Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z2.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2,  9  (1971)

STATECZN OŚĆ  WSTĘ P N IE  SP R Ę Ż ON EGO  WALCA  KOŁOWEG O  P R Z Y  SKRĘ CAN IU

ELEN A  Z Ł A T A N O W A  (SOF IA)

Autorzy  prac  [l]- [4]  rozważ ają   róż ne  zagadnienia  statecznoś ci  peł nego  walca  koł o-
wego  poddanego  skoń czonym  odkształ ceniom. W pracy  [5] zbadan a  został a stateczność
wstę pnie  sprę ż onego  walca  koł owego  bez  obcią ż enia  zewnę trznego.  N iniejsza  praca  bada
walec jak  w pracy  [5], nie posiadają cy  stanu  naturalnego, przy  duż ym  skrę caniu.  Oblicze-
nia  opierają   się  n a teorii  opracowanej  przez  G reena, Rivlina  i  Shielda w  [6].  Stosuje  się
oznaczenia  wprowadzone  w  [7].

1. D uże skrę canie walca z dyslokacją  Volterry

Prosty  walec  koł owy  o dł ugoś ci °h  i  promieniu a, wykonany  z nieś ciś liwego m ateriał u
sprę ż ystego,  poddany jest  nastę pują cym odkształ ceniom:

a) usunię ciu lub  dodaniu klina  o dowolnym  ką cie  rozwarcia  ę , przez przecinanie  walca
pół pł aszczyzną  przechodzą cą  przez oś  (por. [5]),

b) duż emu rozcią ganiu  lub  ś ciskaniu,
c) skrę caniu o ką t  y>z, przy czym z oznacza odległ ość od  koń ca walca.
Ciał o po takiej  wstę pnej  deformacji  oznaczamy  przez  B, a jego  rozmiary  przez  h i a.

Zagadnienie  zawiera  oprócz  param etru y, nastę pują ce  param etry  deformacji,  zdefiniowa-
ne przez:

(1.1)  n=al°a,  x=2T cf{2n- q>),  l^ hfh,

które ze wzglę du na nieś ciś liwość  materiał u  zwią zane są  zależ noś cią

Za  pomocą   tej zależ noś ci  rugować  bę dziemy  param etr  / u. D alsze  zwią zki  bę dą   zawierał y
tylko  trzy  niezależ ne  parametry  x, ip,  X.

Wprowadzamy  w ciele B walcowy  ukł ad współ rzę dnych  {d1}  ==•   {r, • &, z},  który uwa-
ż ać  bę dziemy  za  ukł ad  konwencyjny.  Kartezjań skie  współ rzę dne  typowego  p u n kt u p o
odkształ ceniu i przed  odkształ ceniem są

xx  = r c o s # ,  x2  = r s i n # ,  x3  = z ,

(1- 3)  .  r  U  \   i  r  iti  \   .  z
xi——  cos  ipz  ,  J C 2 =  —sin i  w  .  J J J ^ T -



300 E .  Z Ł ATAN OWA

Wyznaczamy  tensory  metryczne g
tJ
  ciał a odkształ conego oraz  g

t
j  i giJ  ciał a nieodkształ -

conego, stosują c  (1.2)
"1  0  01
0  r2  0
0  0  1

0

(1.4)

(1- 5)  gtj  -

0

0

0 —?
1

1

0

0

o o

g  =   det(jy)  =   r2.

Tensory  metryczne  (1.4)  i  (1.5)  okreś lają   stan  odkształ cenia  i  pozwalają ,  w  oparciu
o  wzory  z  [7],  obliczyć  niezmienniki  stanu  odkształ cenia  I

K
,  a  także  tensor  naprę ż enia

(1.6)

h  =g
iJ
gu  = ^ ( * + ^ ) -

/ 3  —  g\ g  - 1  •

(1.7) r r ' =iPihi

T 1 2  = - T1 3= - T1 3  = - 0,

gdzie

*2 = 2

F unkcja  ^ ( Ą ,  I
2
)  jest  potencjał em  sprę ż ystoś ci  okreś lonym  n a  jednostkę   obję toś ci  ciał a

nieodkształ conego. Z  (1.6) wynika,  że  <Pfc podobnie jak  I k  są   funkcjami  zmiennej  r. Funk-
cję   skalarową   p  wyznaczamy  z warunku  brzegowego

(1.8)  T U = 0 ,  dla  r=a

i  równań  równowagi

(1.9)  V , T " ~ 0 .

