Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  9 (1971) Z ALE Ż N O ŚĆ  MAKSYMALN EJ  SIŁY  U D ERZEN IA  OD   WSPÓŁCZYN N IKA  R E STYTU C JI RYSZARD   G R Y B O Ś  (G LIWICE) 1. Wstę p Podczas  zderzenia  dwóch  ciał   stał ych  powstaje  sił a wzajemnego  oddział ywania,  zwana siłą   uderzenia.  Jest  on a  wypadkową   lokalnych  naprę ż eń  normalnych, jakie  powstają   n a powierzchni  styku  ciał .  Obszary  otaczają ce  te  powierzchnie  stają   się   ź ródł em  intensywne fali  naprę ż eń,  która  rozprzestrzenia  się   po  cał ej  obję toś ci  ciał .  G dy  fala  ta  dotrze  do  po- wierzchni  granicznych  ulega  wielokrotnym  odbiciom.  P rocesom  tym  towarzyszy  dysy- pacja  energii  i  «rozmywanie»  czoł a  fali  naprę ż eń. D latego  w teoretycznym  uję ciu  procesu  zderzenia  wyodrę bniamy  odkształ cenia  lokalne, które  powstają   w  obszarze  bliskim  miejsca  styku,  oraz  odkształ cenia  ogólne,  które  są zwią zane  z  drganiami  wł asnymi  ciał   sprę ż ystych. W  klasycznej  teorii  uderzenia nie  operuje  się  zasadniczo  poję ciem  sił y uderzenia,  a jedy- nie jej  impulsem.  Wykorzystują c  zasady  zmiennoś ci  oraz  zachowania  pę du, uzupeł nione dodatkowo  hipotezą   odnoś nie  restytucji  impulsu  w  fazie  odcią ż ania,  moż emy  tą   drogą okreś lić jedynie  prę dkoś ci  ciał   po  zderzeniu  oraz wartość  impulsu  uderzenia. Jednakże  klasyczna  teoria  uderzenia  nie daje  ż adnej  informacji  odnoś nie  sił y  uderzenia. Tymczasem  ta  wł aś nie  wielkość  z  oczywistych  powodów  stanowi  pun kt  wyjś cia  we  wszel- kich  obliczeniach  wytrzymał oś ciowych  elementów,  które  poddane  są   obcią ż eniom  uda- rowym. Wprowadzony  przez  N ewtona do teorii uderzenia współ czynnik  restytucji  R(0  Ś :R  <  1) charakteryzuje  stopień  sprę ż ystoś ci  zderzenia;  gdy  i?  = 0  mówimy,  że  uderzenie  jest  pla- styczne, dla  R  —  1  —  sprę ż yste,  zaś  przy  wartoś ciach  poś rednich wystę puje  uderzenie  sprę - ż ysto- plastyczne  lub  niesprę ż yste.  N ależy  jedn ak  stwierdzić,  iż  są   to  okreś lenia  tylko umowne. Aby  wyjaś nić  tę  kwestię  zauważ ymy,  że zgodnie  z twierdzeniem  C arn ota,  współ czynnik restytucji  jest  miarą   straty  energii  kinetycznej  (AT )  ciał   biorą cych  udział   w  zderzeniu. Mianowicie, jeż eli  dwa  ciał a  o  masach  m^ ,  in 2   zderzają   się   z  prę dkoś cią   wzglę dną   v r   = =  Vi—v 2 ,  to wówczas (1.1)  AT =*T - T '  =  ^ Q.- R2)m T v 2 r , gdzie m.ffl, m   —  . m l +m 2 T ,  T ' — energia  kinetyczna  ciał  przed  i po  zderzeniu. 264  R.  GRYBOŚ Ale  energia  AT   zostaje  zamieniona w  sposób  nieodwracalny  zarówno  na  pracę   lokal- nych  odkształ ceń plastycznych  (L p ), jak  i  w  energię   drgań  sprę ż ystych  (E d ), czyli  energię odkształ ceń  ogólnych. W  zależ noś ci  od  ukształ towania  powierzchni  ciał   w  miejscu  zderzenia, jak  i  w  zależ- noś ci  od  ogólnej  konfiguracji  ciał   (prę t,  belka,  pł yta,  ciał o  kuliste  itd.), wielkoś ci  L p   i  E d mogą   mieć  rozmaity  udział  w  ubytku  energii  AT .  Wiadomo  np., że  przy  zderzeniu  ciał 0  budowie  zwartej  znikomo  mał a  czę ść  energii  zderzenia  zostaje  zwią zana  w  postaci energii  drgań.  W  tym  przypadku  wartość  R  x  0 bę dzie  ś wiadczyć  o  tym,  że  prawie  cał a energia  AT   został a  zamieniona  na  pracę   odkształ ceń  plastycznych,  a  wię c  okreś lenie «uderzenie  plastyczne»  odzwierciedla  tu  faktyczny  stan  rzeczy. N ieco  odmienna  sytuacja  wystę puje  przy  kolinearnym  zderzeniu  dwóch  prę tów  pro- stych.  W  tym  przypadku  stosunek  energii  E d / AT   może  przyjmować  dowolne  wartoś ci z przedział u  (0;  1) i  t o  samo  moż na powiedzieć  o współ czynniku  restytucji.  W  szczegól- noś ci  oznacza  to, iż może  być R  <ś  1 mimo iż ż aden prę t nie doznał  w  ogóle odkształ ceń plastycznych. Współ czynnik  restytucji,  jako  wielkość  wyznaczona  doś wiadczalnie,  ujmuje  ł ą cznie obie wspomniane  straty.  Wyznaczanie  tego współ czynnika nie nastrę cza na ogół  trudnoś ci pomiarowych,  dzię ki  czemu  dysponujemy  dziś  w  tym  zakresie  dość bogatym materiał em doś wiadczalnym.  