Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,8(1970) O  P RZ YBLIŻ ON YM  IN TEG RALN YM  OSZACOWAN IU   KU MU LACJI  PLAZMY P OD D AN EJ  D ZIAŁAN IU  KON CEN TRYCZN EG O  IM PU LSU   CIŚ N IEN IA SYLWESTER  K A L I S K I  (WAR SZ AWA) 1. Wstę p BASÓW  i  współ pracownicy  [1], jak  również  autorzy  pracy  [2]  zastosowali  uś redniony, integralny  opis  problem u  ekspansji  plazm y  deuterowej  poddanej  dział aniu silnego  impulsu laserowego.  Opis  ten, m im o  daleko  idą cych  uproszczeń,  doprowadził  do wyników  porów- nywalnych  co  do  rzę du  wielkoś ci  z  wynikami  eksperymentu  przeprowadzonego  cztery lata  póź niej  [3];  potwierdza  to  jego  przydatn ość  przy  jakoś ciowej  ocenie  parametrów w  procesie  nagrzewania  plazmy. Z ł oż on ość  m echanizm ów fizycznych  przy  impulsowym  laserowym  nagrzewaniu  plazmy [4, 5, 6] zmusza do wprowadzan ia  szeregu  zał oż eń i uproszczeń, co z kolei nie daje  pewnoś ci odn oś n ie  dokł adn oś ci  uzyskanych  wyników.  P oza  tym  m atem atyczna  analiza  procesów fal  uderzeniowych  przy  uwzglę dnieniu  skom plikowanych  mechanizmów  powierzchnio- wych,  strat  prom ien iowan ia  itd.  jest  niezwykle  zł oż ona  i  stanowi  ź ródło  dodatkowych formalnych  przybliż eń  rachun kowych.  W  zwią zku  z  powyż szym  m etoda  integralnego opisu  uś rednionego, ja k  to  wynika  z  porówn an ia  [1]  [7]  i  [3],  ma  okreś lony  praktyczny sens.  W  oparciu  o  powyż szą   m etodę   udał o  się   w  [8]  rozwią zać  zł oż ony problem  nagrze- wan ia  za  pom ocą   im pulsu  laserowego  plazmy  deuterowej  zawartej  w  gę stej  otoczce opóź- niają cej  proces  ekspansji  plazmy. M odel  integralnego  uś redn ion ego  opisu  plazmy  m oż na również  zastosować  z powodze- niem  i  do  problem u  kum ulacji  plazm y  poddan ej  dział aniu zewnę trznego, koncentrycznego im pulsu  ciś nienia.  Z agadn ien ie  to  przy  speł nieniu  warunków  samopodobień stwa  został o dla  kuli  bez  otoczki  rozwią zane  w  sposób  ś cisły  stosunkowo  dawno  (por.  [9,  10, ł l] ) . M etoda  integralnego  uś redn ien ia  stanowi  dla  kuli  bez  otoczki  daleko  bardziej  uprosz- czony  opis  zagadnienia  rozwią zanego  ś ciś le.  Jedn akże jej  zaletą  jest  t o , że jest  nieporówny- walnie  bardziej  prosta  oraz, i  to jest  najistotniejsze,  że m oż na ją   zastosować do  kuli  z otocz- ką ,  gdzie  rozwią zanie  ś cisłe  nie  istnieje  oraz  do  bardziej  zł oż onych ukł adów, dla  których rozwią zania  ś cisł ego  n ie  udaje  się   uzyskać  i  gdzie fizyka  wystę pują cych  zjawisk  jest  nader skom plikowana  (por.  [8]). T aka  sytuacja  może  mieć miejsce  n p . przy  kom bin owan iu przypadków  typu  [8] i niniej- szego.  W  zwią zku  z  powyż szym  rozpatrzym y  obecnie, w  oparciu  o  uś redniony  opis  inte- gralny,  rozwią zanie  problem u  kumulacji  plazmy  (z  otoczką   i  bez)  poddanej  koncentrycz- 38  S.  