
,i

z
,i

v
,i

(O
  oraz  wskaź niki  prze-

kroju  k
zm

  i  k
ym

.  W  ogólnym  przypadku  obcią ż enia  prę ta  i  równoczesnym  wystą pieniu
w  dowolnym  przekroju  wszystkich  uogólnionych  sił  wewnę trznych,  podanych  na  rys.  1,
moż liwe  jest  wyznaczenie  co  najwyż ej  sześ ciu  parametrów  przekroju,  które  winny  speł -
niać  siedem  funkcji.  Zadanie to  może nie mieć rozwią zania  lub  też uzyskane  rozwią zanie
może  nie  mieć  praktycznego  zastosowania.

Co  wię cej  dwie  z  nich,  zwią zane  z  wpł ywem  wewnę trznych  sił  poprzecznych, moż na
sprowadzić  do postaci

(4 3)  fc*o  _  fcyo  __  _£.
lr  fr  p

wykluczają cej  w  ogólnym  przypadku  obcią ż enia  prę ta  i  wprowadzeniu  przekroju  zastę p-
czego  moż liwość  ś cisł ego  modelowania  wpł ywu  sił  poprzecznych.

Wpł yw  sił  poprzecznych jest jednak  bardzo  mał y  w porównaniu z  wpł ywami  pozosta-
ł ych  sił   wewnę trznych.  W  rachunkowej  analizie  cienkoś ciennych  ukł adów  prę towych
wpł yw  ten  jest  z  reguł y  pomijany.  Zagadnienie  modelowania  wpł ywu  sił   poprzecznych
w  ukł adach  prę towych  o  przekroju  zwartym  rozważ ał   obszernie  DĄ BROWSKI  [1]  i  Ko-
LEN D OWICZ  [4].  Wnioski  ich  prac  pozostają  sł uszne  także  dla  prę tów  cienkoś ciennych,
gdyż  i  w  tym  przypadku  odkształ cenia  zwią zane  ze  zginaniem  podlegają  prawu  pł askich
przekrojów.  Pominię cie  wpł ywu  sił   poprzecznych  powoduje  redukcję  liczby  warunków
podobień stwa  modelu  i  obiektu  i  umoż liwia  wymiarowanie  przekroju  modelu  w  oparciu
o  ukł ad  równań

(4. 4)
ea  ei

y
  ei

z
  gi

v
  ei

a
  '

Ograniczenie  liczby  parametrów  przekroju  do  czterech zezwala  n a przyję cie  nieskom-
plikowanego  przekroju  zastę pczego  skł adają cego  się  z  trzech  elementów.  F akt  ten  ma
praktyczne  znaczenie  w  technologii  budowy  modeli.

G dy  ukł ad  prę towy  jest  obcią ż ony  zewnę trznymi  sił ami skupionymi  lub momentami
dział ają cymi  mimoosiowo  wzglę dem  osi  ś cinania  prę ta,  należy  warunkiem  podobień stwa
geometrycznego  objąć  także  współ rzę dne  punktów  zaczepienia  tych  uogólnionych  sił



OD POWIED N IOŚĆ  MODELOWA  DLA  CIENKOŚ CIENNYCH   PRĘ TÓW 131

skupion ych.  Realizacja  tego  post u lat u  nie  n astrę cza  t ru dn oś ci  w  p rzyp ad ku  obcią ż en ia
prę ta  zewnę trznymi  sił am i poprzeczn ym i. Wystarczy  gdy  ram ię   r  uogóln ion ej  sił y  zewn ę trz-
nej  speł ni  warun ek

(4.5)  r
o
  =  nr,„.

Inaczej  jest  gdy  obiekt  jest  obcią ż ony  zewnę trzną   sił ą   podł uż ną   P
x0
  dział ają cą   w  odle-

gł oś ci  r
0
  od  osi  ś cin an ia  p rę ta —  n a  p u n kt  o  współ rzę dn ej  wycinkowej  m

0
  #   0  (rys.  2a) .

