Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS71_t9z1_4\mts71_t9z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  9  (1971) Z ASTOSOWAN IE  M E T O D Y  SZTYWN YCH   ELEM EN TÓW SKOŃ CZ ON YCH D O  OBLI C Z E Ń  C Z Ę ST O Ś CI  D RG AŃ   WŁASN YCH   U ST R O JÓW  OKRĘ TOWYCH* JAN   K R U S Z E W S K I  (G D AŃ SK) 1.  Wstę p D o  podstawowych  problem ów  przy  projektowaniu  nowoczesnych  ustrojów  okrę - towych  należy  zaliczyć  zmniejszanie  drgań  kadł uba  oraz  zmniejszanie  hał asu w  pomiesz- czeniach,  w  których  przebywają   pasaż erowie  i  zał oga.  Stał y  wzrost  wymagań  arm atorów dotyczą cych  kom fortowych  warun ków  odbywania  podróży  statkam i  sprawia,  że  wspom- n ian e  problem y  nabierają   coraz  wię kszego  znaczenia. G ł ówn ym i  ź ródł ami  drgań  i  hał asów  n a  statku  są   takie  urzą dzenia, jak  zespoł y prą do- twórcze,  sprę ż arki,  pom py  it p .  oraz  ś ruba  n apę dowa.  W  ostatnich  latach  pojawił o  się wiele  rozwią zań  konstrukcyjnych  mają cych  n a  celu  zmniejszenie  drgań  i  hał asów pocho- dzą cych  od  wspom n ian ych  ź ródeł.  D o  ciekawszych  rozwią zań  wprowadzanych  ostatnio m oż na  zaliczyć  t ak  zwane  platform y  «pł ywają ce»  i  wał   ś rubowy  typu  G rim a. P latform a  «pł ywają ca»  um ieszczana jest  n a  podkł adkach gumowych  najczę ś ciej  w  ma- szynowni.  D o  tej  platform y  m ocowan e  są   urzą dzenia  okrę towe,  również  za  pomocą podkł adek  gumowych.  U zyskuje  się   w  ten  sposób  dwustopniowe  mocowanie  sprę ż yste, co  w  rozwią zaniach  rzeczywistych  może  powodować  zmniejszenie  nawet  o  40  dB  drgań akustycznych  rozprzestrzeniają cych  się   drogą   strukturaln ą   n a  kadł ub. Wał   ś rubowy  typu  G rim a należy  do  tak  zwanych  wał ów  elastycznych.  Jego  param etry dobiera  się   tak,  aby  poza  pierwszą   postacią   drgań  gię tnych,  kilka  nastę pnych posiadał o am plitudy  drgań  wł asnych  w  miejscu  zam ocowan ia  ś ruby  napę dowej  w  przybliż eniu równe  zeru.  Pierwsza  postać  gię tnych  drgań  wł asnych  m a  czę stość  znacznie  mniejszą od  istnieją cych  czę stoś ci  wymuszeń,  n atom iast  pozostał e  nie  mogą   być  wzbudzone,  po- nieważ  am plituda  drgań  wł asnych  w  miejscu  przył oż enia  sił y  wymuszają cej  jest  prawie równ a  zeru.  Tego  rodzaju  rozwią zanie  cał kowicie  eliminuje  w  praktyce  najgroź niejsze ź ródło  wymuszeń  n a  statku,  jakim  jest  ś ruba  n apę dowa. Oba  rozwią zania  wymagają   podczas  kon struowan ia  wielokrotnego  obliczania  kilku, a  niekiedy  nawet  kilkun astu  czę stoś ci  drgań  wł asnych  i  odpowiadają cych  im  postaci drgań .  Są   to  ukł ady zł oż on e, w  zwią zku  z  czym tradycyjne  metody  obliczeń  są   dla potrzeb biur  projektowych  zbyt  pracoch ł on n e  i  trudn e. *'  III  nagroda  na  Ogólnopolskim  Konkursie  na  prace  teoretyczne  z  mechaniki,  zorganizowanym przez  Oddział  Warszawski  PTM TS  w  1970  r. 4  Mechanika  Teoretyczna 500  J.  KRU SZEWSKI Celem  niniejszej  pracy  jest  opracowan ie  takiej  m etody,  za  pomocą   której  obliczenia czę stoś ci  drgań  wł asnych  i  odpowiadają cych  im  postaci  drgań ,  nawet  dla  bardzo  zł oż o- nych  ukł adów  o wielu  stopniach  swobody,  mogł yby  być  przeprowadzan e  szybko,  a  proces obliczeń  był   moż liwie  najprostszy.  P omyś lano  również  o  tym ,  aby  opracowany  algorytm nadawał   się   do  ł atwego  zaprogram owan ia  n a  elektroniczne  maszyny  cyfrowe. Wspomniane  n a  wstę pie  rozwią zania  konstrukcyjne  stanowią   przykł ady  zastosowan ia metody  przedstawionej  w  niniejszej  pracy.  M etoda t a  polega  n a  zastą pieniu  rzeczywistego ustroju  ustrojem  zł oż onym  z  nieodkształ calnych  brył ,  nazwanych  sztywnymi  elem entam i skoń czonymi  (SES), poł ą czonych ze  sobą   i  z  ostoją   nieważ kimi  elementami  sprę ż ystymi 0  charakterystykach  liniowych.  U stroje,  w  których  m asa  rozł oż ona jest  w  sposób  cią gł y, zastę puje  się   pomyś lanymi  elementami sztywnymi  i  pom yś lan ymi  elementami  sprę ż ystymi. Współ czynniki  sztywnoś ci  takich  elementów  obliczane  są   z  prostych  zależ noś ci  wytrzy- mał oś ci  m ateriał ów.  M etodę   tę   n azwan o  metodą   sztywnych  elementów  skoń czon ych. U moż liwia  ona,  co  zostanie  przedstawione  w  dalszych  rozważ aniach,  opracowan ie  spo- sobu  ukł adan ia  macierzy  równ ań  ruchu  bez  potrzeby  każ dorazowego  wyprowadzan ia tych  równ ań . Z astosowanie  metody  sztywnych  elementów  skoń czonych  nie  ogranicza  się   jedynie do  wymienionych  n a  wstę pie  ukł adów;  m oż na  bowiem  za  jej  pom ocą   obliczać  drgan ia gię tne  i  gię tno- skrę tne  kadł ubów,  drgania  lokalne  n adbudówek,  drgan ia  gię tne  wał ów n a  wielu  podporach  sprę ż ystych,  jak  również  drgan ia  skrę tne  rozwidlonych  ukł adów napę dowych.  