Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  9  (1971) O  PEWN YM  M OD ELU   CIAŁA  PRZEN OSZĄ CEGO  N APRĘ Ż EN IA  M OM EN TOWE M AR E K  S O K O Ł O W S K I  (WARSZAWA) 1. Naprę ż enia momentowe W  ostatnim dziesię cioleciu  zan otować  moż na w  ś wiatowej  literaturze naukowej  z dzie- dziny  mechaniki  ogromny  wzrost  zainteresowania  tematyką   teorii  oś rodków  typu  Cosse- atów  wzglę dnie  ciał   stanowią cych  ich  uogólnienia  lub  modyfikacje.  Wszystkie  te teorie, których  nie  bę dziemy  tu  szczegół owo  wyliczać  i  klasyfikować,  posiadają   jedną   wspólną cechę :  zakł adają   on e  mianowicie,  że  wzajemne  oddział ywania  poszczególnych  czę ś ci oś rodka —  oddział ywania  kon taktowe —•  nie  dają   się   sprowadzić  do  prostego  wektora naprę ż eń  sił owych  i  wymagają   wprowadzenia  sił   kontaktowych  wyż szego  rzę du,  mię dzy innymi  naprę ż eń  momentowych.  Innymi  sł owy,  ukł ad  sił   równoważ ą cy  oddział ywanie Rys. 1 odrzuconej  czę ś ci  oś rodka  otaczają cego  element  V  o  powierzchni  S  (rys.  1)  skł ada  się z wektorów  sił  P  i m om entów Q ;  zakł ada się  zarazem, że granice AF  .  AQ l m ~ Z s ~ ' hm~Zs~ przy  AS  zmierzają cym  do  zera  istnieją   i nie  są   toż samoś ciowo  równe zeru przy  dowolnym wyborze  dostatecznie  gł adkiej  powierzchni  AS.  G ranice te  oznaczamy  odpowiednio (1.1)  h m —j - s - ^ p,  h m - r7 r  =   q, n  n przy  czym  p jest  klasycznym  wektorem  naprę ż enia  (naprę ż enie sił owe), a q —  wektorem naprę ż enia  momentowego.  I ndeks  n  wskazuje,  że  wektory  te  są   zależ ne  od  wyboru  po- 392 M .  SOKOŁOWSKI wierzchni  S  scharakteryzowanej  lokalnie  przez  jedn ostkowy  wektor  n orm aln y  n  do  tej powierzchni. W  klasycznej  teorii  oś rodka  cią gł ego  przyjmuje  się ,  że  gran ica  drugiego  stosun ku AQ/ AS  toż samoś ciowo  zn ika;  zał oż enie  to  m oż na  uzasadn ić  prostym  rozum owan iem , n ie  pretendują cym  do  ś cisł oś ci  choć  niewą tpliwie  przejrzystym  ([1]):  wyobraź my  sobie element  prostopadł oś cienny  dx y dx 2 dx 3   w  prostoką tn ym  ukł adzie  współ rzę dnych  {x t }, i  — 1,2,3  (rys.  2)  i  rozważ my,  dla  prostoty,  jedną   ś cianę   tego  elementu  dx 2 dx 3   obcią - Rys.  2 ż oną   naprę ż eniami  n orm aln ym i  a 11 (x 2 ,x 3 ).  Omawiają c  warun ki  równowagi  takiego elementu  zakł adam y  zazwyczaj,  że  naprę ż enia  te  rozł oż one  są   równom iernie  n a  infinite- zymalnym  elemencie  powierzchni  dx 2 dx 3 .  G dyby  bowiem  przyją ć,  jak  n a  rys.  2,  że  n a- prę ż enia  te  są   na  przykł ad  liniową   funkcją   zmiennej  x 3 , (1.2)  ffn(*2»*3) to  wielkość m om entu wypadkowego  rozważ anych  sił  dział ają cych  n a  ś cianę   dx 2 dx 3   wzglę - dem  osi  x 2   przechodzą cej  przez  ś rodek  prostopadł oś cianu wyniesie dx 3   ,  dx 3   2  ,  1 TV  2  """  2 U wzglę dniając  pon adto  analogiczny  wpł yw  obcią ż eń  sił ami  a xx   dx 2 dx 3   przeciwległ ej ś ciany  prostopadł oś cianu  oraz  wpł yw  n aprę ż eń  a l3   i  a 3X ,  których  rozkł ad  przyjmiemy dla prostoty  równomierny,  otrzymamy  równanie  bilan su  m om en tów  w  postaci (1.3)  ( c u — 0 3 i ) + - p;  T ~—(a—(7')\ dx 1 dx z dx 3   =  M Xl . I  12  ax i   i  i  J a'  oznacza  tu  odpowiedni  współ czynnik  czł onu  liniowego  w  wyraż eniu  n a  ff1i(x2,  x3) i n a  ujemnej  ś cianie  prostopadł oś cianu  elem entarnego,  proporcjon aln y  do  tan gen sa  ką t aa nachylenia  wykresu  ou(x 3 )  do  osi  x 3 .  