P owoduje  on a  ś ciskan ie  (lub  rozcią ganie)  prę ta,  zgin an ie  m o m en t em  M o  =   PxO''o  o r a z
skrę canie  bim om en tem  B

o
  =   P

xO
co

o
  (rys-   2b).  W  tym  przypadku  oprócz  wa r u n ku  (4.5)

należy  także  speł nić warun ek  podobień stwa  współ rzę dn ych  wycinkowych  w  post aci

(4.6)  co
Q
 =   n2m

m
,

czyli  w  m odelu  przył oż yć  sił ę   P
xm

  w  pun kcie  o  współ rzę dn ych  r„, i  o>
m
,  speł n iają cych  wy-

m ienione  dwa  waru n ki.

a

Rys.  2.

4.3. Bisymetryczny  dwuteowy  przekrój zastę pczy.  P o st u lat  «prostoty»  speł n ia  w  o pt ym aln y
sposób  bisymetryczny  dwuteowy  przekrój  zastę pczy  przedstawion y  n a  rys.  3.  Wskaź n iki
przekroju  zależ ne  od  jego  p aram et ró w  są   n astę pują ce

(4 . 7 )

6h
3
  d

l
bH

2

"1  "

Iam  = TA
U kł ad  równ ań  (3.2),  przy  pom in ię ciu  wpł ywu  sił   poprzeczn ych  (4.4),  przyjimije  p o -

stać

, .  o .  1  I h  6  ,  . H2
6  h  h

2

5j  6  ff2

M 2

+ 6  =

b
2
  *-   ~

24/ m O g  3/ B 0
- 2),

9*



132 M .  JOKIEL

skąd  podlegają  wyzn aczen iu  n iezn an e param etry  przekroju  zastę pczego.  P o  wprowadzen iu
bezwym iarowych  p aram et ró w  m  =   H/ b,  t=  d/ d

1}
q  =  d^ / b  i  przyję ciu  dla  przekroju

cien koś cien n ego  w  pierwszym  przybliż en iu  H  =  h  ukł ad  równ ań  (4.8)  przyjmuje  postać

(4.9)  - i" (°"+ 2) =
 T
f

r
~H

2
(tm+6)  =  - £~b2  -

Ł 2I J2  _  Ł   »

skąd

H
2  /   / l u 0

- TT]/  To"'

Rys.  3.

Wyn ika  stą d,  że  w  n ajbardziej  ogóln ym  przypadku  obcią ż enia  obiektu  istnieje  roz-
wią zan ie  rzeczywiste,  gdy  wskaź n iki  przekroju  obiektu  speł niają  n ierówn ość

(4.10)
A

n
lo- "o

• 'yO- 'zO
< 3.

5. Podobień stwo  wę zł ów  modelu  i  obiektu  rzeczywistego

Z agad n ien ie  po d o bień st wa  wę zł ów  obiekt u  i m odelu ja ko  oddzieln y  problem  wystę puje
w  p r zyp a d ku  m o d elo wan ia  cienkoś ciennych  przekrojów  p r ę ta  w  oparciu  o  warun ki  (3.2),
przy  p o m in ię ciu  wa r u n kó w  podobień st wa  cech  geom etrycznych  i  sprę ż ystych  modelu
i  o biekt u .  Z akł ó c en ia  st an u  n aprę ż en ia  i  stan u  odkształ cen ia  spowodowan e  w  wę ź le



OD POWIH D N IOŚĆ  MODELOWA  DLA  CIENKOŚ CIENNYCH   PRĘ TÓW 133

uogóln ion ym i  sił ami  wewn ę trzn ymi  N ,  Q
y
,  Q

z
,  M

y
,  M

z
,  i  M

v
  obejmują   w  m yśl ^"zasady

Saint  Ven an ta  o  lokaln oś ci  skutków  lokaln ych  przyczyn ,  wył ą cznie  wę zeł   i  n iewielkie
obszary  zbiegają cych  się   w  n im  prę tów,  nie  mają   n at om iast  wpł ywu  n a  p r a c ę   p r ę t ów
i  kon strukcji  z  nich wykon an ych .  M ogą   wię c nie być  bran e  pod  uwagę   przy  wym iaro wan iu
m odelu.

