Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA  . I  STOSOWANA 1,8(1970) WYZNACZENIE  POLA  TEMPERATURY  I  POLA  STRUMIENIA  CIEPLNEGO W  PRZEG ROD ZIE  WIELOWARSTWOWEJ PRZY  H ARMON ICZN IE  ZMIENNYM   PRZEPŁYWIE  CIEPŁA WŁADYSŁAW  T O M C Z A K ,  ŁUCJA  B U L Z A K - M R O Z O W S KA  (WROCŁAW) Waż niejsze  oznaczenia a  współ czynnik wyrównywania  temperatury, [m2/ s] .  ."  funkcje  Thomsona rzę du  n c  ciepł o wł aś ciwe,  [J/ kg  grd] j  jednostka  urojona ,  ."  funkcje  Thomsona rzę du n KSl n z ą   amplituda zespolona fali  strumienia cieplnego,  [W/ m2] q{r, x)  chwilowa  wartość  strumienia cieplnego,  [W/ m2] r  współ rzę dna, [m]  , t  amplituda zespolona  fali  strumienia cieplnego,  [°C] t(r, r)  chwilowa  wartość fali  temperatury,  [°C] A,  B  stał e cał kowania F  powierzchnia,  [m2] M, N , P, Q  patrz wzory  (5) i  (6) oraz tablica  2 R  współ rzę dna powierzchni  ograniczają cej  warstwę   przegrody  zł oż onej, [m] V  obję toś ć,  [m3] W   opór cieplny  [m2  grd/ W] a  współ czynnik przejmowania  ciepł a,  [W/ m2  grd] A  współ czynnik przewodzenia  ciepł a,  [W/m  grd] Q  gę stoś ć,  [kg/ m3] T  czas,  [s] w  czę stotliwość  ką towa,  [1 /s] I n deksy: a  dotyczy  powierzchni napł ywu  fali b  dotyczy  powierzchni  odpł ywu  fali k  numer warstwy  przegrody  n- warstwowej 1.  Wprowadzenie Spoś ród  wielu  zagadn ień  zwią zanych  z  nieustalonym  przewodzeniem  ciepł a,  analiza przepł ywu  fal  tem peratury  i  zwią zanych  z  nimi  fal  strumienia  cieplnego  zasł uguje  n a  szcze- gólną   uwagę .  G ł ówn ym  powodem  wyróż niają cym  ten  problem  spoś ród  wielu  innych  jest fakt,  że  dowolną   funkcję   okresową ,  a  wię c  także  i  tem peraturę   zmieniają cą   się   okresowo w  czasie  moż emy  rozł oż yć  w  szereg  F ouriera,  bę dą cy  sumą   h arm on ik  o  róż nych  ampli- 28  W Ł ,  T O M C Z AK ,  L.  BU L Z AK - M R O Z O WS KA tudach,  fazach  i  czę stotliwoś ciach  ką towych.  Tak  wię c  harm on iczn e fale  tem peratury  są podstawowymi  elementami,  z  których  m oż na  zbudować  funkcję   wyznaczają cą   dowolną okresową   zmianę  tem peratury. Rozwią zania  tego  typu  dla  pół przestrzeni znaleź ć  moż ną   w  pracy  [6]. Z n an e  są   także rozwią zania  dla  przegród  wielowarstwowych  pł askich, cylindrycznych  i  oporów,  podają ce zwią zek  pomię dzy  amplitudami  zespolonymi  fal  tem peratury  i  strumienia  cieplnego  n a powierzchniach  ograniczają cych  te  przegrody  [1].  W  pracy  [7]  przeprowadzon o  analizę zagadnienia  symetrii  przepł ywu  ciepł a w  pł askich przegrodach  zł oż onych.  Opracowan ie  [8} poś wię cone jest wyznaczeniu  ustalonych pól tem peratury i  strum ienia cieplnego  w  przegro- dach zł oż onych z wewnę trznymi  ź ródł ami  ciepł a.  Brak jest  dotychczas  opracowań uwzglę d- niają cych  pojemnoś ci  cieplne  o  zerowym  oporze  przewodzenia  oraz  wzorów  wyznaczają - cych  chwilowe  wartoś ci  tem peratury  i  strumienia  cieplnego  w  dowolnym  r- tym  pun kcie k- ttj  warstwy  przegrody  / ^- warstwowej.  