Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  9 (1971) ZAGADNIENIA  TEORII  UMIARKOWANIE  DUŻ YCH  UGIĘ Ć POWŁOK  SZTYWNO- PLASTYCZNYCH1) AN TON I  S  A W  C Z U  K  (WARSZAWA) 1.  Wprowadzenie W  teorii  konstrukcji  plastycznych  wyodrę bniają   się   ostatnio  w - oddzielną   dyscyplinę studia  dotyczą ce  geometrycznej  nieliniowoś ci.  Obejmują   one  badania  wpł ywu,  jaki  na udź wig  konstrukcji  mają   zmiany  w  jej  geometrii,  zachodzą ce  w  trakcie  odkształ cenia plastycznego.  Wią żą   się   z  tym  ś ciś le  badania  dotyczą ce  przeskoku  i  statecznoś ci  procesu deformacji. Z  punktu  widzenia  teorii  konstrukcji  sztywno- plastycznych  jest  rzeczą   szczególnie interesują cą   wyjaś nienie  zachowania  się   pł yt  i  powł ok  bezpoś rednio  po  osią gnię ciu  przez obcią ż enie  intensywnoś ci  towarzyszą cej  rozpoczę ciu  się   procesu  plastycznego  pł ynię cia, tzn.  po  osią gnię ciu  obcią ż enia  granicznego  w  sensie  klasycznej  teorii  noś noś ci  granicznej. Chodzi  o  stwierdzenie,  czy  rozwią zanie  takie  jest  stateczne,  tzn.,  czy  proces  deformacji powoduje «geometryczne»  wzmocnienie,  czy  osł abienie  konstrukcji,  i  jaki  jest  przy  tym iloś ciowy  przebieg  zjawiska.  Skutki  geometrycznej  nieliniowoś ci  stają   się  —  w  przypadku konstrukcji  sztywno- plastycznych  — ł atwe do wyodrę bnienia  i do interpretacji. Wł aś ciwe  opisanie  geometryczne  nieliniowego  zachowania  się   konstrukcji  wymaga rozróż niania  jej  pierwotnego  kształ tu  oraz  jej  aktualnej  konfiguracji.  Proces  może  być rozpatrywany  konsekwentnie  przy  zastosowaniu  wielkoś ci  odniesionych  bą dź  do  stanu nieodkształ conego, bą dź  do  aktualnej  konfiguracji  w jaką   ukł adają   się   czą stki  materialne konstrukcji  w  przestrzeni  w  trakcie jej  odkształ cania, a  wię c  odpowiednio  w  opisie  ma- terialnym  lub  w  opisie  przestrzennym.  Zwykle  jednak  inż ynierskie  teorie  dotyczą ce  geo- metrycznej  nieliniowoś ci  nie rozróż niają   wyraź nie  tych  dwóch  opisów.  I  tak,  pewne wiel- koś ci  odniesione do  stanu  odkształ conego  (np. naprę ż enia) ł ą czone  są   ze  zwią zkami  kine- matycznymi  odniesionymi  do  konfiguracji  począ tkowej,  a  równania  równowagi  sprowa- dzane są   do ukł adu  nieodkształ conego w oparciu  o dodatkowe  zał oż enia.  Prowadzi  to  do nieuniknionych w tym stanie rzeczy  paradoksów. Wewnę trznie  spójną   teorię   geometrycznie  nieliniowych  konstrukcji  plastycznych  uzys- kać moż na  wychodzą c  z  ukł adu  równań opisują cych  duże odkształ cenia oś rodka  cią gł ego. Szczególnie  przydatny  jest  tu  opis  materialny,  chociaż by  dlatego,  że  warunki  brzegowe dane są   zwykle  dla  pierwotnej  geometrii  konstrukcji.  Wprowadzają c  okreś lone  zał oż enia Referat  problemowy  wygł oszony  na  13  Konferencji  M echaniki w  Jaszowcu,  wrzesień  1970. 336  A.  SAWCZUK upraszczają ce  wł aś ciwe  przejś ciu  od  oś rodka  trójwymiarowego  do  dwuwymiarowej  za- krzywion ej  przestrzen i  otrzymuje  się ,  w  sposób  n aturaln y,  ukł ad  równ ań  geometrycznie nieliniowej  teorii  kon strukcji.  D odat kowe zał oż enia dotyczą ce  rzę du  wielkoś ci  poszczegól- n ych  skł adowych  tensorów  n aprę ż eń  i  odkształ ceń prowadzą   w  konsekwencji  do  okreś lo- n ych  teorii  przybliż on ych.  Tego  typu  podejś cie  zastosował   F U N G   [21], uzyskują c  równ an ia teorii  K a r m a n a  dla  pł yt  sprę ż ystych. Z alety  m aterialn ego  opisu  w  m echanice  konstrukcji  omawiali  BU D IAN SKY  [5]  oraz LAN C E  i  SOE C H TI N G   [28].  W  pracy  [44]  zastosowan o  ten  opis  dla  uzyskan ia  zwią zków typu  K a r m a n a  dla  powł ok.  P odobn y  problem  podję li  P IETRASZ KIEWIC Z  [40]  oraz  SH RIVA- STAVA  i  G LO C K N E R  [47].  Szczegół ową   dyskusję   zwią zków  nieliniowej  teorii  powł ok  prze- prowadził a  D U SZ E K  [17], wyjaś niając  uproszczenia  wprowadzan e  przez  róż ne  przybliż one teorie  um iarkowan ych  ugię ć.  M aterialn ego  opisu  procesu  pł askiego  plastycznego  pł ynię cia dotyczy  p r a c a  Au cisz  i  RYC H LEWSC IEG O  [2],  zawierają ca  analizę   otrzym an ego  ukł adu ró wn ań . N in iejsza  p rac a  podaje  zasady  lagrange'owskiego  przedstawienia  teorii  powł ok  plas- tyczn ych .  O m ówion o  wielkoś ci  ten sorowe  wystę pują ce  w  takim  opisie,  p o d an o  odpo- wiedn i  u kł ad  równ ań  równ owagi  oraz  powierzchni  plastyczn oś ci.  P raca  zawiera  p o n a d t o przeglą d  rozwią zań  i  wyn ików  doś wiadczeń  dotyczą cych  efektów  geometrycznego  wzmoc- n ien ia  i p rzesko ku  w powł okach plastycznych.  Stosowane oznaczenia zestawione  są   w koń - cowej  czę ś ci  pracy. 2.  Zależ noś ci  podstawowe Odn iesion y  d o  u kł ad u  zwią zanego  z  konfiguracją   nieodkształ coną   stan  n aprę ż en ia czą stki  X  w  poł oż en iu  x,  x  =   x(X,  t)  opisuje  się   symetrycznymi  ten soram i:  odkształ ceń G reen a  E KL   i  n aprę ż eń  P ioli- Kirchhoffa  S KL . T en so r  odkształ cen ia E KL   - wyraż a się  poprzez gradien t wektora  przemieszczenia  w nastę - pują cy  spo só b (2.1)  2E Kh   =   U K;L +U L ;K +G RM U* K U*l. P om ię dzy  ten sorem  n aprę ż eń  C auch y'ego  cfy  a  ten sorem  P ioli- Kirchhoffa  zach odzi  za- leż ność (2.2)  eo  dE KL / dt. Z ależ n ość  (2.3)  wskazuje,  że  ten sory  S KL  i  E KL   stanowią   wł aś ciwy  ukł ad  zm iennych  dla opisan ia  procesu  plastyczn ego  pł ynię cia,  ja ko  że  E KL   znika  toż sam oś ciowo  w  ruchu  sztyw- n ym . ZAG AD N IEN IA  TEORII  UMIARKOWANIE  D U Ż YCH   U G IĘ Ć  POWŁOK  317 R ówn an ia  opisują ce  równ owagę   elem entu  m aterialn ego  zajmują cego,  okreś loną   po- zycję   w  przestrzeni,  przyjmują   we  współ rzę dn ych  Lagran ge'a  n astę pują cą   p o st a ć (2.4)  M+U^ K )S KR ]. R   =  O. Stosują c  twierdzenie  o  zam ian ie  cał ek  obję toś ciowych  n a  powierzch n iowe  otrzym uje  się z  (2.4),  że  n aprę ż en iowe  warun ki  brzegowe  w  n ieodkształ con ym  ukł adzie  okreś lone  są zależ noś ciami (2.5)  (S KL+S ULUf u )n K   =   T L. Z  (2.4)  i  (2.5) wyn ika,  że  pola  n aprę ż eń  i  przem ieszczeń  są   sprzę ż one  ró wn an iam i  równ o- wagi. Warun ek  plastycznoś ci  w  klasycznych  teoriach  form uł owan y  jest  w  skł adowych  prze- strzennych  ten sora  n aprę ż en ia.  