Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA 1  STOSOWANA 3,  9  (1971) ZASTOSOWAN IE  WI E LOM I AN ÓW  H E R M I TE 'A  D O  WYZN ACZAN IA  M AC I E R Z Y  SZ TYW- N OŚ CI  ELEM EN TU   TARCZY  W  M E T O D Z I E E LE M E N TÓW  SK O Ń C Z O N YCH K R Z YSZ T O F   D   E  M   S  ( Ł Ó D Ź ) I .  Wstę p M etoda  elem en tów  skoń czon ych  jest  jedn ą   z  n owszych  m et od  przybliż on ych  stoso- wanych  przy  rozwią zywaniu  zagadn ień  teorii  sprę ż ystoś ci.  M et o d a  t a  pozwala  przedst a- wić  stan  n aprę ż eń  i  odkształ ceń  w  dowoln ym  p u n kcie  oś rodka  cią gł ego  w  zależ n oś ci  od przemieszczeń  pewnych  p u n kt ó w  ciał a,  przyję tych  za  wę zł owe.  I stotn ą   cechą   m et o d y jest  wyznaczenie  tzw.  m acierzy  sztywnoś ci,  za  p o m o cą   której  wyrazić  m o ż na  wewn ę trzne sił y  uogóln ion e  w  wę zł ach  w  funkcji  przemieszczeń  wę zł owych,  zgodn ie  ze  wzorem ( 1 . 1 )  Pl  • • gdzie C ik  —  współ czynnik  m acierzy  sztywnoś ci, P l  —  sił a u ogóln ion a  w  wę ź le, u k   —  uogóln ion e przem ieszczenie  wę zł owe. P raca  niniejsza  stan owi  p ró bę   wykorzystan ia  wielom ian ów  H e r m it e ' a  d o  wyzn aczan ia macierzy  sztywnoś ci  tarczy  po d d an ej  pł askiem u  stan owi  n aprę ż en ia. 2. Postać i własnoś ci wielomianów Hermite'a Wielom iany  H erm it e'a  są   t o  algebraiczne  wielom ian y  jedn ej  zm ien n ej  o  n astę pują cej wł asnoś ci (2.1) d 3 H" l {z k ) d- J } ik°Jpi gdzie j  —  rzą d  poch odn ej wzglę dem  zmiennej  z, p  —  rzą d  wielom ian u  H erm it e'a, i  —  in deks  wę zł a, d la  którego  n apisan y jest  wielom ian , k  —in d e k s  wę zł a,  d la  którego  obliczana jest  wartość  wielom ian u, d ik   —  delta  K ro n eckera. Jeż eli  ograniczym y  się   d o  wielom ian ów  rzę du  zerowego  i  pierwszego,  t o  p o st a ć  ich  bę dzie 356 K.  D EMS nastę pują ca  [2]: (2.2) gdzie L '(ź )  =   J  J[  — — wielomian  Lagrange'a,  posiadają cy  wł asność L '(z k )  =   d ik +  1—liczba  wę zł ów).  Przykł adowy  przebieg  zmiennoś ci  wielomianów  H ermite'a  dla dwóch  i  trzech  wę zł ów  przedstawiony  jest  na  rysunkach  la  i  lb. a \ «\  / - fcl Y A  H10 - 1,0  •̂ •C  / \ â K\ - &- ?* >  ' Rys. 1 3.  Transformacja  ukł adu  współ rzę dnych dla elementów tarczy  o nieregularnych kształ tach Wyobraź my  sobie  tarczę   dowolnego  kształ tu,  którą   podzielono  na  krzywoliniowe czworoką tne  elementy  dowolnych  rozmiarów,  zawierają ce  wę zły  na  brzegu  i  wewną trz swego  obszaru  (rys. 2). Zastosujmy  przekształ cenie, które  dowolnemu punktowi  P (xS  X2) Rys.  2 Rys.  3 n a  pł aszczyź nie  Ox1x2  przyporzą dkowuje  punkt  P t   pł aszczyzny  O l 1 !2  w  ten  sposób, aby  obrazem  przekształ conego  elementu z  rys.  2  stał   się   regularny  kwadrat  o  boku  2 x2 , w  którym  wę zły  rozmieszczone  są   równomiernie  (rys. 3). ZASTOSOWANIE  WIELOMIANÓW  H ERM ITE'A 357 Rozpatrzymy  jeden  z elementów  z rys.  2.  