Omawiana  m etoda  nadaje  się   również  do  obliczania  czę stoś ci  drgań  wł as- nych  i  odpowiadają cych  im  postaci  drgań  ram  i  rusztów  zł oż onych  z  prę tów  prostych 1  zakrzywionych  o  zmiennym  przekroju  poprzecznym ,  dowolnie  rozł oż onej  masie  i  do- wolnie  podpartych.  Przy  obliczaniu  drgań  gię tnych  uwzglę dniany  jest  wpł yw  sił   stycz- nych,  a  także  wpł yw  masowych  m om en tów  bezwł adnoś ci. W  oparciu  o  przedstawioną   m etodę   autor  uł oż ył   kilka  program ów  na  elektroniczną maszynę   cyfrową   Elliott  803  [4,  5,  6]. P rogram y  te  znalazł y  szerokie  zastosowanie  w  pra- cach  biur  konstrukcyjnych  przemysł u  okrę towego  umoż liwiając  wprowadzanie  nowych rozwią zań  i  przynoszą c  gospodarce  narodowej  poważ ne  oszczę dnoś ci. 2.  Oznaczenia Oznaczenia  w  niniejszej  pracy  stanowią   trudn y  problem .  Skom plikowan e  postacie wzorów  zawierają cych  liczne  sumy,  obejmują ce  róż ne  obszary  param etrów,  a  p o n ad t o macierze  utworzone  z  bloków  zł oż onych z  mniejszych  bloków  prowadzą   do  skom pliko- wanych  ukł adów wskaź ników.  Z agadnienie  to  wymaga  przeto już  n a  wstę pie  dokł adn ego omówienia, co pozwoli  un ikn ą ć niejasnoś ci  w  trakcie  czytania  pracy.  Z astosowan y  sposób oznaczeń  może  się   wydawać  w  pierwszej  chwili  nieco  skom plikowan y,  uzasadn ion y  jest jedn ak  wzglę dami  ł atwego  program owan ia  obliczeń  n a  elektroniczne  maszyny  cyfrowe. N ależy  bowiem  pam ię tać, że  m etody  elementów  skoń czonych  są   ś ciś le  powią zane  z tech- niką   nowoczesnych  obliczeń  numerycznych  i  muszą   być  opracowywane  pod  tym  ką tem widzenia. 2.1.  Uwagi  ogólne.  M acierze  kwadratowe  i  skł adowe  bloki  tych  macierzy  oznaczane są   duż ymi  literami  umieszczonymi  w  nawiasach  kwadratowych,  n p .  [A].  * Z ASTOSOWAN I E  M ETOD Y  SZ TYWN YC H   ELEM EN TÓW  SKOŃ C Z ON YCH   501 M acierze  kolum n owe  (wektory)  oznaczane  są   również  duż ymi  literami,  lecz  umiesz- czonymi  w  n awiasach  sześ ciennych,  n p .  {Q}. W przypadku  skł adania  wektorów  z  wy- razów  in n ych  wektorów  stosuje  się   nastę pują ce  oznaczenia: jeż eli  {Q} = q„ to QJ  i Te  same  zasady  stosuje  się   równ ież  w odniesieniu  do  macierzy  diagonalnych  o wyrazach z  pojedynczymi  wskaź n ikam i. Wyrazy  macierzy,  bloków  i  wektorów  oznaczane są  mał ymi literami. Wskaź n iki  okreś lają ce  poł oż en ie  wyrazu  w  macierzy,  bloku  lub wektorze  umiesz- czane są  n a  dole, z wyją tkiem  wskaź ników  okreś lają cych  poł oż enie bloku  w  r- tym paś mie poziom ym  i  77- tym  paś m ie  pion owym  macierzy  K- tego  stopnia  (patrz  n p.  wzór  4.11). Wskaź n iki  mogą   być  pojedyncze  w  przypadku  wektorów  i  macierzy  diagonalnych lub podwójne  w przypadku  macierzy  i  bloków  kwadratowych. Wskaź n iki  podwójn e  rozdzielone  są   przecinkiem .  Pierwszy  z  nich  oznacza  numer wiersza  lub  pasm a  poziom ego,  drugi —  n um er  kolum n y  lub  pasm a  pion owego. Wskaź nik  okreś lają cy  ukierun kowan ie  danego  param etru wzdł uż lub  wokół   osi ukł adu odniesienia  umieszczany  jest  n a  dole. Wskaź nik  okreś lają cy  przyn ależ n ość  param etru  do  sztywnego  elementu  skoń czonego umieszczany  jest  u góry  i  oznacza  n um er  tego  elementu. Wskaź nik  okreś lają cy  przynależ ność  param etru  do  elementu  sprę ż ystego  umiesz- czany  jest  również  u góry.  Skł ada się   on z dwóch  a niekiedy  nawet  trzech  liter.  Pierwsze dwie,  rozdzielone  myś lnikiem,  oznaczają   numery  sztywnych  elementów  skoń czonych, zł ą czonych  rozpatrywan ym  elementem  sprę ż ystym.  Jeż eli  param etr  odnosi  się  również d o  sztywnego  elem entu  skoń czon ego,  to z  dwóch  omawianych  wyż ej  liter  pierwsza  jest n um erem  tego  elem entu  skoń czon ego.  Trzecia  litera,  oddzielona  od  poprzednich  prze- cinkiem ,  oznacza  n um er  elem entu  sprę ż ystego  w  rozpatrywanym  poł ą czeniu.  Tak  wię c n p .  zrfp>l  jest  współ rzę dną   p u n kt u  zam ocowan ia  / - tego  elementu  sprę ż ystego,  należ ą cego d o  poł ą czenia mię dzy  r- tym  a p- tym  Sztywnym  elementem  skoń czonym,  do  r- tego  sztyw- nego  elementu  skoń czon ego,  mierzoną   wzdł uż  osi xr s . Wskaź nik  param etru  należ ą cego  do elementu  sprę ż ystego  wchodzą cego  w  skł ad  po- ł ą czenia  mię dzy  sztywnym  elementem  skoń czonym  a ostoją   oznacza  się   podwójną   literą , bę dą cą   n um erem  tego  elem entu  skoń czonego,  n p .  zrfr>l. M acierz  tran spon owan ą   oznacza  się   literą   T  umieszczoną   u góry,  n p.  [ Z ] T . W  celu  un ikn ię cia  moż liwoś ci  pom ył ki przy  podnoszeniu  do  potę gi  wyrazów  ze wskaź- n ikam i  umieszczonymi u góry  wyrazy  te  umieszcza  się  w nawiasach  (patrz  n p. wzór  4.6). 