Wyraż enie  a—a'  we  wzorze  (1.3)  m oż n a,  w  przy- padku  róż niczkowalnoś ci (1 . 4) ( t ),  zastą pić  róż niczką da( Xl ) dx x   l ' . O  MODELU   CIAŁA  PRZENOSZĄ CEGO  NAPRĘ Ż ENIA  MOMENTOWE  393 Stwierdzamy  teraz,  że  wyraż enie  w  nawiasie  kwadratowym  wzoru  (1.3)  zawiera  czł ony róż nego  rzę du  wzglę dem  infinitezymalnej  wielkoś ci  dx,.  Wpł yw  nierównomiernoś ci rozkł adu  n aprę ż eń jest  o jeden  rzą d  (lub  przy  uwzglę dnieniu  (1.4) —  o  dwa  rzę dy)  niż szy od  wpł ywu  róż nicy  c 1 3 —a 3 1 ,  w  zwią zku  z  czym  drugi  czł on  w  nawiasach  kwadratowych (1.3)  zazwyczaj  jest  pom ijan y.  P rowadzi  to  do  klasycznego  stwierdzenia  symetrycznoś ci ten sora  n aprę ż en ia  a tJ   =  a^ . M oż na  n atom iast  wyobrazić  sobie  przypadki,  w  których  konieczność  zaniedbania czł onu  zawierają cego  róż nicę   a— a'  i  przyję cia  symetrycznego  tensora  naprę ż enia nie jest i  i ak  oczywista. (a)  Jeż eli  z  wym iaram i  dx (   n ie  m oż na  zmierzać  do  zera  wobec  skoń czonych  wymia- rów  czą stek  lub  ziaren  ciał a  rzeczywistego,  wtedy  rozumowanie  dotyczą ce  «rzę du  ma- ł oś ci!)  skł adników  sumy  (1.3)  traci wszelki  sen s;  mamy  tu  do  czynienia z  ciał ami  o  pewnej m ikrostrukturze,  w  których  posł ugiwanie  się   symetrycznym  tensorem  naprę ż enia  jest niemoż liwe. (b)  Jeż eli  współ czynnik  er—er' jest  bardzo  wielki,  a  w  szczególnoś ci  gdy  a  = c o n s t x i  i  i Xt g«- >  oo  i  gradien t n aprę ż en ia  w  otoczeniu  rozważ anego  pun ktu  jest  nieograniczony, wpł yw  odpowiedniego  czł onu  nie  może  być  autom atycznie  pominię ty.  Sytuacja  taka powstaje  w  przypadku,  gdy  m am y  do  czynienia  z  osobliwymi  pun ktam i  pola  naprę ż eń, a  wię c  z  n ieskoń czon ymi  kon cen tracjam i  n aprę ż eń.  N ależy  zwrócić  uwagę   n a  fakt,  że szereg  autorów  takich  jak  KOI TE R  [2],  STERN BERG   [3]  sugeruje  moż liwość  wpł ywu  naprę - ż eń  m om entowych n a  zjawiska  zwią zane  z  koncentracją  naprę ż eń. W  obu  om ówionych  t u  przypadkach  w  równ an iu  bilansu  momentu  (1.3)  wystę puje poza  antysymetryczną   skł adową   ten sora  n aprę ż eń  sił owych,  czł on  typii  (1.4)  o  charak- terze  gradien tu  ten sora  n aprę ż en ia,  a  wię c  naprę ż enie m om entowe. (c)  Wyobrazić  sobie  m oż na  po n adt o  przypadek,  gdy  w  ogóle  sporzą dzenie  rysunku typu  rys.  2 nie jest  m oż liwe; jeż eli  oddział ywanie  są siednich  elementów  ciał a  m a charakte istotnie  m om en towy —  p o d o bn ie  jak  w  ciał ach  magnetycznych,  w  których  wystę pują jedynie  dipole  m agn etyczn e,  a  odosobn ion e  bieguny  magnetyczne  nie  mają   racji  bytu  — to  wykres  przedstawion y  n a  rys.  2  traci  sens.  C iał a  tego  typu  był yby  oś rodkami  istotnie m ikropolarn ym i  i  utrzym an ie  do  ich  opisu  symetrycznego  tensora  naprę ż eń  sił owych był oby  także  niemoż liwe. K rótkie  i —  dla  zachowan ia  przejrzystoś ci  —  bardzo  uproszczone  rozumowanie przed- stawione  powyż ej  stan owi  p ró bę   odpowiedzi  n a  pytan ie,  czy  zajmowanie  się   teorią   na- prę ż eń  m om en towych  jest  fizycznie  lub  zwł aszcza  technicznie  uzasadnione.  