N a rys.  4 i  5 element  ten jest  przedstawiony na  pł aszczyź nie  Ox1x2  oraz  O l 1 ^ 2 .  Liczbę  wę zł ów  dla  elementu  przyjmiemy  jako  równą ( m + l) ( n + l) ,  gdzie  w +  1 oraz  n+l  są  liczbami  wę zł ów  na  liniach  równoległ ych  do  bo- mn on - 1 mo oo j _ - 10  - 1 mn +1 oma Rys.  4 Rys.  5 ków  elementu.  Funkcje  transformują ce  zapisać  moż na  symbolicznie  wzorem Zaż ą dajmy,  aby  funkcje  opisane  wzorem  (3.1)  speł niały  we  wszystkich  wę zł ach  tarczy warunki; (3 . 2 ) r^ ifti  £2\ i  . _4 [x  {Cj,  c/ j;j,fi|2  —  J C / it , ^ . Symbol  po  przecinku  oznacza  tu  róż niczkowanie  wzglę dem  odpowiedniej  zmiennej. Aby  speł nić powyż sze warunki,  funkcje  transformują ce  przyjąć  należy  w  postaci (3.3) gdzie k,q z = 0 ,  1, ...,m,  k = 0 , 1 , ..., »,  p,q  =0,1, x{kp ą  • —•  uogólnione  współ rzę dne  wę zł owe,  czyli  wartoś ci  współ rzę dnych oraz odpowiednich  pochodnych  wzglę dem  I 1 i | 2  w  danym  wę ź le tarczy, 1 ) oraz H qk H 2 )  —  wielomiany  H ermite'a. Wystę pują ce  we wzorze  (3.3)  uogólnione  współ rzę dne  wę zł owe  wyznacza  się  wedł ug schematu opisanego  poniż ej. 1, Dzieląc tarczę  n a  elementy  wyznacza  się  współ rzę dne  wę zł ów,  leż ą cych  n a  bokach i  wewną trz  obszaru  elementów. 358  K.  D EMS 2. D la każ dego  elementu wprowadza  się funkcje  transformują ce  w postaci (3.4.1)  **(£», I 2 )  - gdzie Z, — wielomiany  Lagrange'a, */ * — współ rzę dne wę zł ów. Poprzez  funkcje  (3.4.1)  każ dy  element  oryginalny  tarczy  przekształ ca się  również  na regularny  kwadrat  o boku 2 x 2 w ukł adzie  O^ i2. 3. D la wszystkich  wę zł ów  każ dego  elementu oblicza  się pochodne funkcji  transformu- ją cych  (3.4.1) wzglę dem  f1  oraz f2,  zgodnie ze wzorem (3.4.2) Ł2 « '   xik  > i.k r,q  = 0 , 1 ,  f, JP  = 0 , 1 ,  . . . . m ,  fc,  /   = 0 , 1 ,  . . . , « ,  / = 1 , 2 . x1 x2 x1 to Ł i  Ł Rys. 6 Ł z  Ł 4. D la wę zł ów  leż ą cych n a bokach elementów, jako  należ ą cych równocześ nie do  kilku elementów, wartoś ci  odpowiednich pochodnych uś rednia się. Z ASTOSOWAN I E  WI E LO M I AN Ó W  H E R M I T E ' A 359 Dzię ki  takiemu  postę powaniu  w  wę zł ach  tarczy  znane  są  współ rzę dne  wę zł owe  oraz ich pochodne wzglę dem  I 1  oraz  £ 2 . Tak  więc okreś lone  są  w  zupeł noś ci funkcje  transfor- mują ce  (3.3). Zaproponowany powyż ej  sposób  wyznaczania  pochodnych podyktowany  jest  dą ż eniem do uzyskania  jak  najmniejszej  deformacji  siatki  narzuconej  n a  tarczę  przy  transformacji ukł adu współ rzę dnych. Zał óż my,  dla  uproszczenia,  że  funkcje  transformują ce  są  funkcjami  jednej  zmiennej [postaci x  =   x(f)]  i rozpatrzmy dwa  liniowe elementy poł oż one wzdł uż osi x,  które  okreś lo- ne  są  poprzez  współ rzę dne  swoich  koń ców  (rys.  6a).  