T ak  wię c warun ek  H u bera- M isesa (2.6)  Scjof-   0. 338 A.  SAWCZUK T eorie  po wł ok  zakł adają,  że  stan  n aprę ż en ia  i  odkształ cen ia  może  być  z  dostateczn ą dokł adn oś cią  opisan y  przez  rozpatrzen ie  dwuwymiarowego  zagadn ien ia  dla  pewnej  (za- krzywionej)  powierzch n i  odniesienia.  N aprę ż en ia  i  odkształ cen ia  wystę pują ce  w  pun kcie  s powł oki  (rys.  1) odn iesion e  są  do ukł adu współ rzę dnych  x l ,  x 2   zwią zanych  z  powierzchnią ś rodkową  p o wł o ki. R ys.  1. Powierzchnia ś rodkowa  powł oki w  konfiguracji  począ tkowej  i oznaczenia baz P rzy  opisie  m aterialn ym  wielkoś ci  stowarzyszone  z  czą stką  w  poł oż eniu x  przesuwane są  przy  zastosowan iu  t ran slat ora  ĝ   do  pierwotnego  poł oż en ia  czą stki  X.  Wielkoś ci  t e są  n astę pn ie  przesuwan e  do  bazy  okreś lonej  przez  A r ,  A 3   n a  nieodkształ conej  powierzchni odn iesien ia  X3  =  0,  przez  wprowadzen ie  tran slatora (2.12)  ^ = ^ przy  czym  A r - A 3   =   0,  A h - A 3   =  \ . 3. Zał oż enia R ó wn a n ia  teorii  um iarkowan ie  duż ych  przemieszczeń  powł ok  form uł ować  bę dziemy w  oparciu  o  szereg  zał oż eń,  z  których  czę ść  stanowią  klasyczne  przyję cia  teorii  cienkich powł ok. a)  R ozpatrujem y  powł oki  cienkie,  dla  których  stosun ek  gruboś ci  do  mniejszego  pro - m ien ia  krzywizn y  2HjR min   <§ 1,  a  więc (3- 1)  / £**£,  /* =   !• Ozn acza  t o ,  że  wpł yw  drugiego  czł onu  w  (2.12) jest  pom ijalnie  m ał y. b)  Odkształ cen ia  styczn e  w  kierun ku  poprzecznym  do  gruboś ci  powł oki  mogą  być pom in ię te (3.2)  Ąs  a  0. N iekon sekwen cje  wynikają ce  z  tego  zał oż enia  oraz  teoria  odeń  odchodzą ca  przedyskuto- wan e  są  w  [17]. 340  A.  SAWCZUK i  VjlR  o raz  wzajem nego  stosun ku  tych  param etrów,  R =  R m!n -   Spoś ród  szeregu  zesta- wów  wielkoś ci  kin em atyczn ych  zbadan ych  w  [17]  przytoczmy  wyniki  odnoszą ce  się  d o dwóch  teorii.  i P r z y p a d e k  1, T  H  W  V ~  =  OfcO, ^  =  0( f i 3 ) ,  ^  =  0( e),  - L =  0 ( £ 4 ) ,  e3 <   1. M iary  odkształ cen ia  wynoszą  wówczas 2Ajr  =  2V0, n^ 2BjrW +  W yW ir> P r z y p a d e k  1, - ~ -   0(1),  - |-  =   0(e),  - ^ =   0( fi),  - ^  =   0(«»),  e 2 «  1 odpowiadają cy  teorii  D on n ella [9] (  }   n  =B a  d o  wyzn aczen ia  skł adowych  / Jd jest  d o  dyspozycji  zależ ność (4.5)  P*{d2- B2W )=  W ld - BtV 0 . W  stosun ku  d o  m ia r  odkształ cen ia liniowej  teorii powł ok  [35],  [26],  [52],  [19]  zależ noś ci (4.3)  róż n ią  się jedyn ie  ostatn im  czł onem  w  wyraż eniu  n a X ń r .  Stanowią  one  zwią zki in ż yn ierskiej  teorii,  odpowiedn ika  teorii  K arm an a  dla pł yt  (M U SH TAR I  i  G AU M O V [34], VOLM I R  [51]).  Z astosowan y  sposób  ich  otrzym an ia  podkreś la  zarówn o  lagran ge'owski c h a r a kt er  t eo rii  um iarkowan ie  duż ych  ugię ć, jak i  rząd  wielkoś ci  pom ijanych  czł onów. P rzyrost y  odkształ ceń, wchodzą ce  d o  wyraż enia  n a  dysypację  energii  wewnę trznej  (2.3), w  m at erialn ym  opisie są ,A  c\   •   d  .  d  , ( 4 )  ^ 5.  Sił y  wewnę trzne Z  chwilą  gdy  wybran e  są m iary  odkształ cenia, odpowiadają cy  zestaw  sił   wewnę trznycą n ie  m oże  być dobieran y  dowoln ie.  D o  okreś lenia  wł aś ciwego  zestawu  powierzchniowych t en sorów  sił   wykorzystuje  się funkcję  dysypacji  (2.3). P rzy  wykorzystaniu  zał oż enia (3.1), dysypacja  przypadają ca  na jedn ostkę  n ieodkształ con ej powierzchni  ś rodkowej  powł oki  wy- raża  się  wzorem (5.1)  D=  f  (S*rE ń r +2S^ E d ,+S™E^ )dX\ - H Wyzn aczając  S 3 3 z  (2.2)  przy  wykorzystaniu  (3.4)  oraz  pam ię tając  o zał oż eniu  (3.2) otrzym uje się H (5.2) £ =  f  {EA H f ZAG AD N IEN IA  TEORII  UMIARKOWANIE D U Ż YCH   U G IĘ Ć  POWŁOK  341 Oszacowują c  drugi  czł on  w porówn an iu z pierwszym  okazuje  się ,  że w p r zyp a d ku  1 jest on  rzę du  czł onów pom ijanych  w dotychczasowych  rozważ an iach,  a  wię c  ostateczn ie H (5.3)  D =   /   S^ EjrdX3  =   N *rA Ar +M* r x jr , gdzie  \ Ar   i r Ar   zdefiniowane  są  w (4.6), podczas gdy H  H (5.4)  N Ar =   /   S ardX3  ,  M dr =   f  S ArX3dX3. - H  - H Stanowią   one powierzchn iowe  ten sory  sił  wewn ę trzn ych  w powł oce, odn iesion e  do  kon fi- guracji  n ieodkształ con ej.  P rzy  ugię ciach  o  rzą d  wię kszych  od gruboś ci  p o wł o ki  wpł yw zmian  geom etrii  n ie  jest  pom ijalny  w  (5.2).  Odpowiedn ie  uogóln ion e  sił y  i  u o gó ln io n e prę dkoś ci  odkształ cen ia ulegną   modyfikacji  [17], D la  inż ynierskiej  teorii  rozpatrywan ej  w  przypadku  1 ł atwo  stwierdzić,  oszacowują c IH\ poszczególne  wyrazy  w (4.1), że E Ar   — 0|- p - j.  T a k  wię c G KL   ~  C KL  i n ie m a róż n icy  mię - dzy  waru n kan r  plastyczn oś ci  (2.6) i  (2.7).  P rzy  ustalen iu  powierzch n i  plastyczn oś ci F(N ' ir ,  M Ar ) = 0 nie  m a  wię c  potrzeby  rozróż n ian ia  opisu  m aterialn ego  i  opisu  przes- trzen n ego. W  teoriach  uwzglę dniają cych  przem ieszczenia  n o rm aln e  o  rzą d  wię ksze  od  gruboś ci M  V powł oki, tzn . gdy n p . —  =   0(c), - - • =   0(e), e3  <ś 1 wystą pią   róż n ice w wyraż en iu  n a  waru- nek  plastycznoś ci.  