Jednakże  wspomniany  brak  klasycznej  teorii  uderzenia,  polegają cy  na niemoż noś ci  obliczenia  siły  uderzenia  sprawia,  iż  znajomość  współ czynnika  restytucji nie  zaspokaja  jeszcze  w  peł ni  potrzeb  projektanta  w  przedmiocie  danych  wyjś ciowych, niezbę dnych  do  obliczeń  wytrzymał oś ciowych.  Bezpoś redni  zaś  pomiar  sił y  uderzenia jest  wprawdzie  moż liwy,  jednakże  wią że  się   z koniecznoś cią   uż ycia  specjalnych  czujników 1 skomplikowanej  aparatury  elektronicznej, a poza tym moż liwy  jest  do przeprowadzenia na już  istnieją cym  obiekcie  lub modelu. Z  tych  wzglę dów  niewą tpliwie  celowa  wydaje  się   próba  powią zania  współ czynnika restytucji  z  maksymalną   siłą   uderzenia  P m .  U stalenie takiego  zwią zku  dał oby projektan- tom  wygodne  narzę dzie  do  obliczenia  tak  waż nej  wielkoś ci  wyjś ciowej,' jaką  jest  sił a  P,„. Celem  niniejszej  pracy jest  wyprowadzenie  wzorów  umoż liwiają cych  obliczenie  maksy- malnej  sił y  uderzenia, gdy  znany jest  współ czynnik restytucji  oraz niektóre inne  wielkoś ci dają ce  się   ł atwo zmierzyć, jak  prę dkoś ci  odbicia i  trwał e odkształ cenie lokalne. Wyprowadzimy  także  wzór  n a  dł ugotrwał ość  uderzenia  sprę ż ysto- plastycznego.  Cel ten  osią gniemy  n a drodze elementarnych rozważ ań matematycznych w  oparciu o niektóre wyniki  lokalnej  teorii uderzenia sprę ż ysto- plastycznego  [1, 2]. W  toku  dalszych  rozważ ać  bę dziemy  posł ugiwać  się   m.in.  modelem tzw.  ciał a  quasi- sztywnego.  Jest  to  ciał o,  które pod  dział aniem zewnę trznych  sił   skupionych  doznaje  wy- ł ą cznie  odkształ ceń lokalnych.  Poza tym  okreś lenie  to  nie precyzuje  charakteru  tych  od- kształ ceń,  które  mogą   być  wył ą cznie  sprę ż yste  lub  sprę ż ysto- plastyczne.  Modelem  ciał a quasi- sztywnego  posł ugiwał   się   H ertz proponują c  teorię   zderzenia,  w  której  wykorzystał wyniki  swej  statycznej  teorii  zagadnień  stykowych.  Wiadomo  bowiem,  że  w  quasi- sta- tycznej,  lokalnej  teorii  uderzenia  (zwanej  dalej  krótko  teorią   H ertza) nie  bierze  się   pod uwagę   odkształ ceń  ogólnych  ciał   biorą cych  udział  w  zderzeniu,  a  jedynie  ich  odkształ - cenia  lokalne.  Takie  podejś cie  pozwala  jednak  okreś lić  zarówno  maksymalną   sił ę   (P m), ZALEŻ N OŚĆ  SIŁY  UDERZEN IA  OD   WSPÓŁCZYNNIKA  RESTYTUCJI  265 jak  i  dł ugotrwał ość  (T )  uderzenia  sprę ż ystego.  Rzecz  w  tym, iż  uderzenie  sprę ż yste  jest tylko  wyidealizowanym  przypadkiem,  zaś  każ de  zderzenie  ciał   rzeczywistych  jest  nie- sprę ż yste, w  sensie nierównoś ci R <  1. 2.  Charakterystyka  metody postę powania Przyjmujemy  nastę pują cy  schemat  rozumowania,  które  doprowadzi  do ustawienia zależ noś ci  P m   = / ( # ) . Cał kowita strata  energii  kinetycznej  przy  zderzeniu  dwóch  ciał   rzeczywistych  o  dowol- nej  konfiguracji  zwią zana  jest  z  pojawieniem,  się   odkształ ceń plastycznych  oraz  ze wzbu- dzeniem drgań  sprę ż ystych.  Zatem (2.1)  AT   =  L P +E d . Weź my  najpierw  pod  uwagę   zderzenie  niesprę ż yste  ciał   quasi- sztywnych.  W  tym  wy- idealizowanym  przypadku  cał a  strata  energii  uderzenia  zwią zana  jest  wył ą cznie  z pracą lokalnych  odkształ ceń plastycznych.  Jeż eli  stopień  sprę ż ystoś ci  takiego  zderzenia  scharak- teryzujemy  za  pomocą   współ czynnika  restytucji  R p (0  < R p   <   1),  to  zgodnie  z twierdze- niem Carnota (2.2)  L p Z  kolei weź my  pod uwagę   drugi  przypadek, mianowicie  zderzenie  ciał  H ooke'a. Strata energii  kinetycznej  zwią zana  jest  wówczas  wył ą cznie  ze  wzbudzeniem  drgań  sprę ż ystych. Moż na przeto mówić  tutaj  o niesprę ż ystym  zderzeniu  ciał   idealnie  sprę ż ystych.  Charakte- ryzują c  stopień  sprę ż ystoś ci  takiego  zderzenia  za  pomocą   współ czynnika  R d (0  <  R d   < 1) napiszemy podobnie, jak  poprzednio (2.3)  Ei^ - d- RDmrf, Podstawienie  wzorów  (1.1),  (2.2) i  (2.3)  do równoś ci  (2.1)  daje ską d (2.4)  R*=* Jeż eli potrafimy  współ czynniki restytucji  R p   i R d   powią zać z maksymalną   sił ą  uderzenia, to ze  wzoru  (2.4) znajdziemy  poszukiwany  zwią zek P m   —f(R).  