Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,8(1970) O  P E W N YM   P R Z YP AD K U   P E Ł Z AN IA  P Ó Ł P Ł AS Z C Z YZ NY Z  N I E C I Ą G Ł YMI  WAR U N K AM I  B R Z E G O WYM I Z BI G N I E W  JAN   P I E K A R S K I ,  G WI D O N   S Z E F E R  (KR AKÓW) 1.  Wstęp W  pracy  [2] autorzy  podali  rozwią zanie  problem u  peł zania  pół pł aszczyzny  przy  nie- cią gł ych  warun kach  brzegowych,  odpowiadają cych  zagadnieniu  szczeliny  G riffitha. Za- gadnienie  dwóch  kolin earn ych  szczelin  obcią ż onych  stał ym  naprę ż eniem  normalnym n a gruncie  teorii  sprę ż ystoś ci  rozpatrzył   po raz pierwszy  WILLM ORE  [4], stosując  metodę funkcji  zmiennej  zespolonej.  N astę pn ie  TRAN TER  [3] rozwią zał   ponownie  problem  przy r " i i i i i i . 2 - X/ / / / / / / / / / / / / / / A a- b - P V/ / / / / / / M cr 2 2 = - p - v/ / / / / / / fr/ / / / / / / / / / / / / / / A u£ = 0 2 b a- b 2a U 2 = 0  Xi Rys. 1 ogólniejszych  zał oż eniach  (obcią ż enie  n orm aln e  szczelin — dowolne),  sprowadzając  za- danie  brzegowe  do potrójn ych  równ ań  cał kowych,  dla których  znalazł   ś cisł e,  zamknię te rozwią zanie. W  pracy  niniejszej  rozważ ymy  pół pł aszczyznę o brzegu  wolnym  od  naprę ż eń  stycznych o- 12,  obcią ż oną  symetrycznie  n a dwóch  odcinkach  brzegu  naprę ż eniem  normalnym. o- 22 = =   con st;  n a  pozostał ej  czę ś ci  brzegu  dan o  przemieszczenie  pionowe  u 2  =  0 (rys. 1). O  m ateriale  oś rodka  zakł adam y, że jest  lepkosprę ż ysty  i podlega  liniowej  teorii peł zania, ze  starzeniem  wedł ug  AR U TU N I AN A  [1]. Zwią zki  fizyczne,  w  ogólnoś ci  nieinwariantn& wzglę dem  chwili  przył oż enia  obcią ż enia,  mają  postać & " V ) ( !  +   ) /   (ffvdG)<5(t,  T)dr,  ij =   1,  2,  ,. 64  Z B .  J.  PIEKARSKI,  G .  SZEFER gdzie  8y —  skł adowe  ten sora  odkształ ceń, a- ,j  —  skł adowe  ten sora  naprę ż eń,  ć S;j-  —  symbol Kroneckera,  d(t,  r)  — —rrc- \ - C(t,  r),  v  =   const —  współ czynnik  P oissona,  E(t)  —  m oduł Ł  (T) sprę ż ystoś ci,  C(t,  T) —  m iara peł zania. Rozważ any  problem  brzegowy  jest  uogólnieniem  wspomnianych  zadań  Willm ora i  Tran tera  na  gruncie  teorii  peł zania. M oże  on  znaleźć  zastosowanie  również  w  mechanice górotworu  do  analizy  stanu  naprę ż enia  i  odkształ cenia  w  otoczeniu  filara.  Rozwią zanie podamy  w  oparciu  o  funkcję   naprę ż eń  Airy'ego  i  transformację   cał kową   F ouriera.  