Jeś li  za  obowią zują cy  dla  m ateriał u  u zn ać  warun ek  plastyczn oś ci okreś lony  w opisie  przestrzen n ym ,  n p .  (2.6), wówczas  (2.7)  przyjmuje  n astę pują cą   p o st ać (5.5)  SGj^ Gre- ABro ^   &rS e*-   [(G Ar - 2B Jr W )  S* r ] 2 =  lal • W  konsekwentnej  teorii  wykorzystują cej  opis  m at erialn y  n ależ ał oby  posł ugiwać  się   o d po - wiednią   formą   zależ noś ci  (2.10). 6.  Równania  równowagi R ówn an ia  równ owagi  (2.4)  sprowadzają   się  d o n astę pują cego  ukł adu (6.1)  (S Ae+U? r S r o+U( 3 S 3B ). e +(S J3 +U? r S r3 +U? 3 S 33 ). 3   =  0. (6.2j  (S A3 + U? 3 S 3i +U 3 A S A % g +(S 33 +S 33 Uf 3 +U? A S d3 ). 3   =  0. Wykorzystują c  zał oż enia  (3.1) i (3.4) i sprowadzają c  powyż sze  zwią zki  do  bazy  n ieodkształ - conej  powierzchni  ś rodkowej,  otrzym uje  się  równ an ia  przybliż on ej  teorii.  K on sekwen tn ie pomijają c  w nich  czł ony tego  sam ego  rzę du  wielkoś ci,  co  pom in ię te w zwią zkach  kin em a- tycznych  i w wyraż eniu  n a dysypację   otrzym uje  się   d la przypadku 1 =   0 , (W S Ć I )+Sjf+BS' r (W S'*+S**BlVS d *  -   0. Cał kują c  te równ an ia n a gruboś ci  n ieodkształ con ej po wł o ki w celu o t rzym an ia  zwią zków równ owagi  wyraż on ych  w wielkoś ciach  (5.4), d o ch o d zi  się  d o zależ n oś ci 342  A.  SAWCZUK (6.4)  N ?f—BfQr+  (0°Qr\ r +P 9  =  0. (6.5)  Mff- Q0  -   0, (6.6) gdzie (6.7) oraz I n n y  zestaw  przybliż on ych  równ ań  p o d an o w  [44]. P owyż sze  zależ noś ci  stanowią   ukł ad  przybliż onych  równ ań  równowagi  rozpatrywan ej teorii  um iarkowan ie  duż ych  ugię ć.  R ówn an ie  (6.5)  m a  postać  znaną   z  liniowej  teorii, podczas  gdy  w  (6.4)  i  (6.6)  pierwsze  dwa  czł ony  odpowiadają   liniowemu  przybliż eniu, R ó wn an ia  lin iowego  przybliż en ia  opisują   ś ciś le  równ owagę   elementu powł oki w  aktualn ej kon figuracji,  jeś li  traktować  przepisan e  róż n iczkowan ie  kowarian tn e ja ko  róż n iczkowan ie w  bazie  odkształ con ej  powł oki  i  gdy  ten sor  krzywizny  dotyczy  aktualn ej  (nieznanej)  kon - figuracji.  R ó wn an ia  równ owagi  wyprowadzan e  w  inż ynierskich  teoriach  dla  powł ok  wy- niosł ych  zatrzym ują   z  reguł y  tylko  dwa  pierwsze  czł ony  w  lewej  czę ś ci  (6.4)  (por.  [11], [34]),  o raz  om ówien ie  nieliniowych  teorii  przez  WOŹ N I AKA  [52]).  Zwią zki  (6.4)- (6.6) sto- sują   się   równ ież  w  przypadku  uwzglę dniania  zmian gruboś ci  przez przyję cie  ( 5 3 ^ 0 w  (3.4). O dpowiedn i  ukł ad  ró wn ań  równowagi  i  warun ków  brzegowych  w  opisie  m aterialn ym wyprowadził a  D U S Z E K  [17]. P o d an e tam został y również  zestawy  równ ań  dla kilku  przybli- ż on ych  t eo rii  po wł o k  walcowych  i  kulistych,  zapisan e  w  odpowiednich  ukł adach współ - rzę dn ych. 7.  Powł oki  walcowe I stn ieją ce  rozwią zan ia  dotyczą ce  duż ych  ugię ć  powł ok  plastycznych  uzyskane  został y przy  uproszczon ych  równ an iach  równowagi  i  zlinearyzowanych  powierzchniach  plastycz- n oś ci.  St osowan o  powierzchn ie  plastycznoś ci  wł aś ciwe  przestrzen n em u  opisowi.  P rzyto- czymy  n iekt ó re  rozwią zan ia  zarówn o  dla  wskazan ia  ch arakteru  zm ian  wynikają cych z  uwzglę dn ien ia  «duż ych»  ugię ć,  ja k  i  dla  porówn an ia  stosowanych  nieliniowych  teorii ze  zwią zkami  wynikają cymi  z  kon sekwen tn ego  lagrange'owskiego  przedstawien ia  teorii powł ok.  P rzytoczon e  rozwią zan ia  nie  obejmują   obszernego  dział u  powł ok  wiotkich , tzn .  rozpatrywan ych  ja ko  m em bran y.  P rzeglą d  m etod  i  rozwią zań  z  tego  zakresu  podał O R K I S Z  [38]. Walcową   powł okę   przegubowo  zam ocowaną   n a  koń cach  i  poddan ą   równ om iern em u wewn ę trzn emu  ciś n ien iu  rozpatrywał a  D U SZ E K  [13- 15],  korzystają c  z  nastę pują cego u kł ad u  r ó wn a ń  (rys.  2) (7.1)  n' x  =   0,  m' x '- 2Rn x w"+2  N o   — c Q H,  a a 0   oznacza  granicę  plastycznoś ci. Stosowane  równania  równowagi  i  miary  odkształ cenia  odnoszą  się  do  przypadku  1. Równanie  (7.1)  odpowiada  zwią zkom  (6.4)- (6.6)  przy  pominię ciu  czł onów pochodzą cych od  rzutu  sił y  poprzecznej  n a  kierunek  tworzą cej,  podczas  gdy  (7.2)  otrzymuje  się  z  (4.3) i  (4.6). Warunek  plastycznoś ci  stanowi  fragment  powierzchni  granicznej  opisanej  na  ś cis- ł ej  powierzchni  dla  materiał u  Treski,  a  wprowadzonej  w  [12]. W  powł oce pojawiają  się  dwa  obszary,  odpowiadają ce  róż nym fragmentom  powierzchni plastycznoś ci,  w  zależ noś ci  od  tego  czy  zachodzi  nierówność  (7.3)  czy  też  ni  =  1— m *. Poł oż enie  granicy  mię dzy  tymi  dwoma  obszarami  okreś la  param etr  £.  Wykorzystując stowarzyszone  prawo  pł ynię cia  (por.  [23],  [37])  i  speł niając  wymagane  warun ki  cią gł oś ci na  granicach stref  znajdują cych  się w  odmiennych stanach  naprę ż enia otrzymuje  się nastę- pują ce  równanie  okreś lają ce  przyrost  obcią ż enia,  [18] gdzie  Y =   a(p— 1),  natom iast  |  okreś la  umowny  czas.  T ak  więc dYjcĘ  —  ap. Równanie  (7.5)  wskazuje  na  przyrostowy  charakter  problem u  duż ych  ugięć  powł ok: obcią ż enie  zmienia  się  ze  wzrostem  param etru  odmierzają cego  upł yw  czasu.  P aram etrem takim  może  być  np.  również  ugię cie  w 0   w  wybranym  pun kcie,  w 0   =   wo ( |) .  Jedn ak,  jak zauważ ył   WASZCZYSZYN   [50], wybór  ugię cia jako  umownego  czasu  nie zawsze jest  wskaza- ny; gdyż w przypadku  wystę powania  przeskoku  ugię cia  czasem  cofają  się.  P roblem y  kon s- trukcji  plastycznych  w  przyrostowym  sformuł owaniu  rozpatrywał   ON AT  [37]. Zależ ność  (7.5) pozwala  na zbadanie  statecznoś ci  procesu.  