Zagadnienie to  rozwią ż emy w  nastę pnych  paragrafach.  W  tym  celu  musimy  rozpatrzyć  oddzielnie  oba  wspomniane przypadki, tzn. zderzenie ciał   quasi- sztywnych,  a nastę pnie zderzenie  ciał  H ooke'a. Przedtem jednak  celowe  bę dzie  przypomnieć niektóre wyniki teorii H ertza. 3.  Sprę ż yste  zderzenie ciał   quasi- sztywnych U   podstaw  teorii H ertza leży zał oż enie, iż przy  zderzeniu  ciał   quasi- sztywnych  rozkł ad (lecz nie wartoś ć !)  naprę ż eń stykowych jest identyczny, jak  przy  statycznym  nacisku  wza- 266 R.  G RYBOŚ jemnym  ciał .  Konsekwencją   tego  zał oż enia jest  przyję cie  zależ noś ci  pomię dzy  siłą   sty- kową   P(in  i zbliż eniem  a w postaci znanego wzoru (3.1)  Pm  =   k B a 3 ' 2 , który  wyprowadza  się  w oparciu  o zał oż enia statycznej  teorii zagadnień  stykowych.  Stał a k H   zależy  od  geometrii  powierzchni  w otoczeniu punktu  (linii) styku  i od  stał ych  sprę ż y- stoś ci materiał u. a. Rys.  1 Wykresem  funkcji  (3.1) jest  krzywa  Oh na  rys.  1. Pole  Ohn pod  tą  krzywą   obrazuje energię   sprę ż ystoś ci  Ui odkształ ceń lokalnych,  która  równa  się  energii  kinetycznej  stra- conej  w pierwszej  fazie  uderzenia. Wykorzystują c  ten fakt  oblicza  się  maksymalną   sił ę  zderzenia v  3/ 5 (3.2) oraz maksymalne zbliż enie (3.3)  aLH > / 5  m r v 2 r ~ \ 4  k H 2/ 5 W  drugiej  fazie  uderzenia  nastę puje  sprę ż yste  odcią ż enie,  a  wię c  obowią zuje  nadal zależ ność  (3.1), zaś  krzywa  hO jest  zarazem  krzywą   odcią ż enia.  Jak  z tego  wynika  teoria H ertza  opisuje  zderzenie  sprę ż yste  (R =  1)  ciał   quasi- sztywnych,  jako  że  odkształ cenia ogólne są  tu pomijane. 4.  N iesprę ż yste  zderzenie ciał   quasi- sztywnych W  tym  przypadku  strata  energii  uderzenia  zwią zana  jest  wył ą cznie  z  wystą pieniem trwał ych  odkształ ceń lokalnych,  czyli (4.1)  L B  = ZALEŻ N OŚĆ  SIŁY  UDERZENIA  OD  WSPÓŁCZYNNIKA RESTYTUCJI 267 P roces  uderzen ia  m a  nastę pują cy  przebieg.  P oczą tkowo  odkształ cen ia  są   wył ą czn ie sprę ż yste,  a  wię c  zwią zek  pom ię dzy  sił ą   stykową   i  zbliż eniem  m a  p o st ać  (3.1).  W  m iarę jak  sił a  ta  zwię ksza  się ,  wzrasta  wytę ż enie  m ateriał u, aż  przy  wartoś ci  P  =   P p   osią ga  o n o wartość  graniczną .  G dy  P  >  P p ,  zaczynają   się   rozwijać  lokaln e  odkształ cen ia  plastyczn e. D oś wiadczenia  polegają ce  n a  dynam icznym  wgn iatan iu  kulki  w  p ró bkę   stalową ,  a  t akże teoretyczne  rozwią zanie  pewnego  pokrewn ego  zagadn ien ia  statyczn ego  wykazują ,  że istnieje  liniowa  zależ n ość  pom ię dzy  sił ą   stykową   a  lokaln ym  odkształ cen iem  plastyczn ym . Wobec  tego  w  zakresie  posprę ż ystym  bę dzie (4. 2) a  = s P—P dla  P  >  P„ k p   —  stał a.  Obrazem  tej  zależ noś ci  n a  rys.  2 jest  odcin ek  krzywoliniowy  pm,  który  otrzy- muje  się   przez  dodan ie  do  krzywej  H ertza  odcię tych  wykresu  P P Q.  Wykres  ten  obrazuje zależ ność  mię dzy  sił ą   stykową   i  plastyczną   skł adową   zbliż enia  ciał . Po  osią gnię ciu  przez  sił ę  stykową   wartoś ci  m aksym aln ej  (P  =   P,„) n astę puje  faza  sprę - ż ystego  odcią ż ania,  podczas  której  sił a  maleje  do  zera.  Jedn akże  dzię ki  odkszt ał cen iom plastycznym  rozwinię tym  w  fazie  obcią ż an ia  pozostaje  trwał e  zbliż enie  cc =   a k . m oc Rys.  2 N a  skutek  tych  odkształ ceń zm ien ia  się   także  w  sposób  istotn y  geom etria  powierzch n i styku,  którą   charakteryzuje  się   za  pom ocą   stopnia  szczelnoś ci  przylegania  powierzch n (por.  [1] p .  19). W  zwią zku  z  tym  proces  zan iku  lokaln ych  odkształ ceń sprę ż ystych  w  fa- zie  odcią ż ania  przebiega  odm ien n ie, niż  ich  wzrost  w  fazie  obcią ż an ia.  U wzglę dn imy  to piszą c (4 . 3 ) =   k n (jx—a k ) ą   d la  cefc gdzie  k n ,  q —  stał e  d o d at n ie  róż ne  odpowiednio  od  k H   i  3/ 2; odcią ż ania. sił a  st yko wa  w  fazie 268  R.  