M ie- szany  problem  brzegowy  sprowadzimy  do  ukł adu  dwóch  równ ań  cał kowych,  dla  których moż na  podać  ś cisłe rozwią zanie  zamknię te. 2. Ogólna  metoda  rozwią zania  problemu Jak  wiadomo  [1], pł askie  zagadnienie  teorii  peł zania dla  modelu  ciał a  opisanego  zwią z- kami  (1.1)  moż na  zawsze  sprowadzić  do  rozwią zania  równ an ia  biharm onicznego  dla funkcji  naprę ż eń  F(x l}   X 2 ,  t),  które  po  wykonaniu  cosinusowej  transformacji  cał kowej F ouriera  wzglę dem  zmiennej  Xj,  prowadzi  do  równ an ia  zwyczajnego dla  transformaty / —  °° F(u,  x2)  =   l / —  J  F(xt,  JC 2)COScoc,dxx. o Cał ka  ogólna  równ an ia  (2.1),  po  uwzglę dnieniu  warun ku,  by  dla  \ x 2 \  - >  oo  znikał y drugie  pochodne funkcji  naprę ż eń, przyjmuje  postać (2.2)  F(a,  x 2 )  =  (A + Bax 2 )  e ~ "2 . N aprę ż enia  wyznaczymy  ze  znanych  zwią zków C l i  =   F>22,  ^ 22  =   F>IU  C l2  = które  po  wykonaniu  transformacji  odwrotnej  dają   a. 5  M ech an ika  teoretyczn a 66  Z B .  J.  PIEKARSKI,  G .  SZEF ER M ieszany  warunek  brzegowy  (3.1) zastą pimy  formalnie  warun kiem  cią gł ym,  przemiesz- czeniowym 0,  x x   a; gdzie  v(x x ,  t)  jest  nieznanym  n a  razie  przemieszczeniem,  którego  wartość  wyznaczymy na  podstawie  (3.1) 2. Sprowadzenie problem u  (3.1) do  (3.2) pozwala  n a  bezpoś rednie  wyznaczenie  param etru A(a)  na  drodze  transformacji  odwrotnej.  W  tym  celu  podstawiam y  wyraż enie  (2.6)2 z uwzglę dnieniem  (2.7)  do warun ku  (3.2) 00   t  0 -   f  a^cosa;qtfa- 2(l- i>2)l/ -   f  f  f ii  .i  \   7t  J  V.Jił (r)  \   ii  .  \   7t  J  V.J Oznaczając  dla  zwię zł oś ci ,   /  2" r (3.3)  2(1 - v2)  1/   - -  J  uAcosaxidu  =   o fo ,  0 *  o otrzymujemy —~,y'.  —  j  a)(x1(  T)(5(?, r)rfr+ Z )*(rt  =   ^ ( ^ i,  0 i  dalej (3.4)  «»(*!, 0 +   / «.(*«  t)[- E{t)h{t,x)}dx  =   ^ Otrzymane  równanie  cał kowe  Volterry  I I  rodzaju  posiada  rozwią zanie •   t  •   • (3.5)  a>(x u  t)  =  E(t)[g( Xl ,  t)- D*(t)]-  J  E(T )\ S(X U   z)- D(x)]R(t,  x)dx, w  którym  funkcja  R(_t,  T)  stanowi  rezolwentę  ją dra  — £ (f) —(f,  T)  .  Szczegół owe  obli- czenie tej  rezolwenty  podan e był o w  pracy  [2], w  tym  miejscu  więc  ograniczymy  się  jedynie do  zacytowania  gotowego  wyniku  i (3.6) t X O  PEWN YM   PRZYPAD KU   PEŁ ZAN IA  PÓŁ PŁ ASZCZYZNY  67 sł usznego  dla funkcji  d(t, r)  postaci  (por.  [1]) (3.7)  d(t > n)^ We  wzorze  (3.6) ozn aczon o (3 . 8 ) z Z n a j ą c  fu n k c ję  a(Xi,  t)  [z ( 3. 5) ]  o b l i c z y m y  n i e z n a n ą  wi e l k o ś ć  A  ( a )  z  ( 3 . 