Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,8(1970) AN ALIZA  PEWN EG O  UKŁADU   N IELIN IOWEG O P RZ Y  WYM U SZEN IU   STOCH ASTYCZN YM WŁOD ZIM IERZ  G A W R O Ń S KI  (G D AŃ SK) 1. Opis układu Schemat  ukł adu przedstawion o  n a  rys. 1. Jest  to  ukł ad  o jedn ym  stopn iu  swobody,  o współ czynniku  inercyjnoś ci  m,  współ czyn- n iku  tarcia  lepkiego  /  i  sile  sprę ż ystoś ci  k(x)  danej  zwią zkiem  (1.1)  (rys.  2) ik\ X  d la  \ x\  <   a *•  ' '  \ k 2 x+a(k 1   —k 2 )  dla  \ x\  > a' C harakterystyka  sprę ż ysta  k(x)  jest  nieparzysta.  D la k 2  > k t  ukł ad ma  charakterystykę sztywną ,  dla k 2  <  k x   —  m ię kką;  gdy  k 2  =  / ą  ukł ad jest  liniowy. k(x)k J(t) - a - I- v/ / / / / / / / / / / / / y7/ / / / / / / / / / / / / / / / , Rys. 1 Rys. 2 Z akł adam y,  że  sił a wymuszają ca  Fif)  jest  procesem  stochastycznym  typu  «biał y  szum» o  rozkł adzie n orm aln ym . G ę stość widmowa  tego  procesu  wynosi S(co)  =  S$  — co n st , zaś  funkcja  korelacyjna  procesu  dan a jest  zwią zkiem (1.2)  R*(x) .  2a25(t), gdzie d(r)  —d e lt a  funkcja  D iraca. 46  W.  G AWROŃ SKI Wartość  ś rednia  procesu  F(t) jest  równ a  zeru E[F(t)]  =  0. Równanie  stanu  dynamicznego  ukł adu  m a  postać (1.3)  mx+lx+k(x)  = lub (1.4)  x+2hx+g(x)  - / ( O, gdzie w 2 x  dla  \ x\   <  a b 2 )  dla  jx| > a m zaś  gę stość widmowa  procesu/ (O jest n r Równanie  (1.4) moż emy  przedstawić  za  pomocą   ukł adu  dwóch  równ ań  róż niczkowych rzę du pierwszego x  =  v, b =   - 2.  Charakterystyki probabilistyczne reakcji F unkcja  wymuszają ca  f(t)  jest  stacjonarną ,  cią głą   funkcją   losową ,  bę dą cą   zbiorem poszczególnych  swych  realizacji/ (f).  Reakcja  ukł adu  x{t),  zależ na  od  wł asnoś ci  dynamicz- nych  ukł adu  oraz  od  wymuszenia,  jest  również  zbiorem  realizacji  x(f),  odpowiadają cych realizacjom f(t).  D la  ukł adów  liniowych  m oż na  znaleźć  wzajemną   odpowiedniość  mię dzy x(t)  i f{t)  za  pomocą   liniowego  funkcjonał u  charakteryzują cego  dany  ukł ad.  Korzystają c z  zasady  superpozycji  m oż na  z  dowolną   dokł adnoś cią   okreś lić  charakterystyki  funkcji losowej  x(ł ).  Ponieważ  dla  ukł adów  nieliniowych  nie  obowią zuje  zasada  superpozycji, tylko  w  nielicznych  przypadkach  moż na  znaleźć  peł ne  charakterystyki  reakcji  [jeś li  ukł ad opisany  jest  równaniem  róż niczkowym  rzę du  n- tego,  to  peł nym  opisem  reakcji  ukł adu bę dzie  funkcja  gę stoś ci  rozkł adu  prawdopodobień stwa  n—l  współ rzę dnych  stan u  p(xi, X 2t  • ••   J  x n ~i>  O L D o  nielicznych  wyją tków  należy  stacjonarna' reakcja  ukł adu  n a  proces  wymuszają cy typu  «biał y  szum».  