M oż na  stwierdzić,  że p  = 0 dla  p  =  1  oraz  że  p  >  0  dla  0 <  £  <;  1,  a  więc  w  rozpatrywanym  przypadku  nastę puje geometryczne  wzmocnienie.  N umeryczne  rozwią zanie  (7.5)  podan o  w  [18],  gdzie  znaleźć moż na również  wyniki  dotyczą ce  powł oki zamocowanej. Przybliż one  rozwią zanie  rozpatrywanego  zagadnienia,  polegają ce  _ n a  wyznaczeniu górnej  granicy  zależ noś ci  przyrostu  obcią ż enia  od  przyrostu  ugię cia  podał a  D U SZ E K  [15]. G ranica t a  okreś lona jest przez (7.6)  Y^ a{p~l)  = l+w2 0 R\ gdzie  w 0 R  =   W o / H.  Wyniki  (7.5) i  (7.6) przedstawiono  n a  rys.  2.  D la porówn an ia p o d an o tam  również  rozwią zanie  bł onowe i  proste  odpowiadają ce  powł oce o  ś ciance  trójwarstwo- wej  [14]. Rozwią zanie  dla  powł oki  warstwowej  wskazuje  n a  niestateczność  zależ noś ci  obcią- ż enie- ugię cie.  Wniosek  ten  potwierdza  analiza  powł ok  trójwarstwowych  przeprowadzon a 344 A.  SAWCZUK Rys. 2. Wzjnocnienie  geometryczne dla powł ok walcowych:  a) noś ność graniczna, b) oszacowanie  [13]  d!a ś cianki peł nej,  c) rozwią zanie  przybliż one  [18], d) rozwią zanie  bezmomentowe, e) rozwią zanie bezmomen- towe  dla  ś cianki  trójwarstwowej  oraz ABC—  oszacowanie [13] p rzez  LE P I K A  [30- 33]  o raz  przez  KU LLA  [27]. R ozpatrują c  zagadnienie  sprę ż ysto- plastycz- n ego  zach o wan ia  się   kon strukcji  pod  dział aniem  ciś nienia  i  sił y  podł uż nej  w  przypadku przyję cia  waru n ku  T reski  wykazan o,  że  proces  szybkiego  n arastan ia  ugię ć  rozpoczyn a  się zn aczn ie  pon iż ej  obcią ż enia  gran iczn ego.  Oznacza  t o ,  że  noś noś ci  granicznej,  wyznacza- nej  z  klasyczn ej  teorii,  towarzyszą   już  ugię cia  wykraczają ce  poza  zakres  dopuszczalnoś ci liniowej  teorii  powł ok.  D alszych  przykł adów  tego  typu  dostarcza  praca  WASZCZYSZYN A [50],  gdzie  zagadn ien ia  sprę ż ysto- plastyczne  rozpatrywan e  są   konsekwentnie  w  nielinio- wym  sform uł owan iu.  Efektu  geom etryczn ego  wzmocnienia  walcowych  zbiorn ików  ciś- n ien iowych  dotyczy  szereg  prac  G I L L A  i  współ pracowników  [1],  [8],  [9],  [10],  [4i], Cechą ch arakterystyczn ą   tych  prac  jest  rozpatrywan ie  wpł ywu  zm ian  geometrii  powł oki  krok p o  kr o ku .  P oszukuje  się   t am  każ dorazowo  noś noś ci  granicznej  dla  powł oki  o  geometrii zm ien ion ej  wskutek  odkształ ceń plastyczn ych  wywoł anych  n a  poprzedn im  kroku  obcią - ż en ia. R o zwią zan ia  wynikają ce  z  uproszczon ej  teorii  duż ych  ugię ć  porówn am y  z  dostę pn ymi wyn ikam i  doś wiadczeń  n a tem at zach owan ia  się   zamocowanych  powł ok. M ateriał u  dostar- czają   ba d a n ia  AU G U ST I 'E G O  i  D ' AG O S T I N O  [3],  [4], SAVE'A  i  JAN ASA  [42]  oraz  P E R R ON E 'A [39].  Badan ia  [4] dotyczą   zakresu  ugię ć  mieszczą cych  się   w  zał oż eniach teorii  um iarkowa- n ie  duż ych  przem ieszczeń .  Spoś ród  dziewię ciu  przedstawion ych  przypadków  typowe wyniki  dotyczą ce  a  =   2,82  i  a  —  1,25  porówn an o  n a  rys.  3  z  wynikiem  typu  (7.6)  dla  p o - ZAG AD N IEN IA  TEORII  UMIARKOWANIE  D U Ż YCH   U G IĘ Ć  POWŁOK 345 wł oki zam ocowanej,  [13]. Linią  przerywaną   ozn aczon o wynik  p o d an y  przez  t eo rię   n oś n oś ci granicznej  dla dokł adn ej powierzch n i  granicznej  Treski, [23]. Z  rys.  3 widać, że wzm ocn ien ie  geom etryczne jest  istotn e.  C h arakt er przebiegu  krzywej doś wiadczalnej  w pewn ym  zakresie  ugię ć  odpowiada  rozwią zan iu  teoretyczn em u.  M a t er ia ł badan ych  powł ok wykazywał   dł ugą   platform ę   plastyczn oś ci  tak, że wzm ocn ien ie m at eriał u nie  wnosił o  istotn ego  wpł ywu  w  rejestrowaną   zależ n ość  obcią ż enie—najwię ksze  ugię cie. Krzywa  2  odpowiadają ca  rozwią zaniu  teoretyczn em u  rozpoczyn a  się   powyż ej  lin ii  3, gdyż rozwią zanie  dla duż ych  ugię ć  korzystał o z powierzch n i granicznej  opisan ej  n a  dokł ad- nym  warun ku  plastyczn oś ci  Treski  dla  powiok. 3  - 2  - "  a=1.25  / f  i I  •   * s  '  - 3 i a wo [ m m ] W0[m m j0 [ j Rys.  3. Zależ noś ć:  obcią ż enie — najwię ksze  ugię cie  dla walcowych  powł ok  plastycznych,  I ) doś wiadcze- nia  [4], 2) oszacowanie  [13],  3) noś ność  graniczna Badan ia  doś wiadczalne  «efektu  brzegowego»  w  zakresie  plastyczn ych  odkształ ceń przeprowadzali  K LE P AC Z K O  i  K O N I G   [25].  D oś wiadczen ia  SCH ROED ERA  i  R AN G AR AJAN A [45]  n ad poł ą czen iami powł ok  walcowych  wykazują   wystę powan ie  efektów,  kt ó r e  m ogą być  wytł um aczone zm ian am i  geom etrii  kon strukcji. 8.  Powłoki kuliste N a  przykł adzie  powł ok  kulistych  m o ż na  zilustrować  obydwa,  ch arakterystyczn e  dla geometrycznie  nieliniowych  teorii  zjawiska,  m ian owicie:  wzm ocn ien ie  geom etryczn e  o raz niestateczność  procesu  odkształ cen ia kon strukcji.  D rugie  z n ich ,  tzn .  zjawisko  przesko ku , zwykliś my  dotychczas  kojarzyć  z kon strukcjam i  wykazują cymi  cechy  sprę ż yste. 346 A.  SAWCZUK I stn ieją ce  studia  dotyczą ce  geometrycznego  wzm ocn ien ia  ograniczają  się  do  m ał o wyn iosł ych  powł ok, aczkolwiek  C AP U R SO  [6] podał   równ an ia przyrostowe  bez  tego  ograni- czen ia.  K o m p let  zwią zków  geom etrycznych  i  równ ań  równowagi  przybliż onej  teorii bardzo  sł abo  wyniosł ych  powł ok  kulistych  podał a  D U SZ E K  [15,  16], korzystając  przy  wy- prowadzen iu  z  zasady  prac  przygotowan ych,  a  więc  uzyskując  wewnę trznie  zgodny  kom - plet  zależ n oś ci (rn v )'- n 0   =   0,  h[(rm^ - m e \ '+  [rn v (r+w')]'+rp =   0, X v  — u'+w'r+w'w 1 ,  x„ =   - / w", Ż e =   u\ r,  x g   — —hw'/ r, (8.1) (8.2) gdze W U (8.3) H V =   — '  dr' R PA a  bezwym iarowe  sił y  i  krzywizny  zdefiniowane  są  jak  w  (7.4).  