Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  9 (1971) PEWNE  PROBLEMY EWOLUCJI  RÓŻ NICZKOWYCH  ZASAD   WARIACYJNYCH   MECHANIKI W  XIX I XX  WIEKU N .  J.  C Y G A N O W A  (WOŁ G OG R AD ) P oczą tek  XI X  wieku  ch arakteryzował   się   w  m echanice  pon own ym  wzrostem  zainte- resowania  problem atyką   róż niczkowych  zasad  wariacyjnych.  Sprzyjał y  temu  zjawisku w  zasadzie  dwie  okoliczn oś ci. P o  pierwsze,  p o d  wpł ywem  wymogów  techn iki  rozszerzeniu  uległ o  poję cie  wię zów n ał oż on ych  n a ukł ad  pu n kt ó w  m aterialn ych.  P oczę to rozważ ać  nie tylko  wię zy  dwustron- n e,  stacjonarne  i  h olon om iczn e, ale  również  wię zy  jedn ostron n e,  niestacjonarne  i  nawet an holon om iczn e. T o  rozszerzenie  poję cia  wię zów  wym agał o  też  odpowiedniego  uogólnienia  systematu m echan iki  analitycznej  Lagran ge'a,  opracowanego  w  swoim  czasie  dla wię zów  dwustron- nych  i  stacjonarnych,  bazują cego  n a  zasadzie  przemieszczeń  wirtualnych  wraz  z  zasadą D 'Alem berta  — ten zespół  zasad  bę dziemy  dalej  nazywali  zasadą   D 'Alem berta- Lagran ge'a. W  dzieł ach M . W.  OSTROG RAD Z KIEG O  i jego  szkoł y1'  został y wyczerpują co  opracowane podstawy  analitycznej  teorii  równ owagi  i  ruchu  ukł adów  mechanicznych, ograniczonych przez  wię zy  o najogólniejszej  postaci.  Teoria  t a został a oparta  o uogólnioną   zasadę   prze- mieszczeń  wirtualn ych  i  zasadę   D 'Alem berta. P o  drugie,  rozwój  fizyki  doś wiadczalnej  n a przeł om ie  XVI I I  i  XI X  wieku  zaktuali- zował   problem y  m atem atyczn ego  opracowan ia  wyników  obserwacji.  Szerokie  zastoso- wan ie  znalazł a  m et o d a  najmniejszych  kwadratów,  stanowią ca  nadzwyczaj  skuteczne na- rzę dzie  m atem atycznej  obróbki  rezultatów  eksperym entów.  Cenny  wkł ad  w  opracowanie, tej  m etody  wniósł   C . F .  G AU SS.  Z asada  najmniejszych  kwadratów  przywiodł a  G AU SSA w  1829 r.  [26] do  sform uł owan ia  nowej  róż niczkowej  zasady  wariacyjnej  w mechanice, nazwanej  przez  niego  zasadą   najmniejszego  przym usu.  Z asada  najmniejszego  przymusu jest  najogólniejszą   zasadą   m ech an iki,  sł uszną   zarówn o  dla  ukł adów  holonomicznych, ja k  i  dla  ukł adów  an h olon om iczn ych  (liniowych  i  nieliniowych).  N adzwyczaj  wielka J )  Szczegół ową   analizę   prac  Ostrogradzkiego  z dziedziny  mechaniki  analitycznej  moż na znaleźć w  na- stę pują cych  ksią ż kach:  ruefleHKO,  B. B. , IIorpeSbiccKH ii, H . B.,  Miixauji  BacuMeeuu  OcmpoipadcKUu, M . ,  1963;  FepoHHMyc,  51.  JL,  Ouepuu o pa6omax Kopufeee  pyccicou  jiiexahiiKu,  M . 3 1952; rp aro p t aH , A.  T . j  M.B.  OcmpoipadcKUUj,  M . , 1961;  3KyK0BCKnft,  H . E.,  Ynenue  mpydu  M.B.  OcmpoipadcKozo no MexaHurte,  C6. co*i. T . VI I ,  M - JI,  1950; IIorpe6biccKHftj  H . B.,  O  MexauuKe  cucmeM  c  udeaMmutu mydepoKuaawią uMii  CSH3HMU, Tpyflti  H . H . E .  H  T . ,  T . 34, M „  1960; TrajruHa,  H . A.,  Ka3apHH3 A. A., T panmoeKa  npuuą una  eo3MooicHux  nepeMeią eHuu  e  mpydax  M.  B.  OcmpoipadcKOio  u  eeo  W KO/ IU,  O iep r a a HCTOpHH   M aieM aTH KH  H   M eXaH H KH 3  M . j  1 9 6 3 . 454  N .  J.  CYGANÓW A wartość  teoretyczna  i  praktyczn a  zasady  najmniejszego  przym usu  uwarun kowan a  jest  jej ogólnoś cią,  prostotą   i  klarownoś cią   idei.  Z akres  zastosowań  zasady  nie  ogranicza  się bynajmniej  do  problemów  mechaniki teoretycznej; zasada  G aussa  stosowana jest  w  fizyce teoretycznej  i  innych  pokrewnych  dziedzinach  przyrodozn awstwa.  W  pracach  badaw- czych  XIX  i  XX  wieku  zasada  G aussa  zajmuje  poczesne  miejsce.  Wielu  wybitnych  m ate- matyków,  mechaników i fizyków  zwrócił o w  swych  pracach  uwagę   na tę  zasadę   ze  wzglę du n a  jej  wielkie  walory  teoretyczne  i  praktyczn e,  nadają c  jej  ogólniejszy  i  szerszy  sens. Koniec  XI X  wieku  i  pierwsza  ć wierć  XX  wieku  zn am ion ował y  się   w  dziedzinie  zasad wariacyjnych  mechaniki  analitycznej  wynikam i  o  duż ym  uogólniają cym  zn aczen iu.  D o- tyczy  to  zarówno  zasad  cał kowych,  jak  i  róż niczkowych  zasad  m echan iki. W  1896  r.  O.  H OELD ER  [30]  sformuł ował   ogólną   zasadę   cał kową   m echan iki,  która w  decydują cy  sposób  wpł ynę ła n a  kierun ki  dalszych  poszukiwań  w  dziedzinie  zasad,  wa- riacyjnych.  Z asada  cał kowa  H oeldera  został a  uogóln ion a  i  rozwinię ta  w  pracy  A.  VOSSA [45]. W  1897  r.  L.  KON IG SBERG ER  [32]  wyprowadził   uogóln ion e  postacie  róż niczkowych zasad  wariacyjnych,  odpowiadają ce  uogólnieniu  poję cia  potencjał u  kinetycznego. W  począ tkach  XX  wieku  P .  JOU RD AIN   [31]  sformuł ował   nową   róż niczkową   zasadę wariacyjną ,  stanowią cą   poś rednie  ogniwo  mię dzy  zasadam i  D 'Alem berta- Lagran ge'a i  G aussa.  