N iniejsza  praca  poś wię cona  jest  rozwią zaniu tych  wł aś nie zagadnień. 2.  R ówn an ie dla  przegrody  wielowarstwowej Rozwią zanie  równania  przewodzenia  ciepł a dt(r,r) _  U- ldt{r,T )  d 2 t 2 t(r,r)\ dr 2   ]' gdzie /?  =   1 dla przegrody  pł askiej, j? =   2 dla przegrody  cylindrycznej  i /? =   3 dla  przegrody sferycznej,  przy  zał oż eniu  harmonicznie  zmiennej  tem peratury  w  otoczeniu  (lub  n a  p o - wierzchni  r  =   R„) m oż na przedstawić  w  postaci  [1] (2.2)  t(r,  T)  =   [AE(r) +BF(r)]exp  iwr. Po  zastosowaniu  do  równaniu  (2.2) prawa  F ouriera „ . ,  ,  s  ,  St{r,  T) (2.3)  q(r,r) =  ~X  ^ otrzymamy  wzór  okreś lają cy  wartość  strumienia  cieplnego (2.4)  q(r, t )  =   [ i< Ą ( r ) + J Ą ( r ) ] e xpion . F unkcje  E{r),  F(r), E x (r) t   F x (r)  dla /9  =   1, 2, 3 podan e  są   w  tablicy  1.  Symbole  A  i  B  ozna- czają   stał e cał kowania. Wyraż enia  znajdują ce  się   w  nawiasach  kwadratowych  prawych  stron  równ ań  (2.2) i  (2.4)  okreś lają   odpowiednio  am plitudy  zespolone  fali  tem peratury  i  fali  strum ienia cieplnego.  W  dalszym  cią gu  operować  bę dziemy  am plitudam i  zespolonymi  pomijają c czł on  expm>t wymuszają cy  okresowość  zjawiska  [1]. Przyjmują c  w  równaniach  (2.3)  i  (2.4)  r =   R aA   moż emy  wyznaczyć  stał e  A  i  B.  P o przeprowadzeniu  przekształ ceń,  amplitudy  zespolone  fali  tem peratury  i  fali  strum ienia cieplnego  n a  powierzchni  napł ywu tych  fal  moż emy  wyrazić  poprzez  am plitudy  zespolon e na  powierzchni  odpł ywu (2.5)  ' «, i- - Mi (2.6)  q a ,i  =  P i t Wielkoś ci  M,  N ,  P  i  Q  przedstawiono  w  tablicy  2.  Wskaź nik  «  dotyczy  powierzchni  n a- pł ywu,  a wskaź nik  b —  powierzchni  odpł ywu  fal. £ « §  F(r) P rze gro da JS  = 4v 4v 0  <  r  s pł aska 1 '? / ?) Tablica I. Funkcje równań (2.2) i (2.4) Przegroda  cylindryczna /   /   ico  i /   /   ico  i -   /   /co  /   /   /co \ A Przegroda  sferyczna ^  =  3 — sh 1 r y  —  j .. /   ico , 1 .. /   ico\   A 1/   —ch  r l /  —  sh 1/   —sh  c l /  —  ch y a \ y a j r Ra  *Z  Y  <  Rj, f  /  Ico \ ' "1/  —1 Tablica 2. Rzeczywiste  i urojone czę ś ci elementów macierzy  róż nego rodzaju  warstw 1 R e M k ImAA l m N k Przegroda  pł aska 2 chrfcosd shrfsinrf R R 2ld —  ć hdsiń d] Przegroda  cylindryczna 3 —^ r  [berzfl(kei, z6—kerj  zt) + ]/ 2 + b e r , Jb(kei z f l + ke r za)  + — bei zo(keiI zj +  ker t z^ ) Ą - — beij z{,(kei za—ker z0)] —i— [berzo(kei1zj+ kerIzfc)  + y  2 + b e r ,  Z(,(keiza—kerza)- f- + be i za(kei1 zb—ker,  zj) - )- + beijZ i,(keizfl—kerzo)] — b e r z a ke iz 6  —beizjkeizj Rb —  [berzjkeiza+ beiz(,kerza+ A — berzokeizfc — beizflkerzfc] Przegroda  sferyczna iS  =   3 4 1 2JR &Z H   — ch/ jcos/ ; (chAsinA—shAcosA)  + 2i?frz   J Ą   sh/ isinA —  (shAcosA  +   chAsinA) (sh h cos h — ch h sin