Symbol  V;  oznacza kowariantne  róż niczkowanie w ukł adzie  {# '}.  Z (1.9) dlay  =   2 i./   =  3



ST AT E C Z N O ŚĆ  WSTĘ P N IE  SP R Ę Ż ON E GO  WALC A  K OŁ OWE G O  301

wynika,  że p  jest  funkcją   tylko  zmiennej  r.  Z  równ an ia  dla J  = *  1  wyzn aczam y

(1.10)  / > = - [#, - ^ + ^ ( - ]r +  4 + VJ ^ ł ) ] +

-  (- j  +  x) /   ( * 1 + ; '^2 )  T

i  ostatecznie

(I.11)

Oznaczamy przez P l sił ę  n a jedn ostkę  powierzchn i n a brzegu  z  =hx  n orm aln ą  n , ( 0, 0,  1)

gdzie gj  jest  wektorem  bazy,  oraz  wyznaczamy  cał kowitą   sił ę   osiową   N   oraz  m o m en t  M
przenoszone  prze  walec

(1.12)  N =^ 2nj  P3rdr~2n  f  rdrlrn+  U2-   X
o  o  ^

(1.13)  M   =   2

2.  Dodatkowe  mał e  odkształ cenia.  Warunki  utraty  statecznoś ci

N ał oż ymy  n a  ciał o  B  pole  m ał ych przemieszczeń  sw.  P rzech odzi  o n o  w  stan  B.  Lin io-
we  czę ś ci  przyrostów  n aprę ż en ia  i  odkształ cen ia  ozn aczon e  prim am i  wyzn aczam y  n a
podstawie  wzorów  z  [6]  i  [7].  P rzytoczymy  tutaj  ostateczn e  rezultaty.  Ozn aczają c  kowa-
rian tn e  współ rzę dne  wektora  m ał ych  przemieszczeń  przez  w

y
  ==u,  w

2
  = » ,  w

3
  = w ,

a  ich  czą stkowe  poch odn e przez  w l i t  —ur,  w1> 2  = = % , . . .  itd,  otrzym ujem y  kolejn o

(2.1)  /  ̂= ,



302  E.  ZŁATANOWA

+ < P 2 1

(2.2)

r V2 2  = *2«J^ ( i  Ą - ip2x7,Ą  - B fe + ^2Ą ipx7,Ą   B  fe

~  +
V

2
x

z
A

2
A  - BU^

)

^  +>C
2
-   1 +r V « 2  ( 2 + xA-   i -   + A- 2 V

2 ^ A) 1  -

2)- B  l~

1 -   Ji2 -   i l



STATECZNOŚĆ  WSTĘ PNIE  SPRĘ Ż ONEGO  WALCA  KOŁOWEGO  303

c.d.(2.2)

+2w
z

)Un-
2
  +

+p)  r
2
.

R ówn an ie  (2.1) 3  jest  równ an iem  nieś ciś liwoś ci,  gdyż  / 3  =  1  pocią ga  za  sobą .  waru-
nek, I

3
  =  0.

Ten sor  n aprę ż en ia  cał kowitego  T iJ+ez'iJ  speł nia  warun ki  równ owagi,  gdy są   speł n io-
ne  równ an ia

(2.3)  vr"j+rj  %*+rr
tr
 T 'J  =  o s

gdzie

A
  —

2  ar'i~»  5 ~

P rzyrosty  symboli  Christoffela  / "/ /  p o d an e został y w pracy  [5]. R ówn an ia  (2.3)  o raz  (2.1) 3
tworzą   ukł ad  czterech  równ ań  róż niczkowych  n a funkcje  u, v,  w, p'.  P on ieważ  A, B,  F
oraz  <P

K
  są   funkcjami  n iezm ien n ików,  które  z  kolei  są  fun kcjam i  zm ien n ej  r,  obliczen ia

dla  dowolnego  m ateriał u są   niezm iernie  skom plikowan e.  W zwią zku  z t ym dalsze roz-
waż ania  ograniczam y  d o z góry  zadan ego  m ateriał u, a m ianowicie  do tzw. n eo - h o o kean u,
dla  którego
(2.4)

  W
(I

K
)=C{h-   3),

gdzie C jest  dodatn ią   stał ą . Wyn ika  stą d

0
1
=2C,  0

2
=^ A=rB=^ F=O;