KALISKI nemu  impulsowi  ciś nienia,  zaś  w  nastę pnej  pracy,  bazują c  n a  rozwią zaniu  niniejszym oraz  [8], rozpatrzymy  bardziej  zł oż ony problem  kombinowany  nie  dają cy  się   potraktować ś ciś le. W  rozdziale  2 pracy  podan o równ an ia  wyjś ciowe  oraz  zał oż enia, w  rozdziale  3 rozwią - zanie problem u  oraz w  rozdziale  4 przykł ad liczbowy. 2.  Równania problemu Rozpatrzymy  kulkę   plazmową   o  prom ien iu  r 0 ,  poddan ą   koncentrycznem u  dział aniu impulsu  ciś nienia.  Przyjmiemy  wszystkie  zał oż enia  oraz  ograniczenia  analogiczne  do podan ych  w  pracach  [1]  i  [8],  tj.  zał oż enia  odnoś nie  strat  prom ien iowan ia,  przewodze- nia itd.,  jak  również  zał oż enia  dotyczą ce  relacji  pomię dzy  czasem  relaksacji  a  czasem tworzenia  procesu.  Przyjmiemy  za  pun kt wyjś cia  równ an ia  gazu  idealnego. Zgodnie  z  powyż szymi  zał oż eniami  skorzystamy,  dla  integralnego  opisu  uś rednionego naszego  zagadnienia,  z równań zachowania pę du i energii  w  postaci (2.1)  ^ (2.2)  - gdzie  oznaczono  przez  v  =   —  ś rednią   prę dkość  rozszerzenia  gazodynamicznego  (ku- mulacji),  r —  promień  kuli,  p  —  ś rednie  ciś nienie,  G—  ś rednią   masę   kuli  i  otoczki, Wzglę dnie  masę   samej  kuli  plazmowej1)  oraz  przez (2.3)  E=~- kN T energię  wewnę trzną   gazu,  przy  czym  T jest uś rednioną  tem peraturą , k —  stał ą  Boltzm an n a, N   —  cał kowitą   liczbą   czą stek  kuli  (kuli  i  otoczki). P oza  tym  obowią zuje  oczywiś cie uś redn iona relacja  stanu (2.4)  •   pV  =   kN T . N ależy  tutaj  zauważ yć,  że  w  uś rednionym  rozwią zaniu  integralnym  wpł yw  otoczki uwidacznia  się   tylko  w  zmianie  G,  co  stanowi  oczywiś cie  daleko  idą ce  uproszczenie  w  sto- sunku  do rzeczywistoś ci,  gdzie wskutek  niejednorodnoś ci powstają   odbite fale  uderzeniowe i  stron a  matematyczna zagadnienia  komplikuje  się   niepomiernie w  porówn an iu  z  [9]. W  zwią zku  z  powyż szym,  dla  uzyskania  realnych  oszacowań  należy  zał oż yć  niezbyt duże róż nice gę stoś ci  m ateriał u  otoczki i kuli  oraz stosunkowo  m ał e wymiary  geometryczne otoczki2). 3 ') W przypadku  zał oż enia stał ej gę stoś ci  i liniowej  zmiany  prę dkoś ci  wzdł uż prom ien ia mamy G =  —- G a izie  G o — masa  kuli. 2) D la  stanów  asymptotycznych  wyniki  bę dą   lepsze  dla  duż ych  róż n ic  gę stoś ci. O  PRZYBLIŻ ON YM   INTEG RALNYM   OSZACOWANIU  KUMULACJI PLAZMY  39 I nną   wersją   rozwią zania  m oże  być  oddzielne  uś rednione  rozwią zanie  dla  otoczki, a  n astę pn ie dla  kuli,  dla  której  warun ki  począ tkowe  (brzegowe)  wynikną   z rozwią zania  dla otoczki  przy  zał oż eniu okreś lonego  mechanizmu  oddział ywania, Ponieważ  taka  procedura stanowił aby,  z  pewnymi  modyfikacjami,  dwukrotn e  powtórzenie  procedury  rozwią zania niniejszego  —  pom iniem y ją ,  zwracają c  jedynie  uwagę   n a  to, że  takie  dwuetapowe  rozwią - zanie  był oby  ś ciś lejsze,  szczególnie  przy  znacznej  róż nicy  gę stoś ci  oś rodków.  