Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z2.pdf




232  W.  BOG U SZ

Z akł adam y,  że  ukł ad  (2.1) posiada  rozwią zanie  zerowe  niestateczne  dla  cp  — 0 lub  sta-
teczne,  ale  nie  asymptotycznie  stateczne.

Z agadnienie  stabilizacji  ukł adu  (2.1)  polega  n a  wyznaczaniu  funkcji  cp takiej,  aby  roz-
wią zanie  zerowe  był o  asymptotycznie  stateczne i dany  funkcjonał  /

00

(2.2)  /  =  /   L (t, q
x
,q

z
,  g,,;^ ,...,  q

n
)dt

o

przyjmował   wzdł uż  rozwią zań  ukł adu  (2.1) wartość minimum.

Ograniczają c  się  do  lokalnej  asymptotycznej  statecznoś ci  moż na powyż sze  zagadnienie
rozwią zać,  rozważ ając  równania  w perturbacjach  i linearyzują c  funkcję   cp.

Rozwią ż emy  powyż sze zagadnienie  wykorzystują c  równanie H am iltona- Jacobiego1'.

3.  M etoda  stabilizacji

P odam y  metodę   doboru  sił   stabilizują cych  w oparciu  o równanie H amiltona- Jacobie-
go.  Weź my  pod  uwagę   funkcję   L (t,  xl,x')  okreś loną   w  pewnym  obszarze  G  <=   i?2n + i>
posiadają cą   cią głe  pochodne czą stkowe  rzę du drugiego  wzglę dem  wszystkich  argumentów.
F unkcję   L (t,  x\  x') nazywamy  lagrangianem.  F unkcję   H{t,x\ pi)  odpowiadają cą   funkcji
L   wedł ug  równ an ia:

(3.1)  H(t,  x\  p
;
)  -   - L {t, x\

nazywamy  ham ilton ian em .
W  funkcji  (3.1)^,-  są  okreś lone  wzorami

Z akł adam y,  że  równania  (3.2) dadzą   się   rozwią zać  wzglę dem  i '

(3.3)  xi=0
i
(t,x

i
,p

i
).

P o  podstawieniu  (3.3)  do  (3.1)  otrzymamy  funkcję   if zmiennych  (t,  xł ,pi)
Weź my  pod uwagę   rodzinę   trajektorii  w  przestrzeni  i? B + i,  przechodzą cych  przez

dwa  bliskie  punkty  P i ( / , ^ ' ) ,  P
2
{t+At,  x'+Ax').  Wzdł uż  tych  trajektorii  moż emy zde-

finiować  lagrangian  L  i utworzyć  funkcjonał :

Pi

(3.4)  / =  J L(t,xl,xl)dt.
Pi

N iech w przestrzeni  i ? n + 1  bę dzie  dan a rodzina powierzchni  klasy C
2

(3.5)  S( / , x' ) = c,

taka,  że  pokrywa  pewien  obszar  G
o
  <=  i ? n + 1  i przez każ dy  pun kt obszaru  przechodzi tylko

jed n a powierzchnia.  N a trajektorie  przechodzą ce przez pun kty  P j , P 2  leż ą ce w obszarze Go

11 W  dalszej  pracy  przyjmujemy  nastę pują cą   umowę . Wielkoś ci  wektorowe  oznaczamy wskaź nikiem
u  góry  n p . *', zaś wielkoś ci  skalaiowe  wskaź nikiem  u doł u  n p. a j.  Wskaź nik u góry i u doł u  oznacza  su-
m owanie  n p . a i x', i =  1, 2 , . . . , n lub  a- ,j xl  sumowanie po j  — 1, 2  rt,  ay x'  xJ'sum owanie po i i po j .



ZASTOSOWANIE  RÓWNANIA  HAMILTON A- JACOBIEGO  233

narzucimy warunek,  aby  przecinał y powierzchnie  (3.5) i  nie był y do  ż adnej  z nich  styczne
oraz  aby  przy  przejś ciu  od  punktu  P t  leż ą cego  na jednej  powierzchni  do  pun ktu  P2  le-
ż ą cego na drugiej, przyrost  funkcjonał u  (3.4) byl  minimum.  Warunkiem  koniecznym i  wy-
starczają cym,  aby  ten warunek  był  speł niony jest, aby  funkcja  S{t,  xl)  był a  rozwią zaniem
równania

d,
(3- 6)  - g

oraz

dS
(3.7)  - W "*1'

gdzie  H  jest  hamiltonianem  odpowiadają cym  lagrangianowi  zdefiniowanemu  wzdł uż
trajektorii  przechodzą cych  przez  punkty  P

X
,P

2
.