h) Opór — 5 1 0 W 0 Pojem- ność — 6 1 0 0 0 1 R e Ą Re£>* 2 A i? —ch ć / sin tf] d[shdcosd+ R ć hdcosd / 3  '  • kz\  [be^ z6 ker, z„  +  ber, z o ker, zb  + +  bei, z„  kei, z b —bei,  zt.kei, zo] + 6ei"i zofceri z;,—bei; zb  kerlz^ \ —T =^ [ber zj,(kei, zo—ker, za)  + + ber [ z„(kei z b +ker  z b ) + —beizj(kei1za- )- kerIza) + —bei, za(kei z6—ker z6)] l~   [berzjfkeijZ a+ ker,  z a ) + + ber, za(kei zb — ker z;,) + + b e i Zf,(kei, z a —kex x   z a )+ +  bei,za(kei,zh—kerjZj,)]  . 4 A —- — (shftcos/ z  + ch/ isin/ ;) + 7?6z ,  R a + Az  (ch/ isin/ ; — shftcosA) + ——chhcosh •   A —- —( c h Asi nń — sh «c o sft )  + —Az—— (ch Asin A +  sh Aco s/ 0  + KRb- Ra)  . . . . sh /; sin h Rl +  sh/ icos/ i) ——  shA sinA  —-  (ch/ i sinA  + — sh / zcos/ 0 .- «- «!/ £=   « =  , / ! 5 0 0 1 0 6 0 ~Fa 0 J2 — grubość  warstwy  {R b  - R a )  ~~ grubość  warstwy  (- K& - J ?a ) — grubość  warstwy a :  Współ czynniki w  podan ych w  tablicy  wzorach  dotyczą  warstwy  k, ze wzglę du  n a uproszczenie  zapisu  pom in ię to  przy  nich indeks k. 32 WŁ .  TOMCZAK,  L.  BU LZAK- MROZOWSKA U kł ad  równań  (2.5),  (2.6) przedstawić  moż na  w  postaci  macierzowej,  [1, 2, 5]: K i l  \ M t   N {\ \ t bll ](2-7)  LhU JLJ- Wartoś ci  M u   N lt   P t ,  Q x   dla /? =   1, 2, 3 przedstawiono  w tablicy  2. Teorię  funkcji  Th om son a wystę pują cych  w  kolumnie  3 tej  tabeli  znaleźć  m oż na  w  pracy  [3]. \   \ 5b,k- 1- ?a,k Rys.  1.  Przegroda  ^- warstwowa U- b,n Jeż eli  dan a jest  przegroda  skł adają ca  się   z  n  warstw,  pom ię dzy  którym i  nie  m a  oporu cieplnego,  czyli  kiedy  speł nione są   zwią zki  (rys.  1): (2.8) thkZteM qb,k  =  q„,k to  zależ ność  pomię dzy  am plitudam i fal  tem peratury  i  strum ienia  n a  powierzchniach  ogra- niczają cych  tę   przegrodę   moż emy  przedstawić  w  postaci  równ an ia  macierzowego (2.9) gdzie (2.10) M  N p  Q 3.  Macierzowe przedstawienie oporu Jeż eli  n a  styku  dowolnej  warstwy  k  i  k- \ -1  istnieje  opór  cieplny  W ,  to  bę dziemy  mieli a n a  - 1 u t  i oraz (3.2)  q b ,k  =  1a,k + i. P o  przekształ ceniach  ukł ad  równ ań  (3.1),  (3.2)  m oż na  zapisać  w  postaci  macierzowej (3.3) WYZ N AC Z E N I E  P O LA  TEM P ERATU RY  I  TŁ U M I E N I A  C I EP LN EG O  33 Opór  moż emy  zatem  traktować  jak  warstwę ,  której  pojemność  cieplna  równa jest  zeru. Współ czynniki  macierzy  tej  warstwy  są   liczbami  rzeczywistymi.  Typowym  przykł adem takiej  warstwy jest  opór przy  napł ywie fali  tem peratury  na powierzchnię  przegrody.  Równy on  jest  odwrotnoś ci  współ czynnika  przejmowania  ciepł a.  Elementy  macierzy  warstwy  — oporu  przedstawione  są   w  rubryce  5 tablicy  2. 4.  M acierzo we  przedstawien ie  pojemnoś ci  cieplnej N iech  bę dzie  dan a  warstwa  zbudowan a  z  materiał u  o  nieskoń czenie  mał ym  oporze przewodzenia  ciepł a.  P rzez  powierzchnię   F {   napł ywa  na  tę   warstwę   zmienny  w  czasie strumień  ciepł a  q x   exp KOT  powodują c  wzrost  tem peratury.  