Inaczej jest  w  przypadku  dział an ia n a  wę zeł  cienkoś cienny  bim om en t ów,  powodują cych
jego  deplanację .  Bim om en t jest  bowiem  sam ozrówn oważ on ym  ukł adem n aprę ż eń,  kt ó rego
wielkość  w  duż ym  stopn iu  zależy  od  cech  geom etrycznych  i  sprę ż ystych  ciał a.  W  wę ź le
ulega  on  czę ś ciowemu  stł um ien iu,  zasada  Saint  Ven an t a  przyjmuje  dla  wpł ywów  bim o -
m en tu  in n y  iloś ciowy  i  jakoś ciowy  ch arakter.  Efekt  brzegowy  przedstawion y  zrówn o-
waż onym  bim om en tem  zan ika  powoli  i  przen ika  daleko  w  gł ą b  prę t a.  Z agad n ien ie  p o -
dobień stwa  wę zł ów  m a  w  t akim  razie  istotn y  udział   w  form uł owan iu  wa r u n kó w  p o d o -
bień stwa  obiektu  i  m o delu .

W  praktyce  ukształ towan ie  wę zła m oże  być  bard zo  ró ż n o ro d n e, w  zależ n oś ci  od  liczby
i  rodzaju  prę tów  ł ą czonych  w  dan ym  wę ź le  oraz  od  ich  wzajemnego  usytuowan ia.  C zę sto
stosuje  się   róż nego  rodzaju  blach y  wę zł owe,  ż ebra  usztywniają ce,  przewią zki  i  n akł ad ki
w  róż ny  sposób  w  wę ź le  rozm ieszczon e.  N iekiedy  także  n ie  są   speł n ion e wym ogi  statyczn e
stawiane  wę zł om  w  m echan ice  budowli  ukł adów  cien koś cien n ych.  Osie  ś cin an ia  prę t ów

R ys.  4.

zbiegają cych  się   w  dan ym  wę ź le  n a  przykł ad  nie  przecinają   się   w  jedn ym  pu n kcie,  także
osie cię ż koś ci  prę tów  mogą   n ie przech odzić przez jeden  p u n kt .  P rzykł adem takiej  ko n st ru k-
cji  jest  stalowy  ruszt  m ostowy,  w  którym  podł uż n ice  i  poprzeczn ice  wyko n an e  z  profili
o  róż nej  wysokoś ci  um ieszczon e  są   w  ten  sposób,  że  górn e  st o p ki  dź wigarów  znajdują
się   w  jednej  pł aszczyź nie,  n at o m iast  osie  ś cin an ia  i  osie  cię ż koś ci  w  pł aszczyzn ach  ró wn o -
legł ych  tak,  że  n ie  przecinają   się   w  wę zł ach.

Zazwyczaj  jed n ak  wę zły  obiektu  speł niają   pewn e  wym ogi  kon strukcyjn e,  um oż liwia-
ją ce  sformuł owanie  waru n ków  brzegowych  [7]. W  ram ach  przestrzen n ych  z  p r ę t ów  cien ko-
ś ciennych  o  otwartych ,  sym etrycznych  profilach  dą ży  się   d o  un iem oż liwien ia  paczen ia
się   wę zł ów.  W  tym  celu  stosuje  się   odpowiedn ie  usztywnienie  przekroju  p rzy  uż yciu  ż eber
(rys.  4). Waru n ek  ten  m oże  być  t akże  w  m odelu  z  ł atwoś cią   speł n ion y.

D la  wę zł ów  pł askich ,  w  których  zbiegają   się   prę ty  cien koś cien ne  o  p rzekro ju  zbliż o-
nym  do  dwuteowego  lub  ceowego,  poł ą czone  wzajem nie  p ó ł kam i,  przyjmuje  się   w  m e-
chanice  cienkoś ciennych  u kł ad ó w  prę towych  zał oż en ie  jedn akowej  deplan acji  ko ń ców
wszystkich  prę tów  w  tym  wę ź le.  Z ał oż en ie t o  realizuje  się   przez  um ieszczen ie  w  pł aszczy-
znach  górnych  i  dolnych  pół ek  s z t y w n y c h  n akł adek,  przekazują cych  o b r ó t  każ dej



134 M .  JOKIEL

pół ki  na  pół ki  pozostał ych  prę tów  (rys.  5).  Wę zeł   stanowią   wówczas  dwie  sztywne  na-
kł adki, które przy  deplanacji  wę zła ulegają   w swych pł aszczyznach obrotom w kierunkach
wzajemnie  przeciwnych.  Ś rodkiem  wę zła  jest  punkt  przecię cia  się   osi  ś cinania  prę tów.
Przypadek  ten może być  ł atwo zrealizowany  na modelu przez  wbudowanie  analogicznych
nakł adek  wę zł owych.