U wzglę dniając  (2.4), ró wn an ia  (1.10),  (1.11),  (2.2) przyjmują   postać

r"=2C±
+P

,



304  E.  ZŁATANOWA

(2.6)  dp/ dr  = - 2C(~l- j)- y  +2C
V

2
x

2
Z

2
r;

r'
11  -   -

(2.7)

Podstawiamy  teraz  (2.5)- (2.7)  oraz J1/ /  do (2.3) i otrzymujemy  nastę pują cy  ukł ad równań
róż niczkowych  n a funkcje  u, v, w  oi&zp':

- ^  u
rr
+2C  (3 - 1 ~   *-  -   v

2 K 2 P r 2 ) i  «r

~2Cux+ 1

V^4C

z -   i  wJ  + 2 C  -  ̂ wrz+p'r  =  0,

(2- 8)

M „ + 3 - \-  «fc+ 3 y  Mz+w«j + ^^ =  0,

+ A 2 -   ^

1 1

Ograniczamy  się  do przypadku  pł askiego  odkształ cenia, niezależ nego  od zmiennej z,

przyjmują c  w = 0, - —̂  =  0.  U kł ad  (2.8) doprowadzamy  do jednego  równania róż niczko-

wego  n a  funkcję   u(r, # ) .  Równanie  (2.8)3  przy  powyż szych  zał oż eniach  speł nione jest

toź samoś ciowo.  Otrzymujemy  wię c

^1
dr

3

82u  l  du  l
  \

dr
2 ~ 7'57 +  7 ? 7



ST AT E C Z N O ŚĆ  WSTĘ P N IE  SP R Ę Ż ON E GO  WAL C A  K O Ł O WE G O  305

poprzedn io  wyraż ając  funkcje  v i p'  przez  it(r,  ff),

dv  . du
(2.10)  —^ - r^

d
2
u  du  1

z jedyn ym  warun kiem  brzegowym

(2.12)  r ' l s = 0 ,  d l a / - = a,

—2pu
r
+p'  =  0,

(2.13)  v
r
+u$—2  — v  = 0 ,  d l a r = a ,

który  odpowiada  zerowan iu  się   obcią ż enia  n a brzegu  ( n a powierzch n i  boczn ej).  Trzeci
warun ek  jest  speł niony  t o ż sam o ś c io we

R ówn an ie  (2.9)  z  waru n kam i  (2.13)  tworzą   jed n o ro d n e  zagadn ien ie  brzegowe.  M o ż na
pokazać, że zagadn ien ie  to jest  sam osprzę ż on e.  Wtedy  istn ien ie  n ietrywialn ych  rozwią zań
(2.9)  przy  powyż szych  warun kach  brzegowych  bę dzie  równ oważ ne  z  waru n kiem  u t rat y
statecznoś ci [8].

P oszukujemy  rozwią zan ia  m etodą   F o u riera  [9] w  post aci  iloczyn u  dwóch  funkcji  a ( r )
i  funkcji  wł asnej  równ an ia  (2.9) Q ( # ) .  F unkcją   t aką   jest  sinw#   lu b  C OSH # ,  gdzie  n  jest
dowolną   liczbą   n at u raln ą .  P odstawiam y  wię c  u(rff)  —  <x(r)Q(^ ))  do  (2.9)  i  otrzym ujem y,
niezależ nie od tego  czy wzię to  funkcję   sin n #  czy cosnS;  równ an ie  róż n iczkowe  zwyczajne
czwartego  rzę du

(2.14)  ^ ^  J

^ {
2 2

}  { (
2

)
2 4 2 2 2 2

}  = 0 ,

gdzie  oznaczyliś my
(2.15)  H

P odstawiają c  najpierw  (2.10)  i  (2.11),  a  n astę pn ie  u(r&)  —  a(r)Q(d)  do  (2.13)  otrzy-
mujemy  ostateczną   po st ać waru n ków  brzegowych  zagadn ien ia

^ + ^ + ^ ^ + ) ] + y ( «
2 - ł ) a = * 0 ,  na  r= a,

(2.16)

- T̂ +  y ^  +  C " 2 - 1 ) ^ ^ 0 '  n a r = fl.