Zakł adają c, że  r  =   r{t),  warun ki  począ tkowe  (odpowiadają   one również brzegowym)  bę dą   miał y postać r  =  r 0 , (2.5)  ,  d l a  t  =  Q. v  J   v  =  r  =  ~v 0 D o  warun ków  tych  winien  dojść  jeszcze  trzeci  warunek, jako  że  ukł ad  równań  (2.1),  (2.2) redukuje  się   do  równ an ia  trzeciego  rzę du  wzglę dem  r{t).  Ponieważ  warunek  ten  dotyczy drugiej  pochodn ej, wym aga  sprecyzowania  charakteru  impulsu  ciś nienia. Z ał óż my,  że  im puls  ten  m a  postać (2.6)  7= P ( ( ) < 500  lub  / =   lim  PAt  =  const. P—vco P rzy  takim  zał oż eniu v a   oraz  / b ę dą   z  sobą   zwią zane  relacją (2.7) Wo = 4 ' zaś  dla  r"  zał oż ymy (2.8) rft = 0. Warun ek  (2.8) jest  równ oważ ny  przyję ciu  stał ej  cał kowania równania  (2.2)  w  postaci: (2.9) co  odpowiada  energii  począ tkowej  ukł adu. Zał oż enie takie prowadzi jedn akże w przypadku  rozwią zania  uś rednionego do  rozwią za- n ia,  dla  którego  zm ian a  prę dkoś ci  r'(t)  fali  kumulacji  nastę puje  przy  r  =   0, co  oczywiś cie fizycznie  jest  niemoż liwe.  Przyję cie  im pulsu  w  postaci  (2.6) jest  dopuszczalne, jeż eli zał oży się ,  że  efekt  ten  został  wywoł any  niesprę ż ystym  zderzeniem  mas  i  masa  począ tkowa  ulega zwię kszeniu.  M asa  t a  m oże  poch odzić  n p .  od  m aterii  strugi  kumulacyjnej.  W  zwią zku z  powyż szym  w  miejsce  stał ej  energii  począ tkowej  (2.9)  przyjmiemy: (2- 10)  .  «̂ i, gdzie  a  >  1. Z ał oż enie  to  prowadzi  do  eliminacji  skrajnego,  nierealnego  przypadku  zmiany  prę d- koś ci  rozszerzenia  (kumulacji)  hydrodynam icznego  r'(t)  przy  r =   0. U kł ad  równ ań  (2.1),  (2.2),  (2.3),  (2.4)  z  warun kam i  począ tkowymi  (2.5)  i  (2.10)  sta- nowi  sform uł owanie  problem u.  Przejdź my  obecnie  do  konstrukcji  rozwią zania  ogólnego. 40.  S.  K AL I SK I 3.  R ozwią zan ie równ ań Wykorzystują c  (2.4)  i  podstawiają c  do  (2.3),  a  n astę pn ie  do  (2.2),  m oż emy  ukł ad równ ań  (2.1),  (2.2) zapisać  nastę pują co (3.1)  Gr"- 4m-1p =  0, I  r' r  3  V (3.2)  ^ }~-   + jpVJ  = 0 . 4 M ają c  n a  uwadze, że  V =  ~^ nrl  oraz, że  na podstawie  (3.1) (3.3) otrzymujemy  po (3.4) lub (3.5) Cał kują c  (3.5) i (3.6) lub (3.7) P o  dwukrotnym podstawieniu  do (3. uwzglę dniając  (2.10) scał kowaniu  mamy P  = 2) G  , a Gr" Anr 2 ' Vrr")' -   0 r = o. znajdujemy ~ ( ' - 2 ) ' (z- 2)" zatem =   2a.v\ . (3.8)  r  = N a  podstawie  pierwszego  z  warunków  począ tkowych  (2.5) m am y (3.9)  Co  =   Ą \ zaś  z  drugiego  obliczamy n  irv>  r (3.10)  [; VAT  f  C t  + 2avlt  1 (3.11)  C x  = Stą d  ostatecznie  otrzymujemy (3- 12)   r (t)  =  \ / rJ- (3- 13)  r '( 0  =   - - 7= D la (3.14)  <  =   ^0 =   _^L O  PRZYBLIŻ ON YM   INTEG RALNYM   OSZACOWANIU   KUMULACJI  PLAZMY 41 zachodzi  r'(t)  =   0.  