Elementy  te  chcemy  przekształ cić na  elementy jednakowej  dł ugoś ci,  poł oż one wzdł uż  osi  £.  U stalając  począ tkowo  liniową zależ ność  mię dzy  xa f,  przedstawioną  n a rys.  6b, widzimy,  że w punkcie wspólnym  dwóch są siednich  elementów róż ne są pochodne X wzglę dem  f.  Tak wię c, dla są siednich  elementów przekształ cenie  takie  nie  zapewnia  cią gł oś ci  pochodnej  x^ .  D ą ż ąc  do  zapewnienia  tej cią gł oś ci  zał oż ymy  w  punkcie  wspólnym  elementów  wartość  tej  pochodnej,  n a  przykł ad zero.  Funkcja  transformują ca  musi  mieć wtedy  przebieg  pokazany  na  rys.  6c. Przekształ - cenie takie  znacznie  róż ni  się  od  poprzedniego  przekształ cenia  liniowego.  M oż na  również zał oż yć przekształ cenie, w którym  we  wszystkich  wę zł ach wspólnych  pochodne x i(   równe bę dą  ś rednim arytmetycznym  pochodnych wynikają cych  z liniowego  przekształ cenia każ de- Rys.  7 go  elementu. Przebieg  funkcji  transformują cej  w  tym przypadku  pokazany jest n a  rys.  6d. Jak  widać,  to  ostatnie  przekształ cenie zapewnia  dla  są siednich  elementów  cią gł ość  współ - rzę dnej  x  oraz jej  pochodnej  x iS   przy  stosunkowo  mał ej  deformacji  w  stosunku  do  prze- kształ cenia  z  rys.  6b.  D eformacja  ta  może  mieć  znaczenie  w  przypadku  numerycznego cał kowania  funkcji  f(x)  metodą  G aussa.  G dy charakter  przebiegu  x  w  funkcji  £ róż ni  się znacznie  od  przebiegu  liniowego,  wartość  cał ki  liczona  metodą  G aussa  (przy  zamianie zmiennej  x  na  f  w  wyraż eniu  podcał kowym)  może  odbiegać  od  wartoś ci  dokł adnej.  Im bardziej  funkcja  transformują ca  zbliż ona  jest  do  funkcji  liniowej,  tym  wartość  cał ki  jest dokł adniejsza. Rozpatrzmy  teraz cią gł ość  funkcji  transformują cych  (3.3)  oraz  ich pochodnych wzglę- dem  I 1  i  | 2  dla  dwóch  są siednich  elementów  tarczy  z  rys.  3  wzdł uż ich  wspólnego  boku. D la  elementów  przedstawionych  na  rys.  7,  dla  których  na  boku  wspólnym  zmienia  się edynie  f2,  mamy 360  K.  D E M S l,P  k,q vJ  —  V  V  d.£F"(f  )  rr q k(t2\   x ] J—J  J—l  ÓC > .p  k,q (3.5.1) '̂—w '. *  k,q _  V  V D la  elementu lewego n a boku  wspólnym  współ rzę dna I 1  =   1, Tak więc dla tego boku wzory  (3.5.1) przyjmą  postać k, ą (3 . 5 . 2 )  _  ̂ Y 1  <• k.q k,q D la  elementu prawego  na  boku  wspólnym  jest  £* =   — 1  i  wzory  (3.5.1)  przyjmują postać k.q 2 k,q (3.5.3) A,f2  —  ^ Wzdł uż wspólnego  boku zachodzą  oczywiste  zwią zki c = = 0 1 U wzglę dniając  powyż sze  widzimy,  że wzory  (3.5.2)  i  (3.5.3)  mają  identyczną postać. Tak  więc  przekształ cenie  okreś lone  wzorem  (3.3)  dla  są siednich  elementów  zachowuje cią gł ość  współ rzę dnych oraz ich pierwszych  pochodnych i pochodnej mieszanej  wzglę dem ZASTOSOWANIE  WIELOMIANÓW  H ERM ITE'A  361 I 1  i  f2.  