Równolegle bowiem  z  intensywnym  rozwojem  tej  teorii,  której  wyniki  w  wielu  przypadkach  przera- stają   techniczne  moż liwoś ci  ich  doś wiadczalnej  weryfikacji,  budzą   się   wą tpliwoś ci dotyczą ce  praktyczn ej  uż ytecznoś ci  tego  rodzaju  badań . W  przypadku  sil  o  okreś lonej  strukturze  wewnę trznej  oraz  ciał   sprę ż yś cie  m ikropo- larn ych  uż yteczność  takich  teorii  n ie  ulega  wą tpliwoś ci.  D owodzą   tego  liczne  prace  z  za- kresu  teorii  ciał   z  m ikrostrukturą ,  że  wymienimy  tu  dla  przykł adu  pracę   KALISKIEG O  [9], szereg  prac  WOŹ N I AKA  dotyczą cych  oś rodków  wł óknistych,  prace  G U TKOWSKIEG O i  F RĄ CKIEWICZA  Z zakresu  teorii  dź wigarów  siatkowych  i  wiele  innych.  N iemniej, nawet w  przypadku  rozważ an ia  oś rodków  cią gł ych  w  zwykł ym  znaczeniu tego  sł owa, natrafiamy 394 M .  SOKOŁOWSKI n a  zagadnienia,  w  których  zwykł e  zał oż enia  o  symetrii  ten sora  n aprę ż eń  sił owych nie  dają   się   utrzymać.  Z  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  zn am y  rozwią zanie  dotyczą ce  ob- cią ż enia  nieograniczonej  pł aszczyzny  (Xj,  x 2 )  m om en tem  skupionym  o  wektorze  prosto- padł ym  do  tej  pł aszczyzny.  Jest  oczywiste,  że  rozważ enie  warun ku  równowagi  infinitezy- malnego  elementu  dx x dx 2   ciał a  zawierają cego  p u n kt  przył oż enia  m om en tu  jest  n ie  do pogodzenia  z  warunkiem  symetrii  n aprę ż eń  a 12   =o 21i   gdyż  w  przeciwnym  przypadku m om ent ten nie mógł by  być niczym  zrównoważ ony. Jeszcze  bardziej  przekonywają cego  dowodu  dostarcza  rozwią zanie  zadan ia  przedsta- wionego  przez  BOG Y  i  STERN BERG A  [5], D otyczy ono dwuwymiarowego  zagadn ien ia klin a, prostoką tnego  obcią ż onego  n a  jednej  krawę dzi  sił ami  stycznymi  rozł oż on ymi  w  sposób cią gły  (rys.  3).  Autorzy  wymienionej  pracy  pokazują ,  że  rozwią zanie  tego  zadan ia  w  ra- Rys. 3 mach  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  prowadzi  w  ogólnym  przypadku  do  pola  obrotów i  naprę ż eń  zawierają cych  osobliwoś ci  w  wierzchoł ku  klin a.  Osobliwoś ci  te  t ru dn o  uza- sadnić fizycznie.  Z  drugiej  strony jedn ak,  rozważ ając  infinitezymalny  element  prostoką tny ABCD  o  bokach  dx t   i  dx 2 ,  widzimy,  że  ś cisłe  speł nienie warun ków  brzegowych  n a  kra- wę dziach  AB  i  AD  m usi  być  sprzeczne  z  zał oż eniem  o  równ oś ci  n aprę ż eń  a i2   —  0 2 \ . D opiero  wprowadzenie  do  rozważ ań  n aprę ż eń  m om en towych  usuwa  te  osobliwoś ci i  prowadzi  do  cał kowicie regularnych  rozwią zań. P rzykł ady  te  wskazują ,  że  nawet  przypadki  tradycyjnych  w  zasadzie  zadań  teorii  sprę - ż ystoś ci  prowadzić  mogą   do  rozwią zań,  w  których  dopiero  wprowadzenie  n aprę ż eń m o- rn  entowych  pozwala  un ikn ą ć sprzecznoś ci z rzeczywistym  ch arakterem zjawiska  fizycznego 2. Dobór modelu ciał a P raca  COSSERATÓW  [6] stał a się  pun ktem wyjś cia do powstan ia szeregu  teorii dotyczą cych mechaniki  i  fizyki  oś rodków  wyż szego  rzę du,  dla  których  wyraż enie  n a  energię   sprę ż ystą zawiera  czł ony  zależ ne  nie  tylko  od  pierwszego  gradien tu  przemieszczenia  u,  lecz  także od  wyż szych  pochodnych  wf.  