D alszy  rozwój  tej  zasady  zwią zany  jest  z  pracam i  szkoł y  austriackiej  [19]. Istotne  miejsce  w  badan iach  z  pierwszej  ć wierci  XX  wieku  zajmuje  zagadnienie  zależ- noś ci  pomię dzy  zasadam i  róż niczkowymi  i  cał kowymi  w  mechanice. W  fundamentalnych traktatach  H OELD ERA  i  VOSSA  wykazany  został  zwią zek  ogólnej  zasady  cał kowej  z  zasadą D 'Alemberta- Lagrange'a;  w  toku  dalszych  badań ,  w  szczególnoś ci  w  pracach  H .  BRELLA [24]  i  C.  SCHAEFERA  [42],  zwią zek  ten  został   wyeksponowany  jeszcze  wyraź niej.  W  pra- cach  H .  BRELLA  [25] i  R.  LEITIN G ERA  [33]  znaleziono  relację   pom ię dzy  zasadą   H oeldera- Vossa  i  zasadami  G aussa  i  Jourdain a.  Ogólna  transformacja  zasady  D 'Alem berta- La- grange'a  do postaci  cał kowej  nasuwał a myśl  o  analogicznym  przekształ ceniu innych  zasad róż niczkowych.  Z tego pun ktu widzenia  interesują cą   jest praca  E.  SCH EN KLA  [44], w  której wyprowadzona  został a  postać  cał kowa  zasady  G aussa. N owy  etap  w  ewolucji  róż niczkowych  zasad  wariacyjnych  rozpoczę ty  został   w  30  la- tach  XX  wieku  pracam i  A.  P.  PRZEBORSKIEG O  [39]  i  N . G .  CZETAJEWA  [20],  w  których zasada  D 'Alemberta- Lagrange'a  został a  rozszerzona  n a  ukł ady  z  nieliniowymi  wię zami anholonomicznymi  pierwszego  rzę du.  Idee  CZETAJEWA  miał y decydują cy  wpł yw  n a  dalsze badan ia w  dziedzinie róż niczkowych  zasad  m echaniki, prowadzon e  przez  szkoł ę   radziecką . Z asada  najmniejszego  przymusu  G aussa  w  jej  postaci  klasycznej,  uogóln ien ia  zasady i  zastosowanie  jej  do  róż nych  problemów  mechaniki,  zagadnienie  niesprzecznoś ci  zasad G aussa  i  D 'Alemberta- Lagrange'a,  warianty  drugiej  z  tych  zasad,  zastosowanie  obydwu zasad  róż niczkowych  do  wyprowadzenia  równ ań  dynamicznych  dla  ukł adów an h olon o- micznych,  ukł adów  o  zmiennych  masach  i  ukł adów  z  wię zami  nieidealnymi —  oto  krą g podstawowych  problemów,  które  został y  rozwinię te  w  pracach  mechaników  radzieckich w  okresie  ostatnich  35  lat. Omówimy  teraz  bardziej  szczegół owo  n iektóre spoś ród  wymienionych  etapów  ewolucji róż niczkowych  zasad  wariacyjnych  w  mechanice. P E WN E  P R OBLE M Y  E WO LU C JI  R Ó Ż N I C Z K O WYCH  Z ASAD   WAR I AC YJN YC H   455 1.  Z  h ist orii  ewolucji  zasady  G aussa —  zasady  najmniejszego  przymusu 1.1  Z a sa d a  najm niejszego  przym usu  w  twórczoś ci  G au ssa.  Z wią zek  zasady  najmniejszego  przymusu z  metodą   najmniejszych  kwadratów.  Z asada  G aussa  stanowi  analogię   fizyczną   dla  metody najmniejszych  kwadratów.  G AU SS  n apom yka  o  tej  analogii  mimochodem,  n a  zakoń- czenie  swego  artykuł u  [26]: ^ N adzwyczaj  charakterystyczne  jest  to,  ż e jeż eli  ruchy  swobodne są   sprzeczne  z  naturą ukł adu,  wówczas  ulegają   one  zmianom,  zupeł nie  tak  samo,  jak  w  toku  obliczeń  zmianom ulegają   wnioski  geometrów,  uzyskane  bezpoś rednio, po  zastosowaniu  do  nich  metody  naj- mniejszych  kwadratów  w  tym  celu,  by  uczynić  te  wnioski  niesprzecznymi  z  warunkami  ko- niecznymi, podyktowanymi  przez  istotę   zagadnienia.  T ę  analogię  moż na  był oby  kontynuować , lecz  wykracza  to  poza  ramy  sformuł owanego  obecnie przeze  mnie  zagadnienia.)). Z  historycznego  i  logicznego  p u n kt u  widzenia  kwestia  ta  zasł uguje  n a  bardziej  wnikli- we  rozważ enie. Z godn ie z zasadą   najmniejszego  przym usu,  funkcja  kwadratowa  wzglę dem  przyspieszeń n azwan a  przez  G AU SSA  przym usem ,  osią ga  minimalną   wartość  na  rzeczywistym  ruchu ukł adu  pun któw  m aterialn ych . We  wzorze  tym  skł adnik 4 1  • ' vt \   mi reprezentuje  kwadrat  odchylenia  rzeczywistego  ruchu pun ktu ukł adu o masie  m- v  od ruchu swobodnego  w  nieskoń czenie  m ał ym  przedziale  czasu  dt.  W  metodzie  najmniejszych kwadratów  wyraz  ten  odpowiada  kwadratowi  odchylenia  rzeczywistej  wartoś ci  od  war- toś ci  obserwowanej.  C zynnik  m t   przy  kwadracie  odchylenia  odpowiada  czynnikowi «wagi»  w  m etodzie  najmniejszych  kwadratów.  D o  zasady  najmniejszego  przymusu  do- szedł   G AU SS  niewą tpliwie  przez  analogię   z  metodą   najmniejszych  kwadratów.  Interesują ca jest jedn ak  kwestia,  czy  powracał  on  do  tej  analogii  p o  1829  r.  i jeś li  tak,  to jak  odzwier- ciedlił y  się   w  dalszej  jego  twórczoś ci  naukowej  idee,  sformuł owane  przezeń  w  owej  jedy- nej  pracy  z  m echan iki  analitycznej  [26]. Aby  wyjaś nić  tę   kwestię ,  zwróć my  się   do  tez  doktorskich  A.  RITTERA, ucznia  G AU SSA, oraz  do  zachowanych  n otatek  R I TTE R A  Z wykł adów  G AU SSA  O metodzie  najmniejszych kwadratów,  sporzą dzonych  w  1850- 1851  r.  R I T T E R  studiował  n a  U niwersytecie  w  G ottin- gen  od  1850  do  1853  r.,  w  1853  r.  obron ił   pracę   doktorską ,  której  tem at  został  zapro- pon owan y  przez  G AU SSA.  