Wł asnoś ci powierzchni  (3.5)  i  równania  (3.6)  wykorzystamy  do  wyznaczania  sił   stabi-
lizują cych  ruch niestabilny  ukł adu dyskretnego.

Rozważ ymy  zagadnienie przedstawione  w punkcie 2.
Ogólna  metoda  rozwią zania  tego  zagadnienia  jest  nastę pują ca.  Funkcję   pod  cał ką

(2.2)  rozpatrujemy  jako  lagrangian  równania  (2.1).  Warunkiem  koniecznym  minimali-
zacji  funkcjonał u  (2.2) jest, aby  speł nione  był y równania  Eulera- Lagrange'a

d  I 8L \   dL

D la  funkcji  L   wyznaczamy  hamiltonian i  piszemy  równanie  H amiltona- Jacobiego  (3.6).
D o  równania  (3.6)  podstawimy  funkcję   S(t,  x')  takiej  postaci,  aby  trajektorie  przecina-
ją ce  powierzchnie  S(t,  x')  =   c dą ż yły  do  punktu  (0, 0),  gdy  t  dą ży  do  nieskoń czonoś ci.
N a  szukaną   funkcję   q>  otrzymujemy  nastę pują ce  warunki.

Rozwią zania  równań  (3.8)  i  (2.1)  przy  tych  samych  warunkach  począ tkowych  muszą
być  identyczne  oraz  muszą   speł niać  równanie  (3.6)  przy  odpowiednio  dobranej  funkcji
S(t, x').  Speł nienie równania  (3.6)  zapewnia'  asymptotyczną   stateczność  tych  rozwią zań.

Ograniczają c  się   do  lokalnej  statecznoś ci  poł oż enia  równowagi  rozważ ać  bę dziemy
ukł ady,  których  energia  kinetyczna  wyraża  się   wzorem:  E  =   a^ oć k',  a  funkcje  Q

t
  są

w  otoczeniu poł oż enia równowagi  zlinearyzowane  i  nie  zależą   od  czasu.  Równania  (2.2)
w tym przypadku  mają   postać

(3.9)

Macierz  (oy+ fl/ O  jest  okreś lona  dodatnia,  macierz  (kij) jest  znana,  zaś  macierze  (fcy)
i  (ey)  należy  tak  wyznaczyć,  aby  poł oż enie równowagi  był o  asymptotycznie  stateczne.

Funkcję   L (t,  xl, xl)  funkcjonał u  (2.2) przyjmiemy  w  takiej  postaci, aby  speł nione był y
nastę pują ce  warunki:nastę pują ce  warunki:

1) dla  dowolnych  t
1
  \ ^ - l  <  I ^ I

2) In  —j—  —In  - 5—  < ^ , ; A dodatnia stał a.



234 W.  BO G U S Z

Warun ek  1) zapewnia  zanikanie ruchu, zaś  warunek  2) zanikanie energii kinetycznej  w spo-
sób  wykł adniczy.  C hodzi  wię c o stabilizację   ukł adu mechanicznego  bez  oscylacji  energii
kinetycznej.

Z  warun ku  2)  otrzymamy

\ dE\

, = , 2
J p

i  funkcję   L (t,  x\   x')  przyjmujemy  w postaci  L   =   —j-  eM.

D la  ukł adu  (3.9) funkcja  L (t,  x\   x')  ma postać

(3.10)  Uf
t
3

gdzie:  5 y  —kij+by,  zaś  A jest parametrem, który  należy  wyznaczyć.  Sił y  tł umienia  przyj-
mujemy  w postaci  funkcji  dysypacji  energii  Rayleigha;  macierz  (— Cy)  jest  okreś lona
dodatn ia.
P odstawimy  funkcję   (3.10)  do równań  (3.8)

(3 . H) - —  =  e* [B
U
X)+i  (c«+ «,«)»'].

dx
t  - «

R ówn an ia  (3.8)  otrzymamy  w postaci

(3.12)  i  (cy+ C fl)*' -   - X

P orównują c  współ czynniki  równań  (3.12) i (3.9)  otrzymamy:

1  "  J  A

Z  otrzymanych  wzorów  (3.13)  wynika, że  funkcja  dysypacji  energii jest proporcjonalna
do  energii  kinetycznej  ukł adu.

