Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  9  (1971) WEWN Ę TRZNA  STATECZN OŚĆ  SPRĘ Ż YSTEGO  WALCA  KOŁOWEG O P R Z Y  OD KSZTAŁCEN IACH   SKOŃ CZON YCH ALEKSAN D ER  R  A  C  Z  E W  (SOF I A) U t rat ę   statecznoś ci  nieograniczonego  lub  ograniczonego  nieodkształ calnymi  powierz- chn iam i  oś rodka  jedn orodn ego  i  nieliniowego  omówiono  p o  raz  pierwszy  w  pracy  [1] oraz  n azwan o  wewnę trzną   niestatecznoś cią.  Zjawisko  to  róż ni  się   od  utraty  statecznoś ci elementów  posiadają cych  swobodn e  granice,  niejednorodnoś ci  lub  niecią gł oś ci.  W  [1] BI O T  rozważ ył   zagadn ien ie  pł askie  stosują c  zlinearyzowaną   teorię   ciał  wstę pnie  zdeformo- wa n yc h —  zapropon owan ą   w  [2].  N astę pn ie  WESOŁOWSKI,  korzystają c  z  teorii  mał ych odkształ ceń  n ał oż on ych  n a  duże  odkształ cenia,  zbadał   wewnę trzną   stateczność  peł nej sprę ż ystej  kuli  obcią ż onej  równ om iern ie  n a  powierzchni  [3], zaś  D U SZ C Z YK  przedyskuto- wał   niektóre  pł askie  przypadki  statecznoś ci  peł nego walca  poddanego  dział aniu  ciś nienia hydrostatycznego  [4]. W  niniejszej  pracy  rozważ ono  osiowo- symetryczne  zagadnienie  utraty  wewnę trznej statecznoś ci  peł n ego  walca  koł owego  wykonanego  z  m ateriał u nieliniowo  hipersprę ż yste- go  w  zał oż eniu, że  pu n kt y  powierzchn i  tworzą cej  walca  nie przemieszczają   się   w  kierunku prom ien iowym ,  zaś  n a  powierzchn iach  koł owych  dział a  obcią ż enie  norm alne  wywoł ują ce deformację   skoń czoną.  Warun ek  utraty  statecznoś ci  wyprowadzono  postulują c  istnienie rozwią zania  niezerowego  dla  m ał ego  odkształ cenia  nał oż onego  n a  począ tkowe  odkształ - cenie skoń czone  i jed n o ro d n e. 1.  Skoń czone  odkształ cenie  wstę pne Rozważa  się   peł n y  walec  koł owy,  który  w  stanie  nieodkształ conym B°  posiada prom ień R  i wysokość 2h 0   •   M at eriał  walca jest jedn orodn y  i  hipersprę ż ysty.  Przemieszczenie  w  kie- run ku  prom ien iowym  jest  kin em atyczn ie  ograniczone  (powierzchnia  tworzą ca  walca ogran iczon a jest  n ieodkształ caln ą  powł oką ), tak  że p o d  dział aniem obcią ż enia  normalnego n a  czoł o  walca  wszystkie  pu n kt y  doznają   skoń czonych  przemieszczeń  tylko  w  kierun ku osiowvm.  W  stanie  odkształ con ym B  walec  posiada  prom ień  R  i  wysokość 2/z. Jeś li  w  stan ie  odkształ con ym ja ko  ruchom e  (konwekcyjne)  współ rzę dne wybrać  współ - rzę dne  r,  '  z s   to  współ rzę dne  kartezjań skie  x t   oraz  j ;  dowolnego  pun ktu  przed  oraz  p o odkształ ceniu  okreś lone  są   zależ noś ciami 424 A.  