W  wykł adach zimowego  semestru  1850- 1851  r.  G AU SS rozważ ał zagadnienie  okreś lenia  najmniejszej  wartoś ci  sumy  kwadratów  zmiennych, speł niają cych zadan e  nierównoś ci  liniowe.  Z  p u n kt u  widzenia  zasady  najmniejszego  przymusu  do  tego zagadn ien ia  m atem atyczn ego  sprowadza  się   problem  okreś lenia  rzeczywistego  ruchu 456  N .  J.  C YG AN OWA ukł adu  punktów  materialnych  z  wię zami  jedn ostron n ym i.  Rzeczywiś cie,  wzór  dla  przy- musu 3» dt A w  którym  czynnik  —r-   moż na  odrzucić,  jako  nie  wpł ywają cy  n a  ekstremum  przym usu, za  pomocą  podstawienia  liniowego / —..  X, moż na  przekształ cić  do  postaci D wukrotnie  róż niczkując  po  czasie  warun ki  dla  jedn ostron n ych  wię zów  holon om iczn ych oraz  jednokrotnie  róż niczkując  warunki  dla  jedn ostron n ych  wię zów  an holon om iczn ych / ^  Cl r iXi~f" U r   5̂ .  U   (T  =   1,  .£, . . . ,  I) (- 1 uzyskujemy  / n + /  nierównoś ci  liniowych  wzglę dem  przyspieszeń  5ć ;, które  m oż na  przed- stawić  w  postaci 3« (1.2) M echaniczny  problem  okreś lenia  rzeczywistego  ruchu  ukł adu  pun któw  m aterialnych  n a podstawie  zasady  G aussa  najmniejszego  przymusu  sprowadza  się  do  poszukiwania  mini- mum  Z  przy  warunkach  (1.2),  a  więc  w  peł ni  pokrywa  się  ze  sformuł owanym  przez G AU SSA  matematycznym  problemem  okreś lenia  m inim um  sumy  kwadratów  przy  warun - kach  wyraż ają cych  się  przez  nierównoś ci  liniowe.  Wedł ug  ś wiadectwa  RITTERA  [41] G AU SS  nie  mówił , jakie  zagadnienia  naprowadził y  go  n a  myśl  o  tym  problem ie  m ate- matycznym.  N aturalnie powstaje  kwestia,  czy  sam  G AU SS  zdawał   sobie  sprawę  ze  zwią zku tych  dwu  problemów?  Czy  matematyczny  problem  okreś lenia  m inim um  sumy  kwadra- tów  zmiennych,  przy  warunkach  wyraż ają cych  się  przez  nierównoś ci,  został   przezeń sformuł owany  w  zwią zku  z  zasadą  najmniejszego  przym usu?  Wiele  poszlak  skł an ia  ku pozytywnej  odpowiedzi  na  to  pytanie.  N ajbardziej  przekonywają cą  spoś ród  nich  jest wskazanie  przez  G AU SSA  [26],  [27]  n a  istotne  znaczenie  warunków,  wyraż onych  przez nierównoś ci.  D latego wł aś nie  centralne miejsce  w  pracy  doktorskiej  RITTERA  zajmuje  za- stosowanie  zasady  najmniejszego  przym usu  do  ukł adów  z  wię zami  jedn ostron n ym i. Zapoznajmy  się  pokrótce  z  treś cią  wspomnianego  wykł adu  G AU SSA  O metodzie  naj- mniejszych  kwadratów  [28]. 458  N .  J.  C YG AN Ó W A ków  do  zagadnienia  wyjś ciowego,  dochodzi  się   do  nowego  ukł adu  wartoś ci  zm iennych, odpowiadają cego  kierunkowi  najszybszego  zmniejszania  się   sumy  ich  kwadratów.  Z m ian a tego  nowego  ukł adu wartoś ci  w  znalezionym  kierun ku  doprowadza  do  ukł adu  wartoś ci minimalizują cych  sumę  kwadratów,  wzglę dnie  przekształ cają cych  nierównoś ci  (1.4) w  rów- noś ci.  W  ostatnim przypadku  rozważ ony  proces  zostaje  powtórzon y  wzglę dem  tych  nie- równoś ci,  które  przekształ cają   się   w  równoś ci. P od  pewnymi  wzglę dami  C. F .  G AU SS  nie  w  peł n i  rozważ ył   zagadnienie  m in im um . D otyczy  to  przede  wszystkim  zał oż eń wyjś ciowych:  nie zawsze  m oż na  znaleźć  ukł ad  war- toś ci  zmiennych, który  przekształ ca w  równoś ci  n  spoś ród  zadan ych  nierównoś ci  i speł nia pozostał e  m—n  nierównoś ci.  G AU SS  nie  dowodzi  też  jednoznacznoś ci  rozwią zania  p ro - blemu,  i P om im o  to  samo  sformuł owanie  problem u  m in im um , przy  warun kach  wyraż ają cych się   przez  nierównoś ci,  nadaje  szczególną   wartość  jego  pracy.  P ozwala  on o  wnioskować, że  G AU SS  pragną ł   doprowadzić  do  koń ca  problem  m atem atyczny,  wynikają cy  z  zastoso- wania  zasady  najmniejszego  przym usu  do  ogólnego  przypadku  wię zów  jedn ostron n ych . Korzystają c  z  m etod  geometrii  wielowymiarowej  G AU SS  W swoich  wykł adach  poł oż ył również  podwaliny  pod  geometryczne  traktowan ie  zagadnienia  m inim um z  nierównoś cia- m i.  Jego  idee  stał y  się   podstawą   odpowiedniego  rozdział u  pracy  doktorskiej  R I TTER A [41].  Tak  wię c,  wypowiedziawszy  w  pracy  z  1829  r.  zasadę   najmniejszego  przym usu, G AU SS  powrócił   do  niej  w  ostatn ich  latach  swojego  ż ycia,  mają c  n a  celu  sform uł owanie jej  jako  problem u  matematycznego  n a  ekstremum  dla  wię zów  jedn ostron n ych ,  tzn .  wy- raż ają cych  się   przez  nierównoś ci. 1.2.  Podstawowe etapy ewolucji  zasady  Gaussa. Analiza  m ateriał ów ź ródł owych umoż liwia  wy- róż nienie  nastę pują cych  etapów  ewolucji  zasady  G aussa. Pierwszy  etap  zawiera  się   w  okresie  od  pracy  G AU SSA  (1829)  do  pracy  R.  LI P SC H I TZ A (1876).  