W  przypadku  tym  gę stość  rozkł adu  współ rzę dnych  stan u  ukł adu m oż na  znaleźć  jako  rozwią zanie  czą stkowego  równ an ia  róż niczkowego,  tzw.  równ an ia AN ALIZA  PEWNEGO  UKŁ ADU   NIELINIOWEGO  47 F okkera—P lan cka.  D otych czas  nie  znaleziono  rozwią zania  tego  równ an ia  dla  przypadku, gdy  ukł ad znajduje  się w stan ie  przejś ciowym. T ak  wię c, jeż eli  wymuszenie  jest  idealn ym  biał ym szumem, to funkcja  gę stoś ci  rozkł adu dx prawdopodobień stwa  współ rzę dn ych  stan u  x  i  « = - - -   dla  ukł adu  nieliniowego  okreś- lon a  jest  równ an iem  F o kkera—P lan c ka  ([4] s. 14). R ozwią zaniem  równ an ia  F o kkera—P lan cka  dla  ukł adu  równ ań  (1.5)  jest  funkcja [2, 3] (2.1)  p(.x,v) = gdzie  a\  =  nS a   — wariancja  p r o c esu / ( f) ,  G(x)— energia  potencjalna  ukł adu , x 2 coo  - =-   dla  |x| < a „i  did.  \ X\  ^ >  & (2.2)  G(x)  =   Jg(ti)du  =   l _ps2   2l _ b 2i /   J oraz  stał a C okreś la  się z warun ku  n orm owan ia (2.3)  /   /   p(x,v)dxdv= 1. —  oo  —o o U wzglę dniając  (2.1) i  (2.2)  otrzym ujem y. (2.4)  C "1  ==  2nolco 0  lerf  (s)+  —  1 - e r f l 4 - gdzie erf(s)  =  —  f  e- uZdu. o Z  równ an ia  (2.1)  wyn ika,  że gę stość  rozkł adu  p ( x,  w) m oż na  przedstawić  w  postaci p(x,v) = gdzie f  2M ?( x) l  x  /   / w 2\ =   exp  - £ -i ,  j32(w) =  exp  -   —j-   , L  ffi  J  \   Q\   I a  więc x i v są statystyczn ie  n iezależ n e. D la  \ x\  < a  rozkł ad  zmiennej  losowej  x  jest  n orm aln y,  dla \ x\  > a rozkł ad  prawdo- podobień stwa  x  nie jest  gaussowski. R ozkł ady  gran iczn e  wynoszą (2.5)  p(x)= J  p(x,v)dv  = ~ 7 2  exp f — ^ - 1,  : ( i.o)  p(w) =   n (x, w)ax  =   —[=  exp  — w ^  , |_  2o- Jco5J 48 W .  G AWROŃ SKI gdzie / =   erf(s) + 4  [- (*)]• F unkcja p(v)  jest  funkcją   gę stoś ci  prawdopodobień stwa  rozkł adu n orm aln ego.  Wykres p(x)  dan o n a rys.  3. Wariancja  zmiennej  losowej  x  wynosi: +   CO (2.7)    2,  a  wię c  a  >  2}/ 2a 0   =   2,82    3  jest  bardzo  m ał e (mniejsze  niż 0,3%).. Wariancja  zmiennej v  wynosi (2.y)  cr„   =   O) 0 GQ, czyli jest  równa  wariancji  v  dla  ukł adu liniowego. AN ALIZA  PEWNEGO  UKŁADU   NIELINIOWEG O 49 Obliczymy  ś rednią   czę stość  przekraczan ia  przez  ukł ad  poziom u  x  =   r.  Czę stość  tę oznaczymy vf.  P onieważ  dan y  poziom  ukł ad  może  przekraczać z  doł u  do  góry  lub  z  góry do  doł u,  wobec  tego  przyjmujemy,  że  za  ś rednią   czę stość  bę dziemy  uważ ali  ilość  przejść Rys.  4 w jedn ostce  czasu  z  doł u  do  góry,  a  wię c  gdy  v  >  0.  