Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  9 (1971) C H AR AK T E R YST YK A  S T ABI L N O Ś CI P R Z E P Ł YWU ,  Z E  Z M I E N N YM P R O F I L E M   P R Ę D K O Ś C I,  P Ł YN U   O  S K O Ń C Z O N YM  P R Z E WO D N I C T WI E E L E K T R YC Z N YM   W  P O L U   M AG N E T YC Z N YM Z BI G N I E W  K Ł O S  (WARSZ AWA) Badan iu  zagadn ien ia  stabiln oś ci  przepł ywu  równoległ ego  ze  zmiennym  profilem  prę d- koś ci  (przepł yw  ś cinają cy)  poś wię conych  był o  wiele  prac  analizują cych  tak  bezdysy- patywne  [1,  2,  3], jak  i  dysypatywne  [4]  ukł ady  hydrodynamiczne.  Z agadnienie  to był o  także  badan e  dla  ukł adów  m agnetohydrodynam icznych.  D la  hydrodynamicznego, bezdysypatywnego,  warstwowego  przepł ywu  nieś ciś liwego  dostatecznym  warunkiem  sta- bilnoś ci jest  speł nienie w  cał ym  obszarze  przepł ywu  nierównoś ci  J(z)  >  1/4  (gdzie  / (z)  = =   liczba  R ich ardson a  dla  dan ego  przepł ywu).  Okazał o  się   przy  tym  (porównaj  [2]),  że m oduł y  urojonych  prę dkoś ci  fazowych  dowolnych  modów  niestabilnych  zawarte  są   w  pół - kolu,  którego  prom ień  okreś lony  jest  przez  granice  zmian  wartoś ci  prę dkoś ci  przepł y- wu  U(z). W  ram ach  m agn etoh ydrodyn am iki  zagadnienia  stabilnoś ci  przepł ywu  warstwowego był y rozważ ane przede wszystkim  dla ukł adów bezdysypatywnych  w jedn orodn ym  [5, 6, 7], ja k  i  n iejedn orodn ym  zewnę trznym  polu  magnetycznym.  Szczególnie  rozlegle  badan o niestabilność  przepł ywu  ze  schodkową   funkcją   profilu  prę dkoś ci,  tzw.  niestabilność  Kel- vin a- H elm h oltza  [5, 7]. AG RAVAL  [8],  dla  bezdysypatywnego  przepł ywu  z  cią gł ym  profilem  prę dkoś ci  U(z) i  gę stoś ci  Q(Z)  zn alazł , że prę dkoś ci zespolone m odów niestabilnych również leżą  w pewnym pół kolu,  analogicznie  jak  dla  przepł ywu  hydrodynamicznego,  przy  czym  promień  tego pół kola  zredukowan y  jest  przez  wpł yw  zewnę trznego  pola  magnetycznego.  Przy  polu ma- gnetycznym  speł niają cym  w  cał ym  obszarze  przepł ywu  warun ek:  A  >  (U max —U min )/ 2 (gdzie  A  —  liczba  Alfvena  dla  przepł ywu),  przepł yw  pozostaje  stabilny  dla  dowolnych liczb  R ichardson a. Pewną   charakterystykę   przepł ywu  typu  ś cinają cego  podał   WIELICH OW  [9],  rozważ ając asym ptotyczne  rozwią zan ia  równ ań  przepł ywu  z  uwzglę dnieniem  lepkoś ci  i  skoń czonej przewodnoś ci  elektrycznej  (dla  duż ej  magnetycznej  i hydrodynamicznej  liczby  Reynoldsa). Analizę   m odów  niestabilnych  przeprowadził   WI E LI C H OW  dla  nieskoń czonej  przewodnoś ci elektrycznej. W  przypadku  przepł ywu  pł yn u  o  skoń czonym  przewodnictwie  elektrycznym  w  zew- n ę trzn ym  polu  m agnetycznym —  pł yn  dyfunduje  poprzez linie  sił  pola  burzą c tym  samym 434  Z B .  