W  swojej  pracy  G AU SS  podał   jedynie  sł owne  sformuł owanie  zasady. W  badaniach naukowców niem ieckich:  REU SCH LE'G O  [40],SCH EFFLERA  [43],  M OBIU SA  [37], RITTERA  [41], zakoń czonych  n a  tym  etapie  pracą   sł ynnego  m atem atyka  LI P SC H I TZ A  [35], rozwijano  matematyczne interpretacje  sł ownego  sformuł owania  zasady  G aussa,  wyjaś nia- n o  charakter  wariacji  w  tej  zasadzie,  opracowywano  analityczne  sformuł owanie  zasady we  współ rzę dnych  kartezjań skich  i  uogólnionych, ustalan o  zwią zek  pomię dzy  zasadą   n aj- mniejszego  przymusu  a  metodą   najmniejszych  kwadratów,  stosowano  zasadę   najmniej- szego  przymusu  do  problem ów  statyki. Analityczne  wyraż enie  zasady  wią zane  jest  zazwyczaj  z  nazwiskiem  H .  SCH EF F LERA. Artykuł   SCHEFFLERA  (1858)  zawiera  dość  systematyczne  badan ie  zasady  G aussa,  w  toku którego  uzyskuje  się   analityczne wyraż enie  dla  przym usu  w  prostoką tn ym  ukł adzie współ - rzę dnych  kartezjań skich  (1,1). Jednakże  praca  SCH EFFLERA  nie  jest  pierwszym  obszernym  badaniem zasady  G aussa. Poprzedził a  ją   praca  doktorska  ucznia  G AU SSA  RITTERA  (1853)  oraz  praca  R E U SC H LE 'G O (1845). W  zwią zku  z  zasadą   G aussa  trzeba  też  wspomnieć  o  Podrę czniku  statyki  Mómu.SA (1837).  M ÓBI U S  rozważa  statyczną   zasadę   najmniejszych  kwadratów  nie  jako  szczególny przypadek  dynamicznej  zasady  G aussa,  lecz  podaje  dla  niej  samodzielne  uzasadn ien ie, wychodzą c  z  zasady  przemieszczeń  wirtualn ych. P E WN E  P R OBLE M Y  E WO LU C JI  R Ó Ż N I C Z K O WYCH   Z ASAD   WARIACYJN YCH   459' Sł ynny  niemiecki  m atem atyk  R.  LI P SC H I TZ  [35] jako  pierwszy  skorzystał   z  wyraż enia zasady  G aussa  we  współ rzę dn ych  uogólnionych,  opierają c  się   o  wyniki  swoich  badań róż niczkowych  form  kwadratowych  i  biliniowych.  P raca  LiPscHiTZAJest pogł ę bionym stu- dium  zasady  G aussa,  zawierają cym  ostateczne  rozwią zanie  kwestii  interpretacji  sł ownego sformuł owania  tej  zasady,  sprecyzowaniem  ch arakteru  wariowania. Wyraż enie  dla  przym usu  we  współ rzę dnych  uogólnionych  stał o  się   począ tkiem  cał ej serii  prac,  rozwijają cych  sform uł owania  analityczne. D alsza  ewolucja  zasady  jest  istotn ie  zwią zana  z  pracam i najwybitniejszych  przedstawi- cieli  przyrodozn awstwa  teoretyczn ego  drugiej  poł owy  XI X  wieku:  amerykań skiego  ma- tem atyka  i  fizyka  D .  G IBBSA  i  austriackiego  fizyka  L.  BOLTZM AN N A,  których  badania w  dziedzinie  fizyki  statystycznej  był y  ś ciś le  zwią zane  z  m etodam i  mechaniki  analitycznej. P rzede  wszystkim  należy  t u  wymienić  artykuł   G IBBSA  [29],  Jako  podstawowy  wzór dyn am iki  traktuje  G I BBS  relację kt ó ra  wyraża  w  postaci  wariacyjnej  zasadę   G aussa.  P rzechodzą c  w  tej  relacji  najpierw do  współ rzę dnych  uogóln ion ych,  a  nastę pnie  do  ą uasi- współ rzę dnych,  uzyskuje  G I BBS równ an ia  ruch u  w  postaci  wyprowadzonej  znacznie  póź niej  przez  AP P E LA.  N astę pnie G I BBS  formuł uje  tezę ,  że  zasada  G aussa  dla  ukł adów  z  wię zami  jedn ostron n ym i  jest ogólniejsza  od  zasady  przemieszczeń  wirtualnych  w  poł ą czeniu  z  zasadą   D 'Alemberta. BOLTZ M AN N   w  W ykł adach  zasad  mechaniki  [23]  szczegół owo  analizuje  tę   tezę   G IBBSA, nazywają c  ją   twierdzeniem  G ibbsa.  M im o  t o ,  tezy  G IBBSA  i  BOLTZM AN N A  nie  moż na uważ ać  za  sł uszne.  Z asad a  wirtualn ych  przemieszczeń  w  poł ą czeniu  z  zasadą   D 'Alem- berta,  w  tej  postaci, jaką   n adał   jej  OSTR OG R AD Z KI  ( G I BBS  i  BOLTZM AN N   prawdopodobnie nie  znali  prac  OSTR OG R AD Z KI E G O), umoż liwia  rozwią zanie  zagadnień  ruchu  z wię zami  jed- n ostron n ym i,  w  tym  sam ym  stopn iu  co  zasada  G aussa. P od  wpł ywem  prac  G IBBSA  i  BOLTZ M AN N A,  poczynają c  od  90  lat  XI X  wieku,  zasada G aussa  zajmuje  znaczne  miejsce  w  badan iach  szkoł y  austriackiej  (prace  WASSMU TH A  [47, 48,  49],  LEITIN G ERA  [34],  SCH EN KLA  [44],  BRELLA  [25]).  W  pracach  reprezentantów  tej szkoł y  dalszemu  uś ciś leniu  ulega  analityczne  sformuł owanie  zasady  i  jej  zwią zek  z  inny- m i  zasadam i  m echan iki. N astę pny  etap  ewolucji  zasady,  się gają cy  do  naszych  dni,  zwią zany  jest  z  badaniami uczonych  rosyjskich  i  radzieckich,  spoś ród  których  w  pierwszej  kolejnoś ci  wymienić  n a - ' leży  prace  J.  I.  G R D I N Y,  J.  A.  BOŁOTOWA  oraz  N .  G .  CZETAJEWA.  J.  I.  G R D I N A  przeniósł zasadę   G aussa  n a  ukł ady  an h olon om iczn e  z  wię zami  wolowymi  (1910- 1916).  J.  A. BO- ŁOTOW  (1916)  sformuł ował   uogólnienie  zasady  G aussa,  odpowiadają ce  nowemu  spojrzeniu n a  wyzwalanie  ukł adów  m aterialn ych .  O  ile  G AU SS  rozważ ał   peł ne  wyzwolenie  ukł adu m aterialn ego  od  wszystkich  wię zów,  o  tyle  BOŁOTOW  analizował   wyzwolenie  czę ś ciowe, polegają ce  n a  wyzwoleniu  u kł ad u  od  wszystkich  wię zów  jedn ostron n ych  i  czę ś ci  wię zów dwustron n ych.  