G RYBOŚ Pole  Opmk  reprezentuje  stratę  energii  kinetycznej  przy  niesprę ż ystym  zderzeniu  ciał quasi- sztywnych,  a zarazem  pracę formowania  odkształ ceń plastycznych. Zatem (4.4)  LP=J  P ( H ) ( a ) ^ a + J  P(*)da-   f  Pu(u)da. Podstawiamy  tu  wzory  (3.1), (4.2),  (4.3) i  cał kujemy.  Po  przekształ ceniach (4.5)  L p   = 1  2  2  1  —'- p  =   £ Skojarzenie  wzorów  (4,1)  i  (4.5)  daje  poszukiwaną  zależ ność  P m   =f(R p )  w  postaci uwikł anej P 2 —P 2  2  F   2  1  - —1 p   k p m r v?  m r v?l5k]j 3  (l+ ?)^Ji*  J G dyby  odcią ż anie  przebiegał o  zgodnie  z  teorią  H ertza, to  ze wzoru  (4.5) dla  f  =   3/2, fc/ z  =   fcff  otrzymalibyś my r  —  L- fP2— P2"\ p  2/fc i  odpowiednio  uproszczony  wzór  (4.6). Jednakże  pojawienie  się  lokalnych  odkształ ceń plastycznych  powoduje  wzrost  stopnia szczelnoś ci  przylegania  powierzchni,  tak  że  wykł adnik  potę gowy  q  ma  wartość  <  3/2 i  raczej  staje  się  bliski  1. Zagadnieniem tym zajmiemy  się  szerzej  w p . 9 i  10. Tymczasem  poś wię cimy  nieco uwagi  wielkoś ciom  k p i  P p .  Stał a k p ,  zwana  sztywnoś cią przy  odkształ ceniach  plastycznych,  zależy  od  konfiguracji  powierzchni  styku  oraz  od plastycznych  wł asnoś ci materiał ów. Jeś li  np.  ciał o mają ce  kuliś cie  zaokrą gloną  powierzch- nię  (promień zaokrą glenia  wynosi  r) styka  się z ciał em o powierzchni pł askiej, to  wówczas przyjmuje  się k p   —  2n,rx p . Współ czynnik  x p   zależy  tylko od twardoś ci Brinella  (HB), przy czym zależ ność tę wyznacza się  doś wiadczalnie.  Jeś li  materiał em  obu  stykają cych  się  ciał  jest  stal, to moż na  korzystać ze  wzoru x p   =   2 •   10 4 + 0, 45( # # ) 2  dla  80 <  HB  <  300. Sił a  P p   na  granicy  plastycznoś ci  zależy  zarówno  od  konfiguracji  powierzchni  styku, jak  i  od  mechanicznych wł asnoś ci  materiał u.  G dy  powierzchnie  styku  są  regularnie  za- krzywione  (kula, walec), moż na tę sił ę obliczyć przy  pomocy wzorów  H ertza (por. przyk- ł ad  I w p .  10). Jednakże  w  przypadku  dowolnie,  nieregularnie  uformowanych  powierzchni  styku, lub  przy  podwyż szonej  temperaturze  ciał   (np. podczas  kucia)  okreś lenie  stał ych k p   i  P p napotyka  trudnoś ci  wynikają ce  bą dź  to  z  braku  dokł adnych, teoretycznie uzasadnionych wzorów,  bą dź  też  z  braku  odpowiednich  danych  pomiarowych.  W  równej  mierze  uwagi ZALEŻ N OŚĆ  SIŁY  UDERZENIA  OD  WSPÓŁCZYN N IKA  RESTYTUCJI 269 te  dotyczą   stał ych kji i q.  Stą d  wynikają   ogran iczon e moż liwoś ci  efektywnego  ko rzyst an ia ze wzoru  (4.6). W  dalszej  czę ś ci pracy  (p. 7 i n astę pn e) zapropon owan o  uproszczon ą   m et o d ę   obliczan ia m aksym alnej  sił y  uderzen ia,  w której  to m etodzie  omija  się   wspom n ian e  t r u d n o ś ci za pom ocą   pom iaru  pewnych  ł atwo  uchwytnych  wielkoś ci  kin em atyczn ych i geom etryczn ych . 5.  N iesprę ż yste zderzenie  ciał   H ooke'a N iesprę ż ysty  ch arakt er  zderzen ia  (w  sensie  n ierówn oś ci  R d   <   1)  wyn ika  w t ym  przy- padku  z faktu,  iż czę ść  energii  zderzen ia  zostaje  n ieodwracaln ie  zuż yta  n a  wzbudzen ie drgań  sprę ż ystych  obu  zderzają cych  się   ciał .  Jeż eli  stopień  sprę ż ystoś ci  takiego  zderzen ia scharakteryzujemy  za  pom ocą   współ czynnika  i?rf  (0 < Rj <  1),  to  m o ż na  n ap isać (5.1)  Ą - (l- .Rf)- 2Ł P rzebieg  procesu  uderzen ia w ukł adzie  współ rzę dn ych P, a przedstawion y  jest  n a  rys. 3. Krzywa  obcią ż an ia  Olm  opisan a jest  przez  funkcję Rys. 3 (5.2)  P ,= »fc/ < x', gdzie:  k It p  —  stał e dodat n ie. Z  pom ocą   tego  wzoru  wyrazim y  m aksym aln ą   sił ę   uderzen ia  P,„  o r a z  m aksym aln e zbliż enie  a m ,  przez  energię   kin etyczn ą   m r vfj2.  W  t ym  celu  należy  scał kować  róż n iczkowe równ an ie  ruchu  ś ro dka  m asy  ukł adu z uwzglę dnieniem  waru n ków  począ tkowych  a(0)  — = ^0,  oe(0) —v r .  Pomijają c  ł atwe  rach un ki  (które  m o ż na  znaleźć  n p . w  [1]  p .  20  i  22) otrzymujemy (5.3) (5 . 4 ) P m   - i a„, = m/ i 270  R.  