RACZEW (1.1) (1.2) Xi  =   rcosO,  x 2   =   rsind,  x 3   —  — j i  =   rcosO,  )>2  =  rsinB,  y 3   —  z, gdzie  X =  hjh 0   <  1 oznacza  param etr  odkształ cenia. W  dalszym  cią gu  wykorzystamy  oznaczenia  i  n iektóre  wyn iki  zamieszczone  w  [5]. Tensory  metryczne  g  i  G   odpowiedn io  dla  stan u  n ieodkształ con ego  i  odkształ con ego mają  nastę pują ce  skł adowe  kowarian tn e  i  ko n t rawarian t n e: 1 0 r 2 0   0   ~ 0 o 1 (1.3) (1 . 4) N iezmienniki  odkształ cenia  są  nastę pują ce: (1.5)  / !  =   2 + P ,  72 niezerowe  zaś  symbole Christoffela  drugiego  rodzaju 1 0  0 - 0  0  A2J 1 0 0 0 r 2 0 _ 0 0 J ,   < 7 7  = 1 0 _0 0 1 1 r 0 0 0 1. h  = (1.6) 2 2 12  =   - I  21  — Stan  naprę ż enia  walca  opisany  jest  ten sorem  n aprę ż en ia  ze  skł adowymi  kon t rawarian t - nymi (1.7) gdzie (1.8) T- "  = * = - i= ^ =   - P, =   T 2 3  -   T 3 1  =   0, 8W ~8h zaś  ^ ( 7 !,  7 2 ,  73)  oznacza  funkcję  energii  odkształ cenia  m ateriał u  hipersprę ż ystego,  kt ó r a okreś la  cał kowicie jego  mechaniczne  zachowanie  się. Jak  wynika  z  (1.7),  n aprę ż en ia  styczne  n a  powierzchn i  tworzą cej  r  —  R  równają  się zeru.  A  zatem , jeś li  walec  ograniczony  jest  ciał em sztywnym,  t o  dla  zrealizowan ia  zał oż o- nego  odkształ cenia  kon ieczn e jest,  ż eby  mię dzy  tym  ciał em  i  walcem  nie  istn iał o  tarcie. Róż niczkowe  równ an ia  równ owagi  przy  braku  sił   m asowych (1.9)  T jż + r j.T "_ ) - / £ //   -   o speł nione  są  toż samoś ciowo.  W  ten  sposób  dla  zał oż on ego  m ateriał u stan  n aprę ż en ia  i  od- kształ cenia  okreś lone  są  param etrem  X lub  odpowiedn io  obcią ż eniem  P .  Bada  się  statecz- ność  takiego  stan u. WE WN Ę T R Z NA  STATEC Z N OŚĆ  SP RĘ Ż YSTEGO  WALC A  KOŁ OWE GO 425 2.  M ate  odkształ cenie dodatkowe P o  rozważ onej  dotychczas  deformacji  skoń czonej,  walec  został  poddan y  dodatkowem u m ał emu  odkształ ceniu  okreś lonemu  polem  wektora  przemieszczenia  EW. P aram etr  £  przyj- muje  się  n a  tyle  m ał y,  ż eby  m o ż na  był o  pom inąć  e2  i  wyż sze  potę gi  w  porówn an iu  z  s. J a ko  wynik  dodatkowego  m ał ego  przemieszczenia  ciał o  przechodzi  w  nowy  stan  B' i wszystkie wielkoś ci  zwią zane  ze  stanem  odkształ cenia lub  naprę ż enia  doznają  odpowied- nich  przyrostów.  I ch  gł ówne  liniowe  czę ś ci  oznaczono  prim am i.  Teoria  mał ych odkształ - ceń  n ał oż on ych n a  odkształ cen ia  skoń czone  zamieszczona  jest  w  [5]  i  [6]. Oznaczmy  fizyczne  skł adowe  wektora  w  w  bazie  konwekcyjnego  ukł adu  współ rzę d- nych  przez  u,  v  i  w.  Rozważ my  przypadek  osiowosymetrycznej  dodatkowej  deformacji, dla  którego  v  =   0,  u  =   u(r,  z),  w  =  w{r,  z).  