2.2.  Wskaź niki. i  —  n u m e r  wyr a z u  we k t o r a ,  wyr a z u  m a c ier zy  d ia go n a ln e j  lu b  wiersza  m ac ierzy  kwad ra- t o wej  ( t ylko  d la  m a c ie r zy  n - tego  st o p n ia ) ,  (i = 1, 2,  . . . , « ) ; j —•  n u m e r  k o l u m n y  m a c ie r zy  kwa d r a t o we j  w- tego  st o p n ia ,  (J=  1, 2 ,  . . . , « ) ; I —  n u m e r  e le m e n t u  sp r ę ż yst e go  w  p o ł ą c ze n iu  m ię d zy  r- t ym  a  p- tym  szt ywn ym  ele- m e n t e m  sk o ń c z o n ym,  (/  =   1, 2 ,  . . . ,  e"- "); 502 J.  K R U SZ E WSK I p —  num er  sztywnego  elementu  skoń czonego  z  jednej  strony  poł ą czen ia; r —•  numer sztywnego  elementu  skoń czonego  z  drugiej  stron y poł ą czen ia; s —  wskaź nik  okreś lają cy  ukierun kowan ie  oznaczanego  param etru  w  stosun ku  do  osi ukł adu  odniesienia  (^ =   1, 2, 3  —  okreś la,  że  param etr  odn osi  się  do  kierun ku wzdł uż  osi  x\ ,  xr 2 ,  x r 3 ,  n atom iast  s  =  4,5,6  —  wokół   tych  osi); /  —  wskaź nik  wystę pują cy  obok wskaź nika  s, oznacza on n um er kolum n y, tak jak  wskaź nik s  num er  wiersza  bloku  [Ar'p]  lub  [Br'p],  (patrz  n p .  wzór  4.10); a- —n u m er  pasm a  poziomego  bloku  [Br>p], w  którym  znajduje  się  blok  [H' a $]; /3 —  numer  pasm a  pionowego  bloku  [Br>p], w  którym  znajduje  się  blok  [//£;£]• 2.3.  Ozn aczen ia  szczegół owe  wielkoś ci  podstawowych. l, n ...  [A*>*\ [A 1 - 1 ]  [A 1 x A  *  i  r  A [A 1 '"] T   [A 2 - U ] T   ...  [A u «]_ L*i. B ... 6, —  przekształ cona  macierz  stał ych  skł adn ików  rów- n ań  ruch u; —  przekształ cona  macierz  stał ych  skł adników  rów- n ań  ruchu  utworzon a  z  bloków  [Ar'p]; —  macierz  stał ych  skł adn ików  równ ań  ruch u  (ma- cierz  t a  może  być  również  podzielon a  n a  bloki [B r ' p ]  podobn ie jak  macierz  [,4] n a  bloki  |/ 4r'p]); [C r - p ' 1 ]  —  macierz  kosin usów  kierunkowych  mię dzy  ukł a- dem  osi  yrrp'\   yr2~ p'\   yl~ p'1  a  ukł adem xi ,  xr 2 ,  x r 3 ; [D] —  macierz  równ ań  ru ch u ; [Z>*]—•  przekształ cona  macierz  równ ań  ru ch u ; e r ~ p  —  liczba  elementów  sprę ż ystych  w poł ą czen iu mię dzy r- tym  a / ;- tym  sztywnym  elementem  skoń czon ym; [G] —  macierz  diagon aln a  współ czynników  przekształ ca- ją cych; gt  =  1/ j/ wf  ^ wsp ó ł c z yn n ik  przekształ cają cy; [ # £ ' $  —  skł adowy  blok  bloku  [B™]; [I] —  macierz  jedn ostkowa; [K r ~ p>l ] —  macierz  diagon aln a  współ czynników  sztywnoś ci elementu  sprę ż ystego; l ( r- P ,i —  współ czynniki  sztywnoś ci  (s  =  1, 2, 3  —  liniowej, 5  =   4 , 5 , 6  —  obrotowej); [M] —  diagon aln a  macierz  m as  uogóln ion ych ; [M r ]  —  diagonalny  blok  mas  uogóln ion ych  r- tego  sztyw- nego  elementu  skoń czon ego; Z ASTOSOWAN I E  M ETOD Y  SZ TYWN YC H   ELEM EN TÓW SKOŃ C Z ON YCH 503 m\   —  m asa  uogóln ion a  (dla  s' —  1, 2, 3  —  masy  biorą ce udział   w  ruchu  w  kierunku  osi  x\ ,  xr 2 ,  x r 3 ,  nato- m iast  dla  ^ =   4 , 5 , 6  —  masowe  m om enty  bez- wł adn oś ci  wokół   tych  osi); n —  stopień  macierzy  równań  ruch u; [0] —  macierz  zerowa; {Q 1 }) {Q 2 } —  we k t o r  wsp ó ł r zę d n ych  u o gó ln io n yc h ; {< 2"> {Q r }  —  wektor  —  blok  współ rzę dnych  uogólnionych; q r s  —  współ rzę dna  uogólniona  bę dą ca  przemieszczeniem ś rodka  masy  (gdy  $ =  1, 2, 3) albo  obrotem sztyw- nego  elementu  skoń czonego  (gdy  s  — 4,  5, 6); T   —  energia  kin etyczn a; U  —  energia  poten cjaln a; u —  liczba  sztywnych  elementów  skoń czonych  rozpa- trywanego  u kł adu ; yr- p.iy —  wektor  przemieszczeń  pun ktu  zamocowania  ele- m en tu  sprę ż ystego  w  ukł adzie  y\ ~ v>l,  y'fv'\   y\ ~ p'1, Avs~ p>l  —  odkształ cenie  elementu  sprę ż ystego; x r s   —  oś  nieruchomego  ukł adu  odniesienia  przynależ ne- go  do  ś rodka  masy  r- tego  sztywnego  elementu skoń czon ego; _y r~ p > l o ś  n ie r u c h o m e go  u k ł a d u  o d n iesien ia  p r zyn a leż n e- go  d o  e le m e n t u  sp r ę ż yst ego; [Z r ~H' l j  —  m a c ie r z  wsp ó ł r zę d n ych  z a m o c o wa n ia  elem en t u sp r ę ż yst ego d  —  bł ą d  w  %  m e t o d y  szt ywn ych  elem en t ó w  sko ń c zo- n yc h  wzglę d em  in n ej  m e t o d y; C —  liczba  st o p n i  swo bo d y  szt ywn ego  e le m e n t u  sko ń - c zo n e go ; {2}  —  we k t o r  p o st a c i  d r ga ń ,  kt ó r y  jest  za r a ze m  we k t o r e m wzglę d n ych  a m p lit u d  wsp ó ł r zę d n ych  u o gó ln io - n yc h ; T  —  c z a s; —  we k t o r  wł a sn y  m a c ie r zy  [A]; —  c zę st o ść  k o ł o wa  d r ga ń  wł a sn yc h . 3.  M o d el  obliczeniowy Z ał oż ony  w  niniejszej  pracy  m odel  obliczeniowy  zastę pują cy  rzeczywistą   konstrukcję skł ada  się   (patrz rys.  1) z  u elementów  skoń czonych  bę dą cych  brył am i nieodkształ calnymi, z  których  każ da  m a  sześć  stopn i  swobody.  