Jednocześ nie  z  powierzchni  F 2 odpł ywa  strumień  q 2   exp/COT  powodują c  jej  obniż enie.  Z  pewnym  przybliż eniem  za  taką warstwę  .uważ ać moż emy warstwę  pł ynu, którego  zmiany  temperatury są   stosunkowo  wolne w  czasie  [6]. Bilans  cieplny  dla  takiej  warstwy  przedstawiał   się   bę dzie  nastę pują co: (4.1)  JFJ q x  e xp iwi  dz — F 2  q 2  exp imx dx  =   CQV dt  ( T ) , gdzie  Kjest  pojemnoś cią   warstwy.  Przyjmujemy,  że  zmiany  temperatury  otoczenia na  gra- nicy  z  powierzchnią   F x   mają   charakter  harmoniczny.  H armoniczne  bę dą   także  zmiany tem peratury  w  warstwie, (4.2)  "  f(r)  =   ? explore. Oznaczają c  przez  t 1   am plitudę   zespoloną   fali  tem peratury  n a  powierzchni  F u   a  przez t 2   am plitudę   na powierzchni  F 2)   otrzymamy (4.3)  fj.fe- r. P o  zróż niczkowaniu  zależ noś ci  (4.2)  wzglę dem  czasu  i  uwzglę dnieniu  jej  w  równaniu (4.1)  oraz  po  przeprowadzeniu  dział ań  otrzymamy V  F 2 (4.4)  q x   =  i  t  + U kł ad  równ ań  (4.3),  (4.4)  m oż na  zapisać  w  postaci  macierzowej 1  [t 2 (4.5) 9 : 1  0 V  F 2 Elementy  macierzy  dla  warstwy  —  pojemnoś ci  przedstawiono  w  kolumnie  6 tablicy  2. W  celu  bliż szego  wyjaś nienia  rozważ ań  podan ych  w  rozdział ach  3  i  4  posł uż ymy  się nastę pują cym  przykł adem. Warstwa  k  (rys.  1)  przegrody  ^- warstwowej  o  pojemnoś ci  V  wypeł niona jest pł ynem o  cieple  wł aś ciwym  c k   i  gę stoś ci  Q k . Współ czynniki  przejmowania  ciepł a na powierzchniach .Fa.fc-i  i F b  R a ^ >  R b —R a   we wzory  dla  przegrody  pł askiej  przedstawione  w  ko- lumnie  2 tejże  tablicy. Tak  wię c, przegrodę   pł aską   (kolumna 2) moż emy  traktować jako  szczególny  przypadek przegród  cylindrycznej  i  sferycznej.  M a  on  miejsce  wtedy,  kiedy  mamy  do  czynienia  z  du- ż ymi  zmianami  krzywizn.  Z  dobrą   dokł adnoś cią   moż emy  przyją ć,  że  m a  t o  miejsce  dla la   > Przyjmują c  w zależ noś ciach podan ych w  kolum nie  2,  3 i 4  CQ  =   0, czyli  a  =   Xjcq =   co, przy  przejś ciu  do  granicy  otrzymamy  zależ noś ci  uwidocznione  w  kolum n ie  5.  Jest  to zupeł nie  zrozumiał e, ponieważ  zał oż enie  CQ  =  0  oznacza,  że  pojemność  cieplna  przegrody jest  równ a  zeru,  a wię c  mamy  do  czynienia  tylko  z  oporem . Wreszcie  przyjmują c,  że  opór cieplny jest równy zeru, czyli że X =   co p o wyznaczeniu  granic z zależ noś ci  przedstawionych w  kolum nach  2,  3,  4  otrzymamy  zwią zki  dla  pojemnoś ci  przedstawione  w  kolum n ie  6. Opór  i  pojemność  cieplna  są   zatem  szczególnymi  przypadkam i  warstw  opisanych  wzo- ram i  w  kolum nach 2,  3 i  4. 6.  Wyznaczenie  chwilowej  wartoś ci  tem peratury i  strum ien ia  cieplnego W  dowolnym  punkcie przegrody  wielowarstwowej Zwią zek  pomię dzy  am plitudam i  n a  wejś ciu  i  wyjś ciu  w  przegrodzie  wielowarstwowej okreś lony  jest  równaniem  (2.9).  