Rys.  5.

W  wę ź le  s p r ę ż y s t ym  czę ść  bimomentu  jest  przejmowana  przez  wę zeł.  Może
on być  traktowany jako  krótki prę t  o dł ugoś ci H  (rys.  6a) skrę cany  momentami M  =  BjH
przył oż onymi  do  blach  wę zł owych.  Uważ ając  za  RUTECKIM  [7]  ten  przypadek  za  przy-
padek  czystego  skrę cania  ką t  skrę cenia  blach  wę złowych  może  być  obliczony  z  wzoru

(5.1)
MII
GL '

w  którym  wystę pują cy  moment  bezwł adnoś ci  czystego  skrę cania  może  być  obliczony

z  wzorów:

(5.2)

—  gdy  przekrój  wę zła  skł ada się   z  wą skich  i dł ugich prostoką tów  (rys.  6b);

1 . ,(5.3)

—  gdy  ś cianki  i przepony prę tów  schodzą cych się  w wę ź le przedstawiają   kontur zamknię ty
(rys.  6c);

(5.4)  =̂ -̂ 4i>
—  gdy  ś cianki  i  przepony  schodzą cych  się   w wę ź le prę tów  przedstawiają   zamknię ty  profil
z  wystę pami  (rys.  6d).  W  powyż szych  wzorach  oznaczają :  s  szerokość  (w  zarysie  blach
wę zł owych),  6  i  Ó

t
  gruboś ci  oddzielnych  przekrojów  odpowiednio  konturu  otwartego

i  zamknię tego;  Q  — podwójne  pole  konturu  zamknię tego;  s
l
  —  sd

1
/ d.



OD POWIED N IOŚĆ  MODELOWA  DLA  CIENKOŚ CIENNYCH   PRĘ TÓW

Skalę   ką tów  obrotu  przekrojów  obiektu  i  modelu  okreś la  zależ ność  (3.1)

135

n  gi
v
  '

Stosunek  ką tów  skrę cenia  wę zła  obiektu  i  modelu  zgodnie  z  (5.1)  i  przyję tymi  oznacze-
niami wynosi

ffo  Mo  HQ  Gm  4 , »  __  fn  Ho
<Pm  M

m
  H

m
  G

o
  I

vow
  g'v  w  H

m
  '

Indeksem  w  oznaczono  momenty  bezwł adnoś ci  przekroju  wę zł a.

a

T T  [1

JUi4
I 1  li! l

Rys.  6.

Podzialki  ką tów  skrę cenia  wę zł ów  i  prę tów  winny  być  identyczne, zatem

fn
2
  fn  H

o

oraz

(5.5)

ł v\ V  • "»!

H
o
  .

nH,„

Zależ ność  (5.5)  okreś la  warunek  podobień stwa  pł askich  wę zł ów  sprę ż ystych.



136 M .  JOKIEL

6. Przykł ady

6.1.  Przykł ad 1. P rzekrój  prę ta  obiektu,  zł oż ony z profili  walcowan ych,  p o d an o  n a  rys. 7a.
O biekt  jest  wykon an y  ze  stali,  dla  której  współ czynnik  zwę ż enia  poprzeczn ego  wynosi  0,3.
P rzekró j  p o sia d a  n astę pują cą   geometryczną   i wycinkową   ch arakterystykę :  A

Q
  =   103,5  c m 2 ;

J
l0
  B  4271  c m 4 ;  I

y0
  =   22456  c m 4 ;  I

v0
  =  86  c m 4 ;  I

a0
  =   1318600  c m 6 .

os
130

0,174

os

L C20

2,977

Rys.  7.

M o d el  m a  być  sporzą dzony  w  skali  1:10  z  celuloidu  o  współ czynniku  zwę ż enia  po-
przeczn ego  v

m
  =   0,42.  Z at em

e  '  l+v
Q
  1,30"

1,0923.