GRYBOŚ Oczywiś cie  wzory  (3.2)  i  (3.3)  są  szczególnym  przypadkiem  wzorów  powyż szych  dla j- 3/ 2. Krzywa  odcią ż ania  mllO  koń czy  się  przy  oc =   0  (wg  zał oż enia  odkształ ceń  plastycz- nych  n ie m a), więc równaniem tej  krzywej  bę dzie (5.5)  P II =k n a", kii  >   l l  —  stał e  dodatn ie róż ne od  kj,  p.  Z  równoś ci (5.6)  Ą .- *fr«Ł = fc„ < i£ wynika  nastę pują cy  zwią zek  mię dzy  sztywnosciami  lokalnymi  w  obu  fazach  uderzenia (5.7)  fc,- *„ «£ - "• P ole  OlmllO,  ograniczone  krzywymi  obcią ż ania  i  odcią ż ania,  reprezentuje  energię drgań  wzbudzonych  uderzeniem. W  takim razie (5.8)  E d   =   /   kj a'doc-   f  k lub  po  wyeliminowaniu  k n   z pomocą wzoru  (5.7) f   n   a"da  - Oczywiś cie  musi  być  E d   >  0,  skąd  wynika  że p  <  q. Wykorzystując  jeszcze  (5.4) otrzy- mujemy  nastę pują cy  wzór  n a energię drgań P orównując  prawe  strony  wzorów  (5.1)  i  (5.10)  otrzymujemy  waż ny  zwią zek  mię dzy współ czynnikiem  restytucji  oraz param etram i p  i q ( 5 . „ ) W  poszukiwaniu  dalszych  równań,  wią ż ą cych  niewiadome  p,  q, k r   i  k n   przeanalizu- jem y  ruch  ukł adu  podczas  odcią ż ania.  W  tej  fazie  uderzenia,  czyli  dla  t  ^  T J  {r 1   —  dł u- gotrwał ość pierwszej  fazy)  obowią zuje  nastę pują ce  równanie ruchu (5.12)  !»*$- *««• oraz  warun ki  począ tkowe P o  pierwszym  cał kowaniu otrzymujemy  wzór  n a prę dkość zaniku  zbliż enia !+ £   1 +  1\   1 ZALEŻ N OŚĆ  SIŁY  UDERZEN IA  OD  WSPÓŁCZYN N IKA RESTYTUCJI  271 Stą d  obliczymy  wzglę dną   prę dkość v' r   odbicia  ciał .  M ian owicie  dla t  =  x  ( T  = dł ugotrwał ość  uderzen ia) jest P u   — 0 oraz  du/ dt  — v' r .  Z at em [(5.15) P onieważ zaś współ czynnik  restytucji  R d   «  \ v' r / v r \ , przeto Stą d (5.17) Jeż eli  wyeliminujemy  w  tym wzorze  R d   z  pom ocą   równ oś ci  (5.11)  i wyn ik  t en  porów- n am y  z prawą   stron ą   wzoru  (5.3),  to  otrzym am y  n astę pują cy  zwią zek  m ię dzy  n iewiado- mymi (5.18) 6. D ł ugotrwał ość  uderzenia i jej  zwią zek  ze współ czynnikiem restytucji Cał kowanie  równania  typu  (5.12), jednakże  napisanego  dla  pierwszej  fazy  uderzenia, prowadzi  do nastę pują cego  wzoru  na  dł ugotrwał ość tej  fazy (6.1)  T j  =  v  r  ry(p), gdzie rl (6.2)  ^ U 3 + p \ r—funkcja  gamma.  W  przedziale  0 <  p  <  2  funkcja  y(p) jest  prawie  liniowa  i  moż na ją   aproksymować wzorem (6.3)  y(p)x  1,150+ 0,622/ 7. Bł ą d tego przybliż enia  nie przekracza  + 1 % . Chcą c  wyznaczyć  dł ugotrwał ość  x n   drugiej  fazy  uderzenia  skorzystamy  z  równania (5.14).  Cał kują c je  wzglę dem  t  otrzymujemy  cał kowy  zwią zek  mię dzy  czasem  i  aktualną wartoś cią   siły uderzenia P H   w fazie  odcią ż ania 1 / 2  "1/ 1- i- tf  m  \ 1 / 2  r" t  %I  \ 2< ?  W)  J 272 R.  G RYBOŚ T cm. Jeż eli  jako  dolną   granicę   cał kowania  przyjmiemy  P u   — 0,  co  m a  miejsce  w  chwili koń cowej  uderzenia (t  = * T),  to otrzymamy wzór  n a  r n (6.4)  r n   —  x—  %i  —  I Wzór  ten przekształ camy do postaci 2 I 1 / 2  izŁ # « J 1/ 2 2P * 1  m a  gdy  podstawić  tu formuł y  (5.16) i  (6.1) to  okazuje  się , że (6.5)  r„  - Ten  nowy,  interesują cy  zwią zek  mię dzy  dł ugotrwał oś cią  obu  faz  uderzenia niesprę ż ystego jest  uogólnieniem  wcześ niej  wyprowadzonego  wzoru  x n   — R d r,  (por.  [1] p .  25),  który jest sł uszny w przypadku liniowej  charakterystyki podatnoś ci  lokalnej  [wówczas p  = * q  =s i, czyli  y(p)  ~  y(g)]. Wzór  (6.5) wykorzystamy  w toku dalszych  rozważ ań. Tymczasem  napiszemy jeszcze  wzór  n a  dł ugotrwał ość  uderzenia niesprę ż ystego (6.6) T = T7+ T„ = fe^ Wystę pują cą   tu  wielkość  P m   obliczamy ze  wzoru (5.3). 7.  U proszczona  teoria  niesprę ż ystego zderzenia  ciał  elasto- plastycznych D otychczas  rozpatrywaliś my  jedynie  wyidealizowane  przypadki  zderzenia  ciał  stał ych pomijają c  bą dź  to  drgania  wzbudzone  uderzeniem,  bą dź  też  odkształ cenia plastyczne. Odpowiednio  do  tego  proces  uderzenia  przedstawiony  w  pł aszczyź nie  miał   przebieg, a m   a Rys. 4 jak  n a  rys.  2  lub  rys.  3.  