BOŁ OTOW  sformuł ował   dobitnie  i  wyraź nie  podstawowe  zał oż enia, stano- wią ce  podstawę   dowodu  uogóln ion ej  zasady  G aussa.  P ostulaty  te  odegrał y  poważ ną   rolę przy  kolejnych  uogóln ien iach  zasady  G aussa,  dokon an ych  przez  uczonych  radzieckich. U ogóln ion ą   zasadę   G aussa  wykorzystał   BOŁ OTOW  do  rozwią zania  zł oż onego  zagadnienia 4 6 0  •   N .  J .  C Y G A N O W A  , ...;• .*,  ,  : sł abnię cia  wię zów  jedn ostron n ych.  BOŁOTOW  udowodn ił  również  sł uszność uogólnionej  za- sady  G aussa  w  teorii uderzenia,  ograniczają c  się   we  wszystkich  przypadkach  do  ukł adów holonomicznych  lub  liniowych  anholonom icznych.  N ieliniowe  ukł ady  an holon om iczn e nie  został y  rozważ one  w  pracy  BOŁOTOWA.  ,  •   •   ..  . Kolejny  etap  uogólniania  zasady  G aussa  zwią zany  jest  z  pracam i  N . G .  CZ ETAJEWA, dotyczą cymi  nieliniowych  ukł adów  an h olon om iczn ych 2).  .. 2,  Ewolucja  zasady  D'Alemberta- Lagrange'a  i  Gaussa  w  pracach  A.  P.  Przeborskiego  i  N. G.  Czetajewa Z  badan iam i  A.  P .  PRZEBORSKIEG O  [39]  i  N . G .  CZETAJEWA  [20]  zwią zane  jest  prze- niesienie  zasady  D 'Alemberta- Lagrange'a  n a  ukł ady  z  nieliniowymi  wię zami  an h olon o- micznymi  pierwszego  rzę du,  uzyskane  dzię ki  odpowiedniem u  uogólnieniu  poję cia  prze- mieszczenia wirtualnego.  U ogólnienie to  został o dokon an e w  począ tkach  lat  30 XX  wieku niezależ nie  przez  obydwu  uczonych.  P oza  tym  w  pracy  [39]  P RZ EBORSKI  podał   definicję przemieszczenia  wirtualnego  dla  ukł adów  z  wię zami  anholonom icznym i  drugiego  rzę du, liniowymi  wzglę dem  przyspieszeń.  N iestety,  praca  P RZ EBORSKIEG O  [39]  nie  został a  nale- ż ycie  oceniona ani w  swoim  czasie,  an i we  współ czesnych  badan iach  z  historii m echan iki. N a  przykł ad,  w  pracy  B. N .  F RAD LIN A  [18,  s.  24]  bł ę dnie przypisuje  się   uogólnienie zasady  D 'Alemberta- Lagrange'a  n a  ukł ady  z  wię zami  anholonom icznym i drugiego  rzę du H AM M ELOWI  (1938),  podczas  gdy  uogólnienie  to  zawarte  już  był o w pracy  [39]  P R Z E BOR - SKIEG O,  ukoń czonej  w  m arcu  1931  roku  i  opublikowanej  w  1933  roku. 2.1.  Badania  A. P.  Przeborskiego  [39].  W  pracy  [39]  rozważa  P RZ EBORSKI  zagadnienie formuł owania  równań  ruchu  ukł adu  z  wię zami  an holon om iczn ym i.  R ozpatrywan e  są wię zy  anholonomiczne  pierwszego  rzę du,  liniowe  lub  nieliniowe  wzglę dem  pierwszych pochodnych  współ rzę dnych  oraz  wię zy  anholonom iczn e  drugiego  rzę du,  liniowe  wzglę - dem  drugich  pochodnych  od  współ rzę dnych. We  wstę pie  do  swej  pracy  P RZ EBORSKI  stwierdza:  «.Zagadnienie formuł owania  równań ruchu  nieswobodnego  ukł adu materialnego posiada  doś ć  obszerną  literaturę .  W ydaje  mi  się jednak,  ż e  sformuł owanie  i  rozwią zanie  tego  zagadnienia  nie  jest  jeszcze  wystarczają co ogólne.  W idzę   przyczynę   tego  stanu  rzeczy  w  tym,  ż e  zagadnienie  to  analizowane  był o prawie  wył ą cznie  z  czysto  matematycznego  punktu  widzenia  i  mechaniczny  punkt  widzenia był   przy  tym  cał kowicie  lub  prawie  cał kowicie  pomijany.  Od  1912  roku  wskazuje  na  to nieustannie  Delassu  w  cał ym  szeregu  swoich  znakomitych  artykuł ów  i  w  swoich  „W ykł a- dach  dynamiki"  (Paryż,  1913). W 1921  r.  Begen  w swojej bardzo interesują cej pracy  doktorskiej  na  temat  „T eoretyczna analiza  kompasów  ż yroskopowych  Antschutza  i  Sperry'ego",  wychodzą c  z  tego  punktu widzenia,  zbadał   nowe  wię zy,  nazwane  przezeń  serwowię zami.  Jednakż e  Begen  nie  wypro- wadził   ogólnych wniosków. Moim  celem  jest  sformuł owanie  w  ogólnej  postaci  zagad- nienia  budowania  równań  ruchu  nieswobodnego  ukł adu  m  a- 2 )  W  pracy  tej  ograniczyliś my  się   do  krótkiego  przeglą du  podstawowych  etapów  ewolucji  zasady G aussa.  Bardziej  szczegół owy  zarys  historii  tej  zasady  moż na  znaleźć  w  ksią ż ce:  H . X.  H.biraHOBa3 EeienuU  Ajieiccanóposim  Eo/ wmoe,  M .  Jfefl- Bo  «H ayi< a»3  1969. P E WN E  P R OBLEM Y  E WO LU C JI  R Ó Ż N I C Z K O WYCH   Z ASAD   WARIAC YJN YCH   461 t  e r  i a l n e g  o  o r a z  p o d a n i e  r o z w i ą z a n i a  t e g o  z a g a d n i e n i a  d l a p r z y p a d k ó w ,  n a j c z ę ś c i ej  s p o t y k a n y c h  w  p r a k t y c e »  [ 3 9 , s .  