Wł asnoś ci  dynamiczne  sztywnego  elementu 504 J.  KRU SZEWSKI skoń czonego  okreś lone  są  sześ cioma  m asam i  uogóln ion ym i  nf s ,  z  których  pierwsze  trzy (s  =   1, 2,  3)  są  m asam i  biorą cymi  udział  w  ruch u  w  kierun ku  gł ównych  centralnych  osi bezwł adnoś ci  x i , x £ , # 3 ,  n atom iast  pozostał e  ( ^ = 4 , 5 , 6 )  m asowym i  m om en tam i  bez- wł adnoś ci  wokół   tych  osi.  W  wię kszoś ci  zagadnień  technicznych]  moż na]  zał oż yć, że  masy  biorą ce  udział   w  ruchu  we  wszystkich  trzech  kierun kach  są  jedn akowe. Istnieją  jedn ak  takie  przypadki,  w  których  należy  przyjmować  róż ne ich  wartoś ci.  Z  przy- Potą czente sprę ż yste Element sprę ż ysty Sztywny  element skoń czony ^ Ostoja Rys.  1. Model obliczeniowy padkam i  takim i  m oż na  się  spotkać  w  okrę townictwie  przy  obliczaniu  drgań  elementów kadł uba.  Inny jest  bowiem  wpł yw  masy  wody  towarzyszą cej  n a  drgan ia  pion owe,  a  inny n a  drgania  poziome.  W  pracy  zachowano  zatem  we  wszystkich  rozważ an iach  moż liwość wystę powania  róż nych  wartoś ci  m as  w  zależ noś ci  od  kierun ku  ich  ruch u. Sztywne  elementy  skoń czone  poł ą czone są  dowolnie  ze  sobą  lub  z  ostoją.  P oł ą czenia te  skł adają  się  z  dowolnej  liczby  elementów  sprę ż ystych  przenoszą cych  sił y  w  kierun ku ich  gł ównych  osi  sztywnoś ci  i  m om enty wokół  tych  osi.  G ł ówne osie  sztywnoś ci  posiadają takie  wł asnoś ci,  że  sił y  dział ają ce  w  ich  kierun ku  powodują  odkształ cen ia elem entu  sprę- ż ystego  tylko  w  kierun ku  dział ania  tych  sił . Z ał oż ono p o n ad t o , że  elementy  sprę ż yste  są nieważ kie,  mają  mał e  wymiary  w  stosun ku  do  wymiarów  sztywnych  elementów  skoń czo- nych  i  posiadają  charakterystyki  liniowe.  Zał oż enie  charakterystyk  liniowych  jest  moż li- we  do  przyję cia  z  uwagi  n a  niewielkie  odkształ cenia  elementów  sprę ż ystych  wystę pują ce w  praktyce.  Każ dy  element  sprę ż ysty  okreś lony  jest  sześ cioma  współ czynnikami  sztyw- Z ASTOSOWAN I E  M ETOD Y  SZ TYWN YC H   ELEM EN TÓW  SKOŃ C Z ON YCH   505 n oś ci  k r s ~ v '\   przy  czym  pierwsze  trzy  (s  =   1, 2,  3)  są   współ czynnikami  sztywnoś ci  linio- wych  (rozcią ganie  i  ś cinanie),  n atom iast  pozostał e  (, ?=   4,  5,  6)  współ czynnikami  sztyw- noś ci  obrotowych  (zginanie  i  skrę canie).  Współ czynniki  sztywnoś ci  definiuje  się  jako  sto- sunek  sił y  uogólnionej  do  uogóln ion ego  odkształ cenia. W  celu  zorien towan ia  w  przestrzeni  poszczególnych  ukł adów  odniesienia  (każ dy sztywny  element  skoń czony  i  każ dy  element  sprę ż ysty  m a  swój  niezależ ny  ukł ad)  należy zn ać  dziewię ć  kosinusów  kierun kowych  ką tów  mię dzy  osiami  są siednich  ukł adów. Rzeczywiste  ustroje  obliczane  m etodą   sztywnych  elementów  skoń czonych  moż na  po- dzielić  n a  trzy  zasadnicze  typy. Pierwszy  typ  —  t o  ustroje  zł oż one  ze  sztywnych  urzą dzeń,  mocowanych  na podkł ad- kach  sprę ż ystych.  Typowym  przykł adem takiej  konstrukcji  jest  sztywna  platforma  umiesz- czon a  w  m aszynowni  okrę tu  n a  podkł adkach gumowych  (platforma  «pł ywają ca»)  z urzą - dzen iam i  ustawion ym i  n a  niej  również  n a  podkł adkach  gumowych.  W  ustrojach  tego typu  za  sztywne  elementy  skoń czone  przyjmuje  się   cał e  urzą dzenia  traktowan e jako  brył y nieodkształ calne,  n atom iast  za  elementy  sprę ż yste  —  wszelkiego  rodzaju  sprę ż yny,  pod- kł adki  gumowe,  resory,  wał ki  skrę tne  it p. D rugi  typ —  to  ustroje  o  charakterze  cią gł ym, w  których  podział  n a  sztywne  elementy skoń czone dokonuje  się   w  sposób  pom yś lany.  D o tego typu  ustrojów  zalicza  się  wszelkiego rodzaju  ukł ady  belkowe  i  pł ytowe  o  masie  rozł oż onej  w  sposób  cią gł y. Trzeci  typ —  to  ustroje  skł adają ce  się   z  obu  poprzedn io  omówionych  ukł adów.  U stro- jem  takim  bę dzie  n p .  wspom n ian a  wyż ej  platform a  z  urzą dzeniami  okrę towymi,  trakto- wan a  jedn ak  ja ko  odkształ caln a i  podzielona,  w  pomyś lany  sposób,  na  szereg  sztywnych elementów  skoń czon ych. Współ czynniki sztywnoś ci  elementów  sprę ż ystych  w przypadku  pierwszego typu  ustroju wyznaczane  są   n a  ogół   doś wiadczalnie  i  podawan e  przez  producen tów  w  katalogach. W  przypadku  drugiego  t ypu  ustroju  elem entam i  sprę ż ystymi  są   elementy  pomyś lane. Tego  rodzaju  elementy  sprę ż yste  zastę pują   sztywnoś ci  pewnych  odcinków  rzeczywistych ukł adów  cią gł ych.  Z astosowan y  m odel  obliczeniowy  m oż na wię c  nazwać  modelem  o  dy- skretnie  rozł oż onej  sztywnoś ci.  