R ówn an ia  (2.14) i  (2.16) są  prawdziwe  dla dowoln ych  \ p, x, X. I ch rozwią zan ie  an alitycz-
n e  m o ż na  znaleźć  w  przypadku,  gdy ką t dodatkowego  rozwarcia  d o d at ko wego  (usun ię -
tego)  klin a  <p jest  m ał y.  W  celu  znalezienia  takiego  rozwią zan ia  ogran iczam y  dalsze
rozważ an ia  do wartoś ci  % bliskich  jedn oś ci.  Oznaczam y

(2.17)  K

6  M ech an ika  Teoretyczn a



306  E.  ZŁ ATANOWA

gdzie  i  jest  mał ym  param etrem ; £ 2 moż na  pominąć w  porównaniu z  £. Bę dziemy tak
sam o  pomijać wielkość  £H. Oznacza to, że ip2 jest tego  samego  rzę du co  i,  więc  ł jy>2 ~  0.
P rzy  tych  zał oż eniach równanie  (2.14)  da się przedstawić  w dwu równoważ nych  posta-
ciach

lub

(2.19)  r2

gdzie D  =* - r-  .
dr

P onieważ  operatory w drugich  nawiasach  kwadratowych  są  liniowo  niezależ ne, linio-
wo  niezależ nymi  rozwią zaniami  równań  (2.14)  są  rozwią zania  dwu równań róż niczko-
wych  drugiego  rzę du

[r
2
£

2
+3rI)+Q.—n

2
- in

2
)- n

2
Hr

2
]a  — 0,

Pierwsze  z  tych  równań  doprowadzone  do  postaci  równania  Bessela  m a  rozwią zanie

(2.21)  «t - r cĄ Iv(kr)+C21  Kv(kr)t

a  drugie jest  równaniem Eulera z rozwią zaniem

(2.22)  «a ~ C 8 r " + < V » .

Z atem  ogólne  rozwią zanie  równania  (2.14) przedstawia  się  nastę pują co

(2.23)  a -   d  j  Iy(kr)+  C2 jK(kr)+C3  r"+ dr».

gdzie  C
t
  są stał ymi cał kowania, / v , Ky są zmodyfikowanymi  funkcjami  Bessela  pierwszego

i  drugiego  rodzaju  rzę du v, dla urojonego  argumentu, przy  czym

(2.24)  v  =

(2.25)  k^

a  Qt  są pierwiastkami  równania charakterystycznego

(2.26)  Q2- .2
S
 + l- n

2
- Cn

2  = 0 .

P onieważ dla r  — 0  JSTV - * co oraz r
Sl  - »  oo, ze wzglę du  n a fizyczny  sens  zagadnienia ko-

nieczne jest przyję cie  C 3 =   C 4  =  0. Ostateczna postać rozwią zania  (2.23) jest

(2.27)  a =* A ~   I
y
Qcr)+Br*.

Kr

P odstawiając  (2.27)  do  warunków  brzegowych  (2.16)  otrzymujemy  jednorodny  ukł ad



STATECZNOŚĆ  WSTĘ PNIE  SPRĘ Ż ONEGO  WALCA  KOŁ OWEGO  307

równań  algebraicznych  na  stał e A  i  B:

(2.28)  Ą jjZfiT  [ l+ H 2- «2 - / c V) ] - ^ /v_ 1 ( t o ) [ 2- »
i - ( M2 ] } +

1  - o,

U kł ad  ten  posiada  rozwią zania  nietrywialne,  gdy  jego  wyznacznik  charakterystyczny
równa  się  zeru.  Przekształ cając  ten  wyznacznik,  moż emy  ostatecznie  poszukiwany  waru-
nek  utraty  statecznoś ci zapisać  w postaci

(2.29)

Warunek  ten  okreś la  dla  danego  n  krytyczną  wartość  ka.  Z  reguł y  w  zagadnieniach
statecznoś ci  krytyczny  stan  najbliż szy  stanu  naturalnego  otrzymuje  się  przez  przyję cie
najmniejszej  moż liwej  liczby  falowej  odpowiadają cej  nietrywialnemu  polu  odkształ ceń.
W  rozważ anym przypadku  n  — 0  odpowiada brakowi  odkształ ceń dodatkowych,  a  n  =   1
ruchowi  sztywnemu.  Pierwszą  nietrywialną  wartoś cią  liczby  falowej  jest  więc  n  =   2.  D la
tej  wartoś ci  liczby  falowej  i kilku  szczególnych  wartoś ci param etru wstę pnego  sprę ż enia  «
warunek  utraty statecznoś ci  (2.29) sprowadza  się do

H  £   Q  v  warunek  utraty  statecznoś ci

1,2  0,2  3,19  2,19  kal
iilg

(ka)- 6,351
2
,

19
{kd)  =   0

1, 0.  0,0  3,00  2,00  kaleka)-   6I
2
(ka)=?Q

0,8  - 0 ,2  2,8  1,80  kaI
0>8

(ka)- 5,6I
llB

(ka)=*0

Warunek  ten jest  bardzo  prosty  i  znalezienie  krytycznego  ka  w  oparciu  o  tablice  funkcji
Bessela  rzę dów  uł amkowych nie nastrę cza trudnoś ci.