1 8 4 ] 3 ) . P rzeborski  wyprowadza  równ an ia  ruchu  ukł adu  z  anholonom icznym i  wię zami  nie- idealnym i,  zakł adając  znajomość  sumy  prac  elem entarnych,  wykonanych  przez  reakcje wię zów  Rt  n a  wszelkich  dopuszczalnych  przemieszczeniach  ukł adu  dx t ,  tzn. 3«  3n (2.1)  ^JRt8xt=   JJptdx„ (- 1  i- / gdzie  Pi  są  dan ym i  funkcjami  t,  x h   x it   Xf Jeż eli  analityczne  warun ki  wię zów  wyraż one  są  równ an iam i (2.2)  / fc  =   0  (*  =   1,2,  ...,/ > ), t o  przemieszczenia  wirtualn e  dx t   okreś la  P R Z EBOR SKI  ja ko  takie  przemieszczenia,  które speł niają  równ an ia 3n (2.3)  y,T rdxi  =  °  (k  =  *>   2>  - . / O, przy  czym  | (  =   x; ,  gdy  odpowiedn ie  wię zy  są  h olon om iczn e;  | ;  =   Xi,  gdy  wię zy  są an holon om iczn e  pierwszego  rzę du,  liniowe  lub  nieliniowe;  ić; =   ^   dla  przypadku  wię zów an holon om iczn ych  drugiego  rzę du,  liniowych  wzglę dem  drugich  pochodnych  od  współ - rzę dn ych.  D o  takiej  definicji  przemieszczeń  wirtualnych  dla  rozważ anych  wię zów  an- holon om iczn ych  doprowadził o  P RZ EBORSKIEG O  wyprowadzenie  równań  ruchu  w  postaci równ ań  Lagran ge'a  pierwszego  rodzaju.  Z apisując  n a  podstawie  zasady  wyzwalania  od wię zów  równ an ia  ruch u  ukł adu  n  pun któw  m aterialnych  w  postaci (2.4)  m, x t   =X i +R l   ( {= 1 , 2 , . , . ,  3n), gdzie  Xi  są  skł adowymi  sił  czynnych,  oraz  zakł adają c,  że przemieszczenia  wirtualne ukł adu speł niają  relacje  liniowe (2.5)  £AjM~0  U = 1 , 2 ,  ...,/ >). gdzie  Aji  są  dan ym i  funkcjami  t,  x; ,  xt,  xh  autor  uzyskuje  wzory  n a  reakcje  wię zów p (2.6)  Bt  =   P,+  j^ XjAjt  (i  =   1,2,..., 3n). ; = i R ówn an ia  ruch u  (2.4)  są  przedstawion e  w  postaci *Jt  {i  =   1. 2,  ....  3«). M n oż n iki  wię zów  Xj  okreś lone  są  z  równ ań  liniowych p  3n  3n ]= l  1=1  / - I 3 )  Podkreś lenie  moje  (N . C ) . 462 N .  J.  CYGANOWA gdzie  f;  =   Xj  dla  wię zów  holonomicznych,  | ;  =   x;  dla  wię zów  an holon om iczn ych  pierw- szego  rzę du  (liniowych  i  nieliniowych),  £ ( =   xt  dla  wię zów  an holon om iczn ych  drugiego rzę du, liniowych  wzglę dem  drugich  pochodn ych  od  współ rzę dnych;  oj k  jest  zadaną  funkcją t,  Xi,  Xi. Wyznacznik  ń  ukł adu  równ ań  (2.7) gdzie ma  nastę pują cą  postać: V 8fk ^ 1 = 1 i  8x t k,J**  1,2,- ..., w  przypadku,  gdy  wszystkie  wię zy  (2.2)  ukł adu  są  holon om iczn e,  zaś  przemieszczenia wirtualne  óxi  speł niają  relacje U=*l, 2  p),  tzn. Jeż eli  wię zy  (2.2)  są  niezależ ne,  to A  #   0 4 ) ,  wobec  czego  z  ukł adu  (2.7)  m oż na  wyznaczyć mnoż niki  Xj. N a  to,  by  m noż niki  Ay  m oż na  był o  wyznaczyć  w  przypadku  wię zów  an h olon om icz- nych  pierwszego  rzę du,  wystarczy  przyją ć,  że co  oznacza,  że  przemieszczenia  wirtualne  są  zdefiniowane  jako  wielkoś ci  speł niają ce  rów- n an ia Wówczas  wyznacznik  A  przyjmie  postać 3 H A  = i  dla  wię zów  niezależ nych  bę dzie  oczywiś cie  róż nił   się  od  zera.  Z upeł nie  t ak  sam o  dla wię zów  anholonomicznych,  liniowych  wzglę dem  drugich  poch odn ych  od  współ rzę dnych wystarczy  zał oż yć A-   -   8f J 4 >  T .  K.  CycjiOB,  T eopemunecKan  Mexauuxa,  M . ,  1946,  195- 196. P E WN E  P R OBLE M Y  E WO LU C JI  R Ó Ż N I C Z K O WYCH   Z ASAD   WARIAC YJN YC H   463 Wyznacznik  A  ukł adu  (2.7),  w  tym  przypadku,  oblicza  się   ze  wzoru 3n A  = i  nie  jest  równy  zeru,  gdyż  zakł ada  się ,  że  wię zy  są   niezależ ne.  W  przypadku,  gdy  na ukł ad  punktów  materialnych  nał oż one są   wię zy  wszystkich  trzech rozważ anych  rodzajów, wyznacznik  A  w  sposób  oczywisty  róż ni  się   od  zera  i  z  ukł adu  (2.7)  moż na  wyznaczyć mnoż niki  2.j. W  omawianej  pracy  [39]  PRZEBORSKI wyprowadza  też  równania  ruchu ukł adu z wię - zami  nieideał nymi wszystkich  trzech wspomnianych  rodzajów,  odpowiadają ce  równaniom Lagrange'a  drugiego  rodzaju.  Z akł ada się ,  że  dana jest  praca  sił  reakcji  na  przemieszcze- niach  wirtualnych,  speł niają cych  równania  liniowe  (2.5). N iech  dane  bę dą   równania  wię zów  holonomicznych: (2.8)  / i = 0 ,  / 2  =   0,  ...,  / w  =   0, wię zów  anholonomicznych  pierwszego  rzę du: (2.9)  / « + i - 0,  f m+ 2  =  0,  ...,  f m+h   =  0 oraz  liniowych  wię zów  anholonomicznych  drugiego  rzę du: (2- 10)  fm + h + l  =  0,  fm + h + 2  =  0,  ...,  fm+h + g ~   ®< p r zy  c zym  m- \ - h- \ - g =  p. U wzglę dniając  równania  (2.8)  wię zów  holonomicznych,  mamy (2.11)  x i   =  x i (t,q uC j2,...,q lt )  (i=  1, 2,  . . . , 3 n ) , gdzie  q 1 ,q 2 ,  • • •, ?,, —  współ rzę dne  uogólnione,  \ i —  In—m. U ogólnione  prę dkoś ci  q k ,  speł niają ce  równania  (2.9),  moż na  wyrazić  jako  funkcje pewnych  v  =   / J,—h  dowolnych  parametrów  r a (2.12)  Clk  =  fk(t i qu  - '- ,qii\ ri,  .