Wartoś ci  współ czynników  sztywnoś ci  takich  elementów wyznacza  się   z  prostych  zależ noś ci  wytrzymał oś ci  materiał ów przy  zał oż eniu stał ego  roz- kł adu  n aprę ż eń w  zastę powan ym  odcin ku. Tak  wię c n p. współ czynnik sztywnoś ci  zginania odcin ka  belki  o  dł ugoś ci Al,  m om encie  bezwł adnoś ci przekroju  poprzecznego  /   i  module Youn ga  E  wynosi (3.1)  ,  k =   §. 4.  Macierz  równań ruchu R ówn an ia  ruch u  wyprowadzon o  w  oparciu  o  równ an ia  Lagrange'a.  D la  mał ych prze- mieszczeń  w  przypadku  braku  wymuszeń  i  przy  pom inię ciu  tł umienia  mają   one  nastę - pują cą   p o st ać : 506 J.  KRU SZEWSKI D la  każ dego  sztywnego  elementu  skoń czonego  m oż na  uł oż yć sześć  takich  równ ań ,  a wię c n  =  6u  dla  cał ego  ukł adu.  Pominię cie  tł umienia jest  uzasadn ion e,  pon ieważ  jego  wpł yw na  wartoś ci  czę stoś ci  drgań  wł asnych  i  odpowiadają cych  im  postaci  drgań  w  wię kszoś ci rozwią zań  konstrukcyjnych  jest  bardzo  mał y. Jako  współ rzę dne  uogólnione  przyję to  przemieszczenia  liniowe  ś rodków  m as  sztyw- nych  elementów  skoń czonych  w  kierun kach  ich  gł ównych  centralnych  osi  bezwł adnoś ci i  przemieszczenia  obrotowe  wokół   tych  osi  (patrz  rys.  2). \ Rys. 2. Schemat oznaczenia  współ rzę dnych  uogólnionych Energię   kinetyczną   ukł adu  przy  takim  zał oż eniu  współ rzę dnych  oblicza  się   z  nastę - pują cej  zależ noś ci: u 6 (4.2)  T =- r (4 . 3 ) P ochodn e  czą stkowe  energii  kinetycznej  wzglę dem  prę dkoś ci  uogólnionych  jsą   równe 8T dł ft Z ASTOSOWAN I E  M ETOD Y  SZ TYWN YC H   ELEM EN TÓW  SKOŃ C Z ON YCH 507 Energię   potencjalną   odkształ cenia  elementów  sprę ż ystych  cał ego  ukł adu  rozdzielono n a  dwie  czę ś ci.  Pierwsza  czę ść  obejmuje  energię   potencjalną   zależ ną   od  współ rzę dnych uogólnionych  r- tego  sztywnego  elementu  skoń czonego,  druga —  energię   potencjalną   nie- zależ ną   od  tych  współ rzę dnych.  Oznaczają c  pierwszą   z  nich  przez  U1', a  drugą   przez  U* uzyskuje  się   nastę pują cą   zależ noś ć: (4.4)  U=Ur+U*. Ponieważ  U*  nie  zależy  od  współ rzę dnych  uogólnionych  / '- tego  sztywnego  elementu skoń czonego, poch odn a czą stkowa  cał kowitej  energii potencjalnej  ukł adu wzglę dem  współ - rzę dnych  uogólnionych  tego  elementu  jest  równa W  dalszych  rozważ aniach  wystarczy  wię c  obliczać  energię   potencjalną   V,  którą   wy- znacza  się   z  zależ noś ci u  er~P  6 (4.6)  IT   =   ^ We  wzorze  (4.6)  sumy  obejmują   energię   potencjalną   wszystkich  elementów  sprę ż ystych doczepionych  do  r- tego  sztywnego  elementu  skoń czonego.  Jeż eli  mię dzy  r- tym  a  ^- tym sztywnym  elementem  skoń czonym  nie  ma  poł ą czenia,  to  oczywiś cie  k r s ~ v ' 1  =   0. Odkształ cenia  elementów  sprę ż ystych  w  ukł adzie  osi  zwią zanych  z  nimi  są   równe (4.7)  / loJ- "'1  =   C * ' - ^ 1 . W  celu  uzależ nienia  energii  potencjalnej  T Jr od  współ rzę dnych  uogólnionych  należy się   posł uż yć  nastę pują cymi  zależ noś ciami: (4.8) gdzie (4.9) 0 P o  prostych,  lecz  pracochł onnych przekształ ceniach  pochodne  czą stkowe  energii  po- tencjalnej  wzglę dem  współ rzę dnych  uogólnionych  r- tego  sztywnego  elementu  skoń czonego przyjmują   postać: "  6 (4.10)  Ę L  ,=   V  V ^ f qv gdzie  br s \ v są   wyrazam i  bloków  [Br'p]  macierzy  [B]. Bloki  te  skł adają   się   z  czterech  mniej- szych  bloków  [Hr a ]P,] (4.11)  [Br'p]  = 508  J.  RRU SZEWSKI Bloki  [Haip]  należ ą ce  do  bloków  [Br'r],  które  leżą  n a  przeką tnej  macierzy  [B] {p  =  r), oblicza  się  z  nastę pują cych  zależ noś ci: u  e'- p (4.13)  [H[;r 2 ]  = (4.14) (4.15) Bloki  [Br'r]  są  symetryczne  wzglę dem  swoich  przeką tn ych.  Zawierają  one  wyrazy zł oż one  z  param etrów  r- tego  sztywnego  elementu  skoń czonego  i  param etrów  doczepio- nych  do  niego  elementów  sprę ż ystych.  Każ dy  ze  sztywnych  elementów  skoń czonych  m a więc  jakby  swój  odpowiednik  w  postaci  bloku  [Br>r]. Bloki  W u,p] należ ą ce  do  bloków  [Br>p],  które  leżą  n ad  gł ówną  przeką tną  macierzy [B] (p  >  r) ,  oblicza  się  z  zależ noś ci Ci (4.16)  [flftł ]  =   -   £ (4.17)  [HJ'5]  = (4.18)  [HSfi]  = (4.19)  [H Sf2]  = Bloki  te  zawierają  wyrazy  zł oż one  z  param etrów  elementów  sprę ż ystych  poł ą czenia mię dzy  r- tym  i ^- tym  sztywnym  elementem  skoń czonym  oraz  z  param etrów  sztywnych elementów  skoń czonych,  zł ą czonych  za  pomocą  tego  poł ą czenia.  Każ de  z  poł ą czeń  ł ą- czą cych  dwa  sztywne  elementy  skoń czone  ma  zatem  jakby  swój  odpowiednik  w  postaci bloku  [Br'p].  