Wielkoś ci  geometryczne i  kon wen cja  zn aków  dla  sił  i  obcią ż eń  podan e są  n a  rys.  4. D la  p o wł o ki  przegubowo  zam ocowan ej  n a  obwodzie  i  obcią ż onej  równ om iern ym ciś n ien iem od stron y  wklę sł ej, kon tyn uacja procesu odkształ cen ia plastycznego jest  moż liwa przy  n arastają cym  ciś n ien iu.  M a  więc  miejsce  wzmocnienie  geometryczne.  W  powł oce tworzą  się  dwa  obszary.  W  przypadku  stosowania  waru n ku  plastycznoś ci  Treski  w  czę ś ci Rys. 4.  G eometria mał owyniosł ej  powł oki  kulistej cen traln ej  0  <  r  ^  £   realizuje  się  stan  bł onowy  m g   — m v   —  0,  podczas  gdy  w  pobliżu p o d p o ry,  £  ^   r  ^   c,  wystę puje  stan  zgię ciowy  taki,  że m g   =   n j, —1,  a  pozostał e  wielkoś ci okreś lone  są  równ an iam i  równ owagi.  Z e  wzrostem  ciś nienia  strefa  bł on owa  powię ksza się.  Wyczerpan ie  n oś n oś ci  w  sensie  klasycznym,  tzn .  rozpoczę cie  się  ruchu  sztywno- plas- tycznej  po wł o ki  odpowiada,  w  t ym  przypadku,  m ał o  wyniosł ej  kon strukcji  i  niewystę po- wan iu  strefy  bł on owej, f  =   0. ZAG AD N IEN IA  TEORII  UMIARKOWANIE  D U Ż YCH   UG IĘ Ć  POWŁOK 347 '  Wzrost ciś nienia potrzebny  do utrzymania procesu odkształ cenia plastycznego  powł oki zilustrowany  jest  na  rys.  5  dla  dwóch  przypadków  powł ok  o  peł nej  ś ciance,  wykonanych z  materiał u Treski  [16].  Podobnie jak  to  miał o  miejsce  dla  powł ok  walcowych,  ugię cia rzę du  gruboś ci  ś cianki  zmieniają   w  sposób  istotny  udź wig  konstrukcji.  Zależ ność  sił a — najwię ksze  ugię cie  zdą ża  asymptotycznie  do  prostej  odpowiadają cej  rozwią zaniu  bł ono- wemu  otrzymanemu  stosownie  do  przybliż onej  teorii  membran.  N ależy  zaznaczyć,  że przyrost  wzmocnienia geometrycznego  zależy  w duż ym  stopniu od  warunków  brzegowych powł oki  i przy  okreś lonej  swobodzie  przesuwu  na  podporze przyrost  ten  może  nawet  nie wystą pić.  Zagadnienia  tego  typu  badane był y  dla  pł yt  [7], [24],  [43], [49]. Rys,  5. Wzmocnienie  geometryczne  dla. mał owyniosł ych powł ok  kulistych,  a) rozwią zanie  [16], b) rozwią - zanie bezmomentowe  . Aby  umoż liwić  zilustrowanie  zjawiska  przeskoku,  któremu  towarzyszy  zmniejszenie siły  potrzebnej  do  utrzymania  plastycznego  pł ynię cia  konstrukcji  należy  omówić metodę oszacowania  zależ noś ci  obcią ż enie- ugię cie  w  geometrycznie  nieliniowej  teorii.  Ś cisłe rozwią zanie  zagadnienia  przeskoku  plastycznego  dla  powł ok  nie  jest  dotychczas  znane. D la  sprę ż ysto- plastycznego  modelu  odkształ cenia badanie  przeskoku  jest  również  utrud- nione z uwagi  na konieczność uwzglę dnienia  zjawisk  odcią ż ania:  obszary  pierwotnie  plas- tyczne mogą   znaleźć  się  w  stanie  sprę ż ystym,  przejś ciowo  lub  ostatecznie,  [50]. Oszacowania  niestatecznoś ci  konstrukcji  sztywno- plastycznej  mogą   być  dokonywane przy  wykorzystaniu  zasady  prac  przygotowanych.  W  zastosowaniu  do  pł yt  podejś cie takie  stosowane  był o  w  [43].  Ogólne  sformuł owanie  metody  w  konsekwentnym  opisie materialnym, tzn. stosują c  tensor naprę ż eń Pioli- Kirchhoffa  (2.2) oraz tensor odkształ ceń G reena  (2.1), podali  LANCE i  SOECHTING   [28]. Zasada prac przygotowanych  w teorii skoń czonych  odkształ ceń ma postać (8.4) f Pola naprę ż eń i prę dkoś ci  odkształ ceń wchodzą ce  do  (8.4)  nie  są   teraz  niezależ ne. N ieza- leż ne  są   tylko  odpowiednie  wielkoś ci  z  opisu  przestrzennego,  natomiast S KL  i  przemiesz- 348  A.  SAWCZUK czen ia  U K   zwią zane  są   równ an iam i  równowagi  (2.4)  oraz  odpowiednim i  zależ noś ciami przedstawiają cymi  warun ki  brzegowe.  T ak  wię c  stosują c  (8.4)  należy  dobierać  ł ą cznie S KL  i  U K   speł niają ce  (2.4),  a  n astę pn ie  dobierać  niezależ nie  pole  prę dkoś ci  przemieszczeń U K ,  speł n iają ce  kin em atyczn e  warun ki  brzegowe.  R ówn oważ n ość  zapisu  (8.4)  i  zapisu eulerowskiego  zasady  p r a c  przygotowan ych  wynika  z  (2.3). P rzy  zał oż en iu  sł usznoś ci  postulatu  D ruckera  w  formie  (2.11),  zależ ność  (8.4)  pozwala sform uł ować  n astę pują cą   zasadę (8.5)  /   r>(E KL )dV  p  X  f  T K U K dS. v  s gdzie  X  jest  m n oż n ikiem  jedn oparam etrowego  obcią ż enia.  Jeś li  X >  1  kon strukcja  jest stateczn a, n at o m iast  X <  1 ozn acza, że nastę puje  przeskok  plastyczny  d o  stan u, w  kt ó rym zn owu  X  >  1. J a ko  p rzykł ad  zastosowan ia  zasady  p r a c  przygotowanych  (8.4)  do  zbadan ia  przeskoku rozpatrzym y  powł okę   o  geom etrii, jak  na  rys.  4.  N a podporze  dan a  jest  swoboda  przesu- wu  p o zio m ego (8.6)  u(c)  #   0,  w{c)  =   w(c)  =   0,  w(0)  =   0. P rzyjmujemy  warun ek  plastycznoś ci  w  postaci (8.7) tzn .  rozpatrujem y  stany  n aprę ż en ia  n a  jedn ym  pł acie  hiperpowierzchni  plastycznoś ci Treski,  [23]. Wykorzystują c  stowarzyszon e  prawo  pł ynię cia  (2.11)  otrzymuje  się ,  zgodn ie z  (8.7),  że  X\   =  Xc  =  0.  Tak  wię c  zgodn ie  z  wię zami  (8.6)  pola  prę dkoś ci  przemieszczeń i  pole  ugię ć  są (8.8)  w  =  a( i- - l,  ń = 'óli- ~),  u =   - \ 4- - - r)- \   c I  \   c I  c \  2  c f P o n a d t o  (2.11)  daje  n„ =  —ul(2hw');  znają c  n atom iast  n $ ,  m oż na  z  (8.7)  okreś lić  m„, w zależ n oś ci  od  wielkoś ci  geometrycznych  i  kinem atycznych. P ozwala  to  n a  przedstawienie dysypacji  wewn ę trzn ej  w  postaci D  =   D(E KL ),  jak  to jest  wymagane  przez  (8.5). P o  d o ko n a n iu  cał kowań w  (8.5)  otrzymujemy,  w  przypadku  rozpatrywanej  teorii  przy- bliż onej  okreś lon ej  zwią zkami  (8.1)  i  (8.2), gdzie AH~'2h' 3 P on ieważ  dpjdb  <  0  d la  0  ^  ó <  —a  obcią ż enie  zmniejsza  się   przy  narastają cych  ugię - 5 ciach ,  a  wię c  n astę puje  przeskok.  