P roblem  doboru  odpowiedniego  m odelu  ciał a,  który  p ro - wadził by  do  wyników  optym alnie  zbliż onych  do  rzeczywistoś ci  n ie  jest  pro st y;  przeciw wprowadzeniu  bardziej  zł oż onych m odeli przemawia  wzglą d  n a moż liwą   prostotę   obliczeń. U wzglę dnienie  bardziej  zł oż onych  praw  fizycznych  dla  m odeli  ciał   tego  rodzaju  stawia O  MODELU   CIAŁA  PRZENOSZĄ CEGO NAPRĘ Ż ENIA  MOMENTOWE  395 także  pod  znakiem  zapytania  moż liwość  doś wiadczalnej  weryfikacji  otrzymanych  wyni- ków.  M odel  rozważ ony  n p .  przez  M I N D LI N A  [7]  wprowadza  903  niezależ ne  od siebie współ czynniki  sprę ż ystoś ci  dla  ciał a o pewnych  wł asnoś ciach  sieci  krystalicznej. N iewą tpliwie  najprostszym  modelem  ciał a  zdolnego  do przenoszenia  naprę ż eń  mo- mentowych  jest  model  ciał a  drugiego  rzę du  omówiony  przez  M I N D LI N A  [8]  i  KOITERA [2],  nazywany  także  modelem  ciał a  o  zwią zanych  obrotach.  Każ dy  pun kt  materialny oś rodka  wyposaż ony  jest jedynie  w trzy  niezależ ne  stopnie  swobody, trzy  przemieszczenia M( —  w  odróż nieniu  od  oś rodka  omawianego  obszernie  w  pracach  N OWACKIEG O  (np. [10]), w którym  punkty  materialne  mają   po  sześć  stopni  swobody:  trzy  przemieszczenia i  trzy  niezależ ne  obroty. Energię   sprę ż ystą   dla  oś rodka  o zwią zanych  obrotach,  a wię c  obrotach  okreś lonych wzorami (2.1)  W i = y % , « , , P (gdzie  s ipq   jest  symbolem  permutacyjnym),  piszemy  w postaci (2.2)  W (sij,Hij)  =^ Aij H Eijt> kl +B lJkl e i jK k i+C im % i 0 kt . Tutaj  A, B,  C są   ten soram i  m oduł ów  sprę ż ystoś ci,  e^ =  u ( ij)  jest  zwykł ym,  syme- trycznym  tensorem  odkształ cenia, zaś  «y  =  coij  nazywamy  tensorem  odkształ cenia  gię t- no- skrę tnego. W oś rodku  brak  n aprę ż eń  wstę pnych. N aprę ż en ia  wyraża  się   przez  odkształ cenia za  pom ocą   wzorów SW  .  dW (2.3) a ̂= ̂ '  W t f - A ł u - A ^O — .̂ przy  czym  a tj  jest  ten sorem  n aprę ż en ia sił owego,  a fi tJ   —•  tensorem  naprę ż enia momento- wego,  niesymetrycznym  i  zawierają cym  niewyznaczalną   czę ść  kulistą   fi  =   y^ z  •   Tensory te  zwią zane  są  z  wektoram i  okreś lonymi  wzorem  (1.1)  zależ noś ciami  p t   — a^ rij,  qi = - Pitą . Rozważ enie  warun ków  równ owagi  elementu  oś rodka  poddan ego  dział aniu  sił   ma- sowych  X i m om en tów m asowych  Y  prowadzi  do równ ań (2.4)  OJUJ+QXI  =   0 ,  ftji,j+e iJk qt- W u n przy  oznaczeniu q — qjitj  dla  skł adowej  wektora  q  n orm aln ej  do  powierzchn i  ciał a.  Wek- tor q leż y, jak  widać, zawsze  w  pł aszczyź nie  stycznej  do  powierzchn i i w  ten  sposób  otrzy- mujemy  bezpoś rednio  ukł ad  pię ciu  niezależ nych  warun ków  brzegowych. Energia  sprę ż ysta  o postaci  (2.2)  odn osi  się  do  ogólnego  przypadku  ciał a  o  m in im al- nych  wł asnoś ciach  symetrii  sprę ż ystej.  