Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  9  (1971) PEWN E  U OG ÓLN IEN IE  PROBLEM U   BRACH ISTOCH RON Y Z BI G N I E W  M A Z U R K I E W I C Z  (WARSZ AWA) P roblem  brach istoch ron y  był   pierwszym  zagadn ien iem  rachun ku  wariacyjnego  posta- wionym  w  czerwcu  1696  r.  przez  Jan a  BERN OU LIEG O. Jak  wiadom o,  problem  ten  polegał   n a  wyznaczeniu  w  pł aszczyź nie  pionowej  takiej r  ż ywej  ł ą czą cej  dwa  pu n kt y  O,  A  (rys.  1), po  której  p u n kt  m aterialn y  ś lizgają cy  się   bez Rys. 1 tarcia  p o d  wpł ywem  sił y  cię ż koś ci  (mają cy  w  pun kcie  O  prę dkość  począ tkową   równą zeru) osią gnie  w  n ajkrótszym  czasie  p u n kt  A. W  pracy  tej  uwzglę dn iono  tarcie  ś lizgowe.  Oczywiś cie  w  takim przypadku  rozwią zanie bardzo  się   kom plikuje.  R ozwią zanie  problem u  doprowadzon o  do  ukł adu  trzech  nieli- niowych  zwyczajnych  równ ań  róż niczkowych.  W  toku  rozwią zania  otrzym an o  wzór umoż liwiają cy  wyznaczenie  czasu  spadan ia  p u n kt u  materialnego  p o  dowolnej  krzywej w  pł aszczyź nie  pion owej  z  uwzglę dnieniem  tarcia  ś lizgowego.  P oza  tym  otrzym an o  rów- n an ie  krzywej,  p o  której  p u n kt m aterialn y przesuwa  się  ze  stał ą   prę dkoś cią. Wprowadzon o  nastę pują ce  ozn aczen ia:  y  —  y(x)  —  równanie  poszukiwanego  toru, g  —  przyspieszenie  ziemskie,  Q —  prom ień  krzywizny  toru,  v  —  prę dkość  pun ktu  ma- terialnego,  m —  m asa  p u n kt u  m aterialn ego,  fi  —  współ czynnik  tarcia  ś lizgowego,  a  — ką t  nachylenia  stycznej  do  krzywej  w  dowoln ym  pun kcie. 386  Z.  MAZU RKIEWICZ Róż niczkę  przyrostu  energii  kinetycznej  wyraż amy  n astę pują co: (1)  ^ l ~ o —  =   mg sin a. as—/ nmgcos a ds—/ J,  as. W yk o n u ją c  r ó ż n i c z k o wa n ie  o r a z  u wz glę d n i a jąc  z n a n e  z wi ą z ki / O x  .  dv  dxW   sin a = —, —,  cos a  = *- j -, as  as (3)  ds  1 doprowadzamy  równanie  (1) do postaci (4)  vdv  =?gdy—/ j,gdx—/ j.v2y xx (l+yl)- 1/ 2 dx. N a  podstawie  ( 3) t  znajdujemy (5)  e- i- JŁCl+ czyli (6)  dv=- jj- dt  =  [ a  wię c  z  (5) i  (6) jest (7)  vdv  « Z  przyrównania  prawych  stron  wzorów  (4) i  (7)  otrzymujemy (8)  y xx y x x iJ r  (1 + j|) 3ć x  —gy  —/ ugx—fiy xx x 3 , lub N astę pnie  przyjmujemy  podstawienie (10)  B{x)=x\ P o  zróż niczkowaniu  znajdujemy (11)  — T — —2x'x,  ,  = 2 x . U wzglę dniając  wzory  (10),  (11)  doprowadzam y  równ an ie  (9)  do  postaci gdzie (13)  K(y)=- - {\ +yl),  L (y)  =   y xx (y x +p),  M(y)  ==  g(y x -   fi). Rozwią zanie  równ an ia  (12) jest  n astę pują ce: (14) P E WN E  U O G Ó LN I E N I E  P R OBLE M U   BRACH ISTOCH RON Y  387 N astę pnie  wykonujemy  cał kowanie U wzglę dniając  wyraż enia  (13),  (15)  doprowadzamy  wzór  (14)  do  nastę pują cej  postaci: (16)  x2 — Z  warunku  v(0) — 0 znajdujemy  C  — 0 oraz  po wykonaniu  prostego  przekształ cenia otrzymujemy  wzór  n a czas  Tześ liznię cia  się  pun ktu materialnego po torze pł askim y  =  y(x) z  uwzglę dnieniem  tarcia  ś lizgowego (17)  T o gdzie (18) Łatwo  zauważ yć,  że przy  p, =  0  wzór  (17) upraszcza  się  do  znanej  postaci Rozwią zanie  problem u  doprowadzono  do zadania  rachunku  wariacyjnego  n a ekstre- mum  warunkowe  dla  funkcjonał u (20)  /  =  /   H(y x ,z,z x )dx, o gdzie (21)  H =  (1 +y2yi2z- ll2e^ rct^ +X(x)[z x ~2g(y x ~fi)e 2 ^ r ^ t  »• ]. Jak  wiadomo,  muszą   być w tym przypadku  speł nione nastę pują ce  równania  E ulera: m  - c (2 2 ) * l (IŁ Po  wykonaniu  róż niczkowania  otrzymujemy  nastę pują cy  ukł ad  trzech  sprzę ż onych nieliniowych  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych: (2 3 ) Ś cisłe rozwią zanie  ukł adu równ ań  (23) jest niemoż liwe.  