(3.14)  jCtjxW ^ - teijxW .

R ówn an ia  algebraiczne  konieczne  do  wyznaczenia  macierzy  otrzymamy  z  równania
H am ilton a- Jacobiego.

Chcą c  otrzymać  hamiltonian należy  rozwią zać  równania:

Korzystają c  z  (3.11) i  (3.13) moż na  równania  (3.15) napisać w  postaci

(3.16)  ^ ^



ZASTOSOWAN IE  R ÓWN AN IA  H AM I LTON A- JAC OBI E GO  235

F unkcję  S(t, xl),  kt ó r a  m a być rozwią zaniem  ró wn an ia  (3.6)  przyjm ujem y  w  takiej
postaci,  aby  odległ oś ci  p u n kt ó w  n a powierzchn iach  (3.5) od  począ tku  u kł a du  dą ż yły
do  zera,  gdy czas  dą ży  do n ieskoń czon oś ci

(3.17)  S(t,x?)  = y e " A 7 * £ * J ,

gdzie  macierz  ( D y )  przyjmiemy  proporcjon aln ą  do m acierzy  ( j?y) .  P rzy  t a kim  przyję ciu
funkcji  S(t, x') powierzchn ie  (3.5) są okreś lone  równ an iem

(3.18)  Dijx'xJ  =2ce~ M,

gdzie  c jest  dowolną  stał ą.

Z e  wzoru  (3.18)  wynika, że odległ oś ci  p u n kt ó w  n a tych  powierzchn iach  dą żą  d o zera,
gdy  p aram et r  A jest  dodat n i. Z  (3.7) i  (3.17)  otrzym am y

(3- 19)  Pi =  -  ̂ =  T  e\ Di}+Dy)xK

P o  podstawien iu  (3.19)  do (3.16)  otrzym am y  ukł ad  równ ań

(3.20)  faj+aj,)**  =  I  U y 1

Przy  przyję tym  zał oż en iu  odn oś n ie  m acierzy  (fly+ fl/ i)  u kł ad  ró wn ań  (3.20)  m o ż na  roz-
wią zać.  Rozwią zanie  przedstawim y  wzorem

(3.21)  x J ^ { l

H am ilton ian  (3.1)  obliczymy  z  (3.10)  i(3.16)

(3.22)  H(t, x\  p
t
)  = ~

gdzie za x!,  x> należy  podstawić  (3.21).

R ówn an ie  H am ilton a- Jacobiego  (3.6)  przy  podstawien iu  (3.17)  i  (3.22)  n apiszem y  w p o -
staci

(3.23)  Dijx'xJ- ltoijAix'AJiX11  =0.

P rzyrównując  współ czyn n iki  przy  x\   xJ  do  zera  otrzym am y  ukł ad  ró wn ań  algebraiczn ych

(3- 24)  I(Ay+ A- 0-(a*,+a
f
JA?A>j  -   0.

U kł ad  (3.24)  p r z e d st a wia —- —  równ ań  algebraicznych,  w  kt ó rym  wystę puje  2n2 n ie-

wiadom ych  Aj i D
t
j.

D odat kowe  równ an ia  otrzym am y  z  (3.20)  p o  podstawien iu  (3.21) i p o ró wn an iu  współ -
czynników  przy  xl

(3- 25)  Afc j. + flą M - J fo - yC Ą H - A, ).

Jest  t o ukł ad  n2  równ ań .  W ten sposób  z  ukł adów  (3.24)  i  (3.25)  otrzym ujem y  — - —

równ ań  algebraicznych  o n iewiadom ych  A{, D
tJ
, f? y, 1, kt órych  liczba  wyn o si:  ( 3 «

2 + l ) .