3 ) ,  m i a n o w i c i e / —  °° 2 ( 1  —  vz)aA  — Ć 5(a, i) =   1 / —  m(x u   ^ ^ ' V  71  J -   J  [ i / J - 'J  i(.Xu*)cosax 1 dx 1 - D*(x)d(a)\ E(x)R(t,x)dx. P o  uwzglę dnieniu (3.2) (3.9)  2(l- v2)a,A  =  E(f)\ - l/ —  v(x u t)cos- ax 1 dx 1 —D*(t)d(a)\   + -   '  [y  7t J  J b '$i~D*(?)9'(a)  E(x)R(t, x)dx,J " gdzie  ó(a)  jest  dystrybucją  «delta»  D iraca.  -  * Otrzymany  wynik,  zawierają cy  nieznaną  dotąd  funkcję  v(x x t)  czyni  zadość warunkom ( 3 . l) l j 3 .  P odstawienie go do (3.1) 2 daje  zwią zek J  a £(0 - |J«i(f,Ocosaf^- ^(Oa(a)  -   J  |  fz>(f, ̂ cosaCC- ^W^a) X •  •   •   XE(x)R(t,  x)dx\ cosaxida  =  —  2(1  — v2)p» który  po zmianie kolejnoś ci  cał kowan ia przybiera postać 2  r  ,.  ir  \   r —  v(c,t)E(t)\   ucosu.C- cosax 1 dot.)dC—E(t)D*(i)  eto  (u ut  J  \ J  I  •   J b  O '  r  " J  inJ 00 r  • •   afiicAcosuxida,  —  2(l~v 2 )p. 68  Z B .  J.  P IEKARSKI, G .  SZEF ER D rua  i  czwarta  cał ka  równe  są  zeru  na podstawie  wł asnoś ci  dystrybucji  «delta»,  ozna- czając  dalej 00 2  f (3.10)  —  a cos af-  cos ax x  da  — K(x u   f) o dochodzimy do ukł adu  równań cał kowych a E{t)Jv(C, t)K{x x , £ ) #  =  w(x u  t), b t (X U  O -   jw(x u   r)R(t,  x)dr.  =   - 2(l- v2)p, (3.H) z  których  pierwsze jest  typu  F redholma I rodzaju,  a  drugie  typu  Volterry  I I  rodzaju. Rozwią zanie  (3.11)z jest znane  [2] i ma postać (3.12)  w(x u   t) =   - 2(l- v%)pE(t)ó(t,  TO- Również ją dro  K(x^ ,  C)  wyznaczyć moż na w postaci  zamknię tej kojzystając  z rezultatów  teorii  dystrybucji.  Zatem dla (3.11)i  otrzymujemy N iewiadomą  funkcję  v(C, t) poszukiwać  bę dziemy  w postaci (3.14)  •   c ( & 0 Wtedy  F (f) speł niać musi  równanie które po dwukrotnym  scał kowaniu  wzglę dem  zmiennej  Xj przybierze  postać a ( 3 . 1 5 )  f K ( 0 1 n | j f ? - ^ | r ff  =   — 2 ( 1  — ł ^ f tutaj  /  i m są stał ymi  dowolnymi. D okonując  zmiany zmiennych C 2 =   i 2 + s 3  x\  =  b 2 +z, otrzymujemy W (s)In\ z- s\ ds  ̂ - (l- v O  PEWN YM   PRZYPAD KU   PEŁ ZAN IA  PÓŁ PŁ ASZCZYZNY  69 gdzie (3.16) Po  dalszej  zmianie  zmiennych otrzymujemy  równanie cał kowe i (3.17)  /   W (O]n\ y- £\ dC  =   - (I^ v2) p y  +  ł ')/ 'y(a 2 - b 2 )+b 2 +m' o rozwią zane przez  Carlemana gdzie  A'  i / ' są  stał ymi zależ nymi  od  /  i  m. Wykonując  cał kowanie dostajemy  dalej (3.18) Wystę pują cą  tu  cał kę i -   f  Ł   - i/   ^c1 J  y- CV  y(a 2 -o moż emy  doprowadzić  do  postaci i  i dy Va 2 ~b 2   [  J  )/ y(l~- y)(y+c{) dy+il  ° J o a  po  prostych przekształ ceniach  i  wprowadzeniu podstawień 70  - ,;-,  Z B . J .  PIEKARSKI,  t j.  