Tymczasem  proces  niesprę ż ystego  zderzenia  ciał   rzeczywistych, a  wię c  elasto- plastycznych, m a przebieg jak  na  rys.  4.  Jest  to niejako  «superpozycja»  wy- kresów  z  rys.  2 i  3. ZALEŻ N OŚĆ  SIŁY  UDERZENIA  OD   WSPÓŁCZYN N IKA  RESTYTU CJI  273 Pole  Opmk reprezentuje  stratę   energii  kinetycznej,  na  którą   skł ada się   zarówno  praca odkształ ceń  plastycznych,  jak  i  energia  drgań  sprę ż ystych.  Stopień  sprę ż ystoś ci  takiego zderzenia charakteryzujemy  za pomocą  współ czynnika restytucji  R.  Daje  się   on stosunko- wo  ł atwo wyznaczyć  za  pomocą   pomiaru  wzglę dnej  prę dkoś ci  odbicia  ciał ,  W  literaturze (np.  [1]  [2])  znajdujemy  wiele  danych  empirycznych  dotyczą cych  współ czynnika  resty- tucji, zarejestrowanych  przy  rozmaitych warunkach uderzenia. W  oparciu  o wzory  wyprowadzone  w  poprzednich paragrafach  moż emy  ustalić  zwią - zek  mię dzy  współ czynnikiem  R  i  siłą   P m .  Mianowicie  n a  podstawie  wzorów  (2.4),  (4.6) i  (5.11) znajdujemy  po przekształ ceniach 2  i  i 5W rm   (T R)W   m i± i1 m   V2k p Wyraz pierwszy  z prawej  strony  tego  wzoru  zwią zany  jest  z  energią   drgań  (E d )  wzbu- dzonych  uderzeniem,  pozostał e wyrazy  okreś lają   wpływ  pracy  odkształ ceń  plastycznych (L p )  na  wartość  współ czynnika  restytucji.  U dział   tych  skł adników  w  cał kowitej  stracie energii  kinetycznej  (AT )  ukł adu  jest  rozmaity  w  zależ noś ci  od  dwóch  czynników,  które bę dziemy  dalej  zwali  krótko  warunkami  uderzenia.  Chodzi t u  o  geometrię   powierzchni zetknię cia,  okreś laną   za  pomocą   stopnia  szczelnoś ci  przylegania  oraz  energię   uderzenia, rozumianą   jako  energia  kinetyczna  ciał   bezpoś rednio  przed zderzeniem. Tak np., gdy  ciał a  o  budowie  zwartej  uderzają   się  powierzchniami  pł askimi, przy  czym energia  uderzenia  jest  stosunkowo  niewielka,  to  odkształ cenia  plastyczne  na  ogół   nie wystą pią   (L p   =   0),  a  wtedy  A T  — E d .  Zresztą   w  tym  przypadku  energia  drgań  stanowi w  ogóle  bardzo  mał ą   czę ść  energii  uderzenia, w  zwią zku  z  czym  współ czynnik  restytucji osią ga  wartoś ci  bliskie  jednoś ci.  D o  wniosku  tego  prowadzą   zarówno  obliczenia  teore- tyczne  [4],  jak  i  bezpoś rednie  pomiary  wykonane  przy  zderzaniu  dwóch  kul  z umiarko- wanymi prę dkoś ciami  [5]. N atomiast  gdy  dwa  prę ty  proste  zderzają   się   współ osiowo  pł askimi  powierzchniami czoł owymi, przy  czym  również  nie  ma  odkształ ceń plastycznych,  to jednak  energia  drgań podł uż nych  może  zaabsorbować  dowolnie  dużą   czę ść  energii  uderzenia,  wskutek  czego współ czynnik  restytucji  przyjmie  dowolną   wartość  z przedział u (0; 1). Odmienna  sytuacja  wystę puje  przy  kuciu  metali.  Tutaj  dominują ca  czę ść  energii  ude- rzenia zostaje  zuż yta  n a pracę  plastycznego  formowania  odkuwki  (AT   x  L p ),  choć pewna jej  czę ść przekształ ca się  również  w  energię   drgań  kowadł a, szaboty  i fundamentu. Jak  wspomniano poprzednio praktyczne wykorzystanie  ską dinąd  prostego  wzoru  (7.1) jest utrudnione z uwagi na trudność okreś lenia parametrów k p ,  P p ,  ku  i q. Z  tego  powodu w dalszym  cią gu  artykuł u podamy pewną   uproszczoną   metodę  opisu  zderzenia  ciał  elasto- plastycznych,  które  doprowadzi  do  wykrycia  prostych  zależ noś ci  mię dzy  współ czynni- kiem  restytucji  i  parametrami charakteryzują cymi  proces  uderzenia,  co  w  konsekwencji umoż liwi  nam obliczenie maksymalnej  siły zderzenia. Weź my  najpierw  pod  uwagę   pierwszą   fazę   uderzenia,  czyli  obcią ż anie.  Zaniedbują c szczegóły  przejś cia  od  stanu  sprę ż ystego  do  sprę ż ysto- plastycznego  przyjmiemy,  iż  w  tej fazie  obowią zuje  zależ ność  (5.2), czyli (7.2)  p x   ^ k T vP  dla  0 <  a  <  a m . 4  M ech an ika  Teoretyczn a 274 R .  