Stosując  teorię  rozwinię tą  w  [5]  ,[6],  otrzy- m am y  dla  przyrostów  interesują cych  n as  wielkoś ci (2.1)  Glj  = (2- 2) 2u,r  0  «,,+• 0  2ru  0 r   0  2w 2u, (u r 0 r) 0 2 - 7 3 « 0 — 0 2w, z (2 . 3 ) T [ =2\ U,r+~  + X 2 W , u, r Ą ~ T ' 2 2  =   Ar f'"  =   C 3 1 ( «, r + - "l + C 3 3 Wi Z ,  T ' 1 3 =  C M ( ", . - + «' / )! T ' "  =   T ' "  =   0 , gdzie  argum ent,  po  którym  się  róż niczkuje,  wystę puje  po  przecinku,  zaś (2.4)  C l l  =2A Cl3   = c 33   =   2X\ A 4 =   - 2{X2W +p), 2  B2W Aij  T ==  „   „yi 3   vxi vi} Skł adowe  dodatkowego  ten sora  n aprę ż en ia  x'i]  muszą  speł niać  nastę pują ce  równania róż niczkowe: (2- 5) =   o, 426  A.  RACZEW gdzie  F'i)  są   liniowymi  czę ś ciami  przyrostów  symboli  Christoffela.  W  naszym  przypadku róż ne  od zera  są   tylko  nastę pują ce  przyrosty: (2.6)  J- i3  =  u, rz ,  i  2 3 —  — ,   1 2  "7\   • r ~ 7 P o  podstawieniu  (1.7)  i  (2.3)  do  (2.5)  oraz  wykorzystan iu  (1.6)  i  (2.6)  stwierdzamy, że  równanie  równowagi  dla  /   =   2  speł nione jest  toż sam oś ciowo,  a  pozostał e  przyjmują postać 2 ( c u - 2 H)  —(r«). ,  + ( c 4 4 - 2 P ) «, „ + ( c 4 4 - 2 c1 3 - 2 fl ) w,™  =   0, (2- 7)  L ' "  J ' ' ( c 4 4 + 2 c 3 1 - 2 P)  - ( m ) ,J  + 2 ( c 3 3 - 2 P ) w ,2 2 + ( c 4 v- 2 t f ) - ( r w ,P ) , r =   0.L  r  J,z  ' N ał oż one mał e  odkształ cenie jest  dopuszczalne wówczas, gdy  speł nia warun ki  brzegowe dla rozważ anego  walca. N a powierzchni tworzą cej  walca  r  =   R  zn ika przemieszczenie  u, dział a zaś  tylko  obcią - ż enie n orm aln e.  A  zatem  speł nione są   warun ki (2.8)  w =   0,  T ' 1 3 = 0 ,  przy  r  =  R. Wykorzystują c  (2.3), wyraż enia  (2.8) prowadzą   do (2.9)  u =   0,  u, z +w, r   =  0,  przy  r  =   R. Rozważ my  obecnie dwa  sposoby  realizacji  obcią ż enia  zewnę trznego  n a powierzchniach czoł owych  z  =  ±h. I  Przypadek. Warunki brzegowe w przemieszczeniach. N iech  obcią ż enie  zewnę trzne  dział a  za poś rednictwem  nieskoń czenie  sztywnych  pł yt  ograniczają cych  dodatkowe  przemieszczenie pun któw  powierzchni  czoł owej  w  kierun ku  stycznym  i  n orm aln ym .  W  tym  przypadku skł adowe  przemieszczenia  w  muszą   speł niać nastę pują ce  warun ki  brzegowe: (2.10)  «  =   0,  w  =  0,  przy  z  =  ±h. II  Przypadek.  «Mieszane»  warunki  brzegowe.  N iech  obcią ż enie  dział a  n a  powierzchnie  czo- ł owe  walca  za  poś rednictwem  sztywnych  pł yt  i  niech  n ie  istnieje  tarcie  mię dzy  tym i  po- wierzchniami  i  pł ytam i.  Pł yty  uniemoż liwiają   dodatkowy  ruch  pun któw  pł aszczyzn  czo- ł owych  tylko  w  kierun ku  n orm aln ym .  