Bloki  [B"- r] =   [Br- Vf,  a  więc  macierz  [B] jest  symetryczna  wzglę dem  gł ów- nej  przeką tnej. Wstawiając  zależ noś ci  (4.3)  i  (4.10)  do  równ ań  Lagran ge'a  (4.1)  uzyskuje  się  dla  każ- dego  sztywnego  elementu  skoń czonego  ukł ad  sześ ciu  jedn orodn ych  równ ań  róż niczko- wych.  U kł ad  ten  m a  nastę pują cą  p o st ać: u (4.20)  [AT] • {&}+£  [B'- p] •  {Q"}  =  0. i Z ASTOSOWAN I E  M ETOD Y  SZ T YWN YC H   ELEM EN TÓW  SKOŃ C Z ON YCH   509 U kł adów  takich jest  oczywiś cie  tyle,  z ilu sztywnych  elementów  skoń czonych  skł ada się rozpatrywany  ustrój.  D la cał ego ustroju  moż na więc uł oż yć n = 6« jednorodnych równań róż niczkowych,  które  należy  zapisać  w  nastę pują cy  sposób: (4.21) Rozwią zanie  takiego  ukł adu równań róż niczkowych  zakł ada się w postaci harmonicznej (4.22)  {Q} =  {S}sinojr. P o  wstawieniu  zależ noś ci  (4.22)  do ukł adu równań  (4.21)  uzyskuje  się, po uproszcze- niu  przez  wspólny  czynnik  sincur,  ukł ad  n jednorodnych  równań  algebraicznych  o nastę- pują cej  postaci: (4.23)  ( [ 5 ] - [ M K K S}  =  0. Są  to  równania  ruchu,  a  macierz  charakteryzują ca  je  przybiera  postać (4.24) Jak  wiadomo,  ukł ad  jednorodnych  równań  algebraicznych  ma tylko  wtedy  rozwią za- nia  nietrywialne,  jeż eli  wyznacznik  macierzy  [D] jest  równy  zeru.  Wł asność tę wykorzy- stuje  się w  obliczeniach  czę stoś ci  drgań  wł asnych  i  odpowiadają cych  im postaci  drgań w  oparciu o rachunek macierzowy.  W tym celu  macierz  [D]  przekształ ca się w ten sposób, aby  współ czynniki  przy  a>2  był y  równe  jednoś ci,  a  wyznacznik  tak przekształ conej  ma- cierzy  pozostał   równy  zeru.  D okonuje  się  tego  mnoż ąc  lewostronnie  i  prawostronnie macierz  [D] przez  macierz  współ czynników  przekształ cają cych  [G]. Tak  przekształ cona macierz  równań  ruchu  jest  równa (4- 25)  [/ > *] =  [G] •  [B].  [G] -   [G] •  [M]  •  [G] w2. Wyraż enie  [G] •   [M] •   [G] jest  macierzą  jedn ostkową.  Wprowadzając  oznaczenie (4.26)  [A] =  [G]- [B\ - [G], przekształ coną  macierz  równań  ruchu  moż na  przedstawić  w  postaci (4.27)  [D*] =  [A]- [IW. Ponieważ  wyznacznik  macierzy  [£>*] jest  nadal  równy  zeru,  obliczenie  czę stoś ci  drgań wł asnych  rozpatrywanego  ustroju  sprowadza  się do znalezienia  wartoś ci  wł asnych  ma- cierzy  [A], zwanej  dalej  przekształ coną  macierzą  stał ych  skł adników  równań  ruchu. Ze wzoru  (4.26) wynika,  że wyraz macierzy  [A], leż ą cy  w ż - tym wierszu  ij- tej  kolumnie oblicza  się  dzieląc  analogiczny  wyraz  macierzy  [B] przez  iloczyn  pierwiastków  kwadra- towych  z  mas uogólnionych  o  wskaź nikach  i  i  j (4.28)  (Ju- ^kr. W  praktyce  tylko  niektóre  ustroje  wymagają  tak  ogólnego  modelu  obliczeniowego. Rzeczywisty  ustrój  moż na  najczę ś ciej  zastą pić  ukł adem, w którym  centralne gł ówne  osie bezwł adnoś ci  wszystkich  sztywnych  elementów  skoń czonych  i  gł ówne  osie  sztywnoś ci 510  -   J.  KRU SZEWSKI wszystkich  elementów  sprę ż ystych  są  odpowiednio  wzglę dem  siebie  równolegle.  P roces obliczeń  wyrazów  macierzy  [A]  znacznie  się  wtedy  upraszcza,  ponieważ  macierze  kosi- nusów  kierunkowych  stają  się  macierzami jedn ostkowym i.  D la niektórych  ukł adów m oż na pon adto  stosować  sztywne  elementy  skoń czone  o  trzech,  dwóch  lub  o  jedn ym  stopn iu swobody. U kł ady  zł oż one  ze  sztywnych  elementów  skoń czonych  o  trzech  stopn iach  swobody {q\ ,  ą \ ,  qr 6 ) stosowano  przy  obliczaniu  drgań  kadł uba w  pł aszczyź nie pionowej,  z  uwzglę d- nieniem  drgań  wzdł uż nych  n adbudówek,  symetrycznej  platformy  «pł ywają cej»  z  urzą dze- niam i  oraz  pł askiej  ram y  n a  podporach  sprę ż ystych. U kł ady  zł oż one  ze  sztywnych  elementów  skoń czonych  o  trzech  stopn iach  swobody (  <74>  Is)  stosowano  przy  obliczaniu  drgań  rusztów  i  pł yt. U kł ady  zł oż one  ze  sztywnych  elementów  skoń czonych  o  dwóch  stopn iach  swobody (   r]  leż ą cy  n a  gł ównej  przeką tnej  macierzy  [A] jest  odpowiednikiem  r- tego sztywnego  elementu  skoń czon ego.  Bloków  takich  jest  tyle,  z  ilu  sztywnych  elementów skoń czonych  skł ada  się   rozpatrywan y  ustrój. 3.  Blok  [Ar'p]  leż ą cy  n ad  gł ówną   przeką tną   macierzy  [A] jest  odpowiednikiem  poł ą - czenia  mię dzy  r- tym  a p- tym  sztywnym  elementem  skoń czonym.  Bloków  takich  jest  tyle, Rys.  4. U kł ad zł oż ony z czterech sztywnych  elementów  skoń czonych 512  J.  K R U SZ E WSK I He  poł ą czeń  mię dzy  sztywnymi  elementami  skoń czonymi  posiada  rozpatrywany  ukł ad. Blok  ten  leży  w  r- tym  paś mie  poziom ym  i  p- tym  paś m ie  pionowym  macierzy  [A]. 4.  Poł ą czenia  mię dzy  sztywnymi  elementami  skoń czonymi  a  ostoją   n ie  posiadają swoich  odpowiedników  w  postaci  niezerowych  bloków  [A'1"]. 5.  Pozostał e klatki  są   blokami  zerowymi.  