GRYBOŚ Tym  samym  wzory  (5.3) i  (5.4) zachowują   waż noś ć. Co  się   tyczy  fazy  drugiej,  w której  nastę puje  sprę ż yste  odcią ż enie, to  sił a  stykowa  ma- leje  tu  wraz  ze  sprę ż ystą   skł adową   zbliż enia  od  wartoś ci  maksymalnej  do  zera  wedł ug równania (7.3)  P n   w  k n (x- oc k )"  dla  a k   <  a <  a m , albowiem  zbliż enie  sprę ż yste  stanowi  róż nicę  zbliż enia  cał kowitego  (a) i plastycznego  (a, k ). A  zatem  w  proponowanym  tu  uję ciu  przybliż onym  wykres  przebiegu  uderzenia  n a Pi Pm yvv \ / # n   « która  jest  uogólnieniem  wzoru  (5.11)  n a  przypadek  zderzenia  wywoł ują cego  odkształ ce- nia  plastyczne.  Stą d  wynika (7.6) ZALEŻ N OŚĆ  SIŁY  UDERZENIA  OD  WSPÓŁCZYNNIKA RESTYTUCJI 275 Obrazem  tej  zależ noś ci  są   krzywe  n a  rys.  6,  gdzie  linie  cią głe  odn oszą   się   d o  q  —  1,  zaś przerywane  do  q  =   3/ 2  (te  ostatn ie  pokrywają   się   z  lin iam i  cią gł ymi  w  przed ziale  [0,1]). Liczby  n ad  liniami  oznaczają   wartość  stosun ku  zbliż en ia  trwał ego  do  m aksym aln ego ( «*/ O -   Wykres  n a  rys.  6 jest  pom ocn y  przy  wyznaczaniu  n iewiadom ej  p  lu b  q. W  dalszym  cią gu  ze  wzoru  (7.6)  obliczamy  «,„   i  porówn ujem y  z  prawą   stron ą   rów- noś ci  (5.4).  P o  wykon an iu  ł atwych  przekształ ceń  otrzymujemy  wzór  n a  współ czyn n ik R 1,0 0,8 0 , 6 0,4 o,z - o ^ - —~ ą Ś5 Otk a m I  .1  I  I .  " . —  •   ' i i i i 20— - - 4 - 1 -   q= 3/ 2 i i i i 0,5   - 1,0 Rys.  6 sztywnoś ci  w  fazie  obcią ż an ia Wreszcie  podstawien ie  (7.7)  do  wzoru  (5.3)  daje  p o przekształ cen iach (7.8) l+p- (l+q)R 2   m r v? Ta  stosun kowo  p ro st a  form uł a  umoż liwia  obliczenie  m aksym aln ej  sił y  u d erzen ia  sprę - ż ysto- plastycznego,  gdy  zn an e są :  współ czynnik  restytucji,  stał e/ ? i  q,  trwał e zbliż en ie  oraz energia  uderzen ia. W  dalszym  cią gu  m oż na  an alizować  fazę   odcią ż enia  bio rą c  za  p u n kt  wyjś cia  ró wn an ie róż niczkowe  (5.12), w  którym  jedyn ie  zam iast  a trzeba  podstawić  ( a —a k ) .  Ale cał ko wan ie tego  równ an ia prowadzi  do  wzorów  (5.16) i  (5.17), które  w  takim  razie  są   sł uszn e  równ ież w  przypadku  zderzen ia  sprę ż ysto- plastycznego.  T o  sam o  m o ż na powiedzieć  o  wzo rach  n a dł ugotrwał ość  uderzen ia;  w  szczególnoś ci  bę dziemy  dalej  korzystać  ze  wzoru  (6.5). Tym  ntemniej  ilość  wyprowadzon ych  dotychczas  ró wn ań  okazuje  się  jeszcze  n iewystar- czają ca  do  okreś lenia  wszystkich  niewiadom ych,  w  szczególnoś ci  wykł adn ików  p o t ę go- wych  p  i  q. 4* 276 R.  G RYBOŚ 8. Aproksymacja  czasowego przebiegu sił y stykowej i równanie zasady pę du W  dą ż en iu  d o  wyprowadzen ia  nowych,  niezależ nych  zwią zków  pom ię dzy p,  q, k :   i  k u zan alizujem y  proces  uderzen ia  w  aspekcie  czasowego  przebiegu  sił y  stykowej  P(t).  R oz- waż an ia  ogran iczym y  do  przypadku,  kiedy  funkcja  P(t)  posiada  jedn o  m aksim um  w prze- dziale  [0,  r ]  (rys.  7).  P ola  zakreskowan e  p o d  krzywymi  Pj(t)  i  Pn(t)  obrazują   impulsy o d p o wied n io  pierwszej  i  drugiej  fazy  uderzen ia. Rys. 7 An aliza  wykresów  tego  typu,  uzyskan ych  przy  zderzan iu  ciał   z  rozm aitych m etali i  sto- p ó w,  n asu n ę ła a u t o r o m pracy  [2]  myśl  aproksym owan ia  tej  zależ noś ci  za  pom ocą   funkcji 7lt • P m \ sinj~ dla  0  <  t  <   T 7 , gdzie p  jest  tą   samą   stał ą , kt ó r a  wystę puje  we  wzorze  (7.2). W  oparciu  o  tę   zależ ność m o- ż emy  okreś lić  im puls  pierwszej  fazy  uderzen ia Wp r o wa d za m y  nową   zmienną   cał kowan ia  jtt\ 2xi  ~x  oraz  stał ą   b  ~ 2 ( 10 —n V 9 tego 10— p • 26+1  oraz nli j  = z- ł - PmZl f si P o n ieważ .- r/2 h ZALEŻ N OŚĆ  SIŁY  UDERZENIA  OD  WSPÓŁCZYN N IKA RESTYTUCJI  277 przeto  ostatecznie piszemy (8.1)  Sj  =:~P m rMp). Wiadom o  ([1] p . 24), że przy  liniowej  charakterystyce  podatn oś ci lokaln ej  (tzn . A\ ap = * 1) wystę puje  sinusoidalny  im puls  uderzen ia,  który  m a wartość  Q.ln)P m x,.  M n o ż n ik  ) we  wzorze  (8.1)  stan owi  przeto  «poprawkę »  uwzglę dniają cą   nieliniowość  zagad n ien ia ; oczywiś cie  a(l) =  1. F un kcja  a(p),  p o d o bn ie ja k  y(p), jest  prawie  liniowa,  m ian owicie (8.2)  a(p) «  1,03- 0,03/)  dla 0  J , = 1 5 800  kG .  