- ,r v )  (k  =  1, 2,  ...,/ J). Z  równań  (2.11)  i  (2.12)  mamy  wówczas (2- 13)  ^   =fi(t,q 1 ,  . . . , g„ ;  r u   ...,r v ), (2.14)  Xi =  coi(t,q u ...,q fi ;r ll ...,r v ;ri l ...,r v ). Z  równań  (2.10)  wię zów,  po  podstawieniu  do  nich  wzorów  (2.11),  (2.13)  i  (2.14)  dla x h   Xi,  xi,  moż na  otrzymać  wyraż enie  dla  r a   w  funkcji  od  Q — v—g  dowolnych  para- metrów  Sp w  postaci (2.15)  r s   =  n x ( t , q X t   . . . , q ^ , r u   . . . , r v ; s u   . . . , s p )  ( a =   1 , 2 ,  . . . , v ) . Tak  wię c  okreś lenie  ruchu  ukł adu  sprowadza  się   do  wyznaczenia  (IA- V+Q  funkcji  q k ,  r a i  Sp. F unkcje  te  speł niają   / n- \ - v  równań  róż niczkowych  pierwszego  rzę du  (2.12)  i  (2.15). Pozostał e  Q  brakują cych  równań  otrzymuje  się   z  zasady  D 'Alemberta- Lagrange'a  dla 464  N .  J.  CYGANOWA óxi,  speł niają cych  równanie  (2.5). D o/ > równ ań  (2.5)  dodaje  się  jeszcze  3n—p  dowolnych relacji  o  postaci 3« (2.16)  j^ A r+ i, t dxi  =   da,  (/  =   1, 2,  ...,3n- p), gdzie  A p+hi   są  funkcjami  t, x u   x t ,  x it   zaś da t  są   dowolnym i  liczbami,  takim i, że równ an ia (2.5) i  (2.16) tworzą   ukł ad  niezależ ny, liniowy  wzglę dem  ox,.  N a podstawie  (2.11), (2.13), (2.14) i  (2.15)  wszystkie  A n   (ij  =   1, 2, . . . ,  3rc) m oż na  rozpatrywać  jako  funkcje  t,  q k , r x ,  s/ p. Z  równań  (2.5) i  (2.16)  otrzymujemy (2.17)  8x l   =  ^ .a a dą l   (i =   1, 2, ..., 3«). / = i Z  równań  (2.15)  i  (2.17)  ze  wzglę du  n a  dowolność  da, mamy 3n (2.18)  ^ Aj t a u   =  0  ( ;  =   1,2  p;  I =  1,2  in- p). Podstawiają c  do równ an ia  D 'Alem berta- Lagrange'a  wzór  (2.17)  dla  óx;,  uwzglę dnia- ją c  równ an ia  (2.18)  i  wzór  (2.6) dla reakcji  oraz  biorą c p o d uwagę   dowolność  wielkoś ci 6a u   wyprowadził   PRZEBORSKI  równ an ia  ruchu  ukł adu w  postaci 3n (2.19)  ^ f l j ( ( w . x i _ Z i - P i )  =   0  ( / =  1, 2  g;  Q =   in- p). Ze  wzglę du  n a relacje  (2.11),  (2.13),  (2.14) i  (2.15)  równ an ia  (2.19)  są   skoń czon ymi rów- n an iam i  wzglę dem  wielkoś ci  q k ,  r a ,  Sp. Okreś lając  z  nich  Q wielkoś ci  s p   i  podstawiają c uzyskane  wyraż enia  do równań  (2.15) i  (2.12),  otrzymujemy  p,- \ - v  równ ań  róż niczkowych pierwszego  rzę du  dla  wyznaczenia  / J,- \ - V  funkcji  r a   i  q k .  W  celu  zupeł nego  wyznaczenia tych  funkcji  wystarczy  zadać  ich wartoś ci  w  pewnej  chwili  czasu  t 0 . Jeż eli  wię zy  n ał oż one  n a  ukł ad  są   idealne  holon om iczn e  i  liniowe  an holon om iczn e pierwszego  rzę du, to z równ ań P rzeborskiego  (2.19) wynikają   równ an ia  M aggi'ego 5 ) ,  wy- prowadzone  dla  tego  wł aś nie  przypadku. 2.2  Zasady  Gaussa  i  D'Alemberta- Lagrange'a  w  pracach  N.G.  Czetajewa.  W  dziedzinie zasad  róż n iczkowych'  m echan iki  analitycznej  uczeni  radzieccy  uzyskali  wyn iki o  wybitnym  znaczeniu  uogólniają cym.  D otyczy  to  przede  wszystkim  badań  róż niczko- wych zasad mechaniki w twórczoś ci naukowej wybitnego  uczonego radzieckiego N . G . C Z E - TAJEWA.  N iewą tpliwie  decydują cy  był  wpł yw  idei  CZETAJEWA  n a dalsze badan ia radzieckiej szkoł y  mechaniki  w  tej  dziedzinie. W  pracy  [20]  C Z E TAJE W  przeniósł  zasadę   D 'Alem berta- Lagran ge'a  n a nieliniowe wię zy anholonomiczne  pierwszego  rzę du,  uogólniają c  poję cie  przemieszczenia wirtualn ego.  C Z E - TAJEW  podał   taką   definicję   przemieszczeń wirtualnych, która  pokrywa  się  z  definicją   tych 5 )  Maggi,  O., Di alcune  nuove forme delie equazioni  delia dinamica,  applicabili ai sistemi  anolonomi, Atti  delia  Reale Accademia  dei Lincei,  Rendiconti  delia  classe di scienze fisiche,  matematiche e naturali, Roma,  ser. 5, v. 10, 2- e  sera.  1901,  p.  287- 292. Patrz  również: T . JleBH- l̂HBHTa  H  Y. AMajibflHj  Kypc meopemuuecKoU  Mexammi,  TOM   I I ,  ^acTŁ  I , M . 3 1951,  324- 326. P E WN E  P ROBLEM Y  E WO L U C JI  R Ó Ż N I C Z K O WYCH   Z ASAD   WARIAC YJN YC H   465 przemieszczeń  dla  ukł adów  holon om iczn ych  i  liniowych  anholonomicznych  i  dla  której zasady  D 'Alem berta- Lagran ge'a  i  G aussa  stają  się  niesprzeczne. N iech  n a  ukł ad  n ał oż one  są  w  ogólnym  przypadku  nieliniowe  anholonomiczne wię zy rzę du  pierwszego.  Jeż eli  ukł ad  posiada  k  stopn i  swobody,  to  skł adowe prę dkoś ci  pun któw ukł adu  w  ruchu  rzeczywistym  w  rozpatrywanej  chwili  m oż na  przedstawić  jako  funkcje niezależ nych  wielkoś ci  q s   i  ich  poch odn ych  po  czasie ( 2.20)  ki  =   (hit,  q„  q s )  (i  =   1, 2,  . . . , 3 n ;  s  —  1, 2,  ...,k). Przemieszczenia  wirtualn e  okreś lone  są  wedł ug  CZETAJEWA  relacjami k (2.21)  ax, =  JV ~   aq s , gdzie  aq s   są  dowolnym i  wielkoś ciami  nieskoń czenie  m alym i6 ) . I dealn e  wię zy  obustron n e  okreś lone  są  aksjornatycznie  jako  takie,  dla  których  przy zadan ych  sił ach  zewnę trznych  sł uszna  jest  zasada  D 'Alem berta- Lagrange'a 3n (2.22)  £  (miXi- Xi)axi  =   0, wzglę dem  przemieszczeń  wirtualn ych  (2.21).  Z  okreś lenia  (2.22)  wyprowadzona  jest  za- sada  G au ssa  w  uogóln ion ej  postaci,  odpowiadają ca  nowemu  spojrzeniu  n a  wyzwolenie ukł adu  m aterialn ego.  