SZEFER —  do  postaci gdzie K(k)  — F\ —, fc) jest  cał ką  eliptyczną  zupeł ną  I  rodzaju, In  \   • '- .: E(k)  — E\ ~,  k\   jest cał ką  eliptyczną zupeł ną  II rodzaju, n(n,  k) = nl~—n,  k\  jest  cał ką eliptyczną  zupeł ną  III  rodzaju. \ 2  '  '  ' • • • • . . . Wyraż enie  £,II(n, k) przekształ cić m oż na  dalej  otrzymując [K(Jc)  J g ( y ,  k ) ^ l 0(3.20)  1/1 "  •   1  " •w  =   arc sin —  =   a r c sin i/ l  — f. Podstawiając  (3720) do (3.19), a t o ' z k o l e i  do (3.18)  otrzymamy Oznaczając otrzymujemy n'—!- (T  n—v2\ mr\   L  1 , . - 2  /   ~f  1  O f  - *  C»V  I  *  ^ O  PEWN YM  PRZYPAD KU   PEŁ ZANIA  PÓŁ PŁ ASZCZYZNY 71 Wracając  do  (3.16), wzór  n a  F (£ ) przybiera  postać Ż ą dając  regularnoś ci przemieszczenia »(£ ,  i)  należy  usun ąć osobliwoś ci  pierwszego  wyrazu dla  £  =   0 i  f  =   1.  M usi  być  wtedy skąd TV  Q  T  ___  M Ostatecznie wię c,  p o  wstawieniu  wartoś ci  współ czynnika k (3.22) - (,0   - 0,4   - 0,2- 4flV)pa  X > ^ b- 0,25a l . - t  =   30  dn i,  2.—t  -   50  dn i,  3.—t  =   100  dn i, 4.—t  =   360  (oo)  dn i Rys.  2 P oszukiwana  postać  przemieszczenia  n a  brzegu  »(£ , i)  wynosi  więc  n a  podstawie  (3.14) (3.23) 72 Z B .  J.  PIEKARSKI,  G .  SZEFER D la przypadku  sprę ż ystego  jest  d(t,  r{) =  l/ E  =   const i otrzymujemy  wynik zgodny z rezul- tatem  Willm ore'a. Wzór  (3.23)  stanowi  rozwią zanie  postawionego  problem u  brzegowego.  D la  ilustracji liczbowej  wykonano  przykł ad  obliczeniowy  przyjmując  m ateriał   Arutun ian a—M asł owa o  ją drze (3.24) gdzie 1 =  E 0 (l  - —  Co 4 " %o 0,8  - 0 , 1   - 0,2   - y,  J.1  Ą Q~ 4(1- V 2 )pa 1  1/ 1/ 4 2 '  / , 1  / / j A  —C ^ - v^̂ b=0,25a  b=0,5a 1.—t  =   30  dn i,  2.—t  =   50  dn i,  3.—t  =   100  dn i,  4.—t  -   360  (co)  dn i. Rys.  3 a  £, D la  wartoś ci  param etrów £'o =   2- lO5;  /? =   1,  «  =   0,03;  C o =   0,90- 10~ s; Ł   =   4, 82- 10- 5;  y  =   0,026 wieku  materiał u  %i  =   14  i  Tj  =   28  dni  oraz  róż nych  wartoś ci  czasu  £   sporzą dzono  wy- kresy  przemieszczeń  podan e n a rys.  2  i 3. 4.  Zakoń czenie Znając  rozwią zanie  problem u  brzegowego  wyraż one  funkcją  (3.23)  moż emy  wyznaczyć param etr  A(a)  z  (3.9), a  stąd  naprę ż enia i przemieszczenia  w  dowolnym  pun kcie  pół pł asz- czyzny.  Szczegół ów  tych  obliczeń  nie  bę dziemy  przytaczać  z  uwagi  n a  ich  podobień stwo z  [2]. Warto  zauważ yć,  że  przeprowadzon e  rozważ ania  nie  ulegną  zmianie, gdy  szerokość O  PEWN YM  PRZYPAD KU   PEŁZAN IA  PÓŁPŁASZCZYZNY  7 3 przedział u  (b,  a)  bę dzie  funkcją   czasu:  a  =  a(t),  b  — b(t).  