Wówczas  dodatkowe  odkształ cenie  m usi  speł niać warun ki (2.11)  w =   0,  T ' 1 3 =   0,  przy  z  =   ±h lub  o wykorzystaniu  (2.3) (2.12)  w  =   0,  W,*+ ł t>,, =   Os  przy  z  =   ±h. WE WN Ę T R Z NA  STATEC Z N OŚĆ  SP RĘ Ż YSTEGO  WALC A  KOŁ OWE G O  427 3.  Bad an ie  stateczn oś ci  odkształ con ego  walca Aż eby  zbadać  stateczność  odkształ conego  walca  posł uż ymy  się   metodą   statyczną . Zgodnie z tym  podejś ciem,  ciał o  znajduje  się  w równowadze  trwał ej  póki  nie  istnieje  nie- zerowe  rozwią zanie  dla dodatkowego  mał ego  odkształ cenia  speł niają cego  róż niczkowe równanie  równowagi  (2.7) oraz jednorodne warunki  brzegowe  (2.9) i (2.10) lub  odpowied- nio  (2.9) i (2.12). Rozwią zania  postawionych  zagadnień  brzegowych  dla  ukł adu  liniowych  równań  róż- niczkowych  (2.7)  poszukuje  się  w postaci (3.1)  u=f ln (z)JiM,  w=f 2n (z)J 0 (a n r), gdzie  J 0 (a„r)  i  J x (a n r)  oznaczają   funkcje  Bessela  pierwszego  rodzaju,  odpowiednio  zero- wego i pierwszego  rzę du,  zaś  a„ —  param etr  wyznaczony  z warunków  brzegowych. P o  podstawieniu  (3.1)  do (2.7),  dla  wyznaczenia  funkcji  / l n ( z)  i/ 2„ ( z)  otrzymujemy ukł ad  równań ( c 4 4 - 2 P ) / ; 'n - 2 an 2 ( C l l - 2 H ) /l n - a n ( C 4 4 + 2 C l 3 - 2 f l ) /2 n  =  0, 2(c 33 - 2P)f 2 ' m - *+A2„e~«' gdzie  Ai„ oznaczają   stał e  cał kowania, zaś (3.8)  n -  \/b+]7Ą^c,  r2 =  ]/b~ 428  A.  RACZEW Jeś li  b2  =   c,  równanie  (3.5)  posiada  cał kę   ogólną   w  postaci (3.9)  / l n ( z )  =   (Bln+zBZn)e a » r *+(B 3n +zBi n )e- «» r z, gdzie  B in   są   stał ymi cał kowania, a  r  —  i / j, Podstawienie  (3.1)  do  warunków  brzegowych  (2.9)  daje  nastę pują ce  równ an ie  przes- tę pne  dla wyznaczenia  param etru a„: (3.10)  / 1 ( B „ R )  =   0 , ską d (3.11)  « „ = ^ , przy  czym  a>„  oznacza  n- te  miejsce  zerowe  funkcji  Bessela  Jx(x). Rozważ my  kolejno  dwa  przypadki  zam ocowan ia  powierzchn i  czoł owych  walca. I  Przypadek. Warunki  brzegowe  w przemieszczeniach.  P odstawienie  (3.1)  do  (2.10)  oraz  wy- korzystanie  (3.3)  daje  nastę pują ce  warun ki  brzegowe  dla  fu n kcji/ ^ ( z) . 1) aifi"(±h)+a 2 a2fi(±h)   =  0. Jeś li  podstawić  cał kę  ogólną   (3.7) lub  (3.9)  do warun ków  brzegowych  (3.12),  otrzymuje się  jedn orodn y  liniowy  ukł ad  równ ań  algebraicznych  dla  wyznaczenia  stał ych cał kowan ia. Warunek  istnienia  niezerowego  rozwią zania  dla  zał oż onej  mał ej  deformacji  wymaga,  aby stał e  cał kowania A t   (lub  odpowiednio  Bi) nie był y jednocześ nie  równe  zeru.  