Literatura cytowana w tekś cie

1.  E.  W.  WILKES,  On the stability  of  a  circular tube under  end  thrust,  Quart.  J.  M ech.  Appl.  M ath .,  1, 8
(1955), 88- 100.

2.  A. E.  G REEN , A. J.  M.  SPEN CER,  T he stability  of a  circular cylinder under finite  extention  and torsion,
J.  M ath.  Phys., 4, 37, (1959).  316- 338.

3.  Z . WESOŁ OWSKI,  T he  axiaily Symmetric problem od stability loss of  an  elastic bar subject to tension, Arch.
M ech.  Stos., 3, IS (1963),  383- 395.

4.  B. D U SZCZYK, Statecznoś ć peł nego walca  obcią ż onego ciś nieniem  hydrostatycznym, Mech.  Teor. i  StoS.,4
5  (1967).

5.  E.  ZŁ ATAN OWA,  Z .  WESOŁ OWSKI,  Statecznoś ć  wstę pnie sprę ż onego  walca koł owego,  R ozpr.  I n ż yn.  2,
18  (1970).

6.  A. E.  G REEN , R. S.  R I VLI N ,  R. T.  SH IELD , General theory  od small  elastic deformations  superposed on
finite  elastic deformation,  P roc.  Roy. Soc.,  A 211  (1952).

6*



308  E.  ZŁATANOWA

7.  A. E.  G R E E N ,  W.  Z ERN A,  T heoretical Elasticity,  Oxford  1954.
8.  G u o  Z H ON G - H EN G,  W.  U RBAN OWSKI,  Stability  of  non- conservative  systems  in  the  theory  of  elasticity

of  finite  deformation,  Arch  Mech  Stos., 2, 15  (1963), 309- 321.
9.  I \   n .  TOJIC TOB,  Pxdu  Oyphe,  MocKBa  1951.

P  e 3  K>  M  e

XIPEflBAPH TEJILH O  HAIIP.SDKEHI- IOrO  KP YTOBOrO  IXMJIHHflPA
ITPH

npH M oii  KpyroBOH   LimiiiH flp,  noflBepH- ceiiHBiH   KOHCMHOH  flecbopM aiiH H  nyreM
I I J I H   Bbipe3aH H H   KjiHHa  c  npoH3BOjibHMM   yrjiOAi  pacTBopa  H   n ocjieflyiom ero

CBS3H0CIH   M aTepaajia.  ITojiyieH H WH   TaKHM   o6pa3OM   nHimupp  noflBepraeTCH   KOHeMHOMy
H   pacTH >KeH mo. YcToiitiHBOCTB  iiHJiHHflpa  TiccJieflyeTCH   n o MeTOAy  Majibix  BHpTyanBHbix
n an o> Kein iŁ ix  n a KOiietnibie  ae(popMai];HH, n piraeM  floSaeo^H bie flecbopM ai(H H  n BU H ioica  nnocKHMH.  JJa-

ycn o Biie  n oTepii  YC T O M H BO C T H   R JI H   Majibix  yrao B  pocTBopa

S u m m a r y

STABILITY  O F   A  PRESTRESSED  CIRCU LAR  C YLIN D ER  U N D ER  TORSION

A  simple  circular  cylinder  is  subject  to  finite  deformation  by  cutting  out  (or  inserting)  of  a  segment
with  an  arbitrary  vertex  angle;  the  edges  of  the  cut  are  welded  together.  Such  a  prestressed  cylinder  is
then  subject  to finite  torsion and extension. The stability  of  the cylinder is  investigated  by  means of super-
position  of  a  small  two- dimensional state of strain upon the finite  strains. The stability  conditions at small
values of  th e vertex  radius  of  the inclusion are presented.

WYŻ SZY  I N ST YT U T  M ASZ YN OWO- E LE KTR YC Z N O- TE C H N I C Z NY
SO F I A,  BU Ł G AH I A

Praca  został a zł oż ona w Redakcji dnia 15 lipca 1970 r.