Analogicznie  moż na wykazać,  że  pozostał e pochodne rzę du  drugiego  zachowują cią gł ość jedynie  w kierunku  wspólnego  boku.  Brak jest  natomiast  cią gł oś ci  tych pochod- nych w kierunku prostopadł ym do wspólnego  boku  dwóch elementów. 4. Funkcje jednostkowe  przemieszczeń  elementu  tarczy Rozpatrzmy  kwadratowy  element tarczy  w ukł adzie £ \   P  (rys.  5). Wprowadź my  jako uogólnione przemieszczenia  w wę ź le tarczy  wielkoś ci: W*oo —U}(J;I,  ii)  — przemieszczenie  wę zła w kierunku  osi  xJ, ( 4 J ) . 8) Przemieszczenie w dowolnym  punkcie elementu tarczy wyrazimy  w postaci (4.2)  u*tf\  e) i.k  p,ą gdzie Q'kpq są  to wielomiany  speł niają ce  warunek (4.3)  •   ^ T T g p i —  — Otj o k i ó rp   ó sq . Moż na więc  funkcje  te przyjąć  w postaci (4.4)  Qikpq{ź \  I 2 ) =   Hpi(.ix)H«k(C2). Uwzglę dniając  (4.4) w  (4.2), przemieszczenie w dowolnym pnnkcie elementu tarczy  okreś li- my jako (4- 5)  ul(£\   f2)  - ^  2  Hpi(e)H*K?)u{ kpq . i.P  k,q Powyż szy  wzór  wyraża  przemieszczenia  dowolnego  punktu  elementu tarczy  we  współ - rzę dnych  £ l, i2.  Znajdź my  zwią zki,  jakie bę dą  zachodził y mię dzy  przemieszczeniami  i ich pochodnymi w  tym  ukł adzie i w  ukł adzie x1,  xz.  Ponieważ  z zał oż enia przemieszczenie  uJ w dowolnym punkcie tarczy jest to przemieszczenie w kierunku  osi xJ, przeto przemieszcze- nia  w  obu  ukł adach bę dą  takie  same.  Inaczej  natomiast  przedstawia  się  sprawa  z  po- chodnymi przemieszczeń  w  obu  ukł adach. W  oparciu  o toż samoś ci 362  K.  D EMS o t rzym am y  zwią zek  m ię dzy  pierwszym i  poch odn ym i  przemieszczeń  w  obu  ukł adach. Z wią zek  m ię dzy  poch odn ym i  m ieszan ym i  w  obu  ukł adach  wyznaczymy  z  ukł adu  toż sa- m oś ci ( 4 - 6 - 2 ) P o c h o d n e  przem ieszczeń  wzglę dem  f1  i  f2  uzyskamy  przez  odpowiedn ie  zróż n iczko- wan ie  wzoru  (4.5).  N ast ę p n ie z  dwóch  pierwszych  równ ań  (4.6.2)  wyznacza  się poch odn e w/jixi  i u- j s , X 2.  Z  ró wn an ia  trzeciego i czwartego  wyznaczymy  poch odn e u^ p xi   i  M/ JI^S, a  z  os- t at n ich  d wó ch  ró wn ań  (4.6.2)  wyznaczyć  bę dzie  m oż na wtedy  poch odn ą  uJ x , xZ . Wyn ika  więc  z  powyż szego,  że  w  dowolnym  pun kcie  krzywoliniowego  elem en tu  tarczy z  rys.  4  wyzn aczyć  m o ż na  przemieszczenie  oraz  jego  poch odn e  wzglę dem  X1  i  x2,  jeż eli tylko  zn a n e  są  przem ieszczenia  wę zł owe  (4.1). Z badajm y  z  kolei  cią gł ość przemieszczeń  i  ich  poch odn ych wzdł uż  boku  są siadują cych elem en tów.  W  ukł adzie  I 1 ,  £ 2  dla  elementów  z  rys.  7,  róż niczkując  kolejno  wzglę dem  I 1 i  £ 2  wzór  (4.5)  i  uwzglę dniają c,  że  dla  elem entu  lewego  f1  —  1,  a  dla  elementu  prawego f1  = — 1 , okaże  się,  że  wzory  okreś lają ce  przemieszczenia,  ich  pierwsze  poch odn e  i  p o - c h o d n a  m ieszan a  dla  bo ku  wspólnego  mają  identyczną  p o st ać.  