Wyn ika  stą d znikanie  wyznacznika  A  utworzonego  z  wyrazów  stoją cych  przy  At  (lub  odpowiednio B t ). M oż na  pokazać,  że  warunek  A  =   0  rozkł ada  się   n a  dwa  waru n ki:  A i   =  0iA 2 = : 0, z  których  pierwszy  odpowiada  utracie  statecznoś ci,  gd y/ i( z)  jest  funkcją   parzystą   argu- mentu z;  wówczas  na podstawie  (3.3)  / 2 ( z) jest funkcją   nieparzystą   (por. rys.  la ) . Warun ek A 2   =  0  odpowiada  nieparzystej  fun kcji/ i  (z)  i  parzystej  fu n kcji/ 2( z)  (por.  rys,  lb) . W  przypadku,  gdy  b2  ^   c mamy « . «  A  A  \ ri  airj+a 2   thXr^ w  1 f  rx  a1rj+a2  thAr2«a)  . 1  .I J . l J )  Zli  - Zlj  —  I  5—;  ~r,—i  I I I  ",—;  - .—:  1  I =   U , L''2  ctir 2 - \ - a 2   thArzXO)  J  L  r 2   a^ riĄ - a 2   ta Ar i too  J gdzie  oznaczono H =  h o jR. D la  danego  param etru  geometrycznego  x  i  potencjał u  odkształ ceń  W ,  mniejszy pierwiastek  równ an ia  (3.13)  (przy  róż nych  n)  przedstawia  poszukiwany  krytyczny  para- metr  deformacji  X kT . W  szczególnym  przypadku,  gdy  b2  —  c,  p o  podstawien iu  ogólnego  rozwią zan ia  (3.9) do  warunków  brzegowych  (3.12), otrzymamy ,-   .^   A   A  {3air+a 2   sh.2Anew  1 i r 3 a l / - + f l2  shlXrxw  , 1 {i.  I 4J  a  i  •  Zl 2  =   I  5~i  ^ o  T M   i"i  ^ i  —1 1  =   0 . \ ar 2 +a  2Xrxco  J L a i ' -   + « 2  2Ar«eo W  dalszym  cią gu  pominiemy wskaź nik  n. a Rys. 1 Rys. 2 430  A.  RACZEW Warunek  b2  =  c  może  być speł niony  tylko  dla  szczególnych  wartoś ci  param etru  X,  dla których  należy  sprawdzić  czy prawdziwe  jest  (3.14). W  dalszym  cią gu  rozpatrujem y  tylko ogólniejszy  przypadek,  gdy b2  =ć c. II  Przypadek.  «Mieszane»  warunki  brzegowe.  W  przypadku  «mieszanych»  warun ków  brze- gowych(2.13)  speł nionych  na czoł ach  walca,  p o podstawien iu  (3.1) do  (2.13),  otrzymu- jemy  zależ noś ci &15) M±h)- af 2 (±h)   =  0, które  przy  pomocy  (3.3)  sprowadzają   się  do  postaci (3.16)  fi(±h)   = 0,  f["(±h)   =  0. Jeś li  b2  #   c, warunek  statecznoś ci  przy  symetrycznej  (rys. 2a) i  antysymetrycznej po- staci  równowagi  oboję tnej  (rys.  2b) jest  nastę pują cy: (3.17)  A t - A 2   =   [ć hXriXw- chXr 2 >cw]-   [shXriK  0, b >  0, c  >  0, dla dowolnego  X, nie istnieje  osiowosymetryczna  postać  utraty  wewnę trznej  sta- tecznoś ci  przy  rozważ onych  warun kach  n a powierzchniach  czoł owych  walca. Otrzymane  równania  przestę pne  (3.13)  i  (3.17), z których  należy  wyznaczyć  krytyczny param etr  Akr lub odpowiednio  krytyczne  obcią ż enie  Pkr,  m oż na  sprowadzić  do r  bardziej wygodnej  postaci w zależ noś ci  od tego,  czy pierwiastki  T \   i r 2   są  rzeczywiste,  urojon e lub zespolone.  