KŁ OS stabilizują cy  wpł yw  tego pola, z jakim  mamy do czynienia przy  nieskoń czonej  przewodnoś- ci  elektrycznej. Interesują ce  jest jakie  wł asnoś ci  posiadają  mody  niestabilne  dla  przepł ywu  ze  skoń- czonym  przewodnictwem  elektrycznym  i  jak  pole  magnetyczne  zmienia  kryterium  sta- bilnoś ci  takiego  przepł ywu. Poniż ej  rozpatrzymy  przepł yw  ze  zmiennym  profilem  prę dkoś ci  pł ynu  nielepkiego i  nieś ciś liwego o skoń czonym  przewodnictwie  elektrycznym  w zewnę trznym  jedn orodn ym polu  magnetycznym.  Zał oż ymy przy  tym,  że przepł yw jest  ograniczony  dwiema  równole- gł ymi,  sztywnymi  pł aszczyznami  o  doskonał ym  przewodnictwie  elektrycznym. M agnetohydrodynamiczne równania przepł ywu pł ynu nieś ciś liwego,  nielepkiego  o skoń- czonym przewodnictwie  elektrycznym  mają  postać P\ i%  u  Pin = 0 ; • 71  Cl m. 4^+ (uV)H  =  H xVu- Vx  \ - £— VXH   L dt   x   \ _Ana  Jdt gdzie u — wektor  prę dkoś ci  przepł ywu; H  — wektor  pola  magnetycznego; p — ciś nienie, X —•  wersor  sił y grawitacyjnej;  g — przyspieszenie  grawitacyjne;  a — przewodnictwo  elek- tryczne, jM  — przenikalność magnetyczna. D o  rozważ ań  ustalimy  kartezjań ski  ukł ad współ rzę dnych x, y, z, kierując  oś x  zgodnie z zewnę trznym jednorodnym polem magnetycznym  H o .  Przyjmiemy  również, że  kierunek prę dkoś ci  przepł ywu  niezaburzonego jest  zgodny  z H o , a jej  wartość  zmienna w  kierunku prostopadł ym  do  przepł ywu,  tzn.J  U  =   [U 0 (z),  0, 0].  P on adto  zakł adany,  że  gę stoś ć, ciś nienie, jak i przewodnictwo  elektryczne  przepł ywu  niezaburzonego,  są  zmienne  wzdł uż osi  z, tzn. Q 0   — Q 0 (z)> Po  =  Poi?) i a  =  a(z)- W  celu  zbadania  stabilnoś ci  tak okreś lonego  przepł ywu  posł uż ymy  się teorią  liniową. Zał oż ymy,  że  w  wyniku  zaburzeń  wartoś ci  param etrów  przepł ywu  ustalonego  doznał y mał ych przyrostów,  mianowicie (2)  u *= U 0 - fu ',  H  =   H 0 + h ' ,  p=Po+p',  Q=Qo+Q', przy  czym, ponieważ  parametry  przepł ywu  niezaburzonego  są jedynie  funkcją  z,  zaburze- n i e / '  dowolnego  param etru w rozł oż eniu n a mody  normalne ma postać (3)  / '  =  / (z)exp [i(k x x+k y y- k x   et)], gdzie  k x ,  k y  — skł adowe  wektora  falowego  (rzeczywiste),  zaś  c  jest  prę dkoś cią  fazową zaburzenia  (w ogólnoś ci  zespoloną ). W ram ach analizy  liniowej  zn ak  czę ś ci  urojonej  prę d- koś ci  okreś la  nam narastanie  (Imc >  0) lub tł umienie  (Imc <  0) zaburzenia. Podstawiając  do ukł adu  równań  (1) wyraż enia  (2) i  linearyzują c,  otrzymujemy  ukł ad równań  na wielkoś ci zaburzeń  parametrów przepł ywu, przy  czym  poszukujemy  rozwią zań w postaci  (3). Po przekształ ceniach i wyeliminowaniu  róż nych  niewiadomych  otrzymujemy (por.  [4, 9]) dla skł adowej  u' z  zaburzenia  prę dkoś ci  przepł ywu  i  h' t  — pola  magnetycznego nastę pują cy  ukł ad  równ ań : C H AR AKTE R YSTYKA  STABILN OŚ CI  P R Z E P Ł YWU   P Ł YN U   435 (4) gdzie P o  wprowadzeniu  nowej  zmiennej  w  =  U'JW ,  W   =  U Q —c  i  przejś ciu  do  wielkoś ci  bez- wymiarowych h*  —   z   W *  —  r*  —  - i—  n*  —  Ł o • "O  ^ c  U e  g c / c*, A:*, fe*, D *  =   d(k,  k x ,  k y ,  D), gdzie  U c ,  Q c ,  d —  odpowiedn ie  wielkoś ci  charakterystyczne  dla  prę dkoś ci  przepł ywu, gę stoś ci  i dł ugoś ci (w dalszym  cią gu  opuszczać bę dziemy  gwiazdki przy wielkoś ciach bezwy- m iarowych),  równ an ia  (4)  przybiorą   postać 7,2 gA 2 (D 2 ~k 2 )h  =   " gdzie: — K A  =- -  \  - j—= yj  I  —  charakterystyczna  liczba  Alfvena, —  m agnetyczna  liczba  Reynoldsa, 7] g d G  =  —j2  —  liczba  grawitacyjna. C Stabilność  ukł adu  opisanego  równ an iam i  badać  bę dziemy  przy  konkretnych  warunkach brzegowych.  Przyjmiemy,  że  przepł yw  ograniczony  jest  dwiema  sztywnymi,  wzajemnie równoległ ymi  pł aszczyzn am i  o  doskon ał ym  przewodnictwie  elektrycznym,  poł oż onymi symetrycznie  wzglę dem  pł aszczyzny  xy  (tzn. z  =   ±d)   przyję tego  ukł adu  kartezjanskiego. T ak  wię c,  n a  granicy  zn ikać  muszą   skł adowe  n orm aln e zaburzeń prę dkoś ci  i pola  magne- pycznego.  Otrzymujemy  stą d, że n a granicy  (w jedn ostkach bezwymiarowych  przy  z  —  ±1) (6)  w  =   0;  h  =   0. Jak  wpom n ian o wyż ej  dla  m odów  niestabilnych  urojona  czę ść  c t   zespolonej  prę dkoś ci fazowej  zaburzenia jest  dodat n ia. Aby  scharakteryzować  pewne  wł aś ciwoś ci  tych  modów, pom nóż my  równ an ie  (5)i  przez  w  (w —  sprzę ż ona  wartość  do  w)  i  scał kujmy  stronami 436  Z B .  KŁOS w przedziale zmian z  (— 1 <  z  <  + 1 ) .  W  wyniku  cał kowan ia przez  czę ś ci,  przy  wykorzys- tan iu  warunków  brzegowych  (6),  otrzymamy  zależ ność + 1  + 1  + 1 (7)  _  f  A2ew(D2- k2)hdz  =  f   e W 2 [\ Dw\ 2 +k 2 \ w\ 2 ]dz+  J  G(Dg)\ w\ 2 dz, - 1  - 1  - 1 gdzie  I •  I  oznacza m oduł   danej  wartoś ci. Wykorzystują c  równanie  (5) 2 jak  i warun ki  (6), cał kę   z  lewej  strony  równ an ia  (7)  prze- kształ cimy  n astę pują co: + 1  + 1 J  A2Q\ v(D2- k2)hdz  =   -   /   A2Q[\ Dw\ 2+k 2\ w\ 2]dz- - 1  - 1 + i  +1 -   /   A2 S [iS- k 2 \ S\ 2 ]\ (D 2 - k 2 )h\ 2 dz+  f  A 2 Q\ D[S{D 2 ~k 2 )h}\ 2 dz, - t  - 1 gdzie  S=  W I(R m k x \ W \ 2 . Równanie  (7) przyjmuje  wię c  ostateczną   postać + 1  + 1 -   J  A2Q[iS- k2\ S\ 2]\ (D2~k 2)h\ 2dz+  J  A2e\ D[S{D2- k2)h]\ 2dz  = =   f  Q[A2- W2][\ Dw\ 2+k 2\ w\ 2]dz-   j  G^ - ^ 1 x f j - 1  - 1 U wzglę dniają c,  że  W —  U—c=  (U—c r )—ki,  z  równ an ia  (8)  p o  przyrówn an iu  jego czę ś ci  urojonych  otrzymamy  zależ ność (9)  J D la modów  niestabilnych  cf  >  0, a wię c  wyraż enie  w  nawiasie  klamrowym' 1  równ an ia  (9) jest  dodatn ie  w  cał ym  obszarze  przepł ywu;  a  zatem  dla  tych  m odów  czę ść  rzeczywista prę dkoś ci  fazowej  winna  być  ograniczona  warun kiem U mln   0)  lewa  stron a  równ oś ci  (10) jest  dodatn ia.  