Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  9 (1971) OSZACOWAN IE  ROZWIĄ ZAŃ   RÓWN AŃ   KAN ON ICZN YCH   METOD Y  SI Ł W  PRZYPAD KU  P RZ YBLIŻ ON EGO  WYZN ACZAN IA  LICZB  WPŁYWOWYCH S Z C Z E P AN   B O R K O W S K I  ( G L I W I C E ) 1.  Wstę p Z agadn ien ie  optymalizacyjne  dla  ukł adów  prę towych  statycznie  niewyznaczalnych sprowadza  się   do  takiego  d o bo ru  przekrojów  prę ta,  aby  speł nione  był y  pewne  kryteria optym alnoś ci  (n p.  m in im um  obję toś ci)  oraz  dan e  warun ki  ograniczają ce.  Przy  takim postawieniu  zagadn ien ia  n apotykam y  zasadnicze  trudn oś ci:  poszukiwane  wskaź niki  prze- kroju,  bę dą ce  funkcjami  współ rzę dnych,  a  także  wymiarów  poprzecznych  przekroju,  są wyraż eniami  podcał kowym i, kt ó re  z  kolei  okreś lają   liczby  wpł ywowe.  Liczby  te  wystę pują jako  współ czynniki  równ ań  kan on iczn ych  m etody  sil.  Wariacyjne  postawienie  problemu optym alnoś ci,  a  n astę pn ie jego  rozwią zanie  prowadzi  do  algorytmu  trudn ego do  zaprogra- m owan ia.  P rzedstawion a  w  niniejszej  pracy  m etoda  - wykorzystuje  przybliż ony  sposób cał - kowan ia  Sim pson a;  pozwala  t o  n a  proste  rozwią zanie  postawionego  zagadnienia  oraz, co  jest  w  zastosowan iach  bardzo  istotn e,  n a  oszacowanie  uzyskanych  przybliż onych  roz- wią zań.  Sposób  ten  m oże  być  również  wykorzystany  przy  rozwią zywaniu  ukł adów  sta- tycznie niewyznaczalnych  posiadają cych  prę ty  o zmiennym przekroju, poddanych wpł ywom pola  tem peratur i  statycznego  pola  obcią ż eń.  Analogiczny  sposób  rozwią zywania  ukł adów statycznych  może  być  stosowany  również  i w  m etodzie  przemieszczeń. P raca  stan owi  kon tyn uację   zadan ia sformuł owanego  w  streszczeniu  [1].  Rozpoczynają c od  opracowan ia  sposobu  przybliż onego  rozwią zania  równ ań  kanonicznych  metody  sił m am y  n a  wzglę dzie  fakt,  że  sposób  ten  może  mieć  zastosowanie  nie  tylko  w problem ach optymalizacyjnych. 2.  Sformułowanie zadania R ozpatrywać  bę dziemy  rozwią zanie  równań  kanonicznych  metody  sił   przy  uwzglę d- nieniu  wpł ywów  term icznych  oraz  statycznego  pola  obcią ż eń,  dla  ukł adu prę tów  B- krotnie (n  >  0)  statycznie  niewyznaczalnych.  R ówn an ia  te  mają   znaną   postać (2.1)  d u Xj+A iP - \ - A iT   =   Ą   (f, j  -   1,  ,..,  n), w  której  wystę pują ce  współ czyn n iki mogą   być  obliczone  ze  wzorów (2. 2) =  f [i- 376  Sz.  BORKOWSKI (2.2)  p 4  f f l  7 T T ,  .  1  J7  „  , [c.d.]  {  U   ł"  yr^   h  z'  z E/ \ ,  _  (" |~ 1  g  r>  2(1- f- x)  •̂   1  g J  | ^  ,t  yP  j s   7 z - waż nych  dla przestrzennego  ukł adu prę tów  albo  ze  wzorów ES  =   f  • î- 'K/   J  p/ i  f  M t M r   , ''  F  "  1 (2.2a)  L ,  . „   _ sł usznych  dla  pł askich  ukł adów  prę towych  (o  ile  pominą ć  momenty  skrę cają ce). W  (2.2),  przez  <5y,  / !;/ .,  z l r r  oznaczono  kolejn o:  liczby  wpł ywowe,  współ czynnik uwzglę dniają cy  wpł yw  pola  obcią ż eń  oraz  tem peratur;  symbolami  7̂ ,,  / , ,  I s   oznaczono, w kolejnoś ci  wystę powania  —  moment bezwł adnoś ci wzglę dem  osi y,  z  oraz wskaź nik  geo- metryczny  skrę cania.  Wystę pują cy  w  każ dym  punkcie  osi  prę ta  ortogonalny,  lokalny ukł ad  współ rzę dnych  Oxyz  zorientowany  jest  w  ten  sposób,  że  oś  x  jest  styczna  do  osi prę ta  w  punkcie  O,  natomiast  osie  y,  z  są   gł ównymi,  centralnymi  osiami  bezwł adnoś ci przekroju  prę ta.  Symbolami  M ()il ,  K n   oznaczono  współ rzę dne  wektora  m om en tu, ko- lejno:  zginają cego  wzglę dem  osi  (  ) i  skrę cają cego.  Indeks  [  ] symbolizuje  wpł yw:  obcią - ż eń  jednostkowych  (wtedy  zamiast  [  ] wstawiamy  i dodają c  nad literą   rdzeniową   —•  kreskę , gdzie  /  =   1,  ..., n); pola  obcią ż eń  (zamiast  [  ] wstawiamy  P)  lub  wreszcie  —  pola tempera- tur  (wówczas  zamiast  [  ] wstawiamy  T ).  W  równaniach  (2.1),  a  także  w  pozostał ych  re- lacjach,  stosujemy  konwencję   sumacyjną . Wystę pują ce  w  wyraż eniach  podcał kowych funkcje  A/ () n ,  2ft  j  [ukł ady (2.2)] są   zależ ne od  współ rzę dnej  ł uku  s  lub  od zmiennych  x, y,  z,  okreś lają cych  począ tek  lokalnego  ukł adu współ rzę dnych, bę dą cy  zarazem  ś rodkiem  geometrycznym  przekroju. O k r e ś l e n ie  z a d a n i a .  N ależy  wyznaczyć  z  ukł adu  (2.1)  niewiadome  Xj  (j— =   1,  ..., n)  zastę pując  prawe  strony  wzorów  (2.2)  wzorami  Simpsona,  a  nastę pnie  prze- prowadzić  oszacowanie  uzyskanych  przybliż onych  wartoś ci  niewiadomych. 3.  Rozwią zanie zadania Zanim  przystą pimy  do  podstawowego  twierdzenia,  które  ujmować  bę dzie  odpowiedź na  postawione  w poprzednim punkcie zadanie, sformuł ujemy  wpierw nastę pują cy  l e m a t . Jeż eli  speł nione bę dą   zał oż enia: a)  oś  prę ta  bę dzie  ł ukiem  gł adkim,  regularnym,  którego  równanie  w  postaci  para- metrycznej  moż emy  przedstawić  przy  pomocy  równ ań *—flf(*)i  yy{t),  z  =  z{t),  jeś li  te  [a, 8], w tym  przypadku  element  ł uku  okreś lać  bę dzie  wzór ds—f(t)dt s   gdzie O SZ AC O WAN I E  R O Z WI Ą Z AŃ   R Ó WN AŃ   K AN ON I C Z N YC H   377 b)  wystę pują ce  w  ^2.2)  funkcje  podcał kowe, p o  uwzglę dnieniu  zał oż enia  a)  oznaczymy symbolicznie  przez «( ' ) S [r}t}t) (3.1)  «PiT(r) = \ ~cj Myi(t) M,T(t)+   7 ^ M z i ( O M z T ( o ] f(t), i  przyjmować  bę dziemy,  że  posiadają   one poch odn e wzglę dem  zmiennej  t  do  rzę du  czwar- tego  przy  uwzglę dnieniu,  że  wskaź niki  przebiegają   cią g  liczb  skoń czony  (i,j  =   1,  ...,  ri); c)  przedział   [a, /?] rozbijamy  n a  7m  równych  czę ś ci [/„   =   a,  tj],  ft,  t 2 ],  ..,,  [t 2m _ 1 ,  t 2m   =   /?],  a  >  /? budujemy  z  (3.1)  pom ocn icze  funkcje m ę \ f  =  0y(«)- 0y(/ ?)