Oprócz  tego  z  (3.13)  i  (3.17)  m oż na  uzyskać  przypadki  gran iczn e:  bardzo dł ugiego  walca  (gdy x  - >  oo)  i  bardzo  krótkiego  walca  (gdy w - > 0).  Wówczas  warun ki statecznoś ci  znacznie się   upraszczają . 4.  Samosprzę ż onośc  zagadnienia  brzegowego Zgodnie  z najogólniejszym  kryterium  kinem atycznym ,  ciał o  znajduje  się  w  stanie rów nowagi  trwał ej,  jeś li  amplitudy  dodatkowych  dopuszczalnych  przemieszczeń,  wywoł ane oddział ywaniem  zewnę trznym,  pozostają   m ał e,  gdy same  oddział ywania  są   wystarczają co mał e.  D efinicja  t a jest  równoważ na  wykorzystanemu  w  p . 3  statycznem u  kryterium sta- tecznoś ci, jeś li  odpowiednie  zagadnienie  brzegowe  jest sam osprzę ż one. Jak pokazan o w [7], samosprzę ż onośc  zagadnienia  brzegowego  wymaga  speł nienia nastę pują cego  waru n ku : (4.1)  /  Mws(*'"H - '*"VA+ T rpVpH ' s) - w^ +^ VpW p+'f'VpW ^ dS  =  0, gdzie  S oznacza powierzchnię   ograniczają cą   ciał o; n r  — kowarian tn e  skł adowe  jedn ostko- 1 2  1 2 wego  wektora  n orm aln ego  do S;  w s ,  w s   oraz  w\   ws — odpowiedn io  kowarian tn e  oraz kon trawarian tn e  skł adowe  dwóch  pól wektorowych,  które  speł niają   warun ki  brzegowe. T " J ,  T "J  są   kon trawarian tn ym i  skł adowymi  tensorów  n aprę ż eń — odpowiadają cych  prze- mieszczeniom  w,  w. WE WN Ę TR Z NA  STATECZN OŚĆ  SPRĘ Ż YSTEGO  WALCA  KOŁOWEG O  431. Aż eby  sprawdzić  speł nienie  warun ku  (4.1),  rozważ my  kolejno  cał kę   powierzchniową po  powierzchni  tworzą cej  S t   oraz  po powierzchni  czoł owej  S 2  • N a  powierzchni  S^ r  = R) z jednostkowym  wektorem  normalnym  n ( l, 0, 0) speł nione są   warunki (4.2)  W I  =   M =  0,  M>3 =  0,  T 1 2 =   T 1 3 =   0,  r 1 1 =   const,  T ' 1 2 =   T ' " =  0. Warunek  (4.1)  dla  powierzchni S x   sprowadza  się   do (4.3)  f  (ww, r ~ww, r )dS 1   =  0. Si Ponieważ  w, 3+ w, r  =  0 i u =  0 na S 1}  mamy  także wjr  = 0na.S lta.  zatem  warunek (4.3) speł niony jest  toż sam oś ciowe Rozważ my teraz, przy róż nych warunkach brzegowych,  warunek  samosprzę ż onoś ci  (4.1) n a  powierzchniach czoł owych walca  S |( z =   ±h)   z jednostkowymi  wektorami normalnymi n(0,  0, ± 1 ) . Przypadek  I.  G dy warun ki  brzegowe  danej  są   w] przemieszczeniach  [(por.  (2.10)], wyraż enie  podcał kowe w  (4.1)  znika  i warunek  samosprzę ż onoś ci  speł niony jest toż samoś- cio we Przypadek  II.  G dy  warun ki  brzegowe  są   «mieszane»  [por.  (2.11)], po  wykorzystaniu (4.4)  T i3  =   T23  =   0 )  T 3 3 _ c o n s t  n a  S± , zależ ność  (4.1) przybiera  postać (4.5)  J  (uu iZ —uu iZ )dS}~  J  (im iZ —uu^ dSi  =  0. Z  faktu,  że w z + w, r  =  0 i  w =  0 n a Sf  wynika, że również  «jZ =  0 n a  S$,  a zatem  (4.5) speł nione jest  toż sam oś ciowe Pokazaliś my,  że  sformuł owane  zagadnienia  brzegowe n a wartoś ci  wł asne są  samosprzę - ż one  oraz,  że wyprowadzone  przestę pne  równania  statecznoś ci  są  poprawne.  