M oże  być  to  przegroda  skł adają ca  się   z  oporów,  pojem- noś ci  i  warstw  speł niają cych  równ an ie  F ouriera  przewodzenia  ciepł a.  Spoś ród  czterech am plitud  zespolonych:  t a ,i,  q a ,i,  t b „ + - ^-   te,A  exp/ cor. Znają c  am plitudy  zespolone zawarte  w nawiasach  kwadratowych  prawych  stron równań (6.5) i  (6.6) bez  t ru d u  wyznaczymy  am plitudy  rzeczywiste  oraz przesunię cia faz  fali tempe- ratury  i  strumienia  cieplnego. 7. Wnioski W  niniejszej  pracy  przedstawion o  m etodę   wyznaczania  pola  tem peratury  i  pola  stru- mienia  cieplnego  w  wielowarstwowych  przegrodach  pł askich,  cylindrycznych  i  sferycz- nych  przedzielanych  oporam i  i  pojemnoś ciami  cieplnymi,  przy  zał oż eniu  harmonicznej zmiany  tem peratury  n a  powierzchn iach  napł ywu.  Stosują c  rozwinię cie  w  szereg  F ouriera 36  WŁ . TOMCZAK, L.  BU LZAK- MROZOWSKA moż na  za  pomocą   przedstawionej  metody  wyznaczyć  pole  tem peratur  i  pole  strum ienia cieplnego  w  przegrodach  wielowarstwowych  przy  zał oż eniu  dowolnej  okresowej  zmiany temperatury  na jednej  z jej  powierzchni.  Obliczenia  te  wykorzystać  m oż na  przy zał oż eniu warunków  brzegowych  pierwszego,  drugiego  i  trzeciego  rodzaju,  a  także  przy  zał oż eniu mieszanych  warunków  brzegowych. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  H . S. CARLSLAW,  J. C.  JAEG ER, Conduction  of heat in solids,  Oxford  1959. 2.  T,  CH OLEWICKI, Analiza obwodów  elektrycznych,  WN T, Warszawa  1962. 3.  N . W. Mc  LACHLAN,  Funkcje Bessela  dla inż ynierów,  PWN , Warszawa 1964. 4.  L. BU LZAK- MROZOWSKA,  Analiza przepł ywu fal  temperatury  i fal  strumienia  cieplnego  w pł askich prze- grodach jedno-   i wielowarstwowych,  praca  doktorska,'  Wroclaw  1969. .  L. A.  PIPES,  Zastosowanie  rachunku macierzowego  w technice.  N owoczesna  matematyka  dla  inż ynierów, PWN ,  Warszawa 1962. 6.  B. STANISZEWSKI,  W ymiana  ciepł a.  Podstawy  teoretyczne,  PWN , Warszawa  1963. 7.  W.  TOMCZAK,  L.  BU LZAK- MROZOWSKA,  W yznaczenie  tł umienia  fali  temperatury w  wielowarstwowych ś cianach  osł onowych,  Arch.  Inż. Lą d.,  1/XIV, Warszawa  1968. 8.  W.  TOMCZAK,  Macierzowa  analiza  ustalonego pola temperatury w przegrodach  wielowarstwowych  z  we- wnę trznymi ź ródł ami ciepł a,  Arch.  Bud.  Masz., 4, 1969. P  e 3 io  M  e On P E flE JI E H H E  T E M T I E P AT yP H O rO  IIOJIR H  n O J M   T E I U I O BO rO  n O T O K A B  M H O r O C J I O ń H O ił   CTEH KE  ITPH   H 3M E H iH OI U , H M C ^ 110  rAP M OH JOTECKOM Y 3AK 0H Y  TE I D I OBOM   I 70T 0K E B  paG oxe  npuBOflHTCfl:  MeTOfl  onpeflejiemtfi  MrHOBeHHMx  3H aqeH nir  TeiwnepaTypLi  n  TenjiOBoro  n o - TOKa B npoH3BOJibHoii n- HOH  TomiKHOCTŁ  n ojiy^eiin n  pemeH H ft  fljia MH orocjioił H bK  njiocKHX,  u,HjiHHflpHHecKHX  H  ccbepmecKH X  CTCHOKJ  B npeflnojio>i