Wynika  to  stą d,  że  równanie cał kowe  (3.15)  pozostan ie  sł uszne  dla  każ dej  chwili  t.  M oż emy  wię c  napisać  [w  miejsce (3.23)] D alsze  uogólnienie  uzyskamy  biorą c  zmienne obcią ż enie/?  =   j?(*i)-  Bez ż adnych zmian pozostan ą   wtedy  obliczenia  aż  do  (3.14)  wł ą cznie, a jedynie  koń cowy  wynik  spowodowany cał kowaniem  wzglę dem  zmiennej  Xj  [jak  to  widać  z  rozważ ań  poprzedzają cych  (3.15)] bę dzie  inny.  Jak  ju ż  we  wstę pie  wspom n ian o,  wyniki  pracy  mogą   znaleźć  zastosowanie w  teorii  szczelin,  m echanice  górotworu,  teorii  konstrukcji  i  w  innych  dziedzinach  nauk technicznych. Literatura cytowana w tekś cie 1.  H . X .  ApyTyHHHj  HeKomopue  eonpocu  meopuu  noji3yuecmu, MocKBa—JIeH H H rpafl  1952. 2.  Z .  PIEKARSKI,  G .  SZEFER, Peł zanie pół plaszczyzny przy mieszanych  warunkach  brzegowych,  Arch.  Mech. Stos. (w druku). 3.  C. J.  TRAN TER,  T he opening  of  a pair of coplanar  Griffith cracks under  internal pressure,  Quart.  Journ. of  Mech.  and Appl.  M ath.,  1961. 4.  T. J.  WILLMORE,  T he distribution  of  stress in the neighbourhood  of  a crack, Quart. Journ. of  Mech.  and Appl.  M ath., 2,  53,  1949. P  e 3 io  M e OB OflHOM  CJIY^AE n OJI 3Y^E C TH   nOJIYnJIOCKOCTH   C PA3PBIBHLIMH   KPAEBŁIMH yCJTOBHflMH B  C T a it e  paccM OipeH a  n ojrayiecT B  nojiym iocKocTJi  H S BH 3KO- ynpyroro jwarepn an a, ii  TeopHH   CTapeHHH   ApyTioH H H a,  n p i i  ciwemaHHBix r p a m r a H bix  ycjio Bn ax.  J[aHO  TO^Hoe  peiueH H e H,  c  npHiweHeHHeM   H H TerpanBH oro  npeo6pa3OBaH H H   <3>ypte  H   3JieMeHT0B  T eopn a  o6o6m eH H bix 4>yH Kqnii.  P a Bo ia  MtoKeT  H aSrH   npHMeHeHHe  B  TeopHH   TpemH H ,  MexaHHKe  ropH ofl  nopoflBi  H   TeopHH KOHCTpyKI^HH. 74  ;.:;..."•   . ••   '•   Z B .  P I E K AR S K I ,  G .  S Z E F E R .,.;.  ..,- ..  S u m m a r y  '  ,  • ON   A  CERTAIN   CASE  OF   CREEP  OF   A  H ALF - PLANE WITH   D ISCON TIN U OU S  BOU N D ARY  CON D ITION S • • [ "  ' •   •   ,  ' '  • ; -   : :  •   •   ; ; t  '.'  r  •   • The  problem of creep of a semi- infinite  plane made of a Arutunian- type visco- elastic material and subject to  discontinuous  boundary  conditions  has  been  considered.  The  exact  closed- form  solution  is  based  on the  application of F ourier transforms  and the elements of  the  distribution  theory. The results can be  applied in  the crack theory, rock  mechanics and the theory  of  engineering  structures. P OLI TEC H N I KA  KRAKOWSKA Praca  został a  zł oż ona  w Redakcji  dnia  1 sierpnia 1969 r.