Obcią ż enie  wzrasta  p o n ad  wielkość  począ tkowej  noś- ZAG AD N IEN IA  TEORII  UMIARKOWANIE  D U Ż YCH   U G IĘ Ć  POWŁOK 349 noś ci  granicznej  dla  <5  ^  - ja.  Zależ ność (8.9) przedstawiona jest  na  rys.  6  dla  dwóch  war- toś ci a charakteryzują cych  wymiary powł oki. Z  równań równowagi  (8.1) należy jeszcze  wyznaczyć  n v   i m v   speł niają ce warunki  brze- gowe  zadania  i  okreś lić  parametry  geometryczne,  dla  których  speł nione  są   wymagania Rys.  6. Oszacowanie przeskoku  plastycznego  dla mał owyniosł ej powł oki  kulistej równowagi  i ewentualne ograniczenia na zakres  stosowalnoś ci  profilu  naprę ż eń  znajdują - cego się  na boku  (8.7) hiperpowierzcbni plastycznoś ci. Z uwagi na ilustracyjny  cel rozpatry- wanego  przykł adu  szczegół ów  tych  nie  analizujemy.  N iestateczność procesu  deformacji plastycznej  powł ok  rozpatrywał   SZABLIJ  [48]  dla  nieco  odmiennej  teorii  niż  okreś lona w  (8.1) i  (8.2), a której  zależ noś ci podane są  w  [51]. Zjawisko  przeskoku  plastycznego  wymaga  pogł ę bionych studiów  dla  sprecyzowanych teorii  powł ok, gdyż  iloś ciowe  wyniki  zależą   od  charakteru  wprowadzanych  uproszczeń. D la  wyniosł ych  powł ok  kulistych  zjawiska  geometrycznego  osł abienia  konstrukcji i  przeskoku plastycznego  badał  doś wiadczalnie  LECKIE  [29]. Czasza pół kulista o promieniu 3"  i gruboś ci 0,5"  obcią ż ona był a silą   skupioną   przył oż oną  poprzez  sztywną   tarczę . W  ta- kich przypadkach obszar plastyczny może nie obejmować  cał ej powł oki i przeskok  dotyczy tylko  fragmentu  konstrukcji,  podobnie jak  to  ma  miejsce  w  powł okach sprę ż ystych.  Lo- kalność przeskoku  dla  powł ok kulistych  wykazują   również  badania  SCHROEDERA  i  SH ER- BOURNE'A [46]. Krzywe doś wiadczalne zależ noś ci sił a—najwię ksze  ugię cie, uzyskane w oma- wianych badaniach  [29] przytoczone są   na rys. 7 dla kilku  przypadków  ś rednicy  centralnej tarczy.  Wyniki  te  wskazują ,  że  odkształ cenia sprę ż yste  mają   istotny  wpł yw  n a  wielkość obcią ż enia, przy  którym nastę puje  przeskok.  D la pł yt  zjawisko  to  badał   JAN AS  [24],  pro- ponują c  przybliż oną   metodę  iloś ciowej  oceny  wpł ywu  odkształ ceń sprę ż ystych  na  obcią - 350 A.  SAWCZUK 0   1 2 R ys.  7. D oś wiadczalna zależ ność  obcią ż enie- ugiccie  dla  sprę ż ysto- plastycznej  powł oki  [29], Q o   — noś ność graniczna ż enię   przeskoku.  Teoria  i  technika  obliczeniowa  rozwinię ta  przez  WASZCZYSZYNA  [50] dla  sprę ż ysto- plastycznych  powł ok umoż liwią   uzyskanie  iloś ciowych  wyników  dotyczą - cych przeskoku  tego typu  konstrukcji. 9.  Zakoń czenie Teoria powł ok plastycznych rozwija  się   obecnie w  kierunku  uwzglę dnienia geometrycz- nej  nieliniowoś ci.  Aczkolwiek  w  zakresie  teorii noś noś ci  granicznej  liczba  rozwią zań  zu- peł nych jest  cią gle  niewielka,  to  nie  ma jednak  zasadniczych  trudnoś ci w  rozwią zywaniu konkretnych zadań, gdyż równania problemu są  znane i zasadnicze twierdzenia, stanowią ce podstawę   do  rozwią zań  przybliż onych,  są   ustalone.  W  dziedzinach  innych  niż  noś ność graniczna  sytuacja jest znacznie mniej  wyjaś niona. Równania teorii  umiarkowanie  duż ych  ugię ć  są   jednak,  w  zasadzie,  ustalone. Należy oczekiwać,  że  badania  przyniosą   w  przyszł oś ci  rozwią zania  problemów  począ tkowo- brzegowych dla róż nych przybliż onych teorii i umoż liwią  ustalenie zakresu ich zastosowania. Szczególnie interesują ce, zarówno ze stanowiska teorii, jak i zastosowań w konstrukcjach, jest  studium zjawiska  przeskoku  plastycznego  i  niestatecznoś ci procesu  plastycznego pł y- nię cia konstrukcji. Jednym,  z  problemów  badawczych  o  podstawowym  znaczeniu  jest  sformuł owanie i  uzasadnienie  twierdzeń  pozwalają cych  oszacowywać  jeś li  nie  rozwią zanie  problemu przyrostowego,  to odkształ coną  postać powł oki plastycznej  lub inne elementy rozwią zania takiego przyrostowego problemu. Wyjaś nienia  wymaga  róż nica  pomię dzy  plastycznoś cią   w  konfiguracji  nieodkształ co- nej  a plastycznoś cią   w  konfiguracji  aktualnej, tzn. okreś lenie w jakim  stopniu należy w te- Z AG AD N I E N I A  T E O R I I  U M I AR K O WAN I E  D U Ż YCH   U G I Ę Ć  P O WŁ O K  351 oiii  konstrukcji  uwzglę dniać  «anizotropię »  spowodowaną   duż ymi  odkształ ceniami. Wią że się  z tym również konieczność rozwią zania  zagadnień począ tkowo- brzegowych  dla róż nych warunków  plastycznoś ci,  podobnie jak  to miał o  miejsce  w problemach  brzegowych  teorii noś noś ci  granicznej. Odmienne  zagadnienie  stanowi  analiza  sprę ż ysto- plastycznego  zachowania  się   kons- trukcji  przy  wystę powaniu  duż ych  przemieszczeń  i  duż ych  odkształ ceń.  