Liczba  niezależ nych  skł adowych  ten sorów  A,  B,  C wynosi  tu jeszcze  105. D opiero zał oż enie peł nej  symetrii  sprę ż ystej  (izotropii)  oraz  cen tro- symetrii  (w  ciele  poddan ym  równom iernem u  odkształ ceniu  £y =  const  nie  pojawiają  się naprę ż enia  momentowe) prowadzi  do  zasadniczego  uproszczen ia  wyraż enia  (2.2),  [9], (2.6) Tutaj  G i v są klasycznymi  stał ymi  sprę ż ystoś ci  (m oduł   odkształ cenia  postaciowego i  liczba  P oissona), uli?]  —  nowymi,  dodatkowym i  stał ymi charakterystycznym i  dla  roz- waż anego  modelu.  N awiasem  wspomnieć  m oż n a,  że  bezwymiarowa  stał a  r\  n ie  pojawia się  w  rozwią zaniach  szeregu  kon kretn ych  zagadnień  teorii  sprę ż ystoś ci,  a w  szczególnoś ci w zagadnieniach  dwuwymiarowych. T ak  więc  ze  wzoru  (2.6)  widać,  że  omawiany  m odel  ciał a  wymaga  wprowadzen ia  — a  więc i  eksperymentalnego  wyznaczenia  —  dodatkowych  dwóch  wzglę dnie  n awet  tylko jednej  stał ej  sprę ż ystej  7. Z  pun ktu  widzenia  koniecznoś ci  doś wiadczalnego  okreś lenia tych  stał ych jest  to  niewą tpliwą  zaletą  m odelu;  z  p u n kt u widzenia  ogólnoś ci  otrzym an ych wyników  oraz  moż liwoś ci  ich  dopasowan ia  do  rzeczywistych  wł asnoś ci  m ateriał ów nie- prostych,  stanowi  to  poważ ne  ograniczenie.  Tutaj  pokaż emy  jedn ak,  że  przyję cie  n awet tak  prostego  modelu  prowadzi  do  istotnych  zmian w pewnych  rozwią zaniach  podstawo- wych  teorii  sprę ż ystoś ci. P rosta  analiza  wzoru  (2.6)  prowadzi  do  znanego  wniosku,  że  dodatkowa  stał a  sprę- ż ystoś ci  /  m a wymiar  dł ugoś ci: [ y x y ]  — D im [ sye y] = (2.7) D i m [ / 2 ] = m 2 . O  MODELU   CIAŁA  PRZENOSZĄ CEGO  NAPRĘ Ż ENIA  MOMENTOWE 397 P odkreś lić  tu  należ y,  że  istotą   omawianego  tu  modelu,  co  stwierdził   K U N I N   [11], jest wł aś nie  istnienie  tej  dodatkowej  stał ej  sprę ż ystej  /,  a  nie  asymetria  ten sora  naprę ż enia. Już  w  pracy  KOITERA  [2]  eliminuje  się   niesymetryczną   czę ść  tensora  naprę ż enia  ffy  wy- raż ając  ją   za  pomocą   drugiej  grupy  równ ań  równowagi  (2.4) przez oraz  wstawiają c  to  wyraż enie  do  pierwszej  grupy  równ ań . Prowadzi  to  do  trzech  równań równowagi aUOj-   - i  =   0 , gdzie rriij  — / ty—l/ 3/ ^*<5y  ozn acza dewiatorową   czę ść ten sora / ty. R ówn an ia  te, wraz  ze  zredukowan ym i warun kam i  brzegowymi vi  ~ i gdzie  m  — ntynirij n ie  zawierają   wię c,  jak  widać,  antysymetrycznej  czę ś ci  tensora  Oy  nie tracą c  przy  tym  nic  n a  ogólnoś ci. R OG U LA  [12]  uogólniają c  rozważ ania  K U N I N A  dowodzi  (i to w  przypadku  skoń czo- nych  odkształ ceń ),  że  m oż na  jeszcze  inaczej  przeprowadzić  symetryzację   zagadnienia eliminują c  z  rozważ ań  nie  tylko  antysymetryczną   czę ść  ery,  ale  i  naprę ż enia momentowe fitj  w  cał oś ci.  P osł uż ył   się   w  tym  celu  poję ciem  zredukowanego  tensora  naprę ż eń  tfy, róż nego  od  c ( y) ,  ale  także  symetrycznego.  N ie  zmienia  to  jedn ak  oczywiś cie  faktu,  że w  rozwią zaniach  pozostają   dodatkowe  stał e  sprę ż ystoś ci  lir]  wpł ywają ce  n a  istotną  m o- dyfikację   szeregu  podstawowych  rozwią zań  teorii  sprę ż ystoś ci. Klasyczny  problem  dwuwymiarowej  teorii  sprę ż ystoś ci  dotyczy  rozcią gania  nieogra- niczonej  tarczy  sprę ż ystej  zawierają cej  otwór  koł owy  (zagadnienie  KIRSCH A,  por.  n p.  [4]). N a  brzegu  otworu  wystę puje  (rys.  4)  w  przypadku  jednoosiowego  rozcią gania  obcią ż e- niem  p  koncentracja  n aprę ż eń  scharakteryzowana  stosunkiem  k  maksymalnego  naprę - Rys.  4 398  M .  SOKOŁ OWSKI ż enią   a oa   do  naprę ż enia p.  Stosunek  ten  dla  otworu  koł owego  o  dowolnym  prom ien iu  a wynosi  k  — 3  i  nie  zależy  od  a.  N iezależ ność  k  od  a  jest  prostą   konsekwencją   faktu,  że w  ram ach  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  rozwią zanie  dowolnego  problem u  statycznego może  mieć postać  , k k ffyO*)  =f(p;d;E,v), k k gdzie p  oznaczają   param etry  obcią ż enia,  d —  param etry  charakteryzują ce  wymiary  ciał a, E,v  —  stał e  sprę ż ystoś ci.  W  omawianym  przypadku  jedyn ym  param etrem  obcią ż enia jest  naprę ż enie  p,  jedynym  param etrem  geometrycznym  —  prom ień  a  otworu.  Współ - czynnik  koncentracji  k  może wię c mieć jedynie  postać J00 i  musi  być  bezwymiarowy.  Ponieważ jedn ak  m oduł  E m a wymiar  N m r 2 ,  a  v jest  bezwymia- rowe,  zatem  a  (o  wymiarze  m)  nie  może  pojawić  się   w  powyż szym  wzorze,  gdyż  ż adna kombinacja  a, Ems  może być bezwymiarowa.  Współ czynnik  k  mógł by być jedyn ie  funkcją liczby  Poissona  v. M oż na  n atom iast przypuszczać,  że —  w  pewnych  przynajmniej  przypadkach  —  rozm iar otworu  nie  jest  oboję tny  dla  współ czynnika  kon cen tracji.  N a  przykł ad  w  m ateriał ach o  strukturze  gruboziarnistej  efekt  mał ych  otworów  może  być  odpowiednio  mniejszy. M odel  ciał a  scharakteryzowany  dodatkową   stał ą   sprę ż ystoś ci  /   o  wymiarze  [1]  =   m daje  taką   moż liwoś ć,  gdyż  współ czynnik  kon cen tracji  mógł by  być  funkcją   dodatkowego param etru  bezwymiarowego  Ija.  Rozwią zanie  M I N D L I N A  [8] m a  istotn ie  postać  ̂ = 3 - P  1+ JF   ' gdzie F jest  funkcją   v oraz  stosunku  a/ / , p  s _ a  la  KQ\ CIJI) K o ,  K t   są   zmodyfikowanymi  funkcjami  Bessela.  D la  m ał ych  wartoś ci  a/ l  współ czynnik koncentracji  obniża  się   wydatnie,  co  widać  z  wykresu  n a  rys.  4.  W  tym  sensie  stwierdzić m oż n a, że  model  ciał a  z  dodatkową   stał ą   /  stwarza  moż liwość  uczynienia  kro ku  w  kierun - ku  uwzglę dnienia  wpł ywu  rozmiarów  otworu  n a  kon cen trację   n aprę ż en ia  w  m ateriał ach rzeczywistych. Rozwią zania  niesymetrycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  dotyczą ce  n ieskoń czon ych  kon cen - tracji  naprę ż eń  prowadzą   także  do  wyników  róż nych  od  klasycznych.  N aprę ż en ia  w pół - pł aszczyź nie  sprę ż ystej  x t   >  0  obcią ż onej  w  począ tku  ukł adu  współ rzę dnych  sił ą   skupio- ną   P  norm alną   do  brzegu  wyraż ają   się   zn an ym  wzorem  [4] 2P xl (T  — O  MODELU   CIAŁA  PRZENOSZĄ CEGO  NAPRĘ Ż ENIA  MOMENTOWE  399 Rozwią zanie  M U K I  i  STERN BERG A  [3] m a  postać  n ieporówn an ie bardziej  skomplikowa- ną ,  jedn ak  w  otoczen iu  p u n kt u  przył oż enia  sił y  daje  się   ono  wyrazić  wzorem  asympto- tycznym 2P n  (3- Z  porówn an ia  o bu  wzorów  widać,  że  współ czynniki  intensywnoś ci  nieskoń czonej  kon- centracji  n aprę ż eń  są   róż ne  oraz,  co  wię cej —  rozwią zanie  niesymetrycznej  teorii  sprę - ż ystoś ci  n ie  przech odzi  w  rozwią zanie  klasyczne  przy  /  ->  0.  