Ostatecznie  z  przekształ conego wzoru  (5.17)  znajdujemy  graniczną   prę dkość zderzenia prę tów =  10,1 m/ s. Jedn akże  pierwsze  odkształ cenia plastyczne  pojawiają   się   nie  n a  powierzchni  styku,  lecz nieco  gł ę biej  (w  tzw.  pun ktach Bielajewa)  i to już  przy  prę dkoś ci  okoł o  12 razy  mniejszej. D la  porówn an ia zauważ my  jeszcze,  że  zgodnie  z  teorią   de Saint- Venanta w przypadku zderzenia  stalowych  prę tów  idealnie  pł askimi  i  równoległ ymi powierzchniami czoł owymi prę dkość  graniczna  wynosił aby  a p l\ / QE  =   18,3 m/ s  (Q —  gę stoś ć ). Przykł ad  drugi.  Obliczymy  maksymalną   wartość  siły  kucia  elementu  stalowego  i po- równ am y  wynik  z  danymi pomiarowymi.  Znajomość tej  sił y jest niezbę dna w  obliczeniach wytrzymał oś ciowych  najbardziej  obcią ż onych  elementów  mł ota  kuź niczego. P odczas  badań ,  których  wyniki  opublikowano  w  pracy  [7],  rejestrowane  był y  m.in. przebiegi  czasowe  sił y kucia. Jeden z typowych  oscylogramów  przedstawiony jest n a rys.  9a. P onieważ  okres  drgań  wł asnych  uderzają cych  czę ś ci  mł ota  w  rozważ anym  przypadku był   wielokrotnie  wię kszy  od  dł ugotrwał oś ci uderzenia, przeto krzywa  P(t) jest proporcjo- ZALEŻ N OŚĆ  SIŁY  UDERZENIA  OD  WSPÓŁCZYNNIKA  RESTYTUCJI 281 nalna  do  krzywej  przyspieszeń  bijaka  («baby»).  Wobec  tego  cał kowanie  krzywej  P(t) daje  wykres  prę dkoś ci  v^ it)  bijaka  (rys.  9b).  Jeś li  od  rzę dnych  tej  krzywej  odejmiemy rzę dne  wykresu  prę dkoś ci  szaboty  v 2 (t),  to  otrzymamy  krzywą   prę dkoś ci  odkształ cenia odkuwki  (linia przerywana).  Cał kują c nastę pnie krzywą   v l (t)—v 2 (t)  otrzymujemy  przebieg czasowy  skrócenia  a(t) próbki  (krzywa  c). N a wykresie  tym  widoczne jest  zarówno  naj- wię ksze  zbliż enie  bijaka  i szaboty  (am), jak  i  trwał e skrócenie  (a4) próbki, czyli  przekucie. - to a d  20 r 5 ' / 1  cl o  s  io  <5 Zbliż enie EflocoB3 A. K .  EO>PEM OB,  Coydapenue  Maccueubix men  npu  ynpyto- nnacmuHecmix de$opMaijHHX  e  3one  Komnaxma,  C 6 .  P ac^eTbi  Ha npo^HOCTBj 10  ( 1964) ,  363- 390. 3.  W.  G OLD SM ITH , Impact.  T he theory  and physical  behavior  of  colliding  solids, E. Arnold.  London  1960 (tium .  ros.  M oskwa  1965). 4.  S. C. H U N T E R , Energy absorbed by  elastic waves during  impact, J. M ech.  and Phys.  Solids,  3, 5 (1957), 162- 171. 5.  B. B.  BATPEEB,  Ynpyzo- nAacmuHecKuu ydap  MOCCUBHUX  men, C 6. BonpocBi MexaHHKH, T p . MOCK,  HH- CTHTyia  HHHC.  JK.- fl.  rpaHczi. 193  (1964);,  53- 70. 2>  Kształ t impulsu sił y  kucia, widoczny  na rys. 9a, uzasadnia dopuszczalność tego  przyję cia.  N atomiast wzór  (5.11)  w danym  przypadku  nie  obowią zuje  z  uwagi  n a silnie  rozwinię te  odkształ cenia plastyczne Z AL E Ż N O ŚĆ  SIŁY  U D E R Z E N I A  OD   WSP Ó Ł C Z YN N I K A  R E ST YT U C JI  283 6.  n .  M .  AjiA6y>KEBj  B.  H .  C TH XAH OBC KH H ,  I O .  B.  C H AO P E I I K O ,  K  eonpocy  o  nepedaue  smpsnu  ydapOM, T p .  M O C K .  HHCTHTyTa  HetbToxuM.  u  r a 3 .  npoM .  60  ( 1966) ,  181- 187. 7.  K ) .  B.  E E J M E BJ  A.  K .  I I o n o B ,  SKcnepuMenmajwioe  uccjiedosanue  naspywK  coydapnioiauxcn  dema.ieu Mo.iomoa eo  epeMH yóapa,  Ky3H .  inTamn.  npoiWB.  1  ( 1962) ,  3 0- 3 4. P  e  3 io  M  e 3ABH C H M O C T Ł  M AKCH M AJIBH Oft  CH JILI  YflAPA  O T  K030H LI,H EH TA BOC C TAH OBJIEH H H OnpeflejieH H e  MaKCHAiâ BHofi  BC J I H ^ H H W  KOinaKTH oro ycmiKH   n p n  CTOJiiaioBeH ini  BO3.IIO>KH O  B o6meM cn yn ae  JIH U IL onbiTH H H  nyTeivi;  n p ii  STOM Heo6xofl;HMo  iiiweeTb flocTaTo^H O CJIO>KH BIH  flaT^H K I I  a n n a p a T yp y, perH CTpi- ipyiomyio  3aBHcHM0CTB  H 3MepjieMoro  yc a r a w  OT  BpeM em i. B  npeflJiaraeM oii  CTaTte, Ha ocHcme TeopeTimecKoro  an ajin 3a  n p o iiec c a  yn pyro - n jiacT in iecK o ro  yflapa, D biBeaeiiBi  a a r e6p a u liec K iie  3aBHcnMocTii  MaKciunam>Hofi  C I M BI  yflapa  OT  B C J I H ^ H H ,  ji e r n o  noflflaioinH xcji H3MepeHKio  B xofle  n p o n c c c a ,  Taii