Leżą   one na przecię ciu  się   pasm  o num erach równych  num erom  sztywnych  elementów  skoń czonych,  nie  poł ą czonych  ze  sobą . D la  zilustrowania  metody  ukł adan ia  macierzy  [A]  przedstawiono  na  rys.  4  ustrój zł oż ony  z  czterech  sztywnych  elementów  skoń czonych.  M acierz  [A]  tego  ustroju  m a nastę pują cą   postać: (4.30)  [A]  = [A1'1]  [A"- 2]  [0  ]  [0  ] [A 2 - 2 ]  [A 2 - *]  [A 2 - *] [A 3 - 3 ]  [A^ ] [A*- *] 5.  C zę stoś ci  drgań  wł asnych  i  odpowiadają ce  im  postacie  drgań Znają c  przekształ coną   macierz  stał ych  skł adników  równ ań  ruchu,  obliczenie  czę stoś ci drgań  wł asnych  sprowadza  się   do  wyznaczenia  wartoś ci  wł asnych  tej  macierzy.  Wartoś ci wł asne  są   bowiem  kwadratam i  czę stoś ci  koł owych  drgań  wł asnych  [patrz  wzór  (4.27)]. Jedną   z  najlepszych  metod  wyznaczania  wartoś ci  wł asnych  w  zastosowaniu  do  obli- czeń  czę stoś ci  drgań jest  m etoda  H ouseholdera.  Autor  stosował  ją   z  niewielkimi  zm iana- m i  we  wszystkich  program ach  wykorzystują cych  metodę   sztywnych  elementów  skoń czo- nych.  Polega  on a  na  przekształ ceniu  macierzy  [̂ 4]  do  postaci  trójprzeką tniowej  (kodia- gonalnej).  D okonuje  się   tego  n a  drodze  szeregu  przekształ ceń  ortogonalnych  [ 3 , 7 , 8 ] . Wartoś ci  wł asne tak  uzyskanej  macierzy  trójprzeką tniowej  są   równe  wartoś ciom  wł asnym macierzy  wyjś ciowej.  Oblicza  się  je  w  prosty  sposób  metodą   tak  zwanej  bisekcji. G ł ówną zaletą   metody  H ouseholdera w  poł ą czeniu z  metodą   bisekcji jest jej  duża  stabilność  i nie- zawodnoś ć,  a  pon adto  moż liwość  obliczania  tylko  wybranych  wartoś ci  wł asnych. Wektory  formy  drgań  oblicza  się   mnoż ąc  lewostronnie  wektory  wł asne  macierzy  [A] przez  macierz  przekształ cają cą   [G] (5.1)  {S }- [ G ] . {!F }. Tak  wię c  w  celu  obliczenia  / - tej  skł adowej  postaci  drgań  należy  /- tą   skł adową   wektora wł asnego  macierzy  [A]  podzielić  przez  pierwiastek  kwadratowy  z  odpowiadają cej  masy uogólnionej (5- 2)  ft—fc. j/ m , Wektory  postaci  drgań  normuje  się  jeszcze  przeważ nie  w  ten  sposób,  aby  m aksym alne moduł y  ich  skł adowych  był y  równe  jednoś ci. Przy  obliczaniu  wektorów  wł asnych  macierzy  [A]  autor  we  wszystkich  opracowywa- nych  przez  siebie  programach  stosował   metodę   WILKIN SON A  [9]. ZASTOSOWANIE  METODY  SZTYWNYCH  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH 515 6.  Dokł adność metody D okł adn ość  m etody  sztywnych  elementów  skoń czonych,  pomijają c  bł ę dy  wynikają ce z  dział ań  num erycznych,  uzależ n iona  jest  od  gę stoś ci  podział u  ukł adów  cią gł ych.  D la stwierdzenia  dokł adn oś ci  m etody  wykon an o  obliczenia  dziewię ciu  czę stoś ci  drgań  wł as- nych  belki  swobodnej,  dzielą c  ją   n a  róż ne  liczby  sztywnych  elementów  skoń czonych. Wyniki  obliczeń  porówn an o  (patrz  rys.  5)  z  wynikam i  uzyskanymi  ze  wzoru  CSU PORA [2].  Wzór  ten  m oż na  uzn ać  za  bardzo  dokł adn y, ponieważ  uwzglę dniono  w  nim  wpł yw sił   stycznych  i  wpł yw  m asowych  m om en tów  bezwł adnoś ci.  Z  rys.  5  wynika,  że  m etoda - 5 - A - 2 1  - —  1— z  \ < \ ^ -=  '-— 6  \ \ n i I9 \ \   \ \ — \ m V — 8 1 0 12 14 16 Rys.  5.  Bł ą d  obliczeń  czę stoś ci  drgań  wł asnych  swobodnej  belki  pryzmatycznej  w  zależ noś ci  od gestos'ci jej  podział u sztywnych  elementów  skoń czonych  daje  dobre  rezultaty  nawet  przy  niezbyt  gę stym  po- dziale  belki.  T ak  wię c  n p.  przy  jpodziale  na  10  sztywnych  elementów  skoń czonych  bł ą d obliczeń  pierwszych  czterech  czę stoś ci  drgań  wł asnych  jest  mniejszy  od  1%.  Wykonano również  obliczenia  drgań  wł asnych  prostoką tn ej  pł yty  podpartej  swobodnie  n a  krawę - dziach,  dzielą c  ją   n a  25  sztywnych  elementów  skoń czonych.  Bł ą d  pierwszej  czę stoś ci drgań  wł asnych  w  stosun ku  do  m etody  tradycyjnej  wynosi  poniż ej  3%. W  Z akł adzie  D yn am iki  C en traln ego  Oś rodka  Konstrukcyjno- Badawczego  Przemysł u Okrę towego  w  G dań sku  wykon an o  badan ia  modelowe  drgań  platformy  «plywają cej» z jedn ym  i  z  dwom a  urzą dzen iam i. W  tablicy  1 zestawiono  bł ę dy  obliczeń  czę stoś ci  drgań wł asnych, wykon an ych  m etodą   sztywnych  elementów  skoń czonych  z  wynikami  uzyskany- mi z  wspom nianych  pom iarów  modelowych.  Stwierdzono  również  bardzo  dobrą   zgodność obliczonych  postaci  drgań  platform y  z  postaciam i  uzyskanymi  z  pom iarów. P on adt o  obliczono  czę stoś ci  pion owych  drgań  wł asnych  kadł uba  zbiornikowca  o noś- noś ci  53000  D WT ,  dzielą c  go  n a  21  sztywnych  elementów  skoń czon ych .J^ane  dotyczą ce 514 J .  K R U S Z E WS K I T ablica  1.  