D alsze  od- kształ canie  walca  po osią gnię ciu  wyznaczonych  krytycznych  wartoś ci  parametru  A, cho- ciaż  nie prowadzi  do  zewnę trznej  zmiany  ciał a, wywoł uje  zmiany  charakteru  stanu naprę - ż enia i  odkształ cenia. Jedn orodn y  stan  naprę ż enia nie jest  dalej  stanem statecznym i przy nowym  powstał ym  rozkł adzie naprę ż eń  materiał  może  utracić swoje jakoś ciowe wł asnoś ci wcześ niej  niż tego  oczekujemy  bez uwzglę dnienia  zjawiska  wewnę trznej  utraty statecznoś ci. Literatura  cytowana W tekś cie 1.  M . A.  BI OT, Internal buckling  under initial stress  infinite  elasticity,  P roc.  Roy. S o c , 1354, A  273 (1963), 2.  M . A.  BI O T ,  N onlinear  theory  of  elasticity  and  the  linearized  case for  a  body  under initial  stress,  P hil. M ag.,  27 (1939). 3.  Z.  WESOŁOWSKI,  Stability  of  a full  elastic  sphere  uniformly  loaded on  the  surface,  Arch.  M ech.  Stos., 5, 16  (1964). 4.  B.  D U SZ C Z YK ,  Statecznoś ć  peł nego  walca obcią ż onego  ciś nieniem  hydrostatycznym,  M ech.  Teoret.  Stos. 4,  5 (1967). 5.  A.  E .  G R E E N ,  W.  Ż E R N A,  T heoretical Elasticity,  Oxford  1954. 432  A.  RACZEW 6.  A.  E.  G REEN ,  R.  S.  RTVLIN,  R. T.  SH IELD ,  General  theory of  small elastic deformations  superposed  on finite  elastic deformations,  Proc. Roy. So c , A  211  (1952). 7.  G uo  ZH ON G - H EN G,  W.  U RBAN OWSKI,  Stability  of  non- conservative  systems  in  the  theory of  elasticity of finite  deformations,  Arch.  Mech. Stos., 2, 15  (1963). P  e  3  IO  M e BHYTPEHHHfl  YCTOft^H BOCTL  Yn P Yr o r O  KPYrOBOrO KOHE^HOPI YCTOIM H BOCTL  n o jin o ro  K pyroBoro  qnjiiiH / npa  H3  r H n e p yn p yr o r o  ofliiopoflH oro iwaTepiiana  c  H aa6ojiee  o6mepi  cbirairaecKofi  xapaKTepucTH Koii.  H a  Topqax  n;HJiHH#pa  npn.no>KeHa H op- MajiMiaH   n arpy3Kaj  Bbi3biBaiomaH   KOiietmyio  fleibopM aqmo.  CXCHKH  6OKOBOH   nOBepxHOCTH   He  MoryT nepeMemaTLcn  B paflnanraoM   H anpaBJieH H ii. YcjioBH e  n oTepii  ycToiraH BocTH   BtiBOflHTCH   H3 cyrqecTBOBaH M   n eH yn eBoro  pemcH H H   H JIJI  M anoii  BO3MO>KHOH   fle(bopM ar(H H j  HajioweHi- iofi  ira n yio  KOHeiHyio AetJjopMauroo.  PaccMOTpeH ti flBa cjiyMaa  rpaH H MH tix VCJIOBH H  n a ocuoBaHHHX  inwinH flpa: ycnoBH H B  nepeM emeH H ax  H  ciweaianHfaie  rp am m H bie  ycJiOBHH.  IIoKasaH O,  I T O  B  I O WH O M  H3  H H X  r p a - HHqribie  3afla*iH   n a coScTBeH iiwe  3H aieH H Ji  caMoconpH>i