Ta  ostatnia  uwaga  dotyczy jedyn ie  wzoru  n a  współ czynnik  intensywnoś ci  n aprę ż eń,  a  n ie  peł nego  rozwią zania  za- gadn ien ia  brzegowego. F akt  ten, bę dą cy  czę sto  podstawą   krytyki  m odelu  ciał a  nieprostego, jest jedn ak  znów prostą   konsekwencją   faktu,  że  stał a  /  o  wymiarze  dł ugoś ci nie  może pojawić  się ,  w  braku innych  param etrów  geometrycznych,  w  bezwymiarowym  współ czynniku  intensywnoś ci. Współ czynnik  ten m oże być jedyn ie  funkcją   liczby  P oissona. Z agadn ien ie  skrę can ia  p rę ta  pryzmatycznego  przy  uwzglę dnieniu  wpł ywu  naprę ż eń m om entowych  był o  rozważ one  w  pracy  [13]. Wzór  n a  sztywność  skrę cania  prę ta  pryzma- tycznego  o przekroju  F  (przy  zał oż eniu, że  dodatkowa  stał a  r\   =   0) m a postać C  c r  d( 0  wzory  powyż sze  przechodzą w  zn an e wzory  klasyczne  teorii  skrę cania  Sain t- Ven an ta. U wzglę dnienie  n aprę ż eń  m om en towych  prowadzi  do  zwię kszenia  sztywnoś ci  skrę cania prę tów  sprę ż ystych.  Widać  to  wyraź nie  ze  wzoru  n a  sztywność  J  skrę cania  prę ta  o prze- kroju  koł owym i  ś rednicy  d, wyprowadzon ego  przez  KOITERA [2], T— U ~~32 wzglę dnie Tutaj  J o   oznacza  sztywność  wyznaczoną   zgodn ie  z  teorią   Saint- Venanta.  D la  prę tów o  bardzo  mał ej  ś rednicy  porówn ywaln ej  z  /, wzrost  sztywnoś ci  staje  się   znaczny.  Wynik ten ,  p o d  wzglę dem  jakoś ciowym,  jest  w  zasadzie  zgodny  ze  znanym  stwierdzeniem  o pod- wyż szonej  wytrzymał oś ci  cienkich  drutów  ze  wzglę du  n a  zwię kszony  wpł yw  energii  po- wierzchniowej. U wzglę dnienie  dodatkowej  stał ej  sprę ż ystoś ci  w  zagadnieniach  propagacji  fal  sprę - ż ystych  prowadzi  do  zjawiska  dyspersji.  N a  przykł ad  RYM AU Z  rozważ ył   w  pracy  [14] problem  propagacji  fal  powierzchniowych  z  uwzglę dnieniem  n aprę ż eń  momentowych. 400  M.  SOKOŁOWSKI P rę dkość  propagacji  v  fal  Rayleigha  wyznacza  się ,  ja k  wiadom o,  z  równ an ia  algebraicz- nego  [15] gdzie  rj  =   w/ cj- jest  stosunkiem  tej  prę dkoś ci  do  prę dkoś ci  propagacji  fal  poprzeczn ych, a  y  =  c T / c L  = 1 /   Yn  T  ~~ stosunkiem  prę dkoś ci  propagacji  fal  poprzecznych  do  p o - dł uż nych. Widać  stą d, że v  zależy  wył ą cznie od charakterystyki  sprę ż ystej  ciał a, a nie  zależy od  param etrów  (dł ugoś ci)  fali. W  przypadku  rozważ onym  w  pracy  [14]  odpowiednie  równ an ie  charakterystyczne  m a postać gdzie  i  — 2nl\ l,  a  X jest  dł ugoś cią   fali.  P rę dkość  propagacji  fal  powierzchniowych  jest dla  /  >  0 wię ksza  od prę dkoś ci  fal  Rayleigha  i  wzrasta  przy  maleją cej  dł ugoś ci fali.  D rga- nia  są   wię c  dyspersyjne,  czego  m oż na  oczekiwać  w  przypadku  oś rodka  o  strukturze  ko- mórkowej  lub  ziarnistej  (dyspersja  n a  granicach ziaren ). 3.  Wnioski Przytoczone  przykł ady  wskazują ,  że  zastosowanie  najprostszego  m odelu  ciał a  sprę ż y- stego  zdolnego  do  przenoszenia  n aprę ż eń  m om entowych  modyfikuje  szereg  rozwią zań teorii  sprę ż ystoś ci  wprowadzają c  do  nich  zmiany  o  charakterze  jakoś ciowym.  Kierun ek tych zmian pozwala  przypuszczać,  że  zbliż amy  się   w  ten  sposób  do  fizycznie  um otywowa- nych rozwią zań  dla  ciał   rzeczywistych.  