D la  m o d elu  przyję to  bisymetryczny  dwuteowy  przekrój  zastę pczy,  podan y  n a  rys.  3.
P o n ieważ

Aol.0  103,5  • 1318600
/ y 0 / l 0  ~  22456  •   4271  '  '

t o  przyję cie  wybran ego  przekroju  zastę pczego  jest  m oż liwe.  Jego  wymiary  obliczono
z  wzo ró w  (4.9)

H- - L
10

318  600
4271

==  3,51  cm ,

22456  103,5  •   1318600 \   1  =   ,   1 ? Q
~~2  ^  6^4271  I  4271  '  '

b  =   '- YTJ§- =  2 > 9 7 7  c m '
2  •   22  456

4271  •   1,1793  1,179
=  2,44,

=   °'0 2 3 9 5 '
d

1
  =   0,02395  •   2,977  =   0,0713 cm,

d =   2,44  •   0,0713  =   0,174  cm .
Z a p r o jekt o wa n y  przekrój  zastę pczy  m odelu  p o d an o  n a rys.  7b.



OD POWIED N IOŚĆ  MODELOWA  DLA  CIENKOŚ CIENNYCH   PRĘ TÓW 137

6.2. Przykład 2.  Obiekt  jest  n itowan ą   belką   blaszaną   o  przekroju  p o d a n ym n a  rys.  8a.
Wymiary  w  mm  elementów  przekroju  są   n astę pują ce:  ś ro d n ik  9 0 0 x1 0 ;  p asy  3 0 0 x 1 0 ;
ką town iki  równ oram ien n e  100x  100X  10(vo  =   0,3).  D la  przekroju  o biekt u  o blic zo n o :
A

o
  =   229,8  c m 2 ;  T

y0
  =   322 271  c m 4 ;  I.

o
  =   6  125  c m 4 ;  J „ o  =   910  c m

4 ;  l
m0

  =   12  410  000

cm"

r

os os

30'

Rys.  8.

M odel  należy  sporzą dzić  z  celuloidu  ( v0  =   0,42)  w  skali  1 : 20.  P rzyję to  bisym etryczn y
dwuteowy  przekrój  zastę pczy  (rys.  3), sprawdzon o  waru n ek  (4.10)

2298  •   12410000  _  ,
  A

^
322271  •   6125  ~  '

oraz za  pom ocą   wzorów  (4.9)  obliczon o  wymiary  przekroju  zastę pczego

H 20  y
12 410  000

~6l25
=   4,5 c m ,

m  =
322 271  226,8- 12  410 000

6- 6125
\   1  ,
/  6125

3,27,

* =  4Ł   =  1,377 cm,

f —s

1 —

3,27

2  •   322  271
6125- 3, 273  3,27

^r^,  1,1  '5,

910  •   1,0923
=   0,1053,

•   6125  •   (1, 1753  •   3, 27+ 2)

Ó  =   0,1053  •   1,377  =   0,145  cm ,

<5X =   1,175  •   0,145  =   0,1704 c m .

Z aprojektowan y  przekrój  zastę pczy  przedstawion o  n a rys.  8b.



138  M .  JOKIEL

Literatura  cytowana  >v tekś cie

1.  O.  D Ą BR OWSKI,  Odpowiednioś i modelowa  dla  rant przestrzennych, Referaty  I  Sesji N aukowej Wydział u
Budownictwa  Lą dowego  Politechniki  Wrocł awskiej,  Wrocł aw  1958.

2.  M .  JAN U SZ ,  T eoria  badań modelowych ustrojów statycznie niewyziiaczalnych, P race Wrocł awskiego  To-
warzystwa  N aukowego,  Seria  B,  nr  43,  Wrocł aw  1952.