W  przypadku przepł ywu  gdzie  DQ <  0  (wzrost  gę stoś ci  zgodnie  ze  zwrotem  sił y  grawitacyjnej)  drugi C H AR AKTE R YSTYKA  STABILN OŚ CI  P R Z E P Ł YWU   P Ł YN U   437 czł on  po prawej  stron ie  równ oś ci  (10) jest  również  dodatn i. Z n ak pierwszego  czł onu pra- wej  strony,  przy  ustalon ym  profilu  prę dkoś ci  U(z), zależy  od  wartoś ci  liczby  Alfvena, jak  i  od prę dkoś ci  fazowej  m odów  niestabilnych.  Czł on  ten bę dzie  dodatn i  dla  modów o  duż ych  prę dkoś ciach  n arastan ia  c t   >  (U mStX — U min ),  a  wię c  równość  (10)  dopuszcza istnienie tych m odów przy  dowolnej  wartoś ci  liczby  Alfvena.  Wynika  stą d, że w przypadku skoń czonej  przewodnoś ci  elektrycznej,  zewnę trzne  pole  magnetyczne  nie  może  w  peł ni zabezpieczyć  przepł ywu  przed  wystą pieniem  niestabilnoś ci.  Przy  doskonał ym przewodnic- twie  elektrycznym  równ an ie  (10) sprowadza  się  do równania  dyskutowanego  przez  Agra- wala  [8] (lewa  stron a  staje  się  równ a  zeru)  i  wtedy  wyraź nie  widać,  że pole  magnetyczne może  stabilizować  przepł yw. P eł n a  charakterystyka  m odów  niestabilnych  sprowadza  się   do  dokł adnego  zbada- n ia  równ ań  (5), co jest  równ ozn aczn e z badaniem  problem u wł asnego  dla operatora  linio- wego czwartego  rzę du o zm iennych współ czynnikach. Wiadom o, że jest to problem bardzo trudn y. Z badam y  wię c  powyż sze  równ an ia  w  pewnym  granicznym  przypadku,  mianowicie dla  sł abego  pola  magnetycznego  A  - 4 1 i  dobrej  przewodnoś ci  elektrycznej  R,„ >  1 przy zaburzeniach  o duż ej  liczbie  falowej  k  >  1. W  tym gran iczn ym  przypadku  równ an ia  (5) upraszczają   się  w wyniku  dopuszczalnego przyję cia,  że  A2D2h  <ś A2k 2h  oraz  D2h/ R,„  <̂  k 2h/ R m   (przyjmujemy  bowiem  dla  ma- ł ych zaburzeń m ał ość ich poch odn ych ), do postaci k 2 O D   u   W   Q   **"' Z  równ an ia  (11) 2 otrzymujemy a  n astę pn ie podstawiam y  t o wyraż enie  do pierwszego  z  równań  (11), przy  czym  wprowa- dzamy  nową   zm ienną   zdefiniowaną   jako speł niają cą   identyczne warun ki brzegowe,  tzn . F(—  1) =  F(- \ -1) =  0. Tak uzyskane równanie m noż ymy  stron am i przez Fi  cał kujemy  w przedziale  ograniczonoś ci przepł ywu  ( —1,  + 1 ) . W  rezultacie  otrzymujemy  zależ ność ..  + 1  ,  •   + i j   e W [\ DF\ 2 +k 2 \ F\ 2 ]dz+- f   f  D( Q DU)\ F\ 2 dz+ ( 1 2 )  - 1 .  '+ , •   ~ ' gdzie J(z) =   VkMi  liczba  R ich ardson a. 438  Z B.  KŁOS Przyrównują c  czę ść  urojoną   równ an ia  (12) do  zera  oraz  uwzglę dniając  postać  G(z), otrzymujemy (13) gdzie (14) Ponieważ  dla  modów  niestabilnych  c t   >  0,  pierwszy  skł adn ik  w  nawiasie  klam rowym równania  (13) jest  dodatn i, to (przyjmują c,  że DU  ^   0 w  cał ym  obszarze  przepł ywu)  przy speł nieniu  warunku w  cał ym  obszarze  przepł ywu, m ody  niestabilne  wystę pować  n ie m ogą .  