+2  V (3.2)  yj?'  =   5P I T ( «) - !P »08) +2 pod  warunkiem ,  aby  detfqs^'0]  #   0,  to  wówczas,  p o  zastosowaniu  metody  Simpsona uzyskujemy  zam iast  wzorów  (2.2)  nastę pują ce  wyraż enia (3.3)  EA„ gdzie  wystę pują ce  we  wzorach  (3.3)  poch odn e czwartego  rzę du  okreś lone  są   w  pun ktach ct+ te,  0 < fi, <   1  (* -   1,  2,  3). Przy  powyż szych  zał oż eniach  dowód  lem atu  przebiega  analogicznie, jak  w  [2]  s.  252. M ają c  n a  uwadze  poprzedn io  przytoczony  lemat,  wykaż emy,  że  sł uszne jest  nastę pu- ją ce  t w i e r d z e n i e .  Jeż eli  speł nione  są   zał oż en ia: a)  konfiguracja  prę ta,  przemieszczenia  pun któw  jego  osi  ś rodkowej,  poie  obcią ż eń i  tem peratur, m ateriał   oś rodka  oraz  n ał oż one  wię zy  są   tego  rodzaju,  iż  sł uszne  pozostają r ó wn a n ia  kan on iczn e  m etody  sił   (2.1); b)  wszystkie  wystę pują ce  w  (2.2)  cał ki  są   obliczone  metodą   Sim psona  (por.  lem at) 378  Sz.  BO R K O WSK I c) pochodne rzę du, czwartego  funkcji  0 ti ,  W lT ,Q iP   wzglę dem  zmiennej  t są  ograniczone nierównoś ciami (3.4)  M, «  mta{\ Xj^ f\ t)\ ,  m]vHt)\ ,  \ Q^ (t)\ }  <  M t   < oo  (/  -   1,  .... n), —  to  wówczas  wielkoś ci  nadliczbowe Xf'i  traktowan e  jako  wi- te przybliż enie  niewia- domych  Xj  moż na  wyznaczyć  w  sposób  przybliż ony  z równania 13.5)  $OAfJ»>+ fl>fp+ v>|F>  =  - ~  ̂ EA t   (ij  -   1,  ...,  n). N iewiadome XW   szacujemy  w  stosunku  do wartoś ci  dokł adnych Xj  za pomocą   nierów- noś ci (3.6)  l | [ ^ - ^m ) ] l l  <   IIF- MI  |[e(mj[|, gdzie  F " 1  jest  macierzą   odwrotną   macierzy  F  =   M "'5],   e(.m)  —  resztą   wynikają cą  ze wzoru  Simpsona, a ||  j J jest  symbolem  normy  macierzy. D o w ó d .  Z zał oż eń a) i b)  wynika,  że  moż emy  napisać  nastę pują cą   równość (3.5a)  ripXj+wif+fW   =   Sl (m)+ - 4^ - EAt p—a wynikają cą   z podstawienia  (3.3)  do  (2.1); w  (3.5a) przez  e;(m) oznaczono (3. 7) Pomijają c  w  (3.5)  e((w)  zmieniamy  zbiór  poszukiwanych  niewiadomych,  które  oznaczymy teraz  przez  Aim ) ;  tym  samym  z (3.5a)  uzyskujemy  równanie  (3.5).  Równanie  t o  posł uży nam  do  przybliż onego  wyznaczenia  poszukiwanych  wielkoś ci  nadliczbowych  Xjm )  (m- te przybliż enie).  Odejmują c  równanie  (3.5)  od  (3.5a)  uzyskujemy  cp^ [Xj—X^ ]  —  e^ m), a  dalej  [cjff3][X}—Xf>]  =   [e,(m)l  ską d  już  ostatecznie (3.8)  [Xj- X^ j^ W ^ Heiim)]. Jeż eli  wprowadzimy  normy  macierzy  F " 1  —  [qĄ f^ ]~1  =  [ć pffi]  podporzą dkowane  nor- mie  oktaedrycznej  wektorów  X  =   [Xj—Xf>],  [siim)]  = e ( m ) ,  które  okreś lone  są   w  sposób nastę pują cy  (por.  [3]) n n n (3.9)  HF- MI =   max V  \ ę \ f\ ,  ||€(m)|| ­  V  |e<(m),  ||X|| = V  \X}­X l ~0 f- x/ 10/ )"3  (1 0 1(1- 5/ 40 - x/ 21)(xl2l)(l+x/ U ( x/ 2/ ) 2( l+ x/ 10/ ) - : 0 • y ( l - # / 4 /)  (x/ 4/ ) 1 0 0 gdzie  w macierzy  (4. la)  oznaczono kropkam i elementy, które są  równe elem entom macierzy symetrycznym  wzglę dem  przeką tnej  gł ównej.  D la  odcinka  1- 2  «ramy  1—2—3»  przyjmujemy podział   na  dwie  czę ś ci  2m  =   2:  z  równ an ia  (3.2)]  uzyskamy  wówczas ffl  =  0 iJ (O)+40 iJ (l)+0 iJ (2l) lub  w  zapisie  macierzowym,  po  uwzglę dnieniu  (4.1 a) 1,75131  0,75131  0" •   1,33001  0 •   - 0 (4. 2) Analogiczną   macierz moż emy  podać  i  dla  współ czynników  *4.1a)2,  lecz  z  uwagi  n a prostą budowę   funkcji  momentów  oraz  stał y  m om en t bezwł adnoś ci  przekroju  prę ta  2- 3,  wygod- niej  uczynić  to  przez  «przemnoż enie»  wykresów  m om en tów;  p o  wykonaniu  tej  ostatniej operacji  otrzymamy "0   0   0 " (4 . 3 ) W 2  1 •   2 Współ czynniki  c»y  należy  pom n oż yć  przez  (fi—a)/ 6m  —  (21—0)/ 6- l  =   1/ 3,  oraz  podzielić przez  E,  zgodnie  z  równaniem  ( 3.3) x.  D odają c  do  siebie  macierze  (4.2)  i  (4.3)  uzyskamy (4.3a) "1,75131  0,75131  0,00000" 3,33001  1,00000 2,00000_ Przybliż ony  ukł ad równ ań kanonicznych m etody  sił , zgodnie  z równ an iem  (3.5), m a postać 3E Ji)  =   0.,  gd zie  0 1   =   20,  6 2  =   0,  6>3 =   8. O SZ AC O WAN I E  R O Z WI Ą Z AŃ   R Ó WN AŃ   KAN ON I C Z N YC H 381 W  równ an iu  (3.5)  przyję to  6ml(fi—a)  —  3/ / ,  a  A,  — 0; . Wykonując  odwracan ie  macierzy  (4.3)  uzyskamy (4.4) F - 0,64439  - 0, 17107  0,08554 0,39878  - 0, 19939 0,59969 skąd  przybliż one  wartoś ci  poszukiwanych  wielkoś ci  hiperstatycznych  (X1/ * =  cjjj >32i0;//) wynosić  bę dą ^ 0(4.5) i 1 1  =   4,1230 ^ 0 , ' 1 '  1,6246—0, =  2 , 3 1 2 3 —0 . P rzystą pimy  do  oszacowan ia  wyników  (4.5).  Z  równ an ia  (4.1a)!  wyznaczymy  pochodne czwartego rzę du funkcji  0 y ( z ) , gdzie z  =   10/ + .x (4.6) 6000  Iz 2160(z/ / )- 2- 120(z- / / )- 1800(z/ / )- 2— " 1 + 1  0 - HI  o 0 Korzystając  z  równ ań  (3.4), (4.5)  otrzym am y M {   =   |X, .0ff KzlQ\ zii- io,  czyli  M X  ==  3, 4020^ - ,  M 2  =   2,0390- ^-,  M 3  =   0, dalej,  zgodnie  z  (3.10): (4.7)  |  |^ i - ) |) =   0,9020/ . El N a  podstawie  równ an ia  (3.6)  uzyskujemy  oszacowanie (4.8) - 1 !!  \ \ [ej(m)]\ \   <  0, P odam y  n astę pn ie  oszacowanie  bł ę du  bezwzglę dnego  wielkoś ci  nadliczbowych.  Posł u- gując  się  równ an iam i  (3.5),  (3.5a)  uzyskamy 3 382  Sz.  BO R K O WSK I wykonując  naznaczone  dział ania,  a  nastę pnie  uwzglę dniając  równania  (4.4),  (4.7)  otrzy- mamy I ^ - Z i1 1 !  <  0, 085^ 0,  \ X 2 - X?