Rozwią zanie  tego ukł adu moż na otrzymać w sposób  przybliż ony,  n p . za pomocą   metody  iteracji.  U kł ad  (23) moż na  przed- 388  Z . MAZU RKIEWICZ stawić  w  postaci  jednego  równania  róż niczkowo  -  cał kowego.  N atom iast  sprowadzenie go  do jednego  równania  róż niczkowego  powoduje  duże trudn oś ci. Ł atwo  zauważ yć,  że przy  pc  — 0 jest (24)  z=2gy. Wtedy  n a  podstawie  (23)i  i  (23)2  znajdujemy  równanie  róż niczkowe (25)  3 wW t - j£ + l «0, którego  rozwią zanie  umoż liwia  otrzymanie  znanych  parametrycznych  równ ań  cykloidy. N a  podstawie  wzoru  (16)  moż na  ł atwo  otrzymać  równanie  krzywej,  po której  pu n kt materialny przesuwa  się  ze  stał ą prę dkoś cią  v c . Wykorzystując  przekształ cenie 'dx  ds\ 2 ( 26) * 2 = ̂ + * a >"1 «? doprowadzamy  wzór  (16) do postaci X (27)  v^ arc  'ej'-   =  2g J  {y x —(j)  e 2 " arc  t g^-   dx. o Po  wykonaniu  róż niczkowania  wzglę dem  zmiennej x  otrzymujemy (28)  v*[iy xx   =g(y x - Podstawiając  y x   —p,  y xx   =p x ,  znajdujemy (29) Z atem gdzie (31)  A=- P o  wykonaniu  cał kowania  otrzymujemy (32)  x+C=A[ln(y x P  e 3 w  M   e H EKOTOP OE  OBOEmEH H E  3AflA^ H   O  EP AXH C TOXP OH E B  paBoTe Aano  neKOTopoe  o6o6meHHe 3afla^H   o  epaxHCTOxpone,  cocToamee  B y^eie  TperaiH  CKOJIB- PemeH H e  3afla*ni  npHBefleHO  K peoieH H io  CHCTeMbi  Tpex  HenHHeMHbix  o6biKHOBeHHbix  fl^tp imaJitH bix  ypaBHeHHii  ( 23) , T c n io e  • Baxomp.emis  KOToporo  He  BO3M O>KH O.  OcymecTBHMO,  oflHaKO, n o - crp o eim e  npH6TOi)KeHHoro  peiueH H H ,  HanpHMep  n o  iweTOfly P E WN E  U OG ÓLN I E N I E  P R OBLE M U   BRACH ISTOCH RON Y  389 B  xofle  peuieHHH  n ojryn en a  cbopMyjia  ( 17) ,  n o KOTopofi  paccmiTbiBaeTCH   BpeMH  nafleiiiM   MaTepił ajiB- HOH   TOMKH   BflOJlb  n p0H 3B0JI BH 0H   K pH BO ń ,  paCnOJIOWeH H OH   B  BepTHKaJIBHOH   njIOCKOCTHj  n p H   3TOM   VHH- TWBaeTCH   J1HHHJI  CKOJIBMKeHHfl. BbiBeaeH O  TaioKe flii(bcbepeH u;na.riB>H oe ypaBnei- me  (32)  K P H BO H ,  n o  KOTopoił   iwaTepHanbHaa  To îKa nepeiviemaeTCJi  c  nocTOjraH oii  ci- copocTBio. S u m m a r y A  C ERTAIN   G EN ERALIZ ATION   O F   TH E  BRACH ISTOCH RON E PROBLEM I n  this  paper  a  certain  generalization  is  given  of  the brachistochrone  problem  by  introducing  the slide friction. The  problem  is  reduced  to  the  system  (23)  of  three  non- linear,  ordinary  differential  equations.  The exact solution  of these equations is not possible but an approximate  solution may be  obtained,  for  example by  means  of  the iteration method. I n  the paper also  the formula  (17) is  qiven for  the determination of  the  time of fall  of  the material point along  an  arbitrary  curve  lying in  the vertical  plane,  the slide friction  being  taken into account. The  differential  equation  (32) describing  the curve on which the velocity  of  the material point is constan has  been additionally  obtained. POLITECHNIKA  WARSZAWSKA Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia  23 paź dziernika  1970 r.