Zał oż enie to  uwzglę dnia  indeks „ + " w  oznaczeniu  vf. Wartość  ś rednia  czę stoś ci  przekraczan ia  przez  ukł ad  poziom u  x  — r  z  prę dkoś cią dodatn ią   dan a jest  zwią zkiem  [1,2] (2.10) vf  =   J  vp(r,v)dv. Jeż eli  przyjmiemy  r  =  0,  wówczas  zwią zek  (2.10)  okreś la  ś rednią   wartość  czę stoś ci ukł adu,  tj.  ś rednią   ilość  przekraczan ia  przez  ukł ad  poziom u x  =   0  w  kierunku  z  doł u  do góry  v$.  Z godnie z  (2.10) i  (2.1)  otrzymujemy (2.11) CS0 (2.12)  - Z  (2.12)  i  (2.4)  otrzymujemy (2.13) a>o 1 2nJ' 4  M ech an ika  teoretyczna 50 W.  G AWROŃ SKI Wykres  zależ noś ci  (2.13)  dan o n a rys.  5. I t u  widzimy,  że  dla  duż ych  wartoś ci s  (s >   2) wartość  ś redniej  czę stoś ci  drgań  ukł adu nieliniowego  zbliża  się   do  wartoś ci  czę stoś ci  drgań ukł adu  liniowego  z powodów  wyż ej  wymienionych. Rys. 5 Rozważ ania  powyż sze  dotyczył y  reakcji  ukł adu  n a wymuszenie  stochastyczne  typu «biał y  szum».  U kł ady  mechaniczne są  filtrami  dolnoprzepustowym i,  wobec  tego  analiza powyż sza  jest  sł uszna  również  dla  wymuszenia  o funkcji  gę stoś ci  widmowej  dostatecznie gł adkiej  w  zakresie  niskich  czę stotliwoś ci. 3. Stabilność techniczna ukł adu Analizę   stabilnoś ci  ukł adu  przeprowadzono  w sensie  technicznym  [5].  Warun ki  sta- tecznoś ci  są   t u  mniej  silne  od  warun ków  stabilnoś ci  asymptotycznej  procesu  stochastycz- nego  (por. [4], s.  50—53;  [6], s.  915, 916). Analiza  techniczna stabilnoś ci  w  rozpatrywan ym przypadku  nie  obejmuje  zachowania  się   ukł adu w  procesie  przejś ciowym,  a tylko jego  stan ustalony  (ze wzglę du  n a to, że nieznane jest niestacjonarne rozwią zanie  równ an ia F o kke r a — P lan cka).  D la  rozwią zań  stacjonarnych  warunki  t e są  w wielu  wypadkach  dostatecznie dokł adn e [5]. D any jest  obszar Q  okreś lony  zależ noś cią (3- 1)  fi  =  {|x|< / ? 1 ;  H < / S 2 } gdzie  fii,  / ?2 —  dane param etry. U kł ad  uważ amy  za  stabilny  technicznie, jeż eli  zmienne losowe xiv  należą   do  obszaru  Q z  ż ą danym  prawdopodobień stwem  1—e,  tzn. jeś li  jest  speł niony  warunek (3- 2)  p[(x,v)<=Q]>l- e, gdzie  e —  dana  wartoś ć,  okreś lają ca  wymagania  dotyczą ce  niezawodnoś ci  ukł adu. AN ALIZ A  PEWNEGO  UKŁADU   NIELINIOWEGO 51 D la  uł atwienia  analizy  stabilnoś ci,  nieliniowe  równanie  róż niczkowe  ukł adu  (1.4) zastą pimy  równ an iem liniowym  w  postaci (3.3)  x+2hx+w\ x=f(t), gdzie oĄ  —  zlinearyzowany  współ czynnik,  wyznaczony  z równoś ci  prac wykonanych  przez sił y  sprę ż ystoś ci  w ukł adzie liniowym  i  nieliniowym,  zgodnie  ze  wzorem / Si I  g(x)dx~  G(Pi)  =   ~~Pl, stą d (3.4) COo 2 b2  [(„  1 jffi  Lv d la d la >a Rozwią zanie  równ an ia  F o kkera—P lan cka  dla  ukł adu liniowego  (3.3), w stanie  ustalo- nym  m a  postać (3.5) gdzie p( x,  v)  -   C\ expI  -   - j.