T ak  więc  dla  są siednich elem en tów  zach o wan a  jest  wzdł uż  wspóln ego  boku,  cią gł ość  przemieszczeń,  pierwszych p o c h o d n yc h  i  p o ch o d n ej  m ieszanej  wzglę dem  I 1  i  i2.  P ozostał e poch odn e rzę du  drugiego zach owują  cią gł ość jedyn ie  w  kierun ku  wspólnego  bo ku . P rzech o d ząc  d o współ rzę dn ych X1,  x2,  przemieszczenie dla  dwóch  są siednich  elementów zach owa  cią gł ość  wzdł uż wspóln ego  boku ,  gdyż jest  o n o iden tyczn e w obu ukł adach współ - rzę dn ych  i  zachowuje  cią gł ość  w  ukł adzie  I 1 ,  f2.  Wystę pują ce  we  wzorze  (4.6.1) po ch o d n e w/ ji,  u{ P ,  x*ci,  x 2 S t,  Xjz,  X 2 S 2 zachowują,  jak  wykazan o,  cią gł ość  wzdł uż wspólnego  boku, a  więc  i  p o c h o d n e uJ tX t  i  u J iXZ   zachowują  też  cią gł oś ć.  Inaczej  przedstawia  się  cią gł ość  p o - ch odn ej  m ieszan ej  u{ xiX 2.  P on ieważ  brak  jest  cią gł oś ci drugich  poch odn ych  przemieszczeń i  współ rzę dn ych  w  kierun ku  prostopadł ym do  wspólnego  boku  (w  ukł adzie  £ ',  i2),  brak więc  bę dzie  równ ież  cią gł oś ci  poch odn ej  u{ x , x2   dla  są siednich  elementów.  Wskutek  tego m o d el  t arczy  ulega  pewn em u  skaż eniu. D la  przem ieszczeń jed n o ro d n ych ( 4.7)  uJ  <*> Aj  X1+Bj  x2+C } przem ieszczen ia  wę zł ów  elementu  wynoszą ikio  —  ' ZASTOSOWANIE  WIELOMIANÓW  H ERM ITE'A  363 Wstawiają c  te wartoś ci  do wzoru  (4.5) otrzymamy, że przemieszczenie wyraża  się  ponownie wzorem  (4.7). Tak wię c  omawiane przekształ cenie oddaje  w sposób  ś cisły  przemieszczenia jednorodne,  co  w  pracy  [1]  uznano  za  kryterium  przydatnoś ci  proponowanych  funkcji jednostkowych. 5.  M acierz sztywnoś ci  elementu tarczy Energię  sprę ż ystą   elementu tarczy przedstawić  moż na w postaci E Zakł adają c,  że grubość  elementu tarczy jest  stał a  oraz uwzglę dniając  zwią zki 1  1  2 s*i  =   - ^  (ff^t- vcr^),  e X 2 = - g  (ffsj—va xl ),  e xlx2 .  =   —  ( 1 + r ) a x S energię   sprę ż ystą   elementu tarczy przedstawimy  w postaci (5.1)  E, - i-  f JDUl+^ +2ve xl s xl +j  ( 1- *)̂  J  dx'dx2, Eh (5.2)  gdzie D  =  j  —  sztywność  tarczy. W  przypadku  mał ych odkształ ceń sł uszne są   zwią zki 8u J 1 2 _ 8xJ' Sxix2   ~ dx 2  +   dx 1  * Uwzglę dniają c,  że  przemieszczenia  uJ  wyraż one  są   wzorem  (4.5), odkształ cenia wzglę dne przedstawimy  w postaci B *> =Ę   E  lH p X?)H« k (]; 2 )\ x Ju{ k p q ,  7 = 1 , 2 (5.3) i,P  k,q Uwzglę dniając  (5.3) w  (5.1), energię  sprę ż ystą   elementu tarczy przedstawić moż na w postaci *  =4 k, q s  ul m   u) lrs Zapisują c  powyż szy wzór  krócej  otrzymamy 2 2 m l n l m l n l S~T  / ;  /   i  /   ;  / /   / i  / i  / :  / i  / :  / i  ^"P9^  Uikpqujlrs- ( = 0  p= 0  k= 0  g~0  j =  0  r- =0  / - O 364  K.  