3.  M .  JOKI EL,  Statyka  modelowa cienkoś ciennych  ukł adów prę towych  (praca  doktorska),  Wrocł aw  1965.
4.  T.  KoLENDOWtcz, Statyka  modelowa ukł adów prę towych  przestrzennych,  Prace  Wrocł awskiego  Towa-

rzystwa  N aukowego, Seria  B, n r  115, Wrocł aw  1964.
5.  H .  B.  YP BAH ,  T eopun  pacnema cmepoicueoux  moHKOCtneuHUX  KoncmpyKą uu,  TpaHCH<ejiflopn3flaT,  M o-

cKBa  1 9 5 5 .
6.  B .  3 .  B J I AC O B ,  T oHKOcmenHue  ynpyzue  cmepoicmi,  <t>H3MaTrn3j 1959.
7.  J.  R U T E C K I ,  W ytrzymał oś ć  konstrukcji  cienkoś ciennych, P WN ,  Warszawa  1957.

P  e  3  IO  m e

KPH TEPH H   nOJJOEIIH   TOHKOCTEHHLIX  CTEPrKHEfł   EHCHMMETPHi- IECKOrO
OTKPbITOrO  CE^EH H H

B  pa6oTe flaioTCH  y o i o B M   n o flo 6n a  H JIJI  n p o c T o ro  npn3M aTiwecKoro  TOHKocTeHHoro cTep>i<HH  n p o -
ii3Bo.ibH oro  OTKpwToro  c&nenan,  H  n pin - m n n bi  n oflSopa  pa3M epoB  jxnn  He6ojii>LUMx  MOflejieił   n o c r p o e -
H bix  H3 TaKoro  pofla  CTep>KiieH.  r i p e ^ n o ji a r a e i c n ,  ^ITO lOHKOCTeHHbie  cTep>i<HH   noflBepnceiiLi  necBO-
6oAHOAiy  K p y^ e im io  u  I T O  H X  ce^ieH ua flenJiauM pyiOTCH . ym rrbiBaeTC H   BJI H H H H C  SH OMOMBH TOB  I I  H 3rn -

KpH TepH H   n o s o S n a  BWBO H H T C H   n a noflo6H jr  a n e p r n ii  yp yr o ił   aedpopMai(H n  [ypaBHeHHH  ( 2. 3) 3  ( 4. 2) ] .
B  rJiaBe  4  npe^jio>i- ceH   iweTOfl  ceieH ntt- 3aM eH H TejieH   He o6jiaflaiomH x  reoMeTpuqecKH M  nofloóneM   n o  OT-
H onieH H io  ce^eH H H M  o6i.eKTa.  Yn p yr n e  xapaKrepacTH KH   MOflenn  H  oSteKTa  MoryT  Taion e  pa3m raaT ca
fljia  Tex  cjiyqaeB,  Kor/ ja  BJI H H H H C n on epeqH Lix  C H JI He  y^H TŁiBaercjr.  B o n p o c  nofloBHH   J '3J I O B  paccmoTpeH
B  raaBe  5.  npefljio> i< eH H bni  meTOfl  H JuiiocTpiipyeTcn  c  noM ombio  WI C JI O BLI X  npH M opoB (rji 6) .

S u m m a r y

M O D E L  C O R R E SP O N D E N C E  C R I TER I A F O R  TH IN - WALLED  R OD S O F   OF  BI- SYM M ETRIC
OP EN  CROSS- SECTION

I n  the paper  th e  conditions of  model  correspondence for  a  straight  prismatic thin- walled  bar  of  arbi-
trary  open  cross- section  are  given,  as  well  as  th e  rules  of  des igningthe smallscale models for  systems  con-
sisting  of  such  bars.  The thin- walled bars  are subject  to constrained torsion, their cross- sections  undergoing
deplan ation .  Th e  influence  of  bimoments and  torsionflexure  couples  (F ig.  1) is  taken in to consideration.

T h e  m o d e! correspondence criterion is derived from  the similarity  of  the  elastic strain energy  expressions,
Eqs.  (2.3), (4.2). Tn Sec. 4 th e method of  «reduced cross- sections»,  geometrically  different  from  the original,
is  proposed.  Elastic characteristics of  the object  and the model can also  be  different  provided the influence
of  transversal  forces  is  neglected.  The  problem  of  similarity  of  join ts  is  discussed  in  Sec.  5.  N umerical
examples  (Sec. 6)  illustrate  th e  method proposed  in th e paper.

IN STYTUT  G EOTECHN IKr
POLITECH N IKI  WROCŁAWSKIEJ

Praca został a  zł oż ona w  Redakcji  dnia 13 maja  1970 r.