( v z + a Ą X2 ) \ , «r? Ci = M am y  wię c (3.6)  /> [(x, w) c  i3]  =   J  J  p(x,v) —fa  —Pz P o  podstawieniu  (3.5)  do  (3.6) i  odpowiedniej  transformacji  otrzymujemy (3.7)  p[(x, v) c Q]  =  i  J  J  exp | -  - - fo  - 'J gdzie (3.8) D la  danych e, / 5:, / 52 i  CTi należy  dobrać param etry  ukł adu /j i COQ  tak, aby  był a  speł niona nierówność  (3.2). Jeż eli  we  wzorze  (3.7)  oznaczymy + fo - fo exp /   z\ — -̂ U, \   2/ 4* 52 W.  G AWROŃ SKI wówczas  warunek  stabilnoś ci  (3.2) przyjmie  postać: P r z y k ł a d.  Przyjmijmy  e =   0,02.  Wartoś ci  0 X   i  0 2   obieram y  tak,  aby  speł n iona  był a nierówność (3.9)  $, < Z > 2> 0, 98. N a  dwie  wielkoś ci  niezależ ne  został   nał oż ony jeden  warunek,  wobec  tego  obieram y jedn ą  z  nich  dowolnie,  wzglę dnie  narzucamy  dodatkowy  warun ek  optymizują cy  ukł ad. Przyjmijmy  więc 2  >  0,9836, wówczas 0X  ̂ 0, 9973. D la  tych wartoś ci  0 l   i  @ 2  z  tablicy  otrzymujemy £ 0 > 3 , 0 0  7/0 >  2,40. Zwią zki  (3.7) i  (3.8)  dają (3.10) (3.11) ffl ~0) i Z  porównania  (3.4),  (3.10)  i  (3.11)  po  przekształ ceniach otrzymujemy  warun ki  stabil- noś ci  technicznej  ukł adu (3.12) h>9,04^ - , (3.13) 1,25 dla  \ x dla x\ >  a L it er a t u r a  cytowana  w  tekś cie 1.  S.  H .  C R AN D AL L ,  Random  vibration  of  a  nonlinear  system  with  a  set- up  spring,  J.  Ap p l.  M ec h . , 29,  1962, 477- 482. 2.  C/ iynaunbie  KoAeóaHun, pefl.  C .  K P AU SAJ U I ,  M ocKBa  1967. 3.  T.  K.  CAU G H EY,  On  the  response of  a  class  of  nonlinear oscilators  to  stochastic  excitation,  D iv.  E n g. and  Appl.  Institute  of  Technology,  P asadena,  California,  Jun e  1964,  tł um.  ros.,  M examiKa,  C 6.  n e p . 3 1965. 4.  A.  A.  KPACOBCKHH- J  CmamucmunecKan  meopun  nepexodnux  npoifeccoe e  cucmeMax ynpae/ ieuuR,  M ocKBa 1968. AN AL I Z A  PEWN EG O U KŁAD U  N IELIN IOWEG O  53 5.  W.  BO G U SZ ,  Statecznoś ć  techniczna  maszyn  wirnikowych  przy  wymuszeniach  stochastycznych,  Sb.  V Konf. D ynamika  Stroju,  Liblice 1968. 6.  P . 3 .  XACMHHCKHHJ  06  ycmowmsócmu  Hejiumimux cmoxacnnmecKUx cucmeM > T lM.M.,30,Bbin. 5,1966. P  e 3  K)  M  e AH AJIH 3  OCHOTO KJIACCA  HEJIHHEfiHOfi: CHCTEMŁI CO  CJiy^AH H LIM  B03MyiU,EHHEM B  paSoTe  HcarreflOBaHa  peaKin ra  HenniieHHOH   cH creMbi  c  Kyco^HO  nnHeiiHOH  xapaKTepiicTHKOH   n p ii cjiy^aiiHOM   B03MymeHHH   THna  «6enbiH   n iyM ».  C  noM oinwo  ypaBiien ira  <3>oi