Z estawien ie  bł ę dów  obliczeń  czę stoś ci  d rgań  wł asn ych ,  wykon an ych  m et odą   sztywn ych elem en tów  skoń czon ych  z  wyn ikam i  uzyskan ym i  z  p o m iaró w  m odelowych  plat fo rm y  «plywają cej» St o p ień  d r ga ń (5 0/ / o jedno  urzą dzenie dwa  urzą dzenia 1 1,9 - 0,4 2 2,2 0,0 3 - 2,1 0,2 4 - 0,2 - 2,6 5 0,7 4,7 6 1,4 4,1 7 — 0,3 8 — - 0,5 9 — 1,7 wszystkich  param etrów  statku  potrzebn ych  do  obliczeń  oraz  wyniki  pom iarów  zaczerp- nię to  z  pracy  [1].  Wartoś ci  bł ę dów  d  umieszczono  w  tablicy  2. Tablica  2. Zestawienie  bJę dów  obliczeń  czę stoś ci  drgań  wJasnych,  wykonanych  metodą sztywnych  elementów  skoń czonych  z  wynikami  pomiarów  kadł uba  zbiornikowca Stopień drgań <5% 1 0,5 2 0,2 3 2,1 4 2 9 — 6 3,1 7 5,1 8 8,0 7.  Wnioski 1.  M etoda  sztywnych  elementów  skoń czonych  pozwala  ują ć  w  jeden  algorytm  obli- czenia  czę stoś ci  drgań  wł asnych i  odpowiadają cych  im  postaci  drgań  dowolnych  ukł adów o  charakterystykach  liniowych. 2.  Przy  obliczaniu  macierzy  równ ań  ruchu  nie  m a  potrzeby  wyprowadzan ia  tych  rów- nań,  opracowano  bowiem  zasady  umoż liwiają ce  budowan ie  tych  macierzy  w  sposób autom atyczny. 3.  D okł adn ość  m etody,  nawet  przy  niezbyt  gę stym  podziale  rzeczywistego  ustroju na  sztywne  elementy  skoń czone, jest  dla  celów  praktycznych  bardzo  dobra. 4.  Stosują c  metodę   sztywnych  elementów  skoń czonych  m oż na  przeprowadzać  obli- czenia  ukł adów  zł oż onych, dla  których  metody  tradycyjne  są   zbyt  pracoch ł on n e  lub  nie- kiedy  nawet  niemoż liwe  do  zastosowania. 5.  M etoda  jest  przeznaczona  do  wykonywania  obliczeń  za  pom ocą   elektronicznych maszyn  cafrowych.  P rzygotowanie  danych  jest  proste,  a  proces  obliczeń  zautom atyzo- wany,  w  zwią zku  z  czym  wiele  skom plikowanych  obliczeń  mogą   wykonywać  pracownicy techniczni  nie  posiadają cy  wię kszego  przygotowan ia  teoretycznego. 6.  Czas  potrzebn y  do  przeprowadzen ia  obliczeń  jest  w  porówn an iu  do  innych  m etod bardzo  krótki. 7.  Omówiona  m etoda  znalazł a  szerokie  zastosowanie  w  polskim  przemyś le  okrę to- wym,  szczególnie  przy  projektowaniu  najnowszych  rozwią zań  konstrukcyjnych. 8.  M etodą   sztywnych  elementów  skoń czonych  m oż na  również  obliczać  czę stoś ci  drgań wł asnych  i  odpowiadają ce  im  postacie  drgań  wszelkiego  rodzaju  ram ,  rusztów  i  pł yt o  zmiennych  przekrojach  poprzecznych  i  nierównom iernie  rozł oż onej  m asie,  z  uwzglę d- nieniem  wpł ywu  sił   stycznych  i  masowych  m om en tów  bezwł adnoś ci. ZASTOSOWANIE  METODY  SZTYWNYCH  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH   515 Literatura  cytowana w tekś cie 1.  G .  AN DERSON ,  K.  N ORRAN D ,  A  method for  the calculation  of  veritical  vibration  with several nodes  and some  other aspects of  ship  vibration,  RIN A, (1969). 2.  D .  CSU POR,  Methoden zur  Berechnung  der freien  Schwingungen  des Schiffskorpers,  Jahrbuch  der  STG , 50  Band, (1956). 3.  A. S.  HOUSEHOLDER,  F . L.  BAU ER,  On  certain  methods  for  expanding the  characteristic  polynomial, N umerische  M eth.,  N r  1 (1959). 4.  J. KRU SZEWSKI,  Obliczenia drgań skrę tnych okrę towych  ukł adów napę dowych.  Opis programu N r 27- T W D na  EMC  Elliott  803,  Wyd.  wewn.  COKB  G dań sk (1964). 5.  J. KRU SZEWSKI, Obliczenia drgań skrę tnych rozwidlonych ukł adów napę dowych. Opis programu N r 29- T W D na  EMC  Elliott  803,  Wyd.  wewn.  COKB  G dań sk (1964). 6.  J.  KRU SZEWSKI,  Obliczenia  drgań konstrukcji okrę towych za pomocą  sztywnych  elementów  skoń czonych o pię ciu podstawowych kombinacjach stopni swobody. Wyd. wewn. Zakł . Mech. i Wytrz. M at.  P G ,  (1969). 7.  J.  KRU SZEWSKI,  Z .  POWIERZA,  Optymalizacja macierzy dynamicznych  - równań  ruchu ukł adów  napę do- wych ze wzglę du  na  czas potrzebny  do  wyznaczenia czę stoś ci skrę tnych drgań wł asnych, Zbiór Prac WSMW, N r  21  (1968). 8.  J. H .  WILKIN SON ,  Householder''s  method for  the  solution  of  the  algebraic eigenproblem,  Computer J., N r  3  (1960). 9.  J. H .  WILKIN SON ,  T he calculation  of  the  eigenvectors  of  codiagonal matrices,  Computer  J., N r 7  (1958). P  e  3  io  M  e riP H M E H E H H E  M E TOflA  >KECTKHX  KOH E^IH BIX  3J I E M E H T 0B K  P AC TE TAM   ^ AC T O T  COECTBEH H BIX  KOJIEEAH H H   CY^OBLIX  C H C TE M MeTOfl  >KeCTKHX KOHCKIblX  3JieMeiIT0B  COCTOHT B  3a!YieHe  AeHCTBHTeJIbHOH  KOHCTpyKIJHH CHCTeMOH   H efleibopM H pyeM bix  Ten  (>iKHy  co6oft  H U H c  ocHOBaHHeiw  HeBecoMbiMH   yn p yriiM H   3JieMeHTaMH   c  JraneHHMiWH   xapaKTepncTHKaiWH.  Pa3pa6oTain>r anropH TM M   pac^ieTOB  M aTpn ^H bix  yp aBH em M  flBH >KeH H H . MeTOfl  n pH cn ocoBn eH  K  n poBeflem tio  p a c «e - T O B  c  n oM om bio  3 B I J M .  H a  n pH M epe  CBo6oflH oń  npH SM aTH ^ecKoii  6ajn