O  ile  G AU SS  rozważ ał   peł ne  wyzwolenie  ukł adu  materialnego  (wy- zwolenie  od  wszystkich  wię zów),  zaś  BOŁ OTOW —  wyzwolenie  czę ś ciowe  (wyzwolenie  ukł a- d u  od czę ś ci wię zów),  o  tyle  C Z E TAJE W  nazywa  wyzwoleniem  ukł adu materialnego wszelkie przekształ cenie,  rzą dzone  przez  okreś lony  algorytm  m atem atyczn y  (wyzwolenie  param e- tryczne) ; mianowicie, jeż eli  w  ruch u  rzeczywistym  ukł adu skł adowe  prę dkoś ci jego  punk- tów  zadan e  są  wzoram i  (2.20),  to  w  ruchu  wyzwolonym  zadan e  są  wzoram i ( 2.23)  X( =   a t (t,  q s ,  q s )  +  «,(*,  q s ,  r/ r ,  rj t ), gdzie  otj  są  dowoln ym i  funkcjami  zaznaczonych  zmiennych,  zaś  liczba  nowych  param e- trów  r\ r   równ a  jest  liczbie  nowych  swobód,  uzyskanych  przez  ukł ad.  CZETAJEW przeniósł uogólnioną  zasadę  G aussa  w  postaci  BOŁ OTOWA  n a  nieliniowe  ukł ady anholonomiczne dowodzą c, że  dla  nieliniowych  ukł adów anholonom icznych i przy  zaproponowanych przez niego  aksjomatycznych  definicjach  przemieszczeń  wirtualnych  i  wyzwolenia,  odchylenie rzeczywistego  ruchu  ukł adu  od  ruch u  wyzwolonego  jest  mniejsze  od  odchylenia  dowol- nego  z  ruchów  wirtualn ych  od  tegoż  ruch u  wyzwolonego. Z  równ ań  wię zów  (2.20)  i  okreś lenia  (2.21)  wynika,  że  istnieją  przemieszczenia  wir- tualn e,  proporcjon aln e  do  róż nicy  dk—  dx t   pomię dzy  zmianą  prę dkoś ci  punktów  ukł adu w  czasie  dt  dla  ruchu  rzeczywistego  i  takąż  zmianą  prę dkoś ci  dla  ruchu  wariowanego wedł ug  G AU SSA.  W  tym  przypadku,  równ an ie  D 'Alem berta- Lagrange'a  (2.22)  moż na zapisać  w  postaci 3n (2.24)  V  (m,  dx, - X,  dt) (dk,  -   6x t )  =   0. 6 )  Zachowano  oznaczenia  N .  G .  Czetajewa  (N .  C ) . 466  N . J.  CYGANOWA Z  definicji  wyzwolenia  (2.23)  ukł adu  w  sposób  oczywisty  wynika,  że  przemieszczenia wirtualne  danego  ukł adu  znajdują   się  w  zbiorze  przemieszczeń  wirtualnych  ukł adu wy- zwolonego.  Jeż eli  zał oż ymy,  że w  chwili  t  pun kty  ukł adu w  ruchu  wyzwolonym  mają   te same  prę dkoś ci,  co w  ruchu  rzeczywistym,  zaś w  odcin ku  czasu  dt  oddział ywują   n a  nie te  same sił y zewnę trzne,X,,  to dla ukł adu wyzwolonego  równ an ia  D 'Alem berta- Lagrange'a mają   postać In (2.25)  \   {m i 8k i —X i dt){dxi—6ki)  =   0, gdzie  8ki  oznacza  zmianę   prę dkoś ci  pun któw  ukł adu  w  ruchu  wyzwolonym  w  cią gu czasu  dt. Odejmują c  równanie (2.25) od równ an ia  (2.24)  C Z ETAJEW  otrzymuje  zwią zek  w postaci: (2.26)  A dl +Ad d - A i)S =Q, gdzie  wielkość 3n Adi  = oznacza  odchylenie  ruchu  rzeczywistego  (d) od ruchu  wirtualnego  (d) w  czasie  dt. Ana- logicznie  okreś lone  są   wielkoś ci  A dd   i  Add-   Ze zwią zku  (2.26)  wynikają   dwie  nierównoś ci (2.27)  A ds   g,)  -   0 , dla  których  zachodzi  relacja 8F k   . 476  N . J.  C YG AN O WA N OWOSIEŁOW  wyprowadza  równ an ia  ruchu  rozważ anego  ukł adu,  zawierają ce  m n oż n iki nieoznaczone. L it er a t u r a  cytowan a  w  tekś cie 1.  M . I I I .  AM M H OBJ  K  npunifuny  Faycca,  y^ieH H e  aartHCKH   Ka3ancKoro ABim ą n oH n oro Ko  4 ,  1935.  '  * 2.  E . A. BOJI OTOB,  O npUHą une Faycca,  H a B e a n w  dMSHKO- MaieiwaTHqecKoro  oSmecTBa n p H   Ka3aHCK0M yHHBepcHTeTe,  T . 2 1 , N a 3 ,  1916, c .  99- 152. 3.  %. H .  T PRKKA,  3.  KOTOBJ  OCHOBU  ananumuuiCKoiX  uexauuKU  dnu  cucmejit  nepeMemoU  Maccu,  Yntnbip  3artHCKH TopŁKOBCKoro  yH H BepcH Teia,  T . X X VI I I , 1955. 5.  H . A.  K H JI K ^E BC K H H ,  H .  H .  U I E H E H E BC KAH ,  Flpumfun  HamieHbiuezo  npimyoicdenun  u  mKomopue  no npujiooicewin  e meopuu  KeHHft3  N s 5,  1965. 1 2 .  M . H .  P E H T M AH ,  06  OÓHOM  Memode peiuenun  3adcmu  OUHOMUKU meepdoeo  mejia  u  eio  npuAooiceuuu K  neynpyiuM  o6oAOHKaM,  IfeBecTHfl  A H  C C C P ,  M exaiiH Ka H   MauiHHOCTpoeHHe M , N i 6,  1964. 13.  B. B.  PyiwflimEB,  O  cucmeMax  c  mpeuueM,  I I M M ,  T . 2 5 , B . 6,  19 6 1. 1 4 .  B . B.  PyMHHi(EB,  O  óeuoiceHuu  neKomopux  cucmeM  c  neubecuibuuMu  CSH3HMU,  BecTHHK  M F Y , 1961  r.  N i  5. 15.  B. A.  C AI I A,  BapuaifuoHHbie npmuunu  a  MexanuKe nepeMeimou  Maccbi,  ł feBecTHH   A H   K a 3.  C C P , cepiM   M ai.  H  Mex.,  B t i n .  5 ( 9) ,  1956. 16.  B. A.  C AI I A,  K  eonpocy  06 ocnoeax  ana/ iumunecKoti Mexaiiuim  nepeMennoń  Maccu,  Y^eH bie  3anacKH KaaaxcKoro  yH - Ta, T . 3 0 , Bbin .  5,  1957. 17.  B. n .  TAiviy>K, O6 odriOM  MUHUMaAbuoM  npuną une  e  duuaMUKe  oicecmKo- ruiacmunecKozo  mena,  I I M M , T.  26,  B. 4,  1962. 18.  B. H .  PA3JiHH,  HeioAOHOMHan  Mexanuna  u ee npuAoxceHun  e ecmecmeo3Ha,Huu  u mexHUKe  (aBTope- (JjepaT  flH ccepTarpoi),  KaeB  1965. 19.  H . PL .  I ^BI TAH OBA,  O  npuuuune  Mypdena,  H a yq u we  TpyflM   B I I H ,  Bojirorpafl  1970. 2 0 .  H .  F .  ''I E XAE B,  O  npUHą une  Faycca,  H 3B. i