D EMS K orzystając  ze  wzoru  (4.4)  oznaczym y Q '**«= *  IP1 Wtedy  współ czyn n iki  C!$"lJlrl'  okreś lone są wzoram i (5 5)  c*ią JIr°  - JfJ)yQ%fQ%!+ j ^ s + -   } gdzie  / je st  ja ko bia n em  przekształ cen ia. Wystę pują ce  we wzorach  (5.5)  poch odn e  QikJ  wyznaczyć  m oż na  z  ukł adu  równ ań (  } Stosując  zasadę  p r a c  przygotowan ych  do elem entu  tarczy  bę dą cego  w  stanie  równ o- wagi p o d  dział an iem sił  zewnę trznych  (dla tego  elem entu) m oż na wykazać,  że jeż eli  energia odkszt ał cen ia  wyraż o na  jest  jako  funkcja  przemieszczeń  uogóln ion ych,  odpowiadają cych tym  sił om,  t o (5.7)  £ . * . Z róż n iczkujmy  więc  wyraż en ie  (5.4)  wzglę dem  uogóln ion ego  przemieszczenia  wę zł owego „  2  m  1  n  1 E  ySu  ZJ ZJ ZJ ZJ  ZJ u "tkpq  ^- l/ -0  r- 0  /=0  s=0 U wzglę dn iając  po przed n ie i  (5.7) m oż na  n apisać 2  m  1  n  1 ~  y_j ZJ  ZJ  ZJ  ZJ  "̂   • "'*» ^ =   1 j  =  0  r =  0  1=0  j  =  0 gdzie  Pftp(( — u o gó ln io n a  sił a  wę zł owa,  odpowiadają ca  uogóln ion em u  przemieszczeniu wę zł owemu uf kpq> P orówn u jąc  (5.8)  z  (1.1)  widzimy,  że współ czynniki  CikfiJlrs  okreś lone  wzoram i  (5.5) są  po szu kiwan ym i  współ czyn n ikami macierzy  sztywnoś ci  elem entu  tarczy. 6.  Sieć dział ań  dla wyznaczenia  macierzy  sztywnoś ci Obliczen ie  współ czyn n ików  sztywnoś ci  elementu  tarczy  wymaga  wykon an ia  bardzo duż ej  iloś ci  rach u n kó w.  D latego  też  jedyną  praktyczn ą  drogą  ich  wyznaczenia  jest wy- korzystan ie  do obliczeń  elektron owej  m aszyny  cyfrowej.  P oniż ej  om ówion a  został a  sieć dział ań  d la  obliczenia  tych  współ czyn n ików. ZASTOSOWAN IE  WIELOMIANÓW  H ERM ITE'A 365 Obliczenia  współ czynników  macierzy  sztywnoś ci  podzielić  moż na  n a  dwa  zasadnicze etapy.  W  etapie  pierwszym,  po  wczytaniu  danych  dla  cał ej  tarczy,  wyznacza  się  uogól- nione współ rzę dne wę zł owe  dla  wszystkich  wę zł ów  tarczy.  W  etapie  drugim  wyznacza  się macierz sztywnoś ci  dla danego elementu. Jako  dane  wejś ciowe  wprowadzamy  współ czynnik  Poissona  v,  moduł   sprę ż ystoś ci podł uż nej  E, grubość  tarczy  h, liczbę  elementów, na które podzielono  tarczę  oraz współ - rzę dne x1,  x2  wę zł ów  tarczy.  Wyznaczenie  uogólnionych  współ rzę dnych  wę zł owych  prze- prowadza  się w oparciu o rozważ ania p . 3. Po pierwsze  wyznaczyć  należy pochodne współ - rzę dnych  wę zł owych  na podstawie  wzoru  (3.4.2). W  tym  celu wczytujemy  numery wę zł ów należ ą cych  do kolejnego  elementu i n a ich podstawie  zapamię tuje  się  współ rzę dne wę zł ów w blokach  X1  [0:m,  0:«]  i  x2[0:m,  0:«].  