Brak  co  prawda  dowodów  n a  t o ,  n a  ile  omawia- ny  model  pozwala  zbliż yć  się   do  rzeczywistoś ci.  Jedn ak  pro st o t a  opisu  m atem atyczn ego stwarza  tu  moż liwoś ci  wzglę dnie  ł atwej  doś wiadczalnej  weryfikacji  wyników  analizy  teore- tycznej.  Z  tego  też  wzglę du  wydaje  się ,  że  nie  zaniedbują c  rozwijania  teorii  opartych  n a modelach bardziej  zł oż onych, nie  należy zapom in ać o moż liwoś ciach  tkwią cych  w  om ówio- nym  tu  modelu oś rodka  drugiego  rzę du  o  zwią zanych  obrotach . Literatura cytowana w tekś cie 1.  C.  B.  BAN KS,  M.  SOKOŁOWSKI,  On Certain  T wo- Dimensional  Applications  of  Couple- Stress T heory, Int.  J. Solids Structures, 4 (1968) 15- 29. 2.  W.  T.  KOITER,  Couple  Stresses in  the T heory  of  Elasticity,  I - I I,  P roc.  Kon .  N ed.  Akad.  Wet.,  Seria B, 67,  17- 44. 3.  R.  M U K I , E. STERNBERG,  T he  Influence  of  Couple- StresseS  on  Singular Stress  Concentrations  in  Elastic Solids,  Z.A.M.P., 16 (1965), 611- 648. 4.  S. TIMOSHENKO,  J.  N .  G OOD IER,  T eoria Sprę ż ystoś ci, Arkady, Warszawa  1962. 5.  D .  B.  BOG Y,  E.  STERNBERG,  T he  Effect  of  Couple- Stresses  on the Corner  Singularity due  to  an  Asym- metric  Shear L oading,  I n t.  J. Solids Structures, 4 (1968), 159- 174. O  MODELU   CIAŁA  PRZEN OSZĄ CEGO  N APRĘ Ż EN IA MOMENTOWE  401 6.  E.  COSSERAT,  F .  COSSERAT,  T heorie  des corps deformables,  H ermann, Paryż  1909. 7.  R.  D .  M I N D LI N ,  Microstmcture in L inear Elasticity,  Arch.  Rat. Mech. Anal.,  16  (1964),  51- 78. 8.  R.  D .  M I N D LI N , Influence of  Couple Stresses on Stress Concentrations, Experimental Mechanics,  1 (1963) 9.  S.  KALISKI, O  pewnym modelu  oś rodka cią gł ego  z  istotnie niesymetrycznym  tensorem  napię ć  mechanicz- nych, Biul. WAT,  11, 4  (1962). 10.  W.  N OWACKI,  T eoria  mikropolarne] sprę ż ystoś ci,  Wyd.  Politechniki Poznań skiej, Poznań  1970. 11.  H .  A.  Kyi- uiH,  Modejib  ynpyzou  cpedu  c  npocmpaHcmeeHuou  ducnepcueu,  IIpHKJl,  M at .  M ex.,  30 (1966),  542. 12.  D .  ROG U LA, Moment  Stresses  and  the  Symmetry  of  Stress  T ensor in  Bodies  with no  L ocal Structure Bull.  Acad.  Polon. Sci., Serie  Sci, Tech., 18  (1970),  159. 13.  M .  SOKOLOWSKI,  Couple- Stresses  im  Problems of  T orsion  of  Prismatic  Bars, Bull.  Acad.  Polon. Sci., Serie  Sci. Tech., 13  (1965),  419- 424. 14.  C.  RYMARZ,  Fale powierzchniowe  w  oś rodku z  naprę ż eniami  momentowymi.  Mech.  Teoret.  Stos.  5, (1967),  337- 346. 15.  W. M.  EWI N G ,  W. S.  JARD ETZKY,  F .  PRESS,  Elastic  W aves  in  L ayered  Media,  McG raw- H ill, New York- Toronto- London  1957. P  e 3 io  M c O  H E KOTOP OH  M OflE JI H   TEJIA  C  M O M E H T H blM H   H An P JD KEH I WM H B  CTaTse  paccMOTpenw  iieKOTopbie  Bo n p o c t i,  CBfmHHBie  c  npiinomeHHHMH   Teopmi  MOMCHTHBIX n a- npHH«HHH  K MOflejIflM   Cpefl  BTOpOrO  IIOpHflKa  CO CBH3aHHŁIMH   BpameHHHMH. H a  OCHOBe pflfla  H3BeCTHbIX pemeH H H   H3 flaH H ow o6jiacTH   oraieM aeTca,  ^JTO paccMaTpHBaeMan  MOflejib,  HCCMOTPH   n a  ee  n pocioTy, npHBOflHT  K cymecTBeHHMM   KaMecTBeHHbiM   H3MeHeHHJiM  BO MHornx  safla^ax  TeopHH  ynpyrocTH  H BO3iwo>KHocTh  6nHH