>\  <  0, 047—0,  \ X a ~- Xp\  <  0, 024- 0̂ lub 4,038 <  - ^  <  4,208,  - 1,672  <  - ^~  <  - 1,578,  2,288 <  - ^  <  2,337. Ostatnio  podan e  oszacowanie  daje  bł ę dy  wzglę dne  wahają ce  się  w  granicach  1- 3%,  co jest  w  zastosowaniach  w  zupeł noś ci  wystarczają ce;  tym  bardziej,  że  oszacowanie  t o  jest z  duż ym  n adm iarem  w  stosunku  do  bł ę dów  rzeczywistych. W  zakoń czeniu  porówn am y  otrzym an e  wyniki  z  dan ym i  dokł adn ym i,  podan ym i w  pracy  [4].  D okł adne wartoś ci  (do  czterech  miejsc  p o  przecin ku)  wielkoś ci  hiperstatycz- nych  wynoszą X x   =   4, 1618- ^ 0,  X 2   =   - 1 , 6 4 4 7 - ^ 0,  Z 3  =   2, 3224- ^- 0, a  zatem  bł ąd  wzglę dny  wielkoś ci  przybliż onych  (4.5)  wah a  się,  dla  m  =   1,  w  gran icach 0,4- M   , 2%;  n atom iast  \ \ [X } —X l j 1} ]\ \   =   O,O75£70/ / .  Ostatn ie  wyniki  okreś lają  rzeczywiste bł ę dy  oraz  rzeczywistą  n orm ę,  a  nie  wielkoś ci  szacunkowe,  kt ó re  przytoczyliś my  poprzed- n io. Lit erat u ra  cytowan a  w  tekś cie 1.  S.  BO R K O WSK I ,  N iektóre  problemy  optymalizacji  konstrukcji  prę towych  przy  uwzglę dnieniu  wpł ywu  pola temperatur,  I V  K on f.  N a u k .  T ech .,  K o n st r .  M e t . , Warszawa  1 9 7 0 , 1 . 1 ,  539- 541. 2.  H .  C .  BE P E 3I I H 3  H .  I I .  >KnflK0B,  Memodu  eumicjieHuu,  T .  I ,  M ocKBa  1962. 3 .  J\ .  K.  <3>aflfleeB,  B . H .  AflflEEBA,  BunucnumejuMue  Memodu  nuneimou  ajieeSpw,  M ocKBa  1963. 4 .  H .  B.  BAJI H I U BH JI H ,  OopjuyAu  Ć MH  pacuema  paM  co  cmouuaMu  nepeMCHHozo  ceieniw,  M ocKBa  1965. P  e  3  K>  M  e Ot(EHKH   PEHIEHHfł   KAHOHH^ECKHX  YPABHEHHH   CH JlOBOrO  METOflA nPHEJIHaCEHHOrO  OnPEflEJIEHHH   nAPAMETPOB PaccMOTpena  3ap,sna 06  onTHMH3ai|HH  CTep>iKeH H tix  cTaTiraecKHM   H   Tenjio- B03fleftcTBHaM.  OopM yjiH poBKa  3a,n;aKeimH   onpeflejiaioT  n apaM eTpti  BU H H H H H . B  pa6oTe  «aH   cn ocoS  oi;eHKH  npH6nH>iKHOCTb  npucnocoSH TB  oriTHMaJiiraaijHOHHbie  n p o u e c c bi  K  Tpe6o- MaieMaTHraecKoro  nporpaM ArapoBanH Ji,  a  TaioKe  BocnoJiB3OBaTfcCH   MeTOflOM   CH MncoH a. OSZACOWANIE  ROZWIĄ ZAŃ   RÓWNAŃ   KANONICZNYCH   383 S u m m a r y ESTIM ATION  OF  SOLU TION  O F  TH E CAN ON ICAL EQU ATION S OF  TH E M ETH OD  O F  FORCES U N D E R  AP P ROXIM ATE  D ETER M I N ATI ON   OF  IN F LU EN C E  PARAM ETERS I n  the case  of  the  optimization  problem  of  rod  structures  subject  to  statical  and temperature  loadings, the  variable  rod  characteristics  appear  in  the  integrands.  These  expression  determine  the  influence  para- meters of  the  canonical  system  of  equations  of  the  method  of  forces.  In  order  to  adapt  the  optimization processes  to mathematical programming  and to apply  the Simpson  method, the paper presents  the method of  estimation  of  the approximate  values  of  the hyperstatic  quantities  obtained  from  these  equations. P O LI T E C H N I K A  Ś LĄ SKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  8  paź dziernika  1970  r.;  po  raz  drugi —  dnia 13 grudnia  1970  r.