W  blokach  ^ [0:m]  i  £ 2[0:w] zapisujemy  współ - rzę dne wę zł ów w ukł adzie I 1 , £ 2 . Współ rzę dne te wyznacza  się ze  wzorów: (6.1) 2 m 2_ n 2 = 0 , 1 , f- 0,1, Jak  wynika  ze  wzoru  (3.4.2), przy  obliczaniu  pochodnych  zachodzi  konieczność  wielo- rotnego  wyznaczania  wartoś ci  wielomianu  Lagrange'a  L l{z)  i jego  pierwszej  pochodnej. L: t J =1 ; : - z- 1 L'- .-a • *[]]   1 b=o? tak . i nie * •  L'- a+L/b Rys. 8 Obliczenia  te  wykonywane  są  przez  podprogram  =   WIELOM IAN   ~  z  rys.  8.  Wartość wielomianu i jego pochodnej wyznacza  się ze wzorów  rekurencyjnych L**- L'- (6.2) 1 Z t —Zj j=0,  1, ...,/ — i.t+l,  ...,© . Obliczenia  pochodnych w  wę zł ach elementu przeprowadza  się  wedł ug  schematu  z  rys.  9. W  opisany  sposób  oblicza  się  pochodne współ rzę dnych  w  wę zł ach  kolejnych  elementów, 366 K.  D EMS zapamię tując  równocześ nie  ile  razy  powtórzył   się   dan y  wę zeł.  P o  przeprowadzen iu  obli- czeń  dla  wszystkich  elementów,  w  wę zł ach,  które  powtórzył y  się   wię cej  n iż  jeden  raz oblicza  się   ś rednie  arytmetyczne  odpowiednich  poch odn ych .  W  wyniku  tego  postę powa- n ia  mamy  okreś lony  dla  każ dego  wę zła  tarczy  zespół  uogóln ion ych  współ rzę dnych  x1,  x2, xftu  x%,  x)p,  x%2, Xjip,  x%ą z.  Cał ość  obliczeń  uogóln ion ych  współ rzę dnych  wę zł o- wych  przebiegać  bę dzie  wedł ug program u  z  rys.  10. J ; = I Podprogram  =  WIELOMIAN  =  z  r ys. 8 Podprogram  =  WIELOMIAN  -   z  r ys . 8 xlji0  : Rys. 9 P o  zakoń czeniu  etapu  pierwszego  przechodzi  się   do  wł aś ciwego  obliczenia  współ czyn- ników  macierzy  sztywnoś ci.  W  etapie  tym  zachodzić  bę dzie  konieczność  wielokrotn ego wyznaczania  wartoś ci  wielomianów  H erm ite'a  i  ich  pierwszych  poch odn ych .  Obliczenia te wykonuje  podprogram  =   H E R M I T  =   z rys.  11. Korzystają c  z podprogram u  =   WI E LO - M I AN   =» oblicza  się   L '(ź ),  [L '(z)]'  oraz  [L'(z,)]',  a  n astę pn ie  korzystają c  z  wzorów  (2.2) Z ASTOSOWAN I E  WI E LOM I AN ÓW  H E R M I T E ' A 367 wyznaczamy  wartość  wielom ianów  H erm ite'a  rzę du  zerowego  i  pierwszego  oraz  ich  po- chodn ych.  Wynik  obliczeń  zapam ię tany  jest  w  pomocniczych  blokach  H  i  H'.  Obliczenia wartoś ci  wielom ianów  H erm it e'a  i  ich  pochodn ych  dla  wszystkich  wę zł ów  elementu  prze- czytan ie  dan ych  d la  cafej  t arczy Wczytanie  n um erów  wę zfów  kolejnego  elem en tu i  utworzen ie  bloko'w  x"1,  x2,  £ 1 ,  £ z Obliczenie  pochodnych  wspótrzą dnych wę zł ów  elementów  w/g  rys. 9 Czy  policzono  pochodne  dla  wszystkich elementów? me tak U ś rednienie  wartoś ci  pochodnych  dla wę zł ów  powtarzają cych  się R ys.  10 P odpragram =  WIELOMIAN  =   z  r y s .  8 P odprogram =  WI£LOMIAN =   z  r ys. 8 =  0 (1 )m  w Podprogram = HERMlT=z  rys. 11 k- .