23 6 W.  BOG USZ

P onieważ  macierz  (JDy) musi  być  okreś lona  dodatnia  otrzymujemy  dodatkowo  n  warun-
ków  do  wyznaczenia  niewiadomych.  Również  macierz  sprę ż ystoś ci  (~B

;]
)  musi  być

okreś lona  dodatnia  i  razem  z  ukł adami  (3.24)  i  (3.25)  otrzymujemy  —- - —-   warunków

do  wyznaczenia  (3n2 + l)  niewiadomych.  Jeż eli  macierz sprę ż ystoś ci  przyjmiemy  symetrycz-

ną ,  otrzymam y  By  — - 3,,-   i  liczba  niewiadomych  bę dzie  wynosił a  3 n 2 + l  —  =

Oznaczymy  liczbę   niewiadomych  przez  N ,  a  liczbę   warunków  do  wyznaczenia  niewia-
domych  przez  i?.  Z przeprowadzonych  obliczeń  otrzymamy

ft- -  A7  p  5 «
2 + «+ 2  3n2+5n

(3.26)  N - R=*
  1

  —  =  (n- l)-.

Z  (3.26)  wynika,  że  tylko  dla  n  =   1  liczba  niewiadomych  jest  równa  liczbie  warunków,
zaś  dla  n  >  1 liczba  niewiadomych  jest  wię ksza  od  liczby  warunków  i  zależ nie  od  rozwa-
ż anego  ukł adu  m oż na  przyją ć  dodatkowo  pewne  niewiadome  jako  znane.  Celowe  jest
w  tych  przypadkach  przyjmowanie  macierzy  (D

u
)  proporcjonalnej  do  macierzy  (—B

;
J),

gdyż  przy  takim  przyję ciu  powierzchnie  (3.5)  bę dą   styczne  do  powierzchni  ekwipoten-
cjalnych  i  trajektorie  ukł adu  (3.9)  bę dą  je  przecinać i nie bę dą   styczne, czyli  n a powierzch-
n iach  (3.5)  nie  bę dzie  punktów  poś lizgu.

Sposób  postę powania  objaś nimy  na  przykł adzie.  Weź my  pod  uwagę   ukł ad  przedsta-
wiony  n a  rys.  1.  Poł oż enie równowagi  ukł adu jest  stateczne,  ale  nie  asymptotycznie  sta-

m-,

Rys. 1

teczne  i  należy  wyznaczyć  sił y  tł umienia wiskotycznego  tak,  aby  ustabilizować  asympto-
tycznie  ukł ad  przy  minimalizacji  funkcjonał u  (2.2)  z  funkcją   podcał kową   (3.10). Współ -
czynniki  tł um ienia wiskotycznego  oznaczymy  odpowiednio  przez  2h

t
,  2h

Xt2
,  2h

2
.

R ówn an ia  ruchu  mają   postać:

m
t
x  =- (jfc

1
+k

1
,

2
)x+k

li2
y- 2(h

i
+h

1<2
)x+2h

1
,

2
y,

m
2
y  =k

lt2
x- (k

2
+k

U2
)y+2h

U2
x- 2(h

2
+h

li2
)y.

N a  podstawie  (3.13)  otrzymamy

(3.28)

2 A 1 2 = 0 .

Ponieważ  h
12

  = 0 , wię c  do  stabilizacji  ukł adu  wystarczą   dwa  tł umiki dział ają ce  n a  masy
ntj  i  m

2
  i  n ie  potrzeba  tł umika mię dzy  masami  m

1
\ m

2
.  Współ czynnik  X obliczymy  roz-

wią zując  ukł ad  (3.24)  i  (3.25).



Z ASTOSOWAN I E  R Ó WN AN I A  H AM I L T O N A- J AC O BI E GO  237

Przyjmiemy  D
12

  — D
21

.  U kł ad  równ ań  (3.25)  m a  p o st ać

2Xm
2
A\   —  B

2l
—D

ZI
,

(3.29)  T ]  i\   D   n

2Xm
2
A

2
  —B

22
—D

22
.