Sformuł owania i  zbadania  wymagają   tu  również  zwią zki  podstawowe,  gdyż  addytywność  odkształ ceń sprę ż ystych  i plastycznych  w  takich przypadkach  nie zachodzi. N ie  moż na  pominą ć wś ród  problemów  badawczych  opracowywania  metod  i  technik numerycznego rozwią zywania  zagadnień. Pominię te w  tym  artykule  takie problemy, jak  dynamika powł ok plastycznych, mecha- nika powł ok wiotkich, uwzglę dnienia  wzmocnienia materiał u  stanowią   inną  grupę   waż nych technologicznie i konstrukcyjnie  zagadnień. O zn aczen ia X L ,  L   — 1, 2, 3  wspó ł rzę dne  p u n k t u  m a t er ia ln ego  w  ko n figu racji  n ieo d kszt a ł - con ej, x ł ,  i  ** 1, 2,  3  wsp ó ł rzę d ne  p o ł o ż en ia  p u n k t u  w  ko n figu rac ji  o d kszt ał - co n ej, (j K ,gk  wekt o ry  bazy,  o d p o wie d n io  w  ko n figu racji  n ie o d kszt a ł c o - n ej  i  o d kszt ał co n ej, GKL >8M  o d p o wied n ie  t en so ry  m et ryczn e, GAr  t en so r  m et ryczn y  n ieo d kszt a ł c o n ej  p o wierzc h n i, gK  =   G K g) i   t r a n sla t o r  z  bazy  ( 7 K d o ba zy  g*, A A ,  A3,  A  =   1, 2  wektory  ba zy  n a  n ieo d kszt a ł c o n ej  p o wie r zc h n i  ś ro d ko wej translator  z  bazy  GKL   do  bazy  na  powierzchni  ś rodkwej, wyznacznik  translatora, A AT  tensor  metryczny  powierzchni  ś rodkowej  nieodkształ conej powł oki, Bjr  drugi  tensor  podstawowy  nieodkształ conej  powierzchni ś rodkowej  powł oki, - Rm l n  n ajm n iejszy  p r o m ie ń  krzywizn y  n ieo d kszt a ł c o n ej  p o wł o ki, na  jed n o st ko wy  wekt o r  n o r m a ln y  w  ko n figu racji  n ie o d kszt a ł - con ej, (  ) ;  ró ż n ic zko wan ie  ko wa r ia n t n e  d wu p u n kt o wyc h  t e n so r ó w, (  ) |  ko wa r ia n t n e  ró ż n ic zko wan ie  w  bazie  p o wie r zc h n i  ś r o d ko we j, a'J  skł ad o we  t e n so r a  n a p r ę ż eń  C a u c h y'ego , S KL  skł ad o we  t e n so r a  n a p r ę ż eń  P ioli- K irch h offa, U  =  U K GK  =   UAAA- \ -  W A 3   wekt o r  p rzem ieszczen ia, V A  skł ad o we  przem ieszczen ia  styczn ego  d o  p o wie r zc h n i,  o d n ie- sion e  d o ba zy  n a p o wierzc h n i  ś r o d ko we j, W   przem ieszczen ie  n o r m a ln e  d o p o wier zc h n i  ś r o d ko we j, V A  wekt o r  p o wierzc h n io wy  przem ieszczeń  st yc zn yc h  d o  p o wier z- ch n i  ś r o d ko wej, C K L   t en so r  deform acji  C a u c h y' e go  ( ró ż n ica  m e t r yk) , t en so r  o d kszt ał ceń  G r e e n a , 352  A.  SAWCZUK przyrost  tensora  odkształ ceń  G reena, tensor wydł uż eń powierzchni  ś rodkowej, tensor zmian krzywizny  powierzchni  ś rodkowej, M AI \   N Ar  powierzchniowe  tensory  Pioli- Kirchhoffa  wypadkowych  sił i  momentów w powł oce, Q J  wektor  sił y poprzecznej, D  gę stość  dysypacji  (na jednostkę   nieodkszał conej  powierzchni ś rodkowej  powł oki), 7.H  grubość  ś cianki powł oki, d;j  tensor prę dkoś ci  odkształ ceń (eulerowski). Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  D . J.  ALLM AN ,  S.  S.  G I L L ,  T he effects  of  changes  of geometry on  the limit pressure  of  a flush  nozzle  in a  spherical pressure vessel,  Engineering  Plasticity,  Cambridge  U niv.  Press,  London  1968,  1- 20. 2.  M ,  AR C I SZ ,  J.  RYCH LEWSKI,  Plane plastic flow  in  material  description,  Arch.  Mech.  Stos.,  22  (1970), 233- 249. 3.  G .  AU G U STI ,  S.  D 'AG OSTI N O,  T ests of  cylindrical shells in the plastic range,  Proc. ASCE, 90, J. M. Eng. D iv.,  E M I ,  1964,69- 82. 4.  G .  AU G U STI:,  S.  D 'AG OSTI N O,  Experiments' on  the plastic[behaviour of  short steel cylindrical shells subject to  internal  pressure,  P roc.  1st  I n t. Conf.  Pressure  Vessel Techn. (D elft  1969), ASM E, N ew York  1970 I ,  45- 57. 5.  B.  BU D IAN SKY,  Remarks  on  theories of  solid and structural mechanics,  Problems  of  H ydrodynamics an d  C ontinuum M echanics, N auka, M oskwa  1969,  67- 72. 6.  M .  CAPU RSO,  Sul  comportamento inelastico  delle superfici di rlvoluzione  in regime  di grandi Spostamenti, U niversita  di  N apoli I stituto  di  Tecnica delle  Costruzioni, N o 272, N apoli  1969. 7.  M .  CAP U RSO,  R .  RAMASCO,  Sul  calcolo  elasto- plastico  delle piastre  circolari  e delle volte di rholuzione ribassate  in  regime di grandi spostamenti, Costruzioni  metalliche,  1969,  N o  5,  3- 20. 8.  M . D .  C OON ,  S. S.  G I L L ,  T he effect  of  change of geometry  on  the  rigid- plastic  limit  load of  cylinders, I n t .  J.  M ech. Sci., 10  (1968),  355- 368. 9.  W. J.  COTTAM ,  S. S.  G I L L ,  Experimental  investigation  of  the  behaviour beyond  the  elastic limit  of  flush nozzles  in  cylindrical pressure  vessels,  J.  M ech. Eng.  Sci.,  8  (1966),  330- 350. 10.  K.  S.  D I N N O ,  S. S.  G I L L , An  expsrimental investigation into the plastic behaviour of flush nozzles in sphe- rical pressure vessels,  I n t . J.  M ech. Sci.,  7  (1965),  817- 839. 11.  L. H .  D O N N E LL,  General thin  shell displacement- strain  relations, P roc.  4- th  U . S.  N at.  Cong.  Appl. M ech.,  ASM E ,  N ew  York  1962,  529- 536. 12.  D . C.  D R U C K E R ,  R. T.  SH IELD ,  L imit  analysis of symmetrically loaded thin shells  of  revolution,  J.  Appl. M ech.,  26  (1959),  61- 69. 13.  M .  D U SZ E K ,  Plastic  analysis  of  cylindrical shells subjected to  large deflection, Arch.  Mech.  Stos.,  18 (1966),  599- 614. 14.  M .  D U SZ E K ,  Analiza plastyczna dwuwarstwowych powł ok  walcowych  uwzglę dniają ca  wpł yw zmian kształ - tu,  R ozpr.  I n ż .,  15  (1967),  653- 663. 15.  M .  JlYaii<,  IT ji2;n:mecKoe nosebmut  no.ioutx  cfiepunecKux OSOMHSK npu  SoAbiuux  npoiu5ax,  BM JI JI . r t AH ,  c e p a *  Tex.  vayu,  15  (1967),  565- 575. 16.  M .  D U SZ E K ,  Plastic analysis of  shallow spherical shells  at  moderately large deflections,  Theory  of  Thin Shells,  2nd  I U T AM  Symp.  (Copenhagen 1967),  Springer,  Berlin  1969,  374- 388. 17.  M .  D U SZ E K ,  Równania  teorii duż ych  ugią ć powł ok plastycznych,  Prace I P P T  13/ 1971. 18.  M .  D U SZ E K ,  A.  SAWCZU K,  L oad- deflection relations for  rigid- plastic  cylindrical  shells beyond the inci- pient  collapse load,  I n t.  J,  M ech. Sci., 12  (1970),  839- 848. 19.  M .  D U SZ E K , A.  SAWC Z U K,  O podstawowych zwią zkach teorii powł ok plastycznych,  Rozpr. Inż ., 18 (1970), 717- 733. ZAG AD N IEN IA  TEORII  UMIARKOWANIE  D U Ż YCH   U G IĘ Ć  POWŁOK  353 20.  A.  M.  F REU D EN TH AL,  M . P.  