- o( I L:=o(1)n \ rs- fc1;  zr . = i 2 [ i ] Podprogram = HERMIT=z  rys. 11 | 1 ] R ys.  11 R ys.  12 Podprogram =DOD=  dla  ZK =  HK' [ o:m,o- - ij ,  ZE=HE[ o ; n,  o : i ] „ 1   .   _ 7 * 1   •   v  ̂ 7 9 * »h 1   • - * - "  ,   x , t 1 • ml- i. o(i)m k: = o(1)n \ ą :=o(D'l 1 Podprograrn=DOD=  dla  ZK = HK [ o:m, o- .i],  ZE=  HE'[ o:n, ł - 0 k: •Dm  ^ = o(i)n p- .=a(1)1 q:=o(1l- 1 Q,[ ', : =  Z1 ł k,p,a i i i [i I l k , :  = Z2 ,P,a] j ł Podprogram  = D 0 D = :  i : =  o(i)m k:=o(i)n q.:=   0(1)1 1: = Z1 + P- x1[ i,k,p,q.]   ; I Rys. 13 [ 3 6 8 ] Z ASTOSOWAN I E  WI ELOM I AN ÓW  H E R M I T E 'A 369 prowadza  się  wedł ug  rys.  12.  Wyn iki  obliczeń  zapam ię tane  są  w  blokach  HK, HE,  HE^ i.  U przedn io  wyznaczyć  należy  współ rzę dne  wę zł ów  w  ukł adzie  £ J ,  i2  wedł ug wzorów  (6.1).  N astę pn ym  krokiem  obliczeń  jest  wyznaczenie  pochodn ych  wzglę dem  I 1 i  f2  funkcji  transformują cych  (3.3)  oraz  funkcji  Qikpn  okreś lonych  wzorem  (4.4).  Obliczenia te prowadzi  się  wedł ug p ro gram u  z rys.  13. Wystę pują cy  tu podprogram  =   D O D  =   oblicza odpowiednie  poch odn e  wzglę dem  jednej  ze  zmiennych  I 1  lub  | 2 .  W  podprogram ie  tym wykorzystane  są  bloki  X1  i  X2  zawierają ce  uogóln ion e  współ rzę dne  wę zł ów  elementu. i :  =   o ( 1 ) m A:  = Q ) X 1 Q ł X Z [ i,k, [ i,k, ,k P,f P.c * I  *   —  [ A ,   v " > '  £*   Y u ^ l  / I, J >  —  \ r\   A,   f  U  A  j  t  / /   U ,  J  •   '  *   D"  X  ,   fc1   rn "  X ,   t  Z / /   ŁJ I Rys.  14 Transform ację  funkcji  Q"^ q  i  g;|'2' a  n a  funkcje  Q%q  oraz  g1'^ 9  przeprowadza  się  wedł ug rys.  14  w  oparciu  o  ukł ad  równ ań  (5.6).  Wystę pują cy  tu  jakobian  przekształ cenia  (6.3) został   wyliczony  w  kro ku  poprzedn im (6.3)  /  =  x%  xfti—xfaxfti. C ał kowanie wzorów  (5.5) przeprowadzam y  numerycznie  wedł ug wzoru  kubatur  G aussa [2] (6.4) gdzie  Fffiqjlrs  są  to  wyraż enia  podcał kowe  wzorów  (5.5),  q>j —  współ czynniki  wzoru kwadratur  G aussa,  tj  —  pierwiastki  wielomianu  Legen dre'a,  nazywane  wę zł ami  wzoru kwadratur  G aussa.  Liczbę  wę zł ów  należy  przyjmować  taką,  aby  bł ąd  cał kowania nume- rycznego  funkcji  podcał kowej  (5.5),  bę dą cej  wielomianem  algebraicznym,  był  równy  zeru. D la  funkcji  podcał kowej  typu  £ l p £ 2 «  liczba  wę zł ów  musi  być  taka,  aby  speł niony  był warun ek (6.5) p+q  ^  2w—2. N ależy  zwrócić  uwagę,  że  gdy  jakobian  przekształ cen ia  7  =   0,  to  funkcje  podcał kowe wzorów  (5.5)  stają  się  zerem .  M oż emy  dzię ki  tem u  pom in ąć  sumowanie  (6.4)  i  unikamy u ; =  o ( 1 ) w jf:  =  KH0  IIpeflCTaBH Tb  BH yTpeH H H e o 6 o 6 m e H H e  CHJIbl  B  y3JiaX  3UeMeHTa KaK  jiM ieH H bie  c byH K in u i  n e p e i we m e i m fi  y3JiOB. B  p a 6 o T e  n p eflC T aBJ ien  MeTOfl  n ptiM eH eH H H   noroiH OM OB  3p M H T a  fljia  o n p e fle n e H H a  mrpwjfii  H iKe  cxem a >i