P o  obliczeniu ^  i podstawien iu  d o  (3.24) lub  do  (3.27)  otrzym am y  ukł ad  r ó wn a ń :

D i i
  _  (Bii- Dn)

2

  [  (B21- D21)
2

2X m
x
  2?t"in

2

(3.30)  £>i2  =   2 1 ^ 2
 2 '

- D- ,2  = »•   2 ^ — :
2 A ^  2A2m 2

Celem uproszczenia zapisu  wprowadzim y  ozn aczen ia:

- S il  _  A  5 1 2  _ A B l 2 —h Dll~r]
£<1 j  7  ~   —  " 1 2  j  — °2 >  ~  —  «i)

"ii  m  rn
(3.31)

U kł ad  równ ań  (3.30)  przy  tych  ozn aczen iach m a p o st a ć :

(3.32)

W  równ an iach  (3.32) wystę pują  cztery  n iewiadom e: d
x
,  d

2
,  d

12
,  A

2
,  jeż eli  przyjm ujem y

bi,  b
2
  i  &i2 j^ k o  ustalon e.  M o ż na  również  sform uł ować  zagadn ien ie  w  t en sposób, że

przyjmujemy  d
1
,d

2
,d

12
,  okreś lają ce  powierzchn ię,  kt órą  rozwią zan ia  mają  przecin ać

bez  poś lizgu  i wyznaczyć  b
1
,b

2
,  b

12
  i  P.

P rzytoczymy  t o k  obliczeń w przypadku,  gdy  n ie  zm ien iam y  sił   sprę ż ystych,  t j. b
lt
  b

2
,

b
12

,  a  dobieram y  tylko  tł um ien ie,  tj. należy  obliczyć  2r.  P rzyjmiemy  jedn ą  n iewiadom ą
d

ll2
  równą  —b

i2
.  P rzy  takim  przyję ciu  z drugiego  równ an ia  (3.32)  otrzym am y

(3.33)  I 1  =d
1
- b

1
+d

2
- b

2
.

Jeż eli  odejmiemy  równ an ia  pierwsze  i  trzecie  (3.32)  otrzym am y

(3.34)  2X2{d
l
~d

2
)  =   [b

2
+b

l
- d

1
- d

2
\ \ b

t
-

P o  podstawien iu  (3.33)  do  (3.34) i uproszczeniu otrzym am y

(3.35)  d
1
- d

2
=- b

2
~b

i
.

Rozwią zując  (3.33) i  (3.35)  obliczymy  d
x
  i d

2

(3.36)  d
x
=b

2
  + - ~P,  J 2 = f e 1 + l



238  W.  BOG U SZ

P o  podstawieniu  (3.36)  do pierwszego  lub  trzeciego  równania  (3.32)  otrzymamy  takie

same  równan ie na X2

(3.37)  ~^ +l2(b
1
+b

2
)~(b

i
- b

2
)

2
- 4b

2

12
  =  0.

Równanie  (3.37)  posiada  dwa pierwiastki,  z  których  jeden  dodatni jest  rozwią zaniem

postawionego  zagadnienia

(3.38)  A2 = , |. [ - ( Z )1 + (

Łatwo  sprawdzić,  że  po  podstawieniu  (3.38)  do  (3.36)  otrzymamy:  d
1
>0,  d

2
  > 0

i  d
i
d

2
—d2

2
  >  0,  co  oznacza,  że  powierzchnia  okreś lona  przez  di,d

2
,  d

12
  jest  formą

kwadratową   jedn orodn ą   dodatnią .
Powracają c  do oznaczeń  (3.36)  otrzymamy na  A wyraż enie:

[V mi
  +  m2

 +  V \ " mx

P o  podstawieniu  (3.39) do  (3.28) otrzymamy  współ czynniki h
1
  i  h

2
.

Jakiego  rodzaju  jest  tł umienie  okreś lone  wzorami  (3.28)  moż na  zbadać  podstawiają c
współ czynniki  tł umienia  do równań  (3.27).  Jeż eli  przyjmiemy  dla przykł adu  m

y
  — m

2
  =

4k  —
=   w,  kx  =k

2
  —ki2  —k  z  (3.38)  otrzymamy:  A2  = - = —( 2 + |/ 7)  i tł umienie  obliczone

wedł ug  wzorów  (3.28) jest  nadkrytyczne.  Ruch  ukł adu jest  bezoscylacyjny.

Literatura  cytowana w tekś cie

1.  M .  C .  PAEPHEJIHAHJ  H . H .  KPACOBCKHJI,  K  sadaue o  cma6uau3aą uu  MexammecKou  cucmeMu,  ripHK.

M a i.  M ex.a  T.  28,  b .  5,  1964.