Oczywiś cie  t a k jest w  granicznym  przypadku  A  -^ 1, R m   >  1, k  >  1. Warun ek  (15) ł atwo  przechodzi w wa- run ki  stabilnoś ci  przepł ywu  uzyskane  poprzedn io. Przy  A  =  0  warun ek  (15)  redukuje  się do  kryterium  stabilnoś ci  w przepł ywie  hydrodyn am iczn ym  [1, 2, 5]. N atom iast przy  zał o- ż eniu R m   - •  oo warunek  (15)  sprowadza  się  do uzyskanego  przez  Agravala  kryterium  przy sł abym  polu  magnetycznym. Analizują c  (15)  widzimy,  że  wpł yw  sł abego  pola  m agnetycznego  jest  stabilizują cy, tzn .  stabilność przepł ywu  może być oczekiwana  przy  liczbach  R ich ardson a mniejszych niż 1/4. N a stabilność  wpł ywa  także wielkość M, kt ó ra zależy  również  od prę dkoś ci n arastan ia zaburzenia c,. k 2 D la  m odów  niestabilnych  o  bardzo  duż ych  prę dkoś ciach  n arastan ia  ą   $>  waru- nek  (15) przybiera  postać  identyczną ,  jak  w  przypadku  nieskoń czonego  przewodn ictwa elektrycznego. Z  postaci zależ noś ci  M(z) okreś lonej  przez  (14) wynika, że dla danego  m odu  niestabil- nego  charakteryzowanego  przez  k,  c r , ct  (przy  zał oż eniu DU  =^ 0;  Rm  =  const  w  cał ym obszarze  przepł ywu),  SMJdz  — 0 w pun kcie rezonansowym  z o (— 1 <  z Q   <  + 1 ) —  okreś- lonym przez  warunek  U(z 0 ) =   c r   (prę dkość fazowa  m o d u równ a  się  prę dkoś ci  przepł ywu w  tym pun kcie). W pun kcie tym  M(z)  przybiera  wartość  m in im aln ą   (82M/ dz2  >  0) w  ob- /   k 2  T 1 szarże  przepł ywu  równą   M min   = 11 - \  I  . Widać, że dla dowolnych m odów niesta- \   Cik x R m   I bilnych M min (Ci)  <  1, przy  czym M min   osią ga  wartoś ci wię ksze dla m odów  o  duż ych  prę d- koś ciach  n arastan ia c ; >   k 2 fk x R m ,  n atom iast mniejsze  dla m odów  o m ał ych  prę dkoś ciach n arastan ia. Aby m ody  niestabilne wystą pić  n ie mogł y, n ierówn ość  (15) win n a być speł nio- n a  w cał ym  obszarze  przepł ywu  (również w pun kcie z 0 );  widać  wobec  tego, że skoń czone przewodnictwo  ogranicza  stabilizują cy  wpł yw  pola  m agnetycznego  ( M m i n  <  1) n a  m ody o  duż ej  liczbie  falowej  k  do  przepł ywów  z  wię kszymi  liczbam i  R ich ardson a. CHARAKTERYSTYKA  STABILNOŚ CI  PRZEPŁYWU   PŁYNU   439 Reasumują c  powyż sze  stwierdzamy,  że  skoń czona  wartość  przewodnictwa  elektrycz- nego  w  przepł ywie  równ oległ ym  modyfikuje  warun ki  stabilnoś ci  tego  przepł ywu. D la  rnodów  niestabilnych,  których  propagacja  jest  dopuszczalna,  czę ść  rzeczywista prę dkoś ci  fazowej  win n a  być  ograniczona  warunkiem  U mlu   <  c r   <  U mBX .  Warunek  ten jest  identyczny, jak  w  przypadku  przepł ywu  z  doskonał ym przewodnictwem  elektrycznym czy  też  przepł ywu  hydrodyn am iczn ego. Z ewnę trzne  pole  m agnetyczne  nie  może  zabezpieczyć  w  peł ni  przepł ywu  z  dowolnym profilem  prę dkoś ci  U(z)  przed  wystą pieniem  niestabilnoś ci,  gdyż  przy  dowolnej  wartoś ci liczby  Alfvena  dopuszczaln a  jest  propagacja  m odów  niestabilnych  o  dostatecznie  duż ej prę dkoś ci  n arastan ia  c t   >  (U max —U mia ). P rzeprowadzon a  an aliza  przypadku  ze  sł abym  zewnę trznym  polem  magnetycznym A  <  1 i dobrą   przewodnoś cią   elektryczną   R,„ >  1, pokazał a,  że  dla modów  o  duż ej  liczbie falowej  k  >  1  pole  m agnetyczne  wykazuje  efekt  stabilizują cy  przepł yw  typu  ś cinają cego. U zyskan e  bowiem  kryterium  (15)  pokazuje,  że  przepł yw  może  być  stabilny  przy  liczbie R ich ardson a  mniejszej  niż  1/ 4. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  J. W.  M ILES, J.  F luid  M ech., 10 (1961),  496. 2.  L. N .  H OWARD , J. F luid  M ech., 10 (1961),  509. 3.  P . G .  D R AZ I N ,  L. N .  H OWAR D ,  Hydrodynatnic  stability of  parallel flow  of  invisced fluid, Advances in Applied  Mechanics, 9,  (1966). 4.  R.  BETCHOV,  W. O.  CRIM IN ALS, Stability of  Parallel Flows,  New  York- London 1967. 5.  S.  CHANDRASEKHAR,  Hydrodynatnic  and Hydromagnetic Stability, Oxford  1961. 6.  A.  K E N T ,  Stability  of  laminar magnetofluid flow  along a parallel magnetic field, J.  Plasma  Physics, 4 (1968),  543. 7.  R. A.  G ERWIN , Rev.  and  Phys., 40  (1968), 652. 8.  S. C. AORAVAL, C.  S.  AG RAVAL,  Hydromagnetic stability of  heterogenous shear flow, J. Phys.  Soc. Japan, 1, 27,  (1969). 9.  E . I I .  BEJIH XOB,  ycmounmocmb  njtocKOio  nya3euneea  menemtn  udea/ iino  npoeodmą eu  otcuÓKocmu  «  npo- MazHunmoM  noAe,  5K.3.T.., A, 36  (1959). P  e 3  IO  M  e XAP AKTEP H C TH KA  YC T O n ^ H B O C T H   T E ^ E H H fl  C I I E P E M E H H LI M  n P 04> H H E M C KOP OC TE fl  H H flK O C T H   C  KOH E^I H OH   3JI E KTP On P OBOflH OC TLK) B  M AT H H T H OM   n O J I E B  paSoTe  H3y^aeTCH   VCTOIF H IBOCTB  TeieH H a  co  C^BU TOM  npoBOflflmeS  »HflKocTH   BO BHeumeM   ofliio- poflHOM  MarHHTHOM  n o jie.  H 3 ypaBH eimft  MamHTHOH  rHflpoflHHaiMHKH   nony^ieH o  ycnoBH e ffrca TejIŁHOH   MaCTH  (J)a30B0H   CKOpOCTH   HeyCTOlfaHBŁDC  B03MymeHHH.  PaCCMOTpeH   CJiyraH   CO CJia6bIM HHTHbiM  nojieM   H  xo p o m e n  npoBOflHiwocTBiOj  / HIE K o io p o r o  nojryqeH O  flocTaio^H o  ycjioBH e  ycTOHiHBocTH n o  oTHomeHHio K B03MymeHHHM  c  6ojn>niHM   BOJIH OBBIM   I H C J I O M . 440  Z B.  KŁOS S u m  m a r y STABILITY  CH ARACTERISTICS  OF   FLOW  WITH   VARIABLE  VELOCITY  P R OF I LE  F OR A  F LU I D   WITH   F I N I TE  ELECTRICAL CON D U CTIVITY I N   A  M AG N ETIC F I E LD The problem  of  stability  of  dissipative  shear- flow  of  a fluid  with finite  electrical  conductivity  is  investi- gated  in  the presence  of  applied  uniform  magnetic  field.  Starting  from  the  magneto  hydrodynamic  equa- tions,  the condition for  the  real  part  of  the complex  phase  velocity  of  instability  modes  is  obtained. The analysis  is  also  carried  for  the case  of  weak  magnetic  field  and  very  high  electrical  conductivity.  I n such a  case  the sufficient  condition for  stability  has  been  formulated. ZAKŁAD   G EOF IZ YKI  P AN WARSZAWA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  7 grudnia  1970  r.