Wtedy  r  =   r min   wynosi (3.15) M aksym alne  ciś nienie (3.16) prowadzi  do (3.17)  / > „ „   =   ^  I o r a z Gr" (otv 2 t 2 - 2r 0 v a t  +  r 2 ) s l 2 G  Ł'n ikN - Tm a x  _(3.19) W  przypadku  uwzglę dnienia  otoczki  przyjmujemy: (3.20)  G c   =   G0. gdzie  fi  >  1, zaś  G  jest  masą   kuli. 4.  Przykł ad R ozpatrzm y  krótkie  przykł ady  ilustracyjne.  Przyjmiemy  nastę pują ce  dane  wyjś ciowe: /•o  =   l, 33. 10- 2 c m ;  V  =   l O ^ c m 3 ;  ~  =   3, 0.102 2cm "3; (4.1)  V G  =• •  1 0 " 6 g;  a  =   2 ;  w0 =   5-  10 6c m / sek. Wt e d y (4- 3)  p m ^   =  - ^   ( 1 > 33  i Q - y 4l/ 2 g/ cm  sek 2  «  4, 8.10I 2g/ cm  sek2  =   4,8 •  10skg/ cm 2. •.  y y 1-1 ̂   I  ć fi  51f*i  7^  —  —— I 42  S.  K AL I SK I W  przykł adzie powyż szym  przyję to a =  2, tj. porównywalne  masy  zewnę trzne i wewnę trzne. D la  bardzo  duż ych  a, rzę du  102,  otrzym am y: (4.5)  f„ w 0,27-  10- n se k;  ^ ,  «  2,7- 106  kg/ cm 2;  T m „  u  2-   107C °. D la  a bliskich  jednoś ci,  n p. rzę du  1,01 (4.6)  t 0  =  2,66•   1(T 9sek;  p mx   *  2,7 •  10"kg/ cm 2;  T m „ w  2•  105C°. Ze  wzorów  rozdział u 3 wynika,  że doborem  prę dkoś ci  począ tkowej,  masy  i  obję toś ci oraz  cc m oż na w istotny  sposób  regulować  ciś nienie  m aksym alne.  N atom iast  T m a x  m oż na regulować  gł ównie  za  pomocą   prę dkoś ci  począ tkowej  oraz a i  /?. 5.  U wagi  koń cowe U zyskane wyż ej  rozwią zania  obowią zują   dla  ukł adu z otoczką   lub  bez  niej  w zał oż eniu, że P nie  róż ni  się   od  1 o kilka  rzę dów  wielkoś ci.  Rozwią zanie  ś cisłe  dla  ukł adu z otoczką był oby  zbyt  skomplikowane  nawet  n a  drodze numerycznej. Cel  niniejszej  pracy,  jak  już  wspomnieliś my  n a  wstę pie,  poza  uzyskaniem  moż liwoś ci operowania  bardzo  prostym i  wzorami  i  uwzglę dnieniem  otoczki —  polega,  mię dzy in- nymi, n a moż liwoś ci  kom bin owan ia  rozwią zań  uzyskanych  w niniejszej  pracy  z  rozwią za- niami, pracy  [8], czego  nie  daje  się   dokon ać n a  gruncie  ś cisł ych  rozważ ań  i  co  ze  wzglę du n a  niezwykł ą   zł oż oność zjawisk  fizycznych  nie  zawsze  jest  celowe.  W takich  przypadkach m etoda  integralnego,  uś rednionego  opisu  oddaje  praktyczn e  usł ugi  w zakresie  orientacji w  rzę dach wielkoś ci  param etrów  badanego  procesu. W  dalszych  pracach  zajmiemy  się   kom binowanym  problem em  zł oż onym z problem u pracy  niniejszej  i  [8], a nastę pnie  uś ciś lonymi  (falowymi)  rozwią zaniami  tych  problem ów. Literatura cytowana w tekś cie 1.  H .  F . E AC O B,  O .  H .  