2.  M . C .  F ABP H E J I H AH ,  O  cma6ujiu3atjuu  ncycmouHueux  deuoicemu  MexammecKux  cucmeM, I I p iiK . M aT .

M ex.,  T.  28,  b .  3,  1964.

3.  H . H .  K P AC O BC K H H ,  O  cma6u/ iu3aifuu  ueycniouHueax  deiiytcemiu  donojmumenbuuMU  cu.iaMU npu  ne-

nojiHoii  o6parmou  CSH3U,  ITpHK.  M a T .  M e x. , T . 27,  b .  4, 1963.

4 .  E . F .  AJ I BBP E XT ,  OS onmuMa.ihuou cma6uAU3atfuu mAUHeuimx  cucmeM,  I lpH K.  M aT . M e x. ,  T . 2 5 , b . 5,
1961.

5 .  E . A.  rAJiŁnEPHH,  H .  H . - K P AC O B C K H H,  O  cmaóujiumziuu  ycmanoeueiuuxcn  bsuotceuuu  Hejiuueunbix

ynpaeaneMbix  cticmeM,  I I p u K .  M a T .  M e x. , T . 2 7 ,  b .  6 , 1963.

6.  J I .  C .  IIOHTPHrHH,  B .  F .  BOJI TH H C K H H ,  P .  B.  rAMKPEJinfl3E,  E .  <ł>.  M H I U E H K O ,  MameMamnHecKan

meopun  omnuMaAbHUX npotfeccoe,  <t>H3MatTH3,  1961.

7.  H .  R U N D ,  T he Hamilton- Jacobi theory in the  calculus of variations,  N ew York  1966.



ZASTOSOWANIE  RÓWNANIA  HAMILTON A- JACOBIEGO  239

P  e 3  10  M e

nPH MEH EH H E  YPABHEHHH   rAMHJIbTOHA- HKOBH   flJLq  CTAEHJIH3AJJ,HH
MEXAHOTECKHX  CH CTEM

B  pa6oTe  flan  weTOfl  cra6iuiH 3aqH H   MexamiwecKHx  CH CTCM.  MeTOfl  OCH OBSH   H a  ncnoju>30BaH H H   yp a B -
FaMHUŁTOHa- JlKoSH   fljia  onpeflejieH H Si  C H JI ,  n pH Jiowem ie  KOTopbix  K  CHereMe  o Sec n eq H Ba ei

cTaSuJibHOCTfe  cocTOH mw  paBHOBecHH.  IIoflG op  STH X  CHU  oSycjiOBJien  MHHHMajiH3a-
3aaaH H oro  cbyH KaH onana.  YC J I O BH H   jHHHHMann3aaHH  n ojiy^eH Ł i  na ypaBHeHHH   Sfln ep a- J I arp aH H c a.

MeTOfl  npHMeHeH  B cjiy^aej  Korfla  ycJioBHeM   onTHMaJin3ai;HH  jranneTCH   npoH 3BOflH aa:  KH H e-
3HeprHH   cucieM Bi.  CnocoG   BbraHCJieHHił   H JiniocTpH poBaH   npH MepoM.

S u m m a r y

APPLICATION   OF  H AM ILTON - JACOBI EQU ATION  F OR STABILIZATION  O F  M E C H AN I C AL

SYSTEMS

The  method  of  stabilization  of  mechanical  systems  is  presented  in  the  paper.  The  m ethod  consists
in  using the H amilton- Jacobi equation  for  the proper selection  of  such  forces  which, when  applied  to  the
system,  ensure  the  asymptotic  stability  of  the equilibrium  position.  This  selection  follows  from  the mini-
malization condition of  the  given functional.  The minimatization conditions are  obtained  from  the E uler-
Lagrange  equations.  The  method  described  is  applied  to  the case  when  the  optimization con dition is  the
derivative  of  the kinetic energy  of  the system.  This procedure is  explained  in  an example.

AKAD EM IA  G Ó R N I C Z O - H U T N I C ZA
KRAKÓW

Praca  został a zł oż ona w Redakcji  dnia 28  lutego 1970 r.  —powtórnie  dnia 25  listopada 1970  r.