BIEN IEK,  T ests of  cylindrical  shells  in  the plastic  range, I n t . J.  M ech .  Sci., 2  (1960), 128- 130. 21.  Y.  C.  F U N G ,  Foundations of  Solid  Mechanics, P rentice- H all, Englewood Cliffs,  N . J.  1965. 22.  A. E.  G R E E N , P . M .  N AG H D I , A  general  theory  of  an  elastic- plastic  continuum, Arch. R at .  M ech . An al. 18  (1965),  251- 281. 23.  P . G . H O D G E , Plastic  Analysis  of  Structures,  M cG raw- H ill,  N ew York  1959. 24.  M .  JAN AS,  Skoń czone ugię cia  sprę ż ysto- plastyczne  pł yt  zamocowanych,  P race  I P P T  36/ 1970. 25.  J.  KLEP ACZ KO,  J. A.  K Ó N I G ,  Ś ciskanie  osiowe powł oki  cylindrycznej  z  równoczesnym  ciś nieniem  we- wnę trznym, R ozpr.  I n ż .,  14 (1966),  263- 275. 26.  W. T.  KOI TER ,  On the  nonlinear theory  of  thin elastic shells,  P ro c.  K o n . N ed.  Akad. Wett.,  B69 (1966) 1- 64. 27.  A. M . Kyjuib,  Pacnem  ZUSKUX  oicecmKo- nAacmunecKUX  uumuidpUHecKux  OSO/ IOHCK  npu  coBMecmnoM  deii- cmeuu  euympeiiHOBo  daejieuun  u  ocesoeo pacmnoicenun.  M aT .  JTCT.  I U K O J I M ,  T ap T y  1966, 2 ,  59- 72. 28.  R . H . LAN CE,  J. F . SOECH TIN G , A  displacement bounding principle  in finite  plasticity,  I n t .  J.  Solid Struc- tures, 6  (1970), 1101- 1118. 29.  F . A.  LECKIE,  Plastic  instability  of  a  spherical shell, Theory  of  Thin  Shells,  2nd I U T AM  Symposium (Copenhagen  1967), Springer,  Berlin 1969, 358- 373. 30.  O.  LE P I K,  L arge  deflections  of  rigid- plastic cylindrical shells  under  tension and external pressure,  N ucl. E n g.  D esign, 4,  1966,  29- 38. 3 1.  K>.  P .  JlErniK,  EoAbuiue  npoiu6bi  sicecmKO- nAacmuuecKoii  ą uAuiidputecKOu  OSO.IOHKU  nod  dutcmiusM mympeHHezo  u  enetunezo  daeAeuux,  ( Ban y  1966) ,  H aywa,  M ocKBa  1966,  534—541. 32.  K ) .  P .  JIEIUIK,  PaeHoeecue ynpyeo- n/ iacnnmecKiix  u  otcecmKO- nxaammecKUX nnacmim  u  oóojioueK,  I i n - >KeaepHbiH   >KypHaJi,  4  ( 1964) ,  6 0 1 - 6 1 0. 3 3 .  K ) .  J I E I I H K ,  Eojibutue  npoiuGu  oicecmKo- riAacmumcKux  nwiuubpUHCCKux oSojioueK  npu cosMecmuoM beucmauu  oceeoio  pacmnoicemtn  u  aueiuuezo  daeAemm,  T a r t u  riikliku  iilikooli  t o im e t ise d  206 (1967), 146- 159. 34.  X.  M . MyuiTAPH, K.  3 .  F AJM M OB,  HeMHeuuan  meopun ynpymx  o6oAonei<,  TaTKHjiroH3Aai", Ka3aHb 1957. 35.  P . M. N AG H D I , Foundations of elastic shell theory, P rogress in Solid M echanics, 4,1- 90,  N o r t h  H ollan d, Amsterdam 1963. 36.  W.  OLSZAK,  A.  SAWCZ U K,  Inelastic  Shell Problems,  N oordhoff,  G ron in gen  1967. 37.  E . T.  O N AT ,  T he  influence  of  geometry  changes  on  the  load- deformation  behaviour  of  plastic  solids, Plasticity,  P roc.  2nd  N aval  Structural  M echanics,  (P rovidence  1960), P ergam on  P ress, Oxford  1960, 225- 238. 38.  J.  OR KI SZ ,  Skoń czone  odkształ cenia wiotkich obrotowo- symetrycznych  powł ok  poddanych  plastycznemu pł ynię ciu, Wyd.  P olit.  Krak., Kraków 1967. 39.  N .  PERRON E,  An  experimental  verification  of  limit  analysis  of  short  cylindrical shells,  J.  Appl.  M ech., 36  (1969),  362- 364. 40.  W.  PiETRASZKiEWicz,  N ieliniowe  równania  dynamiki  powł ok  w  nieinercjalnym  ukł adzie  odniesienia, Biuletyn Inst.  M asz. P rzepł . P AN , N o 682, G dań sk  1970. 41.  M .  ROBIN SON ,  S. S.  G I L L ,  T he effect  of finite  changes  of  geometry  on  the  rigid- plastic limit  pressure of flush  nozzles in spherical pressure  vessels, I n t .  J.  M ech.  Sci., 11 (1969),  253- 267. 42.  M . SAVE, M. JAN AS,  Collapse and bursting pressures of  cylindrical mild steel  vessels, Arch . Bud.  M aszyn, 1971  (w  druku). 43.  A.  SAWCZU K,  L arge deflection theory of plates,  P roc.  10th I n t .  Congress Applied  M ech .  (M un ich  1964), Springer, Berlin,  224- 228. 44.  A.  SAWCZU K,  On formulation  of  large  deflection  theory  for  perfectly  plastic  shells,  P ro c.  N a t . Bulg. Congr. Appl.  M ech.  (Varna 1969), Sofia  (w  druku). 45.  J.  SCH ROED ER,  P.  RAN OARAJAN ,  Upper  bounds  to  limit  pressure  of  branch- pipe T ee  connections,  F irst I n t .  Conf. P ress. Vessels  Techn ol.  (D elft  1969) ASM E , N ew York  1970, 1, 277- 291. 46.  J.  SCH ROED ER,  A. N .  SH ERBOU RN E,  Unsymmetrical yield  point  loads  of  spherical  domes,  P roc.  ASC E , 94,  J. Eng. M ech. D iv., E M 3,  1968, 823- 839. 354  A.  SAWCZUK 47.  J.  P .  SHRIVASTAVA,  P.  G .  G LOCKN ER,  L agrangian  formulation  of  statics  of  shells, P roc.  ASCE,  96, J.  Eng.  M ech. D iv.,  E M 5,  1970,  547- 563. 4 8.  O.  H .  IIIABJIH H J Eojibiuue npoiuóu OKecmKO- n.iaammecKou no/ ioeoii  ctpepunecKoii  OSOJIOHKU,  M aiepnajibi jieTHeii  mKOJibi,  TapTy  19663  2,  140- 147. 49.  H .  F . TEPEryjioB,  Bojibiuue npozu6u  Dicecmiw- n.aacmwiecKOu noAozou ctfiepunecKou  O6O/ IOHKU  C oicecmKou 3adejiKOu KpoMotc, T p yflt i  VI I  Bcecoi03H .  K n ib.  (flH en pon eTpoecK ,  1969),  H ayi< a,  M ocKBa  1970 3 578- 581. 50.  Z .  WASZCZYSZYN ,  Obliczanie  skoń czonych  ugię ć  sprę ż ysto- plastycznych  pł yt  i  powł ok  obrotowo- sy- metrycznych,  Wyd.  Polit.  Krak.,  Kraków  1970. 5 1.  A.  C .  BOJILMH P,  FUSKW   njiacmuuKu  u  OÓOJIOHKU,  FMTTJIMJ  MocKBa  1956. 52.  C z.  WO Ź N I AK, N ieliniowa teoria powł ok, P WN , Warszawa  1966. P  e  3 ro  M e BO riP O C BI  T E O P H H   YM E P E H H O  BOJIBU IH X  n P O r H E O B aKE C TKO- riJI AC TH M E C KHX  OBOJI O^E K B  pa5óTe  npe;tcTaBjieH Łi  n p a H q u n b i  nocTpoeH H ji  ypaBHeHHH  TeopnH   o6ojioiiei<  B jiarpanweBOM   oroi- caH H H .  PaccMOTpeH Łi  ieH 30pH Lie  BejimnH Łii  xa p a K ie p n t ie  fljia  SToro  onncaH H H ,  npHBOflHTcn  CHCTeMfai ypaBH eH H ii  H C C KOJILKH X  B a p n a m o B  npH 6jin>ii