K P O XH H , Yc/ iosunpa30ipeea  nnasMU tujiyueuueM  onmimecKoio aenepamopa,  > K 3 T O , 1,  46  (1964). 2.  A. F .  H AU G H T , D .  H .  P O L K ,  W.  J. F AD E R ,  Production  of plasmas  for  thermonuclear  research  by laser beam  irradiation  of solid  particles,  R e p o r t s,  1—8 (1965—1968),  U n it ed  Aircraft  R . L a b. ,  C o n t a c t  for t h e  U S At o m ic  E n ergy  C om ission . 3.  H .  F .  BAC OB,  C .  J I .  3AXAP O B,  J I . F .  K P M K O B ,  K ) .  B.  C E H ATC KH H , C .  B.  ^ E K AH H H ,  SKcnepiuieumu no  HaS/ iwdeHuw  ueumpcmoe  npu  (fioKycupoeue  Moufmeo  Jta3epnoio  U3jiyneHUR  na  noeepXHOcmb  deumepudu mimn,  IIjiCMa  B p e f l .  H O T * ,  1, 8  ( 1968) . 4 .  K ) .  ACMIH ACBEB,  B.  M .  K P O J I B,  O .  H .  K P O XH H ,  H .  B.  H E M ^I AH O B, rasodimaMimecKue  npoijeccu  npu Hazpeeauuu  eeiuecnwa ui/ iynemieM  jiasepa,  I I M M ,  6, 30  ( 1966) . 5.  H .  B.  H E M M AH OB,  CmauuoHapHuu  peoicuM denoicenux  nazpeeaeMUX  u3AyuenueM  napoe  eeufecmea npu Ha/ iwiuu  6oKoeozo  pacmeuaHUH,  I I M M ,  2,  3 1 ,  1967. <5.  R .  E .  K I D D E R ,  T he  application  of lasers  to the production  of high  temperature  and  high pressure  plasma, Report  of  Lawrence  Rod. Lab., U niv. California- Livemore  1967. 7.  J. M .  D AWSO N ,  On  the  production  of  plasma  by  giant  pulse  laser, P h ys.  F lu id s, 7, 7 (1964). 8.  S. K AL I SK I ,  About  approximate  appraisals  of  deuterium  plasma  expansion  excited  by  a  thermal  shock of  lasers  impulse,  P r o c .  Vibr.  P ro bL, 4,  10  (1969). O  PRZYBLIŻ ON YM   INTEG RALNYM  OSZACOWANIU   KUMULACJI PLAZMY  4 3 9.  K .  IT.  C T AH I O K O BH 1!,  HeycmaHoeueuiuccH  deuDiceutw cnAoumux  cped,  MocKBa 1955. 1 0 .  <£>. A.  EAYM J  K . n .  C TAH K JK OBH H ,  E . H .  I I I E XTE P J  usuKa  eapuea,  MocKBa 1959. 1 1 .  51. E .  3EJibflOBH ^!j  K ) . I I .  PAH 3EP,  &U3UKCI  ydapubix  eojiH  u  eucoKomeMnepamypuux  zudpoduHaMu- UeCKUX  H6MHU, M oC KBa 1 9 6 6 . P  e 3 io  M  e O  n P H EJI H > KEH H OH   H H T E r P AJ I bH O H   OLJEHKE  KYM yiM LTH H   n JI A3M LI ^EflC TBH KD   KOH LE E H TP I M E C KOrO H M nYJIBCA B  pa6oTe  paccMOTpena  npoSneiviMa  Kyiwyjiflmwi  njia3MŁ i  c  O6OJIOMKOH   H  6e3  o6on oqiai  nofl  fleticTBH eM KOHqeHTpHqecKoro im n yjibca  H aBJicH Jia. H a r p y m e  Teopn a  HfleajibHoro  ra.3a  pcu ien n e flaeTCH  on apaiom - HecH  n a  HHTerpajiMioe,,  ycpefliieH H oe  on n caiiH e  n p o q ec c a .  Oqen eH hi  Kpi- rrar- iecKHC  napaM eTpti  n pouecca. M eTofl  ycpeflHCHHoro  onucaH H H  no3BOJineT yqecT t ,  XOTH   C aajieiKeHHeM,  BJiHHHHe • O6OJIOMKH   n o  oTiiouieH H io  K H3BeciH0My  aBTOMOflejiBHOMy  pemeH H iOj  a  TaKwe  no3BOJiaeT  o6i.eflHHHTb penieH iie  nanpH M ep  c  [ 8 ] , rfle  MexaHH3M   n poijecca  H eo6ti'- iHo  CJITOKCH   H  Tomioe  pemei- me H enb3n.  yc p eflu en iio e  >i