Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,8(1970) N APRĘ Ż EN IA  KON TAKTOWE W PÓŁPŁASZCZYŹ N IE  SP RĘ Ż YSTEJ O  WZ M OCN ION YM   BRZEG U SZ C Z E P AN   B O R K O W S K I  ( G L I WI C E ) 1.  Wstę p Z agadn ien ie  wyznaczania  n aprę ż eń  kon taktowych  w pół plaszczyź nie  sprę ż ystej,  której brzeg  jest  wzmocniony  prę tem,  był o  przedm iotem  rozważ ań  kilku  autorów.  W pracach G I R KM AN N A,  M AR G U E R R E 'A,  BIOTA,  REISSN ERA  (por.  [2]),  rozpatrzon o  wpł yw  obcią ż enia poś redn iego,  które  przekazywane  jest  poprzez  prę t  n a pół pł aszczyznę  sprę ż ystą.  Ostatnio tem at  ten — z uwagi  n a  zastosowan ia  (blachownice), został  podję ty  przez  SZERIEMIETJEWA [6,  7], który  zajmował   się  wyznaczaniem  naprę ż eń w blachownicach o przekroju  teowym i  dwuteowym.  W  pracy  Ł AR KI N A  [5] rozpatrzon o  wpł yw  sił  skupionych,  przył oż onych w  pł aszczyź nie  ś rodkowej  tarczy,  n a  rozkł ad  n aprę ż eń  kontaktowych  wystę pują cych w  miejscu  poł ą czenia tarczy  z prę tem. W pracy  AR U TU N I AN A  [4]  rozwią zano  zagadnienie kon taktowe  dla pół pł aszczyzny,  której  brzeg jest  wzmocniony  prę tem o skoń czonej  dł u- goś ci.  Rozwią zanie  tego  problem u  sprowadzon o  do równ an ia  róż niczkowo- cał kowego typu  P ran dtla. G OD YC KI  [3]  podał   przeglą d  prac  dotyczą cych  dź wigarów  tarczowych  z ż ebrami  pod- porowym i.  P rzytoczon o  t am  też  analizę   przydatnoś ci  praktycznej  wyników  teoretycznych i  doś wiadczaln ych;  przedstawion o  aktualny  stan  omawianej  problematyki  ze szczególnym uwzglę dnieniem  ż elbetowych  belek—ś cian.  Przeglą d  omawianej  tutaj  problematyki,  lecz dla  zagadnień  termosprę ż ystych,  przedstawiono w pracy  [1]. W  niniejszej  pracy  rozwią zano  zagadnienie  wpł ywu  m om entu  skupionego,  leż ą cego w  pł aszczyź nie  ś rodkowej  tarczy,  n a  rozkł ad  naprę ż eń  kontaktowych  wystę pują cych w  miejscu  poł ą czenia  tarczy  z prę tem. W zakoń czeniu  pracy  przytoczono  przykł ad  licz- bowy. 2. Sformułowanie zadania R ozpatrywać  bę dziemy  pół pł aszczyznę  sprę ż ystą (2.1)  ,  3> = {{x,y):x>0,  - o o < j> < c o }, bę dą cą   powierzchnią   ś rodkową   tarczy  o gruboś ci  h, mają cej  m oduł   sprę ż ystoś ci  E,  której brzeg (2.2)  < < o o} 56  S.  BO R K O WSK I poł ą czony jest  sprę ż yś cie  z prę tem; prę t ten m a przekrój  F :   i  m om en t bezwł adnoś ci Ą ;  jest też  obcią ż ony  sił ami poprzecznymi  o intensywnoś ci  r(y).  Przyjmować  bę dziemy,  że  funkcja obcią ż enia  r(y)  jest funkcją   nieparzystą .  Zał oż ymy dalej,  że w  pun kcie A(x A   =   x lt   y A   =   0) przył oż ony jest  m om ent skupiony  o wartoś ci  M,  który jako  para  sił  równoległ ych  do  osi  y znajduje  się   w  pł aszczyź nie  ś rodkowej  tarczy.  Z adaniem  naszym  bę dzie  wyznaczenie naprę ż eń  kontaktowych,  stycznych  i  normalnych,  wystę pują cych  w  miejscu  poł ą czen ia prę ta  z  brzegiem  tarczy.  Przystę pując  do  formalnego  uję cia  wystę pują cych  w  zadan iu problemów  brzegowych,  okreś limy  je  nastę pują co: Prę t.  M amy  wyznaczyć  funkcje  u =   u{y)  i  v  =   v(y),  kolejno  klasy  C ( 4 ) ,  C ( 2 ) ,  które przedstawiają   współ rzę dne,  odpowiednio  w  kierunku  osi  x  i  y,  wektora  przemieszczenia dowolnego  pun ktu  osi  prę ta  poł ą czonego z  tarczą   w  sposób  sprę ż ysty.  F unkcje  te  czynią zadość  równaniom  róż niczkowym  zagadnienia  ś ciskania  i  zginania  prę ta  prostego ^"df (2. 3) gdzie  wystę pują ce  w  równaniach  (2.3)  funkcje  s(y),  q(y)  oznaczają   kolejno  obcią ż enie kontaktowe  styczne  i  norm alne wystę pują ce  w  przekroju  tarczy  x  =  0  (brzeg  tarczy). T arcza.  N ależy  wyznaczyć  funkcję   F=  F(x,y),  która  w  obszarze  <9)  jest  klasy  C ( 4 ) i  czyni  zadość równaniu pł askiego  stanu naprę ż enia y (2.4)  V W  =   j x i   J  Y(x,y)dy,  dla  (x,y)e@, a na brzegu  #  jest funkcją   klasy  C ( 5 ) i czyni zadość  (por. [6]) warun kom brzegowym  postaci nastę pują cej d 2 v  . 1  /   8^ F  83 dy 2   E  \ 8x 2 dy  8y- (2.5) d I a   < Wystę pują ce  we  wzorach  (2.4) i  (2.5)  symbole  F,  Y  oznaczają ,  kolejno,  funkcję   n aprę ż eń Airy'ego i współ rzę dną  sił y masowej.  Tę   ostatnią   wielkoś ć,  zgodnie  z  naszym  zał oż eniem, przyj mierny  w postaci (2- 6)  Y  =  - P[6(x,  x x ;  y,  Q)- d(x,   Xl   + Ax;  y, 0)]. W  (2.6)  symbolem  d(x,x 1 ;  y s y^   oznaczono  deltę   D iraca  w  pun kcie  o  współ rzę dn ych. (Xi,  J>i). N AP R Ę Ż EN IA  KON TAKTOWE  W  PÓŁ PŁ ASZCZYŹ N IE  SPRĘ Ż YSTEJ  57 F un kcja  F(pc,  y)  powin n a  mieć  taki  przebieg,  aby  dla  x  - »•   oo, y  - + ±   oo  speł nione był y warun ki  równowagi  oraz  aby  funkcje  naprę ż eń  stycznych  i normalnych  zerował y  się  dla przekrojów  tarczy  w  n ieskoń czon oś ci: - | - CO  0 0 C  82F  r h  I   ~y?i  w"*"  r(y)dy>  d la  A-  - >  o o . —  co  —a a co  oo r  a zp r h  - z~rydy- *'   r (y)ydy  + M  dla  x- > o o; (2- 7)  _i   ̂ _J 3 2 F  „ • *  O  dla  j ;  - >  ±   oo  . D la  zupeł noś ci  sformuł owanych  zagadnień  brzegowych  potrzebne  są  jeszcze  warunki cią gł oś ci  rozwią zań  n a  linii  x  =   O,  Warun ki  te  otrzymujemy  z porównania  zależ noś ci (2.3) i (2.5).  W  naszym  przypadku  mają  one  postać ,,(  8 3 F S ^ - - kh \ dx^ - V ( 2 - 8 ) d la  (x,  y)  e  C6. W  równ an iu  (2.8)  przyję to / O  Q\   Ł -   '  i  *,  ł   Ł ii/ Z  ii/ J Warun ki  (2.8) wynikają  z równ ań cią gł oś ci przemieszczeń.  Oprócz tych warunków,  powinny być jeszcze speł nione równ an ia cią gł oś ci  naprę ż eń n a linii x  =   O {r xy   =   - rs(y),o y   =   - y- «?(j)l • D oprowadza  to  nas  do  zależ noś ci (2.10) 1 dla Jeż eli  poł ą czymy  ze  sobą  warun ki  (2.8)  i  (2.10),  to  otrzymamy i!£   _  aj?!_i_fL  - n dx 2 dy   V   dy*  k   8x8y  ' (2.11) W  ten  sposób  problem  został   sprowadzony  do  zagadnienia  brzegowego,  polegają cego n a  wyznaczeniu  funkcji  F ( x, y)  czynią cej  zadość  równaniu  (2.4)  oraz  warunkom  (2.7) i 58  S.  BÓRKOWSKI (2.11). Znajomość  tej  funkcji  pozwoli  obliczyć  naprę ż enia kon taktowe,  styczne  i n orm aln e, tj.  naprę ż enia  s(y)  i  q(y)  [wzory  (2.10)],  a  przy  zn an ym  rozkł adzie  obcią ż enia  r(y)  — umoż liwi  wyznaczenie  pola  naprę ż eń  w  prę cie.  Jeż eli  chodzi  o  okreś lenie  pola  n aprę ż eń w  tarczy,  to  uzyskać  to  moż emy  drogą  róż niczkowania  funkcji  naprę ż eń  F(x,  y).  Z  tego też  wzglę du  tym  zadaniem  w  pracy  zajmować  się  nie  bę dziemy. 3.  Rozwią zanie zadania Z godnie  z zał oż eniem przyjmiemy,  że jedynym  obcią ż eniem  dział ają cym  w  pł aszczyź nie ś rodkowej  tarczy  są  dwie sił y skupione  (2.6) dział ają ce  w pun ktach A(x lt   0) i B{x l - \ - Ax,  0). Sił y  te  są  równoległ e  do  osi  y,  mają  te  same  wartoś ci,  lecz  zwroty  przeciwne.  P rzy  budo- waniu  funkcji  F  wykorzystamy  pewne  rozwią zania  zn an e  dla  pł aszczyzny  sprę ż ystej. W  przypadku  bowiem,  gdy  dział a sił a —  P ,  przył oż ona w  pun kcie  A(x u   0), wówczas  stan naprę ż enia  i  odkształ cenia  opisany jest  funkcją  (por.  [2, 5]) (3.1) zatem  dla  sił y  P,  dział ają cej  w  punkcie  B(x x +Ax,  0),  funkcja  okreś lona  równ an iem  (3.1) przyjmie  postać (3.1')  F B   =   1±?- L  f  1 u W  p r zyp a d ku ,  gd y  d zia ł a  p a r a  sił  (- P,  P),  wó wc za s  fu n kc ja  Air y' e go  bę d zie  su m ą  fu n kcji FA  i  F B .  Jeż eli  przyjm iem y  o